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Variables Aleatorias

Concepto Discreta y Continua

Fun. de densidadFun. de probabilidad

F. de distribucin

Esperanza y Varianza

Propiedades

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El resultado de un experimento aleatorio puede

ser descrito en ocasiones como una cantidad

numrica.

En estos casos aparece la nocin de variablealeatoria

2.1 Concepto de Variable aleatoria

Funcin ue asi!na a cada elemento del espaciomuestral un n"mero

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2.1 Variable #leatoria$ %otacin

- &as letras may"sculas 'X, Y, Z, etc(

representar)n a las variables aleatorias.

- &a letra !rie!a * representar) un elemento

!enrico del espacio muestral.

-X'*( ser) la representacin +uncional de la

variable aleatoriaX.

- &as letras min"sculas 'x, y, z, etc(

representar)n valores particulares en el

recorrido de la variable.

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3.- Dadas dos v.a. X e Y, definidas sobre un

mismo espacio de probabilidad, se puede definir la

suma, resta, producto y cociente (con

denominador no nulo), obtenindose otra

aplicacin que verifica tambin la condocin de

v.a.

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X !"mero de caras que aparecen al lan#ar dos monedas

V. #. D,-CE/#

$

%

&

( )X

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Funcin de probabilidad (V. A. Discretas)

' Asigna a cada posible valor deuna v.a.d. su probabilidad.

ecuerda los conceptos de

frecuencia relativa y

diarama de barras.

Ejemplo

X = Nmero de caras al

lanzar 3 monedas.

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?

X =!"mero de ampolletas

seleccionadasazules

X = 0 X = 1 X = 2

x 0 1 2

P(X = x ) 3/28 15/28 10/28

==&

*&*+ 3

$

&

3=

%%

%

3=

%$&

$

3=

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Funcin de densidad (V. A. Continuas)

-s una funcin no neativa de interal %insalo como la enerali#acin

del /istorama con frecuencias

relativas para variables continuas.

0Para u lo voy a usar

- Nnca lo !as a sar d"rec#amen#e.

- $s !alores no represen#an pro%a%"l"dades.

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Para qu sirve la f. densidad

' 0uc/os procesos aleatorios vienen descritos por variables de forma

que son conocidas las probabilidades en intervalos.' 1a interal definida de la funcin de densidad en dic/os intervalos

coincide con la probabilidad de los mismos.

' -s decir, identificamos la probabilidad de un intervalo con el

!reaba2o la funcin de densidad.

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&na variable aleatoriaXes continuas" s recorr"does n "n#er!alo de la rec#a real.

2. Variables #leatorias Continuas

Funcin de Densidad de probabilidad$f ( x )

( )= b

aX dxxfbXaP )(

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E3emplo

$,

&

%)(

.&%%

&

&

>=

==

xexf

cdxce

xX

x

#an#o'lo(or)eo%#"enese')e*ec*oel"l"zando0

====>4

34)&%(& $.$)&%()4( eedxeXP x

X=concentracin diaria del contaminante por cada 14litros

?cal)"erad+anen#econ#am"nanes#edepolc",ndepro%lemanocrra

)eadpro%a%"l"dlaes./l0lose1cede",nconcen#raclas"nac",n

-con#am"depro%lemanocrr"r/)esa%e$edens"dad

de2nc",n#"enearro3onen#econ#am"nanc"er#oded"ar"a",nconcen#rac4a

.%$

.$,)(3

&

ltmg

xcexf x

X >=

la pro%a%"l"dad e ocrra el pro%lema de polc",n es6

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E3emplo

>

=

$%

$$)(

&&

xe

xxH

x

laramen#e H(x) sa#"sace las cond"c"ones (1) 7 ()' por lo

#an#o Hcorresponde a la nc",n de d"s#r"%c",n acmlada

de al9na !ar"a%le alea#or"aX.

