tippens fisica 7e soluciones 13

182 Tippens, Fsica, 7e. Manual de soluciones. Cap. 13 Copyright Glencoe/McGraw-Hill. Derechos reservados

Captulo 13. Elasticidad

Propiedades elsticas de la materia

13-1. Cuando una masa de 500 g cuelga de un resorte, ste se alarga 3 cm. Cul es la constante

elstica? [m = 0.500 kg; x = 0.03 m, F = W = mg]

F = kx; 2(0.50 kg)(9.8 m/s )

0.03 m

Fk

x= = ;

k = 163 N/m

13-2. Cul es el incremento del alargamiento en el resorte del problema 13-1 si se cuelga una

masa adicional de 500 g debajo de la primera? [F = W = mg] 2(0.500 kg)(9.8 m/s )

163 N/m

Fx

k

!! = = ;

x = 3.00 cm

13-3. La constante elstica de un resorte result ser de 3000 N/m. Qu fuerza se requiere para

comprimir el resorte hasta una distancia de 5 cm?

F = kx = (3000 N/m)(0.05 m);

F = 150 N

13-4. En un extremo de un resorte de 6 in se ha colgado un peso de 4 lb, por lo cual la nueva

longitud del resorte es de 6.5 in Cul es la constante elstica? Cul es la deformacin?

[x = 6.5 in 6.0 in = 0.50 in]

(4 lb)

0.5 in

Fk

x= = k = 8.00 lb/in

0.50 inEsfuerzo

6.00 in

L

L

!= = Esfuerzo = 0.0833


13-5. Un resorte en espiral de 12 cm de largo se usa para sostener una masa de 1.8 kg que

produce una deformacin de 0.10. Cunto se alarg el resorte? Cul es la constante

elstica?

Esfuerzo ; (esfuerzo) (12.0 cm)(0.10)o

LL L

L

!= ! = = ; L = 1.20 cm

2(1.8 kg)(9.8 m/s );

0.0120 m

Fk

L

!= =!

k = 1470 N/m

13-6. En el caso del resorte del problema 13-5, qu masa total se deber colgar de l si se desea

producir un alargamiento de 4 cm?

F = mg = kx; 2

(1470 N/m)(0.04 m)

9.80 m/s

kxm

g= = ;

m = 6.00 kg

Mdulo de Young

13-7. Un peso de 60 kg est suspendido de un cable cuyo dimetro es de 9 mm. Cul es el

esfuerzo en este caso? [F = mg = (60 kg)(9.8 m/s2); F = 588 N; D = 0.009 m] 2 2

-5 2(0.009 m) 6.36 10 m4 4

DA

! != = = " ;

2

588 NEsfuerzo

0.00707 m

F

A= = ;

Esfuerzo = 9.24 106 Pa

13-8. Un cable de 50 cm se estira a 50.01 cm. Cul es el efuerzo en este caso?

L = 50.01 50 cm;

0.01 cmEsfuerzo

50 cm

L

L

!= = ;

Esfuerzo = 2.00 104


13-9. Una varilla de 12 m est sometida a un esfuerzo de compresin de 0.0004. Cul es la

nueva longitud de la varilla?

Esfuerzo ; (esfuerzo) (12.0 m)( 0.0004)o

LL L

L

!= ! = = " ; L = 0.00480 m

L = Lo + L = 12.000 m 0.00480 m;

L = 11.995 m

13-10. El mdulo de Young de una varilla es de 4 1011 Pa. Qu deformacin resultar con un

esfuerzo de tensin de 420 MPa? 6

11

Tensin Tensin 420 10 Pa; Esfuerzo

Esfuerzo 4 10 PaY

Y

!= = =

!

Esfuerzo= 1.05 103

13-11. Una masa de 500 kg se ha colgado del extremo de un alambre de metal cuya longitud es

de 2 m, y tiene 1 mm de dimetro. Si el alambre se estira 1.40 cm, cules han sido el

esfuerzo y la deformacin? Cul es el mdulo de Young en el caso de este metal?

