4. Encuentre la ecuación general del plano que:

4.1 Contiene a los puntos S=(1 ,−8 ,−2), Q=(−3,0 ,−8 ) y T=(5 ,−6,1)

SQ=(−3−1 )i+[0−(−8 ) ] j+[−8−(−2 ) ] k SQ=−4 i+8 j−6 k

ST=(5−1 ) i+ [−6− (−8 ) ] j+[1−(−2 ) ]k

ST=4 i+2 j+3k

Hallamos un vector que sea perpendicular a SQy ST simultáneamente, el cual nos sirve como vector normal.

SQ×ST=| i j k−4 8 −64 2 3 |=|8 −6

2 3 |i−|−4 −64 3 | j+|−4 8

4 2|k

SQ×ST=[24−(−12 ) ] i−[12−(−24 ) ] j+(−8−32 ) k

SQ×ST=¿36 i−12 j−40k

Con S=(1 ,−8 ,−2) tenemos:

36 ( x−1 )−12 [ y− (−8 ) ]−40 [ z−(−2 ) ]=0

36 x−36−12 y−96−40 z−80=0

36 x−12 y−40 z=36+96+80

36 x−12 y−40 z=212

4.2 Contiene al punto Q=(−7,2,1) y tiene como vector normal a n=− i−2 j+4 k

La ecuación pedida es:

(−1 ) [ x−(−7 ) ]−2 ( y−2 )+4 (z−1 )=0

−x−7−2 y+4+4 z−4=0

−x−2 y+4 z=7

5. Encuentre todos los puntos de intersección de los planos:

π1 :−3x−5 y+z=−2 y π2 :−9 x+7 y+3 z=−10

Resolvamos las dos ecuaciones simultáneamente:

−3 x−5 y+z=−2−9 x+7 y+3 z=−10

La matriz ampliada es:

(−3−9−57

−13 |−2−10)

Realizamos las operaciones necesarias para llevar la parte izquierda de la matriz a la forma escalonada reducida:

(−3−9−57

−13 |−2−10)−13 f 1

( 1−9 537−133 | 23−10) f 2+9 f 1

(10 5322−130 | 23−4) 122 f 2

(10 531 −130 | 23−2

3) f 1−53 f 2

(1001−130 | 3233−2

3)

El sistema resultante es:

x−13z=3233

y=−211

El sistema tiene soluciones infinitas ya que z es una variable libre. Entonces:

x=3233

+ 13z

y=−211

Designemos z=t , entonces:

x=3233

+ 13t

y=−211

z=t

Las cuales son las ecuaciones paramétricas de la recta en que se intersecan los dos planos π1 y π2.

Obtengamos para verificar un punto a partir de las ecuaciones paramétricas y veamos que satisface las ecuaciones de los dos planos:

Sea t=1, entonces:

x=3233

+ 13

(0 )=3233

y=−211

z=0

Luego:

( x , y , z )=( 3233 ,− 211,0)

Para π1 :−3x−5 y+z=−2

(−3 )( 3233 )−5(−211 )+0=−2

−3211

+ 1011

=−2

−2211

=−2

−2=−2

Para π2 :−9 x+7 y+3 z=−10

(−9 )(3233 )+7(−211 )+3 (0)=−10

−9611

−1411

=−10

−11011

=−10

−10=−10