AO DE LA PROMOCION DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMATICOUNIVERSIDAD TECNOLOGCA DEL PERFACULTAD DE INEGENIERIASCARRERA PROFESIONAL DE INGENERIA DE MINASCURSO: TOPOGRAFIAPROFESOR: Ing. FELIX M. VELASQUEZ CALDERONTEMA: TEORIA DE ERRORESNOMBRE Y APELLIDOS: AURELIO OLLACHICA SULLACICLO: VTURNO TARDEAREQUIPA PERU2014

DEDICATORIAAgradezco a mi familia por darme la oportunidad de seguir estudiando, a mis padres (QDG) que siempre estarn guiando mi camino y al Ing. Felix M Velasquez Calderon por permitirme abordar este trabajo tan importante.

AGRADECIMIENTO

A Dios por darnos la oportunidad de estudiar en la UTP y darme la fuerza suficiente para superar los obstculos que se presentan en el camino.A nuestros profesores por su abnegada orientacin y solidaridad, por compartir sus conocimientos y experiencias y en especial al Ing. Felix M Velasquez Calderon por permitirme presentar este pequeo trabajo pero tan importante. A mis compaeros en este caminar que culmina en parte con este trabajo.

EPGRAFEUn hombre se siente alegre y satisfecho cuando ha puesto su corazn en su trabajo y ha hecho su mejor esfuerzo

Ralph Waldo Emerson

INDICE GENERAL1.Teoria de errores31.1.Introducion31.2.Errores en el proceso de medicin31.3.Resultado de la medicin 51.4.Mediciones directas e indirectas 81.5.Error de una magnitud directa 82.Teoria estadistica de errores92.1.Error estadistico de una serie de medidas112.2.Histograma112.3.Distribucion de Gauss122.4.Minimos cuadrados132.5.Diagramas de dispersin15

3.Casos de la vida real debido a la propagacin de errores nmericos193.1.Fallo del misil Patriot193.2.Explosion de cohete arane 5214.Conclusiones 235.Bibliografia24

1. TEORIA DE ERRORES1.1.- INTRODUCCIONEn el trabajo de mediciones muchas veces hay imperfecciones en los aparatos y en el manejo de los mismos, por tanto ninguna medida es exacta en topografa y es por eso que la naturaleza y magnitud de los errores deben ser comprendidas para obtener buenos resultados. Los errores son producidas por falta de cuidado, distraccin o falta de conocimiento. Algunas definiciones que debemos de comprender son:

Clasificacin de los errores

Segn las causas que lo producen estos se clasifican en:Naturales: debido a la variaciones de los fenmenos de la naturaleza como sol, viento, hmeda, temperatura, etc.Personales: debido a la falta de habilidad del observador, estos son errores involuntarios que se comenten por la falta de cuidado.Instrumentales: debido a imperfecciones o desajustes de los instrumentos topogrficos con que se realizan las medidas. Por estos errores es muy importante el hecho de revisar los instrumentos a utilizar antes de cualquier inicio de trabajo.

Segn las formas que lo producen:Sistemticos: En las condiciones de trabajo en el campo son constantes y del mismo signo y por tanto son acumulativos, mientras las condiciones permanezcan invariables siempre tendrn la misma magnitud y el mismo signo algebraico por ejemplo: en medidas de ngulos, en aparatos mal graduados o arrastre de graduaciones en el trnsito, cintas o estadales mal graduadas, error por temperatura. En este tipo de errores es posible hacer correcciones.Accidentales: es aquel debido a un sin nmero de causas que no alcanzan a controlar el observador por lo que no es posible hacer correcciones para cada observacin, estos se dan indiferentemente en un sentido o en otro y por tanto puede ser que tengan signo positivo o negativo, por ejemplo: en medidas de ngulos, lecturas de graduaciones, visuales descentradas de la seal, en medidas de distancias, etc.

1.2.- Errores en el proceso de la medicinEn todo proceso de medicin existen limitaciones dadas por los instrumentos usados, el mtodo de medicin y/o el observador que realiza la medicin. Estas limitaciones generan una diferencia entre el valor real o verdadero de la magnitud y la cantidad obtenida para la misma luego de medir. Dicha diferencia se debe a la incerteza o el error en la determinacin del resultado de una medicin; esta es inevitable y propia del acto de medir. Entonces, no hay mediciones reales con error nulo.

