2. La representacin de las matemticas

En el artculo se presentan algunas investigaciones del autor sobre la relacin existente entre el lenguaje y las matemticas. Gran parte de su trabajo se centra en el campo de las representaciones utilizadas en uno de los conceptos bsicos de las matemticas: los nmeros.

Dominamos el lenguaje de los smbolos y, por tanto, podemos referirnos a los smbolos de las matemticas, que se combinan entre s formando un lenguaje. Pero sta no es la parte ms profunda de las matemticas; si podemos manipularlas se debe a que disponemos de unos cimientos que lo facilitan: las representaciones no verbales.Qu son las matemticas? Quisiera establecer unas notas aportadas por algunos matemticos en relacin al concepto de las matemticas. Albert Einstein, por ejemplo, apunt la idea de que las matemticas no requieren, en algunos aspectos, creacin de lenguaje. Las palabras en el lenguaje, tanto escritas como habladas, no se refieren nicamente a un proceso de las entidades psicolgicas que se imponen ya que tambin podemos reproducir y recombinar el pensamiento y las imgenes. Los objetos de conceptos matemticos no se representan en palabras sino en un formato ms conceptual. De forma muy limitada, existe una representacin mental que va ms all de la palabra determinada. Estos puntos los subray el fsico francs Poincar, uno de los principales matemticos del siglo xix. Ha habido mucho proceso inconsciente en las matemticas y lo ms sorprendente es la aparicin de una repentina iluminacin, la manifestacin inconsciente y el papel que representan las matemticas, que es incontestable e irrefutable, afirmaba Poincar. A escala de las matemticas sencillas, tenemos acceso a una representacin mental del nmero, aunque se trate de accesos semnticos bastante inconscientes. En este trabajo me referir al sentido del nmero no verbal y al sentido de las cantidades que se representan en formato no verbal, e intentar demostrar que existe, en esta representacin, una relacin entre la parte derecha, izquierda e interparietal del cerebro, que son los cimientos de la intuicin numrica y que se presentan en un estadio muy temprano del desarrollo de la persona.

Divisin del cerebro

Una de las cuestiones que desarrollaremos en este artculo es la digresin sobre la consciencia y sobre cmo podemos tener acceso a representaciones de manera inconsciente. Adems, trataremos aspectos adicionales que se aaden al lenguaje de las matemticas. Comenzamos con la cantidad no verbal representativa. En este sentido, debemos sealar que el lenguaje complementa la representacin de una manera aproximada y recordar que estamos empezando a conocer algunas cosas sobre las interacciones de las representaciones verbales y no verbales de los nmeros en el cerebro. Tambin veremos cmo las lesiones cerebrales afectan a estas representaciones.En nuestros estudios hemos observado la comparacin con el nmero 65. Imaginemos que nos dan unos nmeros, que debern ser mayores o menores al que tomamos como referencia. Si hacemos este experimento durante un tiempo veremos que se produce una determinada condicin psicofsica. La reaccin que nos hace decidir por un determinado nmero responde a una funcin logartmica de la distancia entre los nmeros, ya que es ms fcil saber cundo el nmero est lejos, por ejemplo el 99, que cundo est cerca. Esto significa que si miramos los propios nmeros no hay nada en su forma que nos indique que estn lejos. Esta distancia paramtrica, que es la que impulsa la reaccin, no est presente en la forma superficial, sino que se reconstruye internamente en el cerebro del sujeto.Los argumentos que quisiera presentar aqu estn relacionados con la existencia de una conversin mental en esta rea del cerebro que, de manera natural, empieza en la retina, cuando se visualiza el nmero. Automticamente, se realiza una conversin mental de esta representacin cuantitativa. El sujeto identifica el nmero y es capaz entonces de saber si es superior o inferior a la cifra presentada como referencia, en este caso el 65.

Imagen en el cerebro

Algunos investigadores consideran que las imgenes cerebrales tratan de localizar procesos en el cerebro. Pero esto no es nicamente as. Lo que interesa es poder ver el tipo de representaciones que tenemos. Utilizamos las imgenes cerebrales para ver la representacin de formato y para ver lo que se est representando en una cifra binaria y no quedarnos slo en la forma.

Especializacin de las reas del cerebroExisten reas cerebrales en las que aumenta el flujo de manera proporcional a las distancias semnticas comentadas anteriormente. Podemos ver que en las zonas de los crculos intraparietales la activacin es bilateral. Estas regiones podran estar relacionadas con la representacin de la cantidad, que va asociada al nmero. La conducta muestra que los nmeros estn escritos en representacin arbiga, en cifras o en letras. Por ejemplo, cuando se realiza el cambio de representacin en letras, las palabras reaccionan ms lentamente en esta distancia semntica ya que son ms largas. Pero, independientemente de esta connotacin, existe una distancia semntica, y los nmeros que estn ms cerca son ms fciles de identificar, mientras que la identificacin de los nmeros ms lejanos resulta ms difcil. Este efecto adicional muestra que la operacin de la conversin funciona en ambos casos y que, al final, acaba con una representacin cuantitativa, que es independiente de si se representan smbolos en palabras o en letras. Si analizamos el experimento y las imgenes cerebrales, podemos ver en el cerebro aquellas reas en las que se refleja el efecto de la distancia semntica en los crculos intraparietales, el hemisferio izquierdo y el hemisferio derecho. As pues, creemos que no se trata slo del smbolo sino que va ms all. Se trata de las diferencias entre las cantidades, es decir, el significado que subyace a las cantidades.

Procesamiento del inconscienteCon los datos obtenidos hasta la fecha se confirma la idea de Einstein segn la cual tenemos unas representaciones no verbales en matemticas. Hemos analizado esto con estudios de tipo subliminal. Utilizamos una pantalla de ordenador con un flash que muestra una secuencia de nmeros y una serie de letras. Mostramos la serie de palabras y las representaciones de nmeros seguidas de una cadena de letras y otra cifra arbiga durante un perodo de tiempo muy breve (49 segundos). Tras repetir esta operacin ms de una vez, el sujeto debe adivinar si el nmero oculto es superior o inferior a 5. Aunque parece una comparacin muy sencilla, los sujetos no lograron adivinar el nmero porque no tenan suficiente informacin consciente.Una de las conclusiones a las que llegamos tras realizar esta operacin es que el nmero oculto se asocia al nmero de la palabra. Esto significa que el nmero se procesa inconscientemente y por eso se obtiene una respuesta determinada. Cuando aparece un nmero existe una reduccin en el tiempo de respuesta. Esto sugiere que los sujetos comparan el nmero oculto que no pueden ver con el nmero de referencia 5. Miramos de nuevo la imagen cerebral y vemos que es el crtex motriz el que se activa.Si analizamos la imagen cerebral y situamos los electrodos en la parte motriz derecha e izquierda del crtex, podremos recoger una seal sensible a la preparacin. Con esto, obtendremos un ndice en funcin del tiempo, que ser ms positivo a medida que el sujeto va preparando la respuesta con la parte derecha. Se trata de una cadena sorprendente que hace que la reaccin sea inconsciente y muy rpida. El estudio ha recibido algunas crticas, que consideran que puede existir una respuesta ms sencilla. Algunos investigadores afirman, adems, que es posible que no se pase por toda la cadena del proceso mental, sino que sencillamente se salte la cantidad y la comparacin. As, el formato del smbolo no es tan importante como el significado de la cantidad. Qu distingue el procesamiento consciente del inconsciente referido a los nmeros? En este tipo de comparacin tenemos un proceso mental del que no somos conscientes. El dgito est en la retina y lo identificamos en las reas temporales. A partir de aqu se desarrolla la representacin cuantitativa en el surco parietal, que pasa despus al crtex. Este proceso no tiene por qu ser consciente. En el estudio realizado con el doctor Lionel Naccache,1 llegamos a la conclusin de que se produce una activacin muy encapsulada. Los resultados del estudio indicaron que cuando se lleva a cabo un esfuerzo, la nica diferencia con el consciente es la amplificacin en el crtex parietal; aunque tambin observamos activacin adicional en el prefrontal izquierdo y derecho.La idea es que estas conexiones en las regiones prefrontales son elementos importantes y cruciales del esfuerzo consciente. El proceso consciente es posible si existen otros que se activan automticamente en forma de cadena y se pueden tener varias cadenas de procesadores activadas al mismo tiempo. La idea es que a este elevado nivel tenemos un grado de conectividad fuerte a larga distancia, lo que nos permite conectar procesos en la categorizacin conceptual, memoria a largo plazo, evaluacin y procesos afectivos. La activacin que llega a este nivel, donde hay movilizacin y comunicacin intensa entre diferentes reas, se corresponde con un estadio consciente.Los tres elementos claves de este modelo son, en primer lugar, la idea de modularidad, tarea que implica la existencia de varias relaciones de forma inconsciente. Este proceso se da cuando existe un conjunto de procesadores interconectados especializados, que pueden realizar cada una de las operaciones. Por ejemplo en la comparacin de nmeros, cuando se genera una cadena de operaciones con identificacin, cantidad, comparacin y programacin motora, que pueden realizar la tarea de forma inconsciente.La segunda hiptesis es la aparente no modularidad de la mente consciente. As, tenemos un sistema neuronal distribuido con actividad a larga distancia espacio de trabajo consciente que puede conectar mltiples procesos especializados de forma coordinada pero variable. Y el otro elemento clave es la amplificacin atencional y la movilizacin dinmica. En la medida que una informacin se hace consciente, si la poblacin neuronal correspondiente, en lugar de comunicarse en cadena lo hace a travs de una amplificacin atencional (de arriba abajo), es lo que se llama estado de la actividad coherente que sucede a nivel neuronal. Estos procesadores slo necesitan conexiones locales y no a largo plazo. Los mismos procesadores, por otra parte, deben tener un esquema de conectividad muy diferente al nivel ms alto; son neuronas que pertenecen al espacio de trabajo y tienen que ser capaces de relacionarse con otros vecinos, aunque no sean vecinos corticales. Es decir, tienen que tener una interconectividad a larga distancia.