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$"endo el 9r"co de la nc",n el s"9"en#e6

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Cambio de variable

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Esperanza y varianza de una variable aleatoria

De+. de Esperanza$ la esperanza matem)tica esuna !eneralizacin del concepto de media

aritmtica. Dada una muestra de n valores

observados de un variable X5 con sus respectivas

+recuencias$

n

nffffrecxxxX

...5...5

&%

&% ==

n

ii nf

%

&a media muestral es$

==

==

n

i

ii

n

i

ii

n

fxxf

n

x

%%

% :rec.rela#"!a

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Por tanto5 la +recuencia relativa se puede

considerar como la probabilidad ue tiene el valor

xi de presentarse en la muestra total de tama6on.&ue!o5

( ) ( ) ====

=

n

i

iii

i xXPxxn

fxXP

%

Esta +orma de expresar la media de la muestra5

su!iere la de+inicin de Esperanza en el caso

discreto

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-i!ni+icado de la esperanza$

1.Como valor medio terico de todos los valores

ue puede tomar la variable. epresenta una

medida de centralizacin.

2. Como centro de !ravedad de los puntos ue

corresponden a los valores de la variable5asi!n)ndoles una cantidad de masa

proporcional a la +uncin de densidad en cada

punto.

.-i la v.a. es la !anancia o prdida en undeterminado 3ue!o al azar5 la esperanza

representa la !anancia por 3u!ada. 7n 3ue!o es

euitativo si su esperanza es cero.

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1.4a esperanza es l"neal' es dec"r6 cales"era sean

las !.a.Xe Y:

E [X+Y] = E [x] + E [Y]

E[aX+b] = a E [x] + b, a y b constantes

2. $" las !.a.Xe Y son "ndepend"en#es'

E [XY] = E [x] E [Y]3. 4a esperanza es# "nlenc"ada por los !alores

e#remos de la !ar"a%le de%"do a s "n#erpre#ac",n

como cen#ro de 9ra!edad de na masa l"neal.

Propiedades de la Esperanza

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. $" Y = g(X) es una variable obtenida a partir de X

mediante una funcin continua g, la esperanza de

la ne!a !ar"a%le Y, se obtiene utilizando la

frmula:

[ ] [ ]

( ) ( )

( ) ( )

== +

v.a.cessi

v.a.dessi

)(Xdxxfxg

Xxpxg

XgEYE

ii

i

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5. $" X e Y son dos !.a. con d"s#r"%c",n %"!ar"an#e

con#"na de .d.p. f(x,y), (x,y), es na nc",n

con#"na' la Esperanza ma#em#"ca de! = *(X, Y)

es:

[ ] [ ] ( ) ( ) +

+

== dy,,),( dxyxfyxhYXhEZE

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De+inicin de varianza

4a !ar"anza m"de la d"spers",n med"a de los !alores

de na !ar"a%le respec#o de s !alor med"o.

En el caso de na mes#ra de #ama;o n la d"spers",n

de n !alor respec#o de s cen#ro se pede med"r por

( )&

xxi la med"a ar"#m

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e"n"c",n6 $" X es na !.a. con esperanza "n"#a "#X$, se

llama Varianza de X' a la esperanza de la ne!a

!ar"a%le

)(6)7( && X!arXE xx ==

( )[ ] 5&XEXY =

spon"endo e e"s#e

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4a Desviacin t8pica o est)ndar de na !ar"a%le alea#or"aX'

es la ra+z cadrada pos"#"!a de la !ar"anza se de"ne como6

&&&&& 6)7(6767 XEXEXE xx ==

Propiedades

$ea X na !ar"a%le alea#or"a con med"a % !ar"anza >2.