[F = mg = (500 kg)(9.8 m/s2); F = 4900 N; D = 0.001 m; L = 0.014 m] 2 2

-7 2(0.001 m) 7.85 x 10 m4 4

DA

! != = =

7 2

4900 NTensin

7.85 10 m

F

A!

= ="

; Tensin = 6.24 109 Pa

0

0.014 mEsfuerzo

2.00 m

L

L

!= = ; Esfuerzo = 7.00 103

9

3

Tensin 6.24 10 Pa

Esfuerzo 7 10Y

!

"= =

"; Y = 8.91 1011 Pa


13-12. Una viga maestra de acero de 16 ft con rea de la seccin de 10 in2 sostiene una carga de

compresin de 20 toneladas. Cul es la disminucin resultante en la longitud de la viga?

[Y = 30 106 Pa; 1 ton = 2000 lb]

6 2 2

( 40 000 lb)(16 ft)(12 in/ft);

(30 10 lb/in )(10 in )

FL FLY L

A L YA

!= " = =

" #;

L = 0.0256 in

13-13. En qu medida se alarga un trozo de alambre de bronce, de 60 cm de longitud y 1.2 mm

de dimetro, cuando se cuelga una masa de 3 kg de uno de sus extremos?

[Y = 89.6 109 Pa; D = 0.0012 m; L0 = 0.60 m; m = 3 kg] 2 2

6 2(0.0012 m) 1.13 10 m4 4

DA

! ! "= = = # ;

F = (3 kg)(9.8 m/s2) = 29.4 N; ; FLYA L

=!

9 6 2

(29.4 N)(0.60 m)

(89.6 10 )(1.13 10 m )

FLL

YA!

" = =# #

;

L =1.74 104 m

*13-14. Un alambre cuya seccin transversal es de 4 mm2 se alarga 0.1 mm sometido a un peso

determinado. En qu medida se alargar un trozo de alambre del mismo material y

longitud si su rea de seccin es de 8 mm2 y se le somete al mismo peso?

1 1 2 2

FL FLY

A L A L= =

! !; A1 L1 = A2 L2

2

1 12 2

2

(4 mm )(0.10 mm)

(8 mm )

A LL

A

!! = = ;

L2 = 0.0500 mm


13-15. El esfuerzo de compresin del hueso de un muslo humano de la figura 13.9 se parece al

ejercido en la seccin transversal de un cilindro hueco. Si el esfuerzo mximo que puede

sostenerse es de 172 MPa, cul es la fuerza requerida para romper el hueso en su parte

ms ancha? Use las dimensiones dadas en la figura. 2 2 2 2 4 2

1 2( ) (0.0125 m) (0.0062 m) ; 3.70 10 m A R R A! !"# $= " = " = %& '

6 4 2172 MPa; (172 10 Pa)(3.70 10 m );F

FA

!= = " "

F = 63.7 kN

Mdulo de corte

13-16. Una fuerza de corte de 40 000 N se aplica a la parte superior de un cubo cuyo lado mide

30 cm. Cul es el esfuerzo cortante en este caso? [A = (0.30 m)(0.30 m) = 0.09 m2]

2

40,000 NTensin

0.09 m

F

A= = ;

Tensin = 4.44 105 Pa

*13-17. Si el cubo del problema 13-16 es de cobre, cul ser el desplazamiento lateral de la

superficie superior del cubo? 5

9

/ / 4.44 10 Pa;

42.3 10 Pa

F A F AS

S!

!

"= = =

"; = 1.05 105 rad

; (0.30 m)(d

d ll

! != = = 1.05 105 rad);

d = 3.15 m

13-18. Una fuerza de corte de 26 000 N se distribuye uniformemente sobre la seccin transversal

de un alfiler de 1.3 cm de dimetro. Cul es el esfuerzo cortante? [A = D2/4] 2 2

4 2(0.0130 m) 1.33 10 m4 4

DA

! ! "= = = # ;

4 2

26 000 NTensin

1.33 10 m

F

A!

