TRABAJOA.-

N 1.

CONJUNTOS, PROPOSICIONES Y TEORIA DEL NMERO REAL

1. S A es un conjunto con 8m elementos, B uno con 5m elementos y tienen (2m -1) elementos en comn; adems se conoce que n(AB)n(BA)=12 determinar el nmero de subconjuntos propios que tiene solo A o solo B. 2. De 120 personas de cierta Universidad se obtuvo la siguiente informacin: 72 alumnos estudian el curso A; 64 alumnos estudian el curso B; 36 alumnos estudian el curso C; 12 alumnos estudian los tres cursos. Se pregunta: Cuntos alumnos estudian exclusivamente dos cursos? 3. Determine los elementos de los conjuntos A, B y C si se conoce que: ; C A = {a, h, b, i} A B = {a, b, c, d, e, f, h, i, j, k, l} A B = {b, d, i} C = {f, k, d, e, j, m, g} ; A [ ( C A) B] = {a, b, d, h, i, k,f, g, m, j} ; U = {a, b, c, d, e, f, m, n} B C = {b, c, i, l} 4. Demostrar aplicando las leyes del algebra de conjuntos que: (AUBUC) U [(B C) A] = [( B U C) - (C UB) ] A 5. Si ( p q ); ( t v s ) son tautologas; ( p q) es falsedad, determinar la tabla de valores de verdad de: { ( t p)vs} ( q) 6. Si P(x): 4 x 9 , x entero; Q(x) : 2 x 7; S(x): 6 x8 U = {x/0x10, x elemento de los nmeros reales} Encontrar el conjunto verdad de: {[P(x) S(x) ] Q(x)} 7. Demostrar aplicando las leyes de las proposiciones que: (t p) (s t ) es lgicamente equivalente a: t v ( p v s ) 8. Indicar que propiedades de los Nmeros Reales no cumplen los Nmeros: 1.- Enteros 2.- Racionales 3.- Irracionales. 9. Que condiciones debe cumplir los conjuntos P, Q para que la proposicin: Para todo x [P(x) Q(x) ] sea verdadera. (Dar una explicacin completa para justificar su respuesta) 10. Se hace una encuesta entre 24 personas sobre los barrios ( A, B, C, D) en que ms les gustara vivir, y se encontr que ninguna persona dijo que les gustara vivir en cualquiera de tres barrios, el nmero de personas que les gustara vivir en C y D es igual al de personas que les gustara slo en C y es el mismo que el de personas que les gustara en A y B, y es igual a la mitad de los que les gustara vivir slo en B: 7 personas viviran en A; 20 personas

viviran en A o C o D; todas las personas encuestadas eligieron al menos un Barrio. 13 personas eligieron vivir en B o C. Determine: a. A cuntas personas les gusta vivir en el barrio C. b. A cuntas personas les gusta vivir en slo un barrio. 11. Demostrar: A B C=(

B) (

) (

) ((

B)

))

12. Escriba con smbolos, niegue y determine el valor de verdad en ambos casos. a. Todo nmero real, tiene un nmero menor. b. La suma de dos nmeros enteros nos da otro nmero entero. c. Si trabajo, entonces soy feliz. d. 4.- 42 = 16 es equivalente a 3 5 = 15 e. 5.- Si x2 es par, entonces x es par. f. Todas las ventanas estn abiertas o tengo demasiado calor. 13. Una seora examina sus aves de corral y obtiene la siguiente informacin: Tiene 9 gallos gordos de color rojizo. Tiene 2 gallinas gordas de color rojizo. Tiene 26 gallos gordos. Tiene 37 aves gordas. Tiene 18 gallos flacos de color caf. Tiene 6 gallos flacos de color rojizo. Tiene 5 gallinas flacas de color rojizo. Tiene 7 gallinas flacas de color caf. Sin embargo desea saber:

a. b. c. d. e. f.

Cuntas Cuntas Cuntas Cuntas Cuntas Cuntas

aves aves aves aves aves aves

son son son son son son

gordas? machos? rojizas? gordas pero no machos? de color caf pero no gordas? rojizas y gordas?

14. Una encuesta de 130 televidentes revel la informacin siguiente: 52 ven ftbol. 21 ven tenis y golf. 56 ven baloncesto. 3 ven ftbol, baloncesto y tenis. 62 ven tenis. 60 ven golf. 15 ven ftbol, baloncesto y golf. 10 ven baloncesto, tenis y golf. 21 ven ftbol y baloncesto. 10 ven ftbol, tenis y golf. 19 ven ftbol y tenis. 3 ven los cuatro deportes. 22 ven baloncesto y tenis. 27 ven ftbol y golf. 30 ven baloncesto y golf. 5 no ven ninguno de estos deportes. Utilizando un diagrama de Venn, conteste las siguientes preguntas:

a. Cuntos de estos televidentes ven ftbol, baloncesto y tenis, pero nogolf? b. Cuntos de estos televidentes ven exactamente uno de los cuatro deportes?

c. Cuntos de estos televidentes ven exactamente dos de los cuatrodeportes? 15. En una escuela de 1210 estudiantes, 600 son seoritas. Hay 160 estudiantes en sexto, 60 de los cuales son seoritas. Hay 270 estudiantes en quinto, 130 de los cuales son muchachos. Hay 370 estudiantes en cuarto, y un nmero igual de muchachos y muchachas en tercero. En cuarto: El nmero de seoritas que excede al de muchachos no estudian ninguna materia de las que se indican en seguida. Todos los muchachos estudian. Ocho seoritas estudian matemticas y geografa, pero ningn muchacho estudia geografa; as como ninguna estudia francs. 142 estudiantes ven matemticas, 134 geografa, 92 francs. a. Cuntas seoritas hay en cuarto curso? b. Cuntos estudiantes hay en tercero? c. Cuntos estudiantes ven, matemticas y francs? d. Cuntas muchachas estudian nicamente matemticas? 16. Se sabe que p q y q t son falsas. Determinar el valor de verdad de los esquemas proposicionales siguientes:

a. (~ p t ) ~ q b. ~ [ p (~ q ~ p ) ] c. [ ( pq ) ~ ( q t ) ] [~ p ( q ~ t ) ]

17. Dados P(x) : x ( x - 4 ) (x - 9 ) = 0 Q(x) : 0 x 7 R(x) : 5 x 10 y x 15 , x I } ; U = { x / -3 Determinar:

a. El conjunto de verdad de: [R(x) Q(x)] P(x) b. El conjunto de verdad de: [R(x) Q(x)] P(x)c. El cuantificador que transforma a : [P(x) R(x)] Q(x) en una proposicin falsa. 18. Sea A un conjunto tal que su cardinalidad es (3p+9), B es un conjunto con cardinalidad (2q+3); y los dos tienen elementos en comn la cantidad (p+q-4). Cuntos elementos tiene A B? 19. En el Instituto de Idiomas de la Universidad, luego de una encuesta se obtuvieron los siguientes resultados: El nmero de personas que estudian ingls es 60, alemn 48 y francs 28. El nmero de personas que estudian slo francs es 1/3 de los que estudian slo ingls y de los que estudian slo alemn. El nmero de personas que estudian los tres idiomas es de los que slo estudian ingls y francs. El nmero de personas que slo estudian alemn y francs es 1/3 de los que slo estudian ingls y alemn. Hallar: a. Cuntas personas estudian un solo idioma? b. Cuntas personas estudian slo dos idiomas? 20. Una encuestadora sobre preferencias de los diarios El Mercurio, El Tiempo y La Tarde; obtuvo la siguiente informacin:

El 42% leen El Mercurio, el 34% leen El Tiempo; El 28% leen La Tarde, el 17% leen El Mercurio y El Tiempo; El 15% leen El Mercurio y La Tarde, El 8% leen El Tiempo y La Tarde y el 66% leen al menos uno de los tres diarios. Determinar: a. Qu porcentaje leen un solo diario? b. Qu porcentaje leen exactamente dos de los diarios? c. Qu porcentaje no leen ninguno de los tres diarios? 21. Si la proposicin [(p q) q] p es una tautologa; entonces determine el valor de verdad de: [p (r q)] [(q p) ( r p)] 22. Negar cada una de las siguientes proposiciones: a. ( x )( y )[ P(x) [ q(y) r(x) ]]

b. ( x )( y )( z )[ P(x, y) [ q(x) r(z) ]] c. ( x )( y )( z )[ P(x) [ q(y) r(x) ]]23. Si la proposicin: No es cierto que estudiemos y no aprobemos, es verdadera, entonces podemos afirmar: a. Aprobamos y no estudiamos. b. Estudiamos y aprobamos. c. Estudiamos o no aprobamos. d. Aprobamos o no estudiamos. e. Estudiamos y aprobamos. 24. La proposicin: Si no tomamos en serio las cosas tendrs problemas para ingresar o no sers profesional, es falsa. Qu valor de verdad asume la proposicin: No tienes problemas para ingresar? 25. Dadas las proposiciones: p: Juan aprueba sus cursos. q: Juan va a la fiesta. r: Juan estudia para su examen. Simbolizar y obtener una proposicin equivalente ms simple (si es posible) un que: Si Juan va a la fiesta entonces no estudiar para su examen, pero no es el caso que vaya a la fiesta y aprueba sus cursos. De ah que Juan estudia para su examen 26. Demostrar que para todo entero n1, 5n1+4n 27. Demostrar que para todo entero n -2: 2n3+9n2+13n +7 > 0 28. Demostrar que x2n y2n es divisible por (x +y ), para n entero mayor o igual que 1; x - y 29. Demostrar que para todo entero n1 se cumple que: 2 + 5 + 8 + 11 + . + (3n 1) = n(3n+1)/2 30. Probar que para todo entero n1 se cumple: a + ar + ar + ar + + ar n = a(1-r n +1 )/(1-r), r 1

B.-

NUMEROS COMPLEJOS, POLINOMIOS Y ECUACIONES

1. El producto de dos nmeros complejos es igual a 2+2i, y si el primer nmero complejo es la mitad del segundo nmero; encontrar el segundo. 2. Determinar el cociente Q (x) de dividir P (x) de tercer grado cuyo primer coeficiente es -12 por (2x 3), el residuo de esta divisin es -5. Se sabe que el cociente es de la forma Ax2 + Bx 4 y que se divide exactamente por (3x 2) 3. Se han comprado cucharas, tenedores y cuchillos, entre cucharas y tenedores no llegan a 6, el nmero de tenedores es mayor que el de cuchillos, y el nmero de cucharas es mayor que el de cuchillos aumentado en 1. Cuntas piezas de cada clase se han comprado? 4. Hallar el polinomio de menor grado que cumpla con las siguientes condiciones: P(x) dividido por (x 2) nos da R = 4, R = residuo P(x) dividido por (x 2 + 2) nos da R = 8x 5. Hallar la ecuacin cuadrtica cuyas races son la suma y el producto de las races de ax2(a2+1)x+a=0; donde a0 6. Se ha construido un muro: el primer da se hizo un metro cbico, ms la novena parte de lo que quedaba por hacer; el segundo da, dos metros cbicos y la novena parte de lo que quedaba; el tercero, tres metros cbicos y la novena parte del resto, y as sucesivamente. Calcular: el volumen del muro, el nmero de das que se tard en su construccin y los metros cbicos que se hicieron por da, sabiendo que todos los das se hizo la misma cantidad de obra. 7. Determinar el polinomio P(x) de menor grado que cumpla: P(x) dividido por x2 + 2x 1; nos da como residuo R(x) = -6x + 9 P(x) dividido por (x 1) nos da como residuo R = 11 Adems se sabe que P ( -1 ) = 11 8. Un polinomio P(x) dividido por (x4) da un residuo 18. El cociente obtenido dividido por (x5) da residuo -8. Hallar el residuo de dividir P(x) por el producto (x4)(x5). 9. Los restos de dividir P(x) por (x + 1); (x + 2); (x 2) son respectivamente 4; -3; y 2. Hallar el resto de dividir P(x) por el producto (x + 1)(x + 2)(x 2) 10. Si 1, w, w2 son las races cbicas de la unidad, demostrar que: ( 2 + 5w + 2w2 )6 = ( 2 + 2w + 5w2 )6 = 729. 11. Determinar las races de las siguientes ecuaciones; para x elemento de los nmeros complejos. a. x3 + 27x 9x2 +19 + i = 0 b. ( x 3 )4 + x2 -6x + 11 = 0

12. Dado ((1 + 3 i)/(1 i ) ) 5; transformarlo en la suma de dos nmeros complejos siendo el uno el triple del otro. Calcular z nmero complejo si: |(z 4)/(1 + i)|+ = 4 2i - |z/ | 13. Resolver el sistema, para x, y, z elementos de los nmeros reales. x+y+z1=0 ; 2x3y-2z+4=0; 3x2yz+2=0 14. Determinar las races de: [ 3 ( 1 + i )1/3 ]1/2 15. Calcular las cinco races de 4 16. Calcular [ ( 2 +2i )20 ( 3 3i )4 ]/( 4 4i)17 17. Calcular la raz quinta de i; graficar las races. 18. Calcular las seis races de la unidad y graficar; unir los puntos e indicar que figura se obtiene. 19. Si (a +bi )1/2 = x + yi en donde a, b, x, y son elementos de los nmeros reales, determinar los valores de x, y en funcin de a,b para que se cumpla esa igualdad. 20. Demostrar, empleando la forma polar, que el mdulo de la suma de dos complejos es menor o igual que la suma de sus mdulos y mayor o igual que su diferencia 21. Resolver la ecuacin x6 -2x3 + 2 = 0; si x es nmero complejo. 22. Expresar sen(4); cos(4) ; tan(4) en funcin de sen() ; cos() y tan(). Utilizar el nmero complejo en forma polar. 23. Descomponer en factores de primer y segundo grado de coeficientes reales: 1.- x4 + t4 2.- x5 32 24. Probar que es nula la suma de las n races n-simas de la unidad y 1 su producto(n entero>1). 25. La suma de los valores absolutos de las cuatro cifras que componen un nmero es igual a 29. Si se cambia la cifra que ocupa el lugar de las centenas por la que ocupa el lugar de las unidades, y recprocamente, se obtiene un nmero que excede al dado en 99, y si ese cambio se efectuara con las cifras que ocupan los lugares de las decenas y millares, el nmero resultante, aumentado en 3960, sera igual al dado. Si el nmero dado se resta 1179, resulta aquel invertido. Cul es el nmero? 26. Transformar la siguiente igualdad b2(da)/(bd)=a2(cb)/(ac); en otra equivalente a: 1/a + 1/b = 1/c + 1/d

27. La diferencia de dos nmeros positivos es 2, y la diferencia de sus cubos es 1352. Qu nmeros son estos? 28. Determinar 4 nmeros, sabiendo que, sumados de tres en tres dan 9, 10, 11, y 12.

29. El cuadrado de la suma de las cifras que componen un nmero es igual a 121. Si de este cuadrado se resta el cuadrado de la primera cifra y el doble producto de las dos se obtiene 81. Cul es el nmero? 30. Encontrar una ecuacin cuadrtica cuyas soluciones sean iguales a los inversos de las soluciones de: 2x2 +7x +6 = 0