Del acceso subliminal a la representacin de las palabras

El reconocimiento y la produccin de palabras habladas activan una pequea rea lateral izquierda. Esta rea est implicada en la identificacin visual y muestra el aspecto que tiene una letra, es decir, la representacin. Llegados a este punto se plantean dos cuestiones: podra ser que este proceso se activara de forma inconsciente? y se podra movilizar si activamos la atencin? La transicin de inconsciente a consciente se caracteriza por la amplificacin de la actividad, que debe incluir las reas frontales. Disponemos de una importante amplificacin y tambin de conexin en las reas distantes, que permiten que la informacin est disponible rpidamente en los sistemas que informan sobre la presencia de la palabra. En nuestro trabajo comparamos entre consciencia e inconsciencia y obtuvimos diferencias mnimas, pero siempre observamos una activacin focal que, en ocasiones, es intensa pero encapsulada en un encadenamiento de procesos que rompe la modularidad y que nos permite el acceso a la informacin.

La cantidad y su naturaleza

En relacin al nivel de especificidad de la representacin cuantitativa, sabemos que el lbulo parietal participa en muchas tareas, la mayora de las cuales influyen en el entorno en que nos movemos. Para estudiar el tema de la especificidad realizamos un trabajo con los mismos sujetos, y algunas de las cuestiones planteadas eran si podan llevar a cabo las mismas tareas numricas y no numricas y si haba alguna especificidad en el lbulo parietal. Los resultados ms significativos que obtuvimos mostraban una serie de activaciones en la pared parietal y en un rea que slo se activ durante el clculo y no durante las otras tareas. Es interesante destacar que existe superposicin entre clculo y lenguaje. Y tambin observamos que el sistema de reas en tareas de clculo y lenguaje tiene una subespecializacin; hay un componente muy especializado de alto nivel. Respecto a la naturaleza de la representacin numrica, nos planteamos si sta es innata o no. En este sentido nos encontramos con algo muy intrigante: todos activamos las mismas reas del cerebro. Estudios realizados en otros pases demuestran que la lesin en un rea conduce a la acalculia, situacin por la que, segn los neurlogos, el paciente no puede calcular. Pero algunos trabajos de mbito internacional demuestran que los pacientes no slo estn limitados en el clculo, sino tambin en la comparacin numrica o en la operacin.Existen casos de acalculia tambin en nios, que son incapaces de aprender las cifras en la escuela. En estos casos existe una anormalidad metablica en la regin izquierda y en la parietal que sugiere, incluso en la niez, que si el crtex izquierdo est desorganizado podemos perder el sentido numrico, lo que demuestra que se trata de una rea imprescindible. Podramos decir que esta rea ya est organizada o predeterminada en su estado inicial y nos permite adquirir la funcin aritmtica en el estado adulto. En algunos trabajos empleamos la tcnica de relacin de diferentes actividades en nios de cuatro aos, tcnica basada en la aplicacin de electrodos con amplificacin de la seal electrnica. As, se presentaban a los nios una serie de nmeros en imgenes para comprobar si el nio observaba cifras diferentes. Comprobamos que existen estmulos potenciales que diferencian unas cifras de otras. Algo similar se realiz en el caso de las palabras, pero en este caso con slabas, y observamos que el cerebro tambin responde a la novedad. Se trata de la evidencia ms fuerte en este sistema supramodal abstracto. Averiguamos que hay una respuesta precoz en la que existe divergencia en la regin frontal, es decir, el sistema auditivo espera un tono determinado que no le llega. En todos estos casos hay una respuesta de novedad a la cifra que se presenta como nueva, por lo que tenemos una activacin en forma de negatividad a la izquierda y derecha en la regin parietal. Cuando estudiamos estos potenciales de registro en los adultos, cuyas regiones son parecidas a las de los nios, observamos que hay negatividad en las regiones occipitoparietal derecha o izquierda. En todos estos casos tenemos una respuesta de novedad a la cifra que cambia, es decir, tenemos una activacin en forma de negatividad a la derecha e izquierda de la regin parietal. Se trata de un sistema abstracto crossmodal que se preocupa no por la especificidad de los parmetros presentados sino por el hecho de que sea una actividad igual o diferente.

