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PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS

BÁSICOS DE GEOMETRÍA (RECTAS Y ÁNGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA

A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

AUTOR

JOSÉ CAMILO RAVE BUILES

Licenciado en matemáticas y física

ASESOR:

JAIR ARTURO GOMEZ GOMEZ

MSc en Ciencia y Tecnología

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

MAESTRIA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

FACULTAD DE CIENCIAS

MEDELLÍN, MAYO DE 2017

PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA (RECTAS Y ÁNGULOS) EN LA EDUCACIÓN

MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

ASESOR:

JAIR ARTURO GOMEZ GOMEZ

MSc en Ciencia y Tecnología

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

MAESTRIA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

FACULTAD DE CIENCIAS

MEDELLÍN, MAYO DE 2017

“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas

cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”

René Descartes

AGRADECIMIENTOS A mi familia, fuente infinita de fuerza y determinación para enfrentar las dificultades.

Gracias a ellos porque son mi motivo para seguir despertando.

A Dios porque en su sombra siempre he estado y siempre estaré. Es él quien me

pone las oportunidades por delante.

Al maestro Jair Gómez, por su compañía y aportes en la realización del presente

trabajo final.

VII

RESUMEN:

Cuando la estudiante del colegio Marymount de Medellín entra al grado décimo

y undécimo se encuentra con muchas dificultades de tipo procedimental puesto que

se empiezan a relacionar clases que para ellas son muy diferentes y que, en algunos

casos, no tienen ninguna relación.

A continuación, se pretende crear una propuesta metodológica que permita

articular los conceptos básicos de la geometría euclidiana con algunas de sus

respectivas aplicaciones en la trigonometría elemental y el pre-calculo.

Esta propuesta se aplica en un grupo femenino de 28 estudiantes del grado 9º y

su metodología de enseñanza está basada en la enseñanza para la comprensión

(EPC), el constructivismo social y la resolución de problemas aplicados para mejorar

la comprensión.

La idea final de la presente propuesta es encontrar nuevas metodologías de

enseñanza que le permitan al estudiante mejorar con respecto a sus competencias

de razonamiento, más exactamente en la competencia de resolución de problemas

Palabras claves: Enseñanza para la comprensión, constructivismo social,

resolución de problemas, aprendizaje significativo, enseñanza, aprendizaje.

ABSTRACT:

When students just get into tenth or eleventh grade, the get many difficulties

about new topics like trigonometric ratios in trigonometry or gradient en calculus.

VIII

In this proposal, it´s going to be explored a new way to teach some important

geometrical concepts like point, line and angle based in real problem.

This work is going to be applied on 28 students from Marymount School and its

main resourses the strategies of problem solving, social constructivism and taching

for undertanding.

In consecuence, this final proyect is looking for new ways to teach to make the

students to improve their capability to solve real problems.

Key words: Teching for undertanding, social constuctivism, problem solving,

teaching, learning, significant learning.

IX

CONTENIDO AGRADECIMIENTOS........................................................................................................V

RESUMEN:....................................................................................................................VII

CONTENIDO..................................................................................................................IX

LISTADEILUSTRACIONES...............................................................................................XI

LISTADETABLAS.........................................................................................................XIII

INTRODUCCIÓN............................................................................................................15

1. DISEÑOTEÓRICO..................................................................................................181.1 PLANTEAMIENTODELPROBLEMA.............................................................................18

1.1.1 DescripcióndelProblema...........................................................................................181.1.2 FormulacióndelaPregunta........................................................................................19

1.2 JUSTIFICACIÓN..........................................................................................................201.3 OBJETIVOS................................................................................................................23

1.3.1 ObjetivoGeneral:.......................................................................................................231.3.2 ObjetivosEspecíficos:.................................................................................................23

1.4 MARCOREFERENCIAL...............................................................................................241.4.1 Antecedentes..............................................................................................................241.4.2 MarcoTeórico.............................................................................................................271.4.3 MarcoConceptual–Disciplinar..................................................................................331.4.4 MarcoLegal................................................................................................................371.4.5 MarcoEspacial............................................................................................................40

2. DISEÑOMETODOLÓGICO......................................................................................422.1 ParadigmaCrítico-Social..........................................................................................422.2 TipodeInvestigación................................................................................................432.3 InstrumentosdeRecoleccióndelaInformación........................................................43

X

2.4 PoblacionyMuestra.................................................................................................442.5 DelimitaciónyAlcance..............................................................................................45

3. TRABAJOFINAL:SISTEMATIZACIÓN......................................................................493.1 RESULTADOSYANÁLISISDELAINTERVENCIÓN.........................................................49

3.1.1 PruebaDiagnóstica.....................................................................................................493.2 DiseñodelaPropuestaMetodológica........................................................................603.2.1 Descripcióndelapropuesta.......................................................................................613.2.2 AprendizajesEsperadosyEstandaresRelacionados..................................................633.2.3 DinámicadelTrabajoenClase....................................................................................64

3.3 INTERVENCIÓNDELAPROPUESTAMETODOLÓGICA.................................................643.4.1 ANALISISDELOSRESULTADOSDELPOST-TEST..........................................................81

4. CONCLUSIONESYRECOMENDACIONES.................................................................844.1 CONCLUSIONES.........................................................................................................844.2 RECOMENDACIONES.................................................................................................85

REFERENCIAS................................................................................................................88

ANEXOS........................................................................................................................90ANEXOA:Pruebadiagnóstica................................................................................................90ANEXOB:Post-test................................................................................................................95

XI

LISTA DE ILUSTRACIONES

Ilustración 1 .......................................................................................................... 52

Ilustración 2 .......................................................................................................... 53

Ilustración 3 .......................................................................................................... 54

Ilustración 4 .......................................................................................................... 55

Ilustración 5 .......................................................................................................... 56

Ilustración 6 .......................................................................................................... 56

Ilustración 7 .......................................................................................................... 56

Ilustración 8 .......................................................................................................... 56

Ilustración 9 .......................................................................................................... 57

Ilustración 10 ........................................................................................................ 57

Ilustración 11 ........................................................................................................ 57

Ilustración 12 ........................................................................................................ 57

Ilustración 13 ........................................................................................................ 58

Ilustración 14 ........................................................................................................ 58

Ilustración 15 ........................................................................................................ 58

Ilustración 16 ........................................................................................................ 59

XII

Ilustración 17 ........................................................................................................ 67

Ilustración 18 ........................................................................................................ 68

Ilustración 19 ........................................................................................................ 70

Ilustración 20 ........................................................................................................ 73

Ilustración 21 ........................................................................................................ 75

Ilustración 22 ........................................................................................................ 76

Ilustración 23 ........................................................................................................ 78

Ilustración 24 ........................................................................................................ 79

Ilustración 25 ........................................................................................................ 80

Ilustración 26 ........................................................................................................ 82

XIII

LISTA DE TABLAS

Tabla 1: NORMOGRAMA ...................................................................................... 38

Tabla 2: FASES DE LA APLICACIÓN .................................................................. 46

Tabla 3: CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES ....................................................... 48

Tabla 4: MATRIZ DE VALORACIÓN .................................................................... 60

Tabla 5: COMPARACIÓN DE RESPUESTAS POR CONCEPTOS EN EL DIAGNÓSTICO Y EL POST-TEST ................................................................. 81

INTRODUCCIÓN 15

INTRODUCCIÓN

Los procesos de enseñanza y de aprendizaje han cambiado mucho durante las

últimas decadas. Hemos pasado por los modelos tradicionales de los años 50´s y

60´s, donde el maestro era el poseedor absoluto del conocimiento y de las

dinámicas de clase; por los modelos axiomáticos de la teoría de grupos, impulsada

en el pais en los años 90´s por matemáticos que pensaron en los procesos de

enseñanza a partir de de las configuraciones iniciales de conjuntos reales; y

finalmente, estamos en una época de corrientes constructivitas en la que es el

estudiante el protogonista de sus aprendizajes y donde se piensa en una enseñanza

basada en las competencias que éste pueda desarrollar en el mundo laboral.

Una de las competencias fundamentales en el aprendizaje de las matemáticas

es la resolución de problemas. El estudiante contemporaneo deberá salir de la

escuela a un mundo productivo donde es necesario que proponga soluciones a

situaciones reales.

La presente es una propuesta meodologica que busca potenciar la competencia

de resolución de problemas usando la enseñanza para la comprensión y el

constructivismo social como pilares fundamentales en la elaboración de ideas

matemáticas, en este caso, las ideas geométricas fundamentales de recta y ángulo.

El proposito es, por lo tanto, diseñar una propuesta metodológica de enseñanza

en el grado 9º del colegio Marymount Medellin que articule los conceptos básicos

de la geometría (rectas y ángulos) a la resolución de algunos problemas iniciales de

la trigonometría y el cálculo.

PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

(RECTAS y ANGULOS) EN LA EDUCACIÓN MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA

RESOLUCION DE PROBLEMAS.

16

Para lograr tal objetivo, las ideas propuestas por Perkins, Frazer, Garret, Cubero

y Polya, entre otros; acerca de los pilares que soportan esta propuesta, enmarcan

todo el proceder teórico y práctico para mejorar la enseñanza de los conceptos de

recta y ángulo de cara a la solución de algunos problemas prácticos e iniciales de

la trigonometría y el cálculo.

La propuesta fue desarrollada en el colegio Marymount de Medellín con 28

estudiantes del grado 9º. Marymount es un Colegio de la comuna 14 de la ciudad y

presta sus servicios educativos a familias de los estratos 5 y 6.

El trabajo final está desarrollado en 4 capítulos de la siguiente manera:

El primer capítulo hace un recorrido por el diseño teórico que fundamenta la

enseñanza de los conceptos básicos de la geometría, hace una descripción del

problema a abordar, su justificación y analiza los antecedentes históricos de

situaciones similares.

El segundo capítulo se preocupa por los fundamentos metodológicos de la

propuesta, por lo tanto, se deja clara toda la información acerca del método, el

enfoque y las corrientes que rigen la intervención. En este capítulo también se da

información sobre los alcances y la población a la cual se le aplicara la investigación.

El tercer capítulo es el de la sistematización de la intervención. Este capítulo

describe el proceso de intervención en el aula dejando claro cómo se diseñó la

secuencia a partir de la prueba diagnóstica hasta llegar al post-test. Aquí se puede

ver también el análisis de los resultados del post-test y su respectiva comparación

con los resultados de la prueba diagnóstica.

INTRODUCCIÓN 17

Finalmente, en el cuarto capítulo, se dejan claras algunas conclusiones que

permite sacar la aplicación de la propuesta y así mismo se proponen algunas

recomendaciones de cara a lo sucedido en todo el proceso de elaboración e

intervención.




18

1. DISEÑO TEÓRICO

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

1.1.1 Descripción del Problema

El colegio marymount de Medellin es una institución educativa bilingüe de

carácter privado que presta sus servicios educativos en la comuna 14 y que

actuamente se encuentra clasificada en la categoria muy superior según registro

ICFES.

En los grados de décimo y undécimo se abordan dos asignaturas de gran

importancia historica y conceptual para el desarrollo de las matemáticas como

ciencia, la trigonometría y el cálculo. Cuando las estudiantes alcanzan dichos

grados de escolaridad se pueden evidenciar muchas dificultades en la comprension

de las ideas fundamentales de tales disciplinas, puesto que el poco manejo de

conceptos básicos de la geometria, conceptos como el de recta y ángulo, causa

dificutades a la hora de comprender nuevas ideas concernientes a estos campos

del saber.

1. DISEÑOTEÓRICO 19

Y es que en la institucion se ha visto la geometria como un ente aparte de las

matemáticas y por tanto ha sido relegada a los ultimos periodos académicos. Esto

ha hecho que las estudiantes no identifiquen los importantes aportes que ha hecho

la geometria a las otras ramas de la matemática y que en conceciencia, la vean

como un conocimiento inconexo que poco o nada tiene que ver con ideas vistas en

álgera o estadística.

Lo anterior se ve reflejado claramente en las altas perdidas de la asignatura que

se generan en el primer periodo del grado décimo y undécimo. Allí se retoman

conceptos como longitud de una recta, longitud de un segmento e ideas de

pendientes de rectas, entre otros; que de haber sido correctamente madurados y

relacionados en los anteriores años escolares, no generarian inconvenientes de

comprension puesto que son temáticas ya estudiadas.

Otra de las grandes dificultades que se ha logrado identificar dentro de los

primeros contactos de la estudiante con la trigonometría y el cálculo es que si bien

se han realizado estudios previos de la recta y el angulo, su aplicación en

situaciones problema o en modelos que demanden la identificación y posterior

proposicion de soluciones por parte del estudiante han sido muy pocas, esto ha

hecho que haya un manejo memoristico de los conceptos pero que su aplicación en

contexto, aplicaciones que suplen los insumos iniciales de la trigonometria y el

cálculo, los muestren como conocimiento nuevo.