Existen dos maneras de cuantificar el error de medicin:Mediante el llamado error absoluto, que corresponde a la diferencia entre el valor medido Xm y el valor real Xr:E = /Xm Xr/ (1.1)

Mediante el llamado error relativo, que corresponde al cociente entre el error absoluto y el valor real Xr:e=E /Xr (1.2)Normalmente es posible establecer un lmite superior para el error absoluto, y el relativo, lo cual soluciona a efectos prcticos conocer la magnitud exacta del error cometido.Tambin podemos definir los errores relativos porcentuales, e% = e 100% .

1.3 Resultado de la medicinEl resultado de cualquier proceso de medicin se compone del valor medido (valor o medida de la magnitud en cuestin), de un smbolo que representa la unidad y del error que indica la exactitud con que se conoce el valor medido. Con lo cual, el resultado de una medicin queda expresado de la siguiente forma:X = ( Xm E ) [u] (1.4)donde X es la magnitud que se desea medir o conocer; Xm es el valor medido (representa el nmero de veces que contiene a la unidad seleccionada); E es el error absoluto o incerteza (indica la exactitud con que se conoce el valor medido) (ec. 1.1) y [u] es la unidad de medida empleada.

1.4.- Mediciones directas e indirectasSe llama medicin directa cuando la operacin de lectura se hace directamente en el instrumento de medicin utilizado para medir cierta magnitud. Por ejemplo, son mediciones directas la determinacin de una distancia con una escala mtrica, la de un peso con una balanza y la de una intensidad de corriente con un ampermetro.No siempre es posible realizar una medida directa, porque no disponemos del instrumento adecuado, porque el valor a medir es muy grande o muy pequeo, porque hay obstculos de otra naturaleza, etc.Una medicin indirecta es aquella que se puede calcular o determinar realizando la medicin de una variable o ms distintas de la que se desea conocer pero relacionadas de alguna manera con ella. Por tanto, una medicin indirecta es la que resulta de una ley fsica o una relacin matemtica que vincula la magnitud a medir con otras magnitudes medibles directamente. As, el volumen de un cuerpo esfrico, por ejemplo,V = (4/3) r3

relaciona la magnitud V a medir con el radio de la esfera r, medible en forma directa con un calibre o un tornillo micromtrico.

1.5.- Error de una magnitud indirecta: Propagacin de errores o errores por propagacin Cuando se trabaja con magnitudes indirectas, el error de la medicin estar dado por la transmisin de los errores de las magnitudes medidas directamente (al aplicar un determinado mtodo frmula matemtica para obtener la magnitud requerida). A este procedimiento se le llama propagacin de errores.Sea L una magnitud que depende de otras que se pueden medir en forma directa, tal queL = f ( X,Y , Z ) = L( X,Y , Z )donde X, Y, Z son magnitudes medibles directamente:

2 Teora Estadstica de erroresEn esta seccin se estudia cmo minimizar la incidencia de los errores casuales en la medicin de una magnitud que se repite N veces. Dado el carcter al azar de los errores casuales es claro que, al promediar los resultados, el promedio estar menos afectado por las desviaciones estadsticas que los valores individuales. Se asume que no se cometen errores groseros y que los sistemticos han sido debidamente acotados de manera tal que, los nicos errores a considerar sean los casuales.Para analizar la serie de N mediciones de una misma magnitud obtenida en igualdad de condiciones se emplea la Teora Estadstica. La idea es investigar la causalidad, y en particular, extraer alguna conclusin del efecto que algunos cambios en una de las variables (variables independientes) tienen sobre las otras (variables dependientes).La teora estadstica se basa en los tres postulados de Gauss:

i) Dada una serie de mediciones x1, x2,., xN, la mejor estimacin de la magnitud medida o valor ms probable de la misma es el promedio aritmtico de todas las mediciones de esa cantidad efectuadas en las mismas condiciones:

ii) Es igualmente probable cometer errores del mismo valor numrico y distinto signo.iii) En una serie de mediciones, es tanto ms probable un error cuanto menor sea su valor absoluto. Es decir, los errores ms pequeos son los ms probables de cometer.Se dice que la calidad de una medicin ser tanto mejor cuanto ms parecidos sean entre s los valores medidos, o dicho de otra forma, ms parecidos al valor medio x.Otros conceptos tiles en el anlisis de una serie de mediciones son la mediana y la moda. La mediana hace nfasis en el verdadero centro del conjunto de datos. En otras palabras, la mediana es el valor central de un conjunto de observaciones ordenado por magnitud creciente o decreciente. El propsito de la misma es reflejar la tendencia central de la serie de medidas de manera que no est influenciada por los valores extremos. Mientras que la moda (M) es aquel valor que ocurre ms a menudo o con mayor frecuencia. La moda puede no existir, y cuando existe no necesariamente es nica.

2.1 Error estadstico de la serie de N medidasDada una serie de N mediciones de la magnitud x, se define en primer lugar la desviacin de la medicin i, la cual se mide respecto del valor medio x y no es ms que la diferencia existente entre el valor i-simo medido y el valor ms probable (o valor medio o promedio aritmtico de la serie):i = x xi (3.2)siendo, de nuevo, fi las veces que el i-simo valor xi se repite.La sumatoria de la desviacin ( i ) no tiene significado fsico e incluso puede ser cero; en cambio, s lo tiene la sumatoria de las desviaciones al cuadrado ( 2 que los valores individuales fluctan alrededor del promedio. Pero esta ltima cantidad depende de N. Para independizarse de N es que se define la varianza v como el promedio de las desviaciones cuadrticas:

Es ms comn utilizar la raz cuadrada de la varianza ( v ) que proporciona la distribucin de las mediciones alrededor del valor ms probable pero con la misma unidad que los datos originales.Dicha cantidad se denomina la dispersin desviacin estndar error cuadrtico medio () de cada lecturas:

La desviacin estndar es una medida del grado de dispersin de los datos alrededor del valor promedio. Dicho de otra manera, la desviacin estndar es simplemente el "promedio" o variacin esperada con respecto de la media aritmtica. Una desviacin estndar grande indica que los puntos estn lejos de la media, y una desviacin pequea indica que los datos estn agrupados cercanos a la media. Se suele representar por una S o con la letra sigma (). Aqu se adopta esta ltima.Si, ahora, se realizan M series de N mediciones de x, y a cada una se le calcula el valor medio x , es de esperar que estos valores x1 , x2 ,., xM varen entre s pero con una menor dispersin que las mediciones individuales y que lo hagan alrededor de un promedio general o promedio de los promedios de valor

Esta relacin es aproximada pero se convierte en igualdad para N suficientemente grandes, siendo la dispersin estndar en una de las M series de mediciones. Como el orden de magnitud es el mismo para cada una de las M desviaciones, la expresin (3.4) permite predecir la fluctuacin del promedio de una serie de N mediciones sin necesidad de volver a realizar ms series de mediciones. A medida que el nmero N de mediciones aumenta, la distribucin de los x j ser normal con un error estndar del promedio. ste ser el estimador del error asociado a x y es llamado error estadstico Eest ( tambin error medio cuadrtico de los promedios):

Eest nos da el orden de magnitud con el cul el promedio habr de fluctuar alrededor del verdadero valor de la magnitud en cuestin y se mantendr casi constante cuando el nmero de observaciones es suficientemente grande. Cuanto ms mediciones se hagan, tanto ms se acercar el promedio al verdadero valor de la magnitud en cuestin, y la fluctuacin ser cada vez menor. Es por ello que el promedio es utilizado como ente representativo del valor ms probable de una magnitud.La expresin (3.5) representa la calidad del proceso de medicin. La calidad del proceso de medicin ser mayor cuanto menor sea el cociente x , que en general es una constante del proceso de medicin y no disminuye al aumentar N.Resulta claro que, como Eest depende de N y es menor si se aumenta el nmero de mediciones, es posible disminuir el error estadstico pero nunca, desde el punto de vista fsico, el error de x puede ser cero. Slo puede hacerse igual o del orden del Eap. El mejor balance se logra cuando Eest Eap, dando as un criterio para determinar el nmero, ptimo (Nop) de mediciones que deben realizarse:

2.2.- HistogramaLos histogramas son un mtodo eficiente y comn para describir distribuciones de variables continuas con un gran nmero de datos obtenidos experimentalmente (x1, x2,..., xN). Un histograma es una grfica de barras verticales u horizontales. Las barras o clases se definen de manera tal que cada una de las N observaciones medidas sea parte de una y slo una categora. El ancho de cada barra (x) es igual y fijo, de modo que el rea de la barra sea proporcional al nmero de observaciones de la clase respectiva (n) que pertenecen al intervalo seleccionado, facilitando las comparaciones visuales.

Entonces, los histogramas grafican las frecuencias (n) de aparicin de una observacin dentro de un intervalo de ancho fijo dado (x), siendo cada dato acomodado dentro de una de varias barras de acuerdo a alguna propiedad. Si la forma obtenida para el histograma es una barra central rodeada por barras decrecientes distribuidas ms o menos simtricamente a su alrededor, se dice entonces que dicho histograma presenta una tpica distribucin normal o gaussiana.

2.2.1 Pasos para la construccin de un histogramaPaso 1: Localizar los valores mximo y mnimo de las N observaciones. Calcular el rango de los datos, esto es la diferencia entre el valor mximo (xmax) y el valor mnimo (xmin) de las observaciones:Rango = xmax xminPaso 2: Calcular la longitud del ancho del intervalo x necesaria para cubrir dicho rango. Esto se logra dividiendo el rango porN o bien por el nmero de barras que se pretende tener:

La eleccin de una u otra forma de calcular x depende del caso particular analizado. Existen otras maneras pero estas son las ms usadas. Recordar tener en cuenta las cifras significativas para acotar x.Paso 3: Construir una tabla de intervalos frecuencia (n). Cada intervalo corresponder a una barra del grfico cuya altura ser, justamente, la cantidad de valores contenidos en l (n). Los intervalos se toman como cerrado-abierto o bien abierto-cerrado, siendo ms usual la primera forma. El primero intervalo se construye tomando como punto inicial el valor mnimo de las observaciones y como punto final del mismo a la cantidad resultante de sumar xmin + x. El segundo intervalo se construye tomando como valor de inicio el final del anterior y como final el inicial del mismo ms x. Los dems intervalos se construyen de manera similar. Luego, contar cuantos datos caen dentro de cada intervalo (frecuencia absoluta de valores) e ingresarlos en la tabla.

Paso 4: Realizar la grfica de la tabla construida mediante ejes ortogonales donde en el eje de las abscisas se colocan los intervalos y el eje de las ordenadas las frecuencias correspondientes. Cuando la grfica se realiza a mano es conveniente utilizar papel milimetrado.

Como todo grfico debe llevar el ttulo correspondiente (arriba al centro) e indicar los parmetros N y x que permitieron construir dicho grfico (lado derecho) (ver Figura 3.3).Es de prctica comn utilizar en el eje de las ordenadas las frecuencias relativas en lugar de las frecuencias de observacin. Las frecuencias relativas son calculadas dividiendo la frecuencia absoluta de cada intervalo por el nmero total de observaciones: n/N. Si la frecuencia por clase corresponde al eje vertical la grfica de barras resultante se denomina histograma de frecuencia, mientras que en caso de usar dicho eje para la frecuencia relativa por clase se llama histograma de frecuencias relativas. Ejemplo 1 : Confeccin de un HistogramaSe desea dibujar el histograma para la serie de 30 valores de la altura (m) de los estudiantes de un curso que se detallan en la siguiente tabla:

1,611,631,621,611,631,641,601,641,631,61

1,641,621,631,601,651,641,611,621,631,64

1,631,651,611,621,651,621,631,641,631,62

Para ello hay que tener en cuenta los pasos de construccin de histogramas dados en la seccin 3.4.1.

Paso 1: Lo primero que se debe hacer es buscar los valores mximo y mnimo. Estos son: 1,65 m y 1,60 m. Luego, con ellos calcular el Rango:

Rango = 1,65 m 1,60 m = 0,05 m

Paso 2: Entonces, el intervalo ser de un ancho de:x = 0,05 m /30 = 0,0091 m

Pero este valor es mas pequeo que la apreciacin del instrumento por lo cual no se puede utilizar. Si acotamos dicho valor a la cantidad de cifras significativas y la magnitud correspondiente, se obtiene que:x 0,01 m (coincidente con la apreciacin del instrumento de medida).

