universidad de sonora · de ecuaciones diferenciales, newton trabajo con algunas ecuaciones de...

UNIVERSIDAD DE SONORADIVISION DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Programa de Licenciatura en Matematicas

Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferencialesy Soluciones Periodicas

T E S I S

Que para obtener el tıtulo de:

Licenciada en Matematicas

Presenta:

Carmen Marıa Romandıa Flores

Director de tesis:Dra. Inna K. Shingareva

Hermosillo, Sonora, Mexico, 22 de noviembre de 2013

SINODALES

Dr. Rodrigo Gonzalez GonzalezUniversidad de Sonora, Hermosillo, Mexico

Dr. Carlos Lizarraga CelayaUniversidad de Sonora, Hermosillo, Mexico

Dra. Inna K. ShingarevaUniversidad de Sonora, Hermosillo, Mexico

Dr. Martın Gildardo Garcıa AlvaradoUniversidad de Sonora, Hermosillo, Mexico

Contenido

1 Introduccion 7

1.1 Notas Historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales (SLED) . . . . . . 11

1.3 Algunas Aplicaciones de SLED . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Propiedades Generales de los SLED 21

2.1 Elementos de Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Propiedades Generales de los SLED . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.1 Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.2 Linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.3 Dependencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.4 Matriz Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.5 Determinante de una Matriz Fundamental . . . . . . . . . 29

2.2.6 Wronskiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.7 Dependencia Lineal de las Soluciones . . . . . . . . . . . 32

2.2.8 Soluciones en Terminos de Matriz Fundamental . . . . . . 32

3 Clases Particulares de SLED 37

3.1 SLED de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

vi CONTENIDO

3.2 EDO-L de Orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.3 SLED con Coeficientes Constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Teorıa de Floquet 53

4.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 SLED con Coeficientes Periodicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1 Juego Piedra, Papel o Tijera . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.2 Pendulo Invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Teorema de Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.4 Propiedades de Soluciones de Floquet . . . . . . . . . . . . . . . 64

5 Soluciones Periodicas de SLED de Varias Clases 67

5.1 SLED Unidimensionales de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 SLED n-dimensionales de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . 71

5.3 EDO-L de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3.1 EDO-L de Segundo Orden en Forma General . . . . . . . 74

5.3.2 Ecuacion de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3.3 Ecuacion de Meissner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.4 Aplicaciones de SLED a Ecuaciones y Sistemas No Lineales . . . 92

5.4.1 SNLED Autonomos n-Dimensionales . . . . . . . . . . . 92

5.4.2 EDO-NL Autonomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Conclusiones 101

Bibliografıa 102

Dedicatoria

A mi familia y amigos, quienes estuvieron conmigo a lo largo de este camino. Lo

mejor esta por empezar.

Agradecimientos

A toda mi familia que siempre esta al pendiente de mı, pero en especial a mi

madre, Marıa del Carmen, quien ha cuidado de mı y se ha esforzado para darme

lo necesario para salir adelante en la vida. Gracias por dejarme ser la persona

que soy ahora.

A mis amigos, nuevos y no tanto, quienes me apoyaron durante toda la ca-

rrera. A los de mi generacion, con quienes pasamos tantas cosas juntos (diverti-

das y traumatizantes). A mis amigos de generaciones y carreras diferentes, con

quienes me reı y aprendı tanto (sobre la vida y otras cosas). Al grupo de tesistas

del verano 2013, fue un placer pasar las vacaciones con ustedes en el “cubo”.

A mis maestros, quienes fueron guıa en mis estudios.

En general, gracias a todos los que me ayudaron.

For meeting me, thank you.

Prefacio

Este trabajo de tesis se divide en cinco Capıtulos, en los que se describen SistemasLineales de Ecuaciones Diferenciales (SLED) de varias clases, propiedades y al-gunas aplicaciones. Se construyen soluciones analıticas periodicas de sistemaslineales de ecuaciones diferenciales de varias clases.

En el primer Capıtulo se da una breve resena sobre la historia de la evolucionde las ecuaciones diferenciales, ası como de los cientıficos que las estudiaron. Seda una introduccion sobre los Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales y seven algunas aplicaciones.

En el segundo Capıtulo damos algunas definiciones sobre elementos y con-ceptos del Algebra Lineal que utilizamos a lo largo de este trabajo y revisamospropiedades generales de Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales.

En el tercer Capıtulo profundizamos un poco mas a los SLED, estudiandoclases particulares de los mismos. Obtenemos soluciones analıticas de SLED devarias clases.

En los ultimos dos Capıtulos consideramos Sistemas Lineales de EcuacionesDiferenciales con coeficientes periodicos.

En el cuarto Capıtulo consideramos algunas aplicaciones de SLED con coe-ficientes periodicos, describimos la teorıa de Floquet y propiedades basicas desoluciones de Floquet.

En el quinto Capıtulo construimos soluciones periodicas analıticas de Sis-temas Lineales de Ecuaciones Diferenciales de varias clases. En particular, vemosalgunas ecuaciones diferenciales de segundo grado (ecuacion de Hill, ecuacionesde Meissner, ecuacion de Lienard) que se pueden considerar para modelar variosprocesos fısicos.

Notacion

y(x), x variable dependiente (funcion), variable independiente;

y′(x) la primera derivada de una funcion,

tambien se denotady(x)

dx;

y′′(x) la segunda derivada de una funcion,

tambien se denotad2y(x)

dx2 ;

y(n)(x) la n-esima derivada de una funcion,

tambien se denotadny(x)

dxn ;

X(t) una solucion de un sistema de ecuaciones diferenciales;

x(t) una solucion de una ecuacion diferencial;

f (t),F(t) una funcion escalar, una funcion vectorial;

ci(i = 1,2, . . .) constantes de integracion;

A(t) una matriz con coeficientes periodicos;

Ik(k = 2,3, . . .) una matriz identidad de dimension k× k;

Tr(C) la traza de la matriz de monodromıa;

U(t2, t1) una matriz de propagacion;

Φ(t),W (t) una matriz fundamental, el Wronskiano;

V,F un espacio vectorial, un campo escalar;

λ ,ρ los multiplos y exponentes de Floquet.

Capıtulo 1

Introduccion

1.1 Notas Historicas

Desde los tiempos antiguos, la humanidad ha tenido la necesidad de saber como esel movimiento que describen algunos objetos. Entre ellos destaca el movimientolunar y la prediccion de eclipses lunares, los cuales tenıan gran significado reli-gioso. El que un astronomo lograra predecir el momento exacto en el que ocurrıaun eclipse hablaba mucho de sus habilidades y le daba gran prestigio. Para lo-grar esta prediccion, los astronomos dedicaban gran parte de su vida estudiandolos movimientos estelares y tenıan que saber con exactitud los movimientos querealizaba la Luna en un momento en particular.

Bhaskara II (siglo XII). Matematico y astronomo de origen hindu [1] se lereconoce por concebir la diferenciacion de la funcion sen t, conocer las propiedasdel valor maximo y los conceptos basicos del teorema del valor medio, ası comoutlizar el calculo para encontrar el valor de π y el area de superficies curvas, yvolumenes.

Madhava (siglo XIV). Matematico hindu [1] quien aporto grandes avances enel estudio de series infinitas, que es fundamental en analisis matematico.

Con esto vemos que los comienzos del calculo no fueron en el siglo XVII, sinocientos de anos antes. Pero para los historiadores, las bases del calculo fueronestablecidas por Newton y Leibniz.

8 Introduccion

Isaac Newton (siglo XVII).1 Fısico y matematico de origen ingles conside-rado por muchos como el cientıfico mas grande e influyente que ha existido [20],dio las bases para el Calculo Diferencial e Integral. Newton descubrio que “Elmetodo de fluxiones”, como el lo llamaba, estaba basado en la idea de que la inte-gracion es el procedimiento inverso de la derivacion. Tomando la derivada comooperacion basica, formulo metodos analıticos que resolvıan problemas tales comoencontrar areas, tangentes, longitudes de curvas, maximos y mınimos. En el temade Ecuaciones Diferenciales, Newton trabajo con algunas ecuaciones de primerorden, las cuales clasifico en tres tipos:

• El primer tipo consistıa de ecuaciones en las cuales la derivada es unafuncion de una sola variable, x o y. Por ejemplo, y = f (x), y = f (y), dondey = y′(x).

• El segundo tipo, eran ecuaciones en las cuales la derivada es una funcion quedepende de las dos variables x, y. Por ejemplo, y = f (x,y), donde y = y′(x).

• El tercer tipo estaba formado por ecuaciones diferenciales parciales de pri-mer orden. Por ejemplo, u = f (x,y), donde u = u(x,y), u = ∂u

∂x .

En 1687 Newton publico su libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica

mejor conocido como Principia1, en el cual escribe su teorıa fısica y su aplicaciona la astronomıa. En este libro, reconocido como el mejor libro cientıfico escrito,Newton analizo el movimiento de n cuerpos bajo la fuerza de gravitacion. Lasecuaciones diferenciales que describen este movimeinto se basan en la segundaley de Newton.

Resolvio geometricamente el problema de dos cuerpos, el cual se modela conel siguiente sistema. Sean m1 y m2 masas de dos cuerpos esfericos. Fijamos unsistema coordenado tal que el origen sea el centro de masa de los dos cuerpos,y sean (x1,y1,z1) las coordenadas de un cuerpo y (x2,y2,z2) las coordenadas delotro cuerpo; sea r la distancia

√(x1− x2)2+(y1− y2)2+(z1− z2)2. Entonces el

1Para mas detalles, por ejemplo, se puede ver “The Newton project”, disponible enwww.newtonproject.sussex.ac.uk.

1.1 Notas Historicas 9

sistema de ecuaciones que describe el movimiento en el tiempo t es:

m1x′′1(t) =−km1m2x1(t)− x2(t)

r3(t), m1y′′1(t) =−km1m2

y1(t)− y2(t)r3(t)

,

m1z′′1(t) =−km1m2z1(t)− z2(t)

r3(t), m2x′′2(t) =−km1m2

x2(t)− x1(t)r3(t)

,

m2y′′2(t) =−km1m2y2(t)− y1(t)

r3(t), m2z′′2(t) =−km1m2

z2(t)− z1(t)r3(t)

.

Gottfried Leibniz (siglo XVII). Pocos anos despues, fue el matematico ale-man Leibniz quien introdujo el termino de “ecuacion diferencial” para referirse ala relacion entre dos diferenciales dx, dy de dos variables x, y [1]. Con esta teorıa,Leibniz estudio problemas geometricos, por ejemplo el problema de la tangenteinversa.

Jacob y Johann Bernoulli (siglo XVII). Entre los seguidores de Leibniz seencuentran el par de hermanos suizos [1], quienes propusieron y estudiaron pro-blemas similares, entre ellos esta el problema del braquistocrono (el descensomas rapido), el cual es resuelto por una ecuacion diferencial ordinaria de primerorden. La resolucion de estos problemas llevo a la aparicion de los metodos de“separacion de variables” y “cambio de variables”.

Las principales aplicaciones de las ecuaciones diferenciales fueron solucionesa problemas geometricos, algunos de los cuales estaban formulados con ecuacio-nes de orden 2 o superior.

Jacobo Riccati (siglo XVII). Matematico italiano, a quien se le reconoce porla ecuacion diferencial no lineal que lleva su nombre,

y′(x) = p(x)y2(x)+q(x)y(x)+ r(x),

la cual estudio durante gran parte de su vida para analizar los fenomenos dehidrodinamica. En el siglo XXI, muchas investigaciones siguen apareciendo en laliteratura matematica con respecto a la ecuacion de Riccati.

Brook Taylor (siglo XVII). Matematico ingles a quien se le atribuye la in-vencion del metodo de integracion por partes, y el descubrimiento de la formulaque lleva su nombre, la cual describe el comportamiento de una funcion en unavecindad de un punto.

10 Introduccion

Alexis Clairaut y Jean D’Alembert (siglo XVIII). Ambos fısicos y matema-ticos franceses [1], que trabajaron con ecuaciones diferenciales y sus aplicacionesen fısica. Ambos descubieron una clase de ecuaciones diferenciales con propie-dades interesantes, las cuales llevan sus respectivos nombres:

y(x) = xy′(x)+ f(y′(x)

), y(x) = xg

(y′(x)

)+ f

(y′(x)

).