La funcin del lenguaje y los smbolos numricos

Hemos intentado describir qu sucede cuando aprendemos los smbolos a partir de una representacin cuantitativa. Quisiera argumentar que esta representacin no verbal es bastante imprecisa. Lo que en realidad se estn representando son unas cifras aproximadas. Podemos distinguir 1 frente a 2, 2 frente a 3, pero quizs no 3 frente a 4, o 4 frente a 5. En estos casos, lo que podemos hacer es una distincin aproximada de 4 frente a 8 o de 8 frente a 16. Utilizando estas representaciones obtenemos un clculo eficaz a travs del almacenamiento de los hechos exactos que se basan en el lenguaje. ste es un aspecto que el lenguaje aporta a los clculos aritmticos, lo que denominamos modelo de triple codificacin del procesado de nmeros. Esta representacin cuantitativa, que todos poseemos, tiene acceso a dos representaciones de un nmero: la forma verbal o el cdigo verbal, basado en el rea del lenguaje, y el cdigo del formato visual o la palabra escrita. En cualquiera de los casos tenemos un constante ir y venir en el cerebro del adulto entre la magnitud de palabras y de formas visuales de estos smbolos / cifras. Utilizamos diferentes cdigos para las diferentes funciones y, en particular, usamos la representacin de la magnitud cuando tenemos que comparar dos cifras y decidir cul es la que ms se aproxima o se aleja. Es decir, lo que hacemos es una aproximacin. La argumentacin es que empleamos el cdigo verbal en situaciones en las que tenemos que hacer clculos exactos y, especialmente, cuando utilizamos tablas aritmticas, por ejemplo cuando sabemos que 9 x 3 es igual a 27. Para llegar aqu hemos realizado un contraste sencillo entre clculo exacto y experimental. Por ejemplo, en el caso de la suma de 4 + 5 nos ofrecen la opcin entre 9 o el 7. ste es un modelo de clculo exacto porque el elemento de distraccin es el nmero 7, bastante prximo al 9. Con la misma operacin, pero en la opcin de 8 y 3, se rechaza de forma inmediata el 3 porque est lejos de la realidad. Esto demuestra que es suficiente crear una situacin de aproximacin en la que se hace un clculo en base al sentido de la cantidad. En algunos de nuestros trabajos de investigacin, cuando visualizamos esta tarea en el escner, vemos que se activan circuitos muy diferentes en los casos de aproximacin y de clculo exacto.Los flujos interparietales en la parte intermedia se activan mucho ms cuando los sujetos hacen un clculo aproximado, cuantitativo. En la misma zona, y solapndose, se genera una activacin al clculo exacto, que se activa conjuntamente con el clculo y el lenguaje. sta es un rea en la que se supone un acceso a un cdigo lingstico, que es muy til para el clculo exacto pero no para el aproximado. nicamente existen dos tipos diferentes de clculo que activan diferentes respuestas. Los dos circuitos colaboran, actan a la vez, por lo que podemos afirmar que no se trata de circuitos disociados. Es de suponer que la mayora del tiempo, cuando se piensa en nmeros, los dos sistemas estn coactivados. La idea es la colaboracin del sistema verbal con el sistema semntico y en algunos de nuestros estudios se demuestra que en clculos de cifras superiores, el sistema cuantitativo est presente y se activa en paralelo con el sistema del lenguaje.

Lesiones cerebrales Hemos realizado pruebas de clculo en un paciente con una lesin cerebral al que le enseamos la operacin de restar 4 2 en cifras. Le pedimos que nos leyera el problema matemtico y que nos diera la solucin. Tena problemas para leer los nmeros (ley 4 3), pens la solucin y dijo 2. Le mostramos la resta 8 7, que ley como 6 4, pero nos dio como respuesta el 1. Le mostramos otras restas de la misma naturaleza, ya que el patrn de la lectura es muy importante, y repeta el mismo error de forma reiterada. Esta operacin nos demuestra que el paciente no tiene acceso a las etiquetas y palabras del problema pero, en cambio, s tiene acceso a la solucin, que incluso puede expresar en letras.Su lesin clsica es la alexia, que incapacita para leer palabras o cifras de dos dgitos. El sistema verbal funciona bien pero hay una destruccin en el acceso. El paciente no dispone del sistema que le permite identificar las palabras, por lo que no puede llegar a leerlas. Pero con las cifras vemos que es el hemisferio derecho el que las identifica y en este tipo de lesin no puede leer las cifras pero identifica la representacin cuantitativa en el hemisferio derecho y la transmite al otro hemisferio. Este hecho no ocurre cuando se realizan otras operaciones matemticas como restas o multiplicaciones.

