trabajo de Álgebra lineal - copia
TRANSCRIPT
-
8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia
1/11
INTRODUCCION
Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana) en informática y matemática,
es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, O y !" (#$,
O%, O&, "'), as como el conunto de operaciones unión, intersección y complemento*
+n la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del
diseo electrónico* -laude !.annon fue el primero en aplicarla en el diseo de circuitos de
conmutación eléctrica biestables, en /012* +sta lógica se puede aplicar a dos campos3
• #l análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos*
• #l diseo, ya que teniendo una función aplicamos dic.a álgebra, para poder
desarrollar una implementación de la función*
http://es.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_de_conmutaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_de_conmutaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_l%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_un_conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannonhttp://es.wikipedia.org/wiki/1948http://es.wikipedia.org/wiki/1948http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circuito_de_conmutaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_l%C3%B3gicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Uni%C3%B3n_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Intersecci%C3%B3n_de_conjuntoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Complemento_de_un_conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannonhttp://es.wikipedia.org/wiki/1948http://es.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1tica
-
8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia
2/11
Álgebra lineal
El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos
tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de
manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de
las matemáticas como ser el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales, la
investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc.
Los Elementos AND, OR, NOT
Los bloques elementales de un dispositivo lógico se denominan puertaslógicas digitales. Una puerta !"#$% tiene dos o más entradas y una &nica salida.
La salida de una puerta es verdadera sólo si todas las entradas son verdaderas.
Una puerta ' !'(% tiene dos o más entradas y una sola salida. La salida de una
puerta ' es verdadera si cualquiera de las entradas es verdadera, y es falsa si
todas las entradas son falsas. Una puerta )#*E(+'(" !)#*E(E(% tiene una
&nica entrada y una &nica salida, y puede convertir una se-al verdadera en falsa,
efectuando de esta manera la función negación !#'%. " partir de las puertas
elementales pueden construirse circuitos lógicos más complicados, entre los que
pueden mencionarse los circuitos inestables !tambin llamados flip/flops, que son
interruptores binarios%, contadores, comparadores, sumadores y combinaciones
más comple0as.
1% And. La operación "nd requiere que
todas las se-ales sean
simultáneamente verdaderas para que
la salida sea verdadera. "sí, el circuito
de la figura necesita que ambos
interruptores estn cerrados para que
la lu2 encienda.
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_linealeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Vectorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_linealeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_de_operacioneshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa
-
8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia
3/11
Los estados posibles del circuito se pueden modelar en la abla de *erdad que
tiene asociada. +abemos que los interruptores sólo pueden tener dos estados,
abiertos o cerrados, si el interruptor abierto se representa mediante el cero !3 o
falso% y el cerrado mediante el valor uno !1 o verdadero% entonces en la tabla de
verdad asociada se puede ver la situación que se describía en el párrafo anterior,
cuando se decía que la lu2 sólo prende cuando ambos interruptores están
cerrados, es decir, si " 4 1 y 5 4 1 entonces L 4 1.
Or. La operación 'r tiene similares características a la operación "nd,
con la diferencia que basta que una se-al sea
verdadera para que la se-al
resultante sea verdadera. En la figura sepuede ver tal situación.
#ote que en el circuito los interruptores están en paralelo, por lo
cual basta que uno de ellos est
cerrado para que el circuito se cierre y
encienda la lu2
La operación 'r tambin tiene una representación funcional como 'r! ", 5 %
donde " y 5 serían los parámetros de entrada !los mismos valores de " y 5 en el
circuito% y L 4 'r! ", 5 %, correspondería a la forma de asignación de valor a L. En
este caso, el parámetro de salida es la misma función 'r.
Not6 La <ima de la tres operaciones fundamentales, la cual tambin se conoce
como negación, complemento o inversión, es mucho más simple que las
anteriores. En la figura se puede observar el circuito, que en este caso tiene la
particularidad de que al estar el interruptor abierto la lu2 enciende, cuando l estáen posición de cerrado la lu2 permanecería apagada.
La notación funcional para esta operación será #ot! " %, donde "
corresponde a la se-al de entrada y #ot! " % corresponde al valor complementario
de ".
