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1

Subimos este guía aunque falta pulir una serie de ejercicios y resolver algunos que nos quedaron en el tintero. Si encontrás algún error, estamos agradecidos que nos lo hagas saber! Lo mismo, si se te ocurre alguna resolución alternativa o alguna solución que falte, podés postearla como comentario del apunte. Muchas gracias y mucha suerte! Trigonometría: 1. Complete la siguiente tabla:

sin t cos t sin t cos t sin t sin 2 t Menor valor positivo de t

3

2

1

2 3

2

1

2 3

2

3

2

60º

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

45º

1

2 3

2

1

2 3

2

1

2

1

2

30º

1 0 1 0 1 1 90º

1

2 3

2

1

2 3

2

1

2

1

2

150º

1 0 1 0 1 1 90º

Para completar esta tabla vamos a usar la regla nemotécnica de la página 181, las relaciones de coseno

seno y paridad. Con k .

sin sinx x El seno es impar respecto del 0.

cos cosx x El coseno es par respecto del 0.

Por ejemplo 3

sin2

t de acá podemos sacar el valor de t: 60º 2 120º 2t k t k Tenemos

dos ángulos posibles que nos dan el resultado querido y ponemos el 2kπ para tener todas las soluciones cíclicas. Recorda que las funciones trigonométricas son armónicas y van repitiendo sus valores de la imagen hasta el infinito (por decirlo de alguna manera). Y poniendo ese 2k multiplicando, que pertenece a los enteros, completamos todas las soluciones posibles (podes usar la calculadora para chequearlo). Una vez que tenemos el valor de t:

sin sin 60 2t k Le agrega media vuelta al valor del seno. Del apunte teórico de la página

182 desprendemos que ese +π está agregando un menos al valor original de sin t entonces

sin sint t . [Podemos usar tanto 60º como 120º, el resultado va a ser el mismo]

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Ingreso UTN Unidad VI


2

Seguimos con el seno: sin sin 60º 2t k como el seno es impar sabemos qué

3

sin 60 22

k y a eso le sumamos media vuelta (π) nos vuelve a cambiar el signo, casi igual

que en el caso anterior. Entonces 3

sin2

t .

En cambio si se le agrega 2π el signo se mantiene, se da una vuelta completa.

Ahora veamos la parte del coseno: 1

cos2

t llegamos a 2 120º 2 120ºt k t k y tenemos

cos t le sumamos media vuelta a nuestro ángulo provoca un cambio de signo entonces:

1

cos2

t

Ahora veamos la segunda fila:

Tenemos que 2

cos2

t entonces 2 45º 2 45ºt k t k si sumamos una vuelta nos va a

cambiar el signo:

2

cos2

t

Con el seno tenemos 2

sin2

t entonces sabemos qué 2

sin2

t y usando el mismo

procedimiento que en la fila anterior: 2

sin2

t y 2

sin 22

t

Resolvemos las filas restantes con el mismo procedimiento.

2. Calcule sin utilizar la calculadora: (Solo vamos a resolver para el 1º valor posible que cumpla)

2.1) 2

sin 2.arccos2

Primero veamos el valor de 2

arccos2

. Por propiedades de la inversa

sabemos que el arco coseno me devuelve al valor del coseno. En otras palabras si

cos arccosx y y x dentro de sus respectivos dominios.

Entonces: 2

arccos 45º2

reemplazamos: sin 2.45º sin 90º 1

2.2) 1

cos arcsin2

De nuevo por propiedades de la inversa del seno:

1arcsin 30º

2

Entonces 3

cos 30º2

2.3) tan arctan 3 A diferencia de los casos anterior este usamos la misma propiedad para simplificar:

1arctan 3 tan 3 Entonces queda: 1tan tan 3 3 Por propiedades de la inversa.


3

2.4) sec arctan 1 Por formula de la secante:

1sec arctan 1

cos arctan 1

Y por inversa arctan 1 45

Entonces

1 1 1 2

cos 45cos arctan 1 2 2

2

2.5) arcsin arccos 1 Nuevamente por propiedades de la inversa:

arccos 1 0 (Por que el coseno de 0 es 1)

arcsin 0 0 (Por qué el seno de 0 es 1)

3. Para cada una de las igualdades propuestas…

3.1) 2sin 1 cossin 1 cos . 1 cos

1 cos sin

x xx x x

x x

Multiplicamos seno y 1 menos coseno de

ambos lados, y ahora hacemos la distributiva: 2 2sin 1 cos cos cosx x x x Y de acá vemos que llegamos a la identidad

2 2sin cos 1x x El conjunto existencia de esta identidad son todos los reales.