Paso 3: Luego, la tabla correspondiente a los intervalos y sus frecuencias es

Intervalos (m)frecuencia

[1,60 , 1,61)2

[1,61 , 1,62)5

[1,62 , 1,63)6

[1,63 , 1,64)8

[1,64 , 1,65)6

[1,65 , 1,66)3

Paso 4: El histograma se realiza levantando por cada intervalo una barra o columna tan alta como la frecuencia de valores asociada correspondiente; entonces,

Otra manera de realizar el mismo grfico es colocando el centro de la barra en el valor que se esta representando en ella; esto se suele hacer cuando son pocos los valores a representar en el eje horizontal y el ancho de la barra coincide con la apreciacin del instrumento:

2.3 Distribucin de GaussUna variable aleatoria continua, X, sigue una distribucin normal demedia y desviacin tpica , y se designa por N(, ), si se cumplen las siguientes condiciones:1. La variable puede tomar cualquier valor: (-, +)2. La funcin de densidad, es la expresin en trminos de ecuacin matemtica de la campana de Gauss:

Nuevamente, dn es el nmero de observaciones cuyos valores estn comprendidos entre x y x+dx. La variable x en el exponente se ubica en el intervalo dx que tiene una frecuencia de observaciones dn. La representacin grfica de la densidad de observaciones se llama curva de distribucin de Gauss (ver Figura 3.4). La distribucin da el nmero de observaciones en funcin de x y es la integral de la expresin anterior.La curva de Gauss presenta un mximo en x = x , es simtrica respecto de ese valor medio presentando una forma de campana y sus puntos de inflexin son x ; tiende a cero a medida que el valor x se aleja del promedio. La prediccin de estas probabilidades es la utilidad fundamental de la funcin de Gauss. La probabilidad es, por definicin, el cociente entre el nmero de casos que estn en el intervalo seleccionado, y comprendido por dos de los valores de x (N), y el nmero total de datos (N). La probabilidad de que un valor dado caiga entre x y x + es del 68%:

El valor de que determina el intervalo x dentro del cual cae el 50% de las observaciones se denomina error ms probable del promedio; dicho valor se obtiene de una integracin, similar a la anterior, y de donde resulta que (2/3) .Para graficar analticamente (sin la ayuda de una computadora) la curva de Gauss se requiere el clculo previo de ciertos puntos de caractersticos de la expresin (3.7), entre los que se encuentran los puntos de inflexin, y sus frecuencias absolutas ( n ). Siendo lo ms conveniente para reflejar dichos clculos la confeccin de una tabla, como la que se da a continuacin. Los puntos mencionados son mostrados en la Figura 3.4.

Ejemplo 2: Construccin de una Campana de Gauss.Se desea construir la campana de Gauss para la serie de N = 30 valores dada en el Apndice anterior. Para ello se precisa completar la Tabla 3.1, con lo cual es necesario calcular previamente el valor medio de la serie y la desviacin estndar:

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-, +).Es simtrica respecto a la media .Tiene un mximo en la media .Crece hasta la media y decrece a partir de ella.En los puntos y + presenta puntos de inflexin.El eje de abscisas es una asntota de la curva.El rea del recinto determinado por la funcin y el eje de abscisas es igual a la unidad.Al ser simtrica respecto al eje que pasa por x = , deja un rea igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.La probabilidad equivale al rea encerrada bajo la curva.p( - < X + ) = 0.6826 = 68.26 %p( - 2 < X + 2) = 0.954 = 95.4 %p( - 3 < X + 3) = 0.997 = 99.7 %

Observacin: La curva de Gauss por si sola no es til para sacar una conclusin; es por ello que se la superpone con el histograma de la serie respectiva. Por ejemplo, un corrimiento hacia la izquierda o la derecha de la curva de Gauss respecto del histograma indica que hay errores sistemticos adems de los casuales.

2.4.- Mtodo de los cuadrados mnimosHasta ahora se ha aprendido a medir una magnitud fsica y valorar el resultado desde el punto de vista estadstico, pero esto por lo general es slo el primer paso y no alcanza para comprender el fenmeno. La fsica real empieza cuando se estudia la interdependencia casual entre dos o mas magnitudes. Por lo tanto, para establecer leyes fsicas que permitan predecir la evolucin de un sistema es necesario conocer en forma experimental el tipo de relacin que hay entre las cantidades de las magnitudes involucradas y representarla matemticamente.Suponiendo que los puntos experimentales estn visiblemente sobre una recta, en general, la ecuacin es de la formay = ax + b(4.1)y el problema es determinar el valor ms adecuado de cada parmetro (a y b).

