trabajo formativo los intervalos-1

7/24/2019 Trabajo Formativo Los Intervalos-1

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TRABAJO FORMATIVO MATEMATICA CPEL – 2014-3

PORTAFOLIO FORMATIVO DE MATEMATICAS

Integrantes:

• Llerena Cabrera, Joel Augusto• Mendoza Panihuara, Maritza• Najarro Pastor, Marlene• Orellana Arcaya, Carmen Lourdes• Pinto Chumitaz, Pamela !endy• Portocarrero Canayo, Milady Alicia• "a#ael Cartagena, $a%id &rancisco

'lo(ue:

Matem)ticas * CP+L -*. / -0

M1-PRELMCIND01B1

Pro#esor:

1ello Mena, Marco

2014

RESUMEN (EN ESPAÑOL)




+l trabajo #ormati%o de matem)ticas, nos dio la oortunidad de otenciar nuestra

caacidad de resoluci2n de roblemas, modelamiento matem)tico y comunicaci2n

integral, haciendo uso de la tecnolog3a #rente a una sociedad globalizada, solucionamos

roblemas alicando modelos matem)ticos (ue resuel%en temas de la %ida real, duranteestas cuatro semanas, hemos re%isado bibliogra#3a re#erente ara #ortalecer nuestros

conocimientos re%ios como:

• Inecuaciones lineales• "ecta en el lano• Inecuaciones cuadr)ticas• 4istema de ecuaciones• 4oluci2n gra#ica de sistema de ecuaciones• 4istema de desigualdades lineales• &unciones reales• &unci2n cuadr)tica• $ominio de rango de una #unci2n• 1rans#ormaci2n de la gr)#ica de una #unci2n• Modelamiento #uncional• Alicaciones a la econom3a O#erta, $emanda , 4ubsidio, Imuesto y Punto de

e(uilibrio

1eniendo la oortunidad con este tio de e%aluaci2n (ue cada estudiante tomedecisiones seg5n los ejercicios lanteadas, este trabajo se concret2 or la actitud

emrendedora de este e(uio de trabajo6

LOS INTERVALOS CPEL 2014

RESUMEN (EN INGLES)

1he #ormati%e 7or8 o# mathematics, ga%e us the oortunity to enhance our

ability to roblem sol%ing, mathematical modeling and integrated communication using

technology against a globalized society, sol%e roblems using mathematical models that




sol%e real/li#e issues during these #our 7ee8s, 7e ha%e re%ie7ed literature re#erring to

strengthen our re%ious 8no7ledge as:

• linear ine(ualities

• 4traight in the lane

• 9uadratic Ine(ualities

• 4ystem o# e(uations

• rahical 4olution o# system o# e(uations

•

4ystem o# linear ine(ualities

• "eal #unctions

• 9uadratic #unction

• $omain range o# a #unction

• 1rans#ormation o# the grah o# a #unction

• &unctional Modeling

• Alications to o##er economy, Alication, rant, 1a; < Point balance

1a8ing a chance 7ith this tye o# assessment that students ta8e decisions based

e;ercises raised, this 7or8 7as comleted by the entrereneurial attitude o# this team6

THE INTERVALOS CPEL 2014

OBSERVACIONES




Obser%amos (ue las matem)ticas ense=an a ensar bien, a razonar or nosotros

mismos, a saber juzgar lo (ue es %erdad y lo (ue es #also6

Por otra arte, obser%amos (ue el arendizaje de las matem)ticas es descubrir las

ideas abstractas, y (ue este descubrimiento se uede hacer a toda edad y nos ayuda a

entender el mundo real6

1ambi>n hemos %isto (ue muchos errores matem)ticos han sido ro%ocados or la#alsa idea de (ue ara entenderlas se necesita su materializaci2n en ejemlos concretos,

como or ejemlo las articiones del astel ara entender las #racciones6

Por ultimo en la historia (ue las matem)ticas muestra tambi>n c2mo #ueron las

ideas in%entadas, creadas, or inteligencias libres y (ue ara todo ya e;iste y e;istir) un

modelo6

GLOSARIO

A




Abscis

Coordenada horizontal en un lano cartesiano rectangular: la abscisa se designa mediante

la letra ;6

+je de abscisas o eje ;6 +je de coordenadas, generalmente horizontal, aralelamente al cual

se trazan las abscisas6

As!"#$#

L3nea recta (ue, rolongada inde#inidamente, se acerca de continuo a una cur%a sin llegar a

encontrarla nunca6

C

C"#i%%

Objetos de una clase entre los (ue se uede de#inir la igualdad y la suma:

resta todas las cantidades6

C$ci&"#&

"esultado (ue se obtiene di%idiendo una cantidad or otra6

C$&'ici&"#&

&actor o n5mero (ue multilica6 +lemento constante en una multilicaci2n6

C$" D&"$i"%$*




"educir %arias #racciones a com5n denominador consiste en con%ertirlas en otras

e(ui%alentes (ue tengan el mismo denominador6

Para la reducci2n de #racciones a com5n denominador seguiremos los siguientes asos:

*? 4e determina el denominador com5n, (ue ser) el m3nimo com5n m5ltilo de losdenominadores6

? +ste denominador com5n, se di%ide or cada uno de los denominadores,

multilic)ndose el cociente obtenido or el numerador corresondiente6

C$"+,"#$ s$,ci."

+n matem)ticas un conjunto de soluciones es el conjunto de %alores (ue satis#acen

una ecuaci2n un sistema de ecuaciones o de inecuaciones6+l conjunto de soluciones uede tener un solo elemento, %arios @incluso in#initos, en una

identidad o ninguno @el conjunto %ac3o6

C$"s#"#&

+n general, una constante es un %alor de tio ermanente, (ue no uede modi#icarse, al

menos no dentro del conte;to o situaci2n ara el cual est): geometr3a aritm>tica6

+n ciencias, esecialmente en #3sica, se denomina constante a a(uella magnitud cuyo %alor

no %ar3a en el tiemo6

+n matem)ticas, una constante es un %alor #ijo, aun(ue a %eces no determinado6

Bna &unci2n constante es una #unci2n matem)tica (ue ara cada conjunto de %ariables en

la misma, de%uel%e el mismo %alor6 Por ejemlo,

#@; sen @D E F;G - donde F;G es la #unci2n arte entera del n5mero real ;, de#inida en

toda la recta "6

+n )lgebra son los coe#icientes de un monomio u otra #2rmula6

+n ecuaciones di#erenciales al resol%er se obtiene una soluci2n general con constante @oconstantes, si es de rimer orden conlle%a una constante arbitraria o constante de

integraci2n6

C$s#$s

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones


http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_inecuaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo

http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica

http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_f%C3%ADsica


http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo



http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_constante


http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica


http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_parte_entera

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Monomio


http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_(expresi%C3%B3n)




http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_inecuaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_vac%C3%ADo

http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia







http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_parte_entera

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra

http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_(matem%C3%A1ticas)







+n econom3a es el %alor monetario de los consumos de #actores (ue suone el ejercicio de

una acti%idad econ2mica destinada a la roducci2n de un bien o ser%icio6 1odo roceso de

roducci2n de un bien suone el consumo o desgaste de una serie de #actores roducti%os,

el conceto de coste est) 3ntimamente ligado al sacri#icio incurrido ara roducir ese bien61odo coste conlle%a un comonente de subjeti%idad (ue toda %aloraci2n suone6

C$s#$s Fi+$s

4on a(uellos en los (ue incurre la emresa y (ue en el corto lazo o ara ciertos ni%eles de

roducci2n, no deenden del %olumen de roductos6

C$s#$s V*ib&sCosto (ue incurre la emresa y guarda deendencia imortante con los %ol5menes de

#abricaci2n

C,%*"#&s

Como estamos %iendo, dos ejes cartesianos son dos rectas erendiculares (ue di%iden a un

lano en cuatro artes, cuatro zonas, cuatro cuadrantes6 +l unto donde se cortan estos dos

ejes llamamos origen de coordenadas6 +n estos cuadrantes reresentamos los untos y el

origen de coordenadas se encuentra en el unto cero @el unto donde se cortan los dos

ejes6

Los untos se re#ieren rimero, al %alor de la abscisa o eje ; se le agrega una coma y a

continuaci2n se escribe el %alor de la ordenada o eje y6

Los cuadrantes se numeran en el sentido contrario a la marcha de las agujas de un reloj6

+n el P"IM+" CBA$"AN1+ la abscisa es ositi%a y la ordenada tambi>n6

+n el 4+BN$O CBA$"AN1+ la abscisa es negati%a y la ordenada ositi%a6

+n el 1+"C+" CBA$"AN1+ la abscisa es negati%a y la ordenada tambi>n6+n el CBA"1O CBA$"AN1+ la abscisa es negati%a y la ordenada ositi%a6




C,*/

+n matem)ticas, el conceto de cur%a @l3nea cur%a es una l3nea continua de una

dimensi2n, (ue %ar3a de direcci2n aulatinamente6 +jemlos sencillos de cur%as cerradas

son la elise o la circun#erencia, y de cur%as abiertas la ar)bola, la hi>rbola ola catenaria6 La recta ser3a el caso l3mite de una circun#erencia de cur%atura in#inito6 1odas

las cur%as tienen dimensi2n igual a *6

D

D&ci

4e alica al sistema de numeraci2n cuya base es diez64e alica al n5mero (ue es menor (ue un n5mero entero: *,H0 es un n5mero decimal6

D&"%

La demanda se de#ine como la cantidad y calidad de bienes y ser%icios (ue ueden ser

ad(uiridos en los di#erentes recios del mercado or un consumidor @demanda indi%idual

o or el conjunto de consumidores @demanda total o de mercado6 La demanda es una

#unci2n matem)tica6 $2nde:

9d es la cantidad demandada del bien o ser%icio6

P recio del bien o ser%icio6

I ingreso del consumidor6

gustos y re#erencias6

N n5meros de consumidores6

Ps recios de bienes sustituti%os6

Pc recio de bienes comlementarios6

D&"$i"%$*

4egundo t>rmino del ar ordenado de enteros (ue #orman una #racci2n6 4e sit5adebajo del

rimer t>rmino @numerador y se seara de este or una raya horizontal6Indica las artes en

(ue se ha de di%idir la unidad6


http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse

http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola


http://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Demanda_individual&action=edit&redlink=1

http://es.wikipedia.org/wiki/Consumidor


http://es.wikipedia.org/wiki/Bienes_sustitutivos


http://es.wikipedia.org/wiki/Bienes_complementarios


http://es.wikipedia.org/wiki/Elipse


http://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Demanda_individual&action=edit&redlink=1



http://es.wikipedia.org/wiki/Bienes_complementarios




D&*&cici."

