DISTRIBUCION NORMAL

¿Cómo Determinar Si Una Serie De Datos Tiene

Distribución Normal?

ESTADISTICA

LEÓN GONZALO TAMAYO VÁSQUEZ Profesor (a)

Geiner Romero Zapata Alumno

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA LATINOAMERICANA “UNAULA”

CONTADURÍA PÚBLICA CUARTO SEMESTRE

GRUPO 4B Medellín, Mayo de 2011

DISTRIBUCION NORMAL

La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham

de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que

también se la conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La

distribución de una variable normal está completamente determinada por dos

parámetros, su media y su desviación estándar, denotadas generalmente por µ

y σ. Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:

que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos (Figura

2). Así, se dice que una característica X sigue una distribución normal de media

µ y varianza σ2, y se denota como X≈N (µ,σ), si su función de densidad

viene dada por la Ecuación 1.

Al igual que ocurría con un histograma, en el que el área de cada rectángulo es

proporcional al número de datos en el rango de valores correspondiente si, tal y

como se muestra en la Figura 2, en el eje horizontal se levantan

perpendiculares en dos puntos a y b, el área bajo la curva delimitada por esas

líneas indica la probabilidad de que la variable de interés, X, tome un valor

cualquiera en ese intervalo. Puesto que la curva alcanza su mayor altura en

torno a la media, mientras que sus "ramas" se extienden asintóticamente hacia

los ejes, cuando una variable siga una distribución normal, será mucho más

probable observar un dato cercano al valor medio que uno que se encuentre

muy alejado de éste.

Propiedades de la distribución normal:

La distribución normal posee ciertas propiedades importantes que conviene

destacar:

ü Tiene una única moda, que coincide con su media y su mediana.

ü La curva normal es asintótica al eje de abscisas. Por ello, cualquier valor

entre -∞ y +∞ es teóricamente posible. El área total bajo la curva es,

por tanto, igual a 1.

ü Es simétrica con respecto a su media µ. Según esto, para este tipo de

variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor

que la media, y un 50% de observar un dato menor.

ü La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de

la curva es igual a una desviación típica (σ). Cuanto mayor sea σ, más

aplanada será la curva de la densidad.

ü El área bajo la curva comprendida entre los valores situados

aproximadamente a dos desviaciones estándar de la media es igual a

0.95. En concreto, existe un 95% de posibilidades de observar un valor

comprendido en el intervalo (� − � . � � � ; � + � . � � � )

ü La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros µ y σ

(Figura 3). La media indica la posición de la campana, de modo que para

diferentes valores de µ la gráfica es desplazada a lo largo del eje

horizontal. Por otra parte, la desviación estándar determina el grado de

apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea el valor de σ, más se

dispersarán los datos en torno a la media y la curva será más plana. Un

valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran

probabilidad de obtener datos cercanos al valor medio de la distribución.

Métodos para determinar la Normalidad

Existen varios métodos para determinar si los datos de una muestra provienen

de una población normal, para así poder aplicar técnicas que se basan en el

supuesto de que la población presenta una distribución normal aproximada.

A continuación daré a conocer algunos de estos:

ü Histograma.

ü Cálculo IQR/S

ü Gráfico de probabilidad normal

Histograma

En este apartado dibujaremos el histograma de una muestra de una población

con distribución desconocida. Para ilustrar el procedimiento que determina si

esta muestra proviene de una distribución normal trabajaremos con el

siguiente supuesto:

“Los valores sobre las longitudes en micras de 50 filamentos de la producción

de una máquina son los siguientes:”

Esta es la primera prueba que realizamos para comprobar si los datos proceden

de una distribución normal. Si los datos son aproximadamente normales, la

forma de la gráfica será similar a la de la curva normal superpuesta (esto es,

con forma de joroba y simétrica alrededor de la media). En nuestro caso hay un

cierto parecido, por lo que en principio, aunque no podemos afirmar con

rotundidad que la muestra proviene de una población normal a la espera de

otros resultados, podemos concluir que se asemeja a la curva normal teórica.

Cálculo IQR/S

El segundo paso es el de calcular el intervalo intercuartiles, IQR, la desviación

estándar, s para la muestra y luego calcular el cociente IQR/S. Si los datos son

aproximadamente normales, IQR/S 1.3. Puede verse que esta propiedad se

cumple para las distribuciones normales si se observa que los valores z que

corresponden a los percentiles 75o. y 25o. son 0.67 y -0.67, respectivamente.

Puesto que σ = 1 para una distribución normal estándar (z),

IQR/σ = [.67- (-.67)]/1 = 1.34.

En esta segunda verificación debemos obtener el intervalo intercuartiles (es

decir la diferencia entre los percentiles 75º. Y 25º.) y la desviación estándar del

conjunto de datos.

Los resultados para nuestro ejemplo son:

Haciendo el cálculo obtenemos que IQR/S = (115.25-100.00) / 10.81 = 1.41.

Puesto que este valor es aproximadamente igual a 1.3, tenemos una

confirmación adicional de que los datos son aproximadamente normales.

Gráfico de probabilidad normal

Una tercera técnica descriptiva para comprobar la normalidad es la gráfica de

probabilidad normal. En una gráfica de probabilidad normal, las observaciones

de un conjunto de datos se ordenan y luego se grafican contra los valores

esperados estandarizados de las observaciones bajo el supuesto de que los datos

están distribuidos normalmente. Si los datos en verdad tienen una distribución

normal, una observación será aproximadamente igual a su valor esperado. Por

tanto, una tendencia lineal (de línea recta) en la gráfica de probabilidad normal

sugiere que los datos provienen de una distribución aproximadamente normal,

en tanto que una tendencia no lineal indica que los datos no son normales.

En el SPSS podemos generar dos tipos de gráficos de este tipo, el Gráfico P-P y

el Gráfico Q-Q. El P-P crea un gráfico de las proporciones acumuladas de una

variable respecto a las de una distribución cualquiera de prueba (en nuestro

caso de una normal). Si la variable seleccionada coincide con la distribución de

prueba, los puntos se concentran en torno a una línea recta. Para generar este

gráfico iremos a (Gráficos/P-P) y marcamos las casillas siguientes:

Damos a aceptar y la gráfica que obtenemos sería:

Observe que los puntos se ajustan relativamente bien a una línea recta. Por

tanto, la verificación 3 también sugiere que los datos probablemente tienen una

distribución normal.

El otro gráfico que genera el SPSS es el Gráfico Q-Q. La forma de obtener dicho

gráfico es similar al anterior únicamente que debemos seleccionar (Gráficos/Q-

Q). Este procedimiento crea un gráfico con los cuartiles de distribución de una

variable respecto a los cuartiles de cualquiera de varias distribuciones de

prueba (en nuestro caso de una normal). Si la variable seleccionada coincide

con la distribución de prueba, los puntos se concentran en torno a una línea

recta.

Existen otros métodos para probar la normalidad, los anteriores explicados son

los más comunes, a continuación veremos un listado de estos. Las pruebas de

normalidad se aplican a conjuntos de datos para determinar su similitud con

una distribución normal. La hipótesis nula es, en estos casos, si el conjunto de

datos es similar a una distribución normal, por lo que un P-valor

suficientemente pequeño indica datos no normales.

ü Prueba de Kolmogórov-Smirnov ü Test de Lilliefors ü Test de Anderson–Darling ü Test de Ryan–Joiner ü Test de Shapiro–Wilk ü Normal probability plot (rankit plot) ü Test de Jarque–Bera ü Test omnibús de Spiegelhalter

Bibliografia

ü www.google.com.co

ü http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001065/html/un2/metodo

s_descriptivos.html

ü http://webpages.ull.es/users/jjsalaza/MEI/

ü www.fisterra.com

ü www.uoc.edu