Leonhard Euler (siglo XVIII). Matematico suizo, contribuyo con muchasideas importantes para el estudio de ecuaciones diferenciales [20]. Entre estascontribuciones podemos nombrar varios metodos de reduccion de orden, solu-ciones de series de potencias, teorıa de ecuaciones lineales de orden arbitrario.Euler tambien invento el metodo de variacion de parametros. En 1750, Euler dio

la forma analıtica de la segunda ley de Newton, F=md2P(t)

dt2

(F=(F1,F2,F3)T ,

P(t)=(x(t),y(t),z(t)

)T)

,

F1 = mx′′(t), F2 = my′′(t), F3 = mz′′(t).

Joseph-Louis Lagrange (siglo XVIII). Matematico italiano quien generalizoel metodo de variacion de parametros creado por Euler. Extendio y formalizo eltrabajo de Newton en mecanica.

Augustin Louis Cauchy, Rudolf Lipschitz (siglo XVIII). La prueba rigorosade existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones de primer orden convalor inicial fue presentada por el matematico frances Cauchy. Tiempo despues elmatematico aleman Lipschitz simplifico y aclaro la teorıa de Cauchy.

Emile Picard (siglo XIX). Por su parte, el matematico frances Picard des-arrollo una teorıa de existencia basada en un metodo de aproximaciones sucesivas,que es considerada mas constructiva que la de Cauchy–Lipschitz. Otros contribu-yentes al metodo de aproximaciones sucesivas son: el matematico frances JosephLiouville, el matematico prusiano Lazarus Fuchs, el matematico italiano GiuseppePeano, el matematico estadounidense Maxime Bocher, entre otros.

El trabajo de Cauchy, Lipschitz y Picard es de naturaleza cualitativa. En vez deencontrar una solucion explıcita, provee suficientes condiciones en las variablesconocidas lo que asegura la existencia de la solucion.

El matematico frances Emile Leonard Mathieu es reconocido por sus contribu-ciones en el area de fısica-matematica (ecuacion de Mathieu, funciones especiales

1.2 Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales (SLED) 11

de Mathieu, transformacion de Mathieu, grupos de Mathieu). George WilliamHill, astronomo y matematico americano estudio la descripcion matematica va-rios problemas de mecanica celeste (el problema de tres cuerpos, el problema decuatro cuerpos, descripcion de movimiento de planetas, ecuacion de Hill). Elmatematico frances Gaston Floquet desarrollo la teorıa de Floquet, que es un areade la teorıa de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periodicos.

En los ultimos siglos (XX–XXI), este trabajo resulto en un extenso creci-miento del estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales. Entre otros mate-maticos que han contribuido de manera significante en el desarrollo de la teorıacualitativa mencionamos a Aleksandr Lyapunov y Henri Poincare (siglos XIX–XX), Richard Bellman, Ivar Bendixson, George David Birkhoff, Lamberto Cesari,Thomas Gronwall, Solomon Lefschetz, Norman Levinson, Balthasar van der Pol,Aurel Wintner, Edward Ince, E. Meissner, Vladimir I. Arnold [3], Peter J. Olver,Jerrold E. Marsden, Andrei D. Polyanin [16].

1.2 Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales

Consideraremos ahora los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales no auto-nomos de la forma

X ′(t) = A(t)X(t), (1.1)

donde A(t) es una matriz n×n real no singular, X(t)=(x1(t),x2(t),. . .,xn(t))T es unvector n-dimensional. Los elementos de A(t) son funciones de la variable inde-pendiente t y nuestro interes serıa el caso en el que estas funciones sean periodicas,pero en el Capıtulo 2 daremos una descripcion de las propiedades de sistemas masgenerales.

Las ecuaciones de la forma (1.1) aparecen en el estudio de ecuaciones nolineales

X ′(t) = F(X(t), t

),

donde F(X(t), t

)=

(F1(X(t), t),F2(X(t), t), . . . ,Fn(X(t), t)

)T es una funcion vec-torial n-dimensional de X(t) y del tiempo t. Si F = F

(X(t)

), entonces una ex-

pansion alrededor de los puntos fijos, definida por las ecuaciones F(X(t)

)= 0,

12 Introduccion

normalmente nos lleva a la ecuacion de la forma (1.1) con una matriz A constante,y el estudio de este sistema lineal nos da informacion importante sobre el com-portamiento de las soluciones en una vecindad de los puntos fijos.

Si el sistema no lineal permite una solucion periodica p(t): p(t + T ) = p(t)para toda t y algun perıodo T > 0, entonces una expansion alrededor de p noslleva a una ecuacion de la forma (1.1) en la que A(t) es una funcion T -periodica.El estudio de estas ecuaciones lineales nos ayuda a entender, entre otras cosas, lanaturaleza de soluciones periodicas.

1.3 Algunas Aplicaciones

I. Biologıa Matematica. Modelo de Epidemia SIR. En 1975, N. T. J. Bailey pub-lico su libro “The Mathemetical Theory of Epidemics”, que trata sobre la teorıamatematica de epidemias. En este libro se describen varios modelos para estudiarla transmision de enfermedades.

Consideremos el primer modelo matematico.Suponemos que una poblacion de tamano fijo N puede separarse en tres clases:

1. S(t) denota el numero de individuos de la poblacion que son susceptibles auna enferemedad contagiosa dada en el tiempo t.

2. I(t) es el numero de individuos en el tiempo t que estan infectados, es decir,tienen la enfermedad y son contagiosos.

3. R(t) denota el numero de individuos que en el tiempo t se han recuperadode la enfermedad y son inmunes a futuras infecciones.

Suponemos tambien que al principio todos los individuos son susceptibles yque nadie sale de la comunidad mientras se propaga la epidemia. Entonces, elsiguiente sistema de ecuaciones diferenciales describe la propagacion de la epi-demia en la comunidad:

dS(t)dt

=−αS(t),dI(t)

dt=−β I(t)+αS(t),

dR(t)dt

= β I(t),

donde α representa la tasa de infeccion y β la tasa de recuperacion. Para determi-nar la solucion unica, es necesario incluir condiciones iniciales.

1.3 Algunas Aplicaciones de SLED 13

Este modelo es generalmente conocido como el modelo de epidemia SIR,donde es obvio que

S(t)+ I(t)+R(t) = N.

II. Biologıa Matematica. Modelo de Lotka–Voterra. Otro ejemplo que podemostomar en cuenta es el modelo de depredador-presa de Lotka–Volterra. El problemaconsiste en modelar el comportamiento entre dos especies. Supongamos que enun sistema ecologico existe una especie de depredadores que se alimenta de unaespecie de animales de presa, y que la presa siempre dispone de alimento abun-dante. Sea x(t) la poblacion de presas y y(t) la poblacion de depredadores. Comoel alimento es abundante, tenemos que la tasa de nacimentos de las presas es con-stante independiente del tiempo. Sin embargo, la tasa de mortalidad depende delnumero de depredadores que existen en un tiempo dado.

Por otra parte, tenemos que la tasa de nacimiento de los depredadores dependede la disponibilidad de su alimento, mientras que su tasa de mortalidad permanececonstante. Ahora, si escribimos las tasas de crecimiento por individuo para las dosespecies, tenemos

dx(t)dt

= ax(t)−bx(t)y(t),dy(t)

dt= αx(t)y(t)−βy(t),

donde a, b, α , β son constantes de proporcionalidad positivas.

III. Mecanica Clasica. Modelo de masa-resorte. Los sistemas lineales de ecua-ciones diferenciales tambien tienen aplicaciones en el estudio de la mecanica.Consideremos una masa m unida al extremo de un resorte, como se muestra en laFigura 1.1.

Si al tiempo t = 0 la masa tiene una posicion x0 y una velocidad v0, el despla-zamiento x de la posicion de equilibrio esta dada por la ley de Newton:

mx′′(t) = F(t),

donde F representa la fuerza que actua en la masa. En el modelo de masa y resorteusual, la fuerza total que actua sobre la masa es considerada como la suma de tresterminos:

• La primera fuerza es la de restitucion kx(t), con k no negativa, la cual muevela masa a su posicion de equilibrio.

14 Introduccion

Figura 1.1: Un sistema de masa y resorte

• El segundo termino es la fuerza de amortiguamiento cx′(t), donde c es nonegativa, que actua en direccion opuesta al movimiento.

• El tercer termino es la fuerza que depende del tiempo f (t), la cual es inde-pendiente de la posicion o velocidad de la masa.

En este modelo consideramos cuatro casos.

A) En forma general, el modelo consiste en una ecuacion diferencial con condi-ciones iniciales,

mx′′(t)+ cx′(t)+ kx(t) = f (t), x(0) = x0, x′(0) = v0. (1.2)

Es conveniente convertir ecuaciones diferenciales de orden superior en un sistemade ecuaciones de primer orden. Esto lo podemos hacer mediante el cambio devariable

y1(t) = x(t), y2(t) = x′(t).

La descripcion del movimiento del resorte ahora tiene la forma,

y′1(t) = y2(t), y′2(t) =− km

y1(t)− cm

y2(t)+f (t)m

, y1(0) = x0, y2(0) = v0.

Serıa conveniente introducir las nuevas variables:

ω0 =

√km

> 0, β =cm

, F(t) =f (t)m

.

Introducimos la matrizA =

(0 1

−ω20 −β

),


y las funciones vectoriales

Y =(

y1(t)y2(t)

), B(t) =

(0

F(t)

).

Este sistema de dos ecuaciones se puede escribir de la forma

Y ′(t)−AY (t) = B(t). (1.3)

Esto es un sistema lineal de primer orden para la funcion vectorial Y (t).

B) Si consideramos ahora el caso particular cuando f (t)=0, la ecuacion del resortese convierte,

mx′′(t)+ cx′(t)+ kx(t) = 0, x(0) = x0, x′(0) = v0.

El sistema de ecuaciones de primer orden correspondiente es

Y ′(t)−AY (t) = 0. (1.4)

Para este tipo de sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes bus-camos soluciones de la forma

Y (t) =(

ab

)eλ t .

Si sustituimos esta solucion en nuestro sistema (1.4), el resultado es

λ(

ab

)eλ t −A

(ab

)eλ t = 0,

que es equivalente al problema de valor propio

A(

ab

)= λ

(ab

).

El conjunto de λ de soluciones no triviales esta determinado por la condicion

det(λ I−A) = det(

λ −1ω2

0 λ +β

)= 0,

o equivalente a,λ (λ +β )+ω2

0 = 0.

16 Introduccion

En general existen dos soluciones para esta ecuacion:

λ± =−β ±

√β 2−4ω2

0

2.

De la ecuacion del valor propio se sigue que los vectores propios no negativossatisfacen b = λa. Si λ+ 6= λ−, las soluciones del sistema pueden ser encontradasde la forma

Y (t) =(

a1b1

)eλ+t +

(a2b2

)eλ−t .

Tomando en cuenta las condiciones iniciales vemos que

a1 +a2 = x0, b1 +b2 = λ+a1 +λ−a2 = v0.

Observemos que si c, m, k > 0, entonces tenemos dos casos:

β 2−4ω20 < 0, o

∣∣∣∣√

β 2−4ω20

∣∣∣∣ < β .

En ambos casos los eigevalores λ± tienen parte real negativa, ası que la soluciontiende a 0 cuando t →+∞.

C) Para simplificar el ejemplo, suponemos que c = 0 es decir, que el resorte notiene fuerza amortiguadora. En este caso, los dos valores propios son imaginariospuros:

λ± =±i√

ω20 .

Utilizando la formula de Euler,

eiθ = cos(θ)+ isen(θ),

la solucion

x(t) = x0 cos(ω0t)+v0

ω0sen(ω0t)

de la ecuacion

mx′′(t)+ kx(t) = 0 (1.5)

satisface la ecuacion y tiene las condiciones iniciales apropiadas.


Figura 1.2: Un sistema de masas y resortes

D) Ahora consideramos otro caso particular del modelo de masa y resorte sinamortiguamiento, con f (t) 6= 0,

x′′(t)+ω20 x(t) =

am

sen(ωt), ω > 0, ω2 6= ω20 , a 6= 0. (1.6)

Las dos soluciones independientes de (1.5) tengan la forma

x1(t) = cos(ω0t), x2(t) = sen(ω0t). (1.7)

Buscando una solucion particular del sistema no homogeneo (1.6) de la formaxp(t) = bsen(ωt), vemos que

−ω2b+ω20 b =

am

,

o similarmente

b =a

m[ω2

0 −ω2] .

La solucion general de (1.6) tiene la forma

x(t) = c1 cos(ω0t)+ c2 sen(ω0t)+A

m[ω2

0 −ω2] sen(ωt).

Algunos sistemas mecanicos pueden llevar a sistemas mas complejos de ecuacio-nes diferenciales. Consideremos un sistema de resortes y masas, sin fuerza deamortiguamiento y sin fuerza externa, como en la Figura 1.2. Si denotamos lasmasas m1, . . . ,m4, los resortes con constantes k1, . . . ,k5, el desplazamiento de laj-esima masa desde su punto de equilibrio es x j(t), entonces el sistema de ecua-

18 Introduccion

ciones que describe el movimiento de las masas es

m1x′′1(t)+ k1x1(t)− k2[x2(t)− x1(t)] = 0,

m2x′′2(t)+ k2[x2(t)− x1(t)]− k3[x1(t)− x2(t)] = 0,

m3x′′3(t)+ k3[x3(t)− x2(t)]− k4[x2(t)− x3(t)] = 0,

m4x′′4(t)+ k4[x4(t)− x3(t)]+ k5x4(t) = 0.

IV. Mecanica Hamiltoniana. Modelo de pendulo esferico.En esta aplicacion utilizaremos la notacion conveniente de derivadas para

mecanica Hamiltoniana, es decir, qk = q′k(t).Hamilton trabajo por muchos anos sobre principios variacionales (en particu-

lar, sobre el principio de Fermat) en sus investigaciones sobre optica. Descubrio(despues de introducir una “funcion principal”) que sus ideas permiten resolverel problema de Kepler sobre el moviento de un planeta. Hamilton escribio va-rios artıculos que revolucionaron el campo de la mecanica. Despues de muchoscalculos descubrio que era “mas conveniente en varios aspectos” trabajar con co-ordenadas de momento, como sugirio Poisson,

pi =∂L

∂ qi,

con la funcion

H(q1, . . .qn, p1, . . . , pn) =n

∑k=1

qk pk−L. (1.8)

Esta idea de que las derivadas ∂L/∂ qi y las variables independientes pi simplifi-can las ecuaciones diferenciales se debe a Legendre. Derivando (1.8) mediante laregla de la cadena, obtenemos

∂H∂ pi

=n

∑k=1

∂ qk

∂ pipk + qi−

n

∑k=1

∂L

∂ qk

∂ qk

∂ pi

y∂H∂qi

=n

∑k=1

∂ qk

∂qipk− ∂L

∂qi−

n

∑k=1

∂L

∂ qk

∂ qk

∂qi.

Si L = T −U , donde T es la fuerza cinetica y U la fuerza potencial del sistema, ytomando pi como la definimos anteriormente, simplificamos las derivadas

qi =∂H∂ pi

, pi =−∂H∂qi

, i = 1, . . . ,n.


Figura 1.3: Coordenadas Esfericas

Hamilton descubrio que estas ecuaciones son simetricas y el integrar estas ecua-ciones de movimiento es el proplema principal de la “dinamica matematica”. Aestas ecuaciones, Jacobi las llamo ecuaciones diferenciales canonicas.

Observacion: Si la energıa cinetica T es una funcion cuadratica de las velocidadesqi, la identidad de Euler nos dice que

2T =n

∑k=1

qk∂T∂ qk

.

Si asumimos que la energıa potencial U es independiente de qi, obtenemos laenergıa total del sistema

H =n

∑k=1

qk pk−L =n

∑k=1

qk∂T∂ qk

−L = 2T −L = T +U.

Consideramos un modelo particular del pendulo esferico (ver Figura 1.3), conl = 1, m = 1, g = 1 y coordenadas esfericas del espacio Euclidiano:

x = senθ cosϕ,

y = senθ senϕ,

z = −cosθ .

20 Introduccion

Tomando como base las ecuaciones de la Mecanica Lagrangiana,

T =12(x2 + y2 + z2) =

12(θ + ϕ2 sen2 θ),

U = z =−cosθ ,

tenemos,

pθ =∂ T∂ θ

= θ , pϕ =∂T∂ ϕ

= ϕ sen2 θ ,

y elminando las variables θ y ϕ , obtenemos

H = T +U =12

(p2

θ +p2

ϕ

sen2 θ

)− cosθ .

Ası, la energıa total del sistema resulta

pθ = p2ϕ

(cosθsen3 θ

)− senθ , pϕ = 0,

θ = pθ , ϕ =pϕ

sen2 θ.

En este Capıtulo, dimos un resumen sobre la historia de las ecuaciones di-ferenciales y sistemas lineales de ecuaciones diferenciales, de algunos de losmatematicos que aportaron al desarrollo de las ecuaciones y sistemas, ası comolas caracterısticas generales de los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales.Tambien mencionamos algunas de las aplicaciones de sistemas lineales de ecua-ciones diferenciales a mecanica clasica.

En el siguiente Capıtulo, nos enfocaremos en describir las propiedades gene-rales de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales.

Capıtulo 2

Propiedades Generales de losSistemas Lineales de EcuacionesDiferenciales

2.1 Elementos de Algebra Lineal

DEFINICION 2.1 Un espacio vectorial V sobre un campo real, o complejo, F

es un conjunto de elementos denominados vectores en el que estan definidas dosoperaciones, adicion y multiplicacion por un escalar, y cumplen con los siguientesaxiomas:

i. x+ y = y+ x, ∀ x,y ∈ V

ii. (x+ y)+ z = x+(y+ z), ∀ x,y,z ∈ V

iii. ∃ 0 ∈ V tal que x+0 = x, ∀ x ∈ V

iv. ∀ x ∈ V ∃y ∈ V tal que x+ y = 0,

v. ∀x ∈ V 1x = x

vi. (ab)x = a(bx), ∀ a,b ∈ F, ∀x ∈ V,

vii. a(x+ y) = ax+ay, ∀ a ∈ F, ∀x,y ∈ V

viii. (a+b)x = ax+bx, ∀ a,b ∈ F∀ x ∈ V

22 Propiedades Generales de los SLED

DEFINICION 2.2 Un espacio afın es un conjunto X que admite una accion tran-sitiva libre de un espacio vectorial V. Es decir, existe un mapeo X×V → X :(X ,V ) 7→ X +V , que se llama traslacion por el vector V , tal que cumple las si-guientes condiciones:

1. Suma de vectores corresponde a una composicion de traslaciones, es decir,∀ X ∈ X y U,V ∈ V, la suma de vectores satisface la ley de asociatividad:X +(U +V ) = (X +U)+V .

2. El vector cero actua como la identidad, es decir, para todo X ∈X, X +0 = X .

3. La accion es libre, es decir, para un vector dado V ∈V existe un punto X ∈X

tal que X +V = X implica V = 0.

4. La accion es transitiva, es decir, para todos los puntos X ,Y ∈ X existe unvector V ∈ V tal que Y = X +V .

La dimension del espacio afın X es igual a la dimension del espacio vectorial detraslaciones V.

DEFINICION 2.3 Un subconjunto W de un espacio vectorial V se llama un sube-

spacio de V si W es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multipli-cacion por escalares definidas en V.

DEFINICION 2.4 Un subconjunto S de un espacio vectorial V es linealmente in-

dependiente si existe un numero finito de vectores distintos X1,X2, . . . ,Xn en S yescalares a1,a2, . . . ,an en F, no todos cero, tales que a1X1 +a2X2 + · · ·+anXn = 0.En caso contrario, los elementos de S son linealmente dependientes.

DEFINICION 2.5 Una base β para un espacio vectorial V es un subconjunto li-nealmente independiente de V que genera a V. Si β tiene un numero finito deelementos, entonces V se denomina dimensionalmente finito y el numero de ele-mentos de β es la dimension de V y se representa dimV. Una base ordenada esuna base para V establecida con un orden especıfico.

2.1 Elementos de Algebra Lineal 23

DEFINICION 2.6 Sean V y W espacios vectoriales. Una funcion T : V→W sellama transformacion lineal de V en W si ∀X ,Y ∈ V, c ∈ F se tiene:

T (X +Y ) = T (X)+T (Y ), T (cX) = cT (X).

DEFINICION 2.7 Un arreglo en m renglones y n columnas de m× n elementosai j,

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

... · · · ...am1 am2 · · · amn

,

se llama matriz m×n. Una matriz es cuadrada si m = n.Sean A,B dos matrices de dimension n×n, entonces el producto AB es una matrizC cuyos elementos son de la forma ci j = ∑n

k=1 aikbk j.

DEFINICION 2.8 Sean V,W espacios vectoriales dimensionalmente finitos. SiT : V→W es una transformacion lineal, entonces existe una unica matriz AT talque

T X = AT X ∀X ∈ V.

DEFINICION 2.9 La matriz cero de dimension n× n, 0n, es aquella cuyos todoselementos son cero.

DEFINICION 2.10 La matriz identidad de dimension n× n, In, es aquella cuyoselementos de la forma aii son 1, y los demas 0.

DEFINICION 2.11 Una matriz A es invertible si existe A−1 tal que

AA−1 = A−1A = In.

DEFINICION 2.12 La traza de una matriz A se denota por Tr(A) y es la suma delos elementos de la diagonal principal, es decir,

Tr(A) =n

∑i=1

aii.


DEFINICION 2.13 El determinante de la matriz A de n×n se denota como

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n

... · · · ...an1 an2 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Un determinante obtenido al eliminar el i-esimo renglon y la j-esima columna dela matriz A se llama el menor ai j del elemento ai j. Definimos el cofactor de ai j

como αi j = (−1)i+ jai j. En terminos de cofactores el determinante de A se definecomo

detA =n

∑j=1

ai jαi j =n

∑i=1

ai jαi j.

DEFINICION 2.14 Un sistema lineal de n ecuaciones con n incongitas es un con-junto de ecuaciones de la siguiente forma:

a11U1 + · · ·+a1nUn = b1,

a21U1 + · · ·+a2nUn = b2,...

an1U1 + · · ·+annUn = bn,

donde ai j y bi, 1≤ i, j ≤ n son numeros reales y Ui, 1≤ i≤ n son n incognitas.Este sistema puede ser escrito en la forma

AU = B,

donde A es una matriz n× n, B es un vector n× 1 y U es un vector n× 1 deincognitas. Si B = 0 entonces el sistema se llama homogeneo, en caso contrariose llama no homogeneo.

DEFINICION 2.15 Sean A una matriz de coeficientes constantes con valores enun campo F y α un vector en Fn. Un elemento λ ∈ F que satisface la ecuacion(λ In−A)α = 0 (α 6= 0) es un valor propio de A en F.

DEFINICION 2.16 Cualquier α ∈ Fn (α 6= 0) que satisface (λ In−A)α = 0 esllamado vector propio para λ ∈ F.

2.2 Propiedades Generales de los SLED 25

DEFINICION 2.17 El polinomio de grado n que se obtiene de la ecuacion

pA(λ ) = det(λ In−A)

es llamado polinomio caracterıstico y sus raıces λ j ∈ F son valores propios de A.

DEFINICION 2.18 Si λ es un valor propio de A, el espacio propio E(A,λ ) de A

para λ es el espacio vectorial

E(A,λ ) = N(A−λ In),

donde N denota al espacio nulo.

El espacio propio generalizado F(A,λ ) de A para λ es el espacio vectorial

F(A,λ ) = N((A−λ In)m), para algun m > 0.

2.2 Propiedades Generales de los Sistemas Linealesde Ecuaciones Diferenciales

La ecuacion matricial

X ′(t) = A(t)X(t), (2.1)

donde A(t) es una matriz real no singular n×n y X(t) =(x1(t),x2(t), . . . ,xn(t)

)T

un vector n-dimensional, es lineal y esto impone ciertas restricciones en el com-portamiento de las soluciones. A continuacion daremos algunas definiciones ypropiedades importantes.

2.2.1 Existencia y Unicidad

Si los elementos de A(t) son funciones definidas y continuas por partes, con unacantidad finita de puntos de discontinuidad e integrables en cada punto de dis-continudad, la solucion de la ecuacion X ′(t) = A(t)X(t) con condicion inicialX(0) = X0 existe y es unica.


Sea E un espacio vectorial normado, W ⊂ R×E un conjunto abierto y f :W → E un mapeo continuo. Sea (t0,u0) ∈W . Una solucion del problema de valorinicial (problema de Cauchy)

x′(t) = f (t,x),

x(t0) = u0,

es una curva diferenciable x(t) en E para t en algun intervalo I que tiene las pro-piedades:

t0 ∈ I, x(t0) = u0,

(t,x(t)) ∈W, x′(t) = f (t,x(t)),

para todo t ∈ I.

