libro ingreso utn-frba

Libro de Ingreso

Autores

Beatriz Graciani

y

Luis Ernesto Fiorante.

SUMARIO

Segmentos dirigidos. Equipolencia .Vector geométrico.

Coordenadas cartesianas (sistema unidimensional)

Versor. Vector nulo. Vector opuesto.

Fuerza resultante. Adición de vectores. Multiplicación de un vector por un escalar.

Sistema bidimensional.. Distancia entre puntos . Vectores en el plano.

Sistema tridimensional. Vectores en el espacio.

Operaciones: adición, sustracción, multiplicación de un escalar por un vector.

Ángulo de giro, rotación u orientado.

Medición de ángulos (sistema sexagesimal, centesimal, circular) .

Razones trigonométricas. Relaciones. Tabla de ángulos destacados

Proyección de un segmento sobre una recta..

Producto escalar de dos vectores. Definición, propiedades.

Ángulos directores de un vector.

Condiciones de ortogonalidad y paralelismo.(vectores directores).

Proyección ortogonal de vectores sobre ejes cartesianos.

Triángulos rectángulos.

SUMARIO

Expresiones aritmética y algebraica.

Conjunto de existencia y validez de una expresión.

Expresiones racionales enteras (polinomios).

Operaciones: adición y sustracción.

Multiplicación. Productos particulares.

División polinómica. Divisibilidad. Valor aritmético.

Raíz de un polinomio.Teorema fundamental de las raíces.

Teorema de Gauss. Teorema de Bezout.

Regla de Ruffini.

Determinación de raíces reales de polinomios de segundo grado. Propiedades de las raíces.

Polinomios primos y compuestos.

Factorizacion según las raíces reales.

Expresiones racionales fraccionarias. Conjunto de existencia y validez.

Operaciones: adición, sustracción, multiplicación y división.

Expresiones irracionales (con radicales).Conjunto intervalo. Conjunto de existencia. Extracción de factores de un radical. Racionalización de dividendos y divisores.

Expresiones trascendentes (logarítmicas, exponenciales y trigonométricas)

Conjunto de existencia.

SUMARIO

Proposiciones, valor lógico.

Proposiciones o enunciados abiertos.

Ecuaciones.

Conjunto de reemplazo.

Conjunto solución.

Identidades y condicionales.

Ecuaciones equivalentes.

Ecuaciones polinómicas.

Método sugerido.

Ecuaciones polinómicas de primer grado.

Ecuaciones polinómicas de segundo grado.

Cambio de variable.

Ecuaciones polinómicas bicuadráticas.

Ecuaciones racionales fraccionarias.

Ecuaciones irracionales.

Ecuaciones con módulo.

Ecuaciones trascendentes

SUMARIO

Inecuaciones.

Método de resolución.

Sistema de ecuaciones.

Método de sustitución..

Calificación de sistemas.

Resolución por el método de eliminación de Gauss.

Determinante.

Sistemas de ecuaciones lineales de tres variables.

Significado geométrico.

Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos.

SUMARIO

Relación Conjunto de partida. Conjunto de llegada.

Relación funcional. Dominio e Imagen. Función escalar.

Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Monotonía de una función.

Operaciones.Función compuesta. Función inversa.

Conjunto de positividad, conjunto de negatividad y conjunto de ceros.

Traslaciones.Paridad

Función parte entera, función mantisa.Función periódica

Efecto módulo.

Funciones usuales algebraicas.

Función polinómica de primer grado. (lineal). Función identidad.

Función polinómica de segundo grado (cuadrática) Función polinómica general.

Función racional no entera (fraccionarias)

Funciones usuales (no algebraicas) trascendentes.

Función exponencial. Función logarítmica.

Función irracional.

Función trigonométricas. Funciones inversas trigonométricas.

Álgebra y geometría analítica. Gonzalez-Mancill Ed. Kapelusz

Matemáticas (Bachillerato I). Guzmán-Colera-Salvador Ed. McGrawHill

Matemáticas previas al cálculo. L.Leithold. Ed. Harla

Matemáticas contemporáneas. Britton-Bello Ed. Harla

Matemática II , III y IV. Rojo-Sanchez Ed. El ateneo

Matemática (módulo B) Carvajal-Cóccola-Goñí-Olivetto C.E.I.T.

Álgebra y trigonometría Smith y otros Ed. Addison Wesley

Curso de nivelación de matemática Tarzia Ed. McGrawHill

Matemática II, III y IV Tapia Ed. Estrada

Introducción al cálculo Mendelson Ed. McGrawHill

1

Según el geómetra Darboux a Tannery

“una magnitud es todo aquello que es susceptible de aumentar o disminuir”.

Son ejemplos de magnitudes los conceptos de área de una superficie, volumen de un cuerpo, lon-

gitud de una curva, intervalos de tiempo, fuerza, aceleración etc. Las magnitudes verifican las

propiedades de aditividad y de invarianza por desplazamiento.

Aquellas magnitudes que quedan perfectamente definidas con un número real (que indica

la cantidad de magnitud considerada ) y una unidad ( utilizada en su medida ), se denominan

magnitudes escalares.

“ l6 sg ” es un ejemplo de cantidad de una magnitud escalar, “sg” indica que la unidad utilizada (el

segundo) y el número 16 indicada que la cantidad de tiempo considerada es 16 veces la unidad de

referencia .

Existen otras magnitudes que no quedan determinadas con un número real y una unidad.

Si pensamos en una fuerza aplicada sobre un cuerpo cualquiera, considerando que fuerza es

“todo lo que es capaz de modificar el estado de reposo o movimiento o producirle variaciones en su

forma”, los cambios o efectos logrados por la aplicación de ella se realizarán bajo determinadas con-

diciones.

Observemos que para levantar distintos objetos se requieren fuerzas distintas, esto determina su

intensidad .

Si se empuja un vehículo o bien se tira de él, lograremos que se desplace en la dirección en

que giran sus ruedas, pero la información

resulta insuficiente, pues podrá hacerlo 2F

hacia atrás o hacia delante

( sentidos opuestos).

1F

3F

Se dice que una magnitud es un escalar cuando el conjunto de sus valores

se puede poner en correspondencia biunívoca (y continua) con el conjunto de

los números reales o una parte del mismo.

Luis Santaló. (*) correspondencia biunívoca: todos los elementos vinculados uno a uno.

2

Se debe también tener en cuenta donde se aplica la fuerza, pues si presionamos sobre los costados

no lograremos desplazarlo (punto de aplicación).

Las magnitudes que quedan caracterizadas con un número real, una unidad de medida, una

dirección, un sentido y un punto de aplicación se denominan magnitudes vectoriales.

Para representar geométricamente una fuerza, en física se emplea una flecha (un segmento dirigido

u orientado) que condensa todas las características.

B

En símbolo: AB

A

Geométricamente:

Sabemos que un segmento queda determinado por dos puntos en el ejemplo A y B.

Si esos puntos están dados en un orden diremos que el segmento está orientado o dirigido, con

punto o extremo inicial A y extremo final o terminal B . Los segmento dirigidos representan

cantidades vectoriales .

Todo segmento orientado presenta las siguientes características.

Intensidad: longitud del segmento

Dirección: la de la recta que lo contiene.

Sentido: por convención, del punto inicial al extremo final.

Punto de aplicación: punto inicial u origen.

Equipolencia (o equivalencia) de segmentos dirigidos

Dos segmentos dirigidos son equipolentes (o equivalentes) cuando tiene: la misma dirección,

el mismo sentido y la misma longitud.

En Matemática los vectores pueden definirse geométrica o algebraicamente (analíticamente).

El conjunto de todos los segmentos dirigidos equipolentes, que responden a la definición da-

da, recibe el nombre de vector libre o geométrico. Y todo segmento orientado de este con-

junto será una representación del vector.

Una magnitud se llama vectorial cuando el conjunto de sus valores puede

ponerse en correspondencia biunívoca (y continua) con el conjunto de segmentos

orientados que parten de un mismo origen. Luis Santaló.

3

Todos estos segmentos dirigidos (equipolentes o equivalentes) son

representaciones del mismo vector .

Un vector se denota con letras minúsculas a

(y una flecha o raya encima) o bien indicando

cualquiera de los segmentos dirigidos equipolentes AB (correspondiendo la primera al origen

o punto inicial y la segunda al extremo o punto terminal ).

Si introducimos un sistema de coordenadas, llegaremos a una definición analítica de vector,

dada a partir de sus componentes (como par ordenado, terna ordenada o n-upla de números reales),

o bien en forma cartesiana o canónica. Explicaciones que damos más adelante.

Coordenadas cartesianas y vectores geométricos

Sistema de abscisas o sistema unidimensional. ( E1 )

Un punto móvil puede desplazarse sobre una recta en dos sentidos. Si en dicha recta (un univer-

so o espacio de una dimensión ) fijamos un punto O , al que denominamos origen y si sobre ella

determinamos un segmento dirigido al que tomaremos como referencial (base), entonces cada

punto “A” de la recta lo asociamos a un único número real “a” .Este número “a” se denomina

abscisa (o coordenada) del punto y nos permite precisar la ubicación del punto con respecto a los

dos elementos de referencia (el punto origen y segmento dirigido base).

El punto denominado A y su abscisa a se denota : A(a)

Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números reales.

Con A(a) , B(b) , I(1) y el origen del sistema asociado a cero O(0)

a 0 b 0

La distancia entre dos puntos A y B es un número real positivo, una de las diferencias entre las

abscisas a – b ( si a > b ) ó 2ba .

Es decir dist ( A , B ) = 2ba 0

B O I A

4

La distancia entre los dos puntos es la longitud de los segmentos dirigidos AB y BA ,

y de todos los equipolentes a estos (la intensidad, módulo o norma del vector geométrico a

).

Los vectores de norma ó módulo 1 se denominan versores.

El segmento dirigido OI tomado como referencial (unidad), es un versor denominado i

llamado versor canónico (fundamental) de módulo ó norma 1, pues dist( A , B ) = 1 – 0 =1

, dirección de la recta (única dirección en este universo unidimensional) y sentido denominado

positivo.

Todo segmento dirigido por ejemplo RS ( un representante de un vector geométrico) es

equipolente a otro, único, de punto inicial en el origen del sistema cartesiano OP (llamado vector

posición) cuyo módulo, norma o longitud es un número real positivo que resulta de determinar la

distancia entre O y P .

Los puntos indicados y sus abscisas:

B(b) , T(t) , O(0) , P(p) , R(r) y S(s)

En el diagrama los segmentos dirigidos BT , RS y OP son equipolente (igual dirección

,igual sentido e igual longitud ), todos representantes de un vector v .

El vector v se expresa en forma cartesiana p. i

(p se denomina componente del vector ).

Además p es la abscisa del segmento dirigido OP , un representante “destacable” del vector

de punto inicial en el origen de coordenadas, denominado segmento orientado de posición o repre-

sentación de posición del vector.

A los segmentos dirigidos lo llamaremos en adelante indistintamente vector, así OP es un

vector posición.

ejercicio

Dados los puntos M , N , S y T de abscisas : -8 , l6 , -3 y 5 respectivamente

a] Grafique, en la recta cartesiana , los vectores OM . , ON y ST .

b] Halle el módulo ó norma de cada vector.

c] Exprese los vectores OM . , ON y ST según sus componentes (forma cartesiana).

B T O P R S

i

5

Vector nulo

Si un cuerpo se encuentra en equilibrio no actúa sobre él ninguna fuerza (ejemplo 1) o bien la

resultante del sistema de fuerzas es nula (ejemplo 2).

o

(vector nulo) v

v

- v

ejemplo N° 1 ejemplo N° 2

Si para representar las fuerzas recurrimos a vectores, la no presencia de fuerzas la asociaremos

también a un vector (segmento donde el punto inicial y final coinciden), éste se llama vector

nulo (simbolizado : o

), de módulo o norma 0 , y que no tiene dirección. OO .

En el ejemplo N° 2 : 21 FyF

están representadas por vectores, de igual módulo, igual

dirección y distinto sentido (opuesto) que denominados vectores opuestos , )v(y)v(

, por

lo tanto el cuerpo se encuentra en equilibrio (o reposo); la fuerza resultante que reemplaza el efecto

de ambas fuerzas es nula (asociada al vector nulo).

Fuerza resultante (suma de fuerzas)

Sobre un mismo cuerpo pueden actuar simultáneamente un conjunto de fuerzas, la fuerza capaz

de reemplazarlas produciendo el mismo efecto se denomina resultante (suma) .

1F

R

2F

Adición de vectores (vector suma) , visión geométrica.

Así surge la regla del paralelogramo y la de la poligonal para obtener el vector suma de dos

vectores.

C El vector w tiene por representación

BE y CD equipolentes

B D

v

A E El vector suma v + w tiene a AE

como una de sus representaciones.

6

Multiplicación de una fuerza (vector) por un escalar

número real

F

2F

1F

F

2F

+ 1F

+ F

= 3 . F

Suma de vectores (iguales) Producto de un escalar por un vector

Si un animal tracciona un bloque de acero con una fuerza F

, y luego se adicionan dos animales

que traccionan con fuerzas 1F

y 2F

de igual dirección, sentido e intensidad que F

, la fuerza

total ejercida por el conjunto de animales (resultante) tiene la misma dirección, el mismo sentido

y su intensidad será el triple de la de F

.

Complete, deduciendo, las siguientes conclusiones:

Si multiplicamos una fuerza F

por un escalar que pertenezca a R+ (números reales positivos)

¿ qué característica de la misma se modifica?

.........................................................................................................................................................

Si multiplicamos una fuerza F

por un escalar que pertenezca a R- (números reales negativos)

¿ qué características de la misma se modifica?

..........................................................................................................................................................

¿ Qué característica de la fuerza F

no se modifica multiplicándola por cualquier escalar distinto

de 0?

..........................................................................................................................................................

7

ejercicio

Los vectores en el espacio unidimensional (la recta cartesiana) son:

i7p

i4n

i3m

i7c

i5b

i3a

calcule en forma cartesiana o canónica :

)m3(p2)c

p4n2

1)b

n2m3)a

bac)f

cab)e

cba)d

Sistema bidimensional ( E2 )

Consideremos ahora el plano, un espacio de dos dimensiones (bidimensional), tomemos un punto

O (origen del sistema) y dos segmentos dirigidos no colineales, es decir no incluídos en una mis-

ma recta, (los que tomaremos como referenciales, con origen en O y convenientemente de la misma

longitud) Llamaremos eje de abscisas (o eje x) a la recta que incluye a i

= OI y eje de

ordenadas (o eje y) a la otra recta que incluye j

= OJ , quedando así definidos los ejes cartesia-

nos.

P

J

I

O

A todo punto “P” del plano cartesiano lo asociamos a un único par ordenado de números reales

x p e y p llamados coordenadas cartesianas del punto P (el primero se llama abscisa y el

segundo ordenada ). Par ordenado que nos permite precisar la ubicación del punto con respecto a

tres elementos de referencia: el punto origen y dos segmentos dirigidos (base del sistema).

En símbolos: P( x p , y p ) , existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y

los pares ordenados de números reales.

8

La terna (0 , i

, j

) , define un sistema de coordenadas cartesianas en el plano y éste recibe el

nombre de plano coordenado cartesiano. El sistema puede ser ortogonal, es decir los ejes coordena-

dos son perpendiculares. Siempre que no se indique especialmente usaremos uno ortogonal.

Distancia entre dos puntos en ( E2 )

y2 S

y

y1 R Q

x

x1 x2

Para determinar la distancia entre los puntos R y S ,

consideremos el punto Q de coordenadas ( x2 , y1 ), así

determinamos un triángulo rectángulo RSQ, donde la lon-

gitud de su hipotenusa es la distancia entre R y S (o S y

R). Si aplicamos el teorema de Pitágoras se obtiene:

dist ( R , S ) = dist( S , R ) = 2122

12 yyxx = 22

yx

Sea RS , éste tiene asociado uno equipolente OP , llamado vector posición, pués el punto

inicial coincide con el origen de coordenadas. Todo punto P queda determinado por un par orde-

nado de números reales ( x p , y p ) , llamados componentes del vector geométrico representado

por OP , o cualquier equipolente a éste, así el vector v del plano puede escribirse en términos de

los versores i

y j

.

yp P S

R

O

xp

OP = x p i

+ y p j

= v o bien OP = ( x p , y p ) = v

Forma cartesiana o canónica Par ordenado

El módulo o norma del vector v es un número real positivo (o cero en el caso del vector nulo)

que resultará de calcular la distancia entre los puntos O y P .

| v | = | OP | = 2

p2

p yx 0 (en muchos libros se simboliza: || v || )

Una importante y muy

conocida propiedad de las

longitudes de los lados de

un triángulo rectángulo es

el TEOREMA DE PITÁGORAS

Enunciado En un triángulo rectángulo

el cuadrado de la longitud

del lado mayor(hipotenusa)

es igual a la suma de los

cuadrados de los otros la-

dos (catetos)

c c2=a

2+b

2

a

b

9

Sistema tridimensional. ( E3 )

Un sistema cartesiano de tres dimensiones (espacio tridimensional) queda establecido conside-

rando un punto O (al que se llama origen de coordenadas), tres segmentos orientados no copla-

nares con origen en O (convenientemente de la misma longitud) tomados como referenciales.

Denominaremos: eje de abscisas (o eje x) a la recta que incluye a i

= OI

eje de ordenadas (o eje y) a otra recta que incluye a j

= OJ y

eje de cotas (o eje z) a la recta que incluye al tercer segmento

dirigido k

= OK , quedando así definidos los tres ejes coordenados cartesianos y tres planos

que los incluyen de a pares (denominados planos cartesianos, usualmente llamados xy , yz y

zx ).

Todo punto P , del espacio, queda determinado por tres coordenadas ( x p , y p , z p ) , llamadas:

abscisa , ordenada y cota respectivamente.

zp

P P ( x p , y p , z p )

yp

xp

Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio tridimensional y las ternas

ordenadas de números reales .De forma análoga, a lo hecho anteriormente, los vectores se definen:

OP = x p i

+ y p j

+ z p k

= v o bien OP = ( x p , y p , zp ) = v

Forma cartesiana o canónica Terna ordenado

El módulo o norma del vector v es (la distancia entre los puntos O y P ) :

| v | = | OP | = 2

p2

p2

p zyx ( ó se simboliza || v || )

10

Adición de vectores

Como par ordenado eeejjjeeemmmppplllooo

( a , b ) + ( c , d ) = ( a+c , b+d ) ( 5 , -3 ) + ( -1 , 9 ) = ( 4 , 6 )

y en forma cartesiana :

( a i

+ b j

) + ( c i

+ d j

) = (a+c) i

+ (b+d) j

( 5 i

- 3 j

) + ( - i

+ 9 j

) = 4 i

+ 6 j

Sustracción de vectores

Es la adición de un vector y el opuesto al sustraendo : v - w = v + ( - w )

ejercicio

Si jipj5i3s

)3,5(mj3i2r

Calcule y represente los vectores :

r + m - s

m - s - p

s - (- p + m )

Multiplicación de un escalar por un vector

El producto de esta multiplicación es un vector que conserva la dirección si el escalar o número

real no es cero :

k R eeejjjeeemmmppplllooo

k ( a , b ) = ( k.a , k.b ) 9 ( -1 , 32 ) = ( -9 , 6 )

k ( a i

+ b j

) = k a i

+ k b j

9 ( - i

+ 32 j

) = - 9 i

+ 6 j

ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss

11

Propiedades de la Adición

Ley de composición interna o ley de cierre:

La suma de dos vectores es un vector.

Asociatividad: )cb(ac)ba(

Elemento neutro aditivo: aaooa

(el vector nulo)

Elemento inverso aditivo: oa)a()a(a

Conmutatividad: abba

Propiedades del producto de un vector por un escalar.

Ley de composición externa : El producto es un vector

Asociatividad mixta ( h k ) a = h ( k a )

Distributividad (de la multiplicación de un vector respecto a la adición de escalares)

( h + k ) a = h a + k a

Distributividad (de la multiplicación de un escalar respecto a la adición de vectores).

h ( a + b ) = h a + h b

Existencia de un escalar neutro 1 a = a

ejercicios

1] Sea j6i2b

).2,3(a

2] Dados los puntos

M(7 , 2) P(-5 , -2) R(0 , -2) T(1 , -1)

Determine y tal que a] Represente los siguientes vectores y el

equipolente de posición

)7,3(ba

MP , PR , TM y RT .

j5i2ab

b] Calcule el módulo o norma de cada vector

c] Exprese como par ordenado y en forma

cartesiana

3] Determine y , siempre que se cumpla la condición indicada, para cada par:

)2

2

3,2(a

)1,32(b

)12,43(a

)38,36(b

su diferencia es el vector nulo son vectores opuestos

12

Ángulo de giro o de rotación o ángulo orientado entre dos vectores

Se denomina ángulo orientado a todo par ordenado de semirrectas de origen común (vértice)

que describe una rotación. Estas incluyen segmentos dirigidos, representaciones de vectores, del

vértice a cualquier otro punto de la semirrecta, por lo cual un ángulo orientado es el ángulo de un

par ordenado de vectores . B

O A

El ángulo orientado queda definido por un par ordenado de semirrectas OA y OB .

Si las semirrectas son perpendiculares el ángulo se dice recto , si están incluídas en la misma

recta llano.

Hay dos sentidos distintos, por convención se tomará como positivo (o directo) el sentido de giro

contrario a las agujas del reloj y negativo (antihorario) su opuesto.

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan

(están a igual distancia) de un punto llamado centro , esa distancia al centro se

denomina radio .

Dada una circunferencia con centro en el vértice del ángulo orientado :

B

00

sentido positivo (directo)

Todo ángulo orientado tiene asociado un conjunto de arcos orientados (incluidos en cualquier

circunferencia de centro en el vértice).

O

13

Medición de ángulos.

En la resolución de los problemas (que se plantean en trigonometría) se emplean dos sistemas de

unidades de medida que “conviven”: sexagesimal y circular. También existe otro sistema el

centesimal que no utilizaremos por no ser de uso habitual.

Sistema sexagesimal

La unidad es el ángulo igual a la 90-ava parte de un ángulo recto llamado grado . El grado se

divide en 60 partes iguales llamadas minutos, el minuto se divide en 60 partes iguales llamadas

segundo (en ocasiones el segundo se divide en décimos o centésimos de segundos):

Ejemplo :

Reducción de una medida expresada en sistema sexagesimal a su equivalente en grados en sistema decimal.

Como dijimos 1

60

1 , 1

3600

1

713,16"48'4216

)713,016("48'4216

60

8,4216"48'4216

3600

48

60

4216"48'4216

Sistema centesimal

En este sistema (no usual) la unidad es el grado denominado centesimal, que es la centésima

parte de un ángulo recto .El grado centesimal (g ), se divide en 100 minutos centesimales y el

minuto centesimal se divide en 100 segundos centesimales.

.

Arquímedes es sin duda alguna, una de las máximas figuras matemáticas griegas. Nació en Siracusa

en el 287 a J.C. y murió en el 212 a J.C. Se imaginaba a la circunferencia como la figura obtenida

por exhaución de polígonos regulares inscriptos y circunscriptos en ella, por lo tanto su longitud

está comprendida entre los perímetros de estos polígonos. Con su método, llegó a determinar con 7

cifras decimales, tarea que continuó Ludof Van Ceulen quien llegó a precisar 36 cifras decimales.

El número por ser un número real irracional tiene un conjunto infinito de cifras decimales (en su

notación decimal) .

Una calculadora científica

te puede ahorrar el trabajo

de la reducción a grados .

Ésta tiene una tecla de

conversión ( ’ ” )

16 42 48 así ingresa

16 42’ 48”

14

Sistema circular

La unidad de medida del sistema circular es el ángulo tal que la longitud del arco de cualquier

circunferencia con centro en el vértice es el radio , denominado radián.

Si consideramos una circunferencia de radio 1 (circunferencia trigonométrica), si recordamos que

longitud responde a la expresión 2 r (r: radio), la medida de la longitud del arco de circunferen-

cia asociado a un ángulo de giro de 360° es 2 , de 180° es y 90° es /2.

Reducciones importantes:

La reducción o conversión de una medida sexagesimal a su equivalente en sistema circular, y

viceversa, se realiza teniendo presente lo siguiente:

180 , también 1 180

, no dicen igual , son equivalente (miden lo mismo).

Ejemplo: convertir 32 7’ 30” con resultado obtenido en la calculadora : 32,l25 °

180

0,017455329... entonces 32,125 . 0,017455327 0,56068702... (radianes)

En el Sistema Internacional de unidades, se define al radián como unidad suplementaria.

ejercicios

1 Reduzca a sistema circular.

32° 34’ 56” 18° 27’ 35”

34,123 ° 108,345 °

15

2 Complete el siguiente cuadro

Cantidad en Sistema

s sexagesimal

Medida en el

Sistema circular

Cantidad en

Sistema centesimal

Ángulo interior de un

dodecágono regular

Ángulo interior de

un octágono regular

Ángulo central de

un pentágono regular

Razones trigonométricas .

Consideremos un plano cartesiano y cualquier circunferencia con centro en el origen del sistema.

Sea cualquier punto M de la circunferencia , la medida del ángulo orientado entre el

vector (radio) y el versor canónico i

.

M(x,y) M

Definimos los siguientes números reales (razones o cocientes), solo en los casos que los

divisores son distinto de cero :

x

ytg

xcos

ysen

y

xgcot

yeccos

xsec

O i

Designamos

medida del ángulo orientado

x abscisa del punto M

y ordenada del punto M

radio , distancia entre M y O

o módulo del vector OM

Seno

Coseno

Tangente

Secante

Cosecante

Cotangente

16

Los triángulos rectángulos que quedan determinados son semejantes, pues tienen ángulos corres-

pondientes congruentes (de la misma medida); y por propiedad de la semejanza de triángulos las

razones de las medidas que se pueden formar con cada par de lados no varía (es decir la longitud de

los lados correspondientes

es directamente proporcional) .

O

Lo indicado nos muestra que las razones trigonométricas dependen del ángulo de giro y no de la

circunferencia (de diferente radio) elegida.

El plano cartesiano queda dividido en cuatro partes , llamadas cuadrantes , donde discriminamos

los signos de las coordenadas de los puntos que le pertenecen :

y

segundo cuadrante primer cuadrante

0y0x 0y0x

x

tercer cuadrante cuarto cuadrante

0y0x 0y0x

El signo de las razones dependen de x e y , ya que es positivo

ejercicio

Primer

Cuadrante

Segundo

cuadrante

Tercer

cuadrante

Cuarto

cuadrante

d

Seno de

Coseno de

Tangente de

Cotangente de

Secante de

Cosecante de

Complete el

cuadro con los

signos de los

números

trigonométricos

correspondientes

17

Si tomamos una circunferencia de radio 1 como caso particular, a la que llamaremos circunferen-

cia trigonométrica, en donde se deduce con claridad que los valores que pueden adoptar las razones

definidas como sen y cos pertenecerán al conjunto de números reales comprendidos entre

–1 y 1.

Relación entre el seno y el coseno de un ángulo de giro

1)(cos)sen(

)(cos)sen(

xy)(cos)sen(

xy)(cos)sen(

22

2

222

2

2222

2

2

2

222

La suma de los cuadrados del seno y del coseno de un ángulo es uno .

Tabla para tener en cuenta

Medida en grados

Medida en radianes

0 °

0

30 °

/ 6

45 °

/ 4

60 °

/ 3

90 °

/ 2

sen

0 2

1

2

2

2

3

1

cos

1 2

3

2

2

2

1

0

tg

0 3

3

1

3

No existe

ejercicios

1 Deduzca expresiones (equivalentes) de los siguientes números según sen y cos , es

decir en “función” solo de estos números o un valor determinado. Use las definiciones e indi-

que condiciones :

(por ejemplo) tg =

cos

sen

x

y

.x

y

x

y , siempre que cos 0

cotg = sec = cosec =

tg . cotg = sec . cos = cosec . sen =

Triángulo rectángulo con

hipotenusa de longitud 1

= 1

cos

sen

18

Los siguientes cuadrados pueden escribirse: (sen )2 = sen

2 , (cos )

2 = cos

2

A partir de: cos 2 + sen

2 = 1 , sabemos que si dividimos por cos 0

se obtiene:

2

2

cos

cos +

2

2

cos

sen =

2cos

1 es decir 1 + tg

2 = sec

2

así tg 2 = 1 - sec

2

2 Proceda análogamente y determine :

cotg 2 =

3 Deduzca los números trigonométricos y complete la siguiente tabla , evite usar la calculadora.

Proyección de un segmento sobre una recta

La proyección ortogonal de los segmentos AB sobre el eje , son los segmentos 'B'A , y en

un caso particular (donde el segmento AB esta incluído en una recta perpendicular) su proyec-

ción es un punto . La medida ( med ) del segmento proyección se calcula “gracias” a un coseno:

med ( 'B'A ) = med ( AB ) . cos ,

es la medida del ángulo agudo que forman la recta

que incluye a AB y la recta o eje de proyección que incluye a 'B'A .

315° -120° 240° -240° 4

2

32

210°

Seno

Coseno

Tangente

A

A

A

B B A B

B’ A’

A’ B’ A’= B’ A’ B’

B

19

uy

vy

ux vx

Consideraremos una importante operación: la multiplicación de dos vectores de producto escalar.

Sean u

y v

dos vectores entonces el producto escalar es :

cosvuvu

con medida del ángulo entre los vectores diferentes del nulo , como su nombre lo indica el

producto escalar de dos vectores es un número real .

Los siguientes productos escalares

son útiles y fáciles de verificar:

0ij

0ji

1jj

1ii

Si se tiene presente la segunda propiedad (*), no sencilla de probar, se puede obtener otra

importante expresión para calcular el producto escalar según las componentes de los vectores :

Ejemplificamos para vectores del plano cartesiano: u

= ux i

+ uy j

y v

= vx i

+ vy j

u

v

= ( ux i

+ uy j

) ( vx i

+ vy j

)

si continúa el desarrollo se concluye que :

u

v

= ux . vx + uy . vy

Empleamos la primera expresión y deducimos el coseno del ángulo que determinan los vectores

es decir el ángulo entre las recta de dirección que indican los vectores:

cos = vu

vu

eee jjj ...

6,1v

3,2u

18vu

)3.(6)1.(2vu

Producto escalar o interior

Dados los siguientes vectores,

calculamos el producto escalar :

Propiedades del producto escalar

uvvu

(*) surusru

k R vukvuk

0v0

2

uuu

20

ejercicio

Halle la componente desconocida del vector u

si se sabe que el producto escalar entre

)3,(u

y )5,6(v

es 18. Luego calcule el coseno del ángulo entre los vectores.

Posiciones relativas de rectas cuya dirección indica un vector (denominados vectores directores)

* Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, u

v

= 0, la medida del ángulo es / 2

Las rectas son perpendiculares (en el plano) y los vectores se dicen ortogonales .

Condición de ortogonalidad entre vectores.

Dos vectores no nulos son ortogonales si el producto escalar entre ellos es 0.

eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss

Dados los vectores 2,3u

y k,2v

. Hallamos el valor de k tal que sean ortogonales.

(Es decir las rectas en el plano, cuya dirección indica cada vector , son perpendiculares).

** Si el producto escalar de dos vectores no nulos es : u

v

= | u

| | v

| ó u

v

= - | u

| | v

| ,

la medida del ángulo entre los vectores 0 ó respectivamente .

Condición de paralelismo de dos vectores

Dos vectores tienen la misma dirección si sus componentes homólogas son proporcionales o bien

si uno de los vectores es múltiplo escalar del otro :

k : k R - { 0} ukv

ó ku

v

u

v

y

y

x

x , siempre que 0u0u yx

ejercicios

1 Determine si los siguientes vectores tienen la misma dirección.

)40/14,7/3(v,)5,4/3(u

2 Halle para que los siguientes pares de vectores tengan la misma dirección

(decimos paralelos).

)1,1(v

1,1u

)9,1(m

)1,3(n

)1,8(t

)2,(z2

u

v

= 0

2 . 3 + 2 . k = 0

k = -3

21

3 Si )3,2(u

y )2,5(v

Determine

tal que: a] los vectores son ortogonales, b] los vectores son paralelos.

Ángulos directores Se denominan ángulos directores de un vector a los ángulos que dicho vector determina con cada

uno de los versores canónicos i

o j

(en el espacio cartesiano también consideramos a k

).

v

Si v es un versor (de módulo 1) v = v

, multipliquemos por los versores

canónicos v

i

= 1 . 1 . cos = vx . 1 + vy . 0 = vx

v

j

= 1 . 1 . cos = vx . 0 + vy . 1 = vy

las componentes de un versor son los cosenos directores , es:

v

= cos i

+ cos j

= ( cos , cos ) = ( vx , vy )

*Otra forma de expresar un vector según su módulo y los cosenos directores :

.

Se sabe que todo vector es : u = | u | . u

, y por lo antedicho respecto de un versor :

u = | u | . ( cos , cos )

u = ( | u | . cos , | u | . cos )

En el plano cartesiano y suman / 2, se denominan ángulos complementarios

cumpliéndose :

sen = c

a = cos

cos = c

b = sen

por lo tanto u = ( | u | . cos , | u | . sen )

c a

b

es la medida del ángulo

director entre el vector v e i

,

así como es la medida del

otro ángulo director del vector

v con j

.

22

Proyección ortogonal de un vector sobre los ejes cartesianos o respecto de los versores

canónicos

La proyección ortogonal de un vector sobre un eje es otro vector.

v v

v v

Sea la medida del ángulo director con respecto a i

v = ( | v | . cos , | v | . sen )

los vectores proyección ortogonal sobre los ejes cartesianos o mejor dicho respecto los versores

canónicos son :

xv = ( | v | . cos , 0 )

yv = ( 0 , | v | . sen )

0 90 90 180

correspondiente a la medida en sistema sexagesimal .

180 270 270 360

Se observa ,claramente , que el vector v es la suma de los vectores proyecciones sobre los ejes.

23

ejercicios

Indique como pares ordenados los vectores 1F

, 2F

, 1F

+ 2F

, 1F

- 2F

y 2F

- 1F

,

además calcule los módulos de los vectores suma y diferencias. Por último bosqueje las

representaciones geométricas de todos estos vectores.

a] Datos :

150

35|F|

30

40|F|

2

2

1

1

b] Datos:

200

75

30|F|

25|F|

2

1

2

1

c] Datos:

160

15|F|

300

50|F|

2

2

1

1

Resolución de triángulos rectángulos

Un triángulo queda determinado cuando se conocen sus tres lados (sus longitudes) y los tres ángu-

los interiores (sus medidas). Por lo tanto resolver un triángulo rectángulo es determinar los elemen-

tos del mismo conociendo otros tres (siempre que uno de ellos sea un lado).

Propiedades de uso :

* Relación entre los ángulos: la suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo

es 180°.

** Relación entre los lados: la relación entre las medidas de los lados de un triángulo rectángu-

lo queda determinada por los corolarios del teorema de Pitágoras.

*** Relación entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo queda determinada por las razones

trigonométricas.

B

A C


Datos de un triangulo rectángulo

'2064

18,45BC

Por suma de las medidas de los ángulos interiores y por ser uno recto , calculamos .

= 90 - 64 20 , así = '4025

Calculamos la longitud de los otros dos lados empleando los números trigonométricos:

AC = BC . sen 64 20 AB = BC . cos 64 20

AC 40, 72205151... AB 19,56902963...

Las medidas de los lados son los módulos

de los vectores : AC , BC y AB .

Las medidas de los ángulos interiores son

, y correspondientes a los

vértices A , B y C respectivamente .

24

Otro triangulo rectángulo cuyos lados miden

20AC

35BC

Tenemos la longitud de un cateto y la hipotenusa, con lo cual calculamos el seno de :

sen =BC

AC =

35

20 . Si conocemos un número trigonométrico como seno

, coseno o tangente podemos determinar la medida del ángulo del primer cuadrante (tema que

desarrollaremos en otra unidad) con la ayuda de una calculadora científica si ingresamos el

número trigonométrico y presionamos :

[inv] [sin] , [cos] o [tan]

Así obtenemos 34,84990458... en grados según el modo predeterminado del sistema en uso

[deg] sexagesimal y [rad] en radianes luego presionamos la tecla [ ] : = '5134

Por teorema de Pitágoras calculamos

72,28AB

2035AB22

ejercicios

1 Determine los elementos de cada triángulos rectángulo ABC , si se conoce :

1-1] 45AC,30AB 1-2] "43'3247,90BC

1-3] "45'2532,67BC 1-4] "17'3453,72AC

Ángulos de observación :

objeto

Ángulo de elevación

horizontal horizontal

Ángulo de depresión

objeto

25

Problemas de aplicación:

2 Un hombre se encuentra a 20 metros de la base de un cartel, observa que el ángulo entre el

suelo y la parte superior del cartel mide 30° 12’ 34” .Calcule la altura del cartel.

3

4 Para hallar la distancia entre dos puntos P y Q en las orillas de una laguna, un agrimensor lo-

caliza un punto R que está a 50 m de P tal que RP es perpendicular a PQ . Luego usando

un teodolito determina la medida del ángulo PRQ que es de 72°40’36”. Halle la distancia entre

P y Q.

5 Al observar una torre desde lo alto de otra torre de 15 m , el ángulo de elevación es de 59°, si

se observa desde él junto a la torre más baja

el ángulo de observación es de 62° :

a) Aproximadamente a que distancia están

las dos estructuras.

b) Calcule la altura de la torre.

6 La figura que se detalla corresponde a un tobogán de agua, halle la longitud del mismo.

35

9

25 9

31

7 Calcule el ángulo formado por una diagonal de la base y la diagonal de un prisma recto, del

que se conoce las dimensiones de sus aristas: 2,45 X 1,80 X 1,22 (esta última es la altura).

8

Para una nueva ruta debe construirse un túnel bajo la montaña

que mide 80 m de altura. A una distancia de 60 m de la base de

la montaña, el ángulo de elevación es de 36°. De una distancia

de 45 m en el otro lado, el ángulo de elevación es de 47°.

Calcule la longitud del túnel.

Desde lo alto de un faro, un observador avista una embarcación

que navega directamente hacia el faro. Si el observador está a 30m

sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión de la embarcación

cambia de 25° a 40°, durante el período de observación. Calcule la

distancia que recorre la lancha.

26

9 Una señora está parada a 60 m de la base de una torre. El ángulo de elevación hasta el ex-

tremo superior de la misma es de 72°23’12”.Halle la altura de la torre.

11 La fuerza F

(peso de un cuerpo) se encuentra aplicada como indica cada una de las figuras,

determine las tensiones de los hilos que sostienen el cuerpo.

60° 60° 35° 60°

90 90

|F|

= 350 |F|

= 380 |F|

= 320

(-a,b)

12 (a,b)

a 0

b 0

(-a,-b) (a,-b)

Por observación del esquema deduzca y complete la siguiente tabla, donde relacionamos los

números trigonométricos indicados con sen , cos , tg , cotg , sec y

cosec :

sen (-) = sen sen (+) = sen (2-) =

cos (-) = cos (+) = - cos cos (2-) =

tg (-) = tg (+) = tg (2-) =

cotg (-) = cotg (+) = cotg (2-) =

sec (-) = sec (+) = sec (2-) =

cosec (-) = cosec (+) = cosec (2-) =

10 Un cuerpo de peso de intensidad de

85 N está sobre un plano inclinado que

forma un ángulo de 23° con la horizontal.

Encuentre las componentes de la fuerza

de peso, paralela y perpendicular a la

superficie del plano inclinado (en el

sistema cartesiano que se indica).

27

Al buscar en un diccionario el significado de la palabra

Expresar encontramos “ dejar conocer o manifestar los pensa-

mientos, impresiones o deseos por medio de un lenguaje ”. En

adelante manifestaremos números reales (o escalares) por medio

de representaciones escritas llamadas expresiones .

Indicamos el área del rectángulo sombreado considerando los

datos de los lados del rectángulo mayor , si se sabe que los cua-

driláteros del lado izquierdo superior e inferior son cuadrados :

3

( 15 – 3 ) . ( 12 – 2 . 3 ) 12

15

lo escrito se denomina expresión aritmética pues expresa un

valor numérico determinado,(el resultado del cálculo aritmético)

que en este caso particular es 30.

En adelante trabajaremos con números pertenecientes al conjunto

de los números reales R o cualquier subconjunto (que deberá ser

indicado)

Procedemos a indicar el área , donde la longitud del lado de uno

de los cuadrados es un número genérico x , que indica cualquier

número mayor de 0 y menor de 12 :

x (1)

( 15 – x ) . ( 12 – 2 . x ) 12

15

lo escrito se denomina expresión algebraica pues expresa un

número indeterminado ( desconocido , variable) donde de

acuerdo al valor que adopte x , manifestará un único y preciso

valor numérico estando ante un caso particular de la expresión .

Así las expresiones Algebraicas están formadas por números

determinados , números indeterminados identificados me-

diante letras ( salvo algunas excepciones: , e ) y conectivos

que indican operaciones .

Para calcular el Área de

un rectángulo multipli-

camos la longitud del

lado altura por la del

lado base

b

a

ÁREA del rectángulo: a.b

Revisamos brevemente los

conjuntos numéricos

Los números naturales

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...

forman el conjunto sim-

bolizado N,si agregamos

el 0 y todos los opues-

tos forman el conjunto

de los números enteros

Z ,que ampliado con las razones de enteros (no

enteras)constituyen el

conjunto de los números

racionales Q .Estos úl-

timos junto con los nú-

meros irracionales (no

razones de enteros)

forman el conjunto de

los números reales

R

Z

N

Q

28

Los números indeterminados de una expresión algebraica perte-

necen a un conjunto , el más amplio , llamado conjunto de exis-

tencia ( E ) . Este surgirá de las restricciones de las operaciones

que intervienen.

Si la expresión algebraica modeliza una situación problemática

deberá ser considerado el conjunto de validez ( V ) un subcon-

junto del conjunto de existencia ( V E ) .

El conjunto de existencia de la expresión (1) es E = R ,todos

los reales pero su conjunto de validez lo forma cualquier real

entre 0 y 6 (pues 15-x y 12-2.x expresan los lados) :

V ={ x / x R 0 < x < 6 }

eee jjj eee mmm ppp lll ooo

En una situación concreta : 100 litros de una solución posee un

18% de alcohol que se mezcla con otra de 200 litros que contiene

6% de alcohol.

Expresamos la cantidad de alcohol que hay en la mezcla final

0,18 . 100 + 0,06 . 200 , es decir 30 litros de alcohol.

El porcentaje de alcohol de la mezcla resultante

( 0,18.100 + 0,06. 200 ) .100

100 + 200 es decir 10 ( % )

Si mezclamos esas mismas soluciones pero para diferentes

cantidades de capacidad tendríamos expresiones algebraicas

como generalizaciones, aritmética generalizada de casos o

situaciones similares.

Para A y B litros de una y otra solución.

0,18 A + 0,06 B , litros de alcohol de la mezcla

resultante

y el porcentaje de alcohol de la mezcla final

( 0,18. A + 0,06 . B ) .100

. A + B

Los conjuntos son

agrupaciones de objetos

que llamaremos elementos

,se denotaran con alguna

letra mayúscula ,por ej.

V al conjunto de las

vocales.

Descripción de conjuntos

Por extensión o

enumeración de sus

elementos :

{a,e,i,o,u}

Por comprensión o

propiedad común a todos

los elementos :

{x / x es vocal}

Los elementos de un

conjunto decimos perte-

necen , están en el

conjunto :

a V en caso contrario

1 V

En cambio al relacionar

dos conjuntos uno esta

incluido en el otro si

todos los elementos de A

pertenecen al conj. B

escribimos A B (A esta incluido en B)

A B (A esta incluido o es igual a B)

B A (B incluye a A)

B A (B incluye o es igual a A)

Sean p y q dos proposi-

ciones,la proposición

pq (p y q) denominada conjunción es verdadera

solo cuando ambas(p y q)

son verdaderas.

El conectivo lógico

se lee y .

29

ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo

Indicamos la expresión algebraica que

represente el inverso del cuadrado de la

longitud de la hipotenusa del triángulo

rectángulo isósceles de área igual a 72.

x - 4

El cuadrado de la hipotenusa es (x-4)2 + (x-4)

2

Lo pedido es ( 2 (x-4)2 )

-1 =

24)2(x

1

Buscamos el conjunto de existencia de la última expresión sin

tener en cuenta la situación problemática, es decir determinamos

los valores de x para los cuales la expresión representa un número

real , recordando que no existe la división por cero .

E = R - {4} = { x / x R x 4 }

Como el número indeterminado x-4 representa en el ejemplo la

medida de la longitud de un lado entonces x-4 es mayor que

cero y menor e igual a 12 así el conjunto de validez es :

V = { x / x R 4 < x 16}

ejercicio

A

C m

D

B

La arista mide m

E

Escribe la expresión algebraica que indica la longitud de la línea

poligonal de A a B . Los puntos medios de aristas son C , D y E.

Dos números reales n y m

(no ceros) diremos son

inversos si n.m = 1

n = 1/m ó n = m-1

Las relaciones de orden

entre dos números reales

mayor y menor se definen

Si a-b es positivo

entonces a > b

(a es mayor que b)

Si a-b es negativo

entonces a < b

(a es menor que b)

Otros conectivos de orden

amplio son :

mayor o igual

menor o igual

Propiedad de tricotomía de

dos números reales

a=b ó a>b ó a<b

Para negar una igualdad

escribimos a b

( : distinto,no igual )

Si a b b c se

puede escribir a b c

30

Clasificación

ENTERAS

RACIONALES

NO ENTERAS

EXPRESIONES

ALGEBRAICA IRRACIONALES

TRANSCENDENTES

EEEXXXPPPRRREEESSSIIIOOONNNEEESSS RRRAAACCCIIIOOONNNAAALLLEEESSS EEENNNTTTEEERRRAAASSS

(((PPPOOOLLLIIINNNOOOMMMIIIOOOSSS)))——————————————————————————————————————————

Primero consideraremos expresiones donde al menos un número

indeterminado, la parte variable , y un número determinado lla-

mado coeficiente se conectan mediante multiplicaciones (y su

caso particular la potenciación de exponente natural ) o sólo un

número determinado.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

22 4.x2.y 5,7. x

6 -9.x.y.x 2 .t e .x

15 x

π.p

4 .q

Estas expresiones se denominan monomios (un término)

Llamaremos grado del mononio al número de factores indeter-

minados que presenta.

Los monomios 2) y 4) poseen la misma parte indeterminada o

variable por ello se llamaran semejantes aunque tengan diferen-

tes coeficientes.

Los monomios serán términos de expresiones algebraicas racio-

nales enteras denominas Polinomios (en lo sucesivo trabajaremos

con polinomios de un sólo número indeterminado y para facilitar

su notación emplearemos una letra y entre paréntesis la indetermi-

nada), por lo tanto el conjunto de existencia de cualquier polino-

mio es el conjunto de los números reales E = R .

Si introducimos la notación de sumatoria, los polinomios de una

sola indeterminada responden a la forma

aj coeficientes reales , p(x) = j

xn

1jj

ao

a .

El grado de un polinomio será el mayor grado de todos sus

términos, gr( p(x) ) , y su coeficiente principal será el que

corresponda al termino de mayor grado . Si este es uno (1) el

polinomio se denomina mónico o normalizado.

Parte

Coeficiente variable

1 22 no tiene

2 4 x2.y

3 5,7 x6

4 -9 y.x2

5 √2 t

6 e x16

7 π p4.q

En los ejemplos dados de monomios los grados res-

pectivos son:

0 , 3 , 6 , 3 , 1 , 16 , 5

eeejjjeeemmmppp lllooo dddeee pppooollliiinnnooommmiiiooosss

p(x)=2x5+4x

4-6x

3+2x

2-x+4

q(x)=-4x4-2x

2-8,3x+154

r(y)=2y3+y

5-16y

7

s(z)=2z+4z4-7z

3+z

8-32

t(z)= 2 , u(x) = 1 , v(y)= 0 grado coef.principal p(x) 5 2

q(x) 4 -4

r(y) 7 -16

s(z) 8 1

t(z) 0 √2

u(x) 0 1

v(y) carece no tiene .

s(z) y u(x) son mónicos

0 : es el polinomio nulo

31

Según el número de términos los polinomios se califican en:

Términos 1 2 3 4

Nombre monomio binomio trinomio cuatrinomio

3 x 4 – 5 x4 + 12 x4 + 3 x4 Observemos que la expresión de cuatro términos puede

simplificarse, pues sus términos son semejantes, asi es el

monomio : 13 x4

Con el objeto de facilitar el cálculo de las operaciones, los poli-

nomios p(x) ,en una indeterminada , se pueden ordenar sus

términos (por convención de mayor a menor grado) y completar

los términos faltantes con 0. xn .

p(x) = 2x3+4x

5-6x

6+2x

8-x+4-2x

4-x

3+4

polinomio de grado 8 desordenado e incompleto

p(x) = 2x8+0x

7-6x

6+4x

5-2x

4-x

3+0x

2-x+4

polinomio de grado 8 ordenado y completo .

Adición y sustracción eee jjj eee mmm ppp lll ooo Expresamos el area del trapecio, de análisis, por un polinomio

ordenado y completo :

x

(16 + x + x ) . 22 / 2 16

22 x + 176 x

22

a continuación el área de la figura sombreada:

16

2x . x (22 – x) . 16

2 2

2.x

x2 – 8.x + 176

x

22

Adición de reales

a + b = c

los números a y b se

denominan sumandos y

c suma.

Propiedad asociativa

de la adición

(a+b)+c =a+(b+c)=a+b+c

Existencia de elemento

neutro 0 en la adición

a+0=0+a=a

Existencia de elemento

inverso aditivo u opuesto

a+(-a)=(-a)+a=0

Propiedad conmutativa

a + b = b + a

El área de un trapecio

(cuadrángulo de un par

de lado paralelos) :

( b + B ) . a / 2

B ,base mayor

a altura

base

menor , b


32

Para terminar, con este ejemplo,

expresamos el área del

triángulo como diferen-

cia de las áreas 16

consideradas.

2.x

x

22

( 22 x + 176 ) - ( x2 - 8 x + 176 )

22 x + 176 - x2 + 8 x - 176

- x2 + 30 x + 0 , trinomio de segundo grado .

ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo Sean los polinomios : p(x) = x

7-4x

6+3x

5-2x

4-x

3-x+4

q(x) = 2x5-6x

6-6x

4-x

3+10x

2+7x

t(x) = 6x6+3x

5-8x

4+2x

3+x

2+ 9

calculamos los polinomios suma o diferencia previa ordenación

y complementación de los operandos:

p(x) + q(x) =

x7-4x

6+ 3x

5- 2x

4- x

3+ 0x

2- 1x+4 +(-6)x

6+2x

5-6x

4-x

3+10x

2+7x+0=

x7-10x

6+5x

5-8x

4-2x

3+10x

2+6x+4

, hemos sumado los términos semejantes.

q(x) + t(x) =

(-6)x6+ 2x

5- 6x

4-x

3+10x

2+7x+0 + 6x

6+ 3x

5- 8x

4+2x

3+x

2+0x+9 =

5x5-14x

4+x

3+11x

2+7x+9

t(x) - p(x) = t(x) + (-p(x)) = cambiamos el signo de cada termino

6x6+3x

5- 8x

4+2x

3+x

2+0x+9 - x

7+ 4x

6-3x

5+2x

4+x

3-0x

2+ x - 4 =

-x7+10x

6+0x

5-6x

4+3x

3+x

2+x+5

q(x) – t(x) = q(x) + (-t(x)) =

-6x6+ 2x

5- 6x

4-x

3+10x

2+7x+0 - 6x

6- 3x

5+ 8x

4-2x

3-x

2- 0x-9=

-12x6-x

5+2x

4-3x

3+9x

2+7x-9

Desde el punto de vista formal simplificamos la expresión aso-

ciando los términos semejantes, obteniendo un polinomio suma o

diferencia de grado igual o menor que el grado de los sumandos.

Sustracción de reales

a - b = c

el número a se denomina

minuendo , b sustraendo

y c diferencia o resta.

La sustracción de reales

puede ser considerada co-

mo la adición de un número

y el opuesto del otro :

a-b = a+(-b)

POLINOMIO OPUESTO

Del ejemplo dado:

-x7+4x

6–3x

5+2x

4+x

3+x-4

-2x5+6x

6+6x

4+x

3–10x

2-7x

-6x6–3x

5+8x

4–2x

3–x

2-9

Es decir un polinomio

es opuesto a otro si

sus respectivos términos

(semejantes)son opuestos,

y el polinomio suma es el

polinomio nulo.

33

ejercicios

1 Complete los polinomios operandos faltantes para determinar el polinomio p(x) :

7 x2 + 3x – 2 + ................................. = 8 x

3 + 0 x

2 + 2 x –16

- + -

................................. - -5 x3 -3 x

2 + 3 x –11 = ........................................

= = =

2 x2 + 6 x –10 + ................................. = p(x)

2 A B

b

F E

c

D C

a Complete , en los recuadros , con la expresión algebraica

correspondiente al :

= +

Área del Área del Área del

rectángulo ABCD rectángulo ABEF rectángulo FECD

G H

c I K

b

L M

a

= -

Área del Área del Área del

rectángulo IKML rectángulo GHML rectángulo GHKI

Multiplicación

de números reales

a . b = c

a y b se denominan

factores donde c

es el producto

Del ejercicio 2 ,de

la izquierda se puede

observar :

Propiedad distributiva de

la multiplicación respecto

de la adición(sustracción)

a.(b+c) = a.b + a.c

a.(b-c) = a.b - a.c

Propiedad conmutativa

a . b = b . a

Propiedad asociativa

a.b.c =(a.b).c =a.(b.c)

34

Multiplicación

Dados dos polinomios el producto de ellos es otro polinomio que

se obtiene aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación

respecto de la adición o sustracción para luego simplificar aso-

ciando los términos semejantes, como en la adición .

eee jjj eee mmm ppp lll ooo ordenamos los factores

(-2x+ 3x3 +9) . (2x2+5x – 4) = (3x3–2x+9).(2x2+5x-4) = 6x5- 4x3+18x2 + 15x4 - 10x2+ 45x + (-12)x3 + 8x -36 = 6x5 +15x4 - 16x3 + 16x2 + 53x - 36 .

El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados

de los polinomios factores no nulos.


Una agencia de viajes ofrece un tour para un grupo de 16 turis-

tas, el costo por persona es de $1150.La oferta incluye la alternati-

va de que, por cada persona extra el costo individual se reduce a

la 46-ava parte. El grupo no debe exceder las 28 personas. Si a es

el número de turistas adicionales del grupo original, expresemos

el ingreso de la agencia de viaje (según a ) y simplifiquemos.

16 + a , es el número de turistas del nuevo grupo a formar . 25 . a , es la redución (en $) por a turistas adicionales 1150 / 46 =25

1150 – 25.a ,es el costo(en $) por cada persona del nuevo

grupo.

Así el ingreso de la agencia por venta del paquete turístico al

nuevo grupo es de :

( 16 + a ) . ( 1150 – 25.a ) , para simplificar multiplicamos :

( a +16 ).( -25a + 1150 ) = -25a2+ 1150a – 400a + 18400 = -25 a2 + 750 a +18400

¿ Cuánto dinero deja de ganar la agencia por efectuar ese des-

cuento sobre cada costo original por persona?. Determine el con-

junto de validez (V) de las dos expresiones algebraicas resultantes.

(a + 16) .1150 - (a + 16).( -25 a +1150) = (a + 16).1150 - (-25 a2 + 750 a +18400) =

1150 a + 18400 + 25 a2 - 750 a – 18400 = 25 a2 + 400 a

V = { a / a N 0 a 12 } . Piénselo.

Varias aplicaciones de

la propiedad distribu-

tiva de la multiplica-

ción respecto de la

adición o sustracción

(a + b).(c – d + h)=

(a+b)c-(a+b)d+(a+b)h=

a.c+b.c-a.d-b.d+a.h+b.h=

a.c–a.d+a.h+b.c-b.d+b.h

Multiplicación de

potencias

{n,m} Z , x 0

xn.xm = xn+m

eeejjj ...

x3. x

5 = x

8

z . z2 . z

4 = z

7

x2n-4

. x10-n

= xn+6

Otras propiedades

a . 1 = 1 . a = a

1 elemento neutro en la

multiplicacion

a . 0 = 0 . a = 0

cero es el elemento

absorbente.

35

Multiplicaciones particulares

A través de interpretaciones geométricas, por cálculo de áreas

de rectángulos se puede deducir los siguientes productos notables

que pueden verificarse multiplicando los binomios.

Los siguientes cuadrados

contienen rectángulos;

el superior izquierdo

es un cuadrado :

a

s a. a.c

ejercicio

Deduzca las expresiones A(x) B(x)

C(x) y D(x) que indican el área :

a.c c.c 9 x2 18 x

c

(a+c)2 = a

2 + a.c + a.c + c

2 A(x) B(x)

(1) (a+c)2 = a

2 + 2. a.c + c

2

d

m . d C(x)

(m-d).d (m-d).(m-d) 7x2+14x D(x)

m

(m-d)2 = m

2 - ( m.d + (m-d).d ) Escriba las identidades (1) y (2)

(m-d)2 = m

2 - m.d - (m.d-d.d) correspondientes a los cuadrados

(m-d)2 = m

2 - m.d – m.d +d

2 del ejercicio .

(2) (m-d)2 = m

2 - 2 m.d + d

2

36

t

t.t (n-t).t

(n-t).n

n-t

n n t

(n + t).(n - t) = (n – t).n + t .(n – t)

(n + t).(n - t) = n2 - t

2

Las igualdades hasta aquí obtenidas, son identidades ,puesto que son siempre verdaderas cualquiera

sea el valor real asignado a los números indeterminados.

En las operaciones hasta el momento estudiadas, el polinomio resultado conserva el conjunto de

existencia de los polinomios operandos, es decir E = R

ejercicios

1 Complete el factor, tal que el producto es una diferencia de cuadrados:

( 3 + x ) . ( ........................... ) = ...........................

( 3 x2 - 2 ) . ( ........................... ) = ...........................

( x3

+ 2 ) . ( ........................... ) = ...........................

( 2x - 5 ) . ( ........................... ) = ...........................

2 Determine los polinomios productos:

2 x2 + 3x –2 . 5 x + 3 = ........................ . . .

-3 x3 +8 x +2 . –2 x2 + 6x = ........................ = = =

.................... ................... ........................

37

3 Si u(x) = 2 x + 1 , v(x) = 1 - 2 x y w(x) = -3 x + 1

Completa el cuadro respetando el orden, o prioridad, de las operaciones:

Resultados polinómicos de la ... 1ra. operación 2da. operación 3ra. y última operación [resultado final]

u(x) . v(x) + ( w(x) )2 1

2 - (2x)

2 9 x

2 – 6 x +1 5x

2 – 6x +2

u(x) + v(x) . ( w(x) )2

( u(x) - v(x) . w(x) )2

( u(x) . v(x) + w(x) )2

( u(x) + v(x) )2. w(x)

u(x) - ( v(x) + w(x) )2

u(x) . ( v(x) )2 - w(x)

u(x) . ( v(x) - w(x) )2

4 Obtenga el producto, por sucesivas aplicaciones de la propiedad distributiva:

(a+b).(a+b).(a+b) =

(a+b)3 =

5 Si m(x) = -4 x

2 – x +5 , n(x) = 5 – 2x y t(x) = 2 x + 5

Determina los polinomios resultado, según los siguientes enunciados:

A) A m(x) súmele el cubo del producto de n(x) por t(x)

B) A la diferencia de m(x) con n(x), elévela al cubo y súmele t(x)

C) A el cuadrado de t(x) adiciónele la suma de n(x) y m(x)

D) A el cubo del producto de n(x) y t(x) réstele m(x) .

38

División

Recordamos la definición de división entre enteros positivos:

dados a y b (distinto de cero), dividir a por b significa encontrar

los números enteros positivo o cero c y r (únicos), denominados

cociente entero no negativo y resto menor que el divisor, respec-

tivamente, tal que :

a = b . c + r siempre que r < b (1) .

Para determinar c y r repasamos el algoritmo de la división,

con un ejemplo:

6 4 5 2 2 4

4 8 0

0

2 0

0

1 6 5 2

1 4 4 0 + 6 0

2 1 2

1 9 2 + 8

2 0 2 6 8

Entonces 6452 = 24 . 268 + 20 y 20 24 ,

si fuesen otros números el cociente y el resto no se cumple la

condición (1), por ej. 6452 = 24 . 267 + 44 , 44 no es

menor al divisor 24 .

Adoptando el algoritmo para polinomios como lo mostraremos:

4 x5

+ 6 x4 –3 x

3+6 x

2 –17 x + 6 2 x

2 +2 x - 1

¯ 4 x5

+ 4 x4 –2 x

3

2 x

3

2 x4

-1 x3+ 6 x

2 –17 x + 6

¯ 2 x4 +1 x

3 - 1 x

2 +1x

2

-2 x3

+7 x2 –17 x + 6

¯ -2 x3 - 2 x

2 –1 x -1x

9 x2

-16 x + 6

¯ 9 x2 + 9 x - 9/2 +9/2

-25 x + 21/2 2x3+ 1x

2 – 1x + 9/2

4x5+6x

4-3x

3+6x

2 -17x+6=(2x

3+x

2-x+9/2).(2x

2 +2x-1)+(-25x+21/2)

dividendo divisor cociente resto p(x) = q(x) . c(x) + r(x)

siempre que gr( r(x) ) gr( q(x) ) : 1 3

Caso particular:

0 dividido b 0

0 = b.0 + 0 0 < b

asi : 0 / b = 0

Algoritmo : Procedimiento o método

de cálculo

(1) Se busca el factor

tal que multiplicado por

el término principal del

divisor ,su producto

es .

. =

(2) El producto del divisor

y es el minuendo de

la sustracción con el di-

videndo(en el primer paso)

o los restos parciales.

(3) Se vuelve a repetir el

procedimiento,salvo que

el resto parcial sea de

grado menor al divisor.

39


Dividimos t(x) = 3x5+4x

3+2x

2 -3x+2 por m(x) = x

3 -2x+3

3 x5

+ 0 x4 +4 x

3+2 x

2 – 3 x + 2 x

3 + 0 x

2 -2 x + 3

¯ 3 x5

+ 0 x4 –6 x

3 +9 x

2 3x

2

10 x3

-7 x2 – 3x + 2

¯ 10 x3 +0 x

2 -20 x

+30 +10

-7 x2 +17 x -28 3 x

2 + 10

3x5+4x

3+2x

2 -3x+2 = (3x

2+10) . (x

3 -2x+3) + (-7x

2+17x-28)

dividendo cociente divisor resto t(x) = c(x) . m(x) + r(x)

siempre que gr( r(x) ) gr( m(x) ) : 2 3

Con este procedimiento obtenemos un polinomio cociente y otro

resto que junto con el polinomio dividendo y divisor cumplirán

las siguientes condiciones:

[1] p(x) polinomio dividendo y q(x) polinomio divisor

no nulo de menor o igual grado que p(x)

[2] c(x) polinomio cociente de grado igual a la diferencia:

gr( p(x) ) – gr( q(x) )

[3] r(x) polinomio resto de grado menor a gr( q(x) ) si no

es nulo .

[4] p(x) = c(x) . q(x) + r(x)

Nos proponemos, siempre que dividimos polinomios, escribir

la siguiente igualdad utilizando nuevas expresiones racionales que

estudiaremos después:

q(x)

r(x)c(x).q(x)

q(x)

p(x)

(1) q(x)

r(x)c(x)

q(x)

p(x) ,con gr( r(x) ) < gr( q(x) )

ó r(x) = 0 polinomio nulo

En el último ejemplo la igualdad (identidad) es:

32xx

23x2x4x3x3

235

3 x2+ 10

32x3

x

2817x2

7x

¿En qué caso no será

necesario aplicar el

algoritmo ?

No es necesario aplicar

el algoritmo de división

si el divisor es un

monomio

eeejjj ... Dividendo

-5x2 + 9x

- 8

Divisor

-3x Cociente polinómico

(5/3)x - 3 Resto

-8

Dividendo

8x6 + 4x

3 - 14x

2

Divisor

2x2

Cociente polinómico

4x4+2x

-7

Resto

0

40

ooo bbb sss eee rrr vvv aaa ccc iii óóó nnn

q(x)

r(x)c(x)

q(x)

p(x) Veamos que sucede al dividir dividendo y divisor por una constante k 0

k

q(x)k

r(x)

c(x)

k

q(x)k

p(x)

, denotamos a k

p(x) = )x(p1 , a

k

r(x)= )x(r1 y a

k

q(x) = )x(q1

(x)q

(x)rc(x)

(x)q

(x)p

1

1

1

1

De forma análoga si se multiplica, en lugar de dividir, por un polinomio de grado cero (un número

real) sucede lo mismo.

ejercicios

1 Se sabe que 1

2x

w(x) 2x

2 + 3x – 1

12

x

9036.x

, completa el siguiente cuadro tenien-

do en cuenta la ultima observación hecha .

Dividendo divisor cociente polinómico resto

................................. x

2 +1 2x

2 + 3x - 1 36x - 90

................................. 5 x2 + 5 ...........................….... .................................

w(x) / 3 ...................... .................................... .................................

................................. ½ x2 + ½ ................................... .................................

2 Si 4x

893x

27x

q(x)

p(x)

¿ Cuáles son los polinomios p(x) y q(x) , si

8 es el resto de la división polinómica ?

3 Efectúe las siguientes divisiones para completar el cuadro, hay un caso donde no se necesita

realizar el algoritmo, luego indique la identidad (1) para cada caso:

Dividendo divisor cociente polinómico resto

2x

2 –5 x + 3 x

2 –x +1

15 x3- 8x

2 – 1 3x

2 –5 x + 2

3x3+ 4x

2 +12 x + 8 4 x

-8 x4 –3 x

3+ 4x

2 – x 3 x

3 -1

Al dividir dividendo y divisor por un escalar (constante) no o

cero o polinomio de grado cero se obtiene el mismo cociente

polinómico pero el resto, en la división de los nuevos dividendo

y divisor , también es dividido por el escalar .

41

4 Divida 3x3+ 4x

2 –2k x + k por x

2 + x - 1 y determine k , tal que el resto o residuo para

cada caso es :

4-1] -4 x + 2 4-2] 2

4-3] 6 x + 5 4-4] 0

Si el resto es el polinomio nulo decimos que el polinomio

dividendo es divisible por el polinomio divisor. O el divisor

divide exactamente al dividendo .

El polinomio p(x) es divisible por q(x) (no nulo) cuando

existe otro polinomio c(x) tal que:

p(x) = c(x) . q(x)

Propiedad

Si p(x) y q(x) son divisibles por s(x) entonces los polinomios

suma, diferencia y producto son divisibles por s(x).

Valor aritmético

Cuando al número indeterminado de un polinomio (o cualquier

otra expresión algebraica) le asignamos un valor numérico (lo

determinamos) la expresión algebraica se transforma en una

aritmética y expresa un único número determinado llamado

valor aritmético .

ejercicio

Halle a y b tal que t(x)

sea divisible por q(x)

t(x) = x4 + ax

2 +b

q(x) = x + x2 +1

p(x)= 3 x3+ 4 x

2 –2 x + 9

p(2)= 3.23+ 4.2

2 –2.2+ 9

p(2) = 45 valor aritmético

p(-6)= 3(-6)3+4(-6)

2–2(-6)+9

p(-6)= -483 valor aritmético

ppp ooorrr eeejjjeeemmm ppp lllooo

ejercicios

1 Determine k (constante real), en cada caso, tal que los siguientes polinomios respondan a los

valores aritméticos indicados:

1-1] p(x) = k x5 + (k-1) x

4 +(k+2) x

2 +2 con p(2)= 46

1-2] q(x) = x3+ k

2 x

2 – x – 10 con q(-2) = 0

1-3] t(x) = -4 k2 x

4 + 2k

2 x

2 + 50 con t(-1) = 0

1-4] u(x) = x3 + x

2 +x +1 con u(k) = 0 , k es único.

42

Raíz de un polinomio

Cuando el valor aritmético de la expresión es cero el valor

numérico asignado (a la indeterminada) se denomina raíz de la

expresión algebraica.

r es raíz del polinomio p(x) si y solo si p(r) = 0

En el ejercicio anterior: -2 es raíz de q(x)

-1 es raíz de t(x)

¿ cuál es la raíz de u(x) ?

2 Se sabe que –5 y 2 son raíces del polinomio w(x) ,

determine a y b (constantes reales) .

w(x) = x3 +(b+a) x

2 - (2b –a) x + 10

eeejjjeeemmmppp lllooosss

El binomio 5.x2 – 5

tiene dos raíces

0 y -1

x2 + 6x

+9 este trinomio

cuadrado perfecto tiene

una solo raíz : -3

4x6+ 3x

4 + 5 es un

polinomio que no

tiene raíz.

3 Sea un trinomio de segundo grado mónico de raíces: 3 y -8 , ¿ cuál es el polinomio ? .

4 Un cuatrinomio normalizado de tercer grado con término independiente (o constante) 1,

tiene como única raíz a -1 . ¿ Qué condición cumplen los coeficientes (no nulos) de los

términos cuadrático y lineal, es decir de grado 2 y grado 1?

5 Determine las raíces de los polinomios producto de tres factores, dados a continuación:

5-1] -2 x + 6 , 4 x – 4 , x + 2

5-2] 5 - x , x + 3 , 3x

Cada polinomio producto, ¿ tiene otras raíces reales? .

Teorema fundamental de las raíces

Todo polinomio de grado n admite a lo sumo n raíces reales.

Otro Teorema

Todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real.

43

ejercicio

Dada la siguiente lista de raíces de 3 polinomios:

-3 2 -2 1 5 0 -4 3 -5

Identifique y complete el cuadro de la derecha con las

respectivas raíces de cada polinomio:

p(x) = x3 –2x

2 -20 x +24

q(x) = 2x3 +4 x

2 -26 x +20

v(x) = -7 x2+6 x+x

4

El cuadro de la derecha, que has completado, ¿contiene todas las

raíces ? . Justifique la respuesta.

Teorema de Gauss

Sea p(x) un polinomio de grado n de coeficientes enteros y

término independiente no nulo, si el polinomio tiene raíces ra-

cionales, entonces los números a

b ó

a

b (fracción irreductible)

son las únicas raíces racionales siendo b divisor del término

independiente y a divisor del coeficiente principal.


Encontraremos las raíces racionales del polinomio:

15 x3 –17x

2 - 66 x + 56

c es divisor positivo del término independiente 56

c {1 , 2 , 4 , 7 , 8 , 14 , 28 , 56 }

d es divisor positivo del coeficiente principal 15

d {1 , 3 , 5 , 15}

De todos los racionales d

c y sus opuestos

d

c ,con ayuda de

una calculadora, se identifican 1

2 ,

5

4 y

3

7 como raíces

del polinomio .

¿Tendrá otras raíces reales?

Sea el polinomio de

primer grado a . x + b

(a 0 y b constantes), buscamos su única raíz

real:

a . x + b = 0

a . x = 0 - b

x = -b/a

La raíz real es -b / a

44


El polinomio p(x) con coeficientes naturales tiene a 4,5 de raíz, el coeficiente principal es 8

y el coeficiente del termino de grado cero (término independiente) es múltiplo de 6 menor a 25.

¿Qué número es el término independiente?

4,5 es racional de expresión fraccionaria

irreducible 2

9 .

El término independiente posible, puede ser: 6 , 12 , 18 ó 24.

2 es divisor del coeficiente principal 8 y

9 es divisor del término independiente, sólo lo es del número 18.

Rta. : 18 es el término independiente o constante del polinomio.

ejercicios

1 Los siguientes polinomios tienen sólo raíces racionales, encuéntrelas:

2 x3 + 20 x

2 + 22 x - 140 , 9 x

3 + 42x

2 - 21 x – 30

2 Responda y justifique con fundamentación, si se sabe que x5+ x

3 -2 x

2-2 tiene una raíz

irracional .

¿ El polinomio tiene alguna raíz real ?

¿ Es racional la raíz ?

Divida el polinomio por: x2 + 1 , para luego expresarlo como un producto (de factores)

¿ Cuál es la raíz?

Teorema de Bezout

c es raíz de un polinomio p(x) sí y sólo si k.(x – c) divide exactamente a p(x) ,con k 0

constante real no nula .

ejercicio

Corresponda con flechas, el polinomio de primer grado que divide exactamente al de la derecha.

(Puede haber más de un correspondencia).

x - 5

3x3 - 23 x

2 + 29 x + 55

2 x + 2

x4 - 4 x

3 - 8 x

2 + 23 x + 30

15 - 5 x

7 x5 -23 x

4 + 6 x

3 + 5 x – 15

x + 1

8 x6 + 8 x

5 + 3 x

3 + 2 x

2 - x

-8 x

45

Regla de Ruffini o de Horner

Procedimiento o algoritmo, que emplearemos en la división de

polinomios cuando el divisor es un polinomio normalizado de

grado 1 de la forma x + a ( a constante), que nos permite

calcular los coeficientes del cociente y el resto de grado cero o

polinomio nulo. Dividimos para comprender el nuevo método:

- 5 x5

+ 6 x4 + 30 x

3+ 0 x

2 +10 x +1 x + 2

¯ -5 x5

-10 x4 -5 x

4 +16 x

3 –2x

2 + 4x+ 2

16 x4

+30x3+ 0 x

2 +10 x +1

¯ 16 x4

+32x3

-2 x3

+0 x2 +10 x + 1

¯ -2 x3

-4 x2

4 x2

+10 x + 1

¯ 4 x2

+ 8 x

2 x + 1

¯ 2 x + 4

-3

-5 6 30 0 10 1

+

-2 10 -32 4 -8 -4

-5 16 -2 4 2 -3 resto

-5 x4

+ 16 x3 – 2 x

2 + 4 x + 2 cociente polinómico

-5x5 +6 x

4 +30x

3+10x +1 =(-5 x

4 +16 x

3 -2 x

2+ 4x + 2).(x+2) + (-3)

2x

110x30x6x5x345

-5 x4 +16 x

3 -2 x

2+ 4x + 2

2x

3

El conjunto de existencia de las expresiones racionales en los

miembros derecho e izquierdo de la identidad(1), planteada des-

pués de dividir polinomios, aún en el caso de que el resto sea

nulo, es: divisor

E = R – { r / r R q(r) = 0 }

Así en el ejemplo: E = R – { -2 }

Su disposición y

procedimiento práctico

es el siguiente :

1 Ordenamos y comple-

tamos el polinomio

dividendo .

2 Listamos en una fila

todos los coeficientes

3 Consideraremos la

raíz del divisor como

factor para generar

los sumandos de la

segunda fila y por

adición de ambas,

filas , obtenemos

los coeficientes del

cociente .

46

Para entender mejor, te señalamos el procedimiento:

Dividimos 3x3 - 45 x +14 - 2 x

2 ,

sus respectivos coeficientes (ordenados) 3 -2 -45 14

12 40 -20

por x – 4

su raíz es 4 + + +

3 10 -5 -6 resto

el cociente polinómico calculado es 3 x2 + 10 x – 5

y la identidad ,que hemos planteada, es :

4x

14x 45x 23x23

3 x2 + 10 x – 5

4x

6


Observemos, dos casos particulares de, la suma de las sucesivas potencias de exponentes enteros

no negativos de un número distinto de 1:

23 + 2

2 + 2 + 1 =

12

14

2

, 5

9 + 5

8 + ... + 5

3 + 5

2 + 5 + 1 =

15

110

5

Mostramos que se cumple siempre, es decir que 1x

1n

x

es la suma de las n potencias de x:

Para efectuar la división 1 0 0 0 ... 0 0 0 -1

aplicamos la regla de Ruffini 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1

1 1 1 1 ... 1 1 1 0 resto

xn – 1 es divisible por x - 1 : 1 x

n-1 +1 x

n-2 + ... +1 x

3 +1 x

2 +1 x + 1 =

1x

1n

x

NNN ooo ttt aaa

¿Cómo procedemos para dividir , por la regla de Ruffini,

9x3 - 3x

2 + 2x - 6 por 3x +12 ?

Por ser el divisor no mónico pero si de primer grado.

La respuesta es dividir dividendo y divisor por el coef. principal

del divisor ,de forma tal que lo transformamos en mónico.

123x

62x2

3x3

9x

=

4x

2x3

22x

33x

(como lo haríamos con los números determinados)

Recuerde que los restos de las divisiones, original de la iz-

quierda y la nueva del miembro derecho, son diferentes aunque

las expresiones racionales son equivalentes.

ejercicio

Determina el cociente

polinómico , por aplicación

de la regla de Ruffini ,

en todas las correspondencias

del ejercicio anterior .

. 4=

==

.4=

4

. 4=

.4=

4

. 4=

.4=

4

47

Teorema del resto

Sea p(x) un polinomio de grado mayor o igual a 1 y q(x) de

grado 1 entonces al dividir p(x) con q(x), el polinomio resto (de

grado cero o polinomio nulo) es el valor aritmético de p(x) que

resulta de asignarle a x la raíz del divisor .

p(x) = c(x) . (ax+b) + r(x) con r(x) = R (constante)

a 0

p(x) = c(x) . (ax+b) + R , calculamos el valor aritmético

en –b/a raíz del divisor:

p

a

b = c

a

b .

b

a

ba. + R

p

a

b = c

a

b . bb + R = R resto

0


Sea p(x) = 2x4 –x

2 +a x – a

Hallamos a tal que la diferencia de los restos , de su división

por (x-a) y por (x+a) , es –1 .

Aplicamos el teorema del resto para conocer los restos:

p(a) = 2a4 – a

2 +a a –a = 2 a

4 –a

2 +a

2 – a = 2a

4 –a ,el

resto de dividir por x – a .

p(-a) = 2(-a)4 -(-a)

2 +a (-a) -a = 2 a

4-a

2-a

2-a = 2a

4-2a

2-a

el resto de dividir el polinomio por x +a .

Calculamos una de las diferencia :

p(a) - p(-a) = 2 a2 = -1 : a

2 = -1/2 igualdad falsa

Probamos con la otra diferencia :

p(-a) - p(a) = -2 a2 = -1 , a

2 = 1/2

a =2

1 a = -

2

1

ejercicios

1

Indique el valor de a0 tal

que el resto es el polinomio

nulo . Halle el polinomio co-

ciente :

ax

3x2

ax

16x8x2

ax

20x5x4x2

ax

x81x3

2 Halle m y n para que los polinomios :

v(x) = -x4 – m x

2 + 1 + 2x

4

48

u(x) = 5x4 – 5 n.(x+x

2) + 10

sean divisible por x +1 .

3 Muestre que los polinomios :

p(x) – p(a) y p(x).q(x) – p(a).q(a) son divisibles

por x– a .

( p(x) y q(x) son cualquier polinomio de grado mayor o igual a 1 y

a es una constante real ).

4 Si t(x) = 3x4 + 5(x+x

2)+ 3 , s(x) = –5x

2 +10 x

3 –2x + 1 y m(x) = 4x

2 – 3

Obtenga los cocientes, indicados, aplicando la regla de Ruffini :

4-1] 2-x

t(2)-t(x) 4-2]

1x

s(-1)-s(x)

4-3]

2-x

)2m(-m(x)

4-4] 1-x

t(1).m(1)-t(x).m(x) 4-5]

½x

(½)s(½).m)x(s).x(m

eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss Donde aplicamos la regla de Ruffini

Determinemos a y b (constantes) tal que p(x) = x

4 – (a+b) x

3 -3 x

2+ (a+b) x + b + 1

sea divisible por (x – 1 ) 2 . Como (x - 1)

2 = (x - 1) .(x - 1) , por regla de Ruffini dividimos

primero por x – 1 :

1 -( a + b ) -3 a + b b + 1

1 1 1-(a+b) -2-(a+b) -2

, como es divisible

1 1- (a+b) -2- (a+b) -2 b – 1 el resto es cero

b – 1 = 0 b = 1

1 -a -3 –a -2

Así se obtiene, la siguiente identidad: p(x) = ( x-1) . ( 1 x3 - a x

2 - 3 – a ) = (x - 1). q(x)

q(x) es divisible por x – 1 ,

aplicamos nuevamente el algoritmo de Ruffini :

1x

)x(p

= q(x) por lo tanto, ahora hacemos :

)1x).(1x(

)x(p

=

1x

)x(q

49

1 -a -3 - a -2

1 1 1 - a -2 - 2a

,como es divisible

1 1 - a -2 – 2a -4 - 2a el resto es cero

-4 - 2a = 0 a = -2

1 3 2

finalmente : p(x) = ( x-1) . (x-1) .( x2

+ 3 x + 2 ) con a = -2 b = 1


Si nos planteamos simplificar u obtener el cociente de la expresión algebraica : 2x

8x3

que no responde a la división de polinomios ; implementamos un cambio de variable (cambio

de nombre de un número indeterminado) es decir, en este caso, al número 3 x expresarlo z

3 x = z , siempre que x 8 así como z 2

2x

8x3

=

2z

8z3

,en esta última expresión se nos presenta una división exacta de polinomios

(considere el teorema del resto) .

Procedemos a aplicar regla de Ruffini :

1 0 0 -8

2 2 4 8

1 2 4 0

así concluímos que:

2x

8x3

=

2z

8z3

= z

2 + 2 z + 4 = 4x2x 3

23

ejercicios

1 )bx).(ax(

)x(p

=

bx

ax

)x(p

= bx

)x(c

= c1 (x) .Proceda como fue indicado, aplicando la r. de

Ruffini, para que determine c1(x) ,ya que p(x) es divisible por (x-a).(x-b) ó x2 – (a+b) x + a.b

con p(x) = 2 x4 + 10 x

3 – 14 x

2 - 58 x + 60 :

1-1] )3x).(2x(

)x(p

1-2]

)5x).(1x(

)x(p

1-3]

)3x).(5x(

)x(p

2 Realice un cambio de variable, para que por r. de Ruffini, determine los cocientes:

2-1] 4u

4u.3u

, con u 0 u 16 2-2]

1w

1w.2w.w

5

55

, con w -1

50

Determinación de raíces para polinomios de

segundo grado

Para ello debemos considerar ecuaciones, tema que luego desa-

rrollaremos con más detalles.

Para introducir el concepto de valor absoluto o módulo

consideraremos un caso particular de polinomio de segundo

grado incompleto de la forma : x2 – c

Planteamos la ecuación x2 – c = 0

si pretendemos que la igualdad x2 = c sea

verdadera el número c debe ser mayor o igual a cero.

x2 = c con c 0

2x = c

En adelante definiremos valor absoluto o módulo

de un real (o escalar) que se denota : x = 2

x

como conclusión x , si x 0

más práctica : x =

-x , si x 0

opuesto de x

volvamos a la ecuación : 2

x = c

x = c

x = c x = - c

Entonces:

Si c 0 , las raíces reales del polinomio x2 – c son

dos números opuestos c y - c , y en el caso de c = 0

la raíz ,únicamente, es 0 y se dice que es raíz doble o de

multiplicidad dos .

Si c 0 , el polinomio x2 – c no tiene raíces reales .

eeejjj ...

Polinomios de segundo grado que no tienen raíces reales:

x2 – (-9) , x

2 + 16 , x

2 + 1,21 , x

2 + 189/2

Sea x cualquier real

siempre la potencia

de exponente entero

par es no negativa:

x 2.n

0

con n Z


8 = 8

-19 = 19

0 = 0

a2 = a

2

3( -4 -c) = 3( 4 +c)

Propiedades del módulo

de un producto y de un

cociente

a.b =a.b

b

a

b

a con b 0

51

Nos dedicaremos al polinomio de segundo grado, general , de la

forma a.x2 + b.x + c ( a 0 , b y c constantes )

a.x2 + b.x + c = 0

a .x2 + b.x = -c

a

c.x

a

b2x

2

2a

b

a

c2

2a

b.x

a

b2x

2

2a

b

a

c2

2a

bx

2

2

4.a

b4.c.a-

2

2a

bx

2

2

4.a

b4.c.a-

La igualdad planteada es verdadera en los reales si el número:

- 4.c.a + b2 es no negativo , este se llama discriminante pues

es el número que se encarga de diferenciar el tipo de raíces ,

asi :

2

a2

bx

2

2

.4

...4

a

bac

(1) Si el discriminante es mayor que cero : -4.c.a.+b2 0

b2 - 4.c.a 0

a

cab

a

bx

2

.4

2

2

a

cab

a

bx

2

.4

2

2

a

cab

a

bx

2

.4

2

2

a

cab

a

bx

2

.4

2

2

dos soluciones de la ecuación y dos raíces reales distintas del

polinomio de segundo grado .

Diferente de si el discriminante es cero , -4.c.a.+b2 = 0 , la raíz

es única y real (se dice raíz doble o de multiplicidad dos).

(2) Si -4.c.a.+b2 = 0 entonces

a

bx

2

(3) Si el discriminante es negativo no hay raíces reales, sí de

otro conjunto numérico, que no estudiamos , el de los números

complejos .

eeejjjeeemmmppp lllooo

Dado el polinomio:

2

3 x

2 – 21 x +

2

147

calculamos el número

discriminante :

– 4. 2

3.

2

147+(-21)

2 =

-441 + 441 = 0 ,discriminante

desarrollamos el polino-

mio,en otras expresiones,

en producto de factores

polinómicos:

2

3 x

2 – 21 x +

2

147

2

3( x

2 – 14x + 49 )

2

3( x – 7 )

2

2

3( x - 7 ).( x – 7 )

La última expresión fac-

torizada expone porque

la raíz se llama doble.

El ejemplo desarrollado

muestra que un polinomio,

de segundo grado de raíz

doble (-r),es un múltiplo

de un real por un trino-

mio cuadrado perfecto :

k . ( x2 + 2.r.x +r

2 ) , k 0

52

ejercicios

1 Las diferencias indican el discriminante de polinomios normalizados (mónicos) de 2.do grado,

donde el minuendo es el cuadrado del coeficiente lineal positivo .

Escriba el polinomio y determine sus respectivas raíces reales

1-1] 25 – 4.(-24) 1-2] 81 – 4. 20

2 Determine y analice k (constante real) tal que los siguientes polinomios tengan:

(a) única raíz (doble)

(b) raíces reales distintas

(c) ninguna raíz real

2-1] p(x) = x2 – ( k+3 ) x + k + 2 2-2] q(x) = 6 k x + 5 k x

2 – 72 con k 0

3 Sea el polinomio: 2 x2 – (3.h+2) x + h

2 + h

Determine h tal que las raíces, del polinomio de indeterminada x, son el seno y el coseno de la

medida de un mismo ángulo.

( Sugerencia : no olvides la suma de los cuadrados del sen y de cos )

Propiedades de las raíces de un polinomio cuadrático

Polinomio de la forma : a. x2 + b.x + c , a 0

Sumamos las dos raíces reales :

a2

c.a4b

a2

b2

+ a2

c.a4b

a2

b2

= a2

b2 =

a

b

La suma de las raíces, de un polinomio de segundo grado, es igual al

opuesto del cociente entre el coeficiente lineal y el principal (cuadrático).

Multiplicamos las dos raíces:

a2

c.a.4bb2

.

a2

c.a.4bb2

=

2

222

a.4

c.a.4bb

=

2

22

a.4

c.a.4bb

= 2

22

a.4

c.a.4bb =

2a.4

c.a.4 =

a

c

El producto de las raíces es igual al cociente del término independiente

(constante) y el coeficiente principal.

Si la raíz es doble también se cumplen las propiedades enunciadas, sumando y multiplicando

por si misma .

53

0

0

0

0

ejercicio

Determine el o los valores de k (constante real), en cada polinomio, si es posible que:

la suma de las raíces es el producto de las raíces

p(x) = x2 – ( 2k-3 ) x + k , q(x) = 2x

2 +( k+1 ) x + 3k - 5

una raíz es igual al tercio de la otra u(x) = x

2 + k x + 147

eee jjj eee mmm ppp lll ooo iii lll uuu sss ttt rrr aaa ttt iii vvv ooo Si las raíces del polinomio: p(x) = 2x

4 –22 x

3 + 70 x

2 –26 x - 120 son 3 , -1 , 4 y 5 .

Aplicamos sucesivamente la regla de Ruffini: primero con el polinomio, luego sobre los cocientes

sucesivos divididos por polinomios mónicos divisores exactos (según teorema de Bezout).

Mejor lo mostramos:

2 -22 70 -26 -120

dividimos por x – 3

3 6 -48 66 120

2 -16 22 40

dividimos por x + 1

-1 -2 18 -40

2 -18 40

dividimos por x – 4

4 8 -40

2 -10

dividimos por x - 5

5 10

2 resto final

Procedimos sucesivamente obteniendo:

3x

120 -26x 70x22x2x234

2 x3 - 16 x

2 +22 x

+ 40

3x

0

1x3x

120 -26x 70x22x2x234

.

1x

4022x16x2x23

2 x2 –18 x + 40

4x1x3x

120 -26x 70x22x2x234

..

4x

4018x2x2

2 x -10

5x4x1x3x

120 -26x 70x22x2x234

...

5x

102x 2

Entonces:

2x4 –22 x

3 + 70 x

2 –26 x - 120 = 2 .( x - 3 ) .( x + 1 ).( x – 4 ).( x - 5 )

de esta forma hemos desarrollado o expresado un polinomio como producto de factores (hemos fac-

torizado). Observación importante los factores son polinomios mónicos cuyas raíces son las del

polinomio factorizado y su coeficiente principal (otro factor).

54

Recordamos

Dado un número entero no nulo este puede expresarse como un

producto donde determinamos sus factores, el proceso o acción de

búsqueda de estos factores se denominan factorización. Podemos

considerar el caso particular de que todos los factores sean núme-

ros primos .

Ej.: 630 = 2 . 3 . 3 . 5 . 7 De forma análoga factorizar un polinomio es expresarlo como

producto de polinomios factores:

8x4 + 6x2 = 2 x . x . ( 4x2 + 3 ) 4x2 – 49 = ( 2x - 7 ).( 2x + 7 ) x2 + 6x + 9 = ( x + 3 ).( x + 3 )

Los factores en los ejemplos dados tienen raíces reales salvo:

4 x2 + 3

Un polinomio es primo o irreductible cuando no se puede

descomponer en un producto de polinomios de grado positivo me-

nor que su grado. En caso contrario es reductible o compuesto es

decir factorizable en factores primos.

Por lo tanto los polinomios de grado uno son primos, los de

grado cero y el polinomio nulo no son ni primos ni compuestos .

Factorizamos el polinomio z4 + z

2 + 1 , el cual no posee

ninguna raíz real; para hacerlo, complete donde corresponda:

z4 + z2 + 1

z4 + .......... + 1 - z2

( z4 + .......... + 1 ) - z2

( ............... )2 – z2

( ............... - z ) .( ................. + z )

Lo hecho muestra que si un polinomio carece de raíces reales

no es necesariamente primo, el del ejemplo es compuesto o

reductible .

Veamos a continuación

algunos ejemplos de fac-

torización de polinomios

aplicando la propiedad

distributiva.

652txm

16

1tx

4

1 =

tm

4

1xtx

4

1 5

2346pnm

7

6pnm

14

15 =

p2nm

2

5.pnm

7

3 53

0,25.p5 - 1,5.p

2.m + 3p

4m

2 =

0,5 p2( 0,5 p

3 - 3m + 6 p

2 m

2 )

Los siguientes ejemplos

corresponden a factores

trinomios cuadrados per-

fectos.

5x2 +20x +20 =

5 . ( x2 + 4x +4 ) =

5 . ( x + 2 )2

2

27x9x

2

3 2 =

9x6x.2

3 2 =

23x.2

3

55

Factorización según las raíces reales del polinomio.

Teorema

Siendo c raíz real del polinomio p(x) de grado n, entonces éste

puede expresarse de la forma (x-c) . q(x), q(x) polinomio no nulo

de grado n-1, es decir :

p(x) = (x-c) . q(x)

Si c es raíz real también de q(x),decimos que c es raíz múltiple,

y de no serlo es simple:

p(x) = (x-c) . (x-c) . t(x)

Raíz múltiple

Si p(x) = (x-c)

m . v(x) y v(x) no tiene por raíz a c,

decimos que c es raíz de multiplicidad m .

Para efectuar una factorización, aquella que nosotros empleare-

mos, será necesario conocer todas las raíces reales del polinomio.

p(x) = (x – c 1) . (x – c 2) . (x - c3) … (x - c n ) . q(x)

En el caso particular en que gr ( p(x) ) = n y todas las n raíces

son reales, q(x) = a n : el coeficiente principal .

eeejjjeeemmmppp lllooosss q(x)

3x – 18 = (x –6) . 3

2x2-8x+6 = (x-1). (2x-6)

t(x)

1 x2- 8x + 16 = (x-4) . (x-4). 1

4x3+40x

2+100=(x

2+10x+25).4x

4x3+40x

2+100=(x+5).(x+5). 4x

Obtenga el polinomio

producto, y compruebe

que las raíces de los

factores son las del

polinomio:

(x-3). (x-2). (x+1).(x+5)

ejercicios

1 Factorice los siguientes polinomios, en factores primos y el coeficiente principal:

1-1] 30 x + 25x2 -72 1-2] 2x

2 + 2x - 3x

1-3] 36 x2 - 4 1-4] 12 x

2- 42x +36

1-5] 1 + 121 x2

56

2 Halle el valor de k, en cada caso, para que el polinomio tenga la raíz indicada y luego

factorícelo ( k constante) :

2-1] 8 x2 + 2 x + k , tiene raíz doble.

2-2] x2 + x + k - 1 , tiene una raíz igual a cero.

2-3] -5 x2- 40 x –5 k , tiene una raíz real igual al triple de la otra .

3 Analice, determine todos los valores reales de h tal que los polinomios de segundo grado

cumplan las siguientes condiciones:

a] raíz doble

b] raíces reales distintas

c] carezca de raíces reales

3-1] 5 h x2 –10 h x+ 5 h 3-2] x

2 + h x + 25 3-3] x

2 + 8 x + h

4 Determine a y b (constantes reales) tal que el polinomio: p(x) = x

2 +(a-4) x –2(a-2)+b

tenga raíz doble, y p(2) = 9. Factorice.

5 Si un polinomio es de grado t, ¿cuál es la mayor multiplicidad que puede tener la raíz real?

Ejemplifique un polinomio de grado 4 que responda a la pregunta. 6 Las medidas de las longitudes de las aristas de un prisma recto responden a polinomios de

primer grado de indeterminada x , su volumen es v(x) = 4x3 - 64x

2+ 256x

Determine los polinomios que manifiestan las dimensiones del 4.x

prisma e indique el conjunto de validez, de la expresión que

indica el volumen, en esta situación concreta.

7 Factorice los siguientes polinomios, emplee para ello el teorema de Gauss y la regla de

Ruffini:

a] 6x4x2

7xx

2

1 234

b] 40 – 42 x + 6 x3 – 5 x

2 + x

4

c] x4 + 64 – 20 x

2

d] 3 x4 – 45 x

2 + 72 – 30 x

57

EEExxxppprrreeesssiiiooonnneeesss rrraaaccciiiooonnnaaallleeesss (((fffrrraaacccccciiiooonnnaaarrriiiaaasss)))

Una expresión algebraica en donde los operandos son polino-

mios e interviene la división de divisor polinómico (no constante)

se denomina expresión racional (fraccionaria).

eeejjj ...

1] x5x9x

5x2 2

2

2]

4x.4x

3x.10x2

5

3] 1xxx

123

4] (x2 - 6 x - 7)

–1

5] 6 x + ( 4 – x ) –3

. x2 - x

– 1 6] 3 .( x

6 + x

4 +8 )

-3

Recuerde, cuando por el algoritmo o por regla de Ruffini divi-

dimos polinomios, planteamos igualdades(verdaderas), en donde

su segundo miembro son ejemplos, ya utilizados, de expresiones

racionales; muchas no polinómicas .

Conjunto de existencia

Si volvemos a la definición de estas expresiones donde la

operación a considerar, la división ( de divisor no nulo )

nos conduce a excluir del conjunto universal R ( reales )

las raíces del divisor entonces:

E = R – { r / r R r raíz de algún divisor }


La igualdad que relaciona las distancias x del objeto,

xi de la imagen y f del foco (F) todas, al vértice (P)

para espejos esféricos cóncavos es:

i

x

1

x

1

f

1

Nos llega a la memoria

que un número racional es

la razón (cociente)de dos

números enteros (si el

denominador o divisor no

es cero). Por analogía

debe aparecer la razón de

polinomios (expresiones

enteras) para calificar a

la expresión de racional.

Recordemos :

n Z a R –{ 0 }

a – n =

na1

El conjunto de existen-

cia de las expresiones

racionales ejemplificadas:

1] E = R – { 3 , -3 }

2] E = R – { 2 }

3] E = R – { 1 , -1 }

4] E = R – { -1 , 7 }

5] E = R – { 4 , 0 }

6] E = R

58

Determinamos la expresión racional no entera que representa

la distancia focal f, según la situación que muestra el siguiente

dibujo de análisis, con número indeterminado d y los conjun-

tos de existencia E y validez V .

objeto

F P

imágen vértice

2.d d 0

Se sabe que el objeto y la imagen están ubicados antes del

foco a 5 unidades de 2.d y 2 unidades de d respectivamente

(imagen real invertida de longitud menor o igual a la del

objeto) .

Despreciamos del análisis el tamaño del objeto y el de su

imagen.

i

x

1

x

1

f

1

ix .x

x i

x entonces

ixx

ixx

f

en este ejemplo la distancia focal es )2d()5d2(

)2d).(5d2(

7d3

10d9d22

,

el conjunto de existencia de esta expresión (independiente del

problema dado) es E = R - { 7/3 }.

d-2 y 2d-5 representan longitudes por lo tanto son ma-

yores a cero además la distancia al objeto es mayor o igual a

la de la imagen:

d-2 0 2d-5 0 2d-5 d-2

d 2 2d 5 2d d-2+5

d 2 d 5/2 2d-d 3

d 2 d 5/2 d 3

con lo cual V = { d / d R d 3 } .

ejercicios

1 La razón o cociente

entre la masa de un cuerpo

y su volumen es la

densidad.

Halle dos expresiones

racionales que indiquen,

la densidad del sólido, cubo

de masa 30 (unidades)

incluído en el prisma; y el

volumen del prisma .

Luego determine los

conjuntos E y V ,

correspondientes .

2

x 3

2 El inverso (o recíproco)

de la media armónica de

dos números a y b es la

semisuma de los inversos

de estos. Obtenga la

expresión racional de la

media armónica.

acciones u operaciones y obtener expresiones equivalentes en el conj. de existencia “original”

Ó Condiciones

Identidades

(igualdades

verdaderas)

Empleo de la

propiedad en:

Ejemplos

aritméticos

a R b 0 m 0

b

a =

m.b

m.a

=

Ampliación

=

Simplificación

3

2 =

57

38

546

624 =

7

8

d 0

d

ba

d

b

d

a

=

Adición

=

Descomposición

en sumandos

16

3+

16

5=

16

8

2

13=

2

310= 5+

2

3

d 0

d

ba

d

b

d

a

* =

d

b

d

a

=

Sustracción

=

Descomposición

en minuendo y

sustraendo

4

19-

4

25=

4

6

6

15=

6

924= 4-

6

9

d 0 b 0

b.d

c.a

b

c.

d

a

.

=

Multiplicación

=

Factorización

5

17.

4

3=

4.5

3.17=

20

51

9

8=

3.3

4.2=

3

2.

3

4

d 0 b 0 f 0

b

d.

f

a

b.f

d.a

d

b

f

a

** 1

d

b.

f

a

b

d.

f

a

=

División

7

125

3

= 12.5

7.3=

60

21

Recuerde que la sustracción * es la adición del minuendo con el opuesto del sustraendo, así como

la división ** es la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor.

ooopppeeerrraaaccciiiooonnneeesss Tengamos presente las siguientes propiedades (manifiestas en iden-

tidades según las condiciones indicadas) para luego realizar diferentes

60

Adición

Para obtener la suma o resta de expresiones algebraicas racionales se buscan expresiones equi-

valentes con igual divisor, será necesario entonces, factorizarlos y luego efectuar la adición o

sustracción de los dividendos . Ver y .

4x4xx

10x

4x

1x232

=

1x2x2x

10x

2x2x

1x

= E = R-{ -2,-1,2 }

Es conveniente elegir el divisor común (menor) más simple.( en este

ejemplo (x+2)(x-2)(x+1) ).

1x2x2x

10x

1x2x2x

)1x).(1x(

=

1x2x2x

10x1x2x2

=

1x2x2x

2x5x

=

1x2x

5x

=

2x3x

5x2

Sustracción

60x63x3

20xx

2x9x3x4

2xx3

2

23

2

=

1x4x5x3

4x5x

4

1x1x2x4

1x2x

=

En la última expresión factorizamos el dividendo con la intención de observar si es posible sim-

plificar , lo cual facilitará determinar un divisor común simple.

1x3

1

4

1x4

1

=

1x4

1x12

4

1x41x3

= E = R - { -5 , -1 , -1/4 , 1 , 2 , 4 }

=

1x4

1x12

2x7

=

3x912x-

27x-2

Multiplicación

Para obtener el producto es conveniente factorizar, luego simplificar (si fuese posible) sin olvidar

.

60x3x3

20x19x2x.

2x3x

2

1x

4

7x

2

23

2

2

=

4x5x3

1x4x5x.

1x2x

4

1x2x

=

)4x)(5x)(1x)(2x(3

)1x)(4x)(5x¼)(x)(2x(

=

3

¼-x =

12

1x

3

1 E = R – { -5, -2, -1, 4 }

61

División

La división es la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor, como lo indica .

4

3x

8

17x

4

13x

4

9x

4

9x4x

:

2x6x2

15x2

2

15x20x

2

15x5

23

23

23

23

=

4

9x

4

9x4x

4

3x

8

17x

4

13x

.

2x6x2

15x2

2

15x20x

2

15x5

23

23

23

23

=

2

3x3x

2

1x

2

3x

4

1x2x

.

4

1x2x2

1x3x2

1x5

2

= E = R - { -3 , -2 , -3/2 , ¼ , ½ }

2x2

1x5

=

4x2

5-5x

ejercicio

Determine la expresión resultado (simplifique) e indique su conjunto de existencia.

a] 1x

1x

1x2x

1x2x2

2

b]

xxxx

x21x:

3xx3x

9x9xx234

2

23

23

c] 3x5x2

x21.

4x

12x4x3x22

23

d]

9x

36

3x

5

3x

x22

e] 2x

2

4x2

2

f] )mm.(

2m2

1.

m1

2.

m

1 2

2

g] 4m4

4m:)

1m

22(

2

h]

1x

1

1x

2

1x

2

2

i] 22

)x1(1

1

1)x1(

1

j]

x816x

3x32x2

12x7x

2

2

2

62

Radicación de índice natural

Los números que intervienen en esta operación se denominan

p radicando , n índice y b raíz n-ésima principal: eee jjj ...

n p = b 23529

La expresión se llama radical. 2377765

En esta operación debemos discriminar los casos de índices naturales pares e impares, según

indica el siguiente diagrama de flujo: ( tener presente el caso donde no está definida la radicación

en R)

nnnooo sssiii

nnnooo sssiii

EEExxxppprrreeesssiiiooonnneeesss iiirrrrrraaaccciiiooonnnaaallleeesss (((cccooonnn rrraaadddiiicccaaallleeesss)))...

Decimos que la expresión algebraica es irracional cuando toda, un término, factor o algún divisor

que lo constituye es el radical de una expresión racional (en la cual esté presente, al menos un nú-

mero indeterminado), el resto responde a expresiones racionales .


1] 2xx5 2] 3 1x

x

16x 3] 4

10x

7

1x

2

4] x5)x7.(x

2

n es par

p 0

np = b b R b

n = p

b y p reales de igual signo

NO existe el real b

np = b b R

+ b

n = p

b y p , solamente, reales positivos

n N – { 1 } p R

63

Conjunto intervalo

Se introduce el concepto de conjunto intervalo para indicar y simplificar con una nueva notación

algunos subconjuntos de números reales (a y b constantes).

Notación ó Notación

Conjuntista

Significado Representación n

geométrica

(a ; b)

{x/ x R a x b}

Conjunto de números reales x

mayores que el número a y menores

que b

a b

[a ; b)

{x/ x R a x b }


mayores o iguales al número a y

menores que b

a b

(a ; b]

{x/ x R a x b }


mayores que el número a y menores

o igual a b

a b

[a ; b]

{x/ x R a x b }

Conjunto de números x mayores

o iguales al número a y menores o

igual a b .

a b

[a ; +)

{ x/ x R x a }


mayores o iguales al número a .

a

(- ; b]

{ x/ x R x b }


menores o igual a b .

b

(a ; +)

{ x/ x R x a }


mayores que el numero a .

a

(- ; b)

{ x/ x R x b }


menores a b .

b

Conjunto de existencia.

Para determinar el conjunto de existencia de estas expresiones debemos tener presente y

garantizar que el radicando sea positivo sólo en caso de índice par.

Precisamos el conjunto de existencia de cada expresión dada como ejemplo:

1] 5 –x 0 , 5 x , x 5 E = ( - ; 5 ]

2] x + 6 0 x 0 x-1 R ,, , x -6 x 0 E = [ -6 ; + )

3] x- 1 0 x –10 0 , x 1 x 10 , 1 x 10 E = ( 1 ; 10 )

4] x = 0 -7 - x 0 , x= 0 -7 x , x = 0 x -7 E = ( - ; -7 ] { 0 }

64

ooo ttt rrr ooo sss eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss

1] 1x

2x

2] 1

1x

2x

condición: 01x

2x

condición: 01

1x

2x

( x + 2 0 x – 1 0 ) ( x +2 0 x-1 0 ) 01x

1x2x

( x -2 x 1 ) ( x -2 x 1 ) 01x

3

x 1 x -2 x -1 0

x (- ; -2 ] (1;+) x 1

Por lo tanto E = (- ; -2 ] (1; + ) E = ( 1; + )

3] 1x 4] 1x

1

01x E = R 01x E = R – { -1}

5] 13x

2x

6]

1x

1

013x

2x

, 1

3x

2x

01x

E = R – {3} E = R –{ -1}

7] 6 13x

2x

, 1

3x

2x

0 , 1

3x

2x

E = { } =

Propiedad distributiva de la radicación de índice natural,

según la paridad, con respecto a la multiplicación :

nb.a = n

a . nb , solo si n es natural impar

n|b.a| = n

|a| . n|b| , solo si n es natural par ooo bbb sss eee rrr vvv eee

)36).(144( = 72

Se muestra un ejemplo desarrollado de una expresión )144( . )36(

aritmética radical simplificada, en donde utilizamos la pro- Esto es un error en R

piedad distributiva :

75600 = 7.5.5.3.3.3.2.2.2.2 = 7.5.3.3.2.22222 =

= 7.35.3.2.2 = 22

22

23

25 7.3 =

= 2.2.3.5. 7.3 = 21.60 ,así 75600 = 21.60

65

Extracción de factores de un radical.

Cuando el radicando tiene factores que son potencias de exponente igual al índice natural ( n )

del radical se puede simplificar la expresión, por el empleo de propiedades que detallamos según

que n sea natural par o impar :

n es natural par , a R y b R+ :. n n

b.a = nn nb.a = n b.|a|

n es natural impar , a R y b R : n nb.a = nn n

b.a = n b.a

ejercicios

1 Simplificar cada una de las siguientes expresiones radicales aritméticas:

1-1] 24563 1-2] 325

38

2

5 1-3]

10

9

8

5

2 Complete los cuadrados con el signo + ó - que corresponda de forma tal que las

siguientes igualdades sean verdaderas .

a] 24 150 294 216 54 = 6

b] 252 45 175 125 63 320 112 = 7.10

Racionalización de divisores o dividendos radicales

El procedimiento mediante el cual se logra que el divisor o el dividendo de una expresión irracional

sea racional se llama racionalización. Damos ejemplos de los dos casos más usuales:


Caso 1 ) Divisor o (dividendo) radical, ejemplo : 3

2. Para racionalizar el divisor

(o dividendo) debemos tener presente la propiedad :

Si ( n es natural par y a 0 ) o ( n natural impar y a R ) :.

n a . n 1na

= n n

a = a

66

Procedemos así:

3

2 =

3

2 . 1 =

3

32

3

3.

3

2

En caso de tener una expresión irracional algebraica: 5 x

3 , de condición x R - {0}

5 x

3 . 1 =

5 x

3

5 4

5 4

x

x =

5 5

5 4

x

x.3 =

x

x.3 5 4

Caso 2 ) Divisor (o dividendo) como suma o diferencia de dos términos: uno radical cuadrático

(de índice 2 ) o ambos , como por ejemplo 35

4

ó

25

2

. Para racionalizar, consideramos

diferencia de cuadrados:

Si a R+ b R

+ entonces a - b = ba . ba

Racionalizamos

el divisor radical :

35

4

=

35

4

. 1 =

35

35.

35

4

=

95

)35.(4

= )35(

Un ejemplo, algebraico, donde racionalizamos el dividendo radical: x

22x

con la condición x – 2 0 x 2 es decir el conjunto de existencia: E = [ 2 ; + )

x

22x =

x

22x . 1 =

x

22x .

22x

22x

=

)22x.(x

)2()2x(22

=

= )22x.(x

22x

=

)22x.(x

x

=

22x

1

ejercicio

Racionalice los divisores radicales en los ítem de 1] al 4] y en los restantes racionalice el

dividendo de las expresiones:

1] 2

21 2]

3x.2

x.2

3]

3 2x.7

2 4]

5 3)4x(

3

2x

2

5] 4u

2u

6]

h

3x23)hx(2

67


a] 143mzy

= m

1zy

43 = m

yzzy

222 = m

yzzy =

m

yzy

2

condición: y m -1

0 ( y R o m R

+ ) ( y R

o m R )

= m

yzy

2 = m.m

m.yzy

2 = 2

2

m

m.yzy =

|m|

m.yzy

2

b] m

zy43

= m

yyz2

= m

m.

m

yyz2

= m

myyz2

condición: y R o m R

+

c] 2

52

x243

zm128

= 55

227

z3

xm2 =

z.3

2.m.x.

z3

2

22

3

= z.3

2

z.9

|m|.|x|.8

2

condición: z R x R – { 0 }

= z3

z3.

z3

2

z9

mz8

2 =

z3

z6.

z9

mz8

2 =

3z27

z.6.mz8

ejercicios

1 Indique el conjunto de existencia de cada expresión y determine si los pares de expresiones

algebraicas son equivalentes (representan el mismo número) .

a] x - y6 ( x- y

3 ).( x + y

3 ) c] ( x – y )

2 x

2 - y

b] yx x + y d] yx

1

y

1

x

1

e] yx

1

yx

yx

2 Simplifique y racionalice de ser posible. Indique previamente las condiciones sobre las

indeterminadas:

2-1] 6

24

x9

yx2 2-2]

yx9

1

2 2-3] 3

43yx54

8 2-4] 5

3

711

yx

yx32

2-5] 5

32

c

ba 2-6]

m

bz32

2-7] 337yx10.x5 2-8]

323

41

z

y.x:

z

y.x

68

En las expresiones consideradas hasta el momento la indeterminada estaba afectada por operacio-

nes algebraicas (adición, sustracción, multiplicación, potenciación y radicación). Podríamos deno-

minar trascendentes a aquellas donde intervienen otras “operaciones”, además de las algebraicas.

Dicha calificación es más apropiada al referirnos a ecuaciones (que más adelante estudiaremos).El

nombre de trascendente fue utilizado por primera vez por Leonardo Euler al hablar de números

que no son raíces de polinomios, según estableció, “trascienden el poder de los métodos algebrai-

cos”.

EEExxxppprrreeesssiiiooonnneeesss tttrrraaasssccceeennndddeeennnttteeesss (((lllooogggaaarrrííítttmmmiiicccaaasss,,, tttrrriiigggooonnnooommmééétttrrriiicccaaasss ooo eeexxxpppooonnneeennnccciiiaaallleeesss)))

En estas intervienen los logaritmos , la trigonometría o expresiones (ya tratadas) como expo-

nentes sobre x :

Logaritmación

Sea b 0 , b 1 , a 0 existe un número real c

denominado logaritmo en base b de argumento a .

eee jjj ...

log b a = c entonces bc = a log2 8192 = 13

log5 8125 = 7 log10 1000000 = 6

Propiedades log3 (1/81) = -4

Siempre que b 0 b1 x.y R – { 0 } Comprueba los resultados.

( x 0 y 0 )

log b b = 1 log1212 =1 ,porque 121 = 12

log b 1 = 0 log34 1 =0 ,porque 340 = 1

log b b n

= n log9 98 =8 ,porque 9

8 = 9

8

ablog

b = a a 0 100

10 10log = 100

revise el cálculo .

log b | x . y | = log b | x | + log b | y |

Demostración:

log b | x | = m , log b | y | = n

bm

= | x | y bn

= | y | por definición de logaritmo

| x.y | = bn . b

m = b

n + m 0 multiplicamos los números

|x| e |y|

log b | x.y | = log b b n + m

aplicamos logaritmo

log b | x.y | = n + m por propiedad 3

69

log b | x.y |= log b | x | + log b | y |

Si se tiene log b ( x . y ) donde x . y 0 ( positivo ),

b 0 y b 1 , es decir (x 0 y 0) (x 0 y 0)

sería un error plantear:

log b ( x.y ) = log b x + log b y log3 ( (-27).(-9) ) = = log3 (-27) + log3 (-9)

lo correcto , es :

ERROR

log b ( x.y ) = log b | x | + log b | y |

log b y

x = log b | x | - log b | y | log3

27

243

log3 (-243) - log 3 (-27)

Cuidado no cometa este error

log b | x | p

= p . log b | x | ( p R) log7 49

3 =

log7 (49 . 49 . 49)= log7 49 + log7 49 + log7 49

3 . log7 49

Cambio de base

Para cualquier base b y n perteneciente a R+ - {1} ,

y para cualquier número positivo m .

Demostración

eee jjj ...

Si x = log b m L = log16 8192

bx = m 16L = 8192

log n bx = log n m log2

16

L = log2 8192

x . log n b = log n m L . log2 16 = log2 8192

x = blog

mlog

n

n L = 16log

8192log

2

2 = 4

13

log b m = blog

mlog

n

n L = log16 8192 = 4

13

70

Logaritmos decimales y naturales

John NAPIER , a fines del siglo XVI, desarrolló un método para encontrar potencias para

incrementos muy pequeños. Con lo cual determinó potencias sucesivas de números muy próximos

a 1. Así, desarrolló tablas de exponentes utilizando multiplicaciones repetidas. Fue un proceso te-

dioso, pero con él creó un sistema que fue, aunque impreciso, la base para los logaritmos tal como

los conocemos hoy. Al quedar entusiasmado Henry BRIGGS, comenzó a trabajar junto a Napier,

y extendieron los logaritmos a la base 10 (logaritmo decimal) El primero muere y Briggs concluyó

el trabajo desarrollando la tabla de logaritmos decimales.

Utilizaremos el símbolo log para reemplazar por log 10, y referirnos al logaritmo decimal.

Se define, por razones más allá de nuestro alcance de explicar, un logaritmo cuya base es un

número irracional de notación e, este número con sólo diez cifras decimales es 2,7182818285...

y los logaritmos se denominan naturales o neperianos.

Reemplazaremos a log e por el símbolo ln , para referirnos al logaritmo natural que

corresponde al área de la siguiente superficie limitada superiormente por la línea curva de pun-

tos de la forma ( x , 1 / x ), si x 1 .

1 x

Ambos logaritmos el decimal y el natural se encuentran tabulados en cualquier calculadora

científica.

ejercicios

1 Exprese como un único logaritmo y luego calcúlelo.

1-1] 2 log 5 + 3 log 4 - 4 log 2

1-2] log 2 3

40 + log 2

5

6

y

y = 1 / x

El área de la superficie

sombreada es:

ln x

71

2 Exprese como un único logaritmo y de ser posible simplifique, a R+ - {1} y es constante.

Determine el conjunto de existencia (correspondiente a la variable x ).

2-1] 3

2 log a x -

2

1 log a

3 x 2-2] log a

x

a - log a x.a

2-3] log a ( x2 – 4 ) - log a ( x – 2 ) 2-4] log a x

2 - 2 log x

3 ¿ Son iguales los siguientes logaritmos ?, si se sabe que los argumentos de los logaritmos cum

plen con las condiciones necesarias de existencia de la expresión .

5xxlog,

5

5xxlog

22

5

eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss Determinamos el conjunto de existencia de las expresiones trascendentes:

a] 2x + 3x , E = R f] ( 1/3)

-x + x

3 – 1/x , E = R – { 0 }

b] 3x – x

4 + x , E = R g] sen x + cos

2 x , E = R

c] log (x +3) – x2 + 1 , E = (-3, )

pues x + 3 0

x -3

d] log 5 x – 1 2 - 3x h] 3x)2x3(log4

4x2

5x - 1 0 5x – 1 1 x + 3 0 3x –2 0 x2 – 4 0 x

2 - 4 1

x 1/5 x 2/5 x -3 x 2/3 x2 4 x

2 5

x 1/5 x 2/5 x 2/3 ( x -2 x 2 ) x2 5

x 2 x 5 x - 5

E = ( 1/5, 2/5) (2/5,+ ) E = ( 2 ; 5 ) ( 5 ; + )

e] sen x + tg x i ] 3x68xln2

Recuerde que tg x = xcos

xsen 6 - x 0 3 8x 0

x 6 x + 8 0

E = { x / x R cos x 0 } x 6 x - 8

= { x / x R x ½ + k k Z }

E = ( - 8 ; 6 ]

72

ejercicios

1 Dadas las siguientes expresiones algebraicas (trascendentes), halle el conjunto de existencia

a] 3log.21x

e] )2xlog(2

1

b] )1xlog()3xlog( f] )1xlog()3xlog(2

c] )3x(log)1x(log 2x)2x( g] )3x(log

)4xlog(

1x

2

d] )2

1x

4

7x(log

22 h]

x31

1

i] xlog

1

3

j] 3x

2x

5

k] 3x

1x

l] log 3x

1x

ll] sen x . cos x m] sen x . tg x . cotg x

n] tg x . x

1 ñ]

2x

xsen

o]

x2

1

6x

1

2 Racionalice los divisores de las siguientes expresiones correspondientes a cantidades, luego

simplifique :

2-1] La distancia entre capas de iones en un cristal de cloruro de sodio es 3

N2

M

, expresión

donde M es el peso molecular , N el número de Avogadro y la densidad .(6,023 .1023

es el

número de moléculas de un gas contenidas en 22,4 litros a 0°C y a 1 atm de presión)

2-2] Muchos instrumentos musicales son de cuerdas que vibran. La frecuencia de vibración f de

una cuerda de longitud L que está fija en ambos extremos, y vibra en su modo fundamental es:

T.

L2

1 ,si es la masa por unidad de longitud y T la tensión de la cuerda.

2-3 ] La resistencia equivalente R de dos resistores, de resistencias R1 y R2 , conectados

en paralelo, se expresa por : 21

21

RR

R.R

,en un circuito dado R1 =

3x y R2 = x .

73

Se llama proposición al conjunto de símbolos o palabras que

expresan un pensamiento o juicio con sentido completo sujeto

a un valor lógico (de verdad o falsedad).

En matemática, y en este caso, los planteos o proposiciones

que utilizaremos se referirán a igualdades o desigualdades

numéricas reales. Para ello utilizaremos expresiones aritmé-

ticas.

2 + 4 2 . 3 2 . 8 – 5 = 1 + 2 . 5

4 . 7 – 8 > 32 – 3 . 4 - 92 + 3. 5 = (- 9)

2 + 3 . 5

El carácter lógico de las dos primeras proposiciones es la

verdad, en cambio el de las dos últimas es la falsedad .

eee jjj eee mmm ppp lll ooo iii llluuussstttrrraaatttiiivvvooo Determinemos la igualdad genérica entre el número de lados

(L) y el número de triángulos equiláteros yuxtapuestos (T)

correspondientes, observemos el siguiente esquema:

...

T 1 2 3 4 ...

L 3 5 7 9 ...

+ 2 +2 +2

Para:

1 triángulo los lados son 3 : 1 + 2 . 1

2 triángulos los lados son 5 : 1 + 2 . 2

T triángulos los lados son L = 1 + 2 .T

La igualdad planteada L = 1 + 2.T no es una proposición

pues carece de valor lógico ya que L y T son números

indeterminados ,la denominaremos proposición o enunciado

abierto , nosotros indicaremos igualdades o desigualdades

donde se hace uso de expresiones algebraicas.

En caso de que L sea el número de lados correspondientes

a T triángulos se transforma en una proposición verdadera

por ejemplo:

121 = 1 + 2 .60 , en caso contrario será una

proposición falsa :

121 = 1 + 2 .61

.

Proposiciones

compuestas:

Son aquellas formadas

por proposiciones sim-

ples ligadas por conec-

tivos lógicos:

, ,

(respectivamente:

y, o, entonces)

Sus correspondientes

valores lógicos según

las proposiciones sim-

ples p y q

(componentes)

p q pq pq pq

V V V V V

V F F V F

F V F V V

F F F F V

V: verdadero

F: falso

eee jjj 31 51-2 (V)

46 54+1 (V)

2-1-4 8+19 (V)

43-1 910 (F)

16-9 3=2-5 (V)

74

Te mostraremos los siguientes enunciados abiertos

[1] x2 – 4 = 0 [2] x

2 + 25 = 0

[3] x.(x-1) = x2 – x [4] (6x-12).(x+2) = 0

Ecuaciones

En adelante los enunciados abiertos que planteen la igualdad

de dos expresiones algebraicas (miembros) los denominaremos

ecuaciones algebraicas .

Conjunto de reemplazo

El conjunto de Reemplazo ( P ) de una ecuación es la

intersección de los conjuntos de existencia de los miembros

derecho e izquierdo de la ecuación (es decir de las expresiones

algebraicas) : P = E1 E2 .

La ecuación [3] se transforma en verdadera para todos los

valores de un conjunto infinito, en este caso R , por lo que

la llamaremos identidad en ese conjunto , en cambio las

ecuaciones [1] y [4] son condicionales pues se trans-

forman en verdaderas sólo para ciertos valores.

Conjunto solución

La mayor parte de las ecuaciones tiene asociado un conjunto,

de números o n-uplas de reales asignables a la o las indetermi-

nadas que las transforman en proposiciones verdaderas ( que

verifican la igualdad), éste se llama conjunto solución S

y cada elemento solución de la ecuación. Las restantes, como

la ecuación [2] del ejemplo, que nunca se transforma en verda-

dera su conjunto solución es el vacío S =

Ecuaciones equivalentes

Las ecuaciones [1] y [4] tienen el mismo conjunto solución

S = { 2 , -2 } , por ello se llamaran ecuaciones equivalentes.

NNN oootttaaa ::: Trabajaremos con ecuaciones de una sola indeterminada.

Ecuaciones polinómicas

Son aquellas cuyas miembros son polinomios, se clasifican

de acuerdo al mayor grado de los polinomios miembros.

-En [1] y [4] si a

la indeterminada x se

le asigna 2 ó –2 (sola-

mente) se obtiene una

proposición verdadera

-En [2] para cualquier

valor real asignable se

obtiene una proposición

falsa

-En [3] para cualquier

valor real asignable se

obtiene una proposición

verdadera

Miembro Miembro

izquierdo derecho

10x = 10x

1

E1 ={x/x R x 10}

{x/x R x 10}= E2

El conjunto de reemplazo es el intersección :

P ={ x/ x R x 10}

El conjunto de reempla-

zo de toda ecuación

polinómica lo forman to-

dos los números reales :

P = R

75

eee jjj eee mmm ppp lll ooo Una estación de servicio vendió de lunes a sábado 4260 litros

de nafta de alto octanaje. Ocasionalmente se observó que cada

día vendió 100 litros más que en la víspera. ¿ Cuántos litros de

este combustible vendió el día martes?

La gran mayoría de los problemas de resolución matemática

dan lugar a ecuaciones, no existe un único modelo para cada

tipo de situación de la vida cotidiana que pueda presentarse,

señalaremos pautas generales para resolverlos .

Elegimos una o varias letras para representar el o los nú-

meros indeterminados, es decir el o los datos desconocidos o

incógnitas, aquí por ej. m (litros de nafta vendida el martes)

Formalizamos el lenguaje coloquial en un enunciado abierto

teniendo en cuenta los datos del problema, y lo expresamos en

lenguaje simbólico, este caso la ecuación:

(m-100)+m+(m+100)+(m+200)+(m+300)+(m+400)+ 0 =4260

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo

Si se hace uso de las propiedades de uniformidad en la

igualdad de números reales, escritas en la columna derecha,

transformamos la ecuación inicial en nuevas ecuaciones equi-

valentes (más simples) que nos permitirán deducir el

conjunto solución (lo que llamaremos resolver la ecuación).

7.m + 900 = 4260 ecuación polinómica de primer grado

7.m + 900 – 900 = 4260 - 900

7.m = 3360

7.m / 7 = 3360 / 7

m = 480 ecuación equivalente a la inicial

La última ecuación nos indica claramente que si m es el

número 480 , la proposición es verdadera . Y así todas las

anteriores, pues comparten el mismo valor lógico.

Antes de dar la respuesta al problema planteado, si fuese

posible, comprobamos si satisface el enunciado.

(480 -100)+480+(480+100)+(480+200)+(480+300)+(480+400)

ó 7.480 + 900 es 4260

Luego por último la respuesta: el día martes la estación

vendió 480 litros de nafta de alto octanaje.

Propiedades

de uniformidad

a = b

entonces

a + c = b + c

a – c = b - c

a . c = b . c

y con c0 :

c

a =

c

b

Con estas propiedades

( de sentido común )

transformamos una

ecuación en otras

equivalentes hasta

obtener una sencilla

que nos permitirá

deducir el conjunto

solución .

76


Analizamos que valores reales debemos asignarle a k (cons-

tante) para que el conjunto solución de la ecuación de indeter-

minada x : (k - 1) x + 5 = 3 x - k sea :

a] finito , b] infinito y c] vacío

(k - 1) x + 5 = 3x - k

(k - 1) x = 3x - k - 5

(k - 1) x - 3x = -k - 5

(k - 1 - 3) x = -k - 5

(k - 4) x = -k - 5

En este momento debemos analizar, independientemente, el

valor de k tal que el factor k-4 y el segundo miembro –k-5

sean cero :

k - 4 = 0 k =4

-k – 5 = 0 -k = 5 k = 5

Entonces :

Si k = 4 0 . x = 4 – 5 = -1 , S =

Si k = -5 1 . x = 5 –5 = 0 , S = { 0 }

Si ( k 4 k -5 ) (k-4)x = -k - 5

x =4k

5k

, S ={

4k

5k

}

Rta.

a] el conjunto solución es finito si k 4

b] el conjunto solución nunca es infinito.

c] el conjunto solución es vacío si k = 4

ejercicios

Analice que valor real es k tal que el conjunto solución sea:

a] finito , b] infinito y c] vacío

(k + 2) x + k - 2 = k2 + k - 6

-k x + (k + 6) x = -1 + k2

(k2 +k) x - k =

3

1 -

261

87

Ecuaciones de

análisis

x : incógnita

1] 0.x = b , b0

ningún número multipli-

do por cero es un número

distinto de cero

entonces:

S =

2] 0.x = 0 ,cualquier

número real al multipli-

carlo por cero su pro-

ducto es cero

S = R

3] a.x = b , a0,

determinamos la ecuación

equivalente:

x = - b/a

S = { -b/a }

77

Método sugerido

Proponemos un método de resolución de ecuaciones polinómi-

cas el cual será útil conocerlo.

Éste se basa en el conocimiento previo de la factorización po-

linómica según sus raíces reales.

Dado una ecuación polinómica o equivalente llevada a la

forma:

p(x) = 0

Si no tiene raíces reales, el conjunto solución: S =

Si tiene raíces reales factorizamos en factores(de raíces reales)

p(x) = (x-c1) .(x-c2) . … . t(x) = 0

Como sabemos un producto de factores es cero si algunos o

todos sus factores son cero:

x – c1 = 0 . . . x - c2 = 0

x = c1 . . . x = c2

Las raíces reales del polinomio son soluciones de la ecuación

polinómica, de S = { c1 , c2 , . . . }

EEccuuaacciioonneess ppoolliinnóómmiiccaass ddee pprriimmeerr ggrraaddoo

Cuadrado mágico algebraico: La construcción de cuadrados

mágicos es un pasatiempo antiquísimo, que se remonta a la

antigua China, el mismo consiste en un cuadrado tal que al

sumar todas las filas, columnas y diagonales se obtiene el

mismo resultado.

3.(1+2.x) 3 - x 4(x+1)-1

3 + x 3.(x+1) -2 + 5.(1+x)

2+(1+2x) 3 + 7x 3

Este cuadrado mágico tiene la característica de tener un con-

junto infinito de soluciones (una para cada número mágico que

se elija).

eeejjjeeemmmppp lllooosss :::

x6 + 4x

4 + 2x

2 + 8 = 0

S =

3

1x

3-

3

8x +

3

5x

2 – 4 = 0

3

1(x-2)(x+1)(x+6)=0

x-2 = 0 x+1=0 x +6=0

x = 2 x = -1 x = -6

S = { 2 , -1 , -6 }

2x + 2 2 x2 +x

3 =0

x (x- 2 ) (x- 2 )=0

x = 0 x = 2

S = { 0 , 2 }

78

1. Comprobaremos que se trata de un cuadrado mágico

Todas las líneas suman 9 x + 9 (compruébelo) .

2. Si el número mágico de este cuadrado es 36 ¿ qué valor

toma la indeterminada?

9 x + 9 = 36

9 x = 27

x = 3 x es 3 .

Resuelva lo siguiente :

3. ¿ Y si es 12, el número mágico? .

4. Si la indeterminada es 2, escribe el cuadrado mágico

numérico correspondiente y halla su número mágico.

Complete el cuadrado de

forma tal que sea

mágico:

3 – 4

3 - 7

3

– 1 3

-2 3

– 3 3

3

3 8 3

– 6 3

- 5

ejercicios

1

El costo de tres artículos es $ 6 , $ 4 y $ 7 respectivamente. Se realizó a compra de los

tres tipos de artículos, igualdad cantidad del más caro y del más económico, y 5 unidades del

otro. Se abonó con un billete $ 100 y uno de $ 50 y se recibió de vuelto $ 13, ¿qué cantidad de

cada artículo se compro?

2

Por hacerme socio de un club debo pagar $ 50 de inscripción y $ 5 por día para acceder a la

pileta, en cambio si voy como acompañante sólo deberé pagar $ 7 por día para asentir a la

misma.¿Cuántos días debo concurrir al menos para que sea más conveniente pagar la inscripción?

3 La medida , de la amplitud de un ángulo, es el doble que la medida ; y además la mayor

es la mitad, de la menor aumentada en 120 (unidades) ¿ Cuál es la medida menor ?

79

4

Si se gastó la cuarta parte de un rollo de tela, y luego la sexta parte de lo que quedaba y aún que-

dan 30 (m) ¿ cuántos metros de tela había en el rollo?

5

Calcule el perímetro de un triángulo sabiendo que la medida de la longitud de sus lados son nú-

meros naturales pares consecutivos y que la suma entre la menor y la mayor es 32 (cm).

6

La suma de cuatro números es 99. El mayor es el cuádruplo del menor. Los dos intermedios son

iguales al triple del menor ¿Cuáles son esos números?.

7

Se ha obtenido 80, 78, y 81 puntos en tres exámenes parciales, ¿cuál es la puntuación mínima

que se debe obtener en un cuarto parcial si para ingresar deberá tener de promedio 80?

8

La medida , de la amplitud de un ángulo, es cinco veces la medida y es 5 (unidades)

menor que .Halle la amplitud de cada ángulo si estos son los interiores de un triángulo.

9

¿ Cuanto ácido puro deberá agregarse a 10 (cm3) de una solución al 60 % de ácido para que

ésta se convierta en una solución al 90 % ?

10

Determine la ecuación que relaciona las

medida de la temperatura en grados Celsius

(C) y la correspondiente medida en grados

Fahrenheit ( F ) .

La escala de temperatura que se utiliza aún

en algunos países de habla inglesa es la inven-

tada por G.Robert Fahrenheit , luego modi-

ficada por Anders Celsius.

Una persona tuvo gripe. Su temperatura

alcanzo los 104 F.¿A cuánto equivale en la

escala Celsius (centígrados) ?

Punto de

100 ebullición 212

del agua

100 Temperatura 180

25 ambiente 77

Punto de

congelación

0 del agua 32

CELSIUS FAHRENHEIT

80

11

El triángulo isósceles que representa el frontispicio y la 3 x + 19

longitud de sus lados ( en metros ) es la indicada a la

derecha : 10 x - 24

12

Dadas las siguientes ecuaciones (generalizadas) determina el número indeterminado x según

los números a y m 0 constantes :

12-1] m3

6x2 +

m

a62 =

m2

ax3 -

m

)ax.(4

12-2] 2

7x8 -

3

)8x.(2 =

2

3x - 6

12-3] m3

xa2 -

m6

xa9 =

m3

x4 +

m2

xa

12-4] 2

ax3 +

3

x5a =

4

)xa2.(5 + 5

13

Por estar al final de la temporada invernal se anuncia que los precios de lista de las prendas de

lana han sufrido un descuento del 15% . ¿Cuál era el precio de lista de un saco que se vende a $ 89?

14

Si una impresora tarda en completar un documento 3 horas, mientras que otra hace el mismo

trabajo en 2 horas , ¿ cuánto tiempo transcurrirá si funcionan simultáneamente ?

15

¿ A qué hora entre las nueve y las ocho horas las

agujas , minutera y horaria ,del reloj forman un ángulo

nulo ?

(Es decir coinciden)

El dibujo reproduce el Templo de la Diosa Hera, en la

Isla griega de Samos, lugar de origen de Pitágoras. Es

el mayor de su época, construcción que comienza en el

año 530 A. C. Hoy sobrevive sólo una columna del

majestuoso templo .

Calcule la longitud de los lados del frontispicio de

perímetro 244,4 (m)

81

EEccuuaacciioonneess ppoolliinnóómmiiccaass ddee sseegguunnddoo ggrraaddoo.

Si al reducir o no una ecuación original a otra más sencilla

(equivalente) se obtiene una de la forma:

a.x2 + b.x + c = 0 , con a 0 , b y c constantes reales

Diremos que la ecuación resultante es una ecuación de

segundo grado conocida también como ecuación cuadrática.

Una hoja de cartón tiene un largo igual al doble de su ancho,

en cada esquina se cortan cuadrados de 2 cm de lado y los ex-

tremos se doblan hacia arriba para formar una caja.

¿ Cuáles son las dimensiones de la lámina si el volumen que

se obtiene al armar una caja de 480 cm3?

2

2

a-4 a

2a - 4

2a

Sabemos que el volumen de un prisma es el producto del área

de la base rectangular: (2a – 4).(a-2), y la altura 2 por lo tanto:

(2a – 4) . (a-4) . 2 = 480 Volumen de la caja.

(2 a2 – 8 a –4 a + 16 ). 2 = 480 (2 a2 – 12 a + 16 ). 2 = 480 4 a2 – 24 a + 32 = 480 4 a2 – 24 a + 32 - 480 = 0 4 a2 – 24 a - 448 = 0 a2 – 6 a - 112 = 0 1.(a- 14).(a+8) = 0

a – 14 = 0 a + 8 = 0

a = 14 a = - 8 Despreciamos el valor negativo, a-4

pues la longitud es positiva. 2a-4

2.14-4 = 24 14-4 =10

Las dimensiones de la caja son 24, 10 y 2 (largo, ancho y alto)

ejercicios

1 Tres números enteros

pares consecutivos son tales

que el cuadrado del tercero

es 76 unidades más que el

cuadrado del segundo,

obtenga los tres números .

2

En el solarium del club

cuya área es de 1120 m2, se

ha construido un quincho de

11 m de largo por 8 m de

ancho , si el piso alrededor

del quincho tiene un ancho

constante,¿cuál es ese ancho?

3

La base de un triángulo

es 10 cm menor que su

altura. El área es de 36 cm2.

Calcule las longitudes de la

base y la altura.

82

x-7 x

5

En un circuito, la potencia P (medida en watts) se obtiene usando corriente I (en amperes: A),

tensión E (en volts:V) y resistencia R (en ohms), según la ecuación P = R . I 2 + E . I .

Si la potencia es de 18000 watt , la resistencia es de 10 y la tensión de 510 V, determine la

corriente (medida en amperes).

6

Dados cinco triángulos equiláteros que forman la figura dibujada de área 5 . 3 (cm2) .

Halle su perímetro .

7

Dado el siguiente cuadrado mágico

Se pide :

Escriba la suma de las ocho líneas del

cuadrado mágico.

Halle el valor de x para que sea cuadrado mágico.

4

Para sostener un cartel en el techo de un edificio se di-

seña un soporte de forma de triángulo rectángulo, como

indica la figura , uno de los parantes es 7 m menos que

el otro y la base que se colocará en la terraza es de 13 m

de altura, ¿cuáles son las longitudes de las vigas ?

4( x + 1) x

2 2x + 4

4x2- 1 2x + 3 4x + 3

(x + 1) 2 ( x + 2)

2 (x + 1)

2 - 2

83

Utilice la suma de la tercera línea horizontal igualada a otra cualquiera obteniendo una

ecuación, resuélvala y compruebe que uno de los valores que la hacen verdadera (satisface)

es el encontrado en el punto 2.

Por último escriba el cuadrado numérico correspondiente al ítem anterior.

8

Se colocan en un estanque 150 truchas con el objeto de estudiar su reproducción, a pesar de

los cuidados la población comienza a disminuir .La expresión - t4 + 19 t

2 + 150 indica la

cantidad de ejemplares al cabo de t años, desde el momento que son colocadas en el estanque,

¿ cuánto tiempo transcurre para que desaparezca la población? .

9

Se desea enmarcar una lámina rectangular de 26 cm de ancho por 48 cm de largo, con un

marco de madera barnizada de ancho uniforme x (cm) , si el área total enmarcada es de 1995 cm2

¿cuál es el área del marco?

10

Al hacer una estadística sobre la importación y exportación de un cierto producto se obtuvieron

las siguientes expresiones que representan cada una de ella: importación: - 1/5 x2 + 7000000

exportación: 2/25 x2 , ( x es la cantidad de unidades de ese producto) . ¿ Cuántos productos

deberían comercializarse para que el déficit fuese cero?

11

11-1] Desarrolle ( x – y ).( x2 + x y + y

2 )

11-2] Calcule dos números si se sabe que su diferencia 65 y la diferencia de sus cubos es 647855

12

Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde el techo de un edificio de 30 m de altura,

dicha altura , tomando como referencia el nivel del piso ,esta en función del tiempo t (medido en

segundos) y la velocidad inicial de la piedra de 5 m/s .Por lo tanto la altura queda indicada por

- 5 t 2 + 5 t + 30 . ¿Cuánto tiempo tardará la piedra en regresar al techo? ; si continuara su des-

censo, ¿cuánto tiempo tarda desde que es lanzada hasta tocar el suelo ?

84

EEccuuaacciioonneess ppoolliinnóómmiiccaass ddee tteerrcceerr ggrraaddoo

Resolver ecuaciones polinómicas de grado superior a dos, suele ser la mayoría de las veces un tanto

dificultoso, existen métodos especiales para ello, como por ejemplo el método de Cardano (para las

de tercer grado), y otros que se estudian en niveles superiores. Nosotros nos remitiremos a las

ecuaciones más sencillas donde emplearemos para hacerlo los conceptos estudiados en la unidad

anterior.

eee jjj eee mmm ppp lll ooo Resolvemos:

x3 – 2 x

2 – 5x + 6 = 0

Factorizamos el primer miembro, para ello es necesario

recordar el teorema de Gauss y deducir las raíces.

El conjunto de los divisores del término independiente

A = { -1 , 1 , -2 , 2 , -3 , 3 , -6 , 6 }

eeejjjeeemmmppp lllooosss ccc ooommmppp llleeemmm eeennntttaaarrriiiooosss

Dado que el polinomio del primer miembro es mónico (1),

entonces los elementos del conjunto A serán las posibles

raíces del mismo y por lo tanto las posibles soluciones de la

ecuación.

1x

6x5x2x

4

23

= 0

Teniendo en cuenta el teorema del Resto (o teorema del

residuo) , si especializamos el polinomio en alguna de sus como x4 + 1 0

raíces su valor aritmético será 0. con mayor precisión

x4 + 1 1

p(1) = (1)3 – 2 (1)2 – 5 1 + 6 = 0 la ecuación equivalente es:

x3 – 2 x

2 – 5x + 6 = 0

Si l es raíz del polinomio x3 – 2 x

2 – 5x + 6 , éste

es divisible por el polinomio x – 1

Efectuamos la división mediante la regla de Ruffini

6x5x2x23 = 0

1 - 2 - 5 6 a = 0 sí y sólo si a = 0

1 - 1 - 1 - 6 Por eso la ecuación se reduce a:

1 - 1 - 6 0

x3 – 2 x

2 – 5x + 6 = 0

Por lo tanto: x3 – 2 x

2 –5x + 6 = ( x – 1) . ( x

2 – x – 6)

85

Queda por investigar si el polinomio cociente , posee otra

raíz deducida por el teorema de Gauss o bien si el polino-

mio es de segundo grado, estamos en condiciones de

conocer sus raíces por la fórmula resolvente .

3x4

- 6 x3 –15 x

2 +18 x = 0

Finalmente factorizado el primer miembro, polinómico, factorizamos:

de la ecuación : 3 x ( x3 – 2 x

2 –5x + 6 ) = 0

( x – 3 ) ( x – 1 ) ( x + 2 ) = 0 3 x (x – 3) (x – 1) (x + 2) = 0

y deducimos con facilidad el conjunto solución,

x – 3 = 0 x - 1 = 0 x + 2 = 0

x = 3 x = 1 x = -2

S = { 3 , 1 , -2 } , este conjunto pudo determi-

narse gracias a que conocemos una raíz del polinomio.

Hallamos el conjunto solución asociado a otro interesante ejemplo de ecuación cúbica ( x es el

número indeterminado y m es constante)

m x3 – ( m

2 + m + 1 ) x

2 + ( m

2 + m + 1 ) x – m = 0

Algunos escalares del conjunto de los divisores del término independiente son :1, -1, m, -m ;

números que también son divisores del coeficiente principal .

Así las posibles raíces: 1 , -1 ; ¿ al efectuar la división de m

m fue necesario tener en cuenta la

posibilidad de que m sea igual a 0 ?.

Rta : no pues si m es 0 la ecuación no sería cúbica como lo menciona el enunciado.

Comprobamos si 1 es raíz del polinomio m x3 – ( m

2 + m + 1 ) x

2 + ( m

2 + m + 1 ) x – m

m (1)3 – (m

2 + m + 1) (1)

2 + (m

2 + m +1) 1 – m =

= m – m2 – m – 1 + m

2 + m + 1 – m = 0

1 es raíz del polinomio, por lo tanto m x3 – ( m

2 + m + 1 ) x

2 + ( m

2 + m + 1 ) x – m

es divisible por x – 1.

m -m2 - m - 1 m

2 + m +1 -m

1 m - m2 – 1 m

m - m2 – 1 m 0

Por lo tanto

m x3 – ( m

2 + m + 1 ) x

2 + ( m

2 + m + 1 ) x – m = (x - 1) (m x

2 - (m

2 + 1) x + m)

Aplicando la fórmula resolvente hallamos las raíces o la raíz del polinomio cociente de segundo

grado.

( x - 1 ) ( x - m) (x – 1/m ) m = 0

( x – 1 ) ( x – m) ( x - 1/m ) = 0

x – 1 = 0 x - m = 0 x - 1/m = 0

x = 1 x = m x = 1/m

Conjunto solución asociado a la ecuación es : S ={ 1, m, 1/m } , con m 0

86

ejercicio

Indique con flechas la correspondencia entre cada ecuación y sus soluciones.

a] x3 - 4x

2 - 7x + 10 = 0 La suma de las soluciones es 11

b] -2x3 + 4x

2 + 80x + 128 = 0 El doble de la suma de las

soluciones es 8

c] 3x3 - 33x

2 + 72x = 0 El producto de dos de las soluciones

es la tercera solución .


Hallamos el volumen de cada cilindro circular recto si se sabe que tienen la misma altura, y esta es

dos centímetros mayor que el diámetro de la base menor (ver figura), y la suma de los volúmenes

es 104 (cm3).

S = r 2 h + R

2 h

104 = ( ½ x )

2 (x + 2 ) + ( 6 – ½ x )

2 (x+2)

104 = ¼ x3 + ½ x

2 + ( 36 + ¼ x

2 – 6x) ( x + 2 )

104 = ¼ x3 +½ x

2 +36 x+ ¼ x

3 – 6x

2 +72 + ½ x

2 -12x

104 = ½ x3 - 5 x

2 + 24 x +72

208 = x3 – 10 x

2 + 48 x + 144

0 = x3 – 10 x

2 + 48 x – 64

Buscamos posibles raíces racionales positivas: 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 ó 64 (por teorema de

Gauss) , se comprueba que 2 es raíz del polinomio , segundo miembro de la ecuación .

Aplicamos regla de Ruffini:

1 - 10 48 - 64

2 2 - 16 64

1 - 8 32 0

entonces ( x3 – 10 x

2 + 48 x – 64 ) = (x - 2) ( x

2 - 8 x + 32)

Faltaría investigar, con el discriminante, si el polinomio cociente tiene raíces reales o es primo:

(-8)2 – 4 .1 . 32 = -64 < 0 , discriminante negativo no tiene raíces reales es primo o irreductible.

(x - 2) . ( x2

- 8 x + 32) = 0

x – 2 = 0 x2 – 8x + 32 0

x = 2 S = { 2 }

12

x+2

12 - x

x

87

Debemos tener en cuenta la situación problemática que modeliza la ecuación, por eso determina-

mos el conjunto de validez. La altura de los cilindros es x+2 y el diámetro de cada cilindro x

y 12 – x , todas longitudes mayores a cero:

x + 2 0 12 –x 0 x 0

x -2 12 x x 0

x -2 x 12 x 0

0 x 12

V = ( 0 ; l2 ) = { x / x R 0 x 12 } ,intervalo de números reales

Como 2 S V , 2 es el número asignable a x y el volumen de cada cilindro es

( ½ 2 )

2 (2 + 2 ) = 4 y ( 6 – ½ 2 )

2 (2+2) = 100

EEccuuaacciioonneess ppoolliinnóómmiiccaass bbiiccuuaaddrrááttiiccaass (caso particular de ecuaciones de cuarto grado)

Vamos a estudiar un caso particular de las ecuaciones de cuarto grado llamadas ecuaciones

bicuadráticas, que son ecuaciones de la forma:

a . x4 + b . x

2 + c = 0

con a (no cero) , b y c constantes reales .

Para resolver este tipo de ecuaciones introduciremos un nuevo método al que llamaremos“cambio

de variable” que como veremos en el transcurso de la unidad resulta muy conveniente.

En este caso particular al efectuar el “cambio de variable” lograremos reducirla a una ecuación de

segundo grado.

ccc uuuaaatttrrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss Hallemos el conjunto solución de las siguientes ecuaciones

1] x4

- 9x2

+ 8 = 0 , hacemos un cambio de variable y convenimos que x

2 = u

x4 - 9x

2 + 8 = 0 x

2 = u

sustituímos en la primera ecuación x2:

u2 - 9u + 8 = 0 x

2 = u

(u - 8) (u - 1) = 0 x2 = u

( u = 8 u = 1 ) x2 = u

x2 = 8 x

2 = 1 , cuatro posibles soluciones

2

x = 8 2

x = 1

x = 8 x

= 1

x = 8 = 2.4 x

= - 8 x

= 1 x

= -1

x = 22 x

= - 22 x

= 1 x

= -1

Por lo tanto el conjunto solución es: S = { 1 , -1 , 22 , - 22 }

88

2] 5 x5 - 15 x

3 - 20 x = 0

, este es una ecuación polinómica de grado cinco

que al factorizar el primer miembro nos conduce a una ecuación bicuadrática

x5 - 3 x

3 - 4 x = 0

x ( x4 - 3 x

2 - 4 ) = 0

x = 0 x4

- 3x2

+ 4 = 0

( x = 0 x4

- 3x2

+ 4 = 0 ) x2 = u

( x = 0 u2 - 3u + 4 = 0 ) x

2 = u

( x = 0 (u-4) (u+1) = 0 ) x2 = u

( x = 0 u = 4 u = -1 ) x2 = u

x = 0 x2 = 4 x

2 = - 1

x = 0 2

x = 4 x R

x = 0 x = 2

x = 0 x = 2 x = - 2

S = { 0 , -2 , 2 }

3] x4

- 6 x2

+ 11 = 0

x4 - 6x

2 + 11 = 0 x

2 = u

u2 - 6u + 11 = 0 x

2 = u

( (-6)2 – 4 .1.11 = -8 0 u R ) x

2 = u

x R S = { }

4] x4

+ 5 x2

+ 9 = 0

Antes de comenzar el desarrollo de resolución podemos advertir que los dos términos son mayo-

res o iguales a cero y el tercero del primer miembro es positivo ( 9 ) .

así x ( x x4 0 5 x

3 0 )

x4 + 5 x

3 0

x4 + 5 x

2 + 9 0 + 9

x4 + 5 x

2 + 9 9 ,por lo que se deduce: S =

89

EEccuuaacciioonneess aallggeebbrraaiiccaass rraacciioonnaalleess (( ffrraacccciioonnaarriiaass ))

Es toda ecuación cuyos miembros responden a expresiones racionales.

Por ejemplo:

1x2

2x3

+

½)x(2

5

= 1

Importante en las ecuaciones racionales antes de resolverlas es fundamental determinar el

conjunto de reemplazo (debido a que la operación principal que vincula a los polinomios es la

división, habrá que excluir la o las raíces del polinomio divisor, pues éstas no son soluciones de

la ecuación).

eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss Resolvemos las siguientes ecuaciones:

1] 3x4x

2x3x2

2

= 0

3x4x

2x3x2

2

= 0 x

2 + 4x + 3 0 , divisor no cero

x2 + 3x + 2 = 0 (x + 1).(x + 3) 0 , aquí se deduce que : P = R – { -1 , -3}

(x + 1).(x + 2) = 0 x+1 0 x+3 0

( x = -1 x = -2 ) x -1 x 3

x = -2

entonces el conjunto solución : S = { -2 }

2] 5x

2

=

12x4

1

, el conjunto de reemplazo es P = R – {5 , 3}

2(4x - 12) = x – 5 x - 5 0 4x - 12 0 , ambos divisores no nulos

8 x – 24 = x – 5 x 5 4 x 12

7 x = 19 x 5 x 3

x = 19/7 x 5 x 3

S = { 19/7 }

ejercicio

Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones (que se reducen a ecuaciones cua-

dráticas):

1] 2x

5x

-

5x

2

=

10x7x

x2

2 2]

6x2

x

-

9x6x

3

2 =

9x3

2x

3] ax

1

+

cx

1

=

bx

1

, se sabe que la suma de las constantes distintas a , b y c es -3 ,y la

suma de los tres productos de factores distintos de estas constantes es -189.

¿ Qué números no son las constantes a , b y c ?

90

EEccuuaacciioonneess aallggeebbrraaiiccaass iirrrraacciioonnaalleess (( ccoonn rraaddiiccaalleess ))

Toda ecuación que en uno o ambos miembros poseen expresiones algebraicas irracionales

diremos que es una ecuación irracional.

Importante Al igual que las ecuaciones fraccionarias, antes de comenzar la resolución es

necesario tener presente el conjunto de reemplazo (no siempre todos los reales R ).


1] 2]

3 5x2 = 2 , aquí la radicación de índice 3 5x2 + 2 = 16

( o cualquier natural impar ) es posible en todos

los reales , por eso el conjunto de reemplazo es : 5x2 = 4 – 2

P = R 5x2 = 2 2x + 5 0

33 5x2 = 23

25x2 = 22 2x -5

2 x + 5 = 8 2x + 5 = 4 x -5/2

2 x = 3 , la radicación de índice 2 (o cualquier natural

par), aplicable sólo a subradicales o radican-

x = 3/2 S = { 3/2 } dos reales positivos o cero, por lo que el conjunto de reemplazo es: P = [ -5/2 ; + )

2x = 4 – 5 x -5/2

2x = -1 x -5/2

x = -1/2 x -5/2

S = { -1/2 }

3]

x25 - 2x3 = 0

x25 = 2x3

x25 = 2x3 5 + 2x 0 3x – 2 0

2x25 = 22x3 2x -5 3x 2

2x + 5 = 3x – 2 x -5/2 x 2/3

2x - 3x = - 2 – 5 x -5/2 x 2/3

-x = -7 x 2/3

x = 7 x 2/3

S = { 7 }

Sugerencia En este tipo de ecuaciones debemos proceder a determinar una ecuación

equivalente tal que en un miembro se encuentre el o los radicales y en el otro no haya ningún

radical . No olvidarse de analizar las restricciones necesarias para cada miembro para luego deter-

minar el conjunto de reemplazo como resultado de dicho análisis.

91

4] x = 5x +1

x – 1 = 5x , procedemos

como lo indicamos, el único radical es el miembro

derecho de la ecuación equivalente. Si la ecuación equivalente

x - 1 = 5x x + 5 0 x - 1 0 hubiese sido - x2 - 1 = 5x

(x - 1)2 = 25x x -5 x 1 se advierte que el miembro

izquierdo expresa un número

x2 – 2x +1 = x + 5 x 1 , P = [ 1 ; + ) negativo y el derecho es

positivo o cero, por lo que el

x2 – 3x – 4 = 0 x 1 conjunto solución es vacío.

(x - 4).(x + 1) = 0 x 1 S = { }

( x = 4 x = -1 ) x 1

x = 4

S = { 4 }

5] 2xx2 = 5 - x

2xx2 = 5 – x x

2 - x – 2 0 5 – x 0

2

22xx

= (5 - x)

2 (x + 1).(x - 2) 0 -x -5

x2 - x – 2 = 25 – 10 x + x

2 ( (x +1 0 x-2 0) (x+1 0 x-2 0) ) x 5

-x + 10 x = 25 + 2 ( (x -1 x 2) (x -1 x 2) ) x 5

9x = 27 ( x 2 x -1 ) x 5

x = 3 ( x 2 x -1 ) x 5

x = 3

S = { 3 }

6] x - 1x

1x

= x

- 1x

1x

= x - x x 0 x - 1 0

- 1x

1x

= 0 x 0 x 1

x + 1 = 0 x 0 x 1 , P = R o - { 1 }

x = -1 x 0 x 1

x R S = { } =

92

Recuerde que al modelizar mediante una ecuación cualquier situación problemática debe tener en

cuenta el conjunto de validez, además del conjunto de reemplazo y el conjunto solución.


La base de un mástil se ha construido como muestra la figura, si su volumen es 183 cm3 y la

expresión h/3 ( b + B + b.B ) nos permite calcular el volumen de la pirámide truncada de

bases cuadradas, donde b es el área de la base menor y B el área de la base mayor. Además se

sabe que la arista de una base es 4 cm , en la otra base la arista mide ( x – 2 ) cm y 9 cm la altura

del sólido , Hallamos el área de la base menor .

183 = 9/3 ( 16 + ( x - 2 )2 + 2

)2x.(16 ) , P = R

183 = 3 . ( 16 + ( x - 2)2 + 16 . 2

)2x( )

183 = 3 . ( 16 + (x-2)2 + 4.| x-2 | )

183 = 3 . ( 16 + | x - 2|2 + 4.| x - 2 | )

, consideramos |x - 2| = u

183 = 3 ( 16 + u2 + 4 u ) |x - 2| = u

61 = 16 + u2 + 4 u |x - 2| = u

0 = - 45 + u2 + 4 u |x - 2| = u

0 = (u + 9).(u - 5) |x - 2| = u

( u = - 9 u = 5 ) |x - 2| = u

|x - 2| = - 9 |x - 2| = 5

x R x - 2 = 5 x - 2 = - 5

x = 7 x = - 3

S = { -3 , 7 }

Para determinar el o las soluciones al problema concreto, debemos:

hallar conjunto de reemplazo de la ecuación.

determinar el conjunto de validez de la situación problemática.

Para garantizar una respuesta correcta, se sugiere, verifique que la o las soluciones pertenezcan a

ambos conjuntos.

Condiciones de validez del problema que estamos desarrollando:

x – 2 0 x –2 4 , pues x – 2 es la medida de la longitud de una arista y el lado de la

base, ¿ qué hipótesis contradecimos si x-2 fuese igual a 4 ? .

x 2 x 6

V = ( 2 ; + ) - { 6 }

Así 7 S V , el valor de x en este problema, por lo tanto el lado de una base mide 7 - 2,

es decir 5 , y el de la otra base 4 (medidas en cm) .

Respuesta. El área de la base cuadrada menor es 16 cm2.

93

EEccuuaacciioonneess ccoonn mmóódduulloo ((vvaalloorr aabbssoolluuttoo))

* Ecuaciones con módulo en un solo miembro , (con el número indeterminado en el argumento del

modulo o valor absoluto )


| x – 2 | = 16

x – 2 = 16 x – 2 = -16 , por consecuencia de la definición de módulo

x = 18 x = -14 , el conjunto solución es: S = { -14 , 18 }

** Ecuaciones con más de un módulo (con argumento indeterminado) . Al tener presente más de

un módulo en la ecuación podemos considerar tres posibilidades de análisis, para cada valor abso-

luto, que su argumento sea positivo , cero o negativo, cubriendo en el estudio todos los reales del

conjunto de reemplazo asociado .

.

eee jjj eee mmm ppp lll ooo | x – 2 | = | x – 5 |

| x – 2 | - | x – 5 | = 0 , claramente P = R

Consideraremos los valores de x que anulan el argumento de cada módulo: x - 2 = 0 x = 2

x - 5 = 0 x = 5

2 5

x

analizamos, primero por separado en cada parte (intervalo) o posibilidad del conjunto universal R,

la ecuación: | x – 2 | - | x – 5 | = 0

1) x 2 -(x - 2) - ( -(x - 5) ) = 0

- x + 2 + x - 5 = 0

0.x – 3 = 0

0.x = 3

2) 2 x 5 (x - 2) - ( -(x - 5) ) = 0

x - 2 + x – 5 = 0

2.x = 7

x = 7/2

3) 5 x (x - 2) - (x - 5) = 0

x - 2 – x + 5 = 0

0 . x + 3 = 0

0 . x = - 3

Todo el estudio desarrollado anteriormente lo escribimos en el siguiente enunciado abierto:

( x 2 0 . x = 3 ) ( 2 x 5 x = 7/2 ) ( 5 x 0 . x = -3 )

siempre falso siempre falso

x = 7/2

S = { 7/2}

94

*** Ecuaciones en las que no solamente el argumento es indeterminado.


1] | x – 3 | = 2 x + 1

Al analizar el planteo de la igualdad surge nuevas condiciones que calificaremos de implícitas

en esta ecuación:

| x – 3 | representa números positivos o cero ( 0) y 2 x + 1 cualquier real.

La condición implícita, para la cual tiene posibilidad de ser verdadera la igualdad planteada, es

que ambos números sean mayor o igual a cero de forma tal que lo predominante es : 2 x + 1 0 .

| x – 3 | = 2 x + 1 2 x + 1 0

( x – 3 = 2x + 1 x – 3 = -2x - 1 ) 2x + 1 0

( x = 2x + 4 x = -2 x +2 ) 2 x -1

( -x = 4 3x = 2 ) x -1/2

( x = - 4 x = 2/3 ) x -1/2

x = 2/3 ,observe que si nos olvidamos de considerar la

condición implícita, otra solución hubiese sido -4 y esto hubiese sido un error.

Comprobemos el posible error que hubiésemos cometido, por eso ¡ cuidado ! :

| -4 – 3 | ? 2 (-4) + 1

| – 7 | ? -8 + 1

7 -7

Concluímos e indicamos el conjunto solución : S = { 2/3 }

El otro método (camino) de resolución de la presente ecuación, donde uno no debe

preocuparse por haber olvidado condiciones implícitas que puedan surgir.

Consideraremos los valores de x para que el argumento de cada módulo sea positivo o cero:

x - 3 0 x 3

3 y en caso contrario es negativo.

x

analizamos, considerando cada parte (intervalo) o posibilidad del conjunto universal R:

| x – 3 | = 2 x + 1 , buscamos la ecuación equivalente de segundo miembro cero

| x – 3 | - 2 x - 1 = 0

( x 3 - (x - 3) – 2x – 1 = 0 ) ( x 3 (x - 3) – 2x –1 = 0 )

( x 3 - x – 2x +2 = 0 ) ( x 3 x – 2x – 4 = 0 )

( x 3 - 3x = -2 ) ( x 3 -x = 4 )

( x 3 x = 2/3 ) ( x 3 x = -4 )

x = 2/3 , la solución correcta.

95

2] | x – a | = x – a , ecuación genérica donde a constante real .

Mostramos las dos formas (o métodos) de determinar el conjunto solución:

Consideraremos los valores de x para que el argumento

del módulo sea positivo o cero : x - a 0 x a

en caso contrario es negativo . Debemos tener presente si se pre-

a senta alguna condición implícita.

x

Para este ejemplo el módulo

representa un positivo por lo que el

luego analizamos considerando cada parte ( intervalo ) o segundo miembro debe ser positivo.

posibilidad, según el signo del argumento, del conjunto de

reemplazo R: | x – a | = x - a x - a 0

| x – a | = x - a condición implícita

( x -a = x -a x -a = a - x ) x a

| x – a | - x + a = 0 ( 0 . x = 0 2 x = 2a ) x a

( 0 . x = 0 x = a ) x a

(x a - (x-a) –x +a = 0 ) ( x a (x-a) –x +a = 0) verdadero

( x a -2x +2a = 0 ) ( x a 0 . x = 0 ) x R x a

( x a x = a ) ( x a 0 . x = 0 ) x a

falso verdadero

x R x a

S = [ a ; + ) = { x / x R x a }

3]

| x2 + 4x - 5 | = ( x

2 + 4x -1 )

2 – 16

| x2 + 4x - 5 | = ( x

2 + 4x - 5 + 4 )

2 – 16

, practicamos un cambio de variable

| u | = ( u + 4 )2 – 16 x

2 + 4 x – 5 = u

Consideraremos los valores de u para que el argumento del módulo

sea positivo o cero : u 0 ,y en caso contrario negativo .

u

u

( u 0 -u = u2 + 8 u +16 –16 ) ( u 0 u = u

2 + 8 u +16 –16 )

( u 0 0 = u2 +9 u ) ( u 0 0 = u

2 +7 u )

( u 0 0 = u (u + 9) ) ( u 0 0 = u ( u + 7) )

( u 0 ( u = 0 u = -9 ) ) ( u 0 ( u = 0 u = -7 ) )

( u = -9 u = 0 ) x2 + 4 x – 5 = u

x2 + 4x – 5 = -9 x

2 + 4x – 5 = 0

x2 + 4x +4 = 0 (x + 5 ).(x - 1) = 0

(x + 2)2 = 0 x + 5 = 0 x - 1 = 0

x = -2 x = -5 x = 1 , S= { -2 , -5 , 1 }

96

4] | x + 1 | = 1x

1

+ 2 , P = R – { -1 }

| x + 1 | - 1x

1

- 2 = 0 , ecuación equivalente de segundo miembro cero.

Consideramos los valores de x para que el argumento del módulo sea positivo: x + 1 0

-1 x -1

x

, y en caso contrario negativo .

( x -1 - (x + 1) - 1x

1

- 2 = 0 ) ( x -1 (x + 1) –

1x

1

- 2 = 0 )

( x -1 1x

1

1x

)1x(2

-

1x

)1x(2

= 0 ) ( x -1

1x

1

1x

)1x(2

-

1x

)1x(2

= 0 )

( x -1 1x

)1x(21)1x2x(2

= 0 ) ( x -1

1x

)1x(21)1x2x(2

= 0 )

( x -1 1x

4x4x2

= 0 ) ( x -1

1x

2x2

= 0 )

( x -1 - x2 – 4x – 4 = 0 ) ( x -1 x

2 – 2 = 0 )

( x -1 -1 .(x +2)2 = 0 ) ( x -1 (x – 2 ).(x+ 2 ) = 0 )

( x -1 x = -2 ) ( x -1 ( x = 2 x = - 2 ) )

x = -2 x = 2

S = { -2 , 2 }

ejercicio

Determine el conjunto solución de cada ecuación:

1] 3x1x

2] 1x2

18x42x2

,sugerencia | a . b | = | a | . | b | ej.: | 3x + 9 | = | 3 (x + 3) | = | 3 | | x + 3|

3] 11x4

3x2

4] 1

1x5

3x7

5] 01x2

5x

6] 2

1x2

3x6

97

EEccuuaacciioonneess ttrraasscceennddeenntteess (( llooggaarrííttmmiiccaass,, eexxppoonneenncciiaalleess yy ttrriiggoonnoommééttrriiccaass))

Ecuaciones exponenciales

eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss Para resolver ecuaciones exponenciales debemos recordar las

propiedades de la potenciación.

1]

2. 2x – 4 = 0

2.2x

= 4

2x = 2

1

x = 1

S = { 1 }

2]

9x – 3

x = 0

32x

- 3x = 0

32x

= 3x

2x = x

S = { 0 }

3]

8-2x

= ( 16 )-(2x+1)

( 23)

-2x = ( 2

4)

-(2x+1)

( 2)

-6x = ( 2)

-8x-4

- 6x = - 8x - 4

2x = -4

2x = -4

x = -2

S = { -2 }

Recuerde la siguiente propiedad que

nos permitirá resolver este tipo de

ecuaciones :

Si b a = b

c

entonces a = c 4]

17

( x-3) (x+2) (x-1) = 1 = 17

0

( x- 3) ( x + 2) ( x – 1) = 0 S = {-2, 1, 3}

5]

3

x + 2 + 9

x + 1 = 810

3 x + 2

+ ( 32 )

x + 1 = 810

32 . 3

x + 3

2x + 2 = 810

9 3x + 3

2 3

2x = 810

9 3x + 9 (3

x)

2 - 810 = 0 3

x = u

9 u + 9 u2 - 810 = 0 3

x = u

( u + 10) ( u – 9) = 0 3x = u

3x = -10 3

x = 9

Falsa

3x = 9 = 3

2

x = 2 S = { 2 }

6]

2

72

14

x

x

Buscamos el conjunto de reemplazo con la condición 2

x + 7/2 0

2x -7/2 , igualdad es siempre verdadera por lo tanto P = R

( 22x

- 1) = 2 ( 2x + 7/2)

( 2x )

2 - 1 = 2 2

x + 7 2

x = u

u2 – 2 u – 8 = 0 2

x = u

( u + 4) ( u – 8) = 0 2x = u

2x = - 4 2

x = 8

Falsa 2x = 2

3

x = 3 S = { 3 }

7]

2 2 ( x + 2 )

= 8 , condición implícita 2( x + 2) 0

x -2 P = [ -2, + )

2 2 ( x + 2 )

= 23

,

)2x.(2 = 3 x -2

x = 5/2 x -2 S = { 5/2 }

98

Ecuaciones logarítmicas

Al resolver ecuaciones logarítmicas debemos recordar las propiedades de la logaritmación, la

definición , es decir las condiciones de la base y el argumento .

eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss 1] log ( 4x ) = 3 , con 4x > 0 P = ( 0 ; + )

10 3 = 4x

250 = x S = { 250 }

2] ln ( x – 2 ) + ln x = ln 8 , x – 2 > 0 x > 0 P = ( 2 ; + )

ln ( (x – 2) . x) = ln 8 x 2 Si log b a = log b c

entonces a = c (x – 2) x = 8 x 2

x2 – 2x – 8 = 0 x 2

( x + 2) (x – 4) = 0 x 2

( x = -2 x = 4 ) x 2 , S = { 4 }

3] log 3x2

1

= -2 , con 2x + 3 > 0 , así x > - 3/2 P = ( - 3/2 ; + )

(10) -2

= 3x2

1

x - 3/2

2x + 3 = 100 x - 3/2

2x = 97 x - 3/2

x = 97/2 , S = { 97/2 }

4] log ( x- 5) + log ( x + 4) = 1 , x – 5 > 0 x + 4 > 0

x 5 P = ( 5 ; + )

log ( ( x-5) (x+4) ) = 1 x 5

10 = (x – 5) ( x + 4) x 5

0 = x2 –x – 30 x 5

0 = ( x – 6) ( x + 5) x 5

( x = -5 x = 6 ) x 5 , S = { 6 }

ejercicio

Determine el conjunto solución:

1] 2

122log4log )1x()1x( 2] )1x(log3)1xlog(4

2

3] 1)10xlog(2

1

)10xlog(2

2

4] 12log2log

)1x()1x(

5] 8042x)1x( 6] 222

xx2

7] 01)10x2log()20xxlog(2 8] 022.92.32.8

21t1t2t3

99

Ecuaciones trigonométricas

Para deducir el conjunto solución consideraremos la tabla de razones trigonométricas de medidas

de ángulos destacados del primer cuadrante, las relaciones con los otros cuadrantes y otros giros.(Lo

encontrará en la unidad uno)


1] | sen x | -2

3 = 0 , | sen x | =

2

3

sen x = 2

3 sen x = -

2

3

( ( x = /3 + 2k x= 5/3 + 2k ) ( x = 2/3 + 2k x = 4/3 + 2k ) ) k Z

S = { x / x R ( x = /3 + k x = 2/3 + k ) k Z }

2] ( 2 sen x + cos x )2 – (cos x – 2 sen x)

2 = 0

4 sen2 x + 4 cos x. sen x + cos

2 x – ( cos

2 x - 4 sen x cos x + 4 sen

2 x ) = 0

8 cos x . sen x = 0

cos x = 0 sen x = 0

( ( x = /2 + 2k x = 3/2 + 2k ) ( x = 0 + 2k x = + 2k ) ) k Z

S = { x / x R ( x = /2 + k x= k ) k Z }

3] 2 sen x . cos x + 1 = cos x + 2 sen x

2 sen x . cos x – 2 sen x = cos x – 1

2 sen x ( cos x – 1 ) = cos x – 1 ,esta ecuación no es equivalente a 2 sen x = 1

2 sen x ( cos x – 1 ) – (cos x – 1) = 0

( cos x – 1 ) ( 2 sen x – 1) = 0

cos x = 1 sen x = ½

( x = 0 + 2k ( x = /6 + 2k x = 5 /6 + 2k ) ) k Z

S = { x / x (x = 0 + 2k ( x = /6 + 2k x = 5 /6 + 2k ) ) k Z}

ejercicio

Determine el conjunto solución.

1] 0xcos.xsenxsen2 2] 0xtgxsen

3] 0xcosxsen22 4] 0xcosxsen

100

IInneeccuuaacciioonneess


Determinamos los conjunto solución Propiedades de orden en desigualdades

Dada la desigualdad :

1] a b a b

1x52x3 , P = R si c R si c R

3x + 2 – 2 5x –1 –2 a - c b - c a - c b - c

3x – 3x 5x –3 –3x

0 + 3 2x – 3 + 3 a + c b + c a + c b + c

si c 0 si c 0

3 / 2 2x / 2 c

a

c

b

c

a

c

b

x2

3 a . c b . c a . c b . c

S = (- ; 3/2 ]

si c 0 si c 0

2] c

a

c

b

c

a

c

b

2x2

1

3

4x

2

1 , P = R a . c b . c a . c b . c

x2

12x

2

1x

2

1

3

4x

2

1

3

42

3

4

3

4x.0

3

10x.0

Cualquier número real x multiplicado por 0 es 0 , y 0 no es mayor ó igual a 3

10

S = { } 3]

3x4

15x47x

4

1 , P = R

Procediendo de forma análoga a los ejemplos anteriores:

10x.0

lo escrito indica que el producto 0 . x (cualquiera sea x ) es cero y aquí sí 0 es mayor o igual

a –10

S = R

101

4] 5x

228

5x

3x2

, P = R – { 5 }

En este ejemplo es conveniente determinar una inecuación equivalente con segundo miembro

cero.

05x

228

5x

3x2

x 5 5] x

2 - 6 x + 10 0

factorizamos el dividendo polinómico:

05x

15x8x2

x 5

El discriminante del 1er. miembro:

5x

)3x)(5x(

0 x 5 (-6)

2 – 4. 1 . 10 = - 4 0

Por lo tanto :

el polinomio no tiene raíces reales,

03x x 5 no se puede factorizar . Por ser (caso

particular) un polinomio de 2do. gra-

S = [ 3 ; 5 ) ( 5 ; + ) do, éste expresa siempre un número

positivo o siempre negativo . Para

saberlo probamos con algún valor

aritmético p(0) = 10 , para cualquier

valor de x es positivo, entonces

S = R

6] x2 + 3x – 10 0

Factorizamos el miembro izquierdo :

Signo de los factores :

(x - 2) (x + 5 ) 0 a . b 0

( x – 2 0 x + 5 0 ) ( x – 2 0 x + 5 0 ) (a 0 b 0) (a 0 b 0)

( x 2 x -5 ) ( x 2 x -5 )

x R -5 x 2

S = ( -5 ; 2 ) a . b 0

(a 0 b 0) (a 0 b 0)

7] -3 x2 – 6x + 24 0

-3 (x - 2) (x + 4) 0

( x – 2 0 x + 4 0 ) ( x – 2 0 x + 4 0 )

( x 2 x -4 ) ( x 2 x -4 )

x R -4 x 2 S = [-5 ; 2 ]

8] x2 – 4x + 1 0 9] x

2 + 14x + 49 0

(x - 2) (x - 2) 0 (x + 7) (x + 7) 0

(x - 2)2 0 (x + 7)

2 0

x = 2 x R x -7

S = { 2 } S = R – { -7 }

102

ejercicios

1 Marque, en la recta cartesiana, los correspondientes puntos de abscisa u que cumplen la

condición planteada :

| u | 4 u 0 - 4 0 4 u

| u | 4 u 0 - 4 0 4 u

conclusión

| u | 4 es equivalente a ........................... ...........................

| u | 4 u 0 - 4 0 4 u

| u | 4 u 0 - 4 0 4 u

conclusión

| u | 4 es equivalente a ........................... ...........................

| u | - 3 -3 0 3

u

conclusión

| u | -3 es equivalente a .............................................................

| u | -2 -2 0 2 u

conclusión

| u | -2 es equivalente a ............................................................

2 Generalice y enuncie las propiedades relativas a desigualdades con módulo y sus enunciados

equivalentes.

103

3 Escriba el enunciado abierto equivalente a la inecuación dada, preste atención con el

conectivo que corresponde ( ó ) .

| x – 6 | 7 es equivalente a x – 6 7 x - 6 - 7

| -x – 2 | 6 es equivalente a -x - 2 - 6 -x - 2 6

| 8 x – 3 | 9 es equivalente a

| 4 – 2 x | 8 es equivalente a

| 5 – x | 20 es equivalente a

| 3x + 4 | 3 es equivalente a

| x – 12 | 6 es equivalente a

| 16 – 5 x | 1 es equivalente a

| 5 x + 1 | 14 es equivalente a

| -x + 9 | 2 es equivalente a

De aquí en adelante tenga cuidado


| 2 x – 4 | 0 es equivalente a


|12 - x | 0 es equivalente a


1] 4]

22x |x + 2| - 2

22x 22x , P = R Sabemos que el módulo es un número

0x 4x positivo o cero y nunca menor a cero,

S = ( - ; - 4 ] [ 0 ; + ) por lo tanto: S =

2] 5]

25x |x – 5| -7

25x 25x , P = R Aquí se presenta el caso en que un real

7x 3x positivo o cero siempre es mayor que

S = [ 3 ; 7 ] un negativo: S = R

104

3] 6]

|4x – 20| 0 |-32 x - 189| 0

Cabe una sola posibilidad de ser verdadera

que : 4x – 20 = 0 Para todo real x la proposición resul-

x = 5 tante es verdadera .

S = { 5 } S = R

7] 1x3x2 , P = R

Un método de resolución de la presente ecuación, donde no debemos tener en cuenta las

condiciones implícitas que hay o puedan surgir. Procedemos de forma similar que con las

ecuaciones, deducimos un inecuación equivalente con uno de sus miembros cero ( ... = 0 ) .

En el ejemplo : 1x3x2 0

Consideramos los valores de x que anulan el argumento del módulo: 2x +3 = 0 x = -3/2

-3/2

x

analizamos, primero por separado en cada intervalo o posibilidad del conjunto P = R :

1x3x2 0

x -3/2 - (2x + 3) - x + 1 0

- 2 x – 3 - x + 1 0

- 3 x - 2

x 3/2

x -3/2 (2 x + 3) - x +1 0

x - 4

Del análisis parcial en cada intervalo concluimos con la disyunción siguiente:

( x -3/2 x 3/2 ) ( x -3/2 x - 4 )

x R

, para cualquier valor de x real la proposición compuesta resultante es falsa, entonces S = { }.

8] 12x

1x

9] 2

3x

2x

, P = R - { 2 } , P = R - { -3 }

105

12x

1x1

2x

1x

2

3x

2x

2

3x

2x

012x

1x

01

2x

1x

02

3x

2x

02

3x

2x

02x

)2x(11x

0

2x

)2x(11x

0

3x

)3x(22x

0

3x

)3x(22x

02x

1

0

2x

3x2

0

3x

8x

0

3x

4x3

( 02x 03x2 ) 08x( )03x

( 02x 03x2 02x ) 08x( )03x

04x3( )03x

S = (- ; 3/2 ) 04x3( )03x

x8( )3x x8( )3x 3

4x( )3x

3

4x( )3x

S = ( -8 ; -3 ) ( -3 ; - 4/3 )

ejercicio

Determine el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:

1] 2

2

3x

1x2

2] 1

x

3x

3] x2

5x

4] 4x3x

5] 21x53x15 6] 13x

3x

7] 1x

1x

8] 1x23x4

9] |5x2|

3

- 4

106

Dadas las dos siguientes ecuaciones de dos números indeterminados (variables) y sus respectivos

conjuntos solución infinitos (formados por pares ordenados de números reales)

Tabla (intencional) de algunos pares

ordenados solución de cada ecuación

2x + y = 5

S1 = { (x,y) / x R y R y = 5 – 2x }

4x – y = 1

S2 = { (x,y) / x R y R y = 4x - 1 }

Consideremos el siguiente enunciado abierto, conjunción de las dos ecuaciones:

2x + y = 5 4x – y = 1

su conjunto solución es el formado por los elementos comunes (pares ordenados de reales) a uno y

otro conjunto solución de cada ecuación:

{ (x,y) / x R y R y = 5 – 2x y = 4x + 1 }

En la tabla de soluciones se observa que si x es 1 e y es 3 la conjunción es verdadera:

2. 1 + 3 = 5 4. 1 – 3 = 1

Sistema de ecuaciones

Toda conjunción de dos o más ecuaciones diremos que constituye un sistema de ecuaciones ,

cuyo conjunto solución (formado por n-uplas de números reales) es la intersección de los conjun-

tos solución de cada ecuación .

Los sistemas se indican, para el ejemplo dado, de la forma :

1yx4

5yx2 , sistema

de 2 ecuaciones polinómicas de primer grado con 2 variables (x e y) ,

su conjunto solución:

S = S1 S2 = { (x,y) / x R y R y = 5 – 2x y = 4x + 1 } S = {( 1 , 3 )} , provisionalmente prejuzguemos que la solución es única.

x y

-1 8

0 5

1 3

2 1

3 -1

x y

-1 -3

0 1

1 3

2 7

3 11

4 17

107

Sistemas equivalentes

eee jjj eee mmm ppp lll ooo :::

2yx3

5y2x7

Si reemplazamos Si a = b y k 0

una ecuación, del sistema, por otra equivalente entonces k . a = k . b

7x - 2y = 5 equivalente a 21x - 6y = 15

ó Si a = c y b = d

de dos ecuaciones determinamos una entonces a + b = c + d

7x - 2y = 5 y -3x + y = -2 obtenemos 4x - y = 3 a – b = c - d

al efectuar esta acciones formamos un sistema equivalente al dado (sin cambiar el número de

ecuaciones) que, como se puede suponer, tiene el mismo conjunto solución.

2yx3

5y2x7

3yx4

15y6x21 Sistema de ecuaciones equivalente al dado.


El quiosco de revistas de la esquina. El jueves, viernes y sábado vendió en total $ 66, el jueves

vendió $ 3 más que el viernes, el sábado vendió $ 6 más que el jueves, ¿ cuánto se vendió el día

viernes?.

j + v + s = 66

Como el jueves se vendió $3 más que el día siguiente (v + 3) + v + s = 66

el día sábado se vende $6 más que el jueves v + 3 + v + ( j + 6 ) = 66

v + 3 + v + (v + 3) + 6 = 66

determinamos una ecuación, sencilla en su resolución 3 v + 12 = 66

3 v = 54

Rta. El día viernes la venta fue $ 18 v = 18

En este último ejemplo hemos empleado un método sencillo para resolver la sustitución.

Método de sustitución para resolver sistemas de ecuaciones

Se explicita (despeja) una de variables de una de las ecuaciones, para luego sustituirla (por una

expresión equivalente) en otra u otras ecuaciones con la intención de obtener una ecuación con una

sola variable (accesible a su resolución)

108

ttt rrr eee sss eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss

1]

1yx4

5yx2 Explicitamos y en la primera ecuación para sustituir en la segunda

1)x25(x4

x25y

Resolvemos la segunda ecuación

15x6

x25y

6x6

x25y

1x

x.25y

Finalmente se sustituye en la otra ecuación del sistema y se obtiene ecuaciones “sencillas” :

1x

1.25y

1x

3y

El último sistema equivalente (simple) del original nos permite deducir sin errores la solución

única que transforma en proposición verdadera el enunciado abierto: x = 1 y = 3

así

S = { ( 1 , 3 )}

2]

6y8x4

2y4x2

6y8)y21(4

y21x

6y.04

y21x

2y.0

y21x

La segunda ecuación jamás es verdadera cualquiera sea el real y , por lo tanto la conjunción es

siempre falsa al asignarle a x e y cualquier número real : S = { }

(también se puede destacar que no hay pares ordenados de reales comunes a los conjuntos solución

de cada ecuación).

* En este caso se dice que no hay compatibilidad entre las ecuaciones del sistema, es incompatible

3]

4y8x4

2y4x2

y21x

2y4)y21(2

y21x

2y.02

y21x

0y.0

La primera ecuación, del sistema, es siempre verdadera para cualquier valor de y , así como el

valor de x depende del de y .

Por lo que el conjunto solución infinito es :

S = {(x,y) / x R y y = ½ - ½ x } ,

correspondiente a un sistema compatible indeterminado

En los ejemplos vimos que hay sistemas de ecuaciones que tienen solución y otros que no, por lo

cual los clasificaremos en sistemas compatibles con S y en sistemas incompatibles con S =

Aclaración : todos los sistemas tienen conjunto solución, cuando decimos que algunos sistemas

no tienen solución nos referimos a la no existencia de n-uplas de números reales que satisfagan las

ecuaciones, es indicar que S = { } = .

109

En nuestros ejemplos las ecuaciones que componen los sistemas son lineales (polinómicas de

primer grado), las curvas representativas de cada una de ellas son rectas (describen los puntos

de la recta)

La calificación de cada sistema corresponde a las posiciones relativas que pueden presentarse

entre dos rectas

1] 2] 3]

Un punto en común, No tiene ningún punto en Tienen todos sus puntos en común

son incidentes común son paralelas son paralelas coincidentes

S. compatible determinado Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado

eee jjj eee mmm ppp lll ooo De significado geométrico

Analizamos la compatibilidad del siguiente sistema para los distintos valores del número k

constante distinto de 1 y - ½ :

02y)1k2(x)2k(

02y)1k(xk2

si resolvemos sustituyendo como en los ejemplos anteriores, los pasos algebraicos resultarán un tan-

to complicados por lo que puede ser conveniente plantear una resolución desde la interpretación

geométrica de las ecuaciones polinómicas de primer grado.

Recordemos que solamente analizaremos el caso para valores reales donde k 1 k -½

02y)1k2(x)2k(

02y)1k(xk2

-2k x +(k-1) y + 2 = 0 y = 1k

k2

x -

1k

2

ec. de una recta de pendiente

1k

k2

= m 1

(k+2)x +(2k+1)y +2 = 0 y =1k2

2k

x -

1k2

2

ec. de otra recta de pendiente -

1k2

2k

= m 2

Determinemos el valor de k tal que las pendientes sean iguales, es decir las rectas son paralelas:

1k

k2

= -

1k2

2k

k 1 k -½ , 5k

2 + 3 k – 2 = 0 k 1 k -½

5 (k + 1)(k - 52 ) = 0 k 1 k -½ , ( k = -1 k = 52 ) k 1 k -½

, si k = 52 k = -1 las pendientes son iguales.

110

Ahora el valor k tal que las ordenadas al origen ( b1 y b2 ) sean iguales:

-1k

2

= -

1k2

2

k 1 k -½ , 4k + 2 = 2k – 2 k 1 k -½

2k = -4 k 1 k -½ , k = -2 k 1 k -½

, si k = -2 las ordenadas al origen son iguales.

Si m 1 = m 2 y b 1 b 2 Rectas paralelas

no incidentes

El sistema de ecuaciones es incompatible

k R – { 1 , - ½ } : k = 52 k = -1

En caso contrario es un sistema de ecuaciones compatible que discriminamos según sea

determinado de solución única o indeterminado por tener un conjunto solución infinito.

Si m 1 m 2

Rectas

incidentes

es un sistema de ecuaciones compatible determinado

k R– { 1 , - ½ } : k 52 k -1

Si m 1 = m 2 b1 = b2

Las dos ecuaciones representan la

misma recta

(coincidentes)

es un sistema de ecuaciones compatible indeterminado

k R – { 1 , - ½ } : ( k = 52 k = -1 ) k = -2

Proposición falsa

Es decir el sistema nunca es compatible indeterminado (para ningún valor de k R – { 1 , - ½ })

* ¿ Qué calificación tiene el sistema si k es 1 ? , ¿ y si k es -½ ? , analice y responda.

111

Hasta aquí no aclaramos que trabajaremos con sistemas de ecuaciones polinómicas de primer grado

denominado lineales (de n ecuaciones lineales con m incógnitas) . Como caso particular y usual

nos dedicamos a sistemas donde el número de ecuaciones lineales e incógnitas es el mismo n = m

Método de eliminación de Gauss

Si efectuamos un número de acciones ya indicadas para obtener sistemas equivalentes mas simples

hasta determinar uno del que podamos deducir el conjunto solución .

Intentamos mostrarle un ejemplo donde se obtienen sistemas equivalentes

y un cuadro o disposición práctica del método :

9y3x4

5yx2

2y2x0

5yx2

18y6x8

20y4x8

2y2x0

12y0x4

2y2x0

10y2x4

12/2yx.0

34/12y.0x

Cada paso del método nos permite determinar nuevos coeficientes ,algunos nulos. Se lo indicamos

según el coeficiente (que multiplica a las variables) distinto de cero y la fila que elijas:

gyfxd

cybxa

gfd

cba

Se transforma en ... : al elegir la primera fila

si a 0 si b 0

a b c a b c

0 a.f - d.b a.g - d.c b.d - a.f 0 b.g - f .c

al elegir la segunda fila

si d 0 si f 0

0 d.b - a.f d.c - a.g f.a - d.b 0 f.c - b.g

d f g d f g

Disposición práctica

del método

2 1 5

4 3 9

2 1 5

0 2 -2

4 0 12

0 2 -2

1 0 3

0 1 -1

112

Hemos desarrollado un método de resolución, muy útil, que permite reducir el número de opera-

ciones necesarias para obtener el conjunto solución de un sistema lineal, más conveniente cuanto

más ecuaciones tenga el sistema.


1yx4

5yx2

8y18x3

16y24x4

10y20x15

6y12x9

2 1 5 4 24 16 9 12 6

4 -1 1 3 18 8 15 20 10

2 1 5 4 24 16 9 12 6

0 -6 -18 0 0 -16 0 0 0

-12 0 -12

0 -6 -18

18y6x0

12y0x12

16y0x0

16y24x4

0y0x0

6y12x9

3y

1x (S C D) (S I) (S C I)

S = {(1,-3)} S = { } S= {(x,y) / y R x = 2/3 – 4/3 y}

eee jjj eee mmm ppp lll ooo iii lll uuu sss ttt rrr aaa ttt iii vvv ooo

Trabajando en forma general llevamos las ecuaciones a su forma explícita.

feydx

cbyax

f e d

c b a

si a 0 si b 0

a b c a b c

0 a.e - d.b a.f - d.c b.d - a.e 0 b.f - e.c

Consideremos la segunda ecuación del sistema equivalente, en cada caso:

( a.e - d.b ) y = a.f - d.c ( b.d - a.e ) x = b.f - e.c ,

( a.e - d.b ) x = e.c - b.f

Observemos que si el número a.e- d.b no es cero, podemos determinar las ecuaciones “simples”

b.de.a

c.df.ay

b.de.a

f.bc.e

e.ad.b

c.ef.bx

113

En caso de que a.e - d.b es cero el sistema lineal no es compatible determinado, lo revisamos

en los ejemplos ya dados:

1yx4

5yx2

8y18x3

16y24x4

10y20x15

6y12x9

Sistema compatible determinado Sistema incompatible Sistema compatible indeterminado

2 . (-1) – 4 . 1 = - 6 0 4 . 18 – 3 . 24 = 0 9 . 20 –15 . 16 = 0

Este importantísimo número se lo llama determinante .

Determinante

Uno de sus significados es determinar si el sistema de ecuaciones lineales cuadrados (es decir de

n ecuaciones con n variables) es:

compatible determinado (de única solución), si el determinante es distinto de cero

no es compatible determinado (seguro no tiene única solución),si el determinante es cero

Le indicaremos una disposición de los coeficiente llamada matriz asociada al sistema lineal.

feydx

cbyax Matriz asociada al sistema (formada por los coeficientes de las incógnitas)

ed

ba = A

** Toda matriz cuadrada tiene asociado un número real, el determinante simbolizado det A

Para una matriz de 2 filas y 2 columnas (2 x 2) :

det A = a.e – d.b ,también se usa la notación

ed

ba o simplemente

ed

ba = det A

Si el sistema de ecuaciones lineales es de 3 ecuaciones y 3 incógnitas:

3333

2222

1111

dzcy.bx.a

dz.cy.bx.a

dz.cy.bx.a

, su matriz asociada al sistema

333

222

111

cba

cba

cba

= B

El determinante de una matriz de 3 filas y 3 columnas (3 x 3) lo calculamos así:

det B = 22

113

33

112

33

221

333

222

111

cb

cb.a

cb

cb.a

cb

cb.a

cba

cba

cba

det B = 123123132312231321 cbacbacbacbacbacba

114

Si desea investigar como se deduce este determinante puede proceder como lo hemos hecho

pero con un sistema (genérico) lineal de 3 ecuaciones con 3 variables. El desarrollo, fundamenta-

ción y explicación de estos temas: Matrices y determinantes lo estudiará en la asignatura

Álgebra.

ejercicios

1 Calcule los siguiente determinantes:

75

62

106

159

320

17

430

221

312

1239

221

826

2 Determine el valor de k tal que el sistema asociado a la correspondiente matriz es S C D

2k5

3k

k3k2

4k

3 Elija un valor de k , de los ya determinados, y asocie la matriz a un sistema de ecuaciones

lineal, resuélvalo para comprobar que es compatible de solución única (en cada subítem).


Retomamos el ejercicio resuelto en página 109.

2y)1k2(x)2k(

2y)1k(kx2

Si el determinante no es cero Determinamos el valor de k por la negación de lo planteado :

01k22k

1kk2

el 0

1k22k

1kk2

sistema es compatible determinado SCD

0)5

2k)(1k(5

02k3k5

0)2k)(1k()1k2(k2

2

De acuerdo a lo obtenido el sistema es S C D para k -1 k 2/5, pero no podemos

determinar si es el sistema compatible indeterminado S C I o incompatible S I .

115

Analizamos por el método de eliminación de Gauss

Si k = - 1 2 -2 -2 Si k = 2/5 -4/5 -3/5 -2

1 -1 -2 12/5 9/5 -2

2 -2 -2 -4/5 -3/5 -2

0 0 -4 0 0 -8

4y0x0

2y2x2

8y0x0

2y5

3x

5

4

2 x –2 y = -2 0 x + 0 y = - 4 - 5

4 x –

5

3 y = -2 0 x + 0 y = - 8

Enunciado abierto siempre falso Enunciado abierto siempre falso

Ambos sistemas de ecuaciones lineales son incompatibles.

ejercicios

1 Determine el conjunto solución y califique a cada sistema de ecuaciones:

.

34y3x5

30y5x3

07,001,003.0

1,0y3,0x2,0

a33b

16b2a

a33b

16b2a

34y

5

x

6

2y

3

x

1

15x9y12

0y6x8

10yx2

Problemas de aplicación :

2 Se invirtió un total de $ l200, parte al 13 % y el resto al 10 %. El interés total fue de $ l320,

¿ cuánto se invirtió a cada tipo de interés?.

10

3

El perímetro de un campo rectangular es de 642 m,

el largo excede a su ancho en 10 m.

¿ Cuáles son las dimensiones del campo y su área ?

*Resuelva el problema por sistema de ecuaciones.

116

4 Un negocio vendió 45 colchones, los de mejor calidad a $ 92 y los otros a $ 64. ¿Cuántos de

cada tipo vendió?

5 Un hormiguicida se obtuvo con la mezcla de 5 litros de la fórmula

pura y 25 litros de agua. Otra preparación contiene la misma cantidad de hormiguicida puro pero

con 15 litros de agua. Se desea tener 7,5 litros de mezcla de la cual el 20 % es el químico puro,

¿ cuántos litros deben tomarse de cada mezcla existente ?

7 Marta es 12 años mayor que Ana, dentro de 4 años Ana tendrá dos terceras partes de la edad

de Marta. ¿Qué edad tiene cada una de ellas?

8 Se desea cercar un terreno rectangular utilizando parte de una casa para un lado y alambrado

para los otros tres lados, si el lado paralelo a la casa tiene que ser el doble de un lado perpendicular

y el área del terreno es 128 m2 . ¿Cuántos metros de alambrado se necesitan?

9 La suma de dos números es 67 y su diferencia es 35 ¿cuáles son estos números?.

11 La suma de dos numeros es 36, la diferencia de sus recíprocos (inversos) es 4/9 de la suma

de sus recíprocos, ¿cuáles son esos números?.

Análisis, de compatibilidad de sistemas lineales genéricos

12 Para que valores de p y q ( p 0 q 0) constantes,

el sistema es S C D , S C I o S I

13 Halle p y q constantes de la que se sabe su diferencia: p – q = 1

de modo que el sistema sea S C D , S C I o S I .

14 Dado el siguiente sistema, halle la relación indicada por

una igualdad, entre p y q (con p 0 y q 0) constante

no nulas tal que el sistema es S C D , S C I o S I

15 Dado el siguiente sistema analice para que valores de a , c , d , f ,

e 0 y b 0 (constantes) es S C D , S C I o S I con variables

x e y .

10

Una botella y su tapón cuestan $ 7,5 si el tapón cuesta $ 0,50

menos que la botella, ¿ cuántos pesos sale cada cosa?

qypxq

pyqxp

01yqxp

2yqpx4

pypxq

qyqxp

e

fx

e

dy

b

cx

b

ay

117

Sistemas de ecuaciones lineales de tres variables.


1]

10zy3x

15z2y2x3

8z5y6x2

2]

0w2vu4

2wvu2

1w2u4

3]

4c2b6a4

2cb3a2

4c2b

calculamos cada determinante de forma de indicar el tipo de sistema , si es posible :

1] 31

23).5(

11

23.6

13

22.2

= 2 . (-8) -6 . 1 – 5 .11 = -77 0

el primer sistema lineal es compatible determinado de solución única ,

2] 14

04).1(

24

24.1

21

20.2

= 2 . 2 –1 . 0 –1 . 4 = 0

3] 64

32).2(

24

12.1

26

13.0

= -1. 0 –2 . 0 = 0

de los restantes sistemas hasta el momento, sólo se sabe que no son S C D.

Aplicamos el método de Gauss y determinamos los conjuntos solución :

2 6 - 5 - 8 4 0 -2 -1 0 1 -2 4

3 -2 2 15 2 1 -1 2 2 3 -1 2

1 3 1 10 - 4 1 2 0 -4 -6 2 -4

2 6 -5 -8 0 -4 0 -10 0 1 -2 4

0 -22 19 54 2 1 -1 2 2 0 5 -10

0 0 7 28 0 6 0 8 -4 0 -10 20

-44 0 –4 -148 0 -4 0 -10 0 2 -4 8

0 -22 19 54 -8 0 4 2 2 0 5 -10

0 0 -154 –616 0 0 0 28 0 0 0 0

6776 0 0 20328

0 3388 0 3388 Explicite a y b según c en cada ecuación

0 0 -154 -616

Si usted deduce concluirá que:

1] S = { ( 3 , 1 , 4 ) }

2] S = { } =

3] S = { ( a , b , c ) / a R b R c R a = 2

10c5 b = 4 - 2c }

118

Significado geométrico

PPP aaa rrr aaa ttt eee nnn eee rrr eee nnn ccc uuu eee nnn ttt aaa:::

Consideremos la ecuación 4 x = 8 ó su equivalente x = 2

Si estamos trabajando con una sola variable, es decir en el conjunto de los números reales, el

conjunto solución de la ecuación es: S = { 2 } R cuyo significado geométrico en la recta

cartesiana es un punto de abscisa 2

En cambio si trabajamos con dos variables, cada solución es un par ordenado de números reales,

la ecuación dada debe entenderse como: 4 x + 0 y = 8 con conjunto solución:

S = { ( x , y) / x R y R x = 2 }

Este conjunto representa en el plano cartesiano los puntos de una recta

de ecuación cartesiana x = 2

Pero una situación diferente es trabajar con 3 variables donde la ecuación debe pensarse, para no

cometer ningún error,

4 x + 0 y + 0 z = 8 con

S = { ( x , y , z ) / x R y R z R x = 2 }

Geométricamente este conjunto representa una superficie muy particular, un plano en el espacio

cartesiano de ecuación cartesiana x = 2 .

0

1

2

3

4

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

1

2

3

4

-1

-0.5

0

0.5

1

Por lo tanto resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables geométricamente es

encontrar un punto común a tres planos si es un S C Determinado , una recta sección entre los

tres planos para el S C Indeterminado y ningún punto en común a los tres planos con un S I.

119

Si revisamos los ejemplos 1] y 2] , de dos páginas anteriores, la interpretación geométrica

correspondiente a cada terna de planos es:

2.52.75

3

3.253.5

0.5 0.75 1 1.25 1.5

2

3

4

5

6

2.52.75

3

3.253.5

0.5 0.75 1 1.25 1.5

2

3

4

5

6

Tres planos con un único punto en común , el asociado a (3 , 1 , 4)

02

40

24

6

-5

0

5

10

15

02

4

-5

0

5

10

15

Tres planos con ningún punto en común

120

Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos

Si las ecuaciones polinómicas de primer grado son homogéneas (todos los términos son de grado

uno) y el segundo miembro es cero el sistema se denomina homogéneo

eee jjj eee mmm ppp lll ooosss :::

0yx5

0y3x2

0w9v3u6

0wv2

0w6v2u4

(0,0) S (0,0,0) S

Se puede observar que presentan una solución obvia: la n-upla nula (todos las componentes cero)

es decir si los números indeterminados son cero la conjunción es verdadera. Se deduce por lo tanto

que estos sistemas son siempre compatibles y aquí si los determinantes indican su “naturaleza”.

En un sistema de ecuaciones lineales homogéneo:

Determinante cero se trata de S C I , determinante distinto de cero es S C D

0yx5

0y3x2 , det

15

32 = 2 . 1 – (-15) = 2+15 = 18 0 S = {( 0 , 0 )}

Se trata de un sistema lineal homogéneo compatible determinado ↑

0y9x6

0y3x2 , det

96

32 = (-2)(-9) – 6 .3 = 18 –18 = 0

Es un sistema lineal homogéneo compatible indeterminado, deducimos su conjunto solución:

a la primera ecuación una equivalente explícita es: y = 3

2x

S = { ( x , y ) / x R y R y = 3

2x }

0w9v3u6

0wv2

0w6v2u4

, det

936

120

624

= 0 , compruébelo. Esto indica que es S C I .

Para determinar su conjunto solución desarrollamos el método de eliminación:

4 2 -6 0

0 2 -1 0

6 3 -9 0

4 2 -6 0 2 1 -3 0

-8 0 10 0 -4 0 5 0

0 0 0 0 0 0 0 0

S = { ( u , v , w ) / u R v R w R v = 5

2u w =

5

4u }

ó S =

u5

4,u

5

2,u u R

0w0v0u0

0w5u4

0w3vu2

0w0v0u0

u5

4w

u5

2u2u

5

12u2w3v

121


Mostramos que cualquier real sea la constante k el sistema lineal es compatible determinado:

2zy)1k(x4

1zy3x5

0z4y2xk

, es decir el determinante debe ser siempre distinto de cero .

calculamos el determinante de la matriz asociada :

1)1k(4

135

42k

= )1k(4

35.4

14

15.2

1)1k(

13.k

= 12)1k(5(4)45(2))1k(3(k

= 86k18k2

Contradiciendo lo que corresponde analizamos cuando el determinante es cero:

86k18k2 = 0 calculamos el discriminante (-18)

2 – 4.1.86 = 324-344 = -20 0 ,

por lo tanto su conjunto solución es vacío (no hay ningún real k tal que el determinante sea cero).

Como el determinante invariablemente, con cualquier valor de k, es distinto de cero el sistema de

ecuaciones (siempre) es compatible determinado (S C D) .

ejercicios

1 Determine el conjunto solución de los siguientes sistemas lineales:

9z2y2x

9z3yx2

6zyx

8z2y3x

10z3y2x4

10zyx2

2c3b5a

2cb3a7

1cb2a

0z3y

0z2yx

1zy2x

2z2yx2

1zyx

1zy2x

1q6p

4r7q

11r2p3

122

39z

9

y

2

x

7

9z

3

y

2

x

1

3z

3

y

2

x

2

4

3

4

1z

2

y

3

1x

14

2z

4

1y

3

4x

06

1z

2

4y

3

2x

¿ Este sistema es lineal ?

Problemas de aplicación:

2 La suma de tres números es 105, el tercero es 11 (unidades) menos que diez veces el segundo.

Dos veces el primero es 7 (unidades) más que tres veces el segundo. Deduzca los números.

3 La edad de Juan es la suma de las edades de Carlos y .Diego. La edad de Carlos es 2 años más

que la suma de las edades de Diego y Maria, la edad de Diego es cuatro veces la edad de Maria, la

suma de las cuatro edades es 42, ¿qué edad tiene cada uno?

4

¿ Cuántas prendas pueden producir cada máquina por semana?

5 Dados los siguientes sistemas genéricos, analice el tipo de sistema para todos los distintos

valores reales de la constante k.

2zy)1k(x4

3zy3x5

1z4y2kx

1z5y3x6

1kz2yx

1z3y23x)2k(

k25yx4

kz2yx)3K(

3zy)k3(x5

3zy2x3

2z3kyx2

3kkzy3x4

4z4y3x)2k(

5kz2y)2k(x

1zy1x2

5zy2x5

2z2y3kx

kzyx2

3zy2x3

2z3kyx2

3kkzy3x4

En el taller hay tres máquinas trabajando A, B y C

.Cuando trabajan juntas pueden confeccionar 5700 prendas

por semana, cuando sólo trabajan A y B se producen 3400

prendas por semana, en cambio cuando solo B y C pro-

ducen o confeccionan 4200 por semana.

123

eee jjj eee mmm ppp lll ooo 111

Determinemos (la expresión algebraica de) r según h :

Sabemos que :

cotg 70 = h

r30

h . cotg 70 = 30 - r

Por lo tanto : r = 30 – h . cotg 70 la expresión pedida

La ecuación plantea una relación entre los números h y r (en ese orden cada h se corresponde

con un r ) en un alcance o rango de validez:

0 h 30 . tg 70 por lo que 0 r 30

Hemos vinculado elementos del conjunto ( 0 ; 30 . tg 70 ) con elementos del conjunto ( 0 ; 30 )

Una relación es un concepto matemático constituido por tres conjuntos:

Al conjunto de partida o inicial (de la relación) P , le pertenecen los elementos que se vinculan

con elementos del otro conjunto denominado de llegada o final Ll . Cada vínculo se expresa por

un par ordenado, y el conjunto de éstos pares se llama conjunto gráfica (de la relación) .

eee jjj eee mmm ppp lll ooo 222

Escribimos R (relación): P Ll /

El diagrama de Venn nos muestra

un ejemplo de relación :

P = { a , h ,c , f }

Ll = { 6 , 2 , 1 , 9 , 10 , 3 , 4 , 8 } P Ll

= { ( a , 1 ) , ( h , 8 ) , ( c , 3 ) , ( f , 6 ) }

En el ejemplo 1 ___________________________________________________________

P = ( 0 ; 30 . tg 70 )

Ll = ( 0 ; 30 )

= { ( h , r ) / h P r Ll r = 30 – h . cotg 70 }

r

h

70

30

a

h

c

f

6

2

1

9

10

3

4

8

124

Si en la relación se da la siguiente propiedad.

Todo elemento del conjunto de partida tiene vínculo con un único elemento del

conjunto de llegada .

, se trata de una relación funcional, función o aplicación.

Las relaciones hasta aquí ejemplificadas son funciones R = : P Ll /

Se denomina dominio de la función al conjunto de partida D = P . En cambio puede suceder

que haya elementos del conjunto de llegada que no estén vinculados, como en el ejemplo los

números 2 , 9 , 10 y 4 pertenecientes a Ll , los restantes elementos que están vinculados

forman el conjunto imagen (de las imágenes ) I.

I Ll , en el ejemplo I ={ 1 , 8 , 3 . 6 }

Los elementos del dominio se llaman preimágenes x , tal que x D , y el único elemento

que se relaciona con x se simboliza ( x ) (es la imagen de x por aplicación de la función)

x ( x )

En adelante trataremos funciones donde relacionaremos números reales: funciones escalares

Su dominio y conjunto de llegada son subconjuntos de números reales R (o todos los reales)

ejercicio

r : radio del círculo base menor

Sea un tronco de cono recto, el volumen del sólido o

cuerpo es :

H V = 3

1 H ( R

2 + r

2 + R r )

R : radio del círculo base mayor .

Complete lo que corresponde si el radio del circulo base mayor es R = 30 :

V = 3

1 H ( .......... + r

2 + ....... r )

En el ejemplo anterior expresamos r, en función de h, sustitúyalo y desarrolle hasta obtener

una mínima expresión equivalente:

V = 3

1 ( .…...……….... H + .…...……….... H

2 +.…...……….... H

3 )

125

Para obtener información completamos la tabla, recordando la expresión obtenida en el ejemplo

que indica el volumen de un tronco de cono (de altura 86 y radio de la base mayor de 30), además

no se olvide de considerar el volumen de la parte superior cilíndrica:

h : altura alcanzada por el liquido que se vierte

V : volumen que ocupa el liquido.

86

30

Para toda altura h que alcanza el líquido, que se vuelca, le corresponde un único volumen V

que ocupa en el recipiente en función de h.

Queda así definida:

: ( 0 ; 110 ] ( 0 ; ……… ] /

= { ( h , V ) / ( h ( 0 ; … ] V = ( h ) = ……………….……………. )

( h ( 86 ; … ] V = ( h ) = …………………………….….}

Para facilitar la notación sólo se indica la ecuación que explicita la imagen ( h ) , como lo

haremos de aquí en adelante .

h V

100

95

89

86

70

55

10

Debemos colocar líquido

en el recipiente (de altura

110) y queremos conocer

el volumen que éste ocupa

a medida que el nivel del

fluido asciende.

126

ejercicio

Determine el dominio (amplio) de las siguientes funciones.

NNN oootttaaa ::: Es necesario aclarar que siempre que se le pida determinar el dominio D busque

el más “amplio” aquel conjunto al que le pertenece todos los números reales posibles.

En cambio cuando se nos defina una función respetamos el dominio dado.

: A R / (x) = 9x2

g : B R / g( t ) = 3t.3t

h : C R / h(u) = 1u

9u9uu23

¿ Son iguales las funciones dadas? , justifique su respuesta pero antes de responder vea el

siguiente ejemplo:


Analizaremos si son iguales o no las siguientes funciones definidas por la ecuación explícita

de la imagen (según la preimagen).

: [ 1 ; 6 ] R / (x) = 5x

25x2

g : [ 1 ; 6 ] R / g( x ) = x - 5

h : R – {-5 , 0} R / h(x) = x5x

x25x

2

3

Desarrollamos :

x5x

x25x

2

3

=

x

x.

5x

25x2

=

5x

25x2

=

5x

)5x).(5x(

= x – 5

Las expresiones de la imagen “parecen” equivalente pero esto no es suficiente para indicar la

igualdad de las funciones, debemos considerar el número que representa x es decir el conjunto

dominio. Estos dominios deben ser iguales, lo mismo con el conjunto de llegada (en el ejemplo: R)

y g son funciones iguales, es la misma función escalar.

No así h cuyo dominio incluye a los otros dominios.

Definimos el conjunto gráfica de estas funciones en forma general y por comprensión por tratarse

de un conjunto infinito:

{ ( x , y ) / x D y = x – 2 } , con el respectivo dominio definido.

La gráfica es un conjunto de pares ordenados y cada par se puede asociar con un punto del plano

munido de un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. La interpretación geométrica de la

grafica () es un conjunto de puntos del plano que generalmente forman una línea continua o curva

denominada curva representativa de la función escalar.

Una visión geométrica (representación gráfica o curva representativa) siempre facilita el

conocimiento amplio de una función y sus propiedades .

127

Se registra la temperatura ambiente cada hora (en punto) y su modelo matemático responde a la

función

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

¿ Se repite la misma temperatura para distintas horas del día ? , la respuesta es si.

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

Lo que sucede es que hay imágenes que se corresponden con diferentes preimágenes, hay

vínculos no exclusivos no uno a uno (esta función no es inyectiva).

Definición de función inyectiva (con vínculos uno a uno):

Si x z ( ( x D z D ( x ) = ( z ) ) x = z ) , la función es inyectiva

: A [0 ; 21] / ( t ) = 18

1(t - 6)

2 +3

A = { t / t No 0 t 24 }

Su representación gráfica es el

conjunto de puntos

128

Un ejemplo de inyectiva es considerar la situación anterior después de la puesta del sol, a partir de

las seis de la mañana, así la función que la modeliza (distinta por tener otro conjunto dominio) es:

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

Si suponemos que la información deseada debe responder a cualquier momento del día a partir de

las seis de la mañana se determina la siguiente función, cuya representación gráfica en este caso es

una línea o curva (representativa). Observe que cambio el dominio.

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

El conjunto de llegada, en todos las

funciones ejemplificadas, es el intervalo de números reales [ 0 ; 21 ]. ¿ La temperatura ambiente

toma todo este rango de valores ? , no en ningún momento del día la temperatura alcanza valores

del conjunto [0 ; 3) (con las unidades que correspondan).En todos estos casos las funciones no son

sobreyectivas .

Definición de función sobreyectiva o suryectiva:

Si w ( w Ll ( x ( x D w = ( x ) ) ) , la función es sobreyectiva

Como consecuencia, más simple de expresar, el conjunto de llegada es igual al conjunto imagen.

Ll = I

Un ejemplo de función sobreyectiva es:

1 : C [0;21] / 1 ( t ) = 18

1(t - 6)

2 +3

, con C = { t / t N 6 t 24 }

2 : [ 6 ; 24 ] [ 0 ; 21 ]

/ 2 ( t ) = 18

1(t - 6)

2 + 3

129

5 10 15 20 25

5

10

15

20

25

Esta función es sobreyectiva e inyectiva

Si una función es inyectiva y sobreyectiva se dice biyectiva. Aquí se explica el término

biunívoco ( biyección ) , los vínculos son únicos , uno a uno y “cubriendo todo el conjunto de

llegada.

ejercicio

F : [ 6 ; 24 ] [ 3 ; 21 ]

/ F ( t ) = 18

1(t - 6)

2 + 3

Observe que cambió el conjunto de

llegada, coincide con el conjunto imagen.

Por visualización de la curva repre-

sentativa del conjunto gráfica indique:

a] sobre la inyectividad

b] sobre la sobreyectividad ,si el

conjunto de llegada es [-5 ; 5]

c] ¿ cuál debería ser el conjunto de

llegada para que la función sea

sobreyectiva, si no lo fuese?

130

En el anterior ejercicio, todas las funciones que corresponden a las curvas representativas ubicadas

a la derecha se dicen estrictamente crecientes, se debe a que el aumento de las preimagen signifi-

ca el aumento de las imágenes; y en caso de disminuir las imágenes será estrictamente decreciente .

Monotonía de una función

Definición de función estrictamente creciente

Si x z ( x D z D x z ( x ) ( z ) ) , la función es estrictamente creciente

Definición de función estrictamente decreciente

Si x z ( x D z D x z ( x ) ( z ) ) , la función es estrictamente decreciente

En el ejercicio hay dos funciones (a la izquierda) no monótonas en su dominio pero si en deter-

minados subconjuntos del dominio denominados conjunto de crecimiento o decrecimiento estricto .

131

Definición de función creciente

Si x z ( x D z D x z ( x ) ( z ) ) ,la función es creciente

Definición de función decreciente

Si x z ( x D z D x z ( x ) ( z ) ) ,la función es decreciente

Este título se refiere a determinar nuevas funciones a partir de dos o más funciones donde las

imágenes son resultado de operaciones algebraicas. Definimos la función suma , diferencia ,

producto y cociente:

: A B , g : C E ,dos funciones escalares con intersección de sus dominios

no vacía A C

+g : A C B E / +g ( x ) = (x) + g(x)

-g : A C B E / -g ( x ) = (x) - g(x)

g- : A C B E / g- ( x ) = g(x) - ( x )

. g : A C B E / . g ( x ) = ( x ) . g( x )

Al considerar el dominio de la función cociente debemos excluir, obviamente, preimágenes de

imagen cero del divisor (ceros de la función divisor), por eso:

g

: A C – H B E /

g

(x) =

)x(g

)x(

H = { x / x C g(x) = 0 }

g: A C – J B E /

g (x) =

)x(

)x(g

J = { x / x A (x) = 0 }

Este ejemplo nos representa una

función escalar no estrictamente

creciente pero aún las imágenes no

decrecen (cuando las preimágenes

crecen) se denomina función

creciente, en su definición la rela-

ción de orden es amplia (incluye la

igualdad), de forma análoga se

tiene una función decreciente .


132

ejercicio

Dada la función descripta por el diagrama, complete el sumando faltante y conecte con

flechas los vínculos que presenta la función g .

: A B / (x) = ½ x + ……. , g : B C / g(x) = 4 (x - 1)

A B C Podemos definir una nueva función denominada compuesta, que describimos por diagrama de

Venn, su dominio es A y su conjunto de llegada C .

x y = ½ x + ..... z = 4 ( y –1 ) = 4 ( ½ x + ......-1 ) = 2 x + .......

en símbolos g o : A C / g o (x) = 2 x + ........

¿Qué hubiese sucedido si el dominio de g hubiere sido {12 , 14 , 16 , 18 , 20} ? . No podíamos

determinar una nueva función de A a C ( ni –4 ni 0 se vincularían). La condición que debe

darse para que exista función compuesta es que las imágenes de la primera función componente

pertenezcan al dominio de la segunda componente es decir :

(el conjunto imagen de la 1ra. componente incluido I1 D 2

o igual al dominio de la 2da. función componente).

El siguiente esquema plantea los vínculos:

x y = (x) z = g(y) = g ( (x) ) = g o (x)

Función compuesta

Si I D g , determinamos la función compuesta g o (se lee: compuesta con g)

g o : D Ll g / g o (x) = g ( (x) )


-4

0

4

16

6

8

10

12

14

16

18

20

20

28

36

44

52

60

68

76

20

28

36

44

52

60

68

76

-4

0

4

16

133

Determinamos una función g componente tal que la compuesta g o es la función identidad

g o = id / g o (x) = x

: [-1 ; 5] [ -10 ; 2 ] / (x) = 2 x – 8

g o (x) = x

g ( (x) ) = g ( 2x –8 ) = x Si denotamos con w

al número 2x - 8 , es decir w = 2 x - 8 ,

al explicitar x : x = (w + 8 ) / 2

, entonces g ( w ) = ( w + 8 ) / 2

g : [ -10 ; 2 ] [ -1 ; 5 ] / g(w) = ( w + 8 ) / 2

Veamos lo que sucede en otro caso

: [-1 ; 5] [ -10 ; 2 ] / (x) = - x 2 + 4 x – 4 = - ( x – 2)

2

g o (x) = x ?

g ( (x) ) = g ( - (x – 2)2 ) = x ?

Si denotamos con u

al número - ( x – 2)2 , es decir u = - ( x - 2)

2 ,

al “intentar” explicitar x : - u = ( x - 2)2

u = 2

)2x(

u = | x – 2 | , surge un problema pues x

responde a dos valores, uno positivo y otro negativo x = 2 + u x = 2 - u

entonces g no es una función (si una relación), no se cumple con lo pedido .

Observemos la represen-

tación gráfica de ambas

funciones en un mismo

plano cartesiano es simétrica

respecto de la recta que

incluye a las bisectrices del

primero y tercer cuadrante

( de ecuación y = x )

- 1

134

Esto se debe a que la función no es biyectiva.

La función que deducimos en el primer caso se denomina función inversa (biyectiva).

Función inversa (biyectiva)

Si : A B , biyectiva entonces g = - 1

: B A , función inversa de

(también biyectiva)

tal que o -1

= -1

o = id / o -1

(x) = -1

o (x) = id (x) = x

Signo de las imágenes de una función escalar

En numerosas ocasiones, en el estudio de una función escalar, nos interesa conocer el conjunto

de las preimágenes que “generan” imágenes positivas, negativas o cero. Los conj. de positividad,

negatividad y el conjunto de “ceros”.

Conjunto de positividad de la función : { x / x D ( x ) 0 }

Conjunto de negatividad de la función : { x / x D ( x ) 0 }

Conjunto de ceros de la función : { x / x D ( x ) = 0 }

Se dice que c es cero de la función si ( c ) = 0

Desde el punto de vista geométrico el cero es la abscisa del punto de ordenada 0 (sobre el eje de

abscisa), la intersección de la representación de la función con el eje de abscisas.

Observe con mucha atención las curvas representativas de las funciones ( R R )

1(x) = ( x + 4 )2 + 1 2(x) = x

2 + 3

3(x) = ( x - 5 )

2 + 2

4(x) = ( x + 3 )

2 (x) = x

2 5(x) = ( x - 4 )

2

135

6(x) = ( x + 3 )2 - 4 7(x) = x

2 - 2,5

8(x) = ( x - 4 )

2 - 3

Si tomamos como referencia la curva representativa de (parábola con vértice en el origen), las

representaciones de 4 y 5 son sus traslaciones horizontales.

Concluimos que : al reemplazar ,en la expresión explicita de la imagen de la función ,

x por x + a se presenta una traslación horizontal:

si a 0 , negativo ,

hacia la derecha |a|

(unidades)

si a 0 , positivo ,

hacia la izquierda a

(unidades)

136

Nuestra referencia sigue siendo la curva representativa de (parábola con vértice en el origen),

así las representaciones de 2 y 7 son sus traslaciones verticales .

Concluimos que : al reemplazar o agregar un sumando a la imagen de la función

(x) por (x) + b se presenta una traslación vertical :

Las curvas representativas de 1 , 3 , 6 y 8 son combinaciones de movimientos

(desplazamientos que no cambian tamaño ni forma) verticales y horizontales de la curva de .

Otro análisis importante de la gráfica de una función es el comportamiento de las imágenes de

preimágenes opuestas, es decir que relación muestran (x) y (-x) . Las funciones polinó-

micas potenciales cuya imagen es la expresión: a . x n (n N a 0 ) merecen este estudio:


si b 0 , positivo ,

hacia arriba b

(unidades)

si b 0 , negativo ,

hacia abajo |b|

(unidades)

137

(x) = 0,5 x

2 g(x) = - x

5 / 32

En estos ejemplos podemos comprobar que (x) = (-x) (imágenes iguales de preimágenes

opuestas), en cambio g(x) = - g(-x) (imágenes opuestas de preimágenes opuestas). Geométrica-

mente la representación gráfica de es simétrica a sí misma respecto del eje de ordenadas y

la curva gráfica de g es simétrica a si misma respecto del punto origen del sistema. Debido a la

paridad del exponente natural de estas funciones se clasifica a todas las funciones escalares que

cumplen las condiciones indicadas en pares, impares o sin paridad.

Si el domino de una función escalar tiene pares de números reales opuestos, esta puede ser:

Función par

x ( x D -x D ( x ) = ( -x ) ) , la función es par

Función impar

x ( x D -x D ( x ) = - ( -x ) ) , la función es impar

Si no es ni par ni impar o su dominio no responde a lo indicado se dice que carece de paridad.

138

x

y

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

Esta función particular se denomina parte entera, sus imágenes son la parte entera del número

real:

: R R / (x) = [ x ] = ent(x)

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

2

Esta función tiene de imágenes la diferencia del número real y su parte entera (la parte decimal)

se llama función mantisa (agregado, añadidura a la parte entera de un número real)

: R R / (x) = x - [ x ] = x - ent(x)

La función mantisa es un ejemplo de aplicaciones donde las imágenes vuelven a repetirse en in-

tervalos sucesivos del dominio o las imágenes son iguales para preimágenes que difieren en un múl-

tiplo de un número constante positivo (fijo) llamado período (en la función mantisa es 1).

Función periódica

p x ( x D p R+ n Z ( x ) = ( x + n . p) ) , la función es periódica

( : significa existe y es único)

Otros ejemplos destacables de funciones periódicas son las trigonométricas.

139

Algunas relaciones entre las representaciones gráficas

Algunos detalles más referidos a la representación gráfica de funciones es el hecho de sustituir

F(x) (imagen) por -F(x) (el valor opuesto) produciendo una simetría con el eje de abscisa,

mejor observémoslo en los ejemplos ( R R ):

(x) = x3 h(x) = e

x - 2

g(x) = - (x) = -x

3 j(x) = - h(x) = - e

x + 2

Por último “el efecto módulo” al reemplazar F(x) por | F(x)| que transforma imágenes

negativas en positivas .Lo vemos: l(x) = |(x)| = | x

3 | m(x) = |h(x)| = | e

x - 2 |

140

Hasta ahora no hemos dado una función donde las imágenes responden a dos o más expresiones

algebraicas según el valor de la preimagen (sujeta a condiciones), es decir tiene varias ecuaciones

explícitas de la imagen, por ejemplo:

Sea una función de dominio todos los números reales de imagen 1 - 2

x

1, si x es menor a -1/2

y en caso contrario la imagen es x2 + x – 11/4 .

Veamos los efectos sobre la curva representativa indicados en la página anterior:

g(x) = - (x) h(x) = | (x) |

Hasta aquí hemos presentado algunas propiedades y características de las funciones escalares,

en lo que sigue las detallaremos y las calificaremos revisando sus particularidades.

Lo escribimos:

: R R / (x) =

2

1x,

4

11xx

2

1x,

x

11

2

2

140

FFuunncciioonneess uussuuaalleess aallggeebbrraaiiccaass

El primer tipo de funciones son las polinómicas (cuya expresión de la imagen es un polinomio)

nnn ooo ttt aaa ::: Es importante tener presente que planteamos el conjunto dominio “más amplio” pero cualquier

subconjunto puede ser el dominio de las funciones produciendo un cambio del conjunto imagen y

del conjunto gráfica (para tener muy en cuenta).

Función constante

: R R / (x) = b , b constante real

eeejjj ... Si observamos la curva representativa es una recta “horizontal” paralela al eje de abscisa.

y = (x) = 3

Función polinómica de primer grado ( lineal )

: R R / (x) = a . x + b , a 0 y b constantes reales

Su curva representativa ( en R ) es una línea recta cuyo dibujo es muy simple de exponer

conociendo como mínimo dos puntos (x,(x)) :


1] 2]

141

3] 4]

Una función lineal destacada

por su referencia en muchos

casos es la función cuya

preimagen e imagen son

iguales (idénticas):

Función identidad : R R / (x) = x = id (x) , su recta representativa

es la que incluye a las bisectrices del primer y tercer cuadrante del plano cartesiano .

ejercicio

1 Identifique, en el último ejemplo, las representaciones gráficas de las funciones de ecuación

explícita, complete con el número de orden dado:

(x) = - ½ x + ½ [ ] , g(x) = x – 2 [ ]

h(x) = ½ x – 3 [ ] , j(x) = - 0,375 x – 1,5 [ ]

PROBLEMAS

2 Un bebé al nacer pesa 3,5 kg(fuerza) y tres años después alcanza un peso de 10,5 kg(fuerza).

Suponga que el peso P de la infancia está relacionado linealmente con la edad t (tiempo medido

en años).

Exprese P en función de t y dibuje la curva representativa 0 < t < 12

¿ A qué edad pesará 22 kg(fuerza) ?, y ¿cuál será el peso cuando el niño cumpla 6 años ?

Características de las funciones de este tipo

,en el dominio mas amplio R : Inyectiva

Sobreyectiva

Monótona estricta, a0 :est. creciente

a0 :est. decreciente

Carece de paridad salvo si b=0 es Impar

Conjunto Imagen todos los reales

Curva representativa una recta

142

3 El triángulo ABC esta inscripto en un semicírculo de diámetro l5.

Si x es la medida de la longitud del lado AC. Exprese la medida de la longitud del lado BC

en función de la del lado AC.

4 Una rara especie de ballena que habita en el Atlántico Sur mide al nacer alrededor de 7,5 metros

y pesa alrededor de 3 toneladas.

Los cetáceos jóvenes, son amamantados durante 7 meses y al momento del destete, muchos miden

16 metros de largo y pesan 23 toneladas. Denotamos con L la longitud y con P el peso en toneladas

de una ballena cualquiera de t meses de edad.

Si L y P están relacionadas linealmente, exprese L en función de t.

¿Cuál es el aumento diario en la longitud de una ballena joven? (mes de 30 días).

Si P y t están relacionadas linealmente, exprese P en función de t.

¿Cuál es el aumento diario en el peso de una ballena joven?

5 Una persona alquila autos y cobra 10$ por día más 1 $ por km. recorrido, mientras que otra

cobra 20$ diarios más 60 centavos por Km. recorrido, ¿ cuántos km. hay que recorrer para que el

costo sea el mismo en las dos empresas?. Exprese en ambos casos el costo en pesos por día en

función de los km recorridos (por día).

Función polinómica de segundo grado ( cuadrática )

: R R / (x) = a . x2 + b . x + c , a 0 , b y c constantes reales

La curva representativa es la denominada parábola, de ecuación cartesiana:

y = a . x2 + b . x + c , procedemos a “completar cuadrado” en el miembro derecho

y = a

x

2 + 2 .

a2

bx

+ c = a

x

2 + 2.

a2

bx +

2

2

a4

b

+ c -

a4

b2

( a 0 )

En los sumandos agregados, observe que el primero es multiplicado por a.

Exprese la medida de la longitud del lado

BC en función de la del lado AC.

Proporcione una función que permita

calcular el área del mismo en función de la

medida del lado AC. Indique su conjunto

dominio.

143

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8x

2

4

6

8

10

y

y = a

2

a2

bx

+

a4

bac42

y – v = a (x – u)2 ó y = a ( x – u )

2 + v ( a 0 , u , v constantes reales)

esta ecuación se denomina canónica y de su forma podemos extraer conclusiones.

Analizamos el número a (x – u)2 :

es positivo o cero si a 0 , es negativo o cero si a 0 .

y – v = a (x – u)2 0 y – v = a (x – u)

2 0

y - v 0 y - v 0

y v y v

La última inecuación nos plantea que los puntos de la curva tienen ordenada mayor (menor) a v

salvo un punto particular de ordenada v y abscisa u denominado vértice de la parábola (u , v) .

Luego para bosquejar , por simetría respecto

la línea elaboramos una de la recta de ecuación

tabla de pares a partir x = u se tiene puntos

del valor de la abscisa de igual ordenada

del vértice

Consideremos un ejemplo:

y = 2x2 – 4 x + 5

y = 2( x2 – 2 x ) + 5 = 2 ( x

2 – 2 x + 1) + 5 - 2

y = 2 (x – 1)2 + 3

y – 3 = 2 (x – 1)2 ( 2(x –1)

2 0 entonces y –3 0 es decir y 3 ) ,

3 – 3 = 2 (1 – 1)2 , el vértice de la parábola tiene coordenadas (1 , 3) .

x y

u v

u+1 y1

u+2 y2

u+3 y3

x y

u-3 y3

u-2 y2

u-1 y1

u v

x y

-2 21

-1 11

0 5

1 3

2 5

3 11

4 21

144


1] 2]

3] 4]

ejercicios



(x) = - x2 – 6x - 5 [ ] , g(x) = 6(x – 2)

2 - 4 [ ]

h(x) = - 0,25 x2 - x + 2 [ ] , j(x) = x

2 – 4 [ ]

Características de las funciones de este tipo, en

el dominio más amplio R :

No inyectiva

No sobreyectiva en R

No monótona

Sólo par si b = 0

Conjunto imagen intervalo [v;+) ó (-;v] Curva representativa parábola

145

2 Determine f(x) , si f : R R / f(x) = (k +m) x + 2 , función polinómica de 1er. grado, y

se sabe que: k Z , g(x) = (k-2) x2 – (k + 5) x + 4 – k , g tiene un único cero y su grá-

fica corresponde a una recta perpendicular a la curva gráfica de h / h(x) = 6x3

1

3 Dadas f : R R / f(x) = x+2-7

g : R R / g(x) = a x2 + b x +c con g(0) = 2 , g(2) = 0 y la abscisa del vértice

de la parábola representativa es 3/2 .

3-1] Represente gráficamente ambas curvas representativas de f y de g .

3-2] Determine en notación de intervalos el conjunto { x / x R f(x) > g(x) }

4 Las funciones cuadráticas:

g : R R / g(x) = 4x2 + ax + 1

h : R R / h(x) = 2bx

2 + 2bx - 1

Halle la distancia entre el máximo valor de h(x) y el mínimo valor de g(x) , si se sabe que g tiene

ceros opuestos y h tiene un único cero.

5 Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba con un a velocidad de 120 m/s. Su altura

sobre el suelo t segundos después del disparo está dada por: s(t) = – 4,9 t2 + 120 t .

5-1] ¿Para qué valores de t el proyectil asciende y para cuáles desciende?

5-2] Halle el instante en que el proyectil alcanza su altura máxima y calcúlela.

5-3] Indique el instante en que el proyectil alcanza los 50 m de altura.

5-4] Calcule el intervalo de tiempo que demora el proyectil en llegar al suelo.

6 Una compañía de TV por cable de acuerdo con un estudio de mercado sabe que el ingreso

mensual de la empresa cuando la tarifa es de x pesos mensuales viene dada por la ecuación:

r(x) = 500 (300 – x) . x

¿ Cuál es la tarifa máxima que puede cobrar a un cliente?, y ¿cuál debe ser la tarifa mensual para

que el ingreso de la empresa sea máximo ?

7 Se quiere construir una ventana que tenga la forma de un rectángulo, coronado por un semicírculo

cuyo perímetro sea de 12 m. Hallar las dimensiones que debe tener la ventana si se quiere que deje

pasar la mayor cantidad de luz posible(utilice como variable independiente el radio del semicírculo)

8 De todos los rectángulos de perímetro 8, halle las dimensiones del que tiene área máxima.

9 El número de km (M), que cierto automóvil puede recorrer con un litro de nafta, a una velocidad

escalar v km / h, está dado por v2

5v

30

1M

2 con 0 < v < 70

Indique la velocidad más económica para un viaje. Proporcione el valor máximo de M.

146

Función polinómica general

: R R / (x) = p(x) = j

xn

1jj

ao

a .

, a n constantes reales

Debido a la complejidad del estudio de estas funciones según su grado, que será estudiado en

Análisis Matemático I, no nos dedicaremos a ellas salvo algunas de grado 3, 4 y otras sencillas.

Función racionales no enteras (fraccionarias)

: R – Cq R / (x) =)x(q

)x(p ,con p(x) y q(x) polinomios y p(x) no es divisible por q(x)

Cq = { x / x R q(x) = 0 }

En particular nos dedicaremos a una de estas denominada homográfica en referencia a su curva

representativa :

: R – { c

d } R / (x) =

dx.c

bx.a

, las condiciones que indican que no es polinómica

son c 0 , a , b y d constantes reales además de que a . d b . c , ¿ por qué?

La curva representativa es una hipérbola:

Cuando x (perteneciente al dominio) toma valores

“cercanos” a –d/c , el número c.x+d se aproxima

a cero ( se dice que c.x+d tiende a 0 y se escribe

c.x+d 0) y el cociente (x) toma valores “muy

grandes” positivos o negativos o muy distantes del

del cero. Se observa que los puntos de abscisas pró-

xima a -d/c tienen ordenadas “muy grandes”positivas

o negativas .Luego si x toma valores ”muy grandes”

positivos o negativos, los números b/x y d/x

tienden a cero, y su imagen (x) tiende a a/c :

Con x 0 , (x) = dx.c

bx.a

=

x

dx.dx

bx.a

=

x

dd

x

ba

Las observaciones analíticas nos permite deducir el comportamiento de la hipérbola acercándose a

las rectas de ecuación: x = -d/c e y = a/c que se las califica de asintóticas (privación de

coincidir) a la curva representativa, rectas asíntotas. Siempre debemos elaborar una tabla de pares

ordenados (x , (x)) del conjunto gráfica de la función.

147

eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss 1] 2]

3] 4]

ejercicios



(x) = 2x2

1x4

[ ] , g(x) =

x

2 [ ]

h(x) = 4x2

3

[ ] , j(x) =

3x

1

[ ]

Características de las funciones de este tipo ,en el

dominio más amplio R-{-d/c}:

Inyectiva

No sobreyectiva en R (sobreyectiva en R-{a/c} )

Carece de paridad solo si a=d= 0 es impar

Conjunto imagen R – {a/c} Curva representativa hipérbola

148

2 f : R - { -3,-2,-1,0} R / f (x) =4bx

5ax

Halle los reales a y b , dibuje la curva representativa de f y determine If si se sabe que f(1) = 3

y f(-1) = 2/3

3 g: R R / g (x) = ( a+b) x - 2

Determine los reales a , b y grafique la curva representativa de g , si se sabe que (2a – b,3a +b)

es el punto intersección de las rectas asintotas a la gráfica de h tal que h(x) = x1

2x3

4 En un estanque que contiene agua pura, fluye agua salada de modo tal que la concentración de

sal en un tiempo t está dada por:

c(t) = 100t10

t

t > 0

Grafique la representación de c , y analice el comportamiento de la concentración de sal cuando t

toma valores “muy grandes” (idealmente).

Funciones usuales (no algebraicas) trascendentes

Función exponencial

: R R / (x) = a . bx + c , a 0 , b R+ - { 1 } y c constantes reales

La curva representativa (exponencial) es de ordenadas estrictamente crecientes o estrictamente

decrecientes. Analizamos la ecuación cartesiana que la describe:

y = a . bx + c , y – c = a . b

x

como a 0 , b R+ - { 1 } y bx es siempre positivo , a . b

x tiene el signo de a ,

así las ordenadas de los puntos de la curva toman valores mayores (menores) a c :

a 0 a 0

y – c = a . bx 0 y – c = a . b

x 0

y - c 0 y - c 0

y c y c

Luego si x toma valores “muy grandes” positivos o negativos las respectivas imágenes (x) se

“acercan” a c o toman valores “muy grandes” según la base de la potencia ( b ), sea menor o

mayor a 1 . Analícelo y no olvide de realizar una tabla de valores de las coordenadas. Nos queda

por indicar que esta curva tiene una recta asíntota de ecuación: y = c .

149


1] 2]

3] 4]

ejercicios



(x) = 4x - 1

-5 [ ] , g(x) = - 5x -1 [ ]

h(x) = - 2x + 3 [ ] , j(x) = 3 . 2,1

x + 1 [ ]

Características de las funciones de este tipo

,en el dominio mas amplio R:

Inyectiva

No sobreyectiva en R

Monotonía según b y a .

Carece de paridad

Conjunto imagen (-;c) ó (c;+)

Recta asíntota de ecuación: y = c

150

2 Dada f : R - [0 ; 5] R / f (x) = 3 a x - b

.Determine a y b si se conoce las dos imágenes

f (1)=1/ 3 y f (2) = 3 .

3 La función p de ecuación: p(t) = p0. e k t

( k > 0 ), describe el primer mes de crecimiento

de la cosecha de algodón p(t) representa el peso total en miligramos (fuerza), p0 es el peso del

día de su aparición y t es el tiempo en días. Si para una especie de algodón que se cultiva en el

Chaco: k=0,2 y p= 68 mg; determine la intensidad peso al cabo de 30 días.

4 La población N(t) en millones de personas y t (en años), después de un estudio realizado en

1980, se puede calcular mediante la ecuación: N(t) = 227 e - 0,007 t

¿ cuándo llegará al doble?

5 Si p denota el precio de venta en pesos de un artículo y x la demanda correspondiente (número

de piezas vendidas por día), la relación entre p y x está dada en determinadas circunstancias por

p = k . e – a x

( k y a constantes positivas ).

Exprese a x en función de p.

El aumento de la altura de ciertas especies de coníferas se describe a menudo mediante:

t2,0

e.2001

120h

, h representa la altura (en metros) y t la edad de la conífera (en años).

Responda: ¿cuál será la altura a los 10 años? y ¿a qué edad medirá 50 m?

ejercicio

Determine la función inversa de las siguientes funciones biyectivas:

: R R / (x) = 2x - 3/2

g : R – { -3 } R - { 2 } / g(x) = 3x

1x2

h : R – { 4 } R - { -1 } / h(x) = 4x

2

– 1

j : R R / j(x) = 3 5x2

k : R R / k(x) = -3 x5 + 10

l : R+ (-3 ; +) / l(x) = x2 - 3

151

Deducimos las ecuaciones explícitas de la imagen de funciones inversas de dos funciones

exponenciales:

f(x) = 2. 3x –1 g(x) = 2

x – 3 + 6

y = 2. 3x –1 w = 2

x - 3 + 6

y + 1 = 2. 3x w - 6 = 2

x - 3

log 3 2

1y = log 3 3

x log 2 ( w -6) = log 2 2

x - 3

log 3 2

1y = x log 2 ( w - 6) = x – 3

log 2 ( w - 6) + 3 = x

Recordamos que: F -1

o F (x) = id(x) = x = F –1

( F(x) )

log 3 2

1y = x = f

–1( f(x) ) = f

–1( y ) log 2 (w - 6) + 3 = x = g

–1( g(x) ) = g

–1 ( w )

f –1

( y ) = log 3 2

1y g

–1( w ) = log 2 (w - 6) + 3

La función inversa de una función exponencial biyectiva es la función trascendente logarítmica.

Función logarítmica

: R+ R / (x) = a . log b x + c , a 0 , b R+ -{ 1 } y c constantes reales

ejercicio

Identifique las representaciones gráficas de las funciones de ecuación explícita, complete con el

número de orden dado:

(x) = log2 x [ ] , g(x) = ½ log 3 x – 1 [ ]

h(x) = 3 ln x – 5 [ ] , j(x) = 2 - log x [ ] 1] 2]

152

3] 4]

ejercicios

1 Grafique las siguientes funciones logarítmicas e indique su monotonía estricta

h : R+ R / h (x) = xlog 2 , t : R+ R / t (x) = xlog

2

1

Extraiga conclusiones sobre la monotonía de F / F(x) = log b x :

Si b ( 0 ; 1) entonces F es ................................................................................

Si b (1 ; +) entonces F es .................................................................................

2 Determine los dominio (más amplios). Indique el movimiento en el plano cartesiano de la

curva representativa de h o de t ; deduzca en todos los casos la función inversa .

r : R+ R / r (x) = - xlog

2

1 u : R+ R / u (x) = - xlog 2

s : A R / s (x) = )1x(log 2 k : B R / k (x) = )1x(log 2

v : A R / v (x) = )1x(log

2

1 w : B R / w (x) = )1x(log

2

1

j : R+ R / j (x) = 1xlog 2 ñ: R+ R / ñ (x) = 1xlog

2

1

Características de las funciones de este

tipo, en el dominio más amplio R+:

Biyectiva Monótona

Carece de paridad

Conjunto imagen R

Recta asíntota ecuación: x = 0

153

3 g : E R / g(x) = )ax(log

3

1 , h : E R / h(x) = xlog

3

1

Se sabe que g(8) = -1 y el dominio es el mismo conjunto E (más amplio). Determine el conjunto

imagen de h y el conjunto { x / x E )ax(log

3

1 17x2log

3

1 }.

4 Complete la tabla:

Imágenes de funciones Dominio (más amplio) Ceros

d(x) = log ( x+2)-log ( x+3)

h(x) = 2x

3xlog

t(x) = log 1x2

r(x) =xlog

2

p(x) = xlog

u(x) =log 5x

w(x) = log ( 3+ 2 x2 + 7x)

Algunas funciones irracionales

ejercicio

Determine el dominio de las siguientes funciones:

g : A R / g(x) = 7x2 s : E R / s(x) = 2x

4x

h : B R / h(x) = 2

x9 u : H R / u (x) = 3 3

xx

f : C R / f(x) = 3 3x

1x

m : J R / m (x) = 3x2x

k : D R / k(x) = 4x5x

3x22

t : K R / t(x) = )5x).(2x(

154

Funciones trascendentes trigonométricas

(x) = sen x ejercicio

- 3 p

- 2 - 2 3 x

-1

1

y

Función seno

: R R / (x) = a . sen ( b . x + c )

, a 0 , b 0 y c constantes reales

El número |a| se denomina amplitud de la curva(onda)

sinusoide. Para bosquejar esta curva hacemos una tabla

que nos permite determinar cinco puntos destacables de

un arco (segmento de la onda) y debido a la periodicidad

de la función este arco se “repite a lo largo de eje x”:

x y b . x + c sen ( b . x + c)

a

b 0 0 0

a

b2/ a /2 1

a

b 0 0

a

b2/3 -a 3 /2 -1

a

b2 0 2 0

Deducimos el período

(en este caso denominado longitud de la onda): | (2 - b)/ a - (- b/a ) | = 2 / |a| = p

Características de las funcio-

nes de este tipo, en el dominio

más amplio R:

No inyectiva

No sobreyectiva

No monótona

Periódica

Solo es Par si c = 0

Conjunto imagen [-|a|;|a|]

Curva representativa Sinusoidal

No tiene recta asintótica

Considere la curva gráfica de

la izquierda y dibuje las repre-

sentaciones de las funciones:

g : R R / g(x) = 2 sen x

h : R R / h(x) = 3 sen x

j : R R / j(x) = - sen x

t : R R / t(x) = -2 sen x

155

ejercicios

2] 3] 1]

2 Represente la curva gráfica de las siguientes funciones escalares.

j: R R / j(x) = sen (3x-1) m: R R / m(x) = -2 sen (2x+4)

g: R R / g(x) = | sen x + 1| h: R R / h(x) = | sen (2 x) |

f : R R / f(x) = | -2 sen (x + 1) |

Función coseno

: R R / (x) = a . cos ( b . x + c ) , a 0 , b 0 y c constantes reales

El nombre del número trigonométrico coseno de (cos ) se debe a que corresponde al seno

de la medida del ángulo co mplementario. Dos ángulos son complementarios si la suma de sus

medidas es /2 ( en sistema sexagesimal 90 ) se complementan para formar un ángulo recto.

Otra importante observación es que los cosenos de ángulos opuestos son iguales:

cos = cos (- )

1 Identifique las representaciones

gráficas de las funciones de ecuación

explícita. Complete con el número de

orden dado:

(x) = -4 sen ( 1,5 x) [ ]

g(x) = -3 sen ( x –2 ) [ ]

h(x) = 4,5 sen (x – 3) [ ]

156

Por lo indicado cos = sen (½ - ) ó sen = cos (½ - )

y

cos = -sen ( - ½ ) ó sen = cos ( - ½ )

, así se cumple que :

(x) = a . cos ( b . x + c ) = a . sen ( b . x + c - ½ )

La curva representativa (del coseno) es una sinusoidal trasladada (de la del seno correspon-

diente)

(x) = cos x g(x) = sen x

3 2 2 3 x

-1

1

y

- 3 p

- 2 - 2 3 x

-1

1

y

ejercicios

1 En un mismo plano cartesiano ortogonal graficar las curvas representativas de los siguientes

pares de funciones:

g : R R / g(x) = 2 cos (3x –2)

h : R R / h(x) = 3 cos (3x –2)

f : R R / f(x) = - cos x

t : R R / t(x) = - 2 sen x

m : R R / m(x) = cos (2x)

u : R R / u(x) = - cos (2x +1)

j : R R / j(x) = 4 cos (x +½ ) + 1

k : R R / k(x) = - 4 sen x – 3

2 El número de horas de luz del día para una región se relaciona con el día del año de la siguiente

manera: H(d) = 12 + 2,5 sen

)81d(

365

2 ,

donde H(d) es el número de horas con luz del día correspondiente a d, día del año si 1 es el

primero de enero.

Determine el dominio de la función trigonométrica, que contiene la información de un año.

¿ Qué día o días del calendario son los que tienen mayor luz ambiente? , ¿ y los de menos luz?

157

3 La temperatura promedio diaria de una región está dada por la ecuación:

T(d) = 20 + 10 cos

)140d(

365

2 ,

donde T(d) es el promedio de temperatura diaria para un lugar del país (en grados centígrados)

y d es el día del año, cuando d es 1 corresponde al primero de enero.

Determine el dominio de la función trigonométrica.

¿Qué días del calendario son los que tienen mayor temperatura promedio? y ¿la diferencia o

variación entre los promedios de temperatura máxima y mínima?

Identidades para tener en cuenta:

Coseno de la diferencia cos ( - ) = cos . cos + sen . sen

Coseno de la suma cos ( + ) = cos . cos - sen . sen

Seno de la diferencia sen ( - ) = sen . cos - cos . sen

Seno de la suma sen ( + ) = sen . cos + cos . sen

ejercicio

Justifique y compruebe las siguientes identidades trigonometrícas:

sen (2x) = 2 sen x . cos x cos (2x) = cos 2 x – sen

2 x

cos (2x) = 1 – 2 sen 2

x cos (2x) + 1 = 2 cos 2 x

eee jjj eee mmm ppp lll ooo sss iii lll uuu sss ttt rrr aaa ttt iii vvv ooo sss

Determinamos el dominio de cada una de las siguientes funciones incluido en el intervalo [0 ;2)

n : D [0 ; 2) R

1] 1 (x) = 1xsen

1

, sen x + 1 0

sen x -1

en el intervalo [ 0 ; 2 ) : x 23 , x [ 0 ; 23 ) ( 23 ; 2)

D = [ 0 ; 23 ) ( 23 ; 2 )

2] 2 (x) =3xcos4

62

, 4 cos2 x - 3 0

cos2 x

4

3 , cos x

2

3

158

cos x 2

3 cos x -

2

3

por negación consideramos cos x =2

3 cos x = -

2

3

en el intervalo dado ( x = 61 x = 611 ) ( x = 65 x = 67 )

volvemos a negar :

x 61 x 611 x 65 x 67

D = [ 0 ; 2 ) – { 61 , 611 , 65 , 67 }

3] 3 (x) =xeccos2

1

. Recordamos que: cosec x = ( sen x )

- 1

el divisor: 2 – cosec x = 2 - xsen

1 =

xsen

1xsen.2

2 sen x 1 sen x 0

sen x ½ sen x 0

(x 61 x 65 ) (x 0 x )

D = [0 ; 2) -{ 0 , 61 , , 65 }

4] 4 (x) = 1xtg3

1

2 =

1xcos

xsen3

1

2

2

0xcos01xcos

xsen3

2

2

2

tg2

x 1/3 cos x 0

| tg x | 3

3 cos x 0

tg x 3

3 tg x

3

3 cos x 0

( x 61 x 611 x 65 x 67 ) (x /2 x 3/2)

D = [0 ; 2) – { 61 , /2 , 67 ,3/2 , 611 , 65 }

ooo ttt rrr ooo eee jjj eee mmm ppp lll ooo h : R R / h(x) = sen x

g : R R / g(x) = cos x

el conjunto de ceros de cada función es : Ch = { x/ x R x = k k Z }

Cg = { x / x R x = ½ + k k Z }

159

Si tenemos presente estos conjuntos podemos determinar los dominios (más amplios en R) de las

funciones (cocientes): tangente, cotangente, secante y cosecante:

: R – Cg R / (x) = tg x = x

x

cos

sen

La curva representativa es:

-3 3339.

43

-2 - 2 3 x

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10 y

ejercicios

1 Observando las curvas gráficas complete el siguiente cuadro:

Conjunto

Dominio

Conjunto

Imagen

Conjunto

de ceros

Ecuación

de asíntotas

Paridad

r(x) = sec x

m(x) = cosec x

j(x) = cotg x

j(x) = cotg x m(x) = cosec x

-5/2 -3/2 -/2 /2 3/2 5/2 x

-10

-5

5

10 y

-3 -2 - 2 3 x

-10

-5

5

10 y

Observe que cuando x toma valores

próximos a ½ + k ( k Z) , el número cos x se acerca a cero y

(x) toma valores “muy grandes” ,

por lo que existen rectas asintóticas, a

la curva, de ecuación:

x = ½ + k

160

r(x) = sec x

-5/2 -3/2 -/2 /2 3/2 5/2 x

-10

-5

1

5

10 y

2 Dadas las ecuaciones explícitas de las imágenes de funciones trigonométricas, determine:

2-1] el conjunto dominio de las siguientes funciones incluidos en el intervalo [ 0 ; 2 )

m(x) =x

1

2sec

n(x) = 2x

5

2 sec- q(x) =

1x

1

tg

r(x) = x

x

sen

tg s(x) = xsen t(x) = 2 cosec x - tg x

2-2] el conjunto de ceros, si el dominio esta incluido en [ 0 ; 2 )

f(x) = sen x + cos x- 1 p(x) = sen2 x + sen x - 2 g(x) = tg x . sen x - sen x

l(x) = 3 cos x - 3 sen x h(x) =sen2 x – cos

2 x v(x) = cosec x . cotg x - cotg x

Funciones inversas trigonométricas: arco seno, arco coseno y arco tangente

Indicamos las funciones biyectivas usuales seno, coseno y tangente, y sus respectivas inversas

trigonométricas denominadas arco seno, arco coseno y arco tangente. Cuyas imágenes están

registradas en cualquier calculadora científica, con las teclas [sin-1

], [cos-1

] y [tan-1

], según el

sistema de medición de ángulos: sexagesimal [deg] o circular [rad].

Las curvas gráficas de las funciones trigonométricas biyectivas usuales (------) y sus

respectivas inversas( ) , simétricas con respecto a la recta de ecuación y = x , son:

161

-3/2 - -/2 /2 3/2 x

-3

-2

-1

1

2

3

y

-/2 -1 1 /2 x

-3

-2

-1

1

2

3 y

-/2 -1 1 /2 x

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5 y

ejercicio

Determine las medidas de los ángulos interiores y un lado, de los triángulos rectángulos:

C F I

H

| AB |=24 | DE |=57 | GH |=20

| BC |=84 | EF |=65 | HI |=44

A B D E G

L : (½ ; ½ ) R / L(x) = tg x

L-1

:R (½ ; ½ ) / L-1

(x) = arctg x

H: [ 0 ; ] [ -1 ; 1 ] / H(x) = cos x

H-1

:[-1 ; 1] [0 ; ] / H-1

(x) = arccos x

G: [½ ; ½ ] [-1 ; 1] / G(x) = sen x

G-1

:[-1 ; 1] [½ ;½ ] / G

-1(x)=arcsen x

libro ingreso utn-frba

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