En#onces6

!ar"X#!ar"X#Y#!ar"XYeXd

$X!ar$$X!arc

X!ar$X!arb

$$!ara

+=+==

==+

=

tienesev.a.i.,dosson8i)

)()()

)()()

constante9$)()

&&&

&

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/eorema$ $eaXna !ar"a%le alea#or"a g(X)na nc",n no ne9a#"!a

deXcon dom"n"o en R. En#onces6

$)6(7

))(( > $$

XgE$XgP '

/eorema$ (es"9aldad de *e%s*e!). $ea Xna !ar"a%le alea#or"a

con esperanza !ar"anza "n"#as' se !er""ca

$,)var())((&

> hh

XhXEXP

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Funciones de una Variable #leatoria

/eorema $ea X na !ar"a%le alea#or"a d"scre#a con recorr"do RX

nc",n de pro%a%"l"dades px(x). $ea Y=H(X)na #ransormac",n no a

no so%re X' con "n!ersa X=H-1(Y)en el recorr"do de Y, RY. En#onces la

nc",n de pro%a%"l"dad de Y, py(y)' es# dada por6Yx %yyHp '))(( %

YXY %y

dy

ydHyHfyf

=

'

)())(()(

%%

/eorema $ea X na !ar"a%le alea#or"a con#"na con nc",n de

dens"dad fx(x) $ea H(X) na nc",n mon,#ona' con#"na

d"erenc"a%le. $" Y=H(X), en#onces s nc",n de d"s#r"%c",n es# dada

por6

=

edecrec"en#ess"crec"en#eess"

)())((%)())(()(

%

%

XHtH&XHtH&t&

X

XY

la nc",n de dens"dad de Yes6

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E3emplo

$eaXna !ar"a%le alea#or"a con nc",n de d"s#r"%c",n FX(t) nc",n

de dens"dadfX

(t). $ea Y= abX' b@0' en#onces como Yes na nc",n

mon,#ona crec"en#e de la !ar"a%le X#enemos' de acerdo al #eorema

an#er"or' e la nc",n de d"s#r"%c",n acmlada la nc",n de

dens"dad de Yson respec#"!amen#e6

=

= bat

fbtfb

at

&t& XYXY

%

)()( 3

En es#e caso se #"ene de "nmed"a#o e la med"a la !ar"anza de Yes#n dadas por

men#erespec#"!a'3 &&&)()( XY bXbEaYE =+=

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E3emplo

ons"deremos la !ar"a%le alea#or"a X' ca nc",n de d"s#r"%c",n es#

dada por

%9)( ==

= ba

b

at&t& XZ 3donde

$%)( & >= tet& tX s"

4a orma es#ndar deXse de"ne por la #ransormac",nZ= (X- )/.e acerdo al ejemplo an#er"or' la nc",n de d"s#r"%c",n de A es#

dada por

Bs+'

$%

,%)( %

&

>+

=

+

tet&

t

Z s"

9

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9 Ceal"zando los clclos' #enemos e = 1/2 = 1/2' en#onces

%%)( )%( >= + tet& tZ s"

:"nalmen#e' comoZ= -/X/' en#onces

Bs+' la orma es#ndar de na !ar"a%le alea#or"a s"empre #endr med"a

cero !ar"anza n"#ar"a.

%)%()($)(&& ===+= Z!arZE 3

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E3emplo

$eaXna !ar"a%le alea#or"a con#"na con nc",n de d"s#r"%c",n FX(D)'

#al eFX

(t) = 0' para #odo t 0. $" Y=X1/2' en#onces

$)(&)( & >= ttfttf XY s"

$)()(& >= tt&t& XY s"

No#emos e' apar#e de ser X na !ar"a%le alea#or"a con#"na' ellade%e ser pos"#"!a' #al e s ra+z cadrada sea realF de lo con#rar"o el

resl#ado no es !l"do.

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E3emplo

ons"deremos la !ar"a%le alea#or"a X e #"ene nc",n de dens"dad

fX(x) = 2(1 7x)' 0 GxG 1' de#erm"nemos la nc",n de dens"dad Y = eX.

eyyyyfY

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E3emplo

$ea X na !ar"a%le alea#or"a con#"na con nc",n de dens"dad

f(x)=1/2' -1G x G1. e#erm"nemos la d"s#r"%c",n de la ne!a !ar"a%le

Y=X2.

r"mero no#emos e RX=(-1'1)' en#onces RY=H0'1). Bs+

"nmed"a#amen#e sa%emos e

>