Teorema 2.1 Sea W ⊂ R×E un conjunto abierto y f : W → E un mapeo con-

tinuo que satisface la condicion de Lipschitz en x(t). Si (t0,u0) ∈W, entonces

existe t ∈ I tal que el problema de valor inicial tiene solucion y es unica.

La prueba de este teorema para ecuaciones no autonomas se puede encontrar enel libro de Hirsch y Smale ([11], Capıtulo 15).

Vamos a aplicar este teorema para demostrar la existencia y unicidad de solu-ciones de nuestro sistema (2.1).

Teorema 2.2 Sea A : I → L(E) un mapeo continuo de un intervalo I al espacio

de operadores lineales en E. Sea (t0,u0) ∈ I×E. Entonces el problema de valor

inicial

X ′(t) = A(t)X(t), X(t0) = U0

tiene una solucion y es unica en todo el intervalo.

Demostracion. Si I0 ⊂ I es compacto, entonces existe una cota superior K paralas normas de los operadores A(t), t ∈ I0. Esta cota superior es una constantede Lipschitz en X(t) para f ⊂ I0×E y el Teorema (2.1) se puede aplicar parademostrar nuestro teorema.


2.2.2 Linealidad

Si X1(t),X2(t), . . . ,Xm(t) son m soluciones del sistema (2.1), reales o complejas,entonces la suma

Y (t) =m

∑k=1

αkXk(t) = 0,

donde αk son constantes reales o complejas, tambien es solucion.

Teorema 2.3 Sea X(t) una solucion del sistema X ′(t) = A(t)X(t)+ B1(t) y sea

Y (t) una solucion del sistema Y ′(t) = A(t)Y (t)+B2(t), entonces ϕ(t) = c1X(t)+c2Y (t) es solucion del sistema diferencial ϕ ′(t) = A(t)ϕ(t)+ c1B1(t)+ c2B2(t).

Demostracion. De ϕ(t) = c1X(t)+ c2Y (t) obtenemos

ϕ ′(t) = c1X ′(t)+Y ′(t)

= c1(A(t)X(t)+B1(t))+ c2(A(t)Y (t)+B2(t))

= A(t)(c1X(t)+ c2Y (t))+ c1B1(t)+ c2B2(t)

= A(t)ϕ(t)+ c1B1(t)+ c2B2(t).

Como caso particular para las ecuaciones diferenciales lineales de primer or-den, tenemos: si Y1(t) y Y2(t) son dos soluciones de las ecuaciones Y ′(t) +p(t)Y (t) = qi(t) (para i = 1,2, respectivamente), entonces c1Y1(t)+ c2Y2(t) es lasolucion de la ecuacion diferencial Y ′(t)+ p(t)Y (t) = c1q1(t)+ c2q2(t).

2.2.3 Dependencia Lineal

DEFINICION 2.19 Sea I = [a,b] un intervalo compacto, donde t ∈ I.Si Z1(t),Z2(t), . . . ,Zm(t) son m funciones vectoriales (reales o complejas) arbi-trarias, continuas en I, todas diferentes de cero, y si existen constantes αk, k =1,2, . . . ,m, no todas cero tales que

m

∑k=1

αkZk(t) = 0,

entonces las funciones Zk(t), k = 1,2, . . . ,m, se dicen ser linealmente dependien-

tes. De lo contrario, son linealmente independientes.


Ejemplo 2.1 Vectores linealmente dependientes

Determinamos si los siguientes vectores son linealmente dependientes:

(i) V1 = (1,−1,1)T , V2 = (2,1,1)T , V3 = (0,1,−3)T ,

(ii) U1 = (sen(t−α),cos(t−α))T , U2 = (sen(t−β ),cos(t−β ))T .

(i) Resolvemos la ecuacion

c1

1−11

+ c2

211

+ c3

01−3

= 0.

Esta ecuacion tiene soluciones no triviales si det(V1 V2 V3) = 0. Calculando el de-terminante, tenemos que det(V1 V2 V3) =−8. Entonces V1,V2,V3 son linealmentedependientes.

(ii) Resolvemos la ecuacion

d1U1 +d2U2 = 0.

Esta ecuacion tiene soluciones no triviales si det(U1 U2) = 0. Calculando el de-terminante, tenemos que det(U1 U2) = sen(β −α), el cual es igual a cero cuandoβ −α = πk. Por lo tanto, si β −α = πk, entonces U1,U2 son linealmente inde-pendientes. ¤

2.2.4 Matriz Fundamental

DEFINICION 2.20 Si φ1(t),φ2(t), . . . ,φn(t) es un conjunto de n soluciones li-nealmente independientes, la matriz

Φ(t) = (φ1(t),φ2(t), . . . ,φn(t)) =

φ11(t) φ12(t) · · · φ1n(t)φ21(t) φ22(t) · · · φ2n(t)

......

...φn1(t) φn2(t) · · · φnn(t)

,

cuya k-esima columna es el vector φk(t), se le denomina matriz fundamental.


Para un sistema arbitrario existen una infinidad de matrices fundamentales,cada una satisface la ecuacion diferencial matricial

Φ′(t) = A(t)Φ(t). (2.2)

Diferentes conjuntos de soluciones linealmente independientes dan como resul-tado diferentes matrices fundamentales, pero ya que los componentes de cadaconjunto pueden ser expresados como combinaciones lineales de componentes deotro conjunto arbitrario, cualesquiera dos matrices fundamentales Φ1(t) y Φ2(t)estan relacionadas mediante Φ2(t) = Φ1(t)C, donde C es una matriz constante nosingular.

DEFINICION 2.21 La matriz fundamental que satisface Φ(0) = In es denominadala matrizant de la ecuacion (2.1).

DEFINICION 2.22 Si la matriz A(t) es T -periodica, la matriz de monodromıa esel valor de la matrizant en t = T , esto es Φ(T ), donde Φ(0) = In. Esta matriz tieneun papel importante en la teorıa de sistemas periodicos.

2.2.5 Determinante de una Matriz Fundamental

De la definicion del determinante podemos calcular la derivada de la funciondet

(A(t)

). Utilizando la expansion de A(t) por cofactores, tenemos

det(A(t)

)=

n

∑i=1

ai j(t)αi j(t),

se sigue que∂ det

(A(t)

)

∂ai j(t)= αi j(t),

y por lo tanto

∆(t) =ddt

(det

(A(t)

))=

n

∑j=i

n

∑i=1

∂ det(A(t)

)

∂ai j(t)dai j(t)

dt=

n

∑j=1

n

∑i=1

αi j(t)a′i j(t),

que equivale a,

∆(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a′11(t) · · · a′1n(t)a21(t) · · · a2n(t)

... · · · ...an1(t) · · · ann(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11(t) · · · a1n(t)a′21(t) · · · a′2n(t)

... · · · ...an1(t) · · · ann(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣+· · ·+

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11(t) · · · a1n(t)a21(t) · · · a2n(t)

... · · · ...a′n1(t) · · · a′nn(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.


Si F(t) es una matriz n× n de las soluciones X1(t),X2(t), . . . ,Xn(t), entoncessucede uno de los siguientes afirmaciones:

1. det(F(t)) 6= 0, para toda t, en cuyo caso Xk(t) son linealmente independien-tes y F(t) es una matriz fundamental, o

2. det(F(t)) = 0, para toda t, en este caso Xk(t) son linealmente dependientes.Inversamente, si Xk(t) son linealmente independientes, det(F(t)) = 0.

2.2.6 Wronskiano

El Wronskiano de un conjunto de n soluciones linealmente independientes estadefinido como el determinante de la matriz fundamental

W (t) = det(Φ(t)) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

U11 · · · Un1U12 · · · Un2

......

...U1n · · · Unn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

Teorema 2.4 Si el Wronskiano W (t) de n vectores columna U1(t),. . .,Un(t) es

diferente de cero para algun punto en un intervalo I, entonces estas funciones son

linealmente independientes en I.

Demostracion. Sean U1, . . . ,Un linealmente dependientes en I, entonces existen n

constantes c1, . . .cn, no todas cero, tales que ∑ni=1 ciUi(t) = 0 en I. Esto es igual a

decir que el sistema homogeneo de ecuaciones,n

∑i=1

Uik(t)ci = 0, 1≤ k ≤ n, t ∈ I,

tiene solucion no trivial. Sin embargo, sabemos que el sistema AU = B tienesolucion unica si y solo si det(A) 6= 0 (ver Agarwal, Teorema 13.2) [1]. Esto es,para cada t ∈ I, este sistema homogeneo tiene soluciones no triviales si y solosi W (t) = 0. Pero W (t) 6= 0 para algun t ∈ I, y por lo tanto, U1(t), . . . ,Un(t) nopueden ser linealmente dependientes.

En general, el recıproco de este teorema no es verdadero. Por ejemplo, losvectores U1(t) =

(x(t),1

)T, U2(t) =

(x2(t),x(t)

)T, son linealmente independien-tes en cualquier intervalo I, pero W

(U1(t),U2(t)

)= 0 en I. Pero si U1(t), . . . ,Un(t)


son soluciones del sistema homogeneo (2.1) en I, entonces obtenemos el siguienteresultado.

Teorema 2.5 (Formula de Abel) Sean U1(t), . . . ,Un(t) soluciones linealmente

independientes del sistema (2.1) en I, entonces W (t) 6= 0 para toda t ∈ I.

Demostracion. Sea t0 un punto en I donde W (t0) = 0, entonces existen constantesc1, . . . ,cn, no todas cero, tales que

n

∑i=1

ciUi(t0) = 0.

Ya que U(t) = ∑ni=1 ciUi(t) es solucion de (2.1), y U(t0) = 0, del teorema de

existencia y unicidad de las soluciones se sigue que U(t) = ∑ni=1 ciUi(t) = 0 en I.

Pero las funciones U1(t), . . . ,Un(t) son linealmente independientes en I, entoncesc1 = · · ·= cn = 0, lo cual es una contradiccion.

Existe una relacion entre la matriz A(t) y el Wronskiano W (t), la cual la damosen el siguiente resultado.

Teorema 2.6 Sean U1(t), . . . ,Un(t) soluciones del sistema (2.1) en I y sea t0 ∈ I.

Entonces, para toda t ∈ I,

W (t) = W (t0)exp(∫ t

t0Tr(A(s))ds

). (2.3)

Demostracion. Por las propiedades del determinante de una matriz, podemos es-cribir el Wronskiano de la siguiente manera,

W ′(t) =n

∑i=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

U1,1(t) · · · Un,n(t)... · · · ...

U1,i−1(t) · · · Un,i−1(t)U ′

1,i(t) · · · U ′n,i(t)

U1,i+1(t) · · · U1,i+1(t)... · · · ...

U1,n(t) · · · Un,n(t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

En el i-esimo determinante remplazamos U ′j,i(t) con ∑n

i=1 aik(t)U j,k(t) del sis-tema (2.1) y multiplicamos el primer renglon por ai,1(t), el segundo por ai,2(t) y


ası sucesivamente, excepto en el i-esimo renglon, y restamos su suma del i-esimorenglon y obtenemos

W ′(t) =n

∑i=1

aii(t)W (t) =(TrA(t)

)W (t).

Integrando de t0 a t esta ecuacion diferencial de primer orden, obtenemos laecuacion (2.3).

2.2.7 Dependencia Lineal de las Soluciones

Utilizando la definicion del Wronskiano, las soluciones φ1(t),φ2(t), . . . ,φn(t)del sistema (2.1) son linealmente independientes en un intervalo I si y solo siexiste al menos un punto t0 ∈ I tal que W (t0) 6= 0.

Cualquiera de las n+1 soluciones no triviales de n ecuaciones (2.1) son line-almente dependientes. Inversamente, existe un conjunto de n soluciones lineal-mente independientes de (2.1).

Mas aun, si φ1(t),φ2(t), . . . ,φn(t) es un conjunto de n soluciones linealmen-te independientes, cada solucion de (2.1) es una combinacion de estas soluciones.

Sea φ(t) cualquier solucion del sistema (2.1) en I tal que φ(t) = φ0. Entonces,por el teorema de existencia y unicidad de las soluciones con valor inicial delsistema (2.1), se sigue que φ(t0) = ∑n

i=1 φ0iφi(t), donde φi(t) es solucion de (2.1).Ası, cada solucion del sistema puede ser expresada como combinacion lineal

de las n+1 soluciones del sistema. Podemos concluir que estas soluciones formanun espacio vectorial.

2.2.8 Soluciones en Terminos de Matriz Fundamental

La solucion de (2.1) con condicion inicial X(t0) = X0 puede ser expresada como

X(t) = Φ(t)Φ(t0)−1X(t0),

donde Φ(t) es una matriz fundamental arbitraria.

DEFINICION 2.23 La matriz U(t2, t1) = Φ(t2)Φ(t1)−1, que depende de dos tiem-pos, t1 y t2, se denomina la matriz de propagacion.


Puesto que el sistema es lineal, la matriz de propagacion tiene la propiedad multi-plicativa

U(t3, t1) = U(t3, t2)U(t2, t1).

Para sistemas autonomos, la matriz de propagacion U(t2, t1) depende solo de ladiferencia t2− t1.

En general, no es posible encontrar soluciones del sistema lineal no autonomoX ′(t) = A(t)X(t) en terminos de funciones elementales. Sin embargo, cuando lamatriz A(t) es constante, la solucion en cualquier caso particular puede ser expre-sado en terminos de funciones trigonometricas, hiperbolicas (o sus productos), yfunciones polinomiales de t.

Consideremos ahora el sistema X ′(t) = AX(t), donde A es una matriz constan-te, real, no singular de n×n. Sustituyendo X(t) = Eeλ t , donde λ es una constantey E es un vector constante, obtenemos la ecuacion asociada al valor propio

AR = λE.

El vector E serıa no trivial, distinto de cero, solo si λ es un valor propio de A, estoes, λ debe satisfacer el polinomio de grado n:

det(A−λ I) = 0.

La ecuacion tiene n soluciones λ1,λ2, . . . ,λn, las cuales pueden no ser todas di-ferentes, y deben ser reales o complejas, en este caso, ocurren en conjugados, yaque A es real. Para algun valor propio dado λp le corresponde un vector propio Ep

que satisface la ecuacion AEp = λpEp.Si la matriz A tiene n vectores propios linealmente independientes, es decir,

E1,E2, . . . ,En, que corresponden a los valores propios λ1,λ2, . . . ,λn, que nece-sitan ser distintos, la solucion general de la ecuacion

X ′(t) = AX(t) es X(t) =n

∑k=1

ckEkeλkt ,

donde los ck son constantes.Si un valor propio λp tiene multiplicidad m ≤ n : det(A−λ I), tiene un fac-

tor (λ − λp)m, entonces existen m vectores propios linealmente independientesasociados al valor propio λp. En este caso existen m soluciones de la forma

E1(t)eλpt , E2(t)eλpt , . . . , Em(t)eλpt ,


donde los Ek son polinomios vectoriales de t de grado m−1, o menor.

Para sistemas bidimensionales, n = 2, las combinaciones de valores y vectorespropios, que existen, dan lugar a 10 tipos de soluciones, los que se pueden ver en[17].

Si n≥ 3, existe una gran cantidad de posibilidades para clasificar, y cada pro-blema debe ser tratado individualmente. Sin embargo, si los valores propios de A

satisfacen la condicion Re(λk)≤ 0, entonces las soluciones de los sistemas

X ′(t) = AX(t) y X ′(t) = [A+C(t)]X(t)

son acotadas para t > t0 si

n

∑i=1

n

∑j=1

∫ ∞

t0

∣∣Ci j(t)∣∣dt. (2.4)

La condicion (2.4) es resultado obtenido por Cesari (Teorema 3.4).

Ejemplo 2.2 Sistema lineal con coeficientes constantes reales

Consideramos el sistema (1.1) con coeficientes constantes reales, donde la ma-

triz A tiene la forma A =

0 2 41 1 −2−2 0 5

. Encontramos los valores y vectores

propios correspondientes.

Si calculamos el polinomio caracterıstico de la matriz A mediante la formuladet(A−λ I), obtenemos λ 3− 6λ 2 + 11λ − 6. Resolviendo la ecuacion de tercerorden, obtenemos las soluciones λi, i = 1,2,3. Ahora calculamos los vectorespropios con la formula (A−λiI) = 0 (i = 1,2,3) y obtenemos,

Valores Propios Vectores Propiosλ1 = 1 (2,−1,1)T

λ2 = 2 (3/2,−1/2,1)T

λ3 = 3 (1,−1/2,1)T

¤


Ejemplo 2.3 Matriz fundamental

Encontramos la matriz fundamental con valor inicial Φ(0) = In (n = 2,3) para lossistemas:

(i) X ′(t) =(

0 1−1 −2

)X(t), (ii) X ′(t) =

−1 0 01 1 10 −1 0

X(t).

(i) Si hacemos X(t) =(x(t),y(t)

)T, entonces el sistema queda de la forma

x′(t) = y(t), y′(t) =−x(t)−2y(t).

Resolviendo este sistema, encontramos las soluciones generales

x(t) = e−t(c1 + c2t), y(t) = e−t(c2− c1− c2t).

Aplicando las condiciones iniciales, obtenemos una matriz fundamental

Φ(t) =(

(1+ t)e−t te−t

−te−t (1− t)e−t

).

(ii) Si hacemos X(t) =(x(t),y(t),z(t)

)T, entonces el sistema queda de la forma

x′(t) =−x(t), y′(t) = x(t)+ y(t)+ z(t), z′(t) =−y(t).

Resolvemos la ecuacion x′(t)+ x(t) = 0, tenemos

x(t) = C1e−t .

Ası, el sistema lo podemos escribir de la siguiente forma, y′′(t)− y′(t)+ y(t) =−C1e−t . Resolviendo esta ecuacion tenemos que la solucion es

y(t) =[C2 cos

(√3

2 t)

+C3 sen(√

32 t

)]e

t2 − 1

3C1e−t .

Finalmente calculamos z(t) = y′(t)− y(t)− x(t),

z(t)=[(√

32 C3−1

2C2

)cos

(√3

2 t)]

et2 +

[(12C3−

√3

2 C2

)sen

(√3

2 t)]

et2 − 1

3C1e−t .

Calculando

x(0) = C1, y(0) = C2− 13C1, z(0) =

√3

2 C3− 12C2− 1

3C1,


igualando a las condiciones iniciales, (1,0,0)T, (0,1,0)T, (0,0,1)T, obtenemoslas constantes

(C1,C2,C3) = (1, 13 ,√

33 ), (0,1,

√3

3 ), (0,0, 2√

33 ).

Por lo tanto, tenemos la matriz fundamental

e−t 0 0[cosα

3 +√

3senα3

]e

t2 − e−t

3

[cosα+

√3senα

3

]e

t2 2

√3

3 senαet2[

cosα3 −

√3senα

3

]e

t2− e−t

3 −2√

33 senαe

t2

[cosα−

√3senα

3

]e

t2

,

donde α =√

32 t. ¤

Capıtulo 3

Clases Particulares de SistemasLineales de Ecuaciones Diferenciales

3.1 Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferencialesde Primer Orden

Consideremos el sistema homogeneo de la forma

X ′(t) = A(t)X(t), t ∈ I, (3.1)

donde A(t) es una matriz n×n de funciones continuas sobre un intervalo I.Dado cualquier t0 ∈ I entonces existe una solucion unica X(t) de (3.1) en I

que satisface la condicion inicial X(t0) = X0. La funcion cero, X(t) = (0, . . . ,0)T,t ∈ I, es una solucion trivial de (3.1).

Si X(t) es alguna solucion de (3.1) tal que X(t0) = 0 para algun t0∈I, entoncespor unicidad (X(t) = 0 para toda t ∈ I) X(t) es una solucion trivial. Esto nos llevaa los siguientes resultados, los cuales se pueden encontrar en [1].

1. El conjunto S de soluciones de (3.1) en I es un espacio vectorial n-dimen-sional sobre el campo escalar F.

2. Sea t0 ∈ I, sean X1(t), . . . ,Xk(t) k soluciones arbitrarias de (3.1) en I. Enton-ces X1(t), . . . ,Xk(t) es un conjunto linealmente independiente en S si y solosi X1(t0) = F1, . . . ,Xk(t0) = Fk es un conjunto linealmente independiente enel espacio vecotorial Fn. En particular, si k = n, entonces X1(t), . . . ,Xn(t) esuna base para S si y solo si X1(t0) = F1, . . . ,Xn(t0) = Fn es una base para Fn.

38 Clases Particulares de SLED

3. Una base estandar E1, . . . ,En (donde cada vector E j tiene componentes ceroexcepto la j-esima entrada, que es uno), tiene la siguiente forma:

E1 = (1,0, . . . ,0)T, . . . , En = (0, . . . ,0,1)T.

Ası, una base para S consiste de los vectores X j(t) ∈ S tal que X j(t0) = E j

para algun t0 ∈ I fijo.

4. Una matriz n×n, Φ(t) =(φ1(t), . . . ,φn(t)

)con columnas φ1(t), . . . ,φn(t) es

una matriz solucion para (3.1) si cada φ j(t) ∈ S.

En este Capıtulo obtenemos las soluciones de algunos problemas mas genera-les y relevantes y generalizamos algunos resultados representados en el Capıtulo12 de la monografıa cientıfica de Richards [17], es decir, Teoremas 3.1 y 3.3.

Teorema 3.1 Sea Φ(t) una matriz fundamental del sistema diferencial lineal ho-

mogeneo (3.1), entonces el vector

X(t) = Φ(t)Φ−1(t0)X0 (3.2)

es la solucion del problema de Cauchy, es decir, satisface el sistema lineal de

ecuaciones diferenciales con condicion inicial,

X ′(t) = A(t)X(t), X(t0) = X0.

Demostracion. Consideramos el vector X(t), dado en (3.2) y lo derivamos conrespecto a t, esto es,

X ′(t) =ddt

(Φ(t)Φ−1(t0)X0) = Φ′(t)Φ−1(t0)X0.

Por la propiedad de la matriz fundamental (2.2) tenemos

X ′(t) = A(t)Φ(t)Φ−1(t0)X0 = A(t)X(t).

Ahora consideremos el sistema no homogeneo

X ′(t) = A(t)X(t)+B(t), (3.3)

donde A(t) es una matriz n×n de funciones continuas en un intervalo I y B(t) esun vector n-dimensional de funciones continuas en I.

3.1 SLED de Primer Orden 39

Supongamos que Xp(t) es una solucion particular de (3.3) y X(t) es otrasolucion arbitraria. Entonces U(t) = X(t)−Xp(t) satisface la ecuacion lineal ho-mogenea asociada

U ′(t) = X ′(t)−X ′p(t) = A(t) [X(t)−Xp(t)] = A(t)U(t).

Inversamente, dada cualquier solucion Xp(t) de (3.3) y una solucion U(t) de (3.1),la funcion X(t) = Xp(t)+U(t) es solucion de (3.3), ya que

X ′(t) = X ′p(t)+U ′(t) = A(t)Xp(t)+B(t)+A(t)U(t) = A(t)X(t)+B(t).

Teorema 3.2 Sea S(t) una base para las soluciones (3.1). Entonces existe una

solucion X(t) de (3.3) de la forma X(t) = S(t)C(t), donde C(t) es una funcion

diferenciable arbitraria que satisface S(t)C′(t) = B(t). Si S(t) es la base tal que

S(t0) = In, con In la matriz identidad, entonces la solucion X(t) de (3.3) satisface

X(t0) = E y esta dada por

X(t) = S(t)E +S(t)∫ t

t0S−1(s)B(s)ds, t ∈ I. (3.4)

Esta formula se llama variacion de parametros, y la demostracion de este teoremase puede encontrar en [6].

Notemos que en particular, se cumple el siguiente teorema.

Teorema 3.3 Sea Φ(t) una matriz fundamental del sistema X ′(t) = A(t)X(t),entonces

a) la solucion del sistema diferencial lineal no homogeneo

X ′(t) = A(t)X(t)+F(t),

donde F(t) es una funcion vectorial que depende de t, tiene la forma

X(t) = Φ(t)∫

Φ−1(s)F(s)ds;

b) la solucion del sitema con condiciones iniciales X(t0) = X0 tiene la forma

X(t) = Φ(t)Φ−1(t0)X0 +Φ(t)∫ t

t0Φ−1(s)F(s)ds.


Demostracion.

a) Introducimos el cambio de variable X(t) = Φ(t)Y (t). Derivando obtenemos,

X ′(t) = Φ′(t)Y (t)+Φ(t)Y ′(t) = A(t)X(t)+F(t).

Por la propiedad de la matriz fundamental (2.2) tenemos

A(t)Φ(t)Y (t)+Φ(t)Y ′(t) = A(t)Φ(t)Y (t)+F(t).

Restando A(t)Φ(t)Y (t) ambos lados, la ecuacion queda de la forma

Φ(t)Y ′(t) = F(t).

Multiplicando por Φ−1(t), obtenemos

Y ′(t) = Φ−1(t)F(t).

Ahora, integrando la ecuacion anterior con respecto a t, tenemos

Y (t) =∫

Φ−1(s)F(s)ds.

Sustituyendo Y (t) = Φ−1(t)X(t) y despejando X(t), encontramos

X(t) = Φ(t)∫

Φ−1(s)F(s)ds.

b) Por la teorıa de ecuaciones diferenciales, la solucion del sistema lineal originalcon condicion inicial X(t0) = X0 es la suma de la solucion del sistema lineal ho-mogeneo con la condicion inicial X(t0) = X0 y la solucion del sistema lineal nohomogeneo con la condicion inicial X(t0) = 0.

La solucion del sistema diferencial lineal homogeneo con la condicion inicialX(t0) = X0 es

X(t) = Φ(t)Φ−1(t0)X0.

La solucion del sistema diferencial lineal no homogeneo con la condicion inicialX(t0) = X0 es

X(t) = Φ(t)∫ t

t0Φ−1(s)F(s)ds.

Entonces, obtenemos el resultado final

X(t) = Φ(t)Φ−1(t0)X0 +Φ(t)∫ t

t0Φ−1(s)F(s)ds.

3.2 EDO-L de Orden n 41

3.2 Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n

En esta Seccion consideramos la siguiente ecuacion diferencial lineal de orden n:

x(n)(t)+an−1(t)x(n−1)(t)+ · · ·+a0(t)x(t) = b(t), t ∈ I, (3.5)

donde ak, b son funciones continuas en el intervalo I.

DEFINICION 3.1 El numero mayor entero positivo n de la derivada x(n) que apa-rece en una ecuacion diferencial ordinaria se llama el orden de la ecuacion.

Esta clase de ecuaciones diferenciales ordinarias puede ser reducida al estudiode un sistema de primer orden (ver Seccion 3.1).

Una solucion de (3.5) en I es una funcion x : I → F que tiene n derivadas con-tinuas en I tal que si sustituimos esta funcion a la ecuacion diferencial, obtenemosla identidad:

x(n)(t)+an−1(t)x(n−1)(t)+ · · ·+a0(t)x(t)≡ b(t), t ∈ I.

Existe un sistema de primer orden asociado con (3.5). Si x(t) es una solucion de(3.5), las n funciones

y1(t) = x(t), y2(t) = x′(t), . . . , yn(t) = x(n−1)(t),

satisfacen el sistema de ecuaciones

y′1(t) = y2(t), y′2(t) = y3(t), . . . y′n−1(t) = yn(t),

y′n(t) =−a0y1(t)−a1y2(t)−·· ·−an−1yn(t)+b(t).

El sistema puede ser escrito de la forma

Y ′(t) = A(t)Y (t)+B(t), Y (t) =(y1(t), . . . ,yn(t)

)T, t ∈ I, (3.6)

donde

A(t)=

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

...... · · · ...

0 0 0 · · · 1−a0(t) −a1(t) −a2(t) · · · −an−1(t)

, B(t)=

0...0

b(t)

=b(t)En.


Inversamente, si Y (t) satisface Y ′(t) = A(t)Y (t)+ B(t) en I, entonces su primercomponente es y1(t) = x(t) tal que y j(t) = x( j−1)(t), con j = 1, . . . ,n, y x(t) sa-tisface (3.5) en I. Este sistema escrito en la forma matricial (3.6) se conoce comoel sistema de primer orden asociado. De esta manera podemos concluir que paracualquier t0 ∈ I y λ = (λ1, . . . ,λn)T ∈ Fn, existe una unica solucion x(t) de (3.5)en I y que satisface

x( j−1)(t0) = λ j, j = 1, . . . ,n.

Si b(t) 6= 0 para algun t ∈ I decimos que la ecuacion (3.5) es una ecuacion no

homogenea y la ecuacion

x(n)(t)+an−1(t)x(n−1)(t)+ · · ·+a0(t)x(t) = 0 (3.7)

es la ecuacion homogenea correspondiente. Su sistema asociado es

Y ′(t) = A(t)Y (t). (3.8)

El conjunto S de todas las soluciones de (3.7) en I es un espacio vectorial n-dimensional Fn. Un conjunto de k soluciones x1(t), . . . ,xk(t) de (3.7) es lineal-mente independiente si y solo si (para cada t0 ∈ I) x1(t0), . . . , xk(t0), soluciones de(3.8), es linealmente independiente en Fn.

Problema 3.1 Ecuacion diferencial lineal de segundo orden

Sea x′′(t)+ω2x(t) = 0 ecuacion diferencial lineal de segundo orden.

a) Introduciendo la variable y(t) = x′(t), transformar la ecuacion a la forma ma-tricial (2.1) y demostrar que la matriz fundamental con condicion incial Φ(0) = I2

esΦ(t) =

(cosωt ω−1 senωt

−ω senωt cosωt

).

b) Utilizando este resultado y el Teorema 3.3, demostrar que la solucion de laecuacion diferencial lineal no homogenea con condiciones iniciales,

x′′(t)+ω2x(t) = f (t), x(0) = a, x′(0) = b,

esx(t) = acos(ωt)+

bω

sen(ωt)+1ω

∫ t

0f (s)sen

(ω(t− s)

)ds.


Solucion.

a) Introduciendo y(t) = x′(t), y′(t) =−ωx2(t), formamos la ecuacion diferencialmatricial

ddt

(x(t)y(t)

)=

(0 1

−ω2 0

)(x(t)y(t)

).

Sabemos que la solucion general de la ecuacion diferencial lineal homogenea desegundo orden es

x(t) = c1 cos(ωt)+ c2 sen(ωt).

Por lo tanto y(t) = x′(t) implica

y(t) =−c1ω cos(ωt)+ c2ω sen(ωt).

Entonces la matriz fundamental con condiciones iniciales Φ(0) = I2 es

Φ(t) =(

cos(ωt) 1ω sen(ωt)

−ω sen(ωt) cos(ωt)

).

b) Consideramos la ecuacion diferencial lineal no homogenea, x′′(t)+ ω2x(t) =f (t), con condiciones iniciales x(0) = a, x′(0) = b, y la transformamos al sistemalineal de ecuaciones diferenciales

ddt

(x(t)y(t)

)=

(0 1

−ω2 0

)(x(t)y(t)

)+

(0

f (t)

).

Resolvemos el sistema

x′(t) = y(t),

y′(t) = −ω2x(t)+ f (t).

Utilizando el Teorema (3.3) y el resultado anterior, tenemos que

X(t) = Φ(t)Φ−1(t0)X0 +Φ(t)∫ t

t0Φ−1(s)F(s)ds.

Haciendo las respectivas operaciones, llegamos a

x(t) = acos(ωt)+bω

sen(ωt)+1ω

∫ t

0f (s)sen

(ω(t− s)

)ds.

¤


Problema 3.2 EDO-L de segundo orden con coeficientes variables

Sea x′′(t)− 2t

x′(t)+ x(t) = 0 una ecuacion diferencial lineal de segundo orden.

a) Demuestre que las soluciones son de la forma x1,2(t) = (1∓ it)e±it .

b) Consideramos dos ecuaciones: la ecuacion original y la ecuacion formada sipasamos al lımite en los coeficientes cuando t → ∞, es decir

x′′(t)− 2t

x′(t)+ x(t) = 0, (3.9)

x′′(t)+ x(t) = 0. (3.10)

Comparando los lımites cuando t → ∞ en las soluciones de estas dos ecuaciones,demuestre que los lımites no coinciden; las soluciones de Ec. (3.9) no son aco-tadas y las soluciones de Ec. (3.10) son acotadas. Este resultado no contradice alTeorema de Cesari [4] (Seccion 3.3):

Teorema 3.4 Sean A una matriz con elementos constantes y C(t)una matriz cuyos elementos son funciones de la variable t y cumplen

la condicion ∫ +∞

0||C(t)||dt < +∞. (3.11)

Si todas las soluciones del sistema X ′(t) = AX(t) son acotadas en

[0,+∞), entonces las soluciones del sistema X ′(t) = [A +C(t)]X(t)son acotadas en [0,+∞).

La demostracion de este teorema se puede encontrar en Cesari [4] (Teorema 3.3.3).

Solucion.

a) Consideremos la funcion x(t) = (1+at)eit = eit +ateit , calculamos la primeray segunda derivada,

x′(t) = ieit +aeit +atieit = eit(a+ati+ i),

x′′(t) = −eit + iaeit + iaeit −ateit = eit(−1+2ai−at).

Sustituyendo en la ecuacion diferencial original, obtenemos

eit(−1+2ai−at)− 2t

eit(a+at + i)+(1+at)eit = 0.


Dividimos entre eit ,

−1+2ai−at− 2at−2ai+

2it

+1+at = 0,

simplificando la ecuacion, tenemos

−2at

+2it

= 0,

de donde se sigue quea =−i.

Ası, una solucion x1(t) = (1− it)eit . Puesto que la ecuacion original es real, yx1(t) es la raız de la ecuacion, entonces x2(t) = x1(t), es tambien la raız de laecuacion.

b) Ahora investigamos el comportamiento cualitativo cuando t → ∞. Los coefi-cientes de la ecuacion (3.9) monotonos en [1,∞) y tienden, cuando t → ∞, a loscoeficientes de la ecuacion

x′′(t)+ x(t) = 0.

Introduciendo la variable auxiliar y(t) = x′(t), formamos la matriz

A =(

0 1−1 0

),

calculamos el polinomio caracterıstico P(λ ) = λ 2 +1 = 0. Ası

x(t) = c1e−it + c2eit = Acos t +Bsen t,

y(t) = −Asen t +Bcos t.

Ahora, veamos que los lımites de las soluciones cuando t → ∞

limt→∞

x(t) = limt→∞

(Acos t +Bsen t) , limt→∞

y(t) = limt→∞

(−Asen t +Bcos t) ,

no existen. Aunque el comportamiento cuando t → ∞ de las soluciones de laecuacion es:

limt→∞

x1(t) = limt→∞

(1− it)eit → ∞, limt→∞

x2(t) = limt→∞

(1+ it)e−it → 1.

Notamos que x2(t) esta acotada y x1(t) no.


Ahora aplicamos el resultado de Cesari, la formula (3.11), para la ecuacionoriginal. Si introducimos la variable adicional y(t) = x′(t), entonces la ecuacionse convierte en la forma matricial:

ddt

(x(t)y(t)

)=

(0 1−1 0

)(x(t)y(t)

)+

(0 00 2/t

)(x(t)y(t)

).

Comparando con la formula de Cesari (3.11), vimos que

A =(

0 1−1 0

),

con valores propios λ1,2 =±i,

C(t) =(

0 00 2/t

),

entonces la condicion (3.11) se convierte en

2

∑k=1

2

∑j=1

∫ T

t0

∣∣Ck j(t)∣∣ = 0+0+0+

∫ T

t0

2t

dt = 2ln∣∣∣∣Tt0

∣∣∣∣ .

Si T → ∞, entonces nuestro resultado no acotado y por eso no contradice al Teo-rema de Cesari. ¤

3.3 SLED con Coeficientes Constantes

En las Secciones anteriores vimos las estructuras de las soluciones de sistemas li-neales de ecuaciones diferenciales no autonomos y ecuaciones diferenciales linea-les de orden n. En las siguientes Secciones nos enfocaremos en sistemas linealeshomogeneas de ecuaciones diferenciales,

X ′(t) = AX(t), (3.12)

donde A es una matriz con coeficientes constantes.

Para esto, utilizamos algunos resultados de algebra lineal como algunas pro-piedades de la funcion eA, la forma canonica de Jordan de la matriz A.

3.3 SLED con Coeficientes Constantes 47

Valores Propios Complejos

Es conveniente considerar A como una matriz con elementos en el campo com-plejo para garantizar la existencia de valores propios λ ∈ C de A.

Teorema 3.5 Sea A ∈Mn×n(C) con valores propios distintos, λ1, . . . ,λn, y sus

vectores propios correspondientes, α1, . . . ,αn. Entonces el conjunto

X j(t) = eλ jtα j, j = 1, . . . ,n,

es una base para el espacio de soluciones S.

Teorema 3.6 Supongamos que A ∈ Mn×n(C) tiene valores propios λ1, . . . ,λk

distintos con multiplicidades algebraicas m1, . . . ,mk, respectivamente. Si E ∈ Cn

y E = E1 + · · ·+Ek, donde E j ∈ F(A,λ j), entonces la solucion X(t) de (3.12) que

satisface la condicion inicial X(0) = E tiene la siguiente forma:

X(t) = eAtE = eλ1tP1(t)+ . . .+ eλktPk(t),

donde

Pj(t)=[

In+t(A−λ jIn)+t2

2!(A−λ jIn)2+ . . .+

tm j−1

(m j−1)!(A−λ jIn)m j−1

]E j

es un vector polinomial de grado a lo mas m j−1.

La demostracion de Teoremas (3.5) y (3.6) se puede encontrar en [6].

Teorema 3.7 Si para cada j = 1, . . . ,k y i = 1, . . . ,m j, los vectores αi j forman

una base para F(A,λ j), entonces los n vectores αi j forman una base para C, y

los Xi j(t) estan dados por

Xi j(t) = eλ jtPi j(t), i = 1, . . . ,m j y j = 1, . . . ,k,

ası,

Pi j(t) =m j−1

∑p=0

t p

p!(A−λ jIn)pαi j

constituye una base para S.


La demostracion de este Teorema se puede encontrar en [6].Si λ ∈ C tiene parte imaginaria diferente de cero y es valor propio de A con

multiplicidad m, entonces λ tambien lo es.

Problema 3.3 EDO-L de tercer orden con coeficioentes constantes

Definiendo variables auxiliares, escribir la ecuacion

x′′′(t)− x′′(t)−4x′(t)−4x(t) = 0

en la forma matricial (2.1), encontrar una matriz fundamental y demostrar que lamatriz de propagacion (2.23) es

U(t2, t1) =15

e+4c+2s −10s 4e−4c+8se− c+2s 5c 4e−4c−2se− c− 1

2s 52s 4e+ c−2s

,

donde e = expτ, c = cos2τ, τ = t2− t1.

Solucion.

Primero, introducimos z(t) = x′(t) y w(t) = z′(t), y construimos el sistema

x′(t) = z(t), z′(t) = w(t), w′(t) = w(t)−4z(t)+4x(t).

Ahora, con un reacomodo, lo convertimos a la forma matricial (2.1)

ddt

w(t)z(t)x(t)

=

1 −4 41 0 00 1 0

w(t)z(t)x(t)

.

Ahora, calculamos los valores y vectores propios.

Valores Propios Vectores Propiosλ1 = 1 E1 = (1,1,1)T

λ2 = 2i E2 = (−4,2i,1)T

λ3 =−2i E3 = (−4,−2i,1)T

Calculando la solucion general, x(t) = ∑nk=1 ckEkeλkt , formamos una matriz fun-

damental,

Φ(t) =

et −4e2it −4e−2it

et 2ie2it −2ie−2it

et e2it e−2it

.


Ahora, con la definicion de la matriz de propagacion, U(t2, t1) = Φ(t2)Φ−1(t1)(Definicion 2.23), haciendo los calculos y simplificando con identidades trigono-metricas, obtenemos

U(t2, t1) =15

eτ +4cos2τ +2sen2τ −10sen2τ 4eτ −4cos2τ +8sen2τeτ − cos2τ +2sen2τ 5cos2τ 4eτ −4cos2τ−2sen2τeτ − cos2τ− 1

2 sen2τ 52 sen 4eτ + cos2τ−2sen2τ

,

y sustituyendo e = eτ , c = cos2τ , s = sen2τ y τ = t2− t1, nos queda la matriz quebuscamos. ¤

Problema 3.4 SLED de segundo orden con coeficientes constantes

Encuentre la matriz fundamental, con condicion inicial Φ(t) = I3, del sistema deecuaciones

x′(t) =−y(t), y′′(t) =−x(t)− y(t)+ y′(t).

Deduciremos que las unicas soluciones que son acotadas para toda t tiene lascondiciones iniciales (x(0),y(0),y′(0))T = (0,a,0)T para una constante a arbi-traria.

Solucion.

Introduciendo la nueva variable z(t) = y′(t), el sistema queda

x′(t) =−y(t), y′(t) = z(t), z′(t) =−x(t)− y(t)+ z(t).

Haciendo un reacomodo, escribimos en la forma matricial (2.1)

ddt

z(t)y(t)x(t)

=

0 −1 00 0 1−1 −1 1

z(t)y(t)x(t)

y calculamos los valores y vectores propios,

Valores Propios Vectores Propiosλ1 = 1 (1,1,−1)T

λ2 = i (1,−i,1)T

λ3 =−i (1, i,1)T


Formamos una matriz fundamental,

Φ(t) =

c1et c2eit c3e−it

c1et −ic2eit ic3e−it

−c1et c2eit c3e−it

.

Ahora calculamos el matrizant y simplificando, obtenemos

Φ(0) =

e+ 12 (cos t + sen t) −sen t −e+ 1

2 (cos t− sen t)e− 1

2 (cos t + sen t) cos t −e+ 12 (cos t− sen t)

e+ 12 (cos t + sen t) −sen t e+ 1

2 (cos t− sen t)

.

Ahora, buscaremos M tal que|X(t)| ≤M.

Por el teorema anterior, tenemos

|X(t)|=∣∣Φ(t)Φ−1(0)X(t)

∣∣ = |Φ(t)| ·∣∣Φ−1(0)

∣∣ · |X(t)| .

Multiplicando por la izquierda la ecuacion Φ(0) = I3, es decir, Φ−1(0)Φ(0) =Φ−1(0)I3, obtenemos I3 = Φ−1(0). Por la propiedad Φ−1(0) = I3, tenemos

Φ(t)

0c10

=

∣∣∣∣∣∣

c1eit

−c1ieit

c1eit

∣∣∣∣∣∣= |c1| ·

∣∣∣∣∣∣

eit

−ieit

eit

∣∣∣∣∣∣= c1

111

.

Tomando M = c1

111

, tenemos que |x(t)| ≤M.

¤

Valores Propios Reales

Sea A ∈ Mn×n(R). Aplicamos el analisis complejo para determinar solucionesreales del sistema (3.12). Consideramos A ∈ Mn×n(C) y vemos el conjunto detodas las soluciones S ⊂ C(R,Cn) de (3.12). Si X(t) ∈ S, entonces X(t) ∈ S y elsistema X ′(t) = AX(t) implica X ′(t) = AX(t) = AX(t). De esta manera, U = ℜ(X)y V = ℑ(X) tambien pertenecen a S. Una solucion X(t) es real, X(t) = X(t), si ysolo si, su valor inicial X(0) = E es real. Se sigue que

X(t) = eAtE = eAtE = X(t)

si y solo si E = E.



(i) Demuestre que la matriz

A =(

0 1−b2 2b

),

donde b es una constante, tiene un valor propio λ = b con multiplicidad 2, y unvector propio es R1 = (1,b)T.

(ii) Si R2 es otro vector y sean c1, c2 constantes arbitrarias, demuestre que

X(t) = c1R1ebt + c2(R2 + tR1)ebt

es una solucion del sistema X ′(t) = AX(t) si R2 satisface la ecuacion

(A−bI)R2=R1.

(iii) Por lo tanto, la solucion con condiciones iniciales X(0) = (α ,β ) es

X(t) =(

α +(β −bα)tβ +bt(β −bα)

)ebt .

Solucion.

(i) Formando el polinomio caracterıstico de A, λ 2− 2bλ + b2 = 0, tenemos queλ = b es un valor propio de multiplicidad dos y su vector propio asociado esE1=(1,b)T.

(ii) Si X(t) = c1R1ebt + c2(R2 + tR1)ebt , donde c1 y c2 son constantes arbitrarias,entonces tenemos

AX(t) = c1bR1ebt +c2(AR2 + tbR1)ebt , X ′(t)−AX(t) = c2(R1 +bR2−AR2)ebt .

Por lo tanto, X(t) es una solucion de la ecuacion diferencial si el vector R2 satis-face la ecuacion (A− Ib)R2 = R1.

(iii) Una solucion de la ecuacion (A− Ib)R2 = R1 es R2 = (1,1+b)T, entonces lasolucion general es

X(t) = (c1 + tc2)(

1b

)ebt + c2

(1

1+b

)ebt .

Si X(t) = (α ,β )T en t = 0, entonces α = c1 + c2 y β = bα + c2, por lo tantoobtenemos

X(t) =(

α +(β −bα)tβ +(β −bα)bt

)ebt . ¤



Reduce el sistema lineal de ecuaciones diferenciales

x′(t)−3y′(t) = 2x+ y,

2x′(t)+ y′(t) = 4x−3y

a la forma matricial (2.1) y encuentre la matriz fundamental tal que Φ(0) = I2.

Solucion.

Primero notemos que el sistema lo podemos ver de la siguiente manera:

BX ′(t)=CX(t), B =(

1 −32 1

), C =

(2 14 −3

).

Multiplicando por B−1 por la izquierda y ası tenemos

X ′(t) = (B−1C)X(t) =(

2 −87

0 −57

)X(t),

tomando A = B−1C, obtenemos la forma matricial (2.1). Ahora, calculamos losvalores y sus vectores propios asociados

Valores Propios Vectores Propiosλ1 =−5/7 (8,19)T

λ2 = 2 (1,0)T

Ası, la solucion general es

c1E1eλ1t + c2E2eλ2t .

Ahora, formamos la matriz fundamental

Φ(t) =

(e2t 8

19(e−57 t − e−2t)

0 e−57 t

).

¤

Capıtulo 4

Teorıa de Floquet

4.1 Introduccion

Ahora estudiaremos el sistema diferencial lineal con coeficientes periodicos,

X ′(t) = A(t)X(t), A(t +T ) = A(t), t ∈ R, (4.1)

donde A(t) es una matriz n× n real, no singular, cuyos elementos son funcionesT -periodicas.

En el siglo XIX, el matematico Gaston Floquet desarrollo la teorıa de lossitemas periodicos y realizo un estudio sistematico de estos sistemas. En gene-ral, las soluciones de tales ecuaciones no pueden ser expresadas en terminos defunciones conocidas. Sin embargo, la periodicidad da estructura a las soluciones.

Una manera de ver como es el comportamiento de un sistema, es asociarlocon un pendulo vertical en el cual la longitud varıa periodicamente, es decir uncolumpio. Si elegimos el perıodo, se puede mostrar que la energıa potencial delsistema (es decir la amplitud del pendulo) incrementa rapidamente. Al observarel movimiento del mismo, podemos decir que la amplitud del movimiento se in-crementa con el movimiento que hacemos para impulsarlo, lo que hace que elcentro de masa se eleve cuando el columpio pasa por su punto mas bajo y bajecuando alcanza su punto mas elevado. Un modelo de este movimiento se obtieneal compararlo con un pendulo vertical que cambia su centro de masa de manerainstantanea en los puntos indicados.

54 Teorıa de Floquet

Como otro ejemplo de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales con co-eficientes periodicos, consideramos un pendulo vertical (de longitud l y masa m)cuyo punto de pivote oscila verticalmente con la frecuencia Ω y amplitud A. Laecuacion del movimiento es:

θ ′′(t)+ω2(1+ k2 sen(Ωt))sen(θ(t)

)= 0, ω2 =

gl, k2 =

Al

Ω2

ω2 ,

donde θ(t) es el angulo entre el eje vertical (hacia abajo) y el pendulo. Si hacemosla transformacion θ(t) = π − φ(t) y expandemos alrededor de φ(t) = 0, obten-emos la ecuacion del movimiento

φ ′′(t)+(−ω2− k2ω2 sen(Ωt))φ(t) = 0.

Si hacemos la transformacion Ωt = 2τ + π2 , obtenemos la ecuacion de Mathieu:

φ ′′(τ)+(a−2qcos(2τ))φ(τ) = 0,

donde a =−4ω2

Ω2 , q =−4ω2k2

Ω2 =2Al

.