4e re#iere, en el )mbito de la contabilidad y econom3a, a una disminuci2n eri2dica del

%alor de un bien material o inmaterial6 +sta dereciaci2n uede deri%arse de tres razones rinciales: el desgaste debido al uso, el aso del tiemo y la obsolescencia6

D&si,%%

+n matem)ticas, una desigualdad es una relaci2n de orden (ue se da entre dos %alores

cuando >stos son distintos @en caso de ser iguales, lo (ue se tiene es una igualdad6

4i los %alores en cuesti2n son elementos de un conjunto, como los enteros o los reales,

entonces ueden ser comarados6La notaci2n a b signi#ica a es menor (ue b la notaci2n a K b signi#ica a es mayor (ue b

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, uesto (ue a no uede ser igual

a b tambi>n uede leerse como estrictamente menor (ue o estrictamente mayor (ue6

La notaci2n a b signi#ica a es menor o igual (ue b la notaci2n a b signi#ica a es mayor

o igual (ue b estos tios de desigualdades reciben el nombre de desigualdades

amlias @o no estrictas6

La notaci2n a≪ b signi#ica a es mucho menor (ue b la

notaci2n a≫ b signi#ica a es mucho mayor (ue b esta relaci2n indica or lo general una

di#erencia de %arios 2rdenes de magnitud6

La notaci2n a Q b signi#ica (ue a no es igual a b6 1al e;resi2n no indica si uno es

mayor (ue el otro, o si(uiera si son comarables6

Disc*ii""#&

4e llama discriminante de la ecuaci2n de segundo grado a la e;resi2n: Rb/.EaEc

+l n5mero de soluciones de la ecuaci2n de segundo grado deende el signo del signo del

discriminante:

http://es.wikipedia.org/wiki/Contabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Econom%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Desgaste

http://es.wikipedia.org/wiki/Uso

http://es.wikipedia.org/wiki/Obsolescencia


http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_orden

http://es.wikipedia.org/wiki/Igualdad_matem%C3%A1tica


http://es.wikipedia.org/wiki/Numeros_enteros

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://es.wikipedia.org/wiki/Contabilidad


http://es.wikipedia.org/wiki/Desgaste

http://es.wikipedia.org/wiki/Uso

http://es.wikipedia.org/wiki/Obsolescencia


http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_de_orden







4i Rb/.EaEcK-, hay dos soluciones distintas6

4 Rb/.EaEc-, las dos soluciones son iguales, hay una soluci2n doble6

4i Rb/.EaEc-, no hay soluci2n6

Dis#i"#$ %& C&*$

Bn n5mero distinto de cero es un tio de n5mero real6 +s tambi>n la uni2n binaria de un

n5mero ositi%o y uno negati%o en otras alabras, uedes sumar un n5mero ositi%o y uno

negati%o ara obtener un n5mero distinto de cero6

Los n5meros distintos de cero son un tio de inter%alo escalar medible6 +so signi#ica (ue

uedes utilizar los n5meros ara medir las cosas6 +sto est) en oosici2n a los n5meros

imaginarios, los (ue no ueden ser utilizados ara medir cosas6

Di/isi."

+n matem)tica, la di%isi2n es una oeraci2n aritm>tica de descomosici2n (ue consiste en

a%eriguar cu)ntas %eces un n5mero @di%isor est) contenido en otro n5mero @di%idendo6 +l

resultado de una di%isi2n recibe el nombre de cociente6 $e manera general uede decirse

(ue la di%isi2n es la oeraci2n in%ersa de la multilicaci2n6

$ebe distinguirse la di%isi2n Se;actaT @sujeto rincial de este art3culo de la Sdi%isi2n con

restoT o residuo @la di%isi2n eucl3dea6 A di#erencia de la suma, la resta o la multilicaci2n,

la di%isi2n entre n5meros enteros no est) siemre de#inida en e#ecto: . di%idido es igual

a @un n5mero entero, ero entre . es igual a *U @un medio, (ue ya no es un n5mero

entero6 La de#inici2n #ormal de Sdi%isi2nT, Sdi%isibilidadT y SconmensurabilidadT,

deender) luego del conjunto de de#inici2n6

D$i"i$ %& ," F,"ci."+s el conjunto #ormado or los elementos (ue tienen imagen6 Los %alores (ue le damos a

V @%ariable indeendiente #orman el conjunto de artida6 r)#icamente lo miramos en el

eje horizontal @abscisas, leyendo como escribimos de iz(uierda a derecha6

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Aritm%C3%A9tica


http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Resto

http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_eucl%C3%ADdea

http://es.wikipedia.org/wiki/Suma

http://es.wikipedia.org/wiki/Resta


http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_enteros


http://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Conmensurabilidad



http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Resto

http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_eucl%C3%ADdea

http://es.wikipedia.org/wiki/Suma



http://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Conmensurabilidad




+l dominio de una #unci2n est) #ormado or a(uellos %alores de V @N5meros reales ara

los (ue se uede calcular la imagen #@;6

E

Ec,ci." C,%*#ic

La ecuaci2n cuadr)tica o tambi>n conocida como la ecuaci2n de segundo grado es a(uella

ecuaci2n (ue obedece a un olinomio de segundo grado de la #orma a; W b; W c igual a

cero6

$onde el coe#iciente a es necesariamente di#erente a cero @+n el caso (ue a - se

obtiene una ecuaci2n lineal o de rimer orden

Ec,ci." %& *&c#

La ecuaci2n e;l3cita de una recta tiene la #orma 356" donde m es la endiente de la

recta y n el t>rmino indeendiente6 +n el siguiente ejercicio te roonemos, (ue bien

conociendo la endiente m y un unto P or el (ue asa determines m y n, o bien

conociendo dos untos determinar m y n6 "ecuerda (ue si tienes dos untos uedes

sustituirlos en la ecuaci2n y lantear un sistema con dos ecuaciones y dos inc2gnitas @m y

n6




Ec,ci." Li"&

Bna ecuaci2n lineal con n inc2gnitas es cual(uier e;resi2n del tio: a*;* W a; W a0;0 W 666

W an;n b, donde ai, b 6

Los %alores ai se denominan coe#icientes, b es el t>rmino indeendiente6 Los

%alores ;i son las inc2gnitas6

E+&

+n matem)tica, asimismo, los ejes nos ermiten ubicar una #igura geom>trica en

el esacio, ara luego trans#ormarla de acuerdo a nuestras necesidades6 Por con%enci2n, el

eje horizontal se re#erencia con la letra V, el %ertical con la letra X, y el (ue reresenta la ro#undidad, con la letra Y6

E5$"&"#&

+l e;onente de un n5mero dice cu)ntas %eces se multilica el n5mero6

+n este ejemlo: Z Z [ Z \.

+n alabras: Z se uede leer Z a la segunda otencia, Z a la otencia o simlemente

Z al cuadrado

F

F*cci."

+n matem)ticas, una #racci2n, n5mero #raccionario, roto, o (uebrado es la e;resi2n de

una cantidad di%idida entre otra cantidad es decir (ue reresenta un cociente no e#ectuado

de n5meros6 Por razones hist2ricas tambi>n se les llama #racci2n com5n, #racci2n%ulgar o #racci2n decimal6 +l conjunto matem)tico (ue contiene a las #racciones es el

conjunto de los n5meros racionales, denotado 96

$e manera m)s general, se uede e;tender el conceto de #racci2n a un cociente cual(uiera

de e;resiones matem)ticas @no necesariamente n5meros6


http://definicion.de/eje/


http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionales

http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica


http://definicion.de/eje/


http://es.wikipedia.org/wiki/Divisi%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)


http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_racionales

http://es.wikipedia.org/wiki/Expresi%C3%B3n_matem%C3%A1tica




F,"ci." C."c/

$iremos (ue una #unci2n # es estrictamente c2nca%a en un conjunto M con%e;o si todo

segmento (ue une dos untos de la gr)#ica est) estrictamente or debajo de la gr)#ica6$iremos (ue una #unci2n es CONCA]A @no estricta si no todas las cuerdas (ue unen

untos de la gr)#ica en dicho inter%alo (uedan estrictamente or debajo6

F,"ci." C$"/&5

4ea # una #unci2n de#inida en un inter%alo de ", diremos (ue dicha #unci2n es con%e;a en

el inter%alo si todo segmento (ue une dos untos de la gr)#ica (ueda or encima de la

gr)#ica6 4i siemre (ueda estrictamente or encima decimos (ue la #unci2n esestrictamente con%e;a6

F,"ci." C*&ci&"#&

Bna #unci2n es creciente en un inter%alo Fa,bG si al tomar dos untos cuales(uiera del

mismo, ;* y ;, con la condici2n ;* ;, se %eri#ica (ue #@;* #@;6

4e dice estrictamente creciente si de ;* ; se deduce (ue #@;* #@;6

F,"ci." D&c*&ci&"#&

Bna #unci2n es decreciente en un inter%alo Fa,bG si ara cuales(uiera untos del

inter%alo, ;* y ;, (ue cumlan;* ;, entonces #@;* #@;6

4iemre (ue de ;* ; se deduzca #@;* K #@;, la #unci2n se dice estrictamente

decreciente6

F,"ci." I**ci$"

4on las #unciones (ue %ienen e;resadas a tra%>s de un radical (ue lle%e en su radicando la

%ariable indeendiente6




4i el radical tiene 3ndice imar, entonces el dominio ser) todo el conjunto " de los n5meros

reales or(ue al elegir cual(uier %alor de V siemre %amos a oder calcular la ra3z de

3ndice imar de la e;resi2n (ue haya en el radicando6

Pero si el radical tiene 3ndice ar, ara los %alores de V (ue hagan el radicando negati%o noe;istir) la ra3z y or tanto no tendr)n imagen6

Cuando (ueremos hallar el dominio de este tio de #unciones lo rimero (ue debemos

hacer es tomar lo (ue hay dentro de la ra3z y hacer (ue sea mayor o igual (ue cero6

F,"ci." L$*!#icLos logaritmos de n5meros negati%os y el de - no e;isten6 Luego, todas las e;resiones a

las (ue se le retenda calcular su logaritmo deben ser mayores a cero6

+l rocedimiento ara calcular su dominio es bastante similar al de las #unciones

irracionales6 1omamos lo (ue hay dentro del logaritmo y hacemos (ue sea mayor (ue cero6