1.1.2 Formulación de la Pregunta

De acuerdo a lo anterior se formula la siguiente pregunta:




20

¿Cómo abordar, mediante una estrategia de enseñanza, los conceptos básicos de

la Geometría en el grado 9º del colegio Marymount de Medellín en situaciones

problema y su relación con la idea de la pendiente de la recta tangente en precaculo

y las relaciones en el triángulo rectángulo en trigonometría?

1.2 JUSTIFICACIÓN

Los conceptos de espacio y cantidad, existentes y predeterminados en el

cerebro de los animales son de vital importancia en la supervivencia, además de

que fueron los primeros que motivaron al ser humano para realizar cálculos y lograr

comunicar sus ideas a otros. La idea del espacio y la configuración de éste impulsó

al hombre a establecer formas y relaciones que le permitieran ahondar sus

conjeturas y así mejorar sus relaciones sociales y con su entorno.

La primera relación que tuvo el hombre con las Matemáticas se dió gracias a la

geometría y a la necesidad de contar, para luego entre ambos conocimientos

empezar a construir toda la ciencia lógica de la que hoy tenemos conocimiento y

que llamamos matemáticas.

Sin embargo, en el colegio Marymount de Medellín, las estudiantes no ven la

geometría como una rama de las matemáticas y por ello se estan enfretando a

algunas dificultades que se relacionan directamente con las aplicaciones del

lenguaje e ideas dentro de situaciones reales.


En las pruebas saber realizadas por el ICFES en el año 2016, aunque el colegio

aun aparece con clasificación muy superior, no hubo buenos resultados en las

competencias de comunicación y resolucion de problemas en el área de

matemáticas puesto que las estudiantes evidenciaron comprension de conceptos

especificos pero tenian dificultades al momento de poner dichas ideas en contexto.

Por lo tanto, se quiere retomar el carácter fundamental de la Geometría

generando una metodología de enseñanza en la media del colegio Marymount de

Medellín que se preocupe, no solo por la repetición de ideas geométricas, sino que

además permita la profundización de conceptos básicos y su utilización en la

resolución de situaciones problema tal y como fue utilizada en los inicios de la

Matemática y además como la utilizaron los grandes matemáticos para la edificación

de nuevas ramas tales como fueron la trigonometría y el cálculo.

Para lograr esto, se presenta una nueva distribución curricular que apunta a una

enseñanza de la geometría a partir de la explicación del espacio que rodea al

estudiante y que así mismo, le permita solucionar problemáticas propias de su

contexto, para obtener de esta manera competencias conceptuales necesarias en

la construcción de saberes científicos en general; mas puntualmente en la

elaboración de ideas básicas de la trigonometría y del cálculo.

De acuerdo a lo anterior, se busca que el contacto del estudiante con las

materias anteriormente nombradas se genere de una forma más natural y menos

forzada, logrando que éste identifique su relación con el mundo de lo real y que así

genere ideas científicas soportadas en lo concreto.

El impacto de la estrategía se vera reflejado en la mejor comprensión de los

conceptos iniciales de la trigonometría y del cálculo, tanto a nivel de la Educación




22

media del colegio Marymount de Medellín, como a nivel de la educación superior en

los primeros semestres de carreras universitarias como ingenierías; y por tanto, en

la disminución en el índice de perdida de estas materias en ambos niveles.


1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo General:

• Diseñar una propuesta metodológica de enseñanza en el grado 9º del colegio

Marymount Medellin que articule los conceptos básicos de la geometría (rectas

y ángulos) a la resolución de algunos problemas iniciales de la trigonometría y

el cálculo

1.3.2 Objetivos Específicos:

• Identificar los saberes previos de los estudiantes acerca de los conceptos

básicos de geometría (recta y ángulos) a través de una prueba diagnóstica.

• Analizar los resultados a través de una matriz de valoración DOFA a la luz de la

teoría de la enseñanza para la comprensión para determinar el nivel de

apropiación de los estudiantes sobre los conceptos básicos de la geometría y su

aplicabilidad en contexto.

• Diseñar una propuesta metodológica para la enseñanza de los conceptos

básicos de la geometría mediante el uso de software libre y material manipulable.

• Intervenir con la propuesta metodológica los procesos de enseñanza y

aprendizaje de las ideas de rectas y ángulos.




24

• Evaluar los resultados de la propuesta a través del análisis de los avances

conceptuales de los estudiantes.

1.4 MARCO REFERENCIAL

1.4.1 Antecedentes

La preocupación por la enseñanza de la geometría y sus aplicaciones en la

resolución de problemas en la escuela, ha sido una constante que se ha venido

dando desde hace algunos años tanto a nivel nacional como internacional. Tal

situación esta soportada en la importancia que tiene el pensamiento geométrico en

la educación media para la aprehensión de nuevos conceptos científicos tanto allí,

grados 9°, 10° y 11° de la educación colombiana, como en la educación superior.

Por lo anterior es importante mencionar algunos esfuerzos que se han hecho a

diferentes niveles a favor de mejorar o potenciar la enseñanza de la Geometría.

Algunos de ellos son los siguientes:

A nivel local, se destacan dos estudios importantes realizados en la Universidad

Nacional de Colombia: El primero de ellos, busca alternar los procesos que el autor

llama tradicionales, refiriéndose a aquellos que se dan dentro de un aula de clase

con enseñanza tradicional, con el uso de las nuevas tecnologías de la información

para potenciar el razonamiento geométrico en el diseño de planos arquitectónicos y

lograr asi que el estudiante argumente y valide sus aprendizajes geométricos en

contexto. (López Perez, 2008).


En el segundo de ellos, ya un poco más especializado, “la enseñanza de la

Geometría en la secundaria” se defiende la idea de involucrar los conceptos

geométricos en los primeros años de bachillerato a través de ideas relacionadas a

la teoría de conjuntos para posteriormente llegar a la introducción al Álgebra. Por lo

anterior los autores plantean que es ideal introducir las ideas geométricas en la

primaria desde el punto de vista experimental dejando de lado los procesos

deductivos (De Villamil, Benitez, & Donado, 2014)

En la Universidad de Antioquia se encuentra una tesis presentada en diferentes

congresos de enseñanza tales como son el encuentro nororiental de Matemáticas

en la Universidad Industrial de Santander y en el VIII congreso internacional

didáctica de las ciencias en la Habana, cuba; en la cual se propone el aprendizaje

de la geometría como una herramienta que potencia el aprendizaje de los conceptos

científicos en general (Cardona Posada, Rave Builes , & Muñoz Zapata , 2012), se

busca aquí introducir los conceptos geométricos a través de guías de trabajo de la

metodología aula taller para lograr de esta manera que el estudiante aplique los

conceptos básicos de la geometría y los relacione con ideas puntuales de las

ciencias exactas y naturales.

Por otro parte, en la Universidad de Medellín se han presentado algunas

iniciativas entre las cuales sobresale la presentada por Jorge Andrés Toro Uribe la

cual titula “Acercamiento a la argumentación en un ambiente de geometría

dinámica” que plantea la necesidad imperiosa de que el estudiante argumente sus

ideas en la demostración de postulados geométricos lo cual no es solo un

requerimiento desde el índole geométricos sino social (Toro, 2014).

Otro de los trabajos que propone adelantos en la enseñanza de la Geometría es

elaborado en la Fundación Universitaria católica del norte y se titula “Doblado de




26

papel para generar conocimiento geométrico” en el cual el autor evidencia

dificultades conceptuales en la enseñanza de la geometría elemental por lo que

propone un método para generar conocimiento geométrico en los docentes

(Jaramillo López, Santa Ramirez, & De Carvalho Borba, 2015) y que por

transferencia, ayude a éstos a mejorar sus prácticas pedagógicas en la enseñanza.

A nivel nacional sobresale una propuesta sobre la enseñanza de cuerpos y

figuras geométricas la cual identifica la diferencia existente entre lo que se enseña

en el departamento de Risaralda y lo que propone la teoría, logrando de ésta

manera identificar los métodos de enseñanza de cuerpos y figuras geométricas en

la básica primaria (Orozco Toro, López Castro , & Serna, 2013) para posteriormente

realizar un análisis que permita mejorar dichos métodos de enseñanza.

En cuanto al ambito internacional, sobresalen varias publicaciones que se

preocupan por la enseñanza de la Geometría. En España, se han adelantado

estrategias que igualmente buscan potenciar la enseñanza y el aprendizaje de la

geometría a través de estrategias didácticas como la geometría interactiva y

aplicándola al plano como contacto real. Aquí el autor propone la idea de que la

enseñanza de la geometría se ha trasladado a un campo netamente axiomático

(Bourbakista) y se dejó de lado el carácter ideal de la geometría plana lo cual

permitía mayor aplicación y contextualización (Sanchez Quevedo, 2006).

Por otra parte, en México, el Instituto Nacional para la Evaluación de la

Educación (INEE) preocupado por la enseñanza de la geometría en la básica y

media propone un libro que invita a los docentes a reflexionar sobre la riqueza

científica que ofrecen los conceptos geométricos y “tome conciencia de que su

tratamiento en el aula no consiste solo en la transmisión de conceptos geométricos


sino en sumergir al alumno en todo un mundo de experiencias” (López Escudero &

Garcia Peña, 2008), además de esto se proponen estrategias para la enseñanza de

la geometría dejando clara la resolución de problemas como método de enseñanza.

1.4.2 Marco Teórico

Muchas han sido las teorías que se han generado conforme se conocen las

dinámicas de aprendizaje de los estudiantes, y muchas otras las que se han

pensado en tiempos modernos con respecto a estrategias de enseñanza para

potenciar las habilidades en un mundo que es cada vez más competitivo. No

obstante, no todas estas herramientas son aplicables a todos los contextos por lo

que se propone abordar el presente problema desde una teoría constructivista

centrada en la socialización y la participación de todos los integrantes de la

comunidad (constructivismo social) y soportado en los modelos de la enseñanza

para la comprensión (EpC) y la resolución de problemas.

A medida que cambian los tiempos y conforme se estudian a profundidad los

procesos de enseñanza y aprendizaje, se ha podido constatar que existen diferentes

maneras de abordar dichos procesos, por lo que se hace necesario entender cómo

piensa el estudiante y como lograr que éste interiorice las ideas geométricas, más

allá de lograr en él una simple repetición de lo aprendido.

Es conocido por muchos que el constructivismo, como modelo pedagógico, se

separa de manera definitiva del empirismo y del racionalismo, pero toma algunos

elementos fundamentales de ellos, tales como son la experiencia y la socialización,

al considerar que el conocimiento es una construcción del individuo y que éste se

deriva directamente de una representación subjetiva que se tiene de la realidad. Por

esto Cubero Pérez citando a Popkewitz (2005) considera que no hay una única




28

construcción del conocimiento por parte del individuo si no que, dado que la realidad

es relativa al sujeto, existen múltiples maneras de construir las ideas y que estas

provienen de la relación que se establece entre quien conoce y su contexto.

Sin embargo, el ser humano vive y se desenvuelve en una sociedad por lo que

no es posible considerar una representación de la realidad sin tener en cuenta a los

demás integrantes de la misma. Apuntando a esto, Gómez citando Newman Griffin

y cole (2008) argumentan que en la construcción del conocimiento no solo es

relevante la participación de los más expertos, sino que por el contrario es necesaria

la ayuda de todos los miembros de la sociedad. En esta línea surge una nueva

orientación del constructivismo denominada constructivismo social que, como su

nombre lo indica, da primacía a la índole social en la construcción del conocimiento

sin desmeritar o negar la existencia de la dimensión individual en el proceso de

conocer.

Todo conocimiento o idea está inmersa en un contexto y es inherente a los

comportamientos sociales que allí se general, luego si se quiere estudiar la manera

en la que el individuo construye sus ideas, es absolutamente necesario estudiar

también el contexto físico y social del cual éste toma sus representaciones (Cubero

Pérez, 2016), puesto que cada escenario sociocultural, y en palabras de Rosario

Cubero citando a Rodrigo (2016), determina un cómo, por qué, y para qué se

construye el conocimiento.

Y es que es claro que cada contexto está circunscrito en una serie de

necesidades, léxico, fines y tipo de personas que se encuentran inmersos en él, por

lo que es consecuencia pensar que no es lo mismo la matemática como objeto de

conocimiento al interior de una escuela primaria a la matemática como objeto de


aplicación de una comunidad de investigadores. Cada uno de estos espacios,

aunque, tal vez, con las mismas ideas circulando al interior de su espacio físico,

demandan diferentes procesos de aprendizaje enmarcados en necesidades y fines

muy claramente establecidos y diferentes entre sí.