Conclusin

Disponemos de estos sistemas en el cerebro y no somos conscientes de la interaccin que existe entre los tres cdigos o partes. nicamente somos conscientes de las disociaciones cuando existe una lesin que altera todo el sistema y por la que el flujo de informacin se ve modificado. La conclusin a la que quisiera llegar con estos casos experimentales es que el sistema de matemticas es una especie de patchwork en el que existe una interaccin en el cerebro que complementa unos aspectos con otros. Sera imposible para un animal sin lenguaje llegar a este tipo de conclusin. Una operacin de multiplicacin es posible porque tenemos smbolos para acceder a unos significados precisos de cantidades. Entre algunas reflexiones finales me gustara anotar que los cimientos de las matemticas se basan en el anlisis final en base a unas intuiciones de espacio, tiempo y nmero. Si miramos, como haremos en el futuro, cules son los conceptos de espacio y tiempo, veremos que hay una organizacin similar con representaciones no verbales que dan apoyo a estos cimientos matemticos. Todo esto se sigue en unos circuitos cerebrales muy especializados que se hallan en estadios prematuros del ser humano. El lenguaje complementa estos circuitos no verbales, que permite referirnos a unos conceptos precisos, discretos. Es lo que hacemos cuando generamos una manipulacin de conceptos matemticos. Y, por ltimo, destacar que el nfasis en la base cerebral de las matemticas no implica una forma ingenua de reduccin, sino que las capacidades del adulto y todo lo que se refiere a la activacin cerebral es el resultado tanto de una arquitectura innata como de una educacin. No se trata de oponer el cerebro a la educacin, lo que estamos viendo es el resultado de ambas limitaciones arquitecturales. El resultado de la educacin permite una conexin entre ambas representaciones. En este sentido, no creo que tengamos que actuar de forma pasiva cuando vemos este tipo de problemas. Algunos investigadores creen que al hablar del cerebro estamos hablando de una biologa rgida que nos limita a los adultos, pero los lmites del cerebro no estn claros. Hay mucha plasticidad en el cerebro y queda la esperanza de que, con una mejor comprensin del desarrollo neurolgico, podamos desarrollar mejoras estratgicas de rehabilitacin para estas lesiones. Si entendemos los pasos y conexiones podremos alcanzar otros pasos y conexiones que compensen estas disfunciones.

3.) TEORA MATEMTICA DE LA COMUNICACIN: prxima clase leerlo y ejemplificarlo y estudiar el fascculo solo de matemtica.

La teora de la informacin, tambin conocida como teora matemtica de la comunicacin o teora matemtica de la informacin, es una propuesta terica presentada por Claude E. Shannon y Warren Weaver a finales de la dcada de los aos 1940. Esta teora est relacionada con las leyes matemticas que rigen la transmisin y el procesamiento de la informacin y se ocupa de la medicin de la informacin y de la representacin de la misma, as como tambin de la capacidad de los sistemas de comunicacin para transmitir y procesar informacin.[1] La teora de la informacin es una rama de la teora matemtica y de las ciencias de la computacin que estudia la informacin y todo lo relacionado con ella: canales, compresin de datos y criptografa, entre otros.Desarrollo de la teora El modelo propuesto por Shannon es un sistema general de la comunicacin que parte de una fuente de informacin desde la cual, a travs de un transmisor, se emite una seal, la cual viaja por un canal, pero a lo largo de su viaje puede ser interferida por algn ruido. La seal sale del canal, llega a un receptor que decodifica la informacin convirtindola posteriormente en mensaje que pasa a un destinatario. Con el modelo de la teora de la informacin se trata de llegar a determinar la forma ms econmica, rpida y segura de codificar un mensaje, sin que la presencia de algn ruido complique su transmisin. Para esto, el destinatario debe comprender la seal correctamente; el problema es que aunque exista un mismo cdigo de por medio, esto no significa que el destinatario va a captar el significado que el emisor le quiso dar al mensaje. La codificacin puede referirse tanto a la transformacin de voz o imagen en seales elctricas o electromagnticas, como al cifrado de mensajes para asegurar su privacidad. Un concepto fundamental en la teora de la informacin es que la cantidad de informacin contenida en un mensaje es un valor matemtico bien definido y medible. El trmino cantidad no se refiere a la cuanta de datos, sino a la probabilidad de que un mensaje, dentro de un conjunto de mensajes posibles, sea recibido. En lo que se refiere a la cantidad de informacin, el valor ms alto se le asigna al mensaje que menos probabilidades tiene de ser recibido. Si se sabe con certeza que un mensaje va a ser recibido, su cantidad de informacin es cero.[3]FinalidadOtro aspecto importante dentro de esta teora es la resistencia a la distorsin que provoca el ruido, la facilidad de codificacin y descodificacin, as como la velocidad de transmisin. Es por esto que se dice que el mensaje tiene muchos sentidos, y el destinatario extrae el sentido que debe atribuirle al mensaje, siempre y cuando haya un mismo cdigo en comn. La teora de la informacin tiene ciertas limitaciones, como lo es la acepcin del concepto del cdigo. El significado que se quiere transmitir no cuenta tanto como el nmero de alternativas necesario para definir el hecho sin ambigedad. Si la seleccin del mensaje se plantea nicamente entre dos alternativas diferentes, la teora de Shannon postula arbitrariamente que el valor de la informacin es uno. Esta unidad de informacin recibe el nombre de bit. Para que el valor de la informacin sea un bit, todas las alternativas deben ser igual de probables y estar disponibles. Es importante saber si la fuente de informacin tiene el mismo grado de libertad para elegir cualquier posibilidad o si se halla bajo alguna influencia que la induce a una cierta eleccin. La cantidad de informacin crece cuando todas las alternativas son igual de probables o cuanto mayor sea el nmero de alternativas. Pero en la prctica comunicativa real no todas las alternativas son igualmente probables, lo cual constituye un tipo de proceso estocstico denominado Markoff. El subtipo de Markoff dice que la cadena de smbolos est configurada de manera que cualquier secuencia de esa cadena es representativa de toda la cadena completa.Teora aplicada a la tecnologaLa Teora de la Informacin se encuentra an hoy en da en relacin con una de las tecnologas en boga, Internet. Desde el punto de vista social, Internet representa unos significativos beneficios potenciales, ya que ofrece oportunidades sin precedentes para dar poder a los individuos y conectarlos con fuentes cada vez ms ricas de informacin digital. Internet fue creado a partir de un proyecto del departamento de defensa de los Estados Unidos llamado DARPANET (Defense Advanced Research Project Network) iniciado en 1969 y cuyo propsito principal era la investigacin y desarrollo de protocolos de comunicacin para redes de rea amplia para ligar redes de transmisin de paquetes de diferentes tipos capaces de resistir las condiciones de operacin ms difciles, y continuar funcionando an con la prdida de una parte de la red (por ejemplo en caso de guerra). Estas investigaciones dieron como resultado el protocolo TCP/IP (Transmission Control Protocol/Internet Protocol), un sistema de comunicaciones muy slido y robusto bajo el cual se integran todas las redes que conforman lo que se conoce actualmente como Internet. El enorme crecimiento de Internet se debe en parte a que es una red basada en fondos gubernamentales de cada pas que forma parte de Internet, lo que proporciona un servicio prcticamente gratuito. A principios de 1994 comenz a darse un crecimiento explosivo de las compaas con propsitos comerciales en Internet, dando as origen a una nueva etapa en el desarrollo de la red. Descrito a grandes rasgos, TCP/IP mete en paquetes la informacin que se quiere enviar y la saca de los paquetes para utilizarla cuando se recibe. Estos paquetes pueden compararse con sobres de correo; TCP/IP guarda la informacin, cierra el sobre y en la parte exterior pone la direccin a la cual va dirigida y la direccin de quien la enva. Mediante este sistema, los paquetes viajan a travs de la red hasta que llegan al destino deseado; una vez ah, la computadora de destino quita el sobre y procesa la informacin; en caso de ser necesario enva una respuesta a la computadora de origen usando el mismo procedimiento. Cada mquina que est conectada a Internet tiene una direccin nica; esto hace que la informacin que se enva no equivoque el destino. Existen dos formas de dar direcciones, con letras o con nmeros. Realmente, las computadoras utilizan las direcciones numricas para mandar paquetes de informacin, pero las direcciones con letras fueron implementadas para facilitar su manejo a los seres humanos. Una direccin con letras consta de dos a cuatro partes. Una direccin numrica est compuesta por cuatro partes. Cada una de estas partes est dividida por puntos.Ejemplo: sedet.com.mx 107.248.185.1Una de las aplicaciones de la teora de la informacin son los archivos ZIP, documentos que se comprimen para su transmisin a travs de correo electrnico o como parte de los procedimientos de almacenamiento de datos. La compresin de los datos hace posible completar la transmisin en menos tiempo. En el extremo receptor, un software se utiliza para la liberacin o descompresin del archivo, restaurando los documentos contenidos en el archivo ZIP a su formato original. La teora de la informacin tambin entra en uso con otros tipos de archivo; por ejemplo, los archivos de audio y vdeo que se reproducen en un reproductor de MP3 se comprimen para una fcil descarga y almacenamiento en el dispositivo. Cuando se accede a los archivos se amplan para que estn inmediatamente disponibles para su uso.[4]FuenteUna fuente es todo aquello que emite mensajes. Por ejemplo, una fuente puede ser una computadora y mensajes sus archivos; una fuente puede ser un dispositivo de transmisin de datos y mensajes los datos enviados, etc. Una fuente es en s misma un conjunto finito de mensajes: todos los posibles mensajes que puede emitir dicha fuente. En compresin de datos se tomar como fuente el archivo a comprimir y como mensajes los caracteres que conforman dicho archivo.Tipos de fuentePor la naturaleza generativa de sus mensajes, una fuente puede ser aleatoria o determinista. Por la relacin entre los mensajes emitidos, una fuente puede ser estructurada o no estructurada (o catica).Existen varios tipos de fuente. Para la teora de la informacin interesan las fuentes aleatorias y estructuradas. Una fuente es aleatoria cuando no es posible predecir cul es el prximo mensaje a emitir por la misma. Una fuente es estructurada cuando posee un cierto nivel de redundancia; una fuente no estructurada o de informacin pura es aquella en que todos los mensajes son absolutamente aleatorios sin relacin alguna ni sentido aparente. Este tipo de fuente emite mensajes que no se pueden comprimir; un mensaje, para poder ser comprimido, debe poseer un cierto grado de redundancia; la informacin pura no puede ser comprimida sin que haya una prdida de conocimiento sobre el mensaje.[5]MensajeUn mensaje es un conjunto de ceros y unos. Un archivo, un paquete de datos que viaja por una red y cualquier cosa que tenga una representacin binaria puede considerarse un mensaje. El concepto de mensaje se aplica tambin a alfabetos de ms de dos smbolos, pero debido a que tratamos con informacin digital nos referiremos casi siempre a mensajes binarios.