A continuaci2n resol%emos la inecuaci2n y la soluci2n nos da el dominio6

+l "ango estar) reresentado or el conjunto de todos los n5meros reales6

F,"ci." Ob+&#i/$

La #unci2n objeti%o es la ecuaci2n (ue ser) otimizada dadas las limitaciones o

restricciones determinadas y con %ariables (ue necesitan ser minimizadas o ma;imizadas

usando t>cnicas de rogramaci2n lineal o no lineal6 Bna #unci2n objeti%o uede ser el

resultado de un intento de e;resar un objeti%o de negocio en t>rminos matem)ticos ara

su uso en el an)lisis de toma de decisiones, oeraciones, estudios de in%estigaci2n o de

otimizaci2n6

G

G""ci




Btilidad, ro%echo o 'ene#icio de orden econ2mico obtenido or una +mresa en el curso

de sus oeraciones6 La alabra tambi>n sir%e ara designar, en un sentido m)s concreto, la

di#erencia entre el Precio al (ue se %ende un Producto y el Costo del mismo6 La anancia

es el objeti%o b)sico de toda +mresa o #irma (ue debe hacer uso, or lo tanto, de lacombinaci2n 2tima de &actores Producti%os ara reducir sus Costos lo m)s osible,

atrayendo a la %ez a los demandantes de los 'ienes o ser%icios (ue roduce ara %ender

>stos al mayor Precio obtenible6

I

I,&s#$

Los imuestos son restaciones, hoy or lo regular en dinero, al +stado y dem)s entidades

de derecho 5blico, (ue las mismas reclaman, en %irtud de su oder coacti%o, en #orma y

cuant3a determinadas unilateralmente y sin contrarestaci2n esecial con el #in de

satis#acer las necesidades colecti%as6

+l imuesto es una restaci2n tributaria obligatoria, cuyo resuuesto de hecho no es una

acti%idad del +stado re#erida al obligado y destinada a cubrir los gastos 5blicos6

+l imuesto es la restaci2n de dinero o en esecie (ue establece el +stado con#orme a

la ley, con car)cter obligatorio, a cargo de ersonas #3sicas y morales ara cubrir el gasto

5blico y sin (ue haya ara ellas contrarestaci2n o bene#icio esecial, directo e inmediato6

I"&c,ci."

+n matem)tica, una inecuaci2n es una desigualdad algebraica en la (ue aarecen una o

m)s inc2gnitas en los miembros de la desigualdad6* 4i la desigualdad es del tio o se

http://www.monografias.com/trabajos7/impu/impu.shtml


http://www.monografias.com/trabajos15/cumplimiento-defectuoso/cumplimiento-defectuoso.shtml#INCUMPL

http://www.monografias.com/trabajos16/marx-y-dinero/marx-y-dinero.shtml



http://www.monografias.com/trabajos12/elorigest/elorigest.shtml


http://www.monografias.com/trabajos35/el-poder/el-poder.shtml



http://www.monografias.com/trabajos13/clapre/clapre.shtml

http://www.monografias.com/trabajos10/rega/rega.shtml#ga



http://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtml

http://www.monografias.com/trabajos34/el-caracter/el-caracter.shtml


http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/wiki/Inecuaci%C3%B3n#cite_note-1



http://www.monografias.com/trabajos15/cumplimiento-defectuoso/cumplimiento-defectuoso.shtml#INCUMPL





http://www.monografias.com/trabajos13/clapre/clapre.shtml



http://www.monografias.com/trabajos4/leyes/leyes.shtml

http://www.monografias.com/trabajos34/el-caracter/el-caracter.shtml


http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita






denomina inecuaci2n en sentido estricto y si es del tio o se denomina inecuaci2n en

sentido amlio6 $el mismo modo en (ue se hace la di#erencia de igualdad y ecuaci2n, una

inecuaci2n (ue es %)lida ara todas las %ariables se llama inecuaci2n incondicional y las

(ue son %)lidas solo ara algunos %alores de las %ariables se conocen como inecuacionescondicionales6. Los %alores (ue %eri#ican la desigualdad, son sus soluciones6

+jemlo de inecuaci2n incondicional: 6

+jemlo de inecuaci2n condicional: 6

I"'i"i#$

+n matem)ticas el in#inito aarece de di%ersas #ormas: en geometr3a, el unto al

in#inito en geometr3a royecti%a y el unto de #uga en geometr3a descriti%a en an)lisis

matem)tico, los l3mites in#initos y en teor3a de conjuntos como n5meros trans#initos6

1odos estos concetos son di#erentes y no corresonden todos ellos a la misma noci2n de

in#initud6

I"*&s$

&lujo de "ecursos (ue recibe un agente econ2mico corresondiente a las remuneraciones

or la ]enta o arrendamiento de los &actores Producti%os (ue osee6 +l ingreso uede ser

agado en 'ienes y ser%icios o en $inero6 1ambi>n se uede considerar ingreso todas

1rans#erencias (ue reciben los agentes econ2micos tales como 4ubsidios, donaciones y

otras6

+l ingreso uede adotar las #ormas de salarios, intereses, di%idendos, "entas o bene#icios6^ay (ue distinguir entre Ingreso 'ruto e Ingreso Neto este 5ltimo es igual al rimero

menos los Imuestos6





http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa


http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_al_infinito


http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_proyectiva


http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_de_fuga


http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_descriptiva

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmites_al_infinito


http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_conjuntos

http://es.wikipedia.org/wiki/Transfinito









http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_descriptiva



http://es.wikipedia.org/wiki/Transfinito




I"#&*c&#$

+s la coordenada de un unto donde una gr)#ica interseca un eje6

Interceto en ;: +s la coordenada ; de un unto donde una gr)#ica interseca el eje ; @donde

y -6 1ambi>n llamado interceto horizontal6Interceto en y: +s la coordenada y de un unto donde una gr)#ica interseca el eje y

@donde ; -6 1ambi>n llamado interceto %ertical6

I"#&*s&cci."

+n teor3a de conjuntos, la intersecci2n de dos @o m)s conjuntos es una oeraci2n (ue

resulta en otro conjunto (ue contiene los elementos comunes a los conjuntos de artida6Por ejemlo, dado el conjunto de los n5meros ares P y el conjunto de

los cuadrados C de n5meros naturales, su intersecci2n es el conjunto de los cuadrados

ares $:

La intersecci2n de conjuntos se denota or el s3mbolo _ or lo (ue $ P _ C6

I"#&*/$

Los inter%alos num>ricos en " son conjuntos de n5meros reales y se reresentan mediante

un segmento con o sin e;tremos6 Pueden ser acotados o no acotados6

I"#&*/$s Ac$#%$sBn inter%alo es acotado cuando e;iste cota suerior y cota in#erior @cuando est) acotado

sueriormente y acotado in#eriormente

La Cota suerior es un n5mero (ue es mayor (ue todos los n5meros del inter%alo6

La Cota in#erior es un n5mero (ue es menor (ue todos los n5meros del inter%alo6



http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_binaria

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_par


http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadrado_(%C3%A1lgebra)


http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_naturales











@/*6---6---, * es acotado6

@/`, 0 no es acotado, or(ue no e;iste cota in#erior6

N @los naturales no es acotado, or(ue no e;iste cota suerior6

"/ @los reales negati%os no es acotado, or(ue no e;iste cota in#erior6Y @los enteros no es acotado, or(ue no e;iste cota suerior ni cota in#erior6

I"#&*/$ Abi&*#$ (7b)

+st) #ormado or los n5meros reales ; comrendidos entre a y b, e;cluidos ambos6 4e

e;resa: a;b6

I"#&*/$ C&**%$ 87b9+st) #ormado or los n5meros reales ; comrendidos entre a y b, incluidos ambos6 4e

e;resa a ; b6

I"#&*/$ Abi&*#$ %&*&c: 87b)

+st) #ormado or los n5meros reales ; comrendidos entre a y b, incluido a6 4e e;resa a

;b

I"#&*/$ Abi&*#$ i;<,i&*% (7b9

+st) #ormado or los n5meros reales ; comrendidos entre a y b, incluido b6 4e e;resa

a; b6

I"#&*/$s "$ c$#%$sLos inter%alos no acotados se reresentan mediante una semirrecta6

@/`, a6+st) #ormado or los n5meros reales ; menores (ue a, e;cluido a6 4e e;resa: ;a6

@/`, aG6 +st) #ormado or los n5meros reales ; menores (ue a, incluido a6 4e e;resa: ;a6

Fa, W`6 +st) #ormado or los n5meros reales ; mayores (ue a, incluido a6 4e e;resa: a;6




@a, W`6 +st) #ormado or los n5meros reales ; mayores (ue a, e;cluido a6 4e e;resa: a;6

I**ci$"

+n matem)ticas, un n5mero irracional es un n5mero (ue no uede ser e;resado como una

#racci2n , donde y son enteros y es di#erente de cero6 +s cual(uier n5mero

real (ue no es racional6

L

L!"&s P*&s

Las l3neas aralelas son dos o m)s l3neas (ue nunca se intersectan6 ^ay ejemlos de l3neas

aralelas a nuestro alrededor, en los dos lados de >sta )gina y en los estantes de un librero6

Cuando %es l3neas aralelas o estructuras (ue aarentan seguir la misma direcci2n, nunca

se cruzan unas a otras, y la distancia entre ellas es constante, es muy robable (ue sean

l3neas aralelas6

+n )lgebra, usamos algo m)s reciso (ue la aariencia ara reconocer y crear l3neas aralelas6 Bsamos ecuaciones6

M

M5i$

]alor mayor (ue toma una #unci2n matem)tica en un inter%alo dado o en su dominio6

M!"i$


http://es.wikipedia.org/wiki/Enteros



http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional

http://void%280%29/






http://void%280%29/




+l %alor m)s e(ue=o (ue uede tener una %ariable6

M!"i$ C$" M#i$ (M=C=M=)+l menor de los m5ltilos comunes a %arios n5meros6 42lo se alica con n5meros

naturales, es decir, no se usan decimales, n5meros negati%os o n5meros comlejos6

M$%&%$ M#&#ic$

+l t>rmino modelado matem)tico es nue%o ara describir un roceso antiguo6+l modelado matem)tico es similar a la resoluci2n de los roblemas, ero no id>ntico a

ello6

La resoluci2n de roblemas comienza con un roblema gramaticalmente estructurado al

cual los estudiantes alican m>todos matem)ticos re%iamente ense=ados6

+l modelado matem)tico, tal como se usa hoy d3a, comienza con una situaci2n (ue

usualmente no es estructurada6

Los m>todos matem)ticos aroiados ara una situaci2n no estructurada ueden no estar

dentro del reertorio del estudiante m)s brillante o del ro#esor m)s cometente6

La di#erencia rincial entre la resoluci2n de roblemas y el modelado matem)tico es

r)cticamente la di#erencia (ue e;iste entre una tarea estructurada y una no estructurada6

N

N&*$s D&ci&sLos n5meros decimales son a(uellos (ue cuentan con una arte decimal y or tanto se

contraonen a los n5meros enteros (ue son una generalizaci2n de los n5meros naturales,