= ="

; Tensin = 1.96 108 Pa


13-19. Una varilla de aluminio cuyo dimetro es 20 mm sobresale 4.0 cm de la pared. El extremo

del perno est sujeto a una fuerza de corte de 48 000 N. Calcule la flexin hacia abajo. 2 2

4 2(0.020 m) 3.14 10 m4 4

DA

! ! "= = = # ; l = 0.04 m; F = 48 000 N

/ /;

/

F A F A Fl FlS d

d l Ad SA!= = = =

9 4 2

(48 000 N)(0.04 m)

(23.7 10 Pa)(3.14 10 m )d

!=

" ";

d = 2.58 104 m

13-20. Una varilla de acero sobresale 1.0 in por encima del piso y tiene 0.5 in de dimetro. La

fuerza de corte F aplicada es de 6000 lb y el mdulo de corte es 11.6 106 lb/in2 Cules

son los valores del esfuerzo cortante y la flexin horizontal? 2 2

2(0.50 in.) 0.196 in.4 4

DA

! != = = ; l = 1.0 in; F = 6000 lb

2

6,000 lbTensin

0.196 in

F

A= = ; Tensin = 3.06 104 lb/in2

6 2 2

(6000 lb)(1.0 in)

(30 10 lb/in )(0.196 in )

Fld

SA= =

!; d = 1.02 103 in

13-21. Una carga de 1500 kg est sostenida por un extremo de una viga de aluminio de 5 m,

como se observa en la figura 13-10. El rea de la seccin de la viga es de 26 cm2 y el

mdulo de corte es 23 700 MPa. Cules son el esfuerzo cortante y la flexin hacia abajo

de la viga?

A = 26 cm2 (104 m2/cm2) = 2.60 103 m2; S = 23.7 109 Pa; l = 5 m 2

3 2

(1500 kg)(9.8 m/s )Tensin

2.60 10 m

F

A!

= ="

; Tensin = 5.65 106 Pa

6

9

/ / 5.65 10 Pa;

23.7 10 Pa

F A F AS

S!

!

"= = =

"; = 2.39 104 rad

4; (5.0 m)(2.39 10 rad)d

d ll

! ! "= = = # ; d = 1.19 mm


13-22. Una placa de acero de 0.5 in de espesor tiene una resistencia final de corte de 50 000

lb/in2. Qu fuerza se debe aplicar para hacer un orificio de 1/4 in que atraviese toda la

placa? 2 2

2(0.25 in.) 0.0491 in.4 4

DA

! != = = ; 2Tensin 50 000 lb/inF

A= =

F = (50 000 lb/in2)(0.0491 in2);

F = 2454 lb

Mdulo volumtrico

13-23. Una presin de 3 108 Pa se aplica a un bloque cuyo volumen es 0.500 m3. Si el volumen

disminuye en 0.004 m3, cul es el mdulo volumtrico? Cul es la compresibilidad? 8

3 3

(3 10 Pa)

/ 0.004 m / 0.500 m

PB

V V

! ! "= =# !

; B = 37.5 109 Pa

9

1 1

37.5 10 Pak

B= =

!; k = 2.67 1011 Pa1

13-24. El mdulo volumtrico para un aceite es de 2.8 1010 Pa. Cunta presin se requiere

para que su volumen disminuya con un factor de 1.2%? [V/V = 1.2% = 0.012]

( ) ( )10; 2.8 10 Pa 0.012/

PVB P BVV V

! "= ! = = # !"

;

P = 3.36 108 Pa

13-25. Una esfera de latn macizo (B = 35 000 MPa) cuyo volumen es 0.8 m3 se deja caer en el

ocano hasta una profundidad en la cual la presin hidrosttica es 20 MPa mayor que en la

superficie. Qu cambio se registrar en el volumen de la esfera? [P = 20 106 Pa] 6 3

9

(20 10 Pa)(0.8 m ); =

/ 35 10 Pa

P PVB V

V V B

! ! ! "= # =# "

;

V = 4.57 104 m3.