-
8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia
4/11
7on las operaciones básicas ya definidas es posible redefinir el "lgebra de
una manera más formal, por e0emplo, dándole el nombre de $ominio Lógico y
caracteri2ándolo de la siguiente manera6
Tablas De Verdad
Estas tablas pueden construirse haciendo una interpretación de los signos
lógicos,8, 9, :, ;, uede establecerse una correspondencia entre los resultados de estas tablas y
la deducción lógico matemática. En consecuencia, las tablas de verdad
constituyen un método de decisión para chequear si una proposición es o no un
teorema.
>ara la construcción de la tabla se asignará el valor 1!uno% a una proposición
cierta y 3 !cero% a una proposición falsa.
1. Negacin! El valor de verdad de la negación es el contrario de la proposición
negada.
> 8 >
1 3
-
8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia
5/11
3 1
?. Dis"#ncin! La disyunción solamente es falsa si lo son sus dos componentes.
> @ > : @
1 1 1
1 3 1
3 1 1
3 3 3
A. Con$#ncin! +olamente si las componentes de la con0unción son ciertas, la
con0unción es cierta.> @ > 9 @
1 1 1
1 3 3
3 1 3
3 3 3
B. Condicional! El condicional solamente es falso cuando el antecedente es
verdadero y el consecuente es falso. $e la verdad no se puede seguir la
falsedad.
> @ >; @
1 1 1
1 3 3
3 1 1
3 3 1
-
8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia
6/11
C. %icondicional! El bicondicional solamente es cierto si sus componentes tienen
el mismo valor de verdad.
> @ >< @
1 1 1
1 3 3
3 1 3
3 3 1
+e denomina tautología una proposición que es cierta para cualquier valor
de verdad de sus componentes. >or tanto, la última columna de su tabla de verdad
estará formada &nicamente por unos.
Contradicción es la negación de una tautología, luego es una proposición
falsa cualquiera sea el valor de verdad de sus componentes. La última columna de
la tabla de verdad de una contradicción estará formada &nicamente por ceros.
E&al#acin de las e'(resiones lgicas
E'(resiones Lgicas
En los programas con frecuencia debemos enfrentarnos con situaciones en las
que se deben proporcionar instrucciones alternativas que pueden o no e0ecutarse,
dependiendo de los datos de entrada, refle0andose el cumplimiento o no de una
deteminada condición.
>or e0emplo, supongamos que queremos dise-ar un programa para calcular el
salario semanal de un empleado que traba0a por horas, la empresa paga una tasade 1.C la tasa normal por todas las horas traba0adas mayores a B3. El algoritmo
sería6
leer!tasa%
leer!Dorastraba0adas%
-
8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia
7/11
si Doras F B3 condición
entonces!se cumple la condición%
paga G/ tasa H B3 I 1.C H tasa H!horas / B3%
sino !no se cumple la condición%
paga G tasa H horas
finsi
+i te das cuenta la solución del problema requiere el uso de estructuras de control
selectivas6 si)i*+, entonces)ten+, sino)else+. >ara reali2ar el algoritmo anterior se
necesita reali2ar la pregunta6 +on las horas traba0adas mayores a B3J.
Esto se reali2a mediante la evaluación de expresiones lógicas, comparando dos
valores y &tili2ando un operador de relación.
Una expresión lógica es una expresión que puede ser verdadera o falsa.
O(eradores de Relacin
+e &tili2an para expresar condiciones y describen una relación entre ?
variables. El con0unto de operaciones relacionales se muestran en la siguiente
tabla.
'peradores +ignificado
G Kenor que
F Kayor que
4 )gual a
F4 Kayor o igual que
G4 Kenor o igual que
GF $istinto o diferente a
Estos operadores se &tili2an en condiciones cuyo formato tiene la siguiente forma.
http://www.oocities.org/ar/luis_pirir/cursos/decisiones.htmhttp://www.oocities.org/ar/luis_pirir/cursos/decisiones.htmhttp://www.oocities.org/ar/luis_pirir/cursos/decisiones.htmhttp://www.oocities.org/ar/luis_pirir/cursos/decisiones.htm
-
8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia
8/11
*ariable o(erador relacional variable
contante o(erador relacional constante.
El resultado de una expresión lógica es un valor de tipo lógico6 verdadero o falso.
