Elaborado por: Ariel Cisneros

Vector : Es un segmento de recta orientado.

Notación: se denota utilizando cualquier letra en mayúscula del alfabeto, con una pequeña flecha en la parte superior de la letra: Vector “A”

Módulo : Geométricamente es el tamaño vector. Indica el valor de la magnitud vectorial. A = A

Un vector fijo del plano es un segmento cuyos extremos están dados en un cierto orden (se suele decir que es un segmento orientado). Se representa por AB, siendo los extremos A y BLos puntos en los que empieza y termina un vector se llaman origen y extremo, respectivamente.Dada una dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la que termina

A (origen)

B (extremo)

B (origen)

A (extremo)

AB

BA

Vector Geométrico

Magnitud: largo del vector

Dirección

Sentido

A

Propiedades de vectores: Igualdad

Tienen igual magnitud, dirección y sentido

Propiedades de vectores: Suma

Componentes de un Vector:Componentes de un Vector:

A (a1,a2)

B (b1,b2)

b1

b2

a2

a1

Los componentes del vector AB se obtienen restando las coordenadas de B menos las coordenadas de A

Suma de Vectores:Suma de Vectores:

Paralelogramo. Si deseamos sumar dos vectores, una vez dibujados coincidiendo con el origen, por el extremo de cada vector trazamos una paralela al otro. Ambas paralelas se cortan en un punto. El vector cuyo punto de aplicación coincide con el de los vectores sumandos y cuyo extremo es el que termina en el punto de corte de las paralelas es el vector suma

B

A

Suma de Vectores:Suma de Vectores:

Polígono. Se emplea, sobre todo, cuando se desean sumar varios vectores a la vez. En el extremo del primer vector se sitúa el punto de aplicación del segundo, sobre el extremo del segundo vector se coloca el punto de aplicación del tercero y así hasta terminar de dibujar todos los vectores. El vector resultante es el que se obtiene al unir el punto de aplicación del primero con el extremo del último

Suma de Vectores:Suma de Vectores:

Analíticamente, se suman las componentes.A = (0, 5)B = (5, 4)

A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)

Resta de Vectores:Resta de Vectores:

La resta se realiza en forma análoga a la suma

Resta de Vectores:Resta de Vectores:

Aritméticamente restamos las componentes verticales y horizontales entre sí.

A = (7, 2)B = (5, 4)

A - B = (7, 2) - (5, 4) = (7 - 5, 2 - 4) = (2, - 2)

Conmutativaa + b = b + aAsociativa(a + b) + c = a + (b + c)Elemento neutro o vector 0a + 0 = 0 + a = aElemento simétrico u opuesto a'a + a' = a' + a = 0a' = -a

Propiedades de la suma de Vectores:Propiedades de la suma de Vectores:

Producto de Vectores:Producto de Vectores:

El producto escalar de dos vectores no es otro vector sino un número. Se determina multiplicando las coordenadas de ambos vectores, componente a componente y sumando los resultados. Por ejemplo:

(-3,2) x (5,1) = ((-3) x5) +(2x1) = -15+2 = -13

Propiedades de la suma de Vectores:Propiedades de la suma de Vectores:

ConmutativaA * b = b * aAsociativa(a + b) * c = a * (b + c)

Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se realiza de la siguiente manera:

Se unen los orígenes de los dos vectores.

A partir de sus puntas o terminaciones se trazan paralelas a cada uno de ellos formando una paralelogramo.

La diagonal de dicho paralelogramo es el vector suma, lo cual se ilustra mediante el siguiente ejemplo:

Método del Paralelogramo

A

B

A

B

Consiste en unir el origen del segundo vector con la punta del primero. Si son mas de dos vectores, unir el origen del tercer vector con la punta del segundo y así sucesivamente, el vector resultante es el que va desde el origen del primero hasta la punta del último.

A

B

B

Res

ulta

nte

CA

C

DD

Método del Polígono

El método analítico consiste en hablar de vectores con respecto a un sistema de referencia, en el caso del plano, éste es el plano cartesiano

M E T O D O A N A L Í T I C OM E T O D O A N A L Í T I C O

AA

0 1 2 3 4

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3-4l l l l l

l l l

l l l l l

l l l l

3

x +

y +

Una vez elegido el plano, se definen las componentes Ax y Ay de un vector como las proyecciones o sombras del vector sobre los ejes coordenados, éstas se obtienen trazando paralelas a los ejes a partir de la terminación del vector.

Método analítico: Método analítico: componentes rectangularescomponentes rectangulares

A

0 1 2 3 4

1

2

-1

-2

-3

-1-2-3-4l l l l l

l l l

l l l l l

l l l l

3

x +

y +

A x

A y

Cuando se proporciona la magnitud del vector y su orientación mediante el ángulo, las componentes rectangulares se calculan utilizando las funciones trigonométricas.

Se forma un triángulo rectángulo, en donde las componentes vienen siendo los catetos y la hipotenusa la magnitud del vector. Aplicando las funciones trigonométricas:

Método analítico: Método analítico: cálculo de las componentes cálculo de las componentes rectangularesrectangulares

A y

A

0 1 4

1

-1

-1

l l

l l l

3

x +

y +

A x

cateto adyacente

cateto opuestohipotenusahipotenusa

cateto opuestosen = =

A y

|A|

despejando la componente vertical:

despejando la componente horizontal: A x= |A| cos

cos =hipotenusa

cateto Adyacente=

A x

|A|

A y = |A| sen

Para transformar un vector en coordenadas polares a coordenadas rectangulares, nececitamos encontrar una parte X y una parte Y. Para hallar la parte X, multiplicamos el módulo de las coordenadas polares por el coseno del ángulo. Así mismo, para hallar la parte Y, multiplicamos el módulo por el seno del ángulo.Para transformar un vector en coordenadas geográficas a coordenadas rectangulares, primero debemos transformarlo en coordenadas polares, y seguir el procedimiento de polares a rectangulares.

COORDENADAS POLARES A COORDENADAS RECTANGULARES

Ejemplo 1:Expresar el vector (37cm; N37°E) en coordenadas rectagunlares

Sen 37°= cateto opuesto sobre hipotenusacateto opuesto= 37sen37cateto opuesto = 22.26Y= 22.26

Cos37° = cateto adyacente sobre hipotenusacateto adyacente = 37cos37cateto adyacente= 29.54X= 29.54(29.54,22.26) cm