13-26. Un fluido en particular se comprime 0.40% bajo una presin de 6 MPa. Cul es la

compresibilidad de ese fluido? [V/V = 0.04% = 0.0004]

6

/ 0.0004

6 10 Pa

V Vk

P

! "= =

" " #;

k = 6.67 1011 Pa1

13-27. Cul es el decremento fraccional del volumen del agua cuando est sometida a una

presin de 15 MPa? 6

9

(15 10 Pa); =

/ 2.10 10 Pa

P V PB

V V V B

! " ! ! #= =" #

;

V/V = 7.14 103

Problemas adicionales

13-28. Un alambre de acero de 10 m y 2.5 mm de dimetro se estira una distancia de 0.56 mm

cuando se coloca cierta carga en su extremo. Cul es la masa de esa carga? 2 2

6 2(0.0025 m) 4.91 10 m4 4

DA

! ! "= = = # ; F = mg; ; FL mgLY

A L A L= =

! !

9 6

2

(207 10 Pa)(4.91 10 m)(0.00056 m)

(9.8 m/s )(10 m)

YA Lm

gL

!" # #

= = ;

m = 5.81 kg

13-29. Una fuerza de corte de 3000 N se aplica en la superficie superior de un cubo de cobre

cuyo lado mide 40 mm. Suponga que S = 4.2 1010 Pa. Cul es el ngulo de corte?

[A = (0.04 m)2 = 1.6 10-3 m2]

3 2 10

/ 3000 N;

(1.6 10 m )(4.2 10 Pa)

F A FS

AS!

! "= = =

# #;

= 4.46 105 rad


13-30. Una columna slida cilndrica de acero tiene 6 m de largo y 8 cm de dimetro. Cul es la

disminucin de longitud cuando la columna soporta una carga de 90 000 kg? 2 2

3 2(0.08 m) 5.03 10 m4 4

DA

! ! "= = = # ; F = W = mg; L = 6.00 m

F = (90,000 kg)(9.8 m/s2) = 8.82 105 N; ; FLYA L

=!

5

9 3 2

(8.82 10 N)(6.0 m)

(207 10 )(5.03 10 m )

FLL

YA!

"# = =

" ";

L = 5.08 103 m

13-31. Un pistn de 8 cm de dimetro ejerce una fuerza de 2000 N sobre 1 litro de benceno. En

cunto disminuye el volumen del benceno? 2 2

3 2(0.08 m) 5.03 10 m4 4

DA

! ! "= = = # ; 5

3 2

2000 N3.98 10 Pa

5.03 10 m

FP

A!

= = = ""

5 3

9

(3.98 10 Pa)(0.001 m );

/ 1.05 10 Pa

P PVB V

V V B

! ! ! "= # = =# "

;

V = 3.79 107 m3

13-32. Cunto se estirar un trozo de alambre de cobre de 600 mm de longitud y 1.2 mm de

dimetro cuando se cuelga una masa de 4 kg de uno de sus extremos? 2 2

-6 2(0.0012 m) 1.13 10 m4 4

DA

! != = = " ; F = (4 kg)(9.8 m/s2) = 39.2 N

9 6 2

(39.2 N)(0.60 m)

(89.6 10 )(1.13 10 m )

FLL

YA!

" = =# #

;

L =2.32 104 m


13-33. Una columna cilndrica slida de acero tiene 12 ft de altura y 6 in de dimetro. Qu carga

tiene que soportar para que su longitud disminuya en 0.0255 in? 2 2

2(6 in) 28.3 in4 4

DA

! != = = ; FLY

A L=

!; L = 12 ft = 144 in

6 2 2(30 10 lb/in )(28.3 in )(0.0255 in)

(144 in)

YA LF

L

! "= = ;

F = 1.50 105 lb

13-34. Calcule la contraccin del volumen de mercurio si un volumen original de 1600 cm3 de

este elemento se somete a una presin de 400 000 Pa. [1600 cm3 = 1.6 10-3 m3] 3 3

9

(400 000 Pa)(1.6 10 m );

/ 27.0 10 Pa

P PVB V

V V B

!! ! ! "

= # = =# "

;

V = 2.37 108 m3

13-35. Cul es el dimetro mnimo de una varilla de bronce si tiene que soportar una tensin de

400 N sin que se exceda el lmite elstico? [Lmite elstico = 3.79 106 Pa] 2

6

6379 10 Pa;

4 379 10 Pa

F D FA

A

!= " = =

"; 2

6

4

(379 10 Pa)

FD

!=

"

2 6 2

6

4(400 N)1.34 10 m

(379 10 Pa)D

!

"= = #

#;

D = 1.16 mm

13-36. Un bloque cbico de metal con lados de 40 cm soporta una fuerza de corte de 400 000 N

en su borde superior. Cul es el mdulo de corte para este metal si el borde superior se

flexiona hasta una distancia de 0.0143 mm?

-50.0143 mm3.575 10

400 mm

d

l! = = = " ; A = (0.40 m)2 = 0.160 m2

3 2

/ 400 000 N

(3.575 10 )(0.160 m )

F AS

! "= =

#;

S = 6.99 1010 Pa


13-37. Una cuerda de acero para piano tiene una resistencia lmite de 35 000 lb/in2. Cul es la

mayor carga que puede soportar una cuerda de acero de 0.5 in de dimetro sin romperse? 2 2

2(0.5 in) 0.196 in4 4

DA

! != = = ; 235 000 lb/inF

A=

F = (35 000 lb/in2)(0.196 in2);

F = 6870 lb

Preguntas para la reflexin crtica

*13-38. Un alambre de metal se alarga 2 mm cuando est sometido a una fuerza de tensin. Qu

alargamiento se puede esperar con esa misma fuerza si el dimetro del alambre se reduce

a la mitad de su valor inicial? Suponga que el alambre de metal conserva su mismo

dimetro, pero que su longitud se duplica. Qu alargamiento se podra esperar entonces

con la misma carga?

2 2 2

1 1 2 22

4 4; ; ;

FL FL FL FLY L LD L D L D

A L AY D Y Y! != " = = " = " = "

"

2

12 1 2

2

(2 mm)D D

L LD

! "# = # =$ %

& ' 2D

2

2 mm

4

! "=$ %

& '; L2 = 0.500 mm

Puesto que L L, al duplicar L tambin se duplicar L: L2 = 4.00 mm

13-39. Un cilindro de 4 cm de dimetro est lleno de aceite. Qu fuerza habr que ejercer en

total sobre el aceite para obtener una disminucin de 0.8% en el volumen? Compare las

fuerzas necesarias si el aceite se sustituye por agua y por mercurio. [V/V = 0.008] 2 2

3 2(0.04 m) 1.26 10 m4 4

DA

! ! "= = = # ;

( )/P F

BVV V AV

! != =

""

3(1.26 10 )( 0.008)

FB

!

!=

" !; F = (1.005 105 m2)B

Para aceite: F = (1.005 105 m2)(1.7 109 Pa); Faceite = 17 090 N

Para agua: F = (1.005 105 m2)(2.1 109 Pa); Fagua = 21 100 N

Para mercurio: F = (1.005 105 m2)(27 109 Pa); Fmercurio = 271 400N


*13-40. Una pelota de 15 kg est unida al extremo de un alambre de acero de 6 m de largo y

1.0 mm de dimetro. El otro extremo del alambre est sujeto a un techo elevado y el

conjunto constituye un pndulo. Si ignora el pequeo cambio de longitud, cul es la

rapidez mxima con la cual puede pasar la bola por su punto ms bajo sin que se exceda

el lmite elstico? Cul ser el incremento de longitud del alambre bajo el esfuerzo

limitador? Qu efecto tendr este cambio sobre la velocidad mxima?

[D = 1 mm = 0.001 m] 2 2

7 2(0.001 m) 7.85 10 m4 4

DA

! ! "= = = #

La velocidad mxima es aquella para la cual el

impulso causa la tensin que excede el lmite elstico

para el acero (2.48 108 Pa).

8 8 7 2 2.48 10 Pa; (2.48 10 Pa)(7.85 10 m )F

T FA

!= " = = " " ;

Tmx = 195 N 2

2 2 ( ); ; mv R T mg

T mg mv TR mgR vR m

!! = = ! = ;

mg = (15 kg)(9.8 m/s2) = 147 N

(6 m)(195 N 147 N)

15 kgv

!= ; vmx = 4.37 m/s

7 2 9

(195 N)(6 m);

(7.85 10 m )(207 10 Pa)

FL FLY L

A L AY!

= " = =" # #

; L = 7.19 mm

El alargamiento L del cable bajo esta carga incrementar el radio R de la trayectoria

de 6.000 m a 6.007 m. El radio mayor proporciona una fuerza centrpeta menor de modo

que (T = Fc + mg) se reduce. Esto podra permitir una mayor velocidad mxima hasta el

punto en donde la tensin de nuevo reduce el mximo permitido.

6 m

mg

T v


*13-41. En un cilindro de 10 in de dimetro se vierte glicerina hasta una altura de 6 in. Un pistn

del mismo dimetro empuja hacia abajo el lquido con una fuerza de 800 lb. La

compresibilidad de la glicerina es 1.50 106 in2/lb. Cul es el esfuerzo sobre la

glicerina? Hasta qu distancia desciende el pistn? [R = 5 in; A = R2 = 78.5 in2]

2

800 lbTensin

78.5 in

FP

A= = = ; 210.2 lb/inP =

Vo = Aho = (78.5 in2)(6 in) = 471.2 in3; 0

Vk

PV

!= "

V = kPVo = (1.5 106 in2/lb)(10.2 lb/in2)(471.2 in3); V = 0.00721 in3

V = A h 3

2

0.00721 in

78.5 in

Vh

A

!! = = ; h = 9.18 105 in.

*13-42. La torsin de un eje cilndrico (figura 13-10) hasta un ngulo es un ejemplo de

deformacin por esfuerzo cortante. Un anlisis de la situacin muestra que el ngulo de

torsin en radianes se calcula mediante 4

2 SR! " #= l , donde es el momento de

torsin aplicado; l la longitud del cilindro; R el radio del cilindro y S el mdulo de corte.

Si un momento de torsin de 100 lb ft se aplica al extremo de un eje cilndrico de acero

de 10 ft de largo y 2 in de dimetro, cul ser el ngulo de torsin en radianes?

Tenga cuidado de que las unidades sean consistentes:

= 100 lb ft = 1200 lb in; l = 10 ft = 120 in

4 6 2 4

2 2(1200 lb in)(120 in)

(12 10 lb/in )(1 in)

l

SR

!"

# #= =

$; = 0.00764 rad


*13-43. Un eje de aluminio de 1 cm de dimetro y 16 cm de alto est sometido a un esfuerzo

cortante de torsin como se explic en el problema anterior. Qu momento de torsin

ocasionar un retorcimiento de 1 segn se describe en la figura 13-11?

[ = 10 = 0.01745 rad; R = (D/2) = 0.005 m] 4 9 4

4

2 (0.01745 rad)(23.7 10 Pa)(0.005 m);

2 2(0.16 m)

l SR

SR l

! "! "# !

"

$= = = = 2.54 N m

*13-44. Dos lminas de aluminio que forman parte del ala de un avin estn unidas entre s con

remaches de aluminio cuya seccin tiene un rea de 0.25 in2. El esfuerzo cortante sobre

cada remache no debe ser mayor de la dcima parte del lmite elstico del aluminio.

Cuntos remaches se necesitan si cada uno de ellos soporta la misma fraccin de una

fuerza de corte total de 25 000 lb?

El mximo esfuerzo permitido para cada remache es:

2 21 (19 000 lb/in ) 1900 lb/in10

F

A= =

Esto significa una fuerza de corte de: F = (1900 lb/in2)(0.25 in2) = 475 lb/remaches

Ahora puede encontrar el nmero de remaches N como sigue:

25 000 lb 52.7 remaches;

475 lb/remacheN = =

N = 53 remaches

tippens fisica 7e soluciones 13

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