CdigoUn cdigo es un conjunto de unos y ceros que se usan para representar un cierto mensaje de acuerdo a reglas o convenciones preestablecidas. Por ejemplo, al mensaje 0010 lo podemos representar con el cdigo 1101 usando para codificar la funcin (NOT). La forma en la cual codificamos es arbitraria. Un mensaje puede, en algunos casos, representarse con un cdigo de menor longitud que el mensaje original. Supongamos que a cualquier mensaje S lo codificamos usando un cierto algoritmo de forma tal que cada S es codificado en L(S) bits; definimos entonces la informacin contenida en el mensaje S como la cantidad mnima de bits necesarios para codificar un mensaje.InformacinLa informacin contenida en un mensaje es proporcional a la cantidad de bits que se requieren como mnimo para representar al mensaje. El concepto de informacin puede entenderse ms fcilmente si consideramos un ejemplo. Supongamos que estamos leyendo un mensaje y hemos ledo "cadena de c"; la probabilidad de que el mensaje contine con "aracteres" es muy alta. As, cuando efectivamente recibimos a continuacin "aracteres" la cantidad de informacin que nos lleg es muy baja pues estbamos en condiciones de predecir qu era lo que iba a ocurrir. La ocurrencia de mensajes de alta probabilidad de aparicin aporta menos informacin que la ocurrencia de mensajes menos probables. Si luego de "cadena de c" leemos "himichurri" la cantidad de informacin que estamos recibiendo es mucho mayor.4.) ESTRATEGIAS ELABORADOSPensamiento MatemticoLa inteligencia lgico matemtica, tiene que ver con la habilidad de trabajar y pensar en trminos de nmeros y la capacidad de emplear el razonamiento lgico.Pero este tipo de inteligencia va mucho ms all de las capacidades numricas, nos aporta importantes beneficios como la capacidad de entender conceptos y establecer relaciones basadas en la lgica de forma esquemtica y tcnica. Implica la capacidad de utilizar de manera casi natural el clculo, las cuantificaciones, proposiciones o hiptesis. Todos nacemos con la capacidad de desarrollar este tipo de inteligencia. Las diferentes capacidades en este sentido van a depender de la estimulacin recibida. Es importante saber que estas capacidades se pueden y deben entrenar, con una estimulacin adecuada se consiguen importantes logros y beneficios.Por qu es importante desarrollar el pensamiento matemtico?El pensamiento lgico matemtico incluye clculos matemticos, pensamiento numrico, solucionar problemas, para comprender conceptos abstractos, razonamiento y comprensin de relaciones. Todas estas habilidades van mucho ms all de las matemticas entendidas como tales, los beneficios de este tipo de pensamiento contribuyen a un desarrollo sano en muchos aspectos y consecucin de las metas y logros personales, y con ello al xito personal. La inteligencia lgico matemtica contribuye a: Desarrollo del pensamiento y de la inteligencia. Capacidad de solucionar problemas en diferentes mbitos de la vida, formulando hiptesis y estableciendo predicciones. Fomenta la capacidad de razonar, sobre las metas y la forma de planificar para conseguirlo. Permite establecer relaciones entre diferentes conceptos y llegar a una comprensin ms profunda. Proporciona orden y sentido a las acciones y/o decisiones.10 Estrategias para estimular el desarrollo del pensamiento matemtico.La estimulacin adecuada desde una edad temprana favorecer el desarrollo fcil y sin esfuerzo de la inteligencia lgico matemtica y permitir al nio/a introducir estas habilidades en su vida cotidiana. Esta estimulacin debe ser acorde a la edad y caractersticas de los pequeos, respetando su propio ritmo, debe ser divertida, significativa y dotada de refuerzos que la hagan agradable.1. Permite a los nios y nias manipular y experimentar con diferentes objetos. Deja que se den cuenta de las cualidades de los mismos, sus diferencias y semejanzas; de esta forma estarn estableciendo relaciones y razonando sin darse cuenta.2. Emplea actividades para identificar, comparar, clasificar, seriar diferentes objetos de acuerdo con sus caractersticas.3. Mustrales los efectos sobre las cosas en situaciones cotidianas. Por ejemplo, como al calentar el agua se produce un efecto y se crea vapor porque el agua transforma su estado.4. Genera ambientes adecuados para la concentracin y la observacin. 5. Utiliza diferentes juegos que contribuyan al desarrollo de este pensamiento, como sudokus, domino, juegos de cartas, adivinanzas, etc.6. Plantales problemas que les supongan un reto o un esfuerzo mental. Han de motivarse con el reto, pero esta dificultad debe estar adecuada a su edad y capacidades, si es demasiado alto, se desmotivarn y puede verse daado su auto concepto.7. Haz que reflexionen sobre las cosas y que poco a poco vayan racionalizndolas. Para ello puedes buscar eventos inexplicables y jugar a buscar una explicacin lgica.8. Deja que manipule y emplee cantidades, en situaciones de utilidad. Puedes hacerles pensar en los precios, jugar a adivinar cuantos lpices habr en un estuche, etc.9. Deja que ellos solos se enfrenten a los problemas matemticos. Puedes darles una pista o gua, pero deben ser ellos mismos los que elaboren el razonamiento que les lleve a la solucin.10. Animales a imaginar posibilidades y establecer hiptesis. Hazles preguntas del tipo Qu pasara si.?

Estrategias efectivas para ensear matemticas en primaria

Las matemticas pueden ser un tema difcil de comprender para los escolares de primaria. La naturaleza abstracta del concepto suele hacerlo difcil de explicar a los jvenes estudiantes. Las matemticas en la enseanza primaria son mucho ms fciles con la ayuda de una variedad de herramientas que ayudan a concretar los conceptos matemticos y a demostrar a los estudiantes cmo utilizarn las matemticas en su vida cotidiana.

Rectas numricasUna recta numrica es una herramienta de enseanza matemtica simple, asequible e increblemente valiosa. Cuando los estudiantes comienzan a aprender matemticas, desarrollan el sentido numrico. El sentido numrico es la comprensin de cules son los nmeros y cmo se relacionan entre s. Un estudiante que sabe que seis es un nmero mayor que cuatro tiene un concepto bsico del sentido numrico. Las rectas numricas proporcionan a los estudiantes una representacin concreta del sistema numrico. Cuando los estudiantes empiezan a contar o a aprender las operaciones bsicas de suma y resta por primera vez, las lneas de nmeros pueden ayudarles a comparar los valores de los nmeros, as como a recordar el orden de los dgitos.Tablas de multipicarAl desarrollar habilidades tempranas de matemticas, los estudiantes deben aprender los hechos bsicos de la multiplicacin de memoria. Las tablas de multiplicar han sido una herramienta de repliegue durante aos, pero siguen siendo valiosas. Al practicar las tablas con los estudiantes, los maestros pueden asegurar que sus estudiantes pueden recuperar rpidamente los hechos bsicos de la multiplicacin necesarios cuando pasen a conceptos matemticos ms avanzados en grados superiores.Material concretoLos materiales concretos son herramientas prcticas que ayudan a los estudiantes a descubrir problemas matemticos simples o complejos. Los profesores suelen utilizar bloques de plstico o de madera con colores brillantes como materiales, pero se puede utilizar cualquier objeto concreto, incluyendo frutas de plstico pequeas, pequeos trozos de caramelo o palillos de dientes. Cuando los estudiantes ven por primera vez un problema de suma, el concepto les resulta extrao. Puede ser difcil para ellos visualizar una situacin en la que se agregue una cantidad a otra. A travs de la ayuda de material concreto, los maestros pueden demostrar cmo funciona el concepto. Si un estudiante est tratando de determinar qu es dos ms dos, fcilmente puede resolver el problema tomando dos manipuladores y luego tomar dos ms. Entonces todo lo que tiene que hacer es contar para determinar la suma de los nmeros.Problemas de historiaLos problemas de historia permiten a los estudiantes ver cmo se utilizan los conceptos matemticos en clase en la vida real. Aprender a sumar, restar, multiplicar y dividir es slo la mitad de la batalla. Las habilidades son casi intiles si los estudiantes no pueden aplicarlas a situaciones reales. Al integrar problemas de historia en las lecciones diarias, los profesores efectivamente pueden asegurar que sus estudiantes aprendan a utilizar las matemticas en la vida cotidiana. Adems, los problemas de historia ayudan a los estudiantes a comprender la importancia de las matemticas. Por medio de los problemas de historia, los estudiantes pueden empezar a ver que los conceptos que estn aprendiendo no slo son tiles en la escuela, sino que tambin tienen un valor inherente debido a aplicaciones del mundo real.