3.2) cos sin 04 4

x x

Primero usemos la propiedad que separa la suma en cosenos y

senos:

cos cos .cos sin .sinx y x y x y Esta es para el coseno (identificar quien es x y quien y).

sin sin .cos cos .sinx y x y x y Y esta es para el seno.

Entonces: cos .cos sin .sin sin .cos cos .sin 04 4 4 4

x x x x

Sabiendo que: 2

cos4 2

y

2sin

4 2

queda:

2 2 2 2

cos sin sin cos 02 2 2 2

x x x x Y ya acá podemos ver que todo se cancela y

ganamos: D

3.3)

1 cos 2 sin 2tan

1 cos 2 sin 2

[Falta terminar] Vamos a subir la resolución pronto! Si querés colaborar, podés enviar tu resolución a [email protected]

4. Determine el conjunto solución...

4.1) 3

2.cos 3 0 2cos 3 cos2

x x x

Entonces nuestro conjunto solución es 150 2 210 2x k x k


4

Ahora como bien dice el enunciado hay que restringirlo a [0,2π)

Entonces queda: 150º ,210ºS

4.2) 2 2tan 1 0 tan 1x x Una vez que llegamos acá ya se podría resolver aunque también

podríamos matar el cuadrado tan 1 tan 1x x o también tan 1x

Entonces nuestro conjunto solución en [0,2π) es 45º ,135º ,225º ,315ºS

4.3) 2cos 1 . 2sin 2 0x x Como tenemos una multiplicación del estilo . 0x y para que se

cumpla la igualdad o bien 0x o 0y . Entonces planteamos esas 2 nuevas ecuaciones:

1

2cos 1 0 cos2

x x

2

2sin 2 0 sin2

x x

Quedando las soluciones en [0,2π): 45º ,120º ,135º ,240ºS

4.4) sin cos 1x x Una forma fácil de resolver esta ecuación es graficar la función:

sin cosf x x x E igualarla a 1:

Como se puede ver en el intervalo [0,2π) hay 2 intersecciones una en 0 y la otra en π/2. Podemos deducir

esto por la simetría y además por saber que sin(0) 0 cos(0) 1 quedando la suma igual a 1, y

cos( / 2) 0 sin( / 2) 1 quedando la suma igual a 1. El tercer punto de intersección que se puede

ver en el grafico corresponde a 2π que esta fuera de nuestro intervalo [0,2π).

También para resolverlo de manera analítica elevamos todo al cuadrado 2 2cos sin 1x x

hacemos la distributiva 2 2sin cos 2.sin .cos 1x x x x usando la identidad del seno y coseno

cuadrado igual a 1 llegamos a: 1 2.sin .cos 1 sin .cos 0x x x x

Entonces o bien el seno tiene que ser 0 o el coseno tiene que ser 0, llegando a las soluciones que hallamos gráficamente.

4.5) 1 cos 3.sinx x



5

4.6) cos 2 cos 0 cos 2 cosx x x x


4.7) tan tan 24 4

x x

4.10) 8 8 8 8 8 88 8cos sin 0 cos sin cos sinx x x x x x Simplificamos la raíz con

la potencia y nos aparecen los módulos: cos sinx x Sabemos que la primera igualdad se cumple

en 45º y como ambos están en modulo se va a repetir cada 90º (ahora el periodo es de π) podemos verlo más claro gráficamente:

Entonces nuestras soluciones son: 45º ,135º ,225º ,315S

5.

5.1) Encuentre la ecuación de la recta… Interpretamos que la recta tiene un ángulo de 120º respecto del eje x entonces ya podemos saber que la

pendiente es negativa. Calculamos la pendiente recordando tan tan 120º 3m m

Teniendo el punto 1,2 y su pendiente. Con la fórmula de la recta 1 1y y m x x

Reemplazamos y tenemos la ecuación buscada: 2 3 1y x

5.2) Determine el ángulo de inclinación…

Tenemos la recta: 5 2 6x y la escribimos de la forma: 6 5 5

32 2

xy y x

Usando la misma fórmula que en el ejercicio anterior: tanm podemos averiguar el ángulo de

inclinación de la recta. 15tan tan 2,5 68º12'

2

Nos da un ángulo negativo. Esto quiere decir que el α que encontramos es respecto del eje x pero contando para abajo. Si queremos hallar el ángulo positivo, gracias a que es una recta solo basta hacer

180º (si no te das cuenta de esto hace un gráfico chiquito en una hoja y sale solo).