7uando se aplican a elementos de tipo caracter se verifican en orden alfabetico,
tomando en cuenta el orden del código "+7)). $e la siguiente manera6
3 G 1 G ? ... G
a G b G c ... G 2
" G 5 G 7 ... G M
Le"es %ásicas del Álgebra de %oole
N Leyes conmutativas de la suma y multiplicación.
N Leyes asociativas de la suma y multiplicación.
N Ley distributiva.
O +on las mismas que las del álgebra ordinaria.
Le"es Conm#tati&as
O El orden en que se aplica a las variables la operación '( es indiferente6
"I5 4 5I"
O El orden en que se aplica a las variables la operación "#$ es indiferente6
"5 4 5"
Le"es Asociati&as
-
8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia
9/11
"l aplicar la operación '( a más de dos variables, el resultado es el mismo
independientemente de la forma en que se agrupen las variables6
" I !5 I 7% 4 !" I 5% I 7
"l aplicar la operación "#$ a más de dos variables, el resultado es el
mismo independientemente de la forma en que se agrupen las variables6
"!57% 4 !"5%7
Le" Distrib#ti&a
"plicar la operación '( a dos o más variables y luego aplicar la operación
"#$ al resultado de la operación y a otra variable aislada, es equivalente a aplicar la operación "#$ a la variable aislada con cada uno de los sumandos y luego
aplicar la operación '( a los productos resultantes.
Esta ley tambin expresa el proceso de sacar factor com&n, en el que la
variable com&n se saca como factor de los productos parciales.
Le" distrib#ti&a (ara tres &ariables
A)% - C+ A% - AC
Reglas %ásicas del Álgebra de %oole
Kuy &tiles para la manipulación y simplificación de expresiones booleanas.
1. " I 3 4 "
?. " I 1 4 1
A. " P3 4 3B. " P1 4 "
. " 4 "
13. " I "5 4 "
11. " I "5 4 " I 5
1?. !" I 5%!" I 7% 4 " I 57
-
8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia
10/11
C. " I " 4 "
Q. " I " 4 1
R. " P" 4 "
S. " P" 4 3
", 5, o 7 pueden representar una &nica variable o una combinación de variables.
/igni*icacin De Las E'(resiones Algebraicas
Una expresión algebraica es un con0unto de cantidades numricas y literales
relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritmticas como sumas,
diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.
"lgunos e0emplos de expresiones algebraicas son6
o
+i x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma
ax n, en donde a es un n&mero real y n es un entero no negativo. Un binomio es
la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma
de tres monomios que no se pueden simplificar.
monomio binomio trinomio
(ecuerda siempre que un monomio tiene solo un trmino, un binomio dos
trminos y un trinomio tres trminos.
-
8/17/2019 Trabajo de Álgebra Lineal - Copia
11/11
CONCLU/ION
4as álgebras booleanas, estudiadas por primera 5ez en detalle por 6eorge Boole ,
constituyen un área de las matemáticas que .a pasado a ocupar un lugar prominente con el
ad5enimiento de la computadora digital* !on usadas ampliamente en el diseo de circuitos
de distribución y computadoras, y sus aplicaciones 5an en aumento en muc.as otras áreas*
+n el ni5el de lógica digital de una computadora, lo que com7nmente se llama .ard8are, y
que está formado por los componentes electrónicos de la máquina, se trabaa con
diferencias de tensión, las cuales generan funciones que son calculadas por los circuitos que
forman el ni5el* 9stas funciones, en la etapa de disea del .ard8are, son interpretadas
como funciones de boole*
:na e;presión algebraica es una combinación de letras, n7meros y signos de
operaciones* 4as letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan
5ariables o incógnitas* 4as e;presiones algebraicas nos permiten traducir al lenguae
matemático e;presiones del lenguae .abitual*
http://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/diseprod/diseprod.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/infoba/infoba.shtml#circuitohttp://www.monografias.com/trabajos10/infoba/infoba.shtml#circuitohttp://www.monografias.com/trabajos11/travent/travent.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/logica-metodologia/logica-metodologia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Hardware/http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtmlhttp://www.monografias.com/Matematicas/index.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/diseprod/diseprod.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/infoba/infoba.shtml#circuitohttp://www.monografias.com/trabajos11/travent/travent.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/logica-metodologia/logica-metodologia.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/computadoras/computadoras.shtmlhttp://www.monografias.com/Computacion/Hardware/http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml