COLEGIO FRANCISCANO SAN LUIS REY

AREA DE TECNOLOGIA E INFORMATICA

TIPOS DE ECUACIONES

11°B

VALENTINA VALENCIA MARIN

JORGE IVÁN SUAREZ

ARMENIA, QUINDIO

2015

Contenido Ecuación lineal .............................................................................................................................................. 4

Ejemplo de ecuaciones lineales (vitutor ) ................................................................................................. 4

Ecuación cuadrática ...................................................................................................................................... 7

Ejemplo de ecuaciones cuadráticas: (vitutor) ........................................................................................... 7

Ecuaciones racionales ................................................................................................................................. 10

Ejemplos de ecuaciones racionales: (matematicas y listo ) .................................................................... 10

Ecuaciones logarítmicas .............................................................................................................................. 13

Ejemplos de ecuaciones logarítmicas: (wikimate) .................................................................................. 13

Bibliografía .................................................................................................................................................. 16

Tabla de ilustraciones

Ilustración 1. ecuacion lineal ........................................................................................... 4

Ilustración 2. ecuacion cuadratica ................................................................................... 7

Ilustración 3.ecuacion racional ...................................................................................... 10

Ilustración 4. ecuacion logaritmica ................................................................................ 13

Ecuación lineal

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de

igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene

productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y

restas de una variable a la primera potencia. En todo anillo conmutativo pueden

definirse ecuaciones de primer grado. (wikipedia)

Una ecuación lineal con n incógnitas es cualquier expresión del tipo: a1x1 + a2x2 +

a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b Pertenece

Los valores ai se denominan coeficientes,

b es el término independiente.

Los valores xi son las incógnitas. (vitutor)

Ilustración 1. ecuacion lineal

Ejemplo de ecuaciones lineales (vitutor )

4(𝑥 + 10) = −6(2 − 𝑥) − 6𝑥

Realizamos distributiva

4𝑥 − 40 = −12 − 6𝑥 − 6𝑥

Pasamos los números con x aun lado y los números normales al otro

4𝑥 − 6𝑥 + 6𝑥 = −12 + 40

Sumamos o restamos si es necesario

4𝑥 = 28

Despejamos la x pasando el 4 a dividir

𝑥 =28

4

𝑥 = 7

28(6𝑥−7

4+

3𝑥−5

7) = 28 (

5𝑥+78

28)

Primero se pretende “eliminar” el denominador 28 del segundo miembro; para ello se

multiplican ambos miembros por 28, de modo que en el segundo miembro el producto

se eliminará con el denominador. En el caso del primer miembro se podrán hacer las

divisiones con los respectivos denominadores, de modo que 28/4 queda en un factor 7 y

28/7 queda en el factor 4.

28 (6𝑥 − 7

4) + 28 (

3𝑥 − 5

7) = 28(

5𝑥 + 78

28)

Se realizan los productos distributivos que quedan planteados (habiendo eliminado ya

los denominadores correspondientes)

7(6𝑥 − 7) + 4(3𝑥 − 5) = 1(5𝑥 + 78)

42𝑥 − 49 + 12𝑥 − 20 = 5𝑥 + 78

54𝑥 − 69 = 5𝑥 + 78

Se agrupan los términos en x en el primer miembro de la igualdad y los términos sin x

en el segundo miembro.

54𝑥 − 5𝑥 = 78 + 69

4) Se realizan operaciones y se halla el resultado final.

49𝑥 = 147

𝑥 = 3

4

𝑥−3=

5

𝑥−2

Hacemos una multiplicación en cruz que queda de la siguiente manera

4(𝑥 − 2) = 5(𝑥 − 3)

Se hace distributiva

4𝑥 − 8 = 5𝑥 − 15

Separe los números con x a un lado y los normales al otro y opere

15 − 8 = 5𝑥 − 4𝑥

7 = 𝑥

Ecuación cuadrática

Una ecuación algebraica de segundo grado1 2 o simplemente ecuación cuadrática de

una variable es una ecuación algebraica que conlleva una expresión algebraica de

términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser

representada por un trinomio de segundo grado o binomio de segundo grado. La

expresión general de una ecuación cuadrática de una variable es:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

Donde x representa la variable, y donde a, b y c son números enteros ; a es el

coeficiente cuadrático o principal (distinto de 0), b el coeficiente lineal o coeficiente del

término de primer grado, y c es el término independiente. (wikipedia)

Ilustración 2. ecuacion cuadratica

Ejemplo de ecuaciones cuadráticas: (vitutor)

𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0

Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuación

cuadrática a la siguiente fórmula:

5±√52−4∗6

2 =

𝟓±√𝟐𝟓−𝟐𝟒

𝟐=

𝟓±√𝟏

𝟐=

𝟓±𝟏

𝟐 =

𝑥 = 3 𝑜 𝑥 = 2

𝑥2 + (7 − 𝑥)2 = 25

Hacemos binomio al cuadrado

𝑥2 + 49 − 14𝑥 + 𝑥2 = 25

Pasamos el 25 al otro lado y operamos

2𝑥2 − 14𝑥 + 24 = 0

Dividimos todo entre 2

𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0

𝑥 =7±√49−48

2 =

7±1

2 = 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 3

−𝑥2 + 7𝑥 − 10 = 0

Multiplicamos todo por -1

(−1) ∗ (−𝑥2 + 7𝑥 − 10) = (−1) ∗ 0

𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0

Ahora aplicamos la formula

𝑥 = 7±√72−4∗10

2 =

7±√49−40

2 =

7±√9

2 =

7±3

2 = 𝑥1 = 5 , 𝑥2 = 2

Ecuaciones racionales

una ecuación Racional o Fraccionaria , es aquella en la cual la variable aparece en el

denominador de al menos un término de la ecuación.

Las ecuaciones racionales son de la forma:

P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x)≠0. (ecuaciones racionales)

Ilustración 3.ecuacion racional

Ejemplos de ecuaciones racionales: (matematicas y listo )

3

𝑥2−1+

𝑥+2

𝑥−1=

𝑥

𝑥+1

Con el primer denominador hacemos factorización

3

(𝑥+1)(𝑥−1)+

𝑥+2

𝑥−1=

𝑥

𝑥+1

Hacemos suma de fraccionarios

3+(𝑥+2)(𝑥+1)

(𝑥+1)(𝑥−1)=

𝑥(𝑥−1)

(𝑥+1)(𝑥−1)

Cancelamos los denominadores

3 + (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) = 𝑥(𝑥 − 1)

Hacemos distributiva

3 + 𝑥2 + 𝑥 + 2𝑥 + 2 = 𝑥2 − 𝑥

Cancelamos las variables que se puedan y agrupamos

3𝑥 + 𝑥 = −2 − 3

Sumamos o restamos

4x = −5

Despejamos

𝑥 = − 5 4⁄

3

𝑥−

2

𝑥2 +5𝑥−2

𝑥= 5

Buscar el denominador común entre los denominadores del primer miembro y hacemos

suma de fraccionarios

3𝑥 − 2 + (5𝑥 − 2) ∗ 𝑥

𝑥2=

5𝑥2

𝑥2

Cancelar el denominador común y hacemos distributiva

3x − 2 + 5x2 − 2x = 5x2

Resolver la ecuación mediante sumas y restas y finalmente despeje

3𝑥 − 2𝑥 = 2

𝑥 = 2

7+𝑥

𝑥+5=

𝑥+3

𝑥+2

Buscar el denominador común entre los denominadores de ambos miembros

(𝑥 + 5)(𝑥 + 2)

Ahora hacemos suma de fracciones en la que se Modifica los numeradores como en la

suma de fracciones:

(7 + 𝑥)(𝑥 + 2)

(𝑥 + 5)(𝑥 + 2)=

(𝑥 + 3)(𝑥 + 5)

(𝑥 + 5)(𝑥 + 2)

Cancelar el denominador común en ambos miembros

(7 + 𝑥)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 3)(𝑥 + 5)

Hacemos distributiva

7𝑥 + 14 + 𝑥2 + 2𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 + 3𝑥 + 15

Resolver la ecuación

9𝑥 + 𝑥2 − 𝑥2 − 5𝑥 − 3𝑥 = 15 − 14

𝑥 = 1

Ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita se encuentra dentro

del argumento del logaritmo o bien como base del logaritmo.

El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el

neperiano y, normalmente, siempre la misma base en toda la ecuación.

La forma de resolverlas es la misma cualquiera que sea la base del logaritmo, por lo

que en este tema vamos a simbolizar los logaritmos como log, entendiendo que la base

es 10, mientras no digamos lo contrario. (Cuervo)

Ilustración 4. ecuacion logaritmica

Ejemplos de ecuaciones logarítmicas: (wikimate)

log4(5𝑥 + 6) = 4

Convertimos la ecuación en exponencial

5𝑥 + 6 = 44

Resolvemos el número elevado

5𝑥 + 6 = 256

Ponemos los números con x a un lado y los normales al otro

5𝑥 = 250

Despejamos

𝑥 = 50

3 log 𝑥 = log 25 + log 𝑥

Paso el 3 a la potencia de x

log 𝑥3 = log 25

Cancelamos los log

𝑥3 = 25𝑥

Pasamos el 25 para el otro lado y hacemos factor común

𝑥(𝑥2 − 25) = 0

Hacemos factorización

𝑥(𝑥 + 5)(𝑥 − 5) = 0

Por tanto x es igual

A 𝑥 = 5 𝑥 = −5 𝑥 = 0

El único válido es el primero porque es necesario que sea mayor que 0

X=5

log2 𝑥2 − log2(𝑥 −3

4)=2

Pasamos a dividir el segundo logaritmo y a elevar la igualdad

log2(𝑥2

𝑥 −34

) = log2 4

Cancelamos los log

𝑥2

𝑥 −34

= 4

Pasamos lo que está dividiendo a multiplicar

𝑥2 = 4𝑥 − 3

Pasamos todo a un lado

𝑥2 − 4𝑥 + 3

𝑥 =4±√16−12

2 = 𝑥1 = 3, 𝑥2 = 1

Bibliografía

Cuervo, l. S. (s.f.). Descartes 2D. Recuperado el 1 de noviembre de 2015, de Descartes 2D:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecuaciones_exponenciale

s_logaritmicas/Ecuaciones_logaritmicas.htm

ecuaciones racionales. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de ecuaciones racionales:

https://everfrank90.wordpress.com/category/uncategorized/

matematicas y listo . (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de matematicas y listo :

http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/expralge/racecuac.htm

vitutor. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de noviembre, de vituror:

http://www.ditutor.com/sistemas_1/ecuaciones_lineales.html

vitutor. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de vitutor:

http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/2_e.html

vitutor . (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de vitutor:

http://www.vitutor.net/2/7/ecuaciones_lineales.html

wikimate. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de wikimate:

https://wikimate.wikispaces.com/Ecuaciones+logar%C3%ADtmicas

wikipedia. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de wikipedia :

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_primer_grado

wikipedia. (s.f.). Recuperado el 01 de noviembre de 2015, de wikipedia:

https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado