utn – frba – Álgebra y gemoetría analítica – cónicas

UTN – FRBA – Álgebra y Gemoetría Analítica – Cónicas – Prof Norma del Puerto

Álgebra y Geometría Analítica

GéneroParábola

GéneroElipse

GéneroHipérbola


2 2 ; cuadráticos : A x C y

rectangular : Bxy

lineales : D x ; E y

independiente : F

∈A,B,C,D,E,F

0 0 0≠ ∨ ≠ ∨ ≠A B C


( ) ( )

BA x x2x y . . + D E +F =0B y yC2

M

Ecuación matricial:

BA 2M=B C2

simétrica ⇒ diagonalizable

0≠ ⇒B Cónica rotada respecto de los ejes


2x2 1 inversible / M D P D=P M PBuscamos D diagonal:

las columnas de P son los versores delas bases de los espacios propios

( ). .2 21 2

xx + y D E P +F =0

y+λ λ

′′ ′

′

Los términos lineales se pueden eliminar mediante una traslación conveniente


2 2 + A' x' C' y' + D'x' +E'y' + F' = 0

génerocircunferencia

A'=C'λ λ=1 2( )

circunferencia

punto

no existe LG

elipse

punto

no existe LG

géneroelipse

A'C'>0λ λ > 01 2( )


2 2 + A' x' C' y' + D'x' +E'y' + F' = 0

génerohipérbola

A'C'<0λ λ < 01 2( )

géneroparábola

∨A'=0 C'=00λ λ= ∨ = 01 2( )

parábola par de rectas

paralelas par de rectascoincidentes

hipérbola par de rectas

incidentes


x h r cos

y k r sen

( ) ( )2 2 2: x - h + y - k = rC

( )

C h;k centro r radio

( )∀ ∈

= P x;y : CP rC

0 2

(ver desarrollo)

⇒

x'=x - hy'=y - k

2 2 2:x' + y' = rC


∈ =⇔P(x,y) d(P,F) d(P,d)C

∈ ∧pF eje simetría d(V,F)=2

Foco F

directriz d = ∧ ∩ ∅pd(V,d) d2

C =

∈ ∧ ⊥F EF EF deje focal EF

vértice V = ∩V EFCLadoRectoLR ⊥ ∧ =LR cuerda focal LR EF LR 2p

(ver desarrollo)


( ) ( )C 2: x - h = 2p y - k ( ) ( )C 2: y - k = 2p x - h

V(h,k):F:LL’:


( ) ( )C 2: x - h = 2p y - k ( ) ( )C 2: y - k = 2p x - h

2

x h

y k2p

2

y k

x h2p


(A.B>0)

( ) ( ) ( )C∈ ⇔ 1 2x;y P;F + P;FP d d =2a

a: semidiámetro mayor

b: semidiámetro menor

c: semidistancia focal

C(h,k): centro de simetría

F1,F2: focos

V1,V2: vértices

A1,A2: covértices

(ver desarrollo)


( ) ( )C 2 2

2 2

x-h y-k: + =1

a b( ) ( )C

2 2

2 2

x-h y-k: + =1

b a

(h,k):V:A:F:

a,b: semidiámetros



( ) ( ) ( )C∈ ⇔ 1 2x;y P;F + P;FP d d =2a

= +2 2 2a b cEcuaciones paramétricas:

2 2

2 2

2 2

2 2

x-h y-k: + =1

a bx-h y-k

: + =1b a

C

C

x h a cos

y k b sen

x h b cos

y k a sen

0 2 ó

Nota: una misma elipse puede representarse con cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas


( ) ( ) ( )C∈ ⇔ 1 2x;y P;F - P;FP d d =2a

C(h,k): centro de simetría

a: semidiámetro transversob: semidiámetro conjugado


F1,F2: focosV1,V2: vértices

A1,A2: covértices

(ver desarrollo)


( ) ( )2 2

2 2

x-h y-k: - =1

a bC ( ) ( )

−2 2

2 2

y-k x-h: =1

a bC

(h,k):a:b: c:


( ) ( ) ( )C∈ ⇔ 1 2x;y P;F - P;FP d d =2a

= +2 2 2c b a

Nota: una misma hipérbola puede representarse con cualquiera de las dos ecuaciones paramétricas

Ecuaciones paramétricas:

2 2

2 2

2 2

2 2

x-h y-k: - =1

a by-k x-h

: =1a b

C

C

x h a sec

y k b tg

x h b tg

y k a sec

0 2 ó 3

2 2


d(P,F)e=

d(P,d)“el grado de desviación de una cónica

con respecto a una circunferencia”≡

género elipse0<e<1

género parábolae = 1

género hipérbolae > 1

ce=

a


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