2011

TRABAJO COLABORATIVO 3

Trabajo Colaborativo No 3 Página 1

METODOS NUMERICOS

METODOS NUMERICOS

TRABAJO COLABORATIVO No 3 - METODOS NUMERICOS

PRESENTADO POR:

ALVARO GOMEZ PLATAEDWIN DAVID TAMAYO

EDWIN OMAR ORTIZLUIS EDUARDO VILLEGAS

RICARDO GOMEZ NARVAEZTUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNADMETODOS NUMERICOS

GRUPO No 100401_3

2011

Trabajo Colaborativo No 3 Página 2

METODOS NUMERICOS

INTRODUCCION

En el presente trabajo encontraremos planteado los métodos de diferenciación e integración numérica y solución de ecuaciones diferenciales como son: la regla trapezoidal, el método de Euler, el método de Runge-Kutta y el método de Adams-Basforth/Adams-Moulton.

Se proyectaron ejercicios de solución de ecuaciones con el fin de mostrar la solución por cada uno de los métodos estudiados, logrando así de esta manera observar el procedimiento y tipo de solución de cada uno de estas técnicas.

De esta manera también podremos dar nuestras propias conclusiones acerca de cual método es el mas indicado utilizar para la solución de estas ecuaciones diferenciales.

Trabajo Colaborativo No 3 Página 3

METODOS NUMERICOS

OBJETIVOS

Estudiar y comprender los métodos de solución de Ecuaciones Diferenciales e integración numérica, con la ayuda de resolución de ejercicios planteados en el presente trabajo.

Comprender la importancia de la utilización de los diferentes métodos de solución de ecuaciones diferenciales.

Diferenciar el método empleado de las técnicas de solución de ecuaciones diferenciales e integración numérica.

Trabajo Colaborativo No 3 Página 4

METODOS NUMERICOS

TRABAJO COLABORATIVO 3

El trabajo se compone de: Diferenciación e Integración Numérica y solución de ecuaciones diferenciales.

EJERCICIOS:

1. Calcular la integral ∫0

1e−x2

dx empleando la regla trapezoidal, tomando n=10.

Para conocer la función, inicialmente la graficamos con ayuda del programa Matlab y podemos apreciar, el intervalo en el que vamos a integrar que es entre 0 y 1.

Grafica No 1 Intervalo a Integrar(0,1)

Posteriormente procedemos a integrar la función con respecto a x y su grafica la obtenemos con ayuda de la herramienta funtool de Matlab. Para ello escribimos en Matlab el siguiente Algoritmo:

clcclear allsyms xf = exp(-x.^2)int(f,0,1)

Trabajo Colaborativo No 3 Página 5

METODOS NUMERICOS

Su respuesta es:f =exp(-x^2)ans = 1/2*erf(1)*pi^(1/2)

El resultado presenta la siguiente grafica y escogemos para visualizar mejor el resultado, el intervalo entre 0 y 2.

Grafica No 2 Intervalo Resultado (0,2)

Regla Trapezoidal:

Donde a = 0; b = 1, Entonces;

Le damos valores a x desde 0 hasta 1 y tabulamos;

→ = 1

F(x) 1 0.990 0.960 0.913 0.852 0.778 0.697 0.612 0.527 0.444 0.367X 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tabla No 1 Tabulación Datos Método Trapezoidal.

Trabajo Colaborativo No 3 Página 6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

f(x)

f(x) = exp(-x2)

METODOS NUMERICOS

Graficando esta tabulación, nos arroja la siguiente grafica:

Trabajo Colaborativo No 3 Página 7

METODOS NUMERICOS

Grafica No 3Resultado Tabulación

Según la regla Trapezoidal, Tenemos:

2. Aplique el método de Euler al problema con valor inicial: y´=y+xy(0)=0

Tomando h=0,2:

y(0.8)x0 = 0y0 = 0Hacemos y’ = f(x,y)f(x,y) = y + x

La solución se obtiene paso por métodos de integración hacia adelante, lo que permite valuar Yi+1 tan pronto se conozcan los valores Yi, Yi-1 de Y en uno o más pivotes anteriores. Es aplicable a ecuaciones de primer orden y no requiere conocer la solución en los pivotes anteriores.

Trabajo Colaborativo No 3 Página 8

METODOS NUMERICOS

.128

Tabulando, Tenemos:

n xn yn

0 0 01 0.2 02 0.4 0.043 0.6 0.1284 0.8 0.2736

Tabla No 2 Tabulación Datos Método Euler.

3. Aplique el método de Runge-Kutta al problema con valor inicial:

y´=y+xy(0)=0

Tomando h=0,2.

Y(0.8)X(0) = 0Y(0) = 0F(x,y) = y + x

En la primera Iteracion tenemos:

Trabajo Colaborativo No 3 Página 9

METODOS NUMERICOS

Aplicando la Formula:

En la Segunda Iteracion tenemos:

Practicamos con la misma formula y obtenemos los resultados:

0.06870

En la tercera iteracion obtenemos:

Trabajo Colaborativo No 3 Página 10

METODOS NUMERICOS

Siguiendo el procedimiento tendremos:

En la cuarta iteracion obtenemos:

Luego,

4. Use el método Adams-Basforth/Adams-Moulton con h=0,1 para llegar a una aproximación a y (0,8) de:

y´=yy(0)=0

Y(0.8) X(0) = 0f(x,y) = y

En la primera iteración Tenemos:

Trabajo Colaborativo No 3 Página 11

METODOS NUMERICOS

Donde y1 ;

En la segunda iteración encontramos las siguientes respuestas:

Donde;De manera análoga, todos los valores de y serán de 0;

Tabulando Obtenemos la siguiente Tabla:

i x y y'0 0 0 01 0.1 0 02 0.2 0 03 0.3 0 04 0.4 0 05 0.5 0 06 0.6 0 07 0.7 0 08 0.8 0 0

Tabla No 3 Tabulación Datos Método Adams-Basforth/Adams-Moulton

Aplicando la Formula Tenemos:

Luego y8 = 0

Trabajo Colaborativo No 3 Página 12

METODOS NUMERICOS

CONCLUSION

Podemos llegar a concluir que todos estos métodos numéricos son de gran utilidad para la solución de Ecuaciones Diferenciales, donde unos tienen mas ventajas sobre otros o son mas sencillos a la hora de darles solución, por ejemplo el método de Runge-Kutta es un método numérico de resolución de ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del método de Euler y el método de Euler se puede considerar como un método de Runge Kutta de primer orden.

Una gran diferencia entre los métodos de Euler y Runge-Kutta consiste en que las soluciones obtenidas mediante Euler poseen menos exactitud que las obtenidas mediante el método de Runge-Kutta.

Aunque el Método de Euler modificado mejora la exactitud del resultado considero que el de Runge-Kutta tiene mas exactitud, por ello es recomendable si se desea mayor rapidez de cálculo utilizar el Método de Euler, pero si se requiere precisión, es recomendable el método de Runge-Kutta.

Trabajo Colaborativo No 3 Página 13

METODOS NUMERICOS

BIBLIOGRAFIA

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Euler

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap1- geo/node14.html

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_Runge-Kutta

Introducción a Métodos Numéricos – Héctor Manuel Mora Escobar – U. Nacional de Colombia

Ecuaciones Diferenciales y Transformadas de Laplace con aplicaciones – Luis M. Sanchez Ruiz – Editorial Universidad Politécnica.

Trabajo Colaborativo No 3 Página 14

METODOS NUMERICOS

Trabajo Colaborativo No 3 Página 15