Luego, el constructivismo social se preocupa por dichos espacios y la interacción

entre sus integrantes y el objeto de conocimiento a partir de la interacción individuo-

contexto, dejando claro que cada espacio cultural y grupo social genera

construcciones conceptuales diferentes y enmarcadas bajo unas condiciones

sociales propias y que, por tanto, es necesario pensar la manera de tomar cada idea

de acuerdo a la comunidad a la que se pretende abordar.

Ahora bien, está claro entonces que el presente trabajo final tendrá como base

una teoría de enseñanza basada en el constructivismo y que, con ese fondo, se

enmarcará en el constructivismo social como modelo, pero, aunque se entiende que

toda la comunidad en la que se desenvuelve el estudiante es importante en su

proceso de aprendizaje, es necesario dejar claro cual es el enfoque que se le dará

a la enseñanza para lograr en el estudiante un aprendizaje real.

Muchas corrientes pedagógicas, por no decir que todas, buscan lograr un

verdadero aprendizaje en el estudiante y que éste, por supuesto, saque el máximo

provecho de sus experiencias educativas. Sin embargo, en este caso se contará

con dos modelos de enseñanza que van en la misma línea del constructivismo social

como teoría y que además aportan al tipo de formación que ella propone. Éstos

modelos son, y como se dijo anteriormente: la enseñanza para la comprensión

(EpC) y la resolución de problemas.

Antes de pensar en el hecho de aplicar la EpC en la presente propuesta y

preocuparse por lo planteado por esta metodología de enseñanza, es necesario




30

preguntarse por lo que se considera “comprender” y lo que esto involucra dentro del

contexto del aprendizaje.

El hecho de lograr que el estudiante replique cierta información que previamente

se le impartió no implica necesariamente que éste haya aprendido o que maneje el

nuevo conocimiento recibido. El tener la información a la mano y recitarla cada que

vez que sea requerida tampoco da cuenta de apropiación por parte del estudiante

con respecto al conocimiento. Este tipo de situaciones solo hablan de buena

memoria. Para Perkins en el libro de Martha Stone “la enseñanza para la

comprensión” (1999), el comprender es la habilidad que adquiere el estudiante de

pensar y poder manipular la información a partir de sus propias conclusiones lo cual

implica no solo el hecho de poderla reproducir, sino también, el estar en capacidad

de movilizarla utilizando sus propias palabras.

Con un poco de claridad en lo que se considera “comprender” dentro del contexto

de la EpC, es momento de clarificar que es la EpC, como está conformada y cuáles

son sus objetivos.

La EpC es un modelo pedagógico que busca involucrar a los estudiantes en su

proceso de aprendizaje de tal manera que estos puedan, además de reproducir la

información, pensar a través de lo aprendido. Esto implica que el aprendiz debe

lograr manipular el conocimiento de acuerdo a sus necesidades. Por ejemplo,

cuando un estudiante es cuestionado por la cantidad de cable, en metros, necesario

para acordonar una superficie triangular cuyas coordenadas de sus vértices son

conocidas, y éste logra relacionar tal situación con conceptos como distancia entre

dos puntos y perímetro de un polígono, más allá del simple hecho de realizar

cálculos incipientes acerca del uso de la ecuación para determinar la distancia entre


dos puntos, se hace visible una comprensión real de dichas ideas ya que éste, quien

aprende, puede aplicarla en un contexto y servirse de ello para solucionar

situaciones reales.

Los elementos fundamentales en los cuales está fundamentada la EpC son

cuatro: tópicos generativos, metas de comprensión, desempeños de comprensión y

evaluación continua Pisiz y lópez citando a Stone (2015). Estos criterios responden

a varios interrogantes como son, respectivamente: Qué aprender, Qué se debe

comprender del tema a aprender, Cómo aplicar lo comprendido en contexto y

finalmente, Cómo dar cuenta del nivel de comprensión del estudiante. Responder a

estas cuestiones da al maestro grandes y potentes herramientas para enfrentar el

reto de la comprensión y lograr de esta manera generar mejores prácticas docentes.

Por otro lado, un excelente soporte para alcanzar la comprensión, es lograr

enfrentarlos a situaciones que demanden de ellos esfuerzo e ingenio para

solucionar problemas. Como se dijo anteriormente, es aquí, en la aplicación en

contexto, donde se evidencia la real comprensión del educando. En esta misma

línea encontramos la resolución de problemas como modelo de enseñanza

propuesto por Polya y otros grandes autores como Frazer y Garrett, pero para eso

hay q preguntarse por uno de los elementos fundamentales en la concepción de

esta propuesta metodológica. Dicho elemento es lo que denominamos “El problema

en ciencias exactas”.

La idea de “problema” en matemáticas es bastante utilizada en los procesos

tanto de enseñanza como de aprendizaje, pero, ¿Qué es un problema?, ¿existen

diferentes tipos de problemas?, ¿Cuál es la diferencia entre ejercicio y problema?

Para responder estas preguntas podemos partir de una definición clásica de

problema, lo cual se identifica como una situación en la que se ven envueltos el




32

sujeto y sus intereses, a la que no se le conoce un método para su solución y que

es necesidad del individuo el resolverla. Pifarré y Sanuy citando a Lester (2001).

Esta corta definición deja entre ver algunas características importantes pero que

no son las únicas ya que, según Becerra citando a Rudnick y Krulik (2004), así

mismo se puede definir “el problema” desde la dificultad causada al individuo por el

desconocimiento de su solución; y que además puede ser establecido desde el

grado de dificultad que éste presente al sujeto o desde el camino utilizado para su

solución.

Desde el primer criterio, una situación puede convertirse en problema cuando se

reconoce como tal; o sea, cuando el individuo es consciente de la falta de

respuestas a ciertas situaciones, Jessup citando a Garret (2000). Desde el punto de

vista del camino utilizado para su solución, un problema puede tomarse como una

situación que debe ser tratada de manera personal por parte de quien lo resuelve y

que va mucho más allá del mero hecho de aplicar fórmulas previamente

establecidas.

Ahora bien, si es claro lo que será un problema en la índole más general y, en

especial, en el contexto de este trabajo final, es necesario hacer claridad también

en lo que se entiende por solucionar un problema. Por lo anterior es importante

anotar lo siguiente:

“La resolución de problemas es un proceso por el que una persona organiza la

información obtenida, la comprende a profundidad y haciendo uso de la memoria a

largo y corto plazo establece una estrategia o camino lógico de solución”. Becerra

citando Kempa (2004)


Por su parte, Jessup citando a Fazer (2000) considera que la resolución de un

problema es, más bien, un proceso por el cual el individuo utiliza los conocimientos

de una disciplina en particular, y con la ayuda de ciertas herramientas que pueden

o no pertenecer a ella, se acerca a la solución del mismo. Sin embargo, otras

posturas plantean, por ejemplo, que es más apropiado hablar del “enfrentarse a un

problema” que “solucionar un problema” ya que el primero implica directamente un

proceso de pensamiento necesario para su solución, Jessup citando a Garret

(2000).

Lo que sí es indudable es que la resolución de un problema podría tomarse como

un pretexto para pensar y exigirse intelectualmente. La continua practica y contacto

con situaciones que demandan del ingenio y la imaginación hacen del estudiante un

mejor solucionador de problemas.

Por otro lado, Frazer clasifica los problemas en artificiales y reales, siendo los

primeros aquellos que tienen una solución conocida por la persona que los ha

presentado (en este caso, para quien lo postula es un ejercicio) y los segundos,

aquellos para los cuales no se conoce la solución e incluso puede que no exista.

Según su número de soluciones, existen problemas cerrados, con solución única, y

problemas abiertos, con un número variable de soluciones Jessup citando a Fazer

(2000)

1.4.3 Marco Conceptual – Disciplinar

El sistema educativo colombiano se encuentra regulado por una serie de leyes

y normas que buscan alinear lo que se enseña en las instituciones educativas del




34

pais. Los lineamientos curriculares y los estandares de cada área de formación son

algunos de estos documentos con los que se pretende garantizar que cualquier

persona que haya sido formada en Colombia, sepa aproximadamente lo mismo y

que además sea competente para las labores que el pais demanda.

En los lineamientos curriculares del área de matemáticas se busca educar un

individuo capaz de solucionar situaciones problema dentro de un contexto dado,

(dentro de su cotidianidad) y que por tanto se haga un ser competente y útil a su

sociedad; y para esto es necesario salir de la enseñanza de contenidos aislados,

que por el contrario se motive la intromisión del estudiante en situaciones problema

que sean fácilmente aplicables a su contexto y a sus necesidades reales.

Por lo anterior, en el área de matemáticas se trabajan cinco pensamientos

fundamentales que aunque son diferentes, en la práctica se entrelazan, lo cual no

hace posible el hecho de que en una clase regular se pueda trabajar un solo

pensamiento. Dichos pensamientos son el pensamiento numérico, el variacional, el

metrico, el espacial y por último el aleatorio.

El presete trabajo final pretende abordar principalmente los pensamientos

métrico y espacial que son los que se refieren en su esencia a todo aquel

conocimiento que se relaciona con la geometria y los sistemas de medida; sin

embargo, y como se dijo en el parrafo anterior, no es posible considerar estos

pensamientos de manera aislada con respecto a los demás, por lo que se verán

permeados de buena manera por los demás pensamientos dentro del desarrollo del

trabajo.


Y es que ya han sido varios los grandes cientificos que han reconocido en el

pensamiento espacial, una gran herramienta para del desarrollo de sus ideas

matemáticas. Isaac Newton por ejemplo, dejó clara la importancia de la geometria

en sus estudios iniciales del cálculo infinitesimal. En sus trabajos iniciales se puede

evidenciar como el pensamiento espacial cooperó con las primeras ideas de

funciones y límites de funciones lo cual es lo que precisamente se quiere introducir

en el presente proyecto.

Howard Gardner (1998) por su lado reconoción en el pensamiento espacial una

de las inteligencias múltiples de las que él habla en su teoría y afirmó, además, que

dicho pensaminto es de vital importancia en la configuración del conocimiento

cientifico, por lo que se hace necesario su correcta ejercitación en la enseñanza, ya

que no solo las ciencias exactas hacen uso de el; sino que también las técnicas y

ocupaciones profesionales como son la ingenieria, la aviación y demás, necesitan

en esencia del correcto desarrollo de ésta inteligencia.

No es para nada fácil alimentar y fomentar la inteligencia espacial en el aula, las

corrientes anteriores, y correspondientes a los años 80, donde las llamadas

matemáticas modernas, basadas en teoría de conjuntos, se tomaron las aulas de

clase y dejaron de lado la intuición generada por las ideas geometricas,

acostumbraron a los docentes a enfocar su labor desde lo abstracto y a generar

conocimiento a partir de las ideas que no necesariamente se ven reflejadas en la

cotidianidad del estudiante.

Podría ser fácil elaborar la idea de conjunto como una colección de elementos

que cumplen una o varias caracteristicas en particular, pero si se piensa ya no en

un conjunto con elementos, sino por el contrario en el conjunto que no contiene

ningún elemento y que además está presente en cualquier colección y que por tanto

se configura en un subconjunto de la misma, ya no parece tan fácil de comprender,




36

es mas, parece que ésta última afirmación deja de ser una premisa matemática y

se convierte más en un trabalenguas que enreda a quien escucha.

Con el fin de reestablecer las dinámicas en la enseñanza de la geometria y volver

a las prácticas positivas que involucraban al estudiante en su propio proceso de

aprendizaje, se aborda la geometría activa nuevamente en el aula y se hace

participe a quien aprende de todos los procesos de conceptualización. Ahora, ya no

se razona sobre ideas abstractas sino que es el estudiante quien a partir de su

participación en el analisis geométrico y de hacer “cosas” dentro del aula genera

sus propios procesos mentales.

Ahora bien, si es clara la intención de trabajar sobre los pensamientos métrico y

espacial, es necesario dejar claras algunas deficiniones que conectan de manera

directa las temáticas propias a ser abordadas en El presente trabajo final.

La evolución de la geometría se ha dado gracias a las interpretaciones que ha

hecho el ser humano sobre el mundo que lo rodea. Historicamente, el primer

contacto que tuvo el hombre con su entorno geométrico se dió a partir de su

interacción con objetos tridimensionales. Objetos como los prismas rectangulares,

muy comunes y abundantes en la configuración de mundo que se conoce, han

permitido deducir otros conceptos no tan claros desde las experimentación.

La idea de superficies que se intersectan implican la existencia de una linea

generada en dicha intersección. Un ente geometrico enmarcado en sola una

dimensión medible (longitud). En otras palabras, si dos planos infinitos no son

paralelos, la intersección de ellos da lugar a la existencia de una linea infinita que

esta contenida en los dos planos.


Por lo anterior, la idea de linea recta es una abstracción del ser humano y que

como tal no esta representada en ninguna situación de la vida real; sin embargo se

puede llevar al estudiante a su propia elaboración de la idea a partir de conclusiones

lógicas generadas por conceptos que pueden ser modelados en situaciones

concretas.

Otra situación que ilustra el proceso lógico que se pretende seguir en la

implementación de la presente propuesta metodológica se genera a partir de la

interseccion de dos rectas.

la idea, por lo tanto, es generar un proceso de aprendizaje de los conceptos

básicos de la geometria como rectas y ángulos, fundamentados en conclusiones

lógicas que le permitan al estudiante evolucionar con respecto a su entendimiento

del mundo que lo rodea y que por tanto, le sea mas fácil fijar conceptos

fundamentales para la edificación de teorias mas complejas.

Ahora, habiendo conocido las teorías en las que se enmarca la propuesta, y un

poco de la temática que esta en el fondo, es importante dejar claro el panorama

legal que justifica su implementación el cual se verifica a continuación:

1.4.4 Marco Legal

En colombia, toda idea que busque impactar el sistema educativo, ya sea a nivel

nacional, regional o local, debe asegurar que aunque pretenda hacer cambios en el

proceso de enseñanza-aprendizaje, tambien se encuentra bajo la normatividad y los




38

principios fundamentales que rigen la idea de educación que desde el ministerio de

educación nacional (MEN) se quiere impartir. Por lo tanto, a continuación se

enuncian las principales normas y leyes que soportan Este trabajo final.

NORMOGRAMA

Tabla 1: NORMOGRAMA

DOCUMENTO RECTOR TEXTO CONTEXTUALIZACIÓN Ley general de educación La educación es un

proceso de formación permanente, personal, cultural y social…

Los procesos de aprendizaje en geometría deben ser constantes y deben involucrar tanto al individuo como a su contexto

Ley general de educación Ley 115 Art.23 Comprenden el 80% del plan de estudio son los siguientes: La matemática es uno de los componentes de este 80%

El mejoramiento en las competencias relacionadas al pensamiento geométrico aumentan las posibilidades de éxito en otras asignaturas del área de matemáticas tales como son la aritmética, el álgebra o la estadística

Estándares Básicos en matemáticas

• Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas.

• Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza…

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

Comprensión clara de los conceptos básicos en geometría para su posterior utilización en aplicaciones


Estándares en Básicos en matemáticas

• La estimación de la medida de cantidades de distintas magnitudes. • La apreciación del rango de las magnitudes. • La selección de unidades de medida, de patrones y de instrumentos y procesos de medición. • La diferencia entre la unidad y los patrones de medición.

Herramientas mínimas para la comprensión de los conceptos geométricos básicos

Lineamientos curriculares de matemáticas

La geometría activa es una alternativa para restablecer el estudio de los sistemas geométricos como herramientas de exploración.

Necesidad de utilizar la geometría en contexto


La moderna investigación sobre el proceso de construcción del pensamiento geométrico…

Las bases del pensamiento geométrico deben estar garantizadas para asegurar un proceso de comprensión que aunque lento, genere certeza y claridad en el razonamiento


Los procedimientos de tipo geométrico son las rutinas para construir un modelo de un concepto geométrico, para manipularlo o para hacer una representación del mismo en el plano.

Se puede mejorar el desempeño en áreas fundamentales como la trigonometría y el cálculo a partir del correcto razonamiento geométrico

UNESCO The CSMP STAFF, The CSMP Development in Geometry, Educa tiokz& !Xtud¿e~ ti k&?maticd (Dordrecht/Boston), Vol. 3, No 3/4, junio 1971, pg. 281.

"De todas las decisiones que se pueden tomar dentro de un proyecto de desarrollo curricular con respecto a la elección de contenido la que normalmente resulta ser la más controversial y la menos justificable es la

Hay que darle mayor protagonismo al pensamiento geométrico y sacarlo de del puesto segundario al que se le ha relegado hace varias décadas




40

decisión respecto a geometría".

1.4.5 Marco Espacial

Ahora bien, en cuanto al contexto de aplicación se puede decir que se llevará a

cabo en el colegio Marymount de Medellín el cual una institución educativa femenina

e internacional de carácter privado que presta sus servicios en la comuna 14 de la

ciudad de Medellín.

Tiene sus inicios en la década de los 50 de la mano de la congregación de las

hermanas del sagrado corazón de María quienes llegaron a la ciudad con la firme

intención de ayudar a las mujeres en cuanto a su educación con fuertes bases

cristianas y que además accedieran al inglés como segunda lengua.

En su proyecto educativo, el colegio Marymount busca educar estudiantes

integras en lo académico y espiritual además de fortalecer el conocimiento de

nuevas culturas y su manejo del idioma inglés. De acuerdo a lo anterior, la institución

tiene como misión: “El Colegio Marymount de Medellín es una Institución Educativa

privada, internacional y católica; su razón de ser es la formación de seres humanos

felices e integrales; de ciudadanos competentes, socialmente responsables,

con respeto por el medio ambiente, las diferentes culturas y religiones. Para ello,

el Modelo Marymount identifica y fortalece las habilidades y destrezas de cada

estudiante, con el compromiso de un equipo interdisciplinario en permanente

formación, que fomenta procesos de investigación e innovación sobre su quehacer

educativo y con los recursos pedagógicos, tecnológicos y financieros necesarios”; y


visión: “En el 2020, el Colegio Marymount de Medellín, será reconocido, nacional e

internacionalmente, como una opción educativa de alta calidad por entregar a la

sociedad seres humanos felices, integrales y competentes”.

La institución se enmarca en el constructivismo como teoría pedagógica

soportado en modelos como son la enseñanza para la comprensión (EpC), las

metodologías activas, y el aprendizaje basado en proyectos.

El uso de la tecnología juega un papel muy importante dentro del proyecto

educativo del colegio, debido a esto se cuenta con herramientas tecnológicas de

muy buen calibre que propenden por la mejoría académica de sus estudiantes y

además por su alta competencia en el contexto real.

Cabe aclara que, dado que es una institución internacional, el Colegio tiene

articulado a su currículo, los currículos, nacional y el de la Universidad de

Cambridge, para poder certificar competencias internacionales en sus estudiantes.

De acuerdo a esto, el plantel cuenta con 4 secciones en las cuales se agrupan todos

los grados escolares, preschool, elementary school, middle school y high school.

Esta propuesta metodológica se realizará en la sección de high School que

comprende los grados 9°, 10° y 11°; pero más exactamente se realizará con las

estudiantes pertenecientes al grado 9°.




42

2. DISEÑO METODOLÓGICO

2.1 Paradigma Crítico - Social

En el afán de involucrar a los estudiantes de manera activa en las dinámicas que

se dan al interior del aula de clase, y con la idea de erradicar algunas prácticas de

las metodologías tradicionales y de potenciar otras; se ha pensado en elabora una

propuesta que permita que sea el estudiante dueño de sus procesos y aporte a su

propia formación.

El paradigma crítico-social que tiene sus comienzos en la tradición alemana de

la escuela de Francfort, se muestra como una corriente que trata de contradecir a

las corrientes positivistas y que articula las conceptualizaciones teóricas y la teoría

social con la teoría crítica del conocimiento (Gómez M. A., 2007).

Por lo tantose busca que este paradigma, dentro de los procesos de

investigación educativa, mejore las debilidades de los puntos de vista positivistas y

tradicionales y le permita al estudiante articular la teoria crítica del conocimiento con

la teoría de las ideas (Gómez M. A., 2007).

2. DISEÑOMETODOLÓGICO 43

2.2 Tipo de Investigación

Se pretende suscribir este trabajo final bajo un método de investigación que

involucre al docente y lo tome como investigador, pero también como sujeto activo

en su objeto de estudio. En esta línea, el método investigación acción educativa

(I.A.) pretende que sea el docente sea quien investigue su práctica, que saque

hipótesis y aplique sus ideas en el contexto propio. Esto hace que el enfoque de

este tipo de investigación sea una combinación entre lo cualitativo y cuantitativo ya

que, si bien el maestro busca describir e interpretar su realidad, también es de su

interés el analizar las variables que intervienen en su saber práctico (Albert Gómez,

2007).

Se puede decir, de acuerdo a lo que el método de I.A. plantea, que esta

propuesta vendrá dado por una primera fase (diagnóstica) donde con la ayuda de

material audiovisual y la aplicación de pequeñas preguntas básicas sobre geometría

se busca determinar un punto de partida y aprovechar los saberes previos con los

que cuentan los estudiantes; una segunda fase (análisis) conformada por el análisis

de las fortalezas y debilidades en beneficio de generar espacios conceptuales que

mejoren el aprendizaje; una tercera fase (diseño e intervención) con el fin de

introducir las ideas geométricas y su aplicabilidad en problemas, y una cuarta fase

dada a la evaluación del impacto de la estrategia a partir de la aplicación conceptual

en contexto, o sea la solución de problemas.

2.3 Instrumentos de Recolección de la Información




44

Se tienen varias maneras de tomar la información y éstas dependerán del

momento en el que se encuentre la misma. Los conversatorios, las pruebas escritas

y la observación directa de los desempeños de los estudiantes configuran las

fuentes primarias de información. En particular, las fuentes primarias estarán

conformadas por la prueba diagnostica, guias de aplicación de situaciones problema

aplicada a las estudiantes, conversatorios y puestas en comun que se realizaran de

manera presencial o de manera virtual a través de la plataforma académica

Schoology, y un post-test que se realizará una vez se haya aplicado la propuesta

motodológica.

Las fuentes de información segundarias estan conformadas por las consulta de

investigaciones anteriores con respecto a los mismos elementos de estudio

encontrados en los diferentes repositorios de la universidad de Antioquia,

Universidad nacional, entre otras; asi como la constante consulta de los

lineamientos curriculares de matemáticas impartidos por el Ministerio de Educación

Nacional (MEN) y los estandares curriculares del área. Los documentos

audiovisuales que aportan a la solución del problema serán otras fuentes que

apoyarán a las principales en el objetivo de recoger datos.

2.4 Poblacion y Muestra

La población del presente trabajo final esta conformada por 55 estudiantes del

grado 9º del colegio Marymount de Medellin, las cuales tienen unos rangos de edad

que oscilan entre los 14 y 15 años. Son estudiantes pertenecientes a los estratos

sociales 5 y 6 y sin mayores necesidades economicas. Cuentan con todos los

implementos materiales para la realización de las actividades de la propuesta. En

su gran mayoria las familias de las estudiantes son familias tradicionales y bien


establecidas, conformadas por papá, mamá y hermanos y ademas con altos niveles

de educacion superior.

La muestra que se tomará esta conformada por un grupo de 30 estudiantes,

equivalente a una cantidad superior al 50% de a población lo cual corresponde a

una cantidad representativa de la misma.

2.5 Delimitación y Alcance

Todos los esfuerzos que se llevarán a cabo en la implementación del presente

proyecto estan enmarcados en la necesidad de mejorar la competencia en la

resolucion de problemas de las estudiantes y el empalme de ideas geometricas con

otras ramas de la matemática.

Se espera que una vez terminada y aplicada la propuesta metodológica para la

enseñanza de los conceptos básicos de geometría (rectas y angulos) en la

educacion media a través de su aplicabilidad en la resolucion de problemas se

pueda lograr una mejor articulacion de dichos conceptos con las ideas generales

del calculo y la trigonometria, asi como mejorar tambien la transicion de las

estudiantes que pasan del colegio a la universidad.

2.6 Cronograma

A continuación, se realiza un cronograma que relaciona cada fase de la

investigación con las actividades propuestas en cada una de ellas.




46

CRONOGRAMA

Tabla 2: FASES DE LA APLICACIÓN

FASE OBJETIVO ACTIVIDADES Fase 1:

Diagnóstico • Consultar los saberes previos de los

estudiantes del grado 9º de la media acerca de los conceptos básicos de la geometría a través de una prueba diagnóstica que permita establecer un punto de partida para la propuesta metodológica.

• Identificar las posibles dificultades y vacios conceptuales que tienen las estudiantes del grado 9º con respecto a los conceptos básicos de la geometría.

1. Diseño de la prueba diagóstica sobre conceptos básicos de geometría

2. Aplicación de prueba diagnóstica escrita donde las estudiantes responden de acuerdo a sus experiencias educativas anteriores.

Fase 2: Análisis

• Analizar la prueba diagnóstica a través de una matriz de valoración DOFA para determinar el nivel de apropiación de los estudiantes acerca conceptos básicos de la geometría y su aplicabilidad en contexto.