Entonces: 180º 111º48'


6

Problemas:

1. En el triángulo ˆMNP …

Solo basta dibujar el triángulo para darse cuenta que cosAD

H donde α es el ángulo de M, AD es el

cateto adyacente MN y H es la hipotenusa MP que es igual a 5MN.

Entonces: 1

cos cos55

MN

MN usando la inversa 1 1

cos 78º 27 '47 ''5

2. El hilo de un barrilete se encuentra tenso…

En los datos nos dicen la longitud del hilo (85m) y el ángulo con la horizontal. Si desde la posición del barrilete vamos en línea recta hasta la superficie del suelo, junto con la soga formamos un triángulo rectángulo de hipotenusa 85m y el ángulo del vértice que está más cerca del suelo 54º20’ ya con esto podemos saber la altura (o sea el cateto opuesto al ángulo que tenemos de dato).

sin sin 54º 20' 0,812.85 69,05685

OP OPm OP OP m

H m

Ya teniendo el cateto, para averiguar la altura del barrilete solo resta sumar la altura inicial del operador:

69,056 1,5 70,556m m m

3. Un ingeniero desea construir una rampa de 50m… Notar que cuando dice que la rampa tiene 50m de largo, no son la base si no que es la hipotenusa. Una vez notado esto, sabemos la hipotenusa y la altura de nuestro triángulo, entonces solo basta usar la

relación: 15sin sin sin 0,1 5º 44'21''

50

OP m

H m

4. Un paralelepípedo recto-rectangular tiene…

Para este problema recomiendo fuertemente hacer un dibujito de una caja rectangular y ver las diagonales que nos piden. Si no te sale acá ponemos un modelo:

El ángulo entre las diagonales d y D es lo que nos pide el problema, teniendo como datos c=8cm a=6cm y b=4cm. Primero del triángulo de la base usando Pitágoras averiguamos su longitud:

2 2 28 6 64 36 10d d d cm

Ahora que tenemos su longitud vemos el otro triángulo que está parado. Pero en vez de usar Pitágoras

usamos la relación: 14tan tan tan 0,4 21º 48'

10

OP

AD

5. La intensidad I de la corriente…

5.1) ¿Cuál es el periodo?


7

Una formula fácil para ver el periodo de una función seno es dividir 2π por la constante que acompaña a

la variable. En este caso 100π, entonces: 2 1

100 50s

5.2) ¿Cuántos ciclos (periodos) hay en un segundo? Simplemente vemos cuantos periodos entran en 1 segundo. Para este caso es bastante fácil que entran 50 ciclos. 5.3) ¿Cuál es la máxima intensidad en la corriente? En otras palabras está preguntando cual es la amplitud. La amplitud del seno solo sabemos que es 1. Entonces es fácil deducir que tiene que ver con el coeficiente que multiplica al seno, en este caso 30. Por lo tanto la amplitud es 30 amperes.

6. Un objeto viaja por una vía circular… Para ver cuando el objeto cruza el eje x solo basta con igualar la función a 0:

2.cos 0 cos 012 12

y t t

Sabemos que la función coseno tiene ceros en 2

k

Entonces: 1 1 7

12 2 12 2 12t k t k t k

con k

7. Un generador eléctrico produce…

7

30.sin 100 .36

i t t

Como me pedí el tiempo para que la corriente sea de 15 amperes

planteo lo siguiente:

115 7 1 7 1 7sin 100 . sin 100 . sin 100 .

30 36 2 36 2 36t t t

Entonces 175 1 175 353

30º 100 100 100 0,1969 6 9 18

t t t t

8. Desde dos departamentos ubicados en el séptimo…

Formamos 2 triángulos para cada departamento que tienen el mismo vértice en la acera (lugar donde se encuentra el objeto) sabiendo los ángulos de los vértices correspondientes al edificio podemos plantear

tan 60ºh

b y

9tan 45º

h

b

ambos triángulos tienen la misma base, pero difieren en la altura por

la separación entre el piso 4º y el 7º.