2.5.- Diagramas de dispersinAhora bien, la pregunta es cuando es posible aplicar el mtodo de Cuadrados Mnimos o Regresin Lineal. Si las cantidades observadas tienen una fuente comn de variacin se dice que ellas estn correlacionadas. Para averiguar si existe o no correlacin entre las dos variables se construye un diagrama de puntos (x,y) en base a un sistema de ejes cartesianos. Se obtiene as grficamente un conjunto de puntos esparcidos al azar llamado diagrama de dispersin. En general se presentan tres situaciones:a) Los valores estn distribuidos simtricamente alrededor de los valores de los promedios de x y de y o sea, del punto de coordenadas (x , y ) , formando una nube aproximadamente circular (Figura 4.1a).b) La distribucin de puntos (valores) se aproxima a una curva con desviaciones de poca entidad (Figura 4.1b).c) Los puntos forman una nube alrededor de una curva con fluctuaciones de cierta importancia (Figura 4.1c).

En el caso a), las variables no tienen correlacin, es decir, no hay dependencia entre ellas y se puede observar que las distancias de estos puntos a una recta hipottica es muy grande, por lo que no se cumple con la hiptesis establecida.En el caso b), existe una dependencia casi total entre x e y; esto es, existe correlacin y es fuerte. Es decir, hay una relacin funcional y = f(x). Las fluctuaciones se deben a las incertezas casuales y de apreciacin, y pueden ser compensadas con un anlisis estadstico.En el caso c), existe una zona de dispersin con pendiente positiva o negativa

Ejemplo 3: Mtodo de Cuadrados MnimosEn el mtodo de Mnimos Cuadrados deseamos minimizar la discrepancia entre los datos observados x[n] y la seal original s[n].Esta seal se genera a travs de un modelo que depende un conjunto de parmetros de inters agrupados en el vector . Aunque s[n] es completamente determinista la presencia de inexactitudes en el modelo o ruido en los sensores hace que las observemos una versin perturbada de sta que denotamos por x[n]. A continuacin la tabla muestra la serie de datos experimentales correspondiente a un prctico de cinemtica realizado por un carrito que baja por un plano inclinado con una cinta adherida a el y conectada con un registrador de pulso que marca un punto cada 0,01 s. El movimiento que se ha registrado es un movimiento rectilneo uniformemente variado (i.e. acelerado) (MRUV):

La grfica de los puntos correspondientes para tiempo y velocidad (las variables x e y) muestra un comportamiento casi lineal de los mismos:

De la tabla se puede sacar que la velocidad inicial del movimiento es:v0 = 12,5 cm/s.La aceleracin es la pendiente del grfico anterior y coincide con aceleracin media aritmtica del movimiento; esta posee un valor dea 44,0 cm/s2.Como la grfica velocidad tiempo posee un comportamiento casi lineal se puede aplicar el mtodo de cuadrados mnimos para determinar los parmetros a y b de esta serie de valores experimentales.

Ejemplo4: Coeficiente de correlacin PearsonPara dar una medida numrica que exprese cuan fuertemente depende una variable de otra se define el coeficiente de correlacin de Pearson r o coeficiente de correlacin muestral. El anlisis de correlacin intenta medir la fuerza de la relacin lineal entre dos variables por medio de un slo nmero. El coeficiente define por s mismo el grado de asociacin entre las variables seleccionadas, ya que la correlacin entre variables es el grado de relacin o conexin entre ellas.Si xi e yi forman el conjunto de valores experimentales obtenidos, entonces, el coeficiente de correlacin r est dado por la expresin:

El coeficiente de correlacin entre dos variables se sita entre -1 y +1, inclusive. Si existe una relacin lineal entre las variables el coeficiente es 1 o -1. El signo - indica que la relacin lineal tiene pendiente negativa. El valor 0 (cero) refleja la ausencia de una relacin lineal pero no de asociacin entre las variables. En este caso se dice que las variables no estn correlacionadas (es decir, son independientes). Toma valores intermedios si las variables estn correlacionadas (pero no puede decirse nada del tipo de relacin que las asocia); los valores sern ms altos cuanto ms fuerte sea la correlacin. Se puede asegurar que los valores cercanos a +1 o -1 indican una tendencia lineal.Es importante recordar que el coeficiente de correlacin entre dos variables es una medida de su grado de linealidad.