1. Elaboración de matriz DOFA de análisis de resultados de la prueba diagnóstica.

2. Análisis de resultados por medio de la matriz DOFA a la luz de la EPC

Fase 3: Diseño de la

propuesta metodológica

• Diseñar una propuesta metodológica para la enseñanza de los conceptos básicos de la geometría basado en el uso de la tecnología y el material concreto para la resolución de problemas.

1. Diseño de la propuesta metodológica que aporte a la enseñanza de los conceptos básicos de la geometría que potencien la compretencia de resolución de problemas

2. Elaboracion de material físico y digital para el abordaje de los conceptos geometricos de punto, recta y ángulos


Fase 4: Intervención

en el aula

• Aplicación de la propuesta metodológica dentro del aula con el fin de mejor los procesos de enseñanza y aprendizaje de las ideas de rectas y ángulos.

1. Aplicación de la propuesta metodológica.

2. Comparación de los procesos de aprendizaje con fuentes bibliograficas para el analisis del impacto real de la propuesta

Fase 5: Evaluación

de resultados

• Evaluar la efectividad de la propuesta a través del análisis de los avances conceptuales de los estudiantes

1. Pos-test 2. Conclusiones y

recomendaciones




48

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

Tabla 3: CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES

ACTIVIDADES SEMANAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Actividad 1.1 X X

Actividad 1.2 X X

Actividad 2.1 X X

Actividad 2.2 X X

Actividad 3.1 X X X X



Actividad 4.2 X X

Actividad 5.1 X X

Actividad 5.2 X X

3. SISTEMATIZACIÓNDELAINTERVENCIÓN 49

3. TRABAJO FINAL: SISTEMATIZACIÓN

A continuación se presenta el desarrollo de las actividades del trabajo final

teniendo en cuenta las planeaciones y los objetivos especificos de la presente

propuesta divididos en cinco fases. Cada actividad está pensada para que aporte al

desarrollo del objetivo general y que por tanto, de cumplimiento a lo presupuestado

en el planteamiento del problema

3.1 RESULTADOS Y ANÁLISIS DE LA INTERVENCIÓN

3.1.1 Prueba Diagnóstica

El primer contacto del estudiante con la propuesta se da a través de una prueba

diagnóstica que está basada en los conceptos fundamentales de punto, recta y

ángulo. La idea inicial, y como esta planteado en los objetivos específicos, es

conocer las ideas previas con las que viene la estudiante para con esto, establecer

un punto de partida en la implementación.




50

La prueba diágnostica que se les aplicó a las estudiantes consta de una pequeña

introducción a la geometría euclideana a partir de algo de historia y de tres puntos

de cuatro, uno y cinco insisos respectivamente. Todos los puntos que se incluyeron

en esta primera guia son preguntas abiertas y se centran, principalmente, en los

pensamientos espacial y métrico.

Al iniciar la prueba se le hace claridad al grupo de estudiantes que en el contexto

de la actividad no existen preguntas correctas o oncorrectas y que solo se busca

conocer las concepciones propias con respecto a un tema particular.

Se pregunta inicialmente por la idea que tienen las estudiantes de algunos

conceptos de la geometría plana tales como son punto, ángulo, recta y plano.

Posteriormente, se pide la constucción de un parque de diversiones que debe

contener algunas atracciones en particular y que deben ocupar una superficie

rectangular de área 30.000 m2 (Ver anexo). Para terminar y con la ayuda del gráfico

propuesto por la estudiante, se generan una serie de preguntas enfocadas en las

definiciones iniciales pero ya dentro de un contexto en particular y con la idea de

resolver algunas situaciones problematicas.

3.1.2 Análisis de los Resultados de la Prueba Diagnóstica

Luego de la aplicación de la prueba, la cual fue desarrollada por 28 estudiantes

del grado 9º del colegio Marymount, se pudo determinar el nivel conceptual en el

cual se encuentran al iniciar la implementacion de la propuesta. Cabe aclarar que el

analisis que se dará a esta actividad será de tipo cualitativo ya que se busca estudiar


las respuestas escritas por las estudiantes de cara al problema planteado por el

presente trabajo.

El primer punto que cuestiona las ideas preliminares de las estudiantes contiene

cuatro numerales que preguntan por la definición de punto, recta, ángulo, plano y

espacio. Cada alumna debe responder de acuerdo a sus experiencias anteriores en

el área de geometría dejando claro, como se dijo anteriormente, que no existen

respuestas incorrectas.

Luego de analizar la información recopilada en este primer numeral se puede

verificar que el cerca del 86% de las estudiantes no tenia claridad sobre el concepto

de punto y que por lo tanto la palabra punto les decia cosas diferentes a cada

estudiantes dependiendo de su concepción. Solo el 14% de las estudiantes dieron

definiciones de punto cercanas a las definiciones aceptadas dentro de diferentes

teorias geometricas.

La mayoria de las estudiantes identifican un punto como la representacion de un

lugar. Con el 64% de las respuestas, esta idea fue la más común entre las alumnas

pero no fue la única. Con porcentajes mucho menores y repartidos entre varias

opciones, respuestas como figura con un 11%, signo con un 7% y simbolo con un

4% se sumaron a la concepción erronea de la mayoría dejando ver claramente que

las estudiantes del grado 9º del colegio no tienen claridad sobre lo que es un punto.

Es claro, y ya ha sido expresado por varios estudiosos de la geometria, que el

concepto de punto es tal vez una de las ideas mas complejas al momento de ser

definida y que por lo mismo es conciderado como uno de los elementos básicos de

la geometria; sin embargo con la primera pregunta de la prueba diganóstica se

buscaba conocer el amplio espectro de concepciones que tienen las estudiantes




52

para poder generar una propuesta metodológica que recoja la mayor cantidad

posibles de ideas y las encause todas a un concepto común.

A continuación se podrá ver una tabla resumen de las respuestas de las

estudiantes al primer cuestionamiento:

Ilustración 1

Cada una de estas respuestan dejan ver que auque las estudiates identifican

concretamente que es un punto, les cuesta mucho trabajo definirlo dejando que

prime su uso y su forma sobre su esencia. Es importante tambien resaltar que

aunque responder la pregunta se hace complejo aun para los mismos docentes, el

100% de las estudiantes respondieron haciendo uso de sus experiencias anteriores.

Esto es importante porque aun teniendo la posibilidad de no responder, todas las

alumnas se arriesgaron a dar su punto de vista lo cual demiuestra confianza en sus

ideas previas.

El segundo numeral de la primera pregunta cuestionaba acerca de lo que la

estudiante identificaba como recta. el objetivo claro aquí era lograr comperender

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70%

a)¿Quéesunpunto?


que sabian las estudiantes de una recta y si era posible introducirla de tal manera

que todas las ideas aportaran un poco a la definición aceptada como correcta.

Hubo una grata sorpresa al encontrar que el 82% de las estudiantes

reconocieron una recta como una linea infinita de puntos lo cual es absolutamente

gratificante puesto que si bien no fueron todas las que tienen esta idea, si es

importante que la inmensa mayoria identifique una recta de tal manera.

A continuacion la tabla resumen que ilustra las respuestas de las estudiantes:

Ilustración 2

Los resultados del tercer numeral que preguntaba sobre la definición del

concepto de ángulo no se apartaron mucho de lo que venia ocurriendo con los

conceptos anteriores. Aunque mucho mas repartido el porcentaje de respuestas

entre varias opciones, pero comunes a la mayoria de las estudiantes, la respuesta

más repetida, con un 32% fue que un ángulo es la medida entre dos lineas con un

punto común; no obstante no muy lejos de esta definición, se encontró la idea de

que un ángulo es dos rayos unidos en un punto. Esta respuesta tuvo un 29% dentro

0%

20%

40%

60%

80%

100%

lineadeptos nosabe/noresponde

distancia

b)¿Queesunarecta?




54

de la muestra. El restante 39% se distribuyó entre dos opciones: un ángulo es el

encuentro de dos rectas con un 32% y un 7% concideró que un ángulo es una figura.

Ilustración 3

Es claro de acuerdo a lo anterior que las estudiantes en su mayoria reconocen

un angulo a partir de la intersección de dos rectas pero lo confunden con el vértice

del mismo. Para ellas el ángulo y el vértice son lo mismo.

Para finalizar esta primera parte de la prueba diagnóstica se cuestionó a las

alumnas sobre el significado de plano y espacio y se obtuvo la siguiente información:

el 25% de las encuestadas no respondió, y el 75% estuvo de acuerdo en que el

plano y el espacio son ambos espacios para dibujar de varias dimensiones.

0% 5%

10% 15% 20% 25% 30% 35%

Rayosunidosenunvertice

Medidaentredoslineasconpuntocomun

Encuentrodedosrectas

Figura

c)¿Quéesunángulo?


Ilustración 4

El segundo item de la prueba daba instrucciones claras sobre la construcción de

un parque de diversiones que debia hacerse en algun programa o plataforma

procesadora de gráficos. La idea era darle al estudiante un terreno rectangular con

un área de 30.000 metros cuadrados con el fin de que construllera dicho parque con

una serie de atracciones requeridas pero cuyas medidas no eras especificadas.

En este numeral se evaluaron 4 items fundamentales: seguimiento de

instrucciones, idea de área, manejo espacial y uso de las TICs en la graficación. El

objetivo era determinar la capacidad de las estudiantes para seguir instrucciones,

para usar la tecnologia a su favor y sus habilidades espaciales. La información

recolectada fue la siguiente:

0%

20%

40%

60%

80%

Espaciodevariasdimensiones

Nosabe/Noresponde

d)¿Quéeselplanoyelespacio?




56

Ilustración 5

Ilustración 6

Ilustración 7

Ilustración 8

Es claro que, en terminos de seguimiento de instrucciones, las estudiantes

comprenden lo que se les pide y lo ejecutan, sin embargo cerca del 30% de ellas

realizan procedimientos no pedimos. En algunos casos las estudiantes son muy

literales y debido a que no conocen algunos terminos básicos de la geometría, se

les dificulta el hecho de construir figuras planas que cumplan con un área dada.

0%

20%

40%

60%

80%

si no

a)Seguimietodeinstrucciones

40%

45%

50%

55%

correcta incorrecta

b)Ideadeárea

42% 44% 46% 48% 50% 52% 54% 56%

correcto incorrecto

c)Manejoespacial

0%

20%

40%

60%

80%

correcto incorrecto

d)ManejodeTICS


La tercera y última pregunta de la prueba buscaba que la alumna confrontara un

poco lo que definió al inicio y lo que había hecho en el gráfico de la segunda

pregunta. Los resultados de la tercera pregunta se muestran a continuación:

Ilustración 9

Ilustración 10

Ilustración 11

Ilustración 12

0% 20% 40% 60% 80%

100%

Nohayrectas Sihayrectas

a)¿Ensudiseñotienealgunarecta?

0% 20% 40% 60% 80%

100%

Correcto Incorrecto

b)Clasificacióndeunángulodado

0%

50%

100%

Correcto Incorrecto

c) Cálculodeáreasdefigurasplanas

0%

50%

100%

Coincide Nocoincide

d)¿Coincideconladefinicióndepuntoquedio

aliniciodelaguía?




58

Ilustración 13

Ilustración 14

Ilustración 15

De acuerdo a lo anterior, se puede concluir que el grado de maduración que

deben tener las estudiantes de 9º del colegio estan muy por debajo de lo esperado

para su grado de su escolaridad. La anterior idea es soportada además por el

siguiete gráfico que ilustra el porcentaje de estudiantes que ganarían la prueba

diágnostica si esta fuera de carácter evaluativo:

0%

50%

100%

150%

Rectángulos Círculos Triángulos

e)Figurasgeometricasusadasenelgráfico

0%

50%

100%

150%

correctas incorrectas

f)Aplicacióndeángulosagudosentriángulos

rectángulos

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%

correctas incorrectas

g)Aplicacionesdependientedeunarecta


Ilustración 16

3.1.3 MatrizdeValoraciónDOFA

Luego de conocer los reultados de la prueba diagnóstica, y de haber identificado

algunos elementos relevantes antes, durante y después de su aplicación, se puede

realizar el siguiente análisis de debilidades, oportunidades, fortalezas y amenazas

bajo el contexto educativo como se muestra en el siguiente cuadro.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Pregunta1(Numerala)

Pregunta1(Numeralb)

Pregunta1(Numeralc)

Pregunta1(Numerald)

Pregunta2 Pregunta3(Numeralb)

Pregunta3(Numeralc)

ResultadogeneraldelapruebadiagnósticaPreguntascorrectas,incorrectasynocontestadas

Correctas Incorrectas Noresponde




60

MATRIZ DE VALORACIÓN PRODUCTO DE LA PRUEBA DIANGÓSTICA

Tabla 4: MATRIZ DE VALORACIÓN

Fuente: Elaboración propia

3.2 Diseño de la Propuesta Metodológica

Con base en los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica se pretende

abordar la problemática desde los flancos que fueron evidenciados como

debiles, y con el objetivo de mejorar la comprensión de los conceptos básicos

Debilidades Oportunidades Fortalezas Amenazas Desde lo Espacial

• Desconocimientos de conceptos básicos de geometria.

• Utilización de saberes previos en la nueva conceptualización.

• Conocimiento de figuras básicas como el triángulo, el rectángulo y círculo.

• Mala utilización de las herramientas geometricas en la ubicación espacia.

Desde lo metrico

• Desconocimiento de unidades de medición.

• Conocimiento de herramientas básicas en el computador.

• Existencia de materia de medida suficiente

• Utilización de medios electrónicos.

• Medición erronea de longitudes, ángulos y áreas .

Desde lo actitudin

al

• Utilización de medios electronicos en actividades diferentes a lo propuesto.

• Disposición de trabajo.

• Actitud de clase

• Niveles de atención.

• Interés personal por aprender.

• Concentración en clase y uso de las herramientas tecnológicas


de geometría para la resolución de problemas iniciales del cálculo y la

trigonometría.

3.2.1 Descripción de la propuesta

Se presenta una propuesta que se dividirá en cuatro momentos: introducción,

conceptualización, aplicaciones y evaluación. Éstos cuatro espacios tendrán

fuertes bases metodológicas de la EPC, el constructivismo social y la resolución

de problemas.

• El momento de introducción busca despertar la curiosidad de la alumna a

partir de diferentes motivaciones historicas o didácticas.

• El momento de conceptualización tiene como ojetivo guiar a las

estudiantes en su propia investigación para que redescubran algunas

ideas geométricas.

• El momento de aplicación tiene como objeto los elementos fundamentales

de la geometría plana y utiliza los problemas básicos de la trigonometría

y el cálculo para su ejemplificación y aplicación.

• Y por último, el momento de evaluación pretende aplicar diferentes guias

de trabajo que cuestionen a la alumna con respecto a las ideas

compatidas en las fases inmediatamente anteriores. Para esto se

contará con el apoyo de software especializado en la realización de

graficas y en la utilización de objetos geométricos, con la utilización

plataformas académicas como Schoology y con la generación de guias

de trabajo físicas donde es necesario el uso de herramientas

geometricas.




62

Tomando como referencia las fases anteriormente nombradas, se proponen

ocho sesiones de clase distribuidas de la siguiente manera:

• Sesion 1: Motivación, juegos y prueba diagnóstica.

• Sesión 2: Inicios conceptuales. Juego de Erudito y desarrollo de la primera

guía de aplicación.

• Sesión 3: Desarrollo de la segunda guía de aplicación, Construcción de

una unidad residencial a partir de las cnceptualizaciones de la guia

anterior

• Sesión 4: Primera aplicación de conceptos en las relaciones métricas en

el triángulo rectángulo. Guia conceptual sobre ideas de opuesto y

adyacente .

• Sesión 5: Luego de haber comprendido conceptualmente las razones

trigonométricas seno y coseno, se plantea una guia de aplicación a

problemas cotidianos.

• Sesión 6: Segunda aplicación de conceptos a la idea de pendiente de una

recta. Guia conceptual sobre pendiente y velocidad promedio de un móvil.

• Sesión 7: Guia aplicada a velocidades promedio de cuerpos en

movimiento.

• Sesión 8: Post Test.

Cabe aclarar que cada una de estas sesiones esta pensada para ser

desarrollada en dos horas y que estan distribuidas en tres momentos, como lo

propone la EPC, Activación de ideas previas, investigación dirigida y

retroalimentación. Bajo el contexto que reviste el presente trabajo final, es

importante aclarar que de los cuatro momentos en los que se encuentra dividida

cada sesión, el momento dos y tres se enmarcan bajo el segundo espacio

propuesto por la EPC el cual es la investigación dirigida.


3.2.2 Aprendizajes Esperados y Estandares Relacionados

De acuerdo a las competencias propuestas por el colegio para el grado de

escolaridad 9º, se espera que al terminar la implementación del trabajo final, la

estudiante:

• Comprenda los conceptos básicos de la geometría punto, recta y

ángulo.

• Utilice las ideas de punto, recta y ángulo para generar nuevos conceptos

geométricos.

• Deduzca los conceptos de razón trigonométrica a partir de la idea de

recta y segmento en un triángulo rectangulo.

• Deduzca el concepto de pendiente de una recta a partir de la utilización

de la idea de puntos y distancias.

• Aplique las ideas de razón trigonométrica y pendiente de una recta en

contextos particulares y en situaciones problematicas reales.

Ahora bien, las anteriores competencias se encuetran enmarcadas en los

siguientes estandares del pensamiento espacial y sistemas geométricos

propuestos por el MEN:

• Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en

demostración de teoremas básicos.

• Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las

matemáticas y en otras disciplinas.




64

• Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de

superficies, volúmenes y ángulos con niveles de precisión apropiados.

• Describo y modelo fenómeno periódicos del mundo real usando relaciones y

funciones trigonométricas.

3.2.3 Dinámica del Trabajo en Clase

Como ya se dijo, el trabajo final estará mediado por la enseñanza para la

comprensión, el constructivismo social y la metodología de resolución de

problemas, por lo que todas las sesiones se realizarán buscando la comprensión

del estudiante a partir de la socialización con sus compañeras. Es de vital

importancia que la alumna vea la aplicación de las ideas en un contexto y, por lo

tanto, en toda sesión se verá reflejada la aplicación de las ideas vistas en

problemas de la cotidianidad.

Lo anterior se realizará con el uso de la plataforma académica Schoology y

con el apoyo de las guías de trabajo que, posterior a la aplicación, configurarán

una cartilla producto de este trabajo final.

3.3 INTERVENCIÓN DE LA PROPUESTA METODOLÓGICA

La intervención en el aula se da con el fin de mejorar las competencias de las

estudiantes para resolver los problemas iniciales de la trigonometría y del cálculo

a partir de la comprensión de los conceptos de punto, recta y ángulo.


Es importante aclarar que del presente trabajo final se desprende una cartilla

didáctica en la que se establece la secuencia de actividades propuesta para

abordar los conceptos básicos y su posterior aplicación. La idea es reforzar las

concepciones de las estudiantes con respecto a dichos principios básicos para

prevenir errores comunes en las aplicaciones anteriormente descritas.

La fase de intervención se realiza sobre las estudiantes del grado 9ºA del

colegio Marymount, en jornada diurna (en la mañana) y en los espacios

correspondientes a geometría y álgebra. 9º es un curso que se encuentra

conformado por 28 estudiantes de entre catorce y quince años de edad y cuyo

desempeño en el área de matemáticas se ha venido realizando, hasta el grado

octavo, en inglés.

Se plantea la primera sesión en la cual las estudiantes reciben una corta

instrucción sobre el trabajo que se va a realizar durante las próximas clases. Se

percibe un aire de novedad y sorpresa pues las estudiantes no conocen ninguna

actividad semejante y expresan estar a la expectativa de lo que pueda ocurrir.

Comienza la prueba diagnóstica (Ver anexo) y algunas estudiantes se

muestran indecisas y con miedo de responder lo que ellas creen. Se limitan

mucho de dar su opinión ya que temen una nota reprobatoria. El resto de la

prueba diagnóstica se da con normalidad. Se les hace un llamado especial a las

estudiantes para que trabajen esta actividad de manera individual pues es

necesaria su opinión basada en lo que conocen y no en las experiencias de

otras.

Luego del análisis correspondiente de la conducta de entrada, se propone la

actividad de la sesión dos. En este par de clases las estudiantes se enfrentan a




66

la Isla de Geometrópolis1 la cual de manera didáctica les propone una serie de

información científica, sobre elementos básicos de la geometría en este caso, y

que evalúa la comprensión a partir de algunas dinámicas didácticas. Las

estudiantes dedican toda la primera hora de la sesión a explorar el juego y a

cumplir con los retos que allí se sugieren.

Posterior a la conceptualización de Erudito, se propone la guía número uno

que busca que se realice la correspondencia correcta entre definiciones y

conceptos vistos en el juego. La actividad se realiza sin mayores contratiempos

y se dedica el final de la sesión para dialogar sobre lo que ha sido nuevo y lo

que ya se sabía sobre las ideas fundamentales de la geometría. La isla de

Geometrópolis se puede ver en el siguiente link:

http://erudito.medellin.unal.edu.co/social.php?idc=1886

1IsladeljuegoEruditodesarrolladoporlauniversidadNacional


Ilustración 17

Esta guía no se realiza de manera física. Las estudiantes bajan la actividad

del curso que se tiene en la plataforma académica Schoology y allí mismo la

suben una vez resuelta. El que sigue es el link de dicho curso

https://marymountmedellin.schoology.com/course/836362267/materials




68

Ilustración 18

La sesión tres es una construcción de una unidad residencial que debe

cumplir con algunas características particulares requeridas por la empresa

constructora. Las estudiantes deben proponer un diseño basado en un conjunto

de instrucciones que buscan aplicar las ideas anteriormente analizadas con el

juego de Erudito y que cuestionan sobre lo abstracto o concreto que pueden ser

los conceptos de punto, recta y ángulo. En el anexo se puede evidenciar uno de

los gráficos propuestos por una estudiante.

La cuarta sesión de esta fase esta permeada por una pequeña historia que

explica la existencia de un nuevo signo zodiacal. En esta guía las estudiantes

trabajan en pequeños grupos y discuten sobre las ideas de opuesto y adyacente,

basadas en posiciones relativas de algunas constelaciones con respecto al sol

y a la tierra. finalmente se trasladan estos conceptos al contexto de los triángulos

rectángulos para evidenciar la primera aplicación de los conceptos de recta y

ángulo.


Ahora bien, después de comprender a lo que se refieren las razones

trigonométricas con seno y coseno, las estudiantes se enfrentan a la quinta

sesión basada en problemas aplicados a triángulos rectángulos. En esta guía,

se muestra una situación problema a medias y se le pide a la estudiante que de

acuerdo a las definiciones de seno y coseno termine de calcular algunos

elementos pedidos. Esta aplicación pone evidencia como se aplican ideas

básicas a contextos particulares de la trigonometría.

La idea de pendiente de una recta tangente es, en principio, una de las

dificultades que se le presenta a las estudiantes a la hora de iniciar el curso de

cálculo en el colegio. La sexta guía propone una explicación de la pendiente a

partir de la construcción de un dibujo sencillo en una representación del

geoplano y que cuestiona a la estudiante sobre las inclinaciones que se dan

entre las rectas de su dibujo. Todas las preguntas se hacen basados en la

ubicación de un punto con respecto al otro y en la relación de movimientos

realizados desde uno para llegar al otro.

La guía siete aplica la idea de pendiente de una recta a algunas situaciones

problema sobre velocidades de móviles. En esta guía, la estudiante debe llevar

la idea de pendiente al contexto de velocidad promedio para solucionar algunos

problemas prácticos típicos de los inicios del cálculo.

Finalmente, para determinar la efectividad de la propuesta, se labora una

última guía que se pregunta por los aprendizajes de cada estudiante con

respecto a lo que inicialmente conocía. En el software de Hot potatoes se diseña

un crucigrama que involucra todas las ideas vistan en las anteriores sesiones.

Esta aplicación permite hacer la actividad interactiva de tal manera que sea

posible que ella misma pueda ir viendo en que se está equivocando al momento

de llenar la información.




70

Ilustración 19

3.4 ANÁLISIS DE RESULTADOS

Hay una característica importante en el colegio Marymount y es el hecho de

que cada estudiante cuenta con su computador personal. Esta situación facilita

el trabajo de la propuesta ya que todas las actividades se pueden trabajar de

manera digital y física.

Las clases de geometría y álgebra tienen una intensidad semanal de seis

horas con una duración de 60 minutos cada una, por lo tanto, cada sesión de la

propuesta tuvo que ser desarrollada en dos clases y a consecuencia de ello, la


implementación se realiza durante dos semanas y media incluyendo la sesión

en la que se aplica el post-test.

Todas las sesiones de clase se dan bajo la misma dinámica: se inicia con

una pequeña introducción al tema que tiene que ver con historia o información

interesante para posteriormente, y con la ayuda de las guías de trabajo, hacer el

estudio conceptual o las aplicaciones, dependiendo del momento en el cual se

encuentre el grupo. Todo el trabajo se realiza de manera grupal y rotando los

grupos de actividad en actividad; es decir, la conformación de los grupos de

trabajo es diferente para cada guía.

Después de aplicar todas las guías de trabajo propuestas, se encontraron

diferentes dificultades de las estudiantes que van desde lo conceptual hasta lo

procedimental a la hora de seguir instrucciones. A continuación, se presenta el

análisis de los aprendizajes de los conceptos fundamentales de la geometría.

Conceptos de punto, recta y ángulo:

En un principio la mayoría de las estudiantes creían tener claridad sobre lo

que cada uno de estos conceptos es. Incluso algunas llegaron al punto de

considerar que lo que se pretendía enseñar en la presente propuesta ya lo

habían visto en sus años de escolaridad. Una vez analizada la prueba

diagnóstica y empezado el trabajo en el juego de erudito, muchas estudiantes

se encontraron con el hecho de que efectivamente reconocían la simbología

utilizada para denotar cada uno de estos tres conceptos, sin embargo, la idea

fundamental que los envuelve no era conocida por muchas de ellas.

No es complejo para las estudiantes representar la idea de un punto, incluso

algunas podían usar su representación para generar, por ejemplo, la idea de




72

figura plana. No obstante, cuando se les pide hacer consciente cada uno de los

conceptos y definirlos se quedan cortas al querer explicarlos a partir de ejemplos

de aplicación.

Al realizar la socialización de la actividad conceptual del juego de erudito,

algunas estudiantes expresan su sorpresa al encontrarse con que no es posible

definir ninguno de las tres ideas e inmediatamente, luego de que una estudiante

participara con esta observación, otra participante recuerda a sus compañeras

el hecho de que estos objetos son inexistentes en la vida real y que por tanto

solo se puede tener acceso a sus representaciones abstractas.

Es importante resaltar en este punto que las estudiantes tuvieron un golpe

conceptual fuerte al darse cuenta que en matemáticas existen algunos

elementos con lo que se puede trabajar y deducir lógicamente otros elementos,

pero que nos imposible de definir.


Ilustración 20

Concepto de razón trigonométrica

Esta idea es en absoluto nueva para las estudiantes. En el desarrollo de las

actividades que revistieron este concepto se evidenció la sorpresa de las

participantes al encontrarse con nuevas palabras como lo son seno y coseno de

ángulos agudos.

Las actividades se inician con un pequeño articulo revelador que habla sobre

la existencia de otra constelación en el cielo y que ha sido ignorada por los

astrólogos al hacer sus afirmaciones. Muchas estudiantes se ven identificadas

inmediatamente con las palabras del artículo pues son afines a las ideas

astrológicas de los signos zodiacales.




74

Todas las estudiantes reconocen relaciones de opuesto y vecino (adyacente)

con respecto al planeta tierra y al sol y esto pone las ideas de seno y coseno al

su alcance. Inician las preguntas contextualizadas en el triángulo rectángulo

sobre el lado vecino y opuesto a uno de los ángulos agudos y las estudiantes se

ubican fácilmente. Las primeras dificultades que se presentan se dan a partir de

nombrar las razones entre lados como seno y coseno. Muchas de las

participantes, aunque identifican el ángulo agudo, los catetos y la hipotenusa de

un triángulo rectángulo, encuentran complicado la idea de ponerle un nombre a

la división. A causa de esto se hace necesario alargar un poco la sesión.


Ilustración 21

Se termina la actividad de conceptualización sobre razones seno y coseno;

sin embargo, muchas estudiantes presentan dudas sobre lo que dichas razones

significan y sobre lo que ellas implican en un triángulo rectángulo. Se espera que

estas dificultades mejoren con las aplicaciones problemáticas.

La sesión correspondiente a las aplicaciones de las razones seno y coseno

se inicia con un aire de complejidad entre las niñas. Esto debido a que varias

quedaron con dudas sobre las definiciones realizadas en la sesión anterior y tal

hecho las previene a sus aplicaciones.




76

La guía de trabajo de aplicaciones comienza con algunas ejemplificaciones

que guían a la estudiante en la utilización de la función seno. La idea es que, a

partir de dicho ejemplo, y usando la información encontrada en el ejemplo, quien

aprende proponga una solución donde sea necesario usar la función coseno.

Ilustración 22

El uso de las funciones en un contexto concreto mejora la comprensión de

las estudiantes. Aquellas que argumentaban no haber entendido la sesión


anterior se ven mucho más ubicadas en esta parte de la intervención. Finaliza la

sesión pidiéndoseles a las participantes que propongan una situación problema

donde se haga necesario usar las razones trigonométricas y que expliquen para

que sirven en general. La grata sorpresa fue encontrar que cerca del 90%

postuló una situación viable.

Concepto de pendiente de una recta

Abordado en las dos últimas sesiones, el concepto de pendiente se trabaja

en parejas y de manera tal que en una de las sesiones se analice el concepto

de pendiente a partir de la construcción de un vestido en una representación del

geoplano, y en la otra, se aplique a situaciones concretas de velocidades

promedio de móviles.

Una de las ideas principales es evaluar la capacidad de las estudiantes para

seguir instrucciones; la guía “el vestido de Anita” sugiere unos pasos para su

construcción a partir de movimientos horizontales y verticales a partir de un

punto dado. Solo hubo una estudiante que tuvo dificultades al seguir las

instrucciones y que dibujo una figura muy diferente a la pedida y que, por tanto,

realizó algunos análisis erróneos con respecto a la pendiente de una recta.

La gran mayoría de los grupos de trabajo construyeron correctamente el

vestido, pero presentaron dificultades en el análisis de la pendiente de algunos

segmentos dados en el gráfico.




78

Ilustración 23

Posterior a la construcción se plantea una serie de interrogantes sobre la

pendiente de algunos segmentos de recta. Cuando se preguntó información

literal del gráfico como cantidad de espacios movidos verticalmente contra

espacios movidos horizontalmente, se obtuvieron respuestas correctas de todas

las estudiantes, ahora bien; al momento de pedir analizar características de la

pendiente para rectas con diferentes inclinaciones, horizontales y verticales; las


respuestas fueron variantes y no se logró observar homogeneidad en la

comprensión.

Ilustración 24

Finalmente se propone una aplicación de la pendiente como la velocidad

promedio de un cuerpo y esto se hace ya que en la asignatura de física se están

trabajando temas similares y es posible encontrar apoyo en tal información.




80

El 87% de las estudiantes aplican correctamente la idea de pendiente a la

gráfica de posición contra tiempo.

Ilustración 25


3.4.1 ANALISIS DE LOS RESULTADOS DEL POST-TEST

El post test aplicado cuestiona sobre las mismas ideas que lo hacia la prueba

diagnóstica, por lo tanto, los resultados se mostrarán en comparación uno del

otro con respecto a las ideas cuestionadas en cada uno de ellos.

El post-test es aplicado nuevamente a las 28 estudiantes del curso, se realiza

de manera individual y a través del curso en línea de Schoology. A continuación,

se presenta el resultado de la aplicación:

Tabla 5: COMPARACIÓN DE RESPUESTAS POR CONCEPTOS EN EL DIAGNÓSTICO Y EL POST-TEST

A continuación, se comparan las respuestas correctas del diagnóstico y del post-

test en cada componente de la propuesta:




82

Ilustración 26

De las tablas anteriores se puede verificar gran mejoría en lo siguiente:

Comprensión de los conceptos básicos de la geometría:

Ya era claro, según lo diagnosticado que las estudiantes podían aplicar los

conceptos básicos pero que se les dificultaba el hecho de definirlos o

comprender su naturaleza abstracta.

Diagnó

stico

Post-test

Diagnó

stico

Post-test

Diagnó

stico

Post-test

Diagnó

stico

Post-test

Diagnó

stico

Post-test

Diagnó

stico

Post-test

Definicióndeconceptosbásicosdelageometría

Aplicacionesdelosconceptos

básicos

Conceptoderazón

trigonométrica

Aplicacióndelasrazones

trigonométricas

Conceptodependientedeunarecta

Aplicacióndelapendiente

15%

93%

28%

97%

11%

88%

5%

85%

2%

91%

13%

98%

PORCENTAJESDERESPUESTASCORRECTASENELDIAGNÓSTICOYELPOST-TEST


Luego de la aplicación del post-test se puede evidenciar que cerca del 93%

de las estudiantes comprenden los conceptos básicos, conocen su naturaleza

abstracta y además los reconocen en contexto ya que el 97% pudo aplicarlos en

las situaciones planteadas.

Comprensión y aplicación de razones trigonométricas a partir de la utilización de los conceptos de recta y ángulo:

En promedio, el 86,5% de las estudiantes identificaron correctamente las

razones trigonométricas seno y coseno y, además, lograron aplicarlas en la

solución de triángulos rectángulos planteados a partir de situaciones problema.

Es importante resaltar que no solo se comprendió y se aplicó el concepto,

sino que también las estudiantes propusieron su propio problema.

Comprensión y aplicación de la pendiente de una recta y su aplicación en problemas de velocidad promedio:

El 91% de las estudiantes comprendieron correctamente la idea de pendiente

de una recta a partir de dos puntos dados. Evidencian una correcta ubicación en

el plano y además relacionan de manera apropiada los movimientos verticales y

horizontales en el plano a través de razones.

Por otro lado, el 98% de las participantes aplican correctamente la idea de

pendiente a la velocidad promedio de un cuerpo gracias a su comprensión inicial

de desplazamientos horizontales versus verticales en el plano. Hay que hacer

una mención especial en este tema a los avances realizados en la clase de física

puesto que fue muy clara la influencia de las ideas allí estudiadas en el desarrollo

de esta actividad.




84

4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

4.1 CONCLUSIONES

A partir de la aplicación de la propuesta metodológica se puede concluir lo

siguiente:

Los saberes previos de los elementos básicos de la geometría en los

estudiantes no eran suficientes para enfrentar las aplicaciones clásicas e

iniciales de la trigonometría y el cálculo. Esto se pudo evidenciar con la

aplicación de la prueba diagnóstica que dejó al descubierto las falencias

conceptuales de las estudiantes y que mostró, de alguna manera, el por qué las

alumnas del colegio Marymount presentan grandes dificultades en la

competencia de resolución de problemas.

Se generó una matriz de valoración DOFA para analizar los resultados de la

prueba diagnóstica. Dicha matriz permitió establecer un punto de partida para la

implementación de la propuesta metodológica, y mostró que las estudiantes del

grado 9º tenían problemas para aplicar algunos conceptos geométricos a

situaciones problemáticas, no tenían claridad en las unidades de medida

utilizadas en diferentes contextos y debido a esto, presentaban dificultades

comportamentales al momento de utilizar los medios electrónicos para las tareas

4. CONCLUSIONESYRECOMENDACIONES 85

requeridas. Esto se daba ya que, al no comprender las tareas a realizar, la

atención en su dispositivo electrónico se desviaba a redes sociales.

Se diseña una propuesta metodológica basada en software libre (plataforma

Erudito y hot potatoes) y material concreto que da como resultado una cartilla de

conceptos básicos de la geometría con toda la secuencia aplicada en dicha

propuesta. La cartilla se adjunta bajo el nombre de “Elementos básicos de la

geometría: rectas y ángulos en las aplicaciones iniciales de la trigonometría y el

cálculo”.

La intervención en el quehacer docente se da correctamente ya que en el

post-test se pudo evidenciar que, en efecto, después de la implementación de la

propuesta, las estudiantes mejoraron notablemente en la comprensión de los

elementos básicos de la geometría además de que reforzaron su competencia

de resolución de problemas.

De acuerdo a lo anterior es claro que el objetivo principal de este proyecto

final, el cual era “diseñar una propuesta metodológica en el grado 9º del colegio

Marymount de Medellín que articule los conceptos básicos de la geometría

(rectas y ángulos) a la resolución de algunos problemas iniciales de la

trigonometría y el cálculo” se logró de manera exitosa puesto que las evidencias

brindadas por la aplicación de las guías de trabajo y el resultado individual del

post-test permiten ver una evolución significativa en la comprensión y aplicación

de los conceptos básicos de recta y ángulo.

4.2 RECOMENDACIONES Los estudiantes que hoy en día van al colegio están influenciados totalmente

por el uso de la tecnología, casi hasta llegar al punto de que las redes sociales




86

y demás definen sus pocas dinámicas sociales; por lo tanto, es importante

mostrarles que ese no es el único uso de sus dispositivos, que pueden ser

utilizados de manera entretenida para introducir ideas académicas.

La implementación del constructivismo social de la mano de la resolución de

problemas facilita las relaciones entre los estudiantes y potencian sus

habilidades sociales y para solucionar situaciones que pueden ser artificiales o

reales.

Es importante hacer una sensibilización antes de empezar a aplicar

metodologías basadas en el uso de las TIC para que el estudiante no mal utilice

el tiempo usando diferentes aplicaciones que nada tienen que ver con lo

trabajado en clase. Esta sensibilización debe ser enfocada a la metodología que

se va a aplicar.

El uso de computador personal es de gran importancia para los fines de esta

propuesta, por lo tanto, es relevante el hecho de que cada estudiante tenga la

oportunidad de interactuar de manera personal con el dispositivo, para que, de

esta manera, pueda aportar a la construcción grupal de acuerdo a sus propias

impresiones

La interacción entre la enseñanza para la comprensión, el constructivismo

social y la resolución de problemas, brinda al estudiante y al maestro caminos

claramente marcados para mejorar tanto la enseñanza como el aprendizaje, en

consecuencia, planear una sesión de clase de cara a estas tres teorías de

enseñanza y aprendizaje puede mejorar los procesos de comprensión de los

estudiantes.

4. CONCLUSIONESYRECOMENDACIONES 87

El papel del maestro sigue cambiando conforme pasa el tiempo. Es

importante recordar que, aunque su presencia es fundamental en los procesos

de socialización y comprensión de los estudiantes, una clase contemporánea

debe estar centrada en el aprendizaje del estudiante y no en una figura de poder

conceptual y disciplinario, de ahí que la intervención del maestro como guía en

las temáticas disciplinarias y acompañante en los procesos sociales, cobre gran

importancia.




88

REFERENCIAS López Perez, F. (2008). Propuestas pedagógicas y didácticas en torno a la

Geometría. Revistas electronicas UN>boletin de Matemáticas. Obtenido de http://www.bdigital.unal.edu.co/

Cardona Posada, S., Rave Builes , J. C., & Muñoz Zapata , J. M. (2012). Repositorio universidad de los Andes. Obtenido de http://funes.uniandes.edu.co/

Orozco Toro, E. J., López Castro , D. P., & Serna, C. M. (2013). Repositorio Universidad Tecnológica de Pereira. Obtenido de http://repositorio.utp.edu.co/

Jaramillo López, C., Santa Ramirez, Z., & De Carvalho Borba, M. (2015). El doblado de papel como medio para la producción de conocimiento geométrico. Revista virtual Universidad Católica del norte , 46, 154-168. Obtenido de http://bibliotecadigital.udea.edu.co/

López Escudero, O., & Garcia Peña, S. (2008). La enseñanza de la Geometría. Mexico, D.F. Obtenido de http://www.oei.es/

Sanchez Quevedo, M. J. (2006). Obtenido de http://concurso.cnice.mec.es/

Lester, F. W. (1983). Trends and Issues in Mathematical Problem Solving Research.

Garrett, R. M. (1988). Resolución de problemas y creatividad: implicaciones para el currículo de ciencias. Enseñanza de las Ciencias, 224-230.

REFERENCIAS 89

Krulik, S., & Rudnick, J. A. (1999). "Developing mathematical reasoning in grades K-12." Reston. VA: National Council of Teachers of Mathematics. Innovative tasks to improve critical- and creative-thinking skills. In I. V. Stiff (Ed.),, 138-145.

Kempa, R. F. (1986). Resolución de problemas de química y estructura cognoscitiva. Enseñanza de las Ciencias, 99-110.

Frazer , M. J. (1982). Solving Chemical Problems. Chemical Society Review, 171-190.

Cubero Pérez, R. (7 de Agosto de 2016). Portal de revistas Universidad del Rosario. Obtenido de http://revistas.urosario.edu.co/

Stone Wiske, M. (1999). La Enseñanza para la Comprension (Compilado). Buenos Aires: PAIDOS.

Albert Gómez, M. J. (2007). La investigación educativa: Claves teóricas. Madrid: Mc Graw Hill.

Gómez, M. A. (2007). La investigación educativa: Claves teóricas. Madrid, España: McGRAW-HILL.

Toro, J. A. (03 de 2014). Repositorio Universidad de Medellin. Obtenido de http://repository.udem.edu.co/

De Villamil, G., Benitez, M., & Donado, A. (2014). La enseñanza de la Geometría en secundaria. Revistas electronicas UN>boletin de Matemáticas. Obtenido de http://www.bdigital.unal.edu.co/

Piriz, N., & López, M. (s.f.). Obtenido de http://www.revistaadbia.com.ar/

Gómez, V. M. (2008). Obtenido de http://www.scielo.org.ar/

Pifarré, M., & Sanuy , J. (2001). Obtenido de https://ddd.uab.cat/

Becerra, C. (2004). Obtenido de Deposito digital de documentos de la UAB: https://ddd.uab.cat/

Jessup, M., Oviedo, P., & Castellanos, R. (2000). Universidad Pedagógica. Obtenido de http://www.pedagogica.edu.co/

ANEXOS

90

ANEXOS

ANEXO A: Prueba diagnóstica

TRABAJO FINAL DE MAESTRIA: PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA

DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA (RECTAS Y ANGULOS) EN LA EDUCACION MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA RESOLUCION DE

PROBLEMAS

COLEGIO MARYMOUNT

FASE 1: ACTIVIDAD DIAGNÓSTICA

0. Plano de un parque de diversiones

ESTUDIANTE ELABORADO POR JOSE CAMILO RAVE BUILES

INSTRUCCIONES • Lea atentamente y responda según lo requerido

• Ninguna de las preguntas que vas a responder tiene una respuesta correcta o incorrecta, solo responde según lo que crees y según lo que has aprendido hasta ahora.

CONSENTIMIENTO DE APLICACIÓN: Los datos aquí obtenidos serán utilizados

sólo con fines académicos en el marco del Trabajo final de maestría.

OBJETIVO: Identificar los conceptos básicos de Geometría a partir de la utilización

de la tecnología para la solución situaciones problema.

ALGO DE HISTORIA…

La Geometría Euclidiana o Geometría plana, puesto que razona sobre polígonos,

circunferencias y en general, entes posibles en el plano; es uno de los puntos cumbre

dentro del pensamiento matemático. Los elementos de Euclides, considerado el

primer tratado matemático de la historia, establece cierta cantidad de definiciones,

axiomas y postulados con los cuales se deduce, lógicamente, una serie de

proposiciones sobre geometría plana.

ANEXOS 91

1. PREGUNTAS PRELIMINARES

ANTES DE EMPEZAR…

a) ¿Qué es un punto?

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b) ¿Qué es una recta?

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c) ¿Qué es un ángulo?

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d) Explica que es un plano y que es el espacio

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2. CONSTRUCCIÓN DEL PARQUE DE DIVERSIONES

Usted cuenta con una superficie de 30.000 m2 para la construcción de un parque de

diversiones que debe tener las siguientes atracciones:

a. Portería

b. Lago de pesca

c. Carritos chocones

d. Carrusel

e. Montaña rusa para niños

f. Montaña rusa para adultos

g. Mansión del terror

h. Parqueadero para 100 carros

i. Parqueadero para 60 motos

j. Piscina de pelotas

k. Zona de comidas




92

Elabore un plano con todos los requerimientos y a escala

NOTA: Su hoja completa de Word o cualquier programa que quiera utilizar para

hacer el diseño corresponde al terreno rectangular donde construirá el parque.

3. CONCEPTUALIZACIÓN

a. ¿En su diseño tiene alguna recta? explique cuál es una recta en su diseño

en caso de tenerla o por qué no la tiene en caso contrario

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b. ubique la portería, la montaña rusa para niños y los carros chocones. Si

se toma la portería como el vértice del ángulo que forman los tres

lugares, ¿Qué tipo de ángulo forman? Explique

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c. ¿Cuanta área quedo libre en su plano para hacer zonas verdes?

ANEXOS 93

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d. en caso de emergencia, los lugares públicos deben tener un punto de

encuentro donde sea posible llegar rápido desde cualquiera de los

lugares. Su punto de encuentro será el lugar donde confluyan la mayor

cantidad de líneas rectas que van de una atracción a otra. Defina según

esto que es un punto. ¿Coincide con la definición que dio al inicio de la

guía?

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e. ¿Qué tipo de figuras geométricas utilizó en su diseño? ¿Cómo se calcula

el área de cada una de ellas? ¿Qué es el área de una figura?

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94

4. APLICACIONES

• Determinar la altura de un edificio cuyo último piso es observado por un

ingeniero con un ángulo de elevación de 30º desde un punto ubicado a 50

metros del pie del edificio y cuyo ángulo.

• Determinar la longitud de la hipotenusa de un triángulo que tiene un cateto

de medida 3 metros y un ángulo agudo de 60º.

• Determinar la pendiente de una recta que pasa por los puntos A(2,3) y B(-

2,4)

• Si la ecuación de movimiento de un móvil es 𝑓 𝑡 = 𝑡$ + 3𝑡 + 1, determinar

la velocidad promedio de dicho cuerpo a los 15 segundos de iniciar su

movimiento

ANEXOS 95

“Cuando las leyes de la Matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad”

Albert Einstein

ANEXO B: Post-test TRABAJO FINAL DE MAESTRIA: PROPUESTA METODOLOGICA PARA LA ENSEÑANZA

DE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA (RECTAS Y ANGULOS) EN LA EDUCACION MEDIA A TRAVÉS DE SU APLICABILIDAD EN LA RESOLUCION DE

PROBLEMAS

COLEGIO MARYMOUNT

FASE 5: EVALUACIÓN DE LOS

RESULTADOS

7. Post-test ESTUDIANTE

ELABORADO POR JOSE CAMILO RAVE BUILES

INSTRUCCIONES • Complete el crucigrama que se plantea a continuación de acuerdo a lo aprendido en la aplicación de las diferentes guías y actividades de clase

OBJETIVO: Evidenciar el aprendizaje de los conceptos básicos de la geometría

(Punto, recta y ángulo) y su aplicación en algunos problemas iniciales de la

trigonometría y el cálculo.

ALGO DE HISTORIA… LAS MATEMA TICAS DURANTE EL

RENACIMIENTO

Aunque el final del periodo medieval fue testigo de importantes estudios

matematicos sobre problemas del infinito por autores como Nicole Oresme, no fue

hasta principios del siglo XVI cuando se hizo un descubrimiento matema tico de

trascendencia en Occidente. Era una fo rmula algebraica para la resolucio n de las

ecuaciones de tercer y cuarto grado, y fue publicado en 1545 por el matema tico




96

italiano Gerolamo Cardano en su Ars magna. Este hallazgo llevo a los matema ticos

a interesarse por los nu meros complejos y estimulo la bu squeda de soluciones

similares para ecuaciones de quinto grado y superior. Fue esta bu squeda la que a su

vez genero los primeros trabajos sobre la teori a de grupos a finales del siglo XVIII y

la teori a de ecuaciones del matema tico france s Evariste Galois a principios del XIX.

Tambie n durante el siglo XVI se empezaron a utilizar los modernos signos

matematicos y algebraicos. El matema tico france s Francois Viète llevó a cabo

importantes estudios sobre la resolucio n de ecuaciones. Sus escritos ejercieron gran

influencia en muchos matema ticos del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat

en Francia e Isaac Newton en Inglaterra2.

2Tomadoenmayo20de2017dehttp://www.edu.mec.gub.uy/biblioteca_digital/libros/anonimos/Anonimo%20-%20Historia%20de%20las%20Matematicas.pdf

ANEXOS 97

CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

13 14 15

16




98

Horizontales:

1. Es la pendiente de un segmento que une dos puntos de una grafica de posición contra tiempo

3. Es el nombre que recibe cada lado que forma el ángulo recto en un triángulo rectángulo

5. Ángulo cuya medida es exactamente noventa grados

6. En un plano, es la división entre los espacios movidos verticalmente y los espacios movidos horizontalmente para ir de un punto a otro

7. En un triángulo rectángulo, es el cateto que está al frente del ángulo agudo

8. Ángulo cuya medida está entre noventa y ciento ochenta grados

10. No es posible definirlo, pero se puede asociar a la marca que deja un lápiz al ser posado sobre el papel.

11. Ángulo que mide exactamente ciento ochenta grados

13. Ángulo que mide cero grados 15. Es el lado que se opone al ángulo recto en

un triángulo rectángulo 16. Medida de una superficie, cantidad de

cuadritos que caben en una superficie

Verticales

2. En un triángulo rectángulo, es el cateto que es vecino al ángulo agudo

3. Es la división del cateto que es adyacente a uno de los ángulos agudos y la hipotenusa

4. Abertura formada por dos semirrectas que tienen un extremo común

5. No se puede definir, pero se puede asociar a la huella dejada por un punto al moverse en una sola dirección

9. Es la división del cateto que es opuesto a uno de los ángulos agudos y la hipotenusa

10. Se puede asociar con la superficie de un piso o un tablero de tamaño infinito

12. Tipo de ángulo cuya medida es menos a noventa grados

14. Se puede asociar con la huella que deja un punto en movimiento

“El razonamiento matemático puede considerarse más bien esquemáticamente como el ejercicio de una combinación de dos

instalaciones, que podemos llamar la intuición y el ingenio” Alan Turing

trabajo final de maestría final final final · en el grado 9º del colegio marymount medellin que...

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