4.2 Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferencialescon Coeficientes Periodicos. Aplicaciones

En esta Seccion describimos algunas aplicaciones fısicas de sistemas lineales deecuaciones diferenciales con coeficientes periodicos.

4.2.1 Juego Piedra, Papel o Tijera

La teorıa de juegos formaliza las interacciones entre varios jugadores mediante ladescripcion de cuanto gana o pierde cada jugador en funcion de la estrategia queutiliza en cada jugada, ası como las estrategias de los otros jugadores.

Nos enfocaremos en el juego “Piedra, Papel o Tijeras” (RPS por sus siglasen ingles). En este juego, los jugadores interactuan en parejas, y existen tresestrategias de las cuales un jugador solo puede utilizar una: piedra (R), papel (P),o tijeras (S).

4.2 SLED con Coeficientes Periodicos 55

Las reglas del juego son las siguientes:1. la piedra aplasta las tijeras2. las tijeras cortan el papel3. el papel envuelve a la piedra.

El ganador obtiene +1 puntos, mientras que el perdedor obtiene −1 puntos. Losresultados se pueden resumir en la siguiente matriz

R P SRPS

0 −1 11 0 −1

−1 1 0

.

La supervivencia del mas apto nos dice que las estrategias que dan mayo-res resultados se vuelven mas comunes con el tiempo. Para agregar elementosdinamicos de la teorıa de juegos a la matriz de resultados, se le agregan ecuacio-nes diferenciales. Un metodo comun que se utiliza es el de juegos repetidos.

Este metodo utiliza una ecuacion diferencial cuyos coeficientes se toman de lamatriz de resultados asociada. Sea Ai j la estrategia i utilizada contra la estrategia j

en un modelo que incluye una poblacion infinitamente grande de jugadores.Definimos xi como la fraccion de jugadores en la poblacion que utilizan la

estretegia i. Asumiendo que existen N estrategias posibles, tenemos:

N

∑i=1

xi(t) = 1. (4.2)

La “aptitud” de un individo que utiliza la estrategia i esta dado por

fi(t) =N

∑j

Ai jx j(t) (4.3)

y el metodo de juegos repetidos nos dice que

xi(t) = xi(t)(

fi(t)−Φ(t)), (4.4)

donde Φ(t) se elige de tal manera que (4.2) se satisface.Derivando (4.2) y utilizando (4.4), tenemos

N

∑i=1

xi(t)(

fi(t)−Φ(t))

= 0. (4.5)


Despejando Φ(t), tenemos

Φ(t) =N

∑j=1

x j(t) f j(t). (4.6)

Consideramos la ecuacion (4.4) para estudiar la dinamica evolutiva del juego RPS,el cual puede ser utilizado para modelar diferentes aplicaciones en los campos dela biologıa y las ciencias sociales.

Para este ejemplo, tomaremos una variacion periodica en el juego RPS, to-mando coeficientes constantes en la matriz de resultados, por ejemplo:

RPS

0 −1+A1 cos(ωt) 1+A2 cos(ωt)1+A3 cos(ωt) 0 −1+A4 cos(ωt)−1+A5 cos(ωt) 1+A6 cos(ωt) 0

. (4.7)

Las tres ecuaciones de (4.4) pueden ser reducidas en 2 ecuaciones de x1(t), x2(t) sieliminamos x3(t) mediante (4.2), entonces x3(t) = 1− x1(t)− x2(t). El resultadoes

x1(t) = x1(t)[1−2x2(t)− x1(t)]+ x1(t)G1(x1(t),x2(t);Ai

)cos(ωt), (4.8)

x2(t) = x2(t)[x2(t)+2x1(t)−1]+ x2(t)G2(x1(t),x2(t);Ai

)cos(ωt), (4.9)

donde G1, G2 son polinomios de x1(t), x2(t) y Ai.

En el caso de que todos los coeficientes Ai sean cero, al integrar las ecuaciones(4.8) y (4.9), obtenemos

x1(t)x2(t)[1− x1(t)− x2(t)] = constante.

Los puntos de equilibrio para (4.8) y (4.9) son (1,0), (0,1) y (0,0) y las solucionesexactas son las rectas x1(t) = 0, x2(t) = 0 y x1(t)+ x2(t) = 1.

Notemos que x1(t)+ x2(t) = 1 es equivalente a x3(t) = 0 por (4.2). En estecaso, todos los coeficientes Ai son cero y existe otro punto de equlibrio, (1

3 , 13).

Queremos considerar el caso en el que este equilibrio se preserva bajo losperıodos forzados. Para esto se requiere que de (4.8) y (4.9) las ecuaciones G1 yG2 desaparezcan en x1(t) = x2(t) = 1

3 . Para esto se requiere que

A1 = A6 +A5−A2, A3 = A6 +A5−A4.


Figura 4.1: Curvas integrales del sistema (4.10), (4.11) (A = 0.02, ω = 1)

Elegimos el caso en el que A1 =−A2 =−A, A3 = A4 = A5 = A6 = 0. Esto corres-ponde a la matriz de resultados

0 −1−Acos(ωt) 1+Acos(ωt)1 0 −1−1 1 0

,

con las siguientes ecuaciones diferenciales:

x′1(t)=x1(t)(1−2x2(t)−x1(t)

)[1+

(1−x1(t)

)Acos(ωt)

], (4.10)

x′2(t)=x2(t)(x2(t)+2x1(t)−1+

[x1(t)

(2x2(t)+x1(t)−1

)]Acos(ωt)

). (4.11)

Ecuaciones diferenciales (4.10) y (4.11), que decriben el modelo del juego RPS,son no lineales. Curvas integrales (obtenidas mediante integracion numerica) quedescriben la dinamica evolutiva del juego RPS se muestran en la Figura 4.1. Losparametros del sistema son A = 0.02 y ω = 1.

Para obtener el sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coeficientesperiodicos hacemos el procedimiento de linealizacion en una vecindad de unpunto de equilibrio. Introducimos la transformacion

x1(t) = εy1(t)+ 13 , x2(t) = εy2(t)+ 1

3 ,


es decir, la linealizacion alrededor del punto de equilibrio(1

3 , 13

)con escalamiento

de las coordenadas por ε ¿ 1. Si sustituimos estas ecuaciones a las ecuacionesdel sistema no lineal (4.10) y (4.11), obtenemos

y′1(t)=[19(3εy1(t)+1)]

(y1(t)+2y2(t)

)[Acos(ωt)(3εy1(t)−2)−3], (4.12)

y′2(t)=[19(3εy2(t)+1)]

(Acos(ωt)[

(y1(t)+2y2(t)

)(3εy1(t)+1)]

+3(2y1(t)+y2(t)

)). (4.13)

Si consideramos valores pequenos de y1(t), y2(t), sustituimos ε = 0 en las ecua-ciones (4.12) y (4.13), obtenemos el siguiente sistema lineal de ecuaciones dife-renciales con coeficientes periodicos:

y′1(t) = [19(y1(t)+2y2(t))](−3−2Acos(ωt)), (4.14)

y′2(t) = 19Acos(ωt)

(y1(t)+2y2(t)

)+ 1

3

(2y1(t)+ y2(t)

). (4.15)

En la forma matricial, tenemos el sistema

Y ′(t) = A(t)Y (t),

donde

Y (t) =(

y1(t)y2(t)

), A(t) =

−2

9Acos(ωt)− 13 −4

9Acos(ωt)− 23

23 + 1

9Acos(ωt) 13 + 2

9Acos(ωt)

. (4.16)

4.2.2 Pendulo Invertido

Un pendulo invertido es un pendulo en el cual su centro de masa se encuentra porarriba de su punto de giro.

Mientras un pendulo normal es estable cuando esta hacia abajo, el pendulo in-vertido es propiamente intestable y debe ser balanceado constantemente para per-manecer en posicion vertical; esto se puede lograr de varias formas, aplicando unatorca en el punto de pivote, moviendo el punto de pivote horizontalmente comoresultado de un sistema, oscilando el punto verticalmente, entre otros metodos.

Para obtener las ecuaciones de movimiento de un pendulo invertido es nece-sario ver las condiciones en las cuales esta restringido. Nosotros estudiaremos elcaso en el cual el pendulo invertido tiene un movimiento oscilatorio en la base.


La ecuacion de movimiento para un pendulo conectado a una base sin masacon movimiento vertical oscilatorio se obtienen de las ecuaciones de LagrangeL = K−U1 de la siguiente manera.

Sea θ(t) el angulo del pendulo con longitud l con respecto a la vertical y lasfuerzas de gravedad y la fuerza F que actua en la direccion vertical.

Sea y(t) la posicion de la base del pendulo. El Lagrangiano del sistema es

L = 12mv2−mg

[y(t)+ l cos

(θ(t)

)].

Escribiendo la velocidad en terminos de y(t), θ(t) y escribiendo la velocidadcomo la primera derivada de la posicion, tenemos

v2 =(y′(t)

)2−2ly′(t)θ ′(t)sen(θ(t)

)+ l2(θ ′(t)

)2.

Ası, sustituyendo la velocidad en el Lagrangiano, queda

L=12m

((y′(t)

)2−2ly′(t)θ ′(t)sen(θ(t)

)+l2(θ ′(t)

)2)−mg

(y(t)+l cos(θ(t))

).

Ası, la ecuacion de movimiento se obtiene de

ddt

(∂L

∂θ ′(t)

)− ∂L

∂θ= 0.

Sustituyendo y despejando, obtenemos

lθ ′′(t)− y′′(t)sen(θ(t)

)= gsen

(θ(t)

).

Si y(t) representa un movimiento armonico simple, y(t) = Asen(ωt), se obtienela siguiente ecuacion diferencial

θ ′′(t)− gl sen

(θ(t)

)=−A

l ω2 sen(ωt)sen(θ(t)

),

la cual se puede escribir en la forma

θ ′′(t)− gl sen

(θ(t)

)+ A

l ω2 sen(ωt)sen(θ(t)

)= 0,

o en la forma equivalente

θ ′′(t)+(−g

l + Al ω2 sen(ωt)

)sen

(θ(t)

)= 0.

1Aquı K representa la energıa cinetica del sistema mientras que U es la energıa potencial.


Si aproximamos sen(θ(t)

) ≈ θ(t) (la amplitud de la oscilacion es pequena) yaplicamos la transformacion ωt = τ + π

2 , obtenemos la ecuacion de Mathieu:

θ ′′(τ)+(a+bcos(τ)

)θ(τ) = 0,

donde a = g/(lω2), b = A/l.

Ahora consideramos una generalizacion del modelo anterior, es decir, el pen-

dulo invertido de Kapitsa [13] (de longitud l y masa m, sujeto a la gravedad g),introducido por P. L. Kapitsa en 1951. El punto de pivote se mueve a lo largodel eje vertical, es decir, sujeto a las oscilaciones verticales p(t) de forma generalp′′(t) = r(t). La ecuacion que describe el movimiento del desplazamiento angularθ(t) es

θ ′′(t)+(g

l − 1l r(t)

)sen

(θ(t)

)= 0,

donde r(t) es la funcion periodica r(t + 2π) = r(t). Los puntos fijos del penduloson (0,0) y (π,0). El punto fijo (0,0) corresponde a la posicion mas baja delpendulo y el punto (π,0), a la posicion mas elevada. Si hacemos la linealizacionde la ecuacion del movimiento en la vecindad de los puntos (0,0) y (π,0), obten-emos, respectivamente, las siguientes ecuaciones de Hill:

θ ′′(t)+(g

l − 1l r(t)

)θ(t) = 0, θ ′′(t)− (g

l − 1l r(t)

)θ(t) = 0.

La solucion de estas ecuaciones es acotada o no acotada, es decir, los puntos fijosson estables o inestables (dependiendo de los parametros de la ecuacion).

4.3 Teorema de Floquet

Consideramos el sistema

X ′(t) = A(t)X(t), t ∈ R, (4.17)

donde A(t)∈C(R,Mnn(R)), es periodica con perıodo T , A(t+T )=A(t), t∈R. SiX(t) satisface (4.17), entonces Y (t) = X(t +T ) tambien es solucion, ya que

Y ′(t) = X ′(t +T ) = A(t +T )X(t +T ) = A(t)Y (t), t ∈ R.

4.3 Teorema de Floquet 61

Lema 4.1 Sea C ∈Mnn(C) invertible, entonces existe B∈Mnn(C) tal que eB =C.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, asumimos que C esta en forma ca-nonica de Jordan. Si no lo esta, podemos encontrar una matriz P