3.- CASOS DE LA VIDA REAL DEBIDO A LA PROPAGACIN DE ERRORES NUMRICOS

Presentamos dos problemas de la vida real que se han debido a la propagacin de errores numricos. Mencionaremos algunos conceptos, como representacin en punto flotante, redondeo, aritmtica binaria, etc., que sern introducidos ms adelante en este tema. 3.1.- El fallo de un misil PatriotEl 25 de febrero de 1991, durante la guerra del Golfo, una batera de misiles Patriot americanos en Dharan (Arabia Saud) no logr interceptar un misil Scud iraqu. Murieron 28 soldados americanos. La causa: los errores numricos por utilizar truncado en lugar de redondeo en el sistema que calcula el momento exacto en que debe ser lanzado el misil .Los ordenadores de los Patriot que han de seguir la trayectoria del misil Scud, la predicen punto a punto en funcin de su velocidad conocida y del momento en que fue detectado por ltima vez en el radar. La velocidad es un nmero real. El tiempo es una magnitud real pero el sistema la calculaba mediante un reloj interno que contaba dcimas de segundo, por lo que representaban el tiempo como una variable entera. Cuanto ms tiempo lleva el sistema funcionando ms grande es el entero que representa el tiempo. Los ordenadores del Patriot almacenan los nmeros reales representados en punto flotante con una mantisa de 24 bits. Para convertir el tiempo entero en un nmero real se multiplica este por 1/10, y se trunca el resultado (en lugar de redondearlo). El nmero 1/10 se almacenaba truncado a 24 bits. El pequeo error debido al truncado, se hace grande cuando se multiplica por un nmero (entero) grande, y puede conducir a un error significativo. La batera de los Patriot llevaba en funcionamiento ms de 100 horas, por lo que el tiempo entero era un nmero muy grande y el nmero real resultante tena un error cercano a 0.34 segundos. En 0.34 segundos recorre ms de medio kilmetro. Esta distancia fue suficiente para que el misil Patriot no pudiera alcanzar al misil Scud y destruirlo.

3.2.- La explosin del cohete Ariane 5El 4 de junio de 1996, el cohete Ariane 5 de la Agencia Europea del Espacio (ESA) exploto 40 segundos despus de su despegue a una altura de 3.7 km. tras desviarse de la trayectoria prevista . Era su primer viaje tras una dcada de investigacin que costo ms de 7000 millones de euros. El cohete y su carga estaban valorados en ms de 500 millones de euros. La causa del error fue un fallo en el sistema de guiado de la trayectoria provocado 37 segundos despus del despegue. Este error se produjo en el software que controlaba el sistema de referencia inercial (SRI). En concreto, se produjo una excepcin software debido al intento de convertir un nmero en punto flotante de 64 bits, relacionado con la velocidad horizontal del cohete respecto de la plataforma de lanzamiento, en un entero con signo de 16 bits. El nmero ms grande que se puede representar de esta forma es 32768. El intento de convertir un nmero mayor causo la excepcin que provoco que el software de seguimiento de la trayectoria dejara de funcionar y en ltima instancia el accidente.

4.- CONCLUSIONESa) Los errores accidentales solo se pueden reducir por medio de un mayor cuidado en las medidas y aumentando el nmero de medidas. b) Los errores sistemticos se pueden corregir aplicando correcciones a las medidas cuando se conoce el error, o aplicando mtodos sistemticos en el trabajo de campo para comprobarlos y contrarrestarlos.c) El estudio estadstico de errores es muy importante ya que por medio de ellos podemos estimar la desviacin de los datos.d) El mtodo de Mnimos Cuadrados Estocstico es propiamente un mtodo de estimacin. Frente a otros mtodos estadsticos ste slo requiere una caracterizacin parcial del error.e) De acuerdo con lo que hemos observado, y los datos obtenidos en los ejercicios, tenemos que cada vez que se efecte el conjunto de operaciones requeridas para medir una determinada magnitud, se obtendr un nmero que solamente en forma aproximada representa la medida buscada. Por lo tanto, cada resultado de una medicin est afectado por un cierto error.f) En conclusin no se puede obtener valores exactos. Adems existen herramientas con menor error que otras.

5.- BIBLIOGRFIAi. F. Cernuschi, F.I. Greco, Teora de errores de mediciones, EUDEBA, Buenos Aires (1968).ii. R.S. Figliola, D.E. Beasley, Mediciones Mecnicas, teora y diseo, Alfaomega Grupo editorial, S.A. de C.V. (2003).iii. http://www.ugr.es/~aquiran/docencia/apuntes/errores.pdfiv. http://jogomez.webs.upv.es/material/errores.htmv. http://www.monografias.com/trabajos84/teoria-errores/teoria-errores.shtmlvi. http://www.mariangaspi.blogspot.com/vii. http://www.ditutor.com/distribucion_normal/campana_gauss.html

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