Entonces de la tangente de 60 podemos despejar h: tan 60 .h b y la reemplazamos en la otra

ecuación

tan 60 . 9 9 9

tan 45 tan 45 tan 60 1 3 91 3

bb b

b b b

Quedando 9. 3 1

2b . Ahora metemos ese resultado en la ecuación de h despejada:

9 9 9tan 60 . . 3 1 3. . 3 1 . 3 3

2 2 2h h h

9. La sombra de una persona de 1,80m…

Siempre es bueno hacer un mini dibujo sobre el problema para poder entenderlo del todo. Primero planteamos las 2 posiciones de la persona con su respectiva sombra, según los datos del enunciado la segunda comienza donde termina la 1º. Formamos 2 triángulos rectángulos que tienen la misma altura pero distinta base. Luego planteamos la posición del foco detrás de la 1º persona y a una mayor altura, si no la sombra no sería posible. Hacerlo a una distancia prudente ya que te tienen que quedar 2 triángulos más grandes que sean la continuación de los 2 más chicos y ambos tengan la misma altura h que es la posición del foco.


8

Una vez que tenemos esto tenemos que averiguar los ángulos de los triángulos más chicos planteando:

tanb

h Para el primer triángulo según los datos b=3,60 h=1,80 y el α es el del vórtice superior

3,6

tan tan 21,8

vamos a ver que no es necesario saber el valor de α. Solo con saber su

tangente nos alcanza. Ahora veamos el triángulo más grande correspondiente. Sabemos que el α es el mismo por propiedades de los ángulos.

Entonces planteamos lo mismo pero con 3,6

tand

a

donde d es la distancia del foco a la posición

de la persona y a es la altura del foco.

Y despejamos a en función de d: 1,82

da

Ahora pasamos al otro par de triángulos, igual que antes empezamos por el más chiquito para averiguar la

tangente 4 20

tan tan tan1,8 9

b

h ahora vamos al más grande:

7,6

tand

a

Reemplazamos el valor de a:

7,6 20 2

tan 4 7,6 3,6 32,418 18

1,82

dd d d d m

d

Volvemos a la ecuación de a para ver su valor: 16,2 1,8 18a a m

10. Desde la azotea de un edificio…

Este problema es casi idéntico al problema número 8, con la diferencia que cambian los ángulos de depresión. Formamos los 2 triángulos y continuamos de la misma manera que el ejercicio 8:

tan 45h

h bb

y por otro lado 9 9 9

tan 30 tan 30 tan 30 1h b

b b b b

Despejando b queda

9 9. 3 3

tan 30 1 2b b h

11. Una torre de 40m de altura…

Procedemos de igual forma que en el 8 y 10. Pero en este caso tenemos de datos la altura y el ángulo de depresión, necesitamos la base (o sea el ancho del lago).

40 40tan 30 69,28

tan 30b b m

b

12. El ángulo de elevación…

Usando la relación sin sin 21º 3.49,5

OP hh m

H m

13. Un puente sobre un río…

Vamos a suponer que el puente está diseñado de manera que la separación es justo en la mitad del puente. Teniendo la hipotenusa, 100m, y el ángulo de inclinación podemos averiguar la base para saber qué tan separados quedaron las dos partes del puente.


9

Usamos la relación cos cos 30º .100 50 3 86,60AD

AD AD mH

Como los 2 triángulos son iguales la otra parte también mide lo mismo.

Entonces 2.86,60 200 200 173,21 26,79x x x m

Por lo tanto le faltan casi 7 metros para poder realizar el salto.

14. Un topógrafo determina que desde el punto A… Problema parecido al de los edificios. Pero para este caso vamos a usar el teorema del seno de la página 205. Primo armamos 2 triángulos, el primero con vórtices en A (la primera posición del topógrafo), B (la segunda posición del topógrafo) y C el punto más alto de la montaña. El otro triángulo con vórtices en B, C y la base de la montaña. Los ángulos del 1º triángulo son 25º en A 138º en B (180-42) y 17º en C (180-25-138).

Usando el teorema sabemos que sin 25 sin 17

BC AB entonces

200sin 25

sin 17BC

Y por último teniendo ya el lado BC podemos calcular la altura de la montaña usando sin 42h

BC

Entonces queda determinada la altura de la montaña:

sin 42 .200.sin 25193,44

sin 17h h m

15. Una escalera se apoya…


16. Determine el área de un triángulo equilátero…

Teniendo la fórmula del área de un triángulo cualquiera: 1

. . .sin2

A a b (página 204)

Y sabiendo que al ser un equilátero a=b=c y todos los ángulos son 60º queda:

2

21 3sin 60

2 4

aA a A Para nuestro caso a=10cm

225 3A cm

17. Un triángulo tiene un área de…

Usando la misma fórmula que antes: 1 1

. . .sin 16 .5.7.sin2 2

A a b

Entonces 1

1 2sin 0,9142 sin 0,9142 66º6', 113º53'

Para hallar de una manera fácil el segundo valor de alfa se puede hacer 180º-α1

18. Determine el área de un triángulo cuya base… Por propiedades de los ángulos internos de un triángulo sabemos que:

180º 65º 32º 83º Donde alfa es el ángulo que nos falta. Ahora podemos usar el teorema del seno:

16

sin 83 sin 65 sin 32

b c Donde b y c son los lados restantes. Nos basta usar una de estas

igualdades para poder usar la fórmula del área.


10

Por ejemplo:

sin 3216

sin 83c vamos a la fórmula del área

2

16.16.sin 32 .sin 651. .sin 65 62

2 2sin 83A a c A A cm

19. Dos observadores colocados a 110m…

Primero buscamos el ángulo faltante 180º 43º 57º 80º Usando el teorema del seno:

110sin 5711093,7


aa a m

20. Un poste telegráfico está inclinado…

Primero sacamos el ángulo del poste respecto de la horizontal 90º 15º 75º

Ya teniendo ese ángulo solo nos falta uno que es 180º 75º 24º 81º Ahora planteando teorema del coseno:

10sin 24104,1


aa a m

21. Los puntos A y B son los extremos de un túnel…

Respecto del grafico reconocemos el ángulo y aplicamos el teorema del coseno (página 206):

2 2 2 2480 320 2.480.320.cos 72 332800 307200.cos 72x x

2 237869,9793 237869,9793 487,72x x x m

Como se trata de una distancia tomamos el valor positivo!

22. Los lados de un triángulo… Dibujamos nuestro triángulo y ponemos los ángulos α ente el 8 y 12, β entre 8 y 5 y δ entre 5 y 12. Ahora usamos el teorema del coseno:

2 2 25 12 8 2.8.12cos 192cos 183 cos 0,953 18º

Ahora vamos a hacer lo mismo pero con β:

2 2 212 5 8 2.5.8cos cos 0,6875 133º

Teniendo ya 2 ángulos el tercero hacemos: 180º 133º 18º 29º

23. Un trozo de alambre de 60cm… Como nos dan la longitud total de alambre sabemos el perímetro, entonces podemos sacar el tercer lado

60 24 20 16l l cm Una vez que tenemos los 3 lados procedemos igual que en el ejercicio 22 para averiguar los ángulos y así determinar cuál es el mayor.

2 2 2 8024 16 20 2.20.16cos cos 82º50'

640

Hacemos lo mismo para otro ángulo:

2 2 2 43220 16 24 2.16.24cos cos 55º 46'

768

Y a esta altura ya podemos afirmar que el mayor ángulo de ese alambre deformado es el α.


11

Ejercicios integradores:

1. Demuestre que sí .cosx a y .siny b , entonces 2 2 2 2 2 2b x a y a b

Reemplazamos:

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin cos sin sin cosb a a b b a a b b a b a

2. Demuestre que para cualquier…

2.1) 2 2 214 4sin cos 0 4sin cos 4 sin cos 1

4x x x x x x

Sabemos que el seno de x es siempre mayor a -1. Y la resta también cumple ya que el coseno cuadrado por un cuarto siempre es menor que ¼ y mayor que 0 y en los valores máximos el seno vale 0.

2.2) 2 2 21sin 4cos 4 0 sin 4cos 4 sin cos 1

4x x x x x x

Con el mismo razonamiento que en el anterior se puede ver que la desigualdad se cumple. Ya que el coseno siempre es menor que 1, mientras que el seno cuadrado por un cuarto también va a ser menor a 1 y mayor a 0.

3. Halle el valor de k para que la recta de ecuación…

5 44 5x ky y x

k k La pendiente es

4 3tan 1 4

4k

k

Graficamos la recta 5

4y x :

4.

4.1) Si considera: 1 2

cos6 1

k

k

y

2sec

4 5k

Sabemos que beta está en el primer cuadrante entonces 0 90º .

Usando la identidad 1

seccos

llegamos a:

21 2 2 6 1

24 38 3 0cos 4 5 4 5 1 2

kk k

k k k

Que tiene raíces 1 2

3 1,

2 12k k

Para k2 verificamos que 7

cos3

se nos va afuera de la imagen del coseno. Entonces descartamos

este k. Mientras que para k1 vemos que:

1

cos 60º2

y sec 2 60º

4.2) Encuentre los valores…


12

cos3

3 costan

Con 0 2 usamos tan tan

sincos 3 cos tan cos cos sin sin 3 cos

3 3 3 cos

Luego: 1 3 1 3

cos sin 3sin cos sin2 2 2 2

Y por último llegamos a 1

tan 30º3

si le sumamos 180 encontramos el valor que nos falta

entre 0 y 2π, 210º. 4.3) Calcule los valores…

3

3tan 3sec sin 3tan . sin cos cos sin6 cos 6 6

Luego: 3 3 3 3 3

3sin sin cos sin cos tan2 2 2 2 3

Quedando 30º le sumamos π para encontrar el otro valor dentro de 0 y 2π. 210º.

5. Sean las funciones…

La unión esta va a vivir en el dominio de la función más chica, en este caso g, y va a ser 0,2

Primero veamos que polinomio tiene una sola raíz que es 1. Para ello podemos usar factorización por gauss o una calculadora :D Ahora solo falta ver los ceros de la otra función:

1

0 cos 3sin tan3

g x x x x

Entonces como ya sabemos la solución de esta ecuación de ejercicios anteriores x=30º x=210º

Entonces la unión de los 2 queda 1,30º ,210º

6. Si 1

2x e

3

2y son respectivamente…

Recordando las fórmulas de las asíntotas tenemos: 1

2x nn

para la vertical 32

my m la

horizontal.

Entonces queda 3 5

2 1

xf x

x

. Ahora necesitamos la inversa entonces:

3 5 52 3 5 2 3 5

2 1 2 3

x yy xy y x xy x y x

x y

1 5

2 3

xf x

x

Veamos la compuesta ahora:

1 1 1 50

3f g f g x f

7. Determine el conjunto solución de la ecuación:


13

1 cos2 2

x 0,2x Hacemos una igualdad de exponentes:

1 1

1 cos cos 60º2 2

x x x

Si a 60º le sumamos 2π quedamos afuera de nuestra restricción. Pero si tenemos en cuenta la otra

solución, -60º y le sumamos 2π entra dentro de nuestro rango. Por lo tanto las soluciones en 0,2 son:

60º ,300º

8. Dadas las siguientes funciones…

8.1) Determine las raíces reales de la ecuación 3 3 3

4 0 3 4 0 3 43 3

x x

x xg x

g x

3log 41 13 3.3 4 3 3 4 3 3 3x x x x x x [Falta terminar] Vamos a subir la resolución pronto! Si querés colaborar, podés enviar tu resolución a [email protected] 8.2) La amplitud y el periodo de f:

3sin 23

f x x

La amplitud es la constante que multiplica al seno, 3. Y para el periodo tenemos

que ver nuestra variable adentro del argumento del seno, el +π/3 no afecta el periodo en cambio el 2x sí. Por decirlo de alguna manera el seno se mueve más rápido (aumenta la frecuencia) entonces podemos decir que el periodo es π (hacemos el periodo del seno común, 2π/2).

8.3) 1 0h . Primero hallemos la inversa:

3 3 22 3 3 2

2 1

x yy y yx x yx x y x

x y

Entonces 1 13 20 3

1

xh x h

x

8.4) 2

3 3 33sin 360 60º 3 3 3

2 2 2t f t f t t

27 3

34 2

t f

9. Si se sabe que…

tan 2 54º 45'

1

sin 19º 28'3

Entonces ya podemos calcular el valor de 7

sin 2 sin 109º30' 19º 28'9

10. Sean las funciones…

Primeo veamos:

4 4 4 4 4log log log 2log 1 2log312.3 9 27 12.3 3 3 4.3x x x x xf x


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[Falta terminar] Vamos a subir la resolución pronto! Si querés colaborar, podés enviar tu resolución a [email protected] Esto fue todo! Gracias por seguirnos, estaremos subiendo la versión mejorada pronto!

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