(ue incluye n5meros enteros negati%os y al cero los n5meros enteros no cuentan con una

arte decimal6

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_decimal

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo


http://www.definicionabc.com/general/numeros-enteros.php

http://www.definicionabc.com/general/numeros-naturales.php



http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_negativo


http://www.definicionabc.com/general/numeros-enteros.php





$entro de los n5meros decimales nos encontramos, or un lado, con los n5meros

racionales, los cuales ueden ser e;resados a tra%>s de una #racci2n de dos n5meros

enteros y or otro lado con los n5meros irracionales, cuando no ueden reresentarse con

una #racci2n de dos n5meros6N&*$s E"#&*$s

+l conjunto de los n5meros enteros est) #ormado or los naturales, sus ouestos

@negati%os y el cero6

666 , ., 0, , *, -, *, , 0, ., 666

4e di%iden en tres artes: enteros ositi%os o n5meros naturales, enteros negati%os y cero6

N&*$s I**ci$"&s

+n matem)ticas, un n5mero irracional es un n5mero (ue no uede ser e;resado como una

#racci2n , donde y son enteros y es di#erente de cero6 +s cual(uier n5mero

real (ue no es racional6

N&*$s N#,*&s

Bn n5mero natural @designados or ℕ es cual(uiera de los n5meros (ue se usan

ara contar los elementos de un conjunto6

+s todo n5mero erteneciente a la serie #ormada or todos los n5meros

(ue, a artir del cero @o ausencia de elemento, el uno inicia y sin t>rmino medio6

N&*$s Rci$"&s

N5mero racional es todo n5mero (ue uede reresentarse como el cociente de dos n5meros

enteros o, m)s recisamente, un entero y un natural ositi%o,* es decir, una #racci2n

com5n con numerador y denominador distinto de cero6 +l t>rmino SracionalT






http://es.wikipedia.org/wiki/Numerable



http://es.wikipedia.org/wiki/Cociente_(divisi%C3%B3n)





http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_natural

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_racional#cite_note-1


http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n



http://es.wikipedia.org/wiki/Cero






http://es.wikipedia.org/wiki/Numerable














alude a una #racci2n o arte de un todo6 +l conjunto de los n5meros racionales se denota

or 9 @o bien , en negrita de izarra (ue deri%a de ScocienteT6 +ste conjunto de n5meros

incluye a los n5meros enteros @ , y es un subconjunto de los n5meros @ 6

La escritura decimal de un n5mero racional es, o bien un n5mero decimal #inito, o

bien eri2dico6 +sto es cierto no solo ara n5meros escritos en base *- @ sistema decimal,

tambi>n lo es en base binaria, he;adecimal o cual(uier otra base entera6 "ec3rocamente,

todo n5mero (ue admite una e;ansi2n #inita o eri2dica @en cual(uier base entera, es un

n5mero racional6

N&*$s R&&s+n matem)ticas, los n5meros reales @designados or ℝ incluyen tanto a los n5meros

racionales @ositi%os, negati%os y el cero como a los n5meros y en otro

en#o(ue, trascendentes y algebraicos6 Los irracionales y los trascendentes* @*H- no se

ueden e;resar mediante una #racci2n de dos enteros con denominador no nulo tienen

in#initas ci#ras decimales aeri2dicas, tales como: , el n5mero real log, cuya

trascendencia #ue mentada or +uler en el siglo V]III6

Los n5meros reales ueden ser descritos y construidos de %arias #ormas, algunas simlesaun(ue carentes del rigor necesario ara los ro2sitos #ormales de matem)ticas y otras

m)s comlejas ero con el rigor necesario ara el trabajo matem)tico #ormal6

N,&*%$*

+n aritm>tica y )lgebra, arte de la #racci2n (ue debe ser di%idida or el denominador de la

misma6 +l numerador se sit5a encima de la l3nea de la #racci2n6

O

O'&*#


http://es.wikipedia.org/wiki/Blackboard_bold





http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_peri%C3%B3dico

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Binaria


http://es.wikipedia.org/wiki/Hexadecimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Base_(aritm%C3%A9tica)







http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_trascendente

http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_algebraico

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real#cite_note-Tsipkin-1



http://es.wikipedia.org/wiki/Euler





http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_peri%C3%B3dico

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_numeraci%C3%B3n_decimal


http://es.wikipedia.org/wiki/Hexadecimal

http://es.wikipedia.org/wiki/Base_(aritm%C3%A9tica)





http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_trascendente

http://es.wikipedia.org/wiki/Numero_algebraico

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real#cite_note-Tsipkin-1


http://es.wikipedia.org/wiki/Euler




+n econom3a, se de#ine la o#erta como a(uella cantidad de bienes o ser%icios (ue

los roductores est)n disuestos a %ender a los distintos recios del mercado6 ^ay (ue

di#erenciar la o#erta del t>rmino de una cantidad o#recida, (ue hace re#erencia a la cantidad

(ue los roductores est)n disuestos a %ender a un determinado recio6+l sistema de econom3a de mercado, descansa en el libre juego de la o#erta y la demanda6

Centr)ndonos en el estudio de la o#erta y la demanda en un mercado de un determinado

bien6 4uongamos (ue los lanes de cada comrador y cada %endedor son totalmente

indeendientes de los de cual(uier otro comrador o %endedor6 $e esta #orma nos

aseguramos (ue cada uno de los lanes de los %endedores deenda de las roiedades

objeti%as del mercado y no de conjeturas sobre osibles comortamientos de los dem)s6

Con estas caracter3sticas tendremos un mercado er#ecto, en el sentido de (ue hay unn5mero muy grande de comradores y %endedores, de #orma (ue cada uno realiza

transacciones (ue son e(ue=as en relaci2n con el %olumen total de las transacciones6

La cantidad o#recida or los #abricantes o roductores de un determinado bien deende de

%arios #actores (ue ro%ocan incrementos o disminuciones de la cantidad o#recida or el

o#erente6 +stos #actores son el recio del roducto, el recio de los #actores (ue inter%ienen

en la roducci2n de ese bien, el estado de la tecnolog3a e;istente ara roducir ese

roducto y las e;ectati%as (ue tengan los emresarios acerca del #uturo del roducto y del

mercado6

O*%&"%

+l %alor %ertical @y en un ar de coordenadas6 9u> tan arriba o abajo est) el unto6

4iemre se escribe segunda en un ar ordenado de coordenadas como @*,6

+n este ejemlo, el %alor es la ordenada6 @+l rimer %alor * muestra (u> tan lejos a

lo largo y se llama Abscisa6

O*i&" %& G*'ic

+l origen de una gr)#ica es el unto donde inicia la gr)#ica, este unto est) reresentado

or dos coordenadas @;,y donde ; es el lano horizontal o eje de las ; y y el lano %ertical

o eje de las y6


http://es.wikipedia.org/wiki/Producci%C3%B3n_econ%C3%B3mica







Bn cuadrante, en matem)ticas, es uno de las . regiones del lano cartesiano6 +stos ueden

ser ositi%os o negati%os, deendiendo del cuadrante donde te ubi(ues6

P

P*b$

+n matem)ticas, una ar)bolaes la secci2n c2nica resultante de cortar un cono recto con

un lano cuyo )ngulo de inclinaci2n resecto al eje de re%oluci2n del cono sea igual al

resentado or su generatriz6 +l lano resultar) or lo tanto aralelo a dicha recta6 4ede#ine tambi>n como el lugar geom>trico de los untos de un lano (ue e(uidistan de una

recta llamada directriz, nota y un unto e;terior a ella llamado #oco6 +n geometr3a

royecti%a, la ar)bola se de#ine como la cur%a en%ol%ente de las rectas (ue unen ares de

untos hom2logos en una royecti%idad semejante o semejanza6

P&"%i&"#&

+s la inclinaci2n de una recta y se calcula buscando la raz2n del cambio en las

coordenadas y @%ariaci2n %ertical al cambio corresondiente en las coordenadas ;

@%ariaci2n horizontal6 La %ariable (ue se utiliza ara reresentar la endiente es m6

&2rmula: endiente cambio en y cambio en ;

Cuando una recta se inclina hacia arriba de iz(uierda a derecha, se dice (ue tiene una

endiente ositi%a cuando la recta se inclina hacia abajo, se dice (ue tiene una endiente

negati%a6

P*&ci$ %& V&"#

$eterminado el costo unitario, es necesario #ijar el margen de utilidad (ue se desea lograr,

el cual generalmente se basa en el criterio de la direcci2n de la emresa, ara #ormar de


http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)


http://es.wikipedia.org/wiki/Generatriz

http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9trico


http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)



http://es.wikipedia.org/wiki/Proyectividad


http://es.wikipedia.org/wiki/Semejanza_(geometr%C3%ADa)



http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica

http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)


http://es.wikipedia.org/wiki/Generatriz


http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)








esta manera el recio de %enta6 Muchas %eces se determina considerando algunos #actores

como: el recio unitario, el recio de la cometencia, y la calidad del roducto6

P&*&"%ic,*

$os rectas son erendiculares cuando al cortarse #orman cuatro )ngulos iguales de -?6

P"$ C*#&si"$

+l lano cartesiano est) #ormado or dos rectas num>ricas erendiculares, una horizontal

y otra %ertical (ue se cortan en un unto6 La recta horizontal es llamada eje de lasabscisas o de las e(uis @;, y la %ertical, eje de las ordenadas o de las yes, @y el unto

donde se cortan recibe el nombre de origen6

+l lano cartesiano tiene como #inalidad describir la osici2n de untos, los cuales se

reresentan or sus coordenadas o ares ordenados6

P$i"$i$

Bn olinomio es una e;resi2n algebraica comuesta de dos o m)s monomios6

Bn olinomio es una e;resi2n algebraica de la #orma:

P@; an ;n W an / * ;n/ * W an / ;n / W 666 W a* ;* W a-

4iendo an, an /* 666 a*, ao n5meros, llamados coe#icientes y ao es el t>rmino indeendiente6

P$#&"cici."

La otenciaci2n es una oeraci2n matem)tica entre dos t>rminos denominados: base a y

e;onente n6 4e escribe an y se lee usualmente como Sa ele%ado a nT o Sa ele%ado a

la nT y el su#ijo en #emenino corresondiente al e;onente n6 ^ay algunos n5meroseseciales, como el , al cuadrado o el 0, (ue le corresonde al cubo6 N2tese (ue en el caso

de la otenciaci2n la base y el e;onente ueden ertenecer a conjuntos di#erentes, en

un anillo totalmente general la base ser) un elemento del anillo ero el e;onente ser)

http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica


http://es.wikipedia.org/wiki/Cubo_(aritm%C3%A9tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Anillo_(matem%C3%A1ticas)


http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htm

http://es.wikipedia.org/wiki/Operaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica


http://es.wikipedia.org/wiki/Cubo_(aritm%C3%A9tica)





un n5mero natural (ue no tiene or(u> ertenecer al anillo6 +n un cuero el e;onente

uede ser un n5mero entero o cero6

P*&ci$

eneralmente se denomina recio al ago o recomensa asignado a la obtenci2n de

un bien o ser%icio o, m)s en general, una mercanc3a cual(uiera6

A esar (ue tal ago no necesariamente se e#ect5a en dinero los recios son generalmente

re#eridos o medidos en unidades monetarias6 $esde un unto de %ista general, y

entendiendo el dinero como una mercanc3a, se uede considerar (ue bienes y ser%icios son

obtenidos or el true(ue, (ue, en econom3as modernas, generalmente consiste enintercambio or, o mediado a tra%>s del, dinero6

P*$&%i$

4uma de todos los %alores num>ricos di%idida entre el n5mero de %alores ara obtener un

n5mero (ue ueda reresentar de la mejor manera a todos los %alores del conjunto6

Por ejemlo, el romedio de \ n5meros @0, ., , , , es @0 W . W W W W f \ 0

+l romedio de un gruo de n5meros es el mismo (ue la media aritm>tica6

P,"#$ %& E<,iib*i$

Bn unto de e(uilibrio es usado com5nmente en las emresas u organizaciones ara

determinar la osible rentabilidad de %ender un determinado roducto6 +s el unto en

donde los ingresos totales recibidos se igualan a los costos asociados con la %enta de un

roducto @I1 C16 Para calcular el unto de e(uilibrio es necesario tener bien identi#icado

el comortamiento de los costos de otra manera es sumamente di#3cil determinar laubicaci2n de este unto6

4ean I1 los ingresos totales, C1 los costos totales, P el recio or unidad, 9 la cantidad de

unidades roducidas y %endidas, C& los costos #ijos y C] los costos %ariables, entonces:



http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero

http://es.wikipedia.org/wiki/Bien_econ%C3%B3mico


http://es.wikipedia.org/wiki/Servicio_(econom%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Mercanc%C3%ADa


http://es.wikipedia.org/wiki/Dinero

http://es.wikipedia.org/wiki/Moneda


http://es.wikipedia.org/wiki/Trueque


http://es.wikipedia.org/wiki/Empresas


http://es.wikipedia.org/wiki/Rentabilidad_financiera

http://es.wikipedia.org/wiki/Ingresos



http://es.wikipedia.org/wiki/Cuerpo_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_entero




http://es.wikipedia.org/wiki/Dinero




http://es.wikipedia.org/wiki/Rentabilidad_financiera





4i el roducto uede ser %endido en mayores cantidades de las (ue arroja el unto de

e(uilibrio tendremos entonces (ue la emresa ercibir) bene#icios6 4i or el contrario, se

encuentra or debajo del unto de e(uilibrio, tendr) >rdidas6

P,"#$s %& C$*#&

Los rimeros untos de la gr)#ica (ue se ueden hallar, son los untos de la #unci2n (ue

ertenecen a los ejes coordenados6

Para hallar el unto donde la #unci2n corta al eje de ordenadas @eje X se resuel%e el

sistema:

Para hallar los untos donde la #unci2n corta al eje de abscisas @eje V se resuel%e el

sistema:

P,"#$s C*!#ic$s

un unto cr3tico de una #unci2n de una %ariable real es cual(uier %alor en el dominio endonde la #unci2n no es di#erenciable o cuando su deri%ada es -6 +l %alor de la #unci2n en el

unto cr3tico es un %alor cr3tico de la #unci2n6 +stas de#iniciones admiten generalizaciones

a #unciones de %arias %ariables, maas di#erenciables entre " m y " n, y maas di#erenciables

entre %ariedades di#erenciables6

R

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)



http://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_una_funci%C3%B3n


http://es.wikipedia.org/wiki/Variedad_diferenciable


http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_(matem%C3%A1ticas)







R"$ %& ," F,"ci."

+s el conjunto #ormado or las im)genes6 4on los %alores (ue toma la #unci2n X

@%ariable deendiente, or eso se denomina #@;, su %alor deende del %alor (ue le

demos a V6r)#icamente lo miramos en el eje %ertical @ordenadas, leyendo de abajo a arriba6

+l "ango de una #unci2n es el conjunto #ormado or las im)genes #@; de los %alores de

V (ue ertenecen al $ominio de dicha #unci2n6 La manera m)s e#ecti%a ara determinar

el "ango consiste en gra#icar la #unci2n y %er los %alores (ue toma X de abajo hacia

arriba6

R&c#

+n geometr3a euclidiana, la recta o la l3nea recta, se e;tiende en una misma direcci2n,

e;iste en una sola dimensi2n y contiene in#initos untos est) comuesta de

in#initos segmentos @el #ragmento de l3nea m)s corto (ue une dos untos6 1ambi>n se

describe como la sucesi2n continua e inde#inida de untos en una sola dimensi2n, es decir,

no osee rinciio ni #in6

+s uno de los entes geom>tricos #undamentales, junto al unto y el lano6 4on

considerados concetos arior3sticos ya (ue su de#inici2n solo es osible a artir de la

descrici2n de las caracter3sticas de otros elementos similares6 As3, es osible elaborar

de#iniciones bas)ndose en los ostulados caracter3sticos (ue determinan relaciones entre

los entes #undamentales6 Las rectas se suelen denominar con una letra min5scula6

R&i." Fc#ib&

Llamamos regi2n #actible a la soluci2n com5n a todas las inecuaciones lanteadas6Cuando hayamos reresentado todas las inecuaciones, nos odemos encontrar (ue la

soluci2n com5n es un ol3gono cerrado, (ue llamaremos regi2n acotada o recinto cerrado6

Puedes %er un ejemlo en el siguiente ejemlo:


http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento


http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea


http://es.wikipedia.org/wiki/Entes_fundamentales_de_la_geometr%C3%ADa






http://es.wikipedia.org/wiki/Min%C3%BAscula


http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_euclidiana







http://es.wikipedia.org/wiki/Min%C3%BAscula




A %eces, la regi2n #actible no es un ol3gono cerrado, sino una regi2n abierta o no acotada6

Obser%a la regi2n siguiente:

S

S&&"#$

Bn segmento, en geometr3a, es un #ragmento de recta (ue est) comrendido entre

dos untos, llamados untos e;tremos o #inales6As3, dado dos untos A y ', se le llama segmento A' a la intersecci2n de la semirrecta de

origen A (ue contiene al unto ' con la semirrecta de origen ' (ue contiene al unto A6

Los untos A y ' son e;tremos del segmento y los untos sobre la recta a la (ue ertenece

el segmento @la Srecta sost>nT, ser)n interiores o e;teriores al segmento seg5n

ertenezcan o no a este6

Sis#& %& C$$*%&"%s

+s un sistema (ue utiliza uno o m)s n5meros @coordenadas ara determinar un3%ocamente

la osici2n de un unto o de otro objeto geom>trico6 +l orden en (ue se escriben las

coordenadas es signi#icati%o y a %eces se las identi#ica or su osici2n en una tu lano de




http://es.wikipedia.org/wiki/Acotado


http://es.wikipedia.org/wiki/Semirrecta


http://es.wikipedia.org/wiki/Recta


http://es.wikipedia.org/wiki/Tupla





http://es.wikipedia.org/wiki/Recta


http://es.wikipedia.org/wiki/Tupla




coordenadas tambi>n se las uede reresentar con letras, como or ejemlo Sla

coordenada/;T6 +l estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometr3a

anal3tica, ermite #ormular los roblemas geom>tricos de #orma num>rica6

Bn ejemlo corriente es el sistema (ue asigna longitud y latitud ara localizar coordenadasgeogr)#icas6 +n #3sica, un sistema de coordenadas ara describir untos en el esacio recibe

el nombre de sistema de re#erencia6

S,bsi%i$

+n econom3a, un subsidio se alica ara estimular arti#icialmente el consumo o la

roducci2n de un bien o ser%icio6 4on los mecanismos contrarios a los imuestos6eneralmente la alicaci2n de subsidios esec3#icos al consumo o a la roducci2n de un

roducto cual(uiera tiene su origen en la intenci2n de los +stados de alcanzar metas

sociales, o bien ara #a%orecer @or distintas razones a determinadas ersonas, acti%idades

o zonas de un a3s6

T

Tb,ci."

Bna tabulaci2n es una tabla comuesta or n5meros de columnas V y X6 Los %alores (ue

tienen estos untos en la tabla se re#ieren a untos (ue se localizan en un lano cartesiano6

4i las coordenadas en el lano cartesiano #orman una l3nea recta, la #unci2n ser) de rimer

grado6

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica


http://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_(cartograf%C3%ADa)


http://es.wikipedia.org/wiki/Latitud



http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_geogr%C3%A1ficas



http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referencia



http://es.wikipedia.org/wiki/Consumo



http://es.wikipedia.org/wiki/Servicio


http://es.wikipedia.org/wiki/Impuesto


















4i las coordenadas en el lano cartesiano #orman una cur%a @ar)bola, la #unci2n ser) de

segundo grado6

U

U"i."

+n la teor3a de conjuntos, la uni2n de dos @o m)s conjuntos es una oeraci2n (ue resulta

en otro conjunto, cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales6 Por

ejemlo, el conjunto de los n5meros naturales es la uni2n del conjunto de los

n5meros ares ositi%os P y el conjunto de los n5meros imares ositi%os I:

La uni2n de conjuntos se denota or el s3mbolo ∪, de modo (ue or ejemlo, N P ∪ I6

U#ii%%+n econom3a, la utilidad es una medida de la satis#acci2n6

Asumiendo la %alidez de esta medida, se uede hablar con sentido de aumentar o disminuir

la utilidad, y or lo tanto e;licar el comortamiento econ2mico en t>rminos de los

intentos de aumentar la utilidad6 A menudo se modela utilidad como siendo a#ectada or el

o deendiendo del consumo de %arios bienes y ser%icios, la osesi2n de la ri(ueza y el

gasto de tiemo libre6


http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos


http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_conjunto




http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_impar



http://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_cient%C3%ADfico



http://es.wikipedia.org/wiki/Bienes




http://es.wikipedia.org/wiki/Riqueza


http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntos


http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_de_un_conjunto







http://es.wikipedia.org/wiki/Bienes


http://es.wikipedia.org/wiki/Riqueza




V

C$"+,"#$ Vc!$

+s el conjunto matem)tico (ue no tiene ning5n elemento6 4e reresenta con el s3mbolo

o simlemente como 6 Algunas de sus roiedades son:

Para cual(uier conjunto zA, el conjunto %ac3o es un subconjunto de A: ⊆

A6Para cual(uier conjunto A, la uni2n de A y el conjunto %ac3o es A: A∪ A6

Para cual(uier conjunto A, la intersecci2n de A y el conjunto %ac3o es el conjunto %ac3o: A

_ 6

+l 5nico subconjunto del conjunto %ac3o es el conjunto %ac3o6

La cardinalidad del conjunto %ac3o es cero6

V$*i;ci."

+s cuando se le asigna un %alor num>rico o literal a cada %ariable de una e;resi2n

algebraica y se resuel%en las oeraciones indicadas en la e;resi2n, ara obtener un

resultado o un %alor #inal, se est) %alorizando una e;resi2n algebraica6

V*ib&

+n matem)ticas y en l2gica, una %ariable es un s3mbolo constituyente deun redicado, #2rmula o algoritmo o de una roosici2n6 +l t>rmino S%ariableT se utiliza

aun #uera del )mbito matem)tico ara designar una cantidad suscetible de tomar distintos

%alores num>ricos dentro de un conjunto de n5meros eseci#icado6

http://www.diclib.com/conjunto/show/es/es_wiki_10/72012

http://www.diclib.com/subconjunto/show/es/es_wiki_10/76243

http://www.diclib.com/uni%C3%B3n/show/es/es_wiki_10/8629

http://www.diclib.com/cero/show/es/es_wiki_10/74898


http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica

http://es.wikipedia.org/wiki/Predicado_(l%C3%B3gica)



http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo

http://www.diclib.com/conjunto/show/es/es_wiki_10/72012

http://www.diclib.com/subconjunto/show/es/es_wiki_10/76243

http://www.diclib.com/uni%C3%B3n/show/es/es_wiki_10/8629

http://www.diclib.com/cero/show/es/es_wiki_10/74898


http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica



http://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo




+n contraste, una constante es un %alor (ue no cambia @aun(ue uede no ser conocido, o

indeterminado6 +n este conte;to, debe di#erenciarse de una constante matem)tica, (ue es

una magnitud num>rica esec3#ica, indeendientemente de la naturaleza del roblema

dado6

V*ib& C$"#i",

Puede tomar un %alor cual(uiera dentro de un inter%alo redeterminado6 X siemre entre

dos %alores obser%ables %a a e;istir un tercer %alor intermedio (ue tambi>n odr3a tomar la

%ariable continua6 Bna %ariable continua toma %alores a lo largo de un continuo, esto es, entodo un inter%alo de %alores6 Bn atributo esencial de una %ariable continua es (ue, a

di#erencia de una %ariable discreta, nunca uede ser medida con e;actitud el %alor

obser%ado deende en gran medida de la recisi2n de los instrumentos6 Con una %ariable

continua hay ine%itablemente un error de medida6 Como ejemlo, la estatura de una

ersona @*6H*-m, *6H*m, *6*H.m6666

V*ib& D&&"%i&"#&

Bna %ariable deendiente es a(uella cuyos %alores deenden de los (ue tomen otra

%ariable6

La %ariable deendiente en una #unci2n se suele reresentar or y6

La %ariable deendiente se reresenta en el eje ordenadas6

La %ariable y est) en #unci2n de la %ariable ;, (ue es la %ariable indeendiente6

V*ib& Disc*&#

+s una %ariable (ue s2lo uede tomar %alores dentro de un conjunto numerable, es decir,

no aceta cual(uier %alor sino s2lo a(uellos (ue ertenecen al conjunto6 +n estas %ariables

http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Constantes_matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Error_de_medici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_estad%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Constantes_matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Error_de_medici%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Variable_estad%C3%ADstica




se dan de modo inherente searaciones entre %alores obser%ables sucesi%os6 $icho con m)s

rigor, se de#ine una %ariable discreta como la %ariable (ue hay entre dos %alores

obser%ables @otencialmente, hay or lo menos un %alor no obser%able @otencialmente6

Como ejemlo, el n5mero de animales en una granja @-, *, , 06666

V*ib& I"%&&"%i&"#&

Bna %ariable indeendiente es a(uella cuyo %alor no deende del de otra %ariable6

La %ariable indeendiente en una #unci2n se suele reresentar or ;6

La %ariable indeendiente se reresenta en el eje de abscisas6

La %ariable y, llamada %ariable deendiente, est) en #unci2n de la %ariable ;, (ue es la%ariable indeendiente6

V>*#ic&

+n geometr3a, %>rtice es el unto donde se encuentran dos o m)s semirrectas (ue

con#orman un )ngulo6

V>*#ic& %& ," P*b$

Para el an)lisis de la ar)bola la #2rmula es y a; W b; W c

4e llama %>rtice de la ar)bola al unto donde >sta corta a su eje6

Para obtenci2n del %>rtice de una ar)bola el %>rtice de una ar)bola est) situado en el eje

de >sta y, or tanto, su abscisa ser) el unto medio de las abscisas de dos untos de la

ar)bola (ue sean sim>tricos6

Como toda #unci2n cuadr)tica asa or el unto @-,c y el sim>trico de >ste tiene de abscisa; /bUa, la del %>rtice ser) V% /bUa6 La ordenada X% se calcula sustituyendo el %alor de

V% en la ecuaci2n de la #unci2n6





http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo









DEDICATORIA

9ueremos dedicar este trabajo a $ios (ue nos ha dado la %ida y #ortaleza arainiciar esta nue%a etaa6

A nuestra #amilia y en esecial a nuestros adres or ser los seres m)s incre3bles




del mundo y nunca dejaron de creer en nosotros, gracias or su amor, cari=o, comresi2n y

consejos6

X a nuestro ro#esor Marco 1ello, or(ue sin su aoyo constante y ense=anza noestar3amos a(u36

INTRODUCCI?N

+ste trabajo se realiz2 con la #inalidad de a#ianzar nuestros conocimientos en

matem)ticas con la colaboraci2n de cada uno de los integrantes del gruo Los Inter%alos,

logrando su objeti%o al desarrollar los * ejercicios rouestos en el P&M6 A tra%>s del1rabajo &ormati%o, mejoramos nuestra caacidad de resoluci2n de roblemas6

A lo largo de la historia la matem)tica ha solucionado situaciones de la %ida real,

nosotros alicamos estas teor3as, teoremas con la #inalidad de tomar buenas decisiones en

nuestro camo laboral6

$urante todo el roceso de desarrollo se udo comrobar los conocimientos

ad(uiridos de manera rogresi%a y se entiendo la imortancia del curso6

As3 mismo mencionar el es3ritu de colaboraci2n y coma=erismos (ue se ha

incrementado con#orme se ha ido conociendo este e(uio de trabajo6




@NDICE

*6 "+4BM+N6 O'4+"]ACION+406 LO4A"IO

.6 $+$ICA1O"IA6 IN1"O$BCCION\6 "+4OLBCIN $+ +J+"CICICIO4

\6* +jercicio*\6 +jercicios \60 +jercicios 0\6. +jercicios .\6 +jercicios \6\ +jercicios \\6H +jercicios H\6Z +jercicios Z

\6 +jercicios \6*- +jercicios *-\6** +jercicios **\6* +jercicios *\6*0 +jercicios *0\6*. +jercicios *.\6* +jercicios *

H6 $I4CB4IN @+N +4PAOL X +N INL+4Z6 CONCLB4ION+46 A"A$+CIMI+N1O4*-6 "+&+"+NCIA4 'I'LIO"A&ICA4

**6 AN+VO4




E+&*cici$ 1= "esuel%a las siguientes inecuaciones lineales con una inc2gnita

a x−1

6 −

x−3

2 ≥−1 MCM

1 ( x−1 )−3 ( x−3 ) ≥−1 (6)

x−1−3 x+9≥−6

−2 x+8≥−6

8+6≥2 x

14≥2 x

7≥ x

x ≤7

/` H W

x∈¿−∞ ,7¿




b $etermine el %alor de %erdad de las siguientes roosiciones6 ,s#i'i<,& su resuesta6

Si3

x >¿ 2 &"#$"c&s 5 ¿ 2 VERDADERO Aic$s #&$*!

c$",##i/

x

3<1

2

2 x<3

x< 32

/` - 0U W`

¿ x∈¿−∞ ,3/2¿ - 0




Si x2

-25 61 ≤ 07 &"#$"c&s7 & c$"+,"#$ s$,ci." &s ," c$"+,"#$

,"i#*i$VERDADERO

x2

-; W* ≤ -

; /*

; /*

;/*-

;*

6 6−∞ * +∞

C=S= 1




c5

x+7<

3

5 x+2 , 4i ; es un real ositi%o6

MCM 1

x+75

>5 x+2

3

3 ( x+7 )>5(5 x+2)

3 x+21>25 x+10

11>22 x

1

2> x

−∞ *U +∞

¿

C . S=¿−∞ ;1/2¿




d 4i * ≤2 x−5<9 determine el inter%alo a (ue ertenece k 0;

[1≤2 x−5<9 ]+5

[6≤2 x<14 ] ÷2

[3≤ x <7 ]−3

[−9≥−3 x>−21 ]+5

−4≥5−3 x>−16

5−3 x∈¿−16,−4 ¿




E+&*cici$ 2= "esuel%a las siguientes inecuaciones cuadr)ticas con una inc2gnita

a x2+( a−b ) x−ab<0,si b<−a

x2+( a−b ) x−ab<0, si b<−a

; Wa a;

; /b /b;

/ab @a/b;

@;Wa @;/b-

;Wa- ;/a

;/b- ; b

W / W

/ ∞ b /a +∞




C=S= 9b7-8

b

x

1−¿

¿(2 x−3) (4− x )+6<¿

x

1−¿¿

(2 x−3) (4− x )+6<¿

8 x−2 x2

−12+3 x+6<1−2 x+ x2

+4 x−1

11 x−2 x2−6< x2+2 x

0<3 x2−9 x+6

0<3 ( x2−3 x+2 )

0< x2−3 x+2

x2

−3 x

+2

>0

; / /;

;/* /;

/0;




@;/@;/*K-

;/- ////////////////// ;

;/*- ////////////////// ;*

W / W

−∞ * +∞

C=S= ¿

¿−∞ ;1[U ]2 ;+∞ ¿

c

3

x−¿¿

2¿

≤ x

2+4

3

x2−1

2 +¿

3

x−¿¿

2¿

≤ x

2+4

3

x2−1

2+¿

¿

6 \

3

x−¿¿

3 ( x2−1 )+6¿




0 x2−3+6 ( x2−6 x+9 ) ≤2 x

2+8

0 x2−3+6 x2−36 x+54≤2 x2+8

x2−36 x+51≤2 x2+8

7 x2−36 x+43≤0

Alicamos la #ormula general :

x1 ; x2=−b ±√ b2−4 (a)(b)

2(a)

x1 ; x2=−36+√ 362−4 (7 ) (43 )

2(a) =

18+√23

7

x1 ; x2=−36−√ 362−4 (7 ) (43 )

2(a) =

18−√ 237

W / W

−∞ ;* ;

C=S= [ x 1, x 2]

d ^alle el conjunto soluci2n del sistema :




( x−2 )¿

( x+7 )≥ 0 (2 x +9 )(3− x )<¿0 ¿ ¿

$e la rimera inecuacion ( x−2)( x+7)≥0

; k - ////////////////////////// ; ; W H - ///////////////////////// ; /H

W / W

−∞ /H +∞

C=S=

¿2;+∞¿

¿−∞ ;7¿U ¿

$e la segunda inecuacion (2 x +9 ) (3 x− x )<0

Primero acomodamos la inecuacion (2 x+9 ) ( x−3 )>0 como se in%ertio el

segundo termino el simbolo de desigualdad cambia de osicion

; W - ////////////////////////// ; /U0 / ; - ///////////////////////// ; 0

W / W

−∞ /U 0 +∞




C=S=

¿3 ;+∞ ¿

¿−∞ ;−9 /2¿ U ¿

Luego rocedemos a hallar el conjunto soluci2n de ambas inecuaciones, or lo (ue las

juntamos en las gra#icas

−∞ /H /U 0

+∞

@.6

C=S= ¿

¿−∞ ;−7¿U ¿3;+∞ ¿




E+&*cici$ = "esonda seg5n sea el caso6

a Consideremos (ue ; es la cantidad de cuadernos (ue un comerciante comra6 4e sabe

(ue el ago total or la comra #ue de \Z soles6 4i se %ende a .,Z- soles cada uno erder3a

dinero, en cambio si los %ende a soles resultar3a ganando6

• M$%&& las inecuaciones (ue ermita calcular la cantidad de cuadernos (ue

comr26

4i ; Cantidad y,

Costo total \Z

Puedo decir (ue mi Ingreso es

Pc6; \Z;

Pc668

x

4.8< pv<5

4.8<68

x <5

68.( 14.8 .

> x68

> 15 )

68

4.8> x>

68

5




*.6*HK;K*06\

H14

R L c"#i%% %& c,%&*"$s &s 14

J R&%$"%&$s $*<,& s c"#i%%&s &" &s#& *$b& "$ s& ,%&" c$$c*

c$$ %&ci

• M$%&& el m3nimo recio (ue deber) tener cada cuaderno ara obtener utilidades

no menores a 0- soles6

4i mi utilidad I/C1 y me iden (ue U ≥30

14 x−68≥30

14 x ≥30+68

14 x ≥98

x=9814

x=7

C64 GH,¿

+∞ ¿

R E *&ci$ !"i$ s&* %& K




b +n el lano del Camus &ernando 'elaunde 1erry de la B4IL, se indica las coordenadas

@; y de tres construcciones, medidas en metros6

Primera construcci2n @Coliseo con coordenadas @ Z4egunda construcci2n @4er%icios Acad>micos con coordenadas @- /, y

1ercera construcci2n @"estaurante Nachos con coordenadas @- -

• Modele la ecuaci2n de la recta (ue une las coordenadas del Coliseo con las de

4er%icios Acad>micos6

Primero debemos hallar la endiente con los untos (ue nos han dado como datos:

C @,Z m= 8+52−20

= 13

−18

46A6 @-,/

+cuaci2n:

( y−8 )=−13

18( x−2 )

18 ( y−8 )=−13 ( x−2 )

18 y−144=−13 x+26

13 x+18 y=170

18 y=−13 x+170




La recta (ue une los untos del restaurante Nachos con el Coliseo y la recta (ue

une los untos del restaurante Nachos con 4er%icios Acad>micos son

erendiculares6 ,s#i'i<,&=

"@-- m=8−0

2−0=

8

2=4 m=

80−(−5)0−20

=−1

24

C@,Z

Por roiedad sabemos (ue rectas erendiculares si y solo si la multilicaci2n de ambos

nos dan /*

$el roblema:

m1

. m2=4.(−1

4 )=−1

Por lo tanto L2 y L

3 son erendiculares6




E+&*cici$ 4= "esuel%a las siguientes inecuaciones lineales con una inc2gnita:

Ma;imiza la #unci2n Z =4 x+5 y

"estricciones 2 y+ x ≥12

x+ y ≥8 @"esta

x ≥0

y ≥0

$e las restricciones hallamos (ue:

2 y+ x ≥12

x+ y ≥8 @"esta

y ≥ 4⟹ x ≥4

Para (ue Y sea M);imo y debe ser lo mayor osible:

+n la inecuaci2n ; e y no tienen restricciones m);imas or lo (ue las soluciones son

in#initas como se %e en el gr)#ico:




a ra#i(ue en el lano cartesiano la regi2n de#inida or el sistema de ecuaciones:

"estricciones

x−2 y+8≥0

x+ y ≤10

x− y ≤2

( x ≥2)∧( y ≥2)




E+&*cici$ =

Calcule los %alores de ; e y ara la e;resi2n Y ; W y sea m);ima

"estricciones

2 x+ y ≥2

x− y ≤2… α

x ≥2 ˄y ≤3

x ≥0˄ y ≥0

$e las restricciones se obtiene (ue:

y tiene (ue ser m);imo ara (ue ; tome el mayor %alor determinado en α

+n α … x−(3 )≤2⟹ x ≤5

y ≤3∴ x ≤5

; y Y ; W y

0 5 (2 )+2 (3 )=16

0 5 (5 )+2 (3 )=31

- 5 (2 )+2 (0 )=10




M);imo

+n Y

Z =5 (5 )+2(3 )⟹Z =25+6

∴Z =3




E+&*cici$ =

+l )rea en disuta or las -- millas mar3timas de#inidas or el Per5 y Chile, incluye una

zona es(uera de gran en%ergadura or las condiciones sustentada en los recursos

es(ueros marinos el)gicos, rincialmente en la ancho%eta y en otros recursos sin

embargo este a=o el #allo de la ^aya, determino las l3neas #ronterizas mar3timas, en dichaconcesi2n se considera Z- millas en direcci2n del aralelo, luego un ruta al 4ur Oeste, ara

(ue desde all3 se tome un ruta al 4ur hasta encontrarse a -- millas en direcci2n

erendicular6




a 4eg5n el acuerdo internacional de la ^aya, en cuanto se estima la longitud del

segmento 'C @en millas b Calcule la endiente de la recta (ue une los untos A y '6

c Btilizando una escala aroiada y los ejes coordenados con centro en C, determine

las restricciones de la regi2n achurada @considere (ue la l3neas unteada de color

rojo se aro;ima a una recta

&igura

$esarrollo

Por dato sabemos (ue la angulaci2n (ue se #orma entreosici2n chilena y eruana es un

aro;imado deK y la angulaci2n actual entre los l3mites es de 4= T$%s s &%i%s

&" is=




a6 4eg5n el acuerdo internacional de la ^aya, en cuanto se estima la longitud del segmento

'C @en millas

+n el gra#ico los Puntos ' y C

La longitud de &C / &' sabemos (ue &C *- y &' *- ∴ 'C 0-millas

b6 Calcule la endiente de la recta (ue une los untos A y '6

4abemos (ue '& *- y &A *-

m= y− y1

x− x1

+n los untos A @*-, *- y ' @-, 0-




m=150−30

120−0⟹m=

120

120∴m=1

c6 Btilizando la escala aroiada y los ejes coordinados con el centro en A @C determine las

restricciones de la regi2n achurada6

E+&*cici$ K= Justi#i(ue la %erdad o #alsedad de las roosiciones siguientes:

"estricciones:

0≤ x ≤200

0≤ y ≤150

4 y−3 x ≥0

PBN1O

4

; y

A *- *-' - 0-C - -$ -- *-+ -- -& - *-




a 4ea la #unci2n: f ( x )=√ x+√ 4− x2

,luego el dominio de la #unci2n dada es

¿

0,4¿ x∈¿

Como nos iden dominio de @#1endremos las siguientes restricciones:

√ x ≥0 propiedad

(√ 4− x2 )2 ≥ (0 )2

4− x2

≥0

− x2

≥−4… … .. por(−1)

x2≤4

x ≤2

0≤ x ≤2

Dom (f )=[0;2 ]

!LS"




b La #unci2n f ( x )=− x2+8 , la #unci2n es creciente en

¿ x∈ ¿−∞ ,0¿

Z

/0 W0

#$%D!D$%"=C%$C&$'($

c $ada la #unci2n f ( x )=− x2+8 , luego el rango de la #unci2n y

¿8,0¿∈¿

De) *rafi+o a-erior :

$) %a*o es y∈¿−∞ ;8¿¿

!LS"

d La #unci2n f ( x )= x2−2 x+1 siemre es ositi%a6




f (0 )=02−2 (0)+1=1

f ( x )=0= x2−2 x+1

x−1

x−1

(b−1 ) ( x−1 )=0

( x−1 )2=0

x−1=0

x=1

¿¿−∞ ;+∞¿

!LS"




E+&*cici$ =

"elacione las reglas de corresondencia de las #unciones con sus resecti%os dominios

REGLAS DE CORRESPONDENCIA RESULTADO DE LA RELACION DOMINIO DE LA FUNCION

*6 f ( x )= x x

2−4 * +4 $ A6 ¿¿−∞ ;−4 [∪ ]7 ;+∞¿

( x+2 ) ( x−2 )=0

x=−2 x=2

$om6 &@; % {−2,2}

6 f ( x )−

x+3

√ x2+7 x−8 +4 C '6 [−5 ;−2 ]∪ [2 ;5]

x2+7 x−8>0

( x−1 ) ( x+8 )>0

¿ Dom f ( x )=¿−∞;−8 [∪] 1;+ ∞ ¿

06 f ( x )=√ x2−4+√ 25− x2

0 +4 ' C6¿

¿−∞ ;−8 [∪]1 ;+∞¿

x2−4≥ 0 (25− x

2≥ 0) .−1

( x+2 ) ( x−2 ) ≥0 x2−25≤0




( x+5 ) ( x−5 )≤0

Dom f ( x )=[−5 ;2 ]∪ [2 ;5 ]

.6(¿ x

2−3 x−28)f ( x )=ln ¿ . +4 A $6 %−{−2;2 }

x2

−3 x−28>0( x−7 ) ( x+4 )>0

¿ Dom f ( x )=¿−∞;−4 [∪]7 ;+∞ ¿




E+&*cici$ =

+n la #igura se muestra la gr)#ica de la #unci2n olin2mica #6

a M$%&& los inter%alos donde la #unci2n es negati%a6

Los inter%alos donde la #unci2n es negati%a son:

¿¿−1 ;0¿

¿¿1;2¿

b M$%&& los inter%alos donde la #unci2n es ositi%a6

Los inter%alos donde la #unci2n es ositi%a son:

¿¿−∞ ;−1¿

¿¿0 ;1¿

¿¿2;+∞¿




E+&*cici$ 10=

4e muestra la gr)#ica de la #unci2n #@;

a $etermine le dominio y rango de la &unci2n

¿ Dom (f )=[−6,−3[∪]−2,0 ]∪¿∪¿1,+∞ ¿

%a ( f )=¿−2,4¿¿∪¿−2,1¿¿∪ {−3,2 }

b $etermine los inter%alos de crecimiento y decrecimiento

La &unci2n creciente en: [−2,0 ] [3,+ ∞ ]

La &unci2n $ecreciente en: ¿1,3¿¿




c ra#i(ue la #unci2n g@; #@;/* W

4i &@;/* es:

+ntonces &@;/*W es:




d La gr)#ica de la #unci2n # corta al eje y

No corta al eje y

e +n (u> untos la gr)#ica de la #unci2n corta al eje ;

Corta en el unto * y .




E+&*cici$ 11=

+l costo de #abricar *-- c)maras a la semana es de H-- d2lares y el de *- c)maras a la

semana es de Z-- d2lares6 La %ariable ( reresenta al n5mero de c)maras semanales (ue se

roducen y %enden6

a Modele la #unci2n de costo total lineal, en #unci2n de la cantidad de c)maras a la

semana6

b 4i la #unci2n ingreso se de#ine or I @( - ( / ( Modele la #unci2n de utilidad total6

Considere las gr)#icas del costo y del Ingreso en soles, en t>rminos del n5mero de unidades

de un roducto6

^allando la endiente

m=( y2− y1 )( x2− x1 )




m=(800−700 )(120−100 )

m=(100 )(20 )

=5

^allando la ecuaci2n unto endiente

y− y 1=m ( x− x1 )

y/H--@;/*--

y/H--;/--

y;/--WH--

y;W-

entonces:+=5+200

U(&L&D!D= &'/%$S"−C"S("

I - / (

B-(/(/@(W--

B-(/(/(/--

U =215− ²−200




E+&*cici$ 12

La emresa 4ON"I4A #abrica un 5nico Producto6 Bsted cuenta con la siguiente

in#ormaci2n:

• La endiente de la recta C se=ala (ue el costo

Por roducto es p 06

• La endiente de la recta I indica (ue el ingreso or roducto es de p •

La gr)#ica asociada6

+l gerente del $eartamento de An)lisis de Costos desea saber cu)ntas unidades debe

roducir ara recuerar la in%ersi2n6




4oluci2n:

-a*0=500

x =5

500=5 1

V*--

-a*2=500−C

100=3

500− C =300

-- /0--C&

--C&




E+&*cici$ 1=

Cuando el recio de cierto roducto es p - se o#ertan *-- unidades ero se demandan

*-6 4i el recio aumenta en p \, se o#ertan *\- unidades ero se demanda **- unidades6

S$,ci."

"egistrando los datos en dos tablas, una ara la o#erta y la demanda

O#erta

P*&ci$ C"#i%%- *--




\ *\-

$emanda

P*&ci$ C"#i%%- *-\ **-

) M$%&& ',"ci." %& $'&*# 3 %& %&"%7 s,i&"%$ i"&i%%=

F,"ci." %& O'&*#

"f ( p )=ap+b

f (20 )=a (20 )+b=100

f (26 )=a (26)+b=160

−¿

{20a+b=100

26 a+b=160…¿

a=10

b=−100

Al resol%er




=10 p−100

F,"ci." %& D&"%

.0 f ( p )=ap+b

f (20)=a (20)+b=150

f (26 )=a (26 )+b=110

{20 a+b=150

26a+b=110 −¿¿

a=−6.6

b=283

Al resol%er

=−6.6 p+283

b) D&#&*i"& & ,"#$ %& &<,iib*i$=

O'&*# D&"%

10 p−100=−6.6 p+283

10 p+6.6 p=283+100

16.6 p=383

p= 383

16.6




p=23.07=130.7

c) D&#&*i"& & *&ci$ si s& &" $'&*#* 120 ,"i%%&s

=10 p−100

f (120)=10 p−100

120=10 p−100

220=10 p

22= p

%) D&#&*i"& c,"#s ,"i%%&s s& %&"%" ," *&ci$ %& 22

=−6.6 p+283

.=−6.6 (22 )+283

=¿ *0H6Z

E+&*cici$ 14=

+l ingreso y el costo @en millones de una emresa %ienen dados or las #unciones:

& ( x )=50 x−4 x2

y C ( x )=100+5 x

$onde x es la %ariable (ue reresenta la cantidad en miles de unidades roducidas y

%endidas6




a $etermine el unto de e(uilibrio, donde la emresa no gana ni ierde6

b $etermine la #unci2n Btilidad de la emresa6

c "eresente gr)#icamente las #unciones ingreso y costo en un mismo sistema de

coordenadas6

4oluci2n:

a

50 x−4 x2=100+5 x

0=4 x2−45 x+100

x=−b ±√ b2−4a+

2a

x=−(−45)±√ 45

2−4 (4)(100)2 (4 )

x=(45) ±√ 425

8

x1=24.388 =3.04(1000)

x2=8.20(1000)

b

U = & −C =50 x−4 x2−(100+5 x )




¿45 x−4 x2−100

c

E+&*cici$ 1=




+l gr)#ico adjunto muestra la #unci2n ingreso @miles de p %s6( @Cantidad de unidades

%endidas en decenas de la emresa A'C6

a +ncuentre la regla de corresondencia de la #unci2n ingreso6U ( x)=−a x

2+bx++

4e escribe de esa #orma or ser c2nca%a hacia abajo6

1enemos como dato del gra#ico el unto h del %>rtice el cual es ,63=2,5=

5

2= −b

2(a)

Obser%amos del gra#ico (ue tenemos %arios ares ordenados:@-,- @,- @*,. @.,. @,\ @0,\

• 1omamos del gra#ico el unto @-,-f (0 )=−a x

8+bx++=0

f (0 )=+=0

La regla (ueda:f ( x )=−a x

2+bx

• 1omamos del gra#ico el unto @*,.




f (1 )=−a x8+bx

f (1 )=−a (1 )8+b (1 )=4

−a+b=4

a−b=−4a+5a=−4

6a=−4

a=−2

3

$ando #orma f ( x )=−23

x2+bx

• 1omamos del gra#ico el unto @0,\

f (3 )=−2

3 x

2+bx

f (3 )=−2

3(3)2+b (3)=6

3b=12b=4

Por lo tanto la regla de corresondencia es:

f ( x )=−2

3 x

2+4 x

b $etermine ara cu)ntas unidades se roduce el ingreso m);imo6




^allando q #@h

f (2,5)=−2

3(2,5)2+4 (2,5)=5,84

Se prod4+e254idades parae) i*resom5ximo .

c $etermine el %alor del ingreso m);imo6

f (2,5)=−2

3(2,5)2+4 (2,5)=5,84

S4 va)orde i*reso m5ximo serade 5840.

DISCUSI?N (EN ESPAÑOL)

+l trabajo #ormati%o nos ermiti2 interactuar y #ormar un gran e(uio ara as3 oner a

rueba todos nuestros conocimientos ya (ue cada uno de nosotros al tener di#erente manera




de resol%er los ejercicios resentados en el trabajo, no hay mejor manera (ue arender

mejor de esta #orma ayud)ndonos con sugerencias, discusiones, ara llegar al resultado

(ue al #inal todos llegamos6

Ahora desarrollamos m)s nuestros conocimientos ara oder desarrollarnos mejor en

nuestro centro de trabajo gracias a la imortancia de las matem)ticas6

DISCUSSION (EN INGLES)

1he #ormati%e 7or8 allo7ed us to interact and #orm a great team to hel test our

8no7ledge as 7e each ha%e a di##erent 7ay to sol%e the e;ercises resented in the aer ,

there is no better 7ay to learn better this 7ay heling 7ith suggestions and discussions , to

reach the result that at the end 7e all came 6

No7 7e de%elo our 8no7ledge to de%elo better in our 7or8lace because o# theimortance o# mathematics6

CONCLUSIONES

4eg5n este trabajo #ormati%o realizado y desarrollado or nuestro gruo y concluimos

lo siguiente:




1om)ndose en cuenta el tema de inecuaciones lineales si los e;tremos de una

desigualdad se suman o resta el mismo n5mero el sentido de la desigualdad se reser%a y

si el sentido de la desigualdad se in%ierte siemre (ue se multili(uen o di%idan or un

n5mero negati%o6

+n el unto de la inecuaci2n cuadr)tica rimero se tiene (ue lle%ar a una de las

#ormas conocidas6

Para hallar la ecuaci2n de la recta es imortante conocer la endiente, dos rectas no

%erticales son aralelas si sus endientes don iguales y dos rectas no %erticales son

erendiculares si su roducto de las endientes es menos *6

&unci2n real con %ariable real donde el dominio de la #unci2n es m)s grande (ue los

%alores de la %ariable indeendiente de tal manera (ue la #unci2n e;iste, si con#orme el ;

cuenta, se obser%an (ue >l y#@; el cual tambi>n cuenta, entonces la #unci2n es creciente6

X si la gr)#ica de una #unci2n est) or encima @de bajo del eje ; entonces y#@; es

ositi%a o negati%a6

&unci2n lineal alicada a la econom3a el unto de e(uilibrio se obtiene al igualar la

#unci2n de o#erta C con la #unci2n de demanda C6 +n conclusi2n se alica todas las

teor3as ara el desarrollo de nuestro trabajo #ormati%o6




AGRADECIMIENTO

Agradecemos este trabajo #ormati%o a nuestros ro#esores 1ello Mena 1erry, Marco

Antonio y ^uaaya omez, +nri(ue or ser nuestros gu3as en este curso, ues a lo largode este tiemo suieron inculcarnos una serie de rinciios y comartieron con nosotros

sus conocimientos, entre ellos los altos ni%eles de e;igencia unidos a la b5s(ueda en todo

momento de la e;celencia6

REFERENCIASBIBLIOGRFICAS

I= I"&c,ci." Li"& C$" ," /*ib&=




Arya, Jagdish C6 @-- Matem)tica alicada a la Administraci2n6 +d 6 M>;ico, $6&6

Pearson6

^aeussler, +rnest &6 @--Z6 Matem)tica ara Administraci2n y +conom3a6 +d *6 Pearson

+ducaci2n6

II= I"&c,ci." C,%*#ic c$" ," i"c."i#=

Arya, Jagdish C6 @-- Matemática aplicada a la Administración6 +d 6 M>;ico, $6&6

Pearson6

^aeussler, +rnest &6 @--Z6 Matemática para Administración y Economía6 +d *6 Pearson

+ducaci2n6

III= R&c#s &" & P"$ C*#&si"$=


Pearson6


+ducaci2n6




IV= F,"ci." *&=


Pearson6


+ducaci2n6

V= F,"ci." Li"&=


Pearson6

^aeussler, +rnest &6 @--Z6 Matemática para Administración y Economía6 +d *6 Pearson+ducaci2n6




ANEHOS

trabajo formativo los intervalos-1

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