tipos de ecuaciones ejercicios

FACULTAD DE NEGOCIOSCARRERA DE ADMINISTRACIÓN

Autores:Parco León, Elena ElviraRoncal Paredes, Karen I.

Villacorta Bazán, Billy R.

Curso:Matemática Básica

Docente:Olaya Vásquez, Willy Antonio

TRUJILLO – PERÚ2014 - I

DESARROLLO DE UN CASO PRÁCTICOTEMA: ECUACIONES LINEALES

Informe Académico

“DESARROLLO DE UN CASO PRÁCTICO”

INDICE

INTRODUCCIÓN

CAPITULO I

1. Ecuación1.1 Definición

2. Sistema de Ecuaciones2.1 Definición

3. Sistema de Ecuaciones Lineales3.1 Definición3.2 Clasificación3.3 Métodos

CAPITULO II

1. Desarrollo de Casos Prácticos

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Parco León, Elena Elvira; Roncal Paredes, Karen I.; Villacorta Bazán, Billy pág. 2


INTRODUCCIÓN

Los sistemas de ecuaciones son una de las herramientas más útiles dentro del

estudio de las matemáticas. Podemos resolver innumerables situaciones usando

los sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Las aplicaciones van desde las

ciencias naturales, las matemáticas, las ramas de administración de empresas, la

ingeniería, etc.



CAPITULO I

ECUACIONES LINEALES



1. ECUACIÓN

1.1.Definición

Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.

Hay una expresión escrita a la izquierda del signo igual y hay una expresión escrita a la derecha del signo igual. La que está antes del signo igual recibe el nombre de primer miembro, la expresión que está a la derecha del signo igual se llama segundo miembro.

En una ecuación puede haber más de una incógnita, es decir, más de un valor desconocido.

Una incógnita puede tener como exponente al número 1 (x 1 = x), al número 2 (x 2), al número 3 (x 3), al número 4 (x 4), etc. El exponente indica el grado de la ecuación. (Debe leerse "equis elevado a uno, equis elevado a dos, etc.")

¿Cuándo está resuelta una ecuación?

Una ecuación está resuelta cuando se ha encontrado el valor o los valores de la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de raíz o solución.



Clasificación de ecuaciones de acuerdo al grado de la incógnita

ECUACIÓN INCÓGNITA EXPONENTE GRADO

8x + 38 = 29 X 1 1°

4y 2 + 12 = 6y Y 2 2°4xy +12 = 6xy Xy 1 + 1 = 2 2ºz 3 - 8z 2 + z = 7 Z 3 3°z2y - 12 + z = 7zy Zy 2 + 1 = 3 3ºx 4 - 17x 2 + 16 = 0 X 4 4°

2. Sistema de Ecuaciones

Conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

3. Sistema de Ecuaciones Lineales

Un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado).

Clasificación de los sistemas de ecuaciones:

De acuerdo a sus soluciones, pueden ser:

Sistema Compatible: es aquel sistema que tiene solución y pueden ser:

a) Determinado: Cuando tiene solución única; es decir las rectas se cortan en un punto.


http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_lineal

http://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Resoluci%C3%B3n_de_ecuaciones

http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_matem%C3%A1tico

http://es.wikipedia.org/wiki/Inc%C3%B3gnita

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n


b) Indeterminado: Cuando tiene Infinitas soluciones; es decir las rectas son coincidentes.

Sistema Incompatible. Es aquel que no tiene solución; es decir, las rectas no se cortan son paralelas.

METODOS DE RESOLUCIÒN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Reducción (conocido como suma o resta) Igualación Sustitución

Método de Reducción:

Consiste en eliminar una de las incógnitas mediante la suma de las dos ecuaciones, obteniendo así una que dará el valor de la incógnita buscada.Ejemplo:

En este método se hacen iguales los coeficientes de una de las incógnitas y con signos opuestos. Vamos a igualar los coeficientes de “y” en ambas ecuaciones, porque es el más sencillo. El M. C. M de los coeficientes de “Y”: 6 y 3, es 6. Multiplicamos la segunda ecuación por 2, porque 2*3 = 6, y se tiene:



Como los coeficientes de “Y” que hemos igualado tienen signos distintos, se suman estas ecuaciones, porque con ello se elimina la “Y”:

Sustituyendo x = - 3 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo, en (1), se obtiene:

Método de Igualación:

Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar los valores obtenidos.


x + 2 y = 8 x = 8 – 2 y

3 x – 4 y = -6 x = - 6 + 4 y 3

8 – 2 y = - 6 + 4 y y = 33

Reemplazo en:x = 8 – 2 y x = 8 – 2 (3) x = 2


Método de Sustitución:

Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema y sustituir ese valor en la otra ecuación.Ejemplo:

Despejamos una incógnita de cualquier ecuación, por ejemplo "X" en una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuación (1). Tenemos:

x + 2 y = 8

x = 8 – 2 y

Este valor de "X" se sustituye en la ecuación (2):

2 x – 4 y = - 6

3 (8 - 2y) – 4 y = -6

24 – 6y – 4y = - 624 + 6 = 10 y

30 = 10yy = 3

Y ya tenemos una ecuación con una incógnita; hemos eliminado la "X".El valor de esa incógnita se sustituye en la expresión donde estaba despejada la otra incógnita.

Reemplazo en la ecuación; sabiendo que “y” = 3

x = 8 – 2yx = 8 – 2 (3)

x= 2


{ x+ 2 y= 8 ¿ ¿¿¿


CAPÍTULO II

CASO APLICATIVO



2. DESARROLLO DE CASOS APLICATIVOS ENFOCADO AL TEMA DE ECUACIONES LINEALES DE 2 Y 3 VARIABLES

2.1. APLICACIÓN

EJERCICIO N°1:

Una compañía produce dos modelos de bicicletas, el modelo 201 y el modelo 301.

El modelo 201 requiere 2 horas de tiempo de ensamble y el modelo 301 requiere

3 horas de tiempo de ensamble. Las partes para el modelo 201 cuestan $ 25 por

bicicleta y las partes para el modelo 301 cuestan $ 30 por bicicleta. Si la

compañía tiene un total de 34 horas de tiempo de ensamble y $ 365 disponibles

por día para esos dos modelos. ¿Cuántos de cada modelo pueden hacerse en un

día?(Lial & Hungerford)

DATOS:

MODELO 201 MODELO 301 TOTALTiempo de Ensamble requerido 2 h 3 h 34h

Costo de las partes $ 25.00 $ 30.00 $ 365

DESARROLLO: Método de Reducción

MODELO 201…………….... “x”MODELO 301…………..….. “y”

2 x + 3 y = 34 hrs25 x + 30 y = $365


RESPUESTA:

La compañía puede producir en un día: 5 bicicletas del Modelo 201 y 8 bicicletas del Modelo 301.

Reemplazo en (1)2 x + 3 y = 34 hrs2 (5) + 3 y = 34 hrs3 y = 34 – 103y = 24

y = 8

(-10) 2 x + 3 y = 34 hrs…….. (1) 25 x + 30 y = $365……. (2)

- 20 x – 30 y = - 34025 x + 30y = 365

5 x = 25x = 5


Método de Sustitución

Método de Igualación


34 - 3y 365 - 30y 2 25

34 - 3y 365 - 30y 2 25

730 - 60y = 850 – 75y-60y +75y = 850-730

15y = 120 y = 8

X = X =

Reemplazo en la ecuación 2 x + 3 y = 34 hrs 2x + 3 (8) = 34 hrs 2x = 34 – 24 2x = 10

X = 5

34 - 3y

2 34 - 3y

2

850 – 75y + 60y = 730 850 – 730 = 15y 120 15

8 = y

Reemplazo en la ecuación 2 x + 3 y = 34 hrs 2x + 3 (8) = 34 hrs 2x = 34 – 24 2x = 10

X = 5

=

x =

+ 30y = 36525

= y


EJERCICIO N° 2 :

Brissa´s CupCakes, empresa dedicada a la elaboración de Cupcakes, ofrece

opciones diferentes, deliciosas e innovadoras para satisfacer hasta los paladares

más exigentes de sus clientes. Previo a celebrarse el “Día de San Valentín”,

Brissa’s CupCakes vendió 47 paquetes de cupcakes de diversas cantidades por

un total de S/ 2420.00. La caja de 4 se vendió a S/ 30.00, la de 8 unidades a S/

50.00 y la de 12 unidades a S/ 80.00. Sin embargo, al encargo de llevar un control

de lo vendido se le olvidó anotar en la Guía de Remisión las cantidades de las

diferentes cajitas vendidas; siendo de vital importancia para Brissa’s CupCakes

para poder llevar un registro y control de sus ventas. El encargado sólo recuerda

que la cantidad de Caja de CupCakes de 8 unidades vendidas superaba en una

unidad a la cantidad de cajas vendidas de las otras cajas. ¿Será posible

determinar cuántas tortas de cada tipo se vendieron ese día?

(Ibañez Carrasco & Garcia Torres, 2009)

DATOS:

Presentación de CupCakes Precio CantidadCaja de CupCakes 4 unidades S/ 30.00 x

Caja de CupCakes 8 unidades S/ 50.00 y

Caja de CupCakes 12 unidades S/ 80.00 z

DESARROLLO:

x+ y + z = 49cajas …………….. (1)

30x + 50y + 80z = S/ 2420…….. (2)

y – (x + z) = 1y – x – z = 1(-1) - x + y – z = 1x – y + z = -1………………………(3)

Parco León, Elena Elvira; Roncal Paredes, Karen I.; Villacorta Bazán, Billy pág. 13Relaciono (1) y (2)(-50) x+ y + z = 49…………………….(1)

30x + 50y + 80z = S/ 2420……... (3)

Relaciono (1) y (3)x+ y + z = 49……... (1)x – y + z = -1……... (3)

2 x + 2 z = 48 x + z = 24………. (4)



Reemplazo en (4)x + z = 24x + 9 = 24

x = 15Reemplazo en (1)

x+ y + z = 4915 + y + 9 = 49

y = 25

RESPUESTA:

Brissa’s Cupcakes vendió aquel día:

- 15 Cajas de CupCakes de 3unidades

- 25 Cajas de CupCakes de 6 unidades

- 9 Cajas de CupCakes de 9 unidades

Relaciono (1) y (2)(-50) x+ y + z = 49…………………….(1)

30x + 50y + 80z = S/ 2420……... (3)

Relaciono (4) y (5)(2) x + z = 24………………. (4)

-2x + 3z = - 3 ..……………...(5)

2 x + 2z = 48-2x + 3 z = - 3 5 z = 45z = 9


Referencias Bibliográficas

Ibañez Carrasco, P., & Garcia Torres, G. (2009). Matematicas I . Mexico: Cencage Learning Editores S.A.

Lial, M., & Hungerford, T. (s.f.). Matemáticas para administración y economía - 7º Edicion. Pearson. Pág. 278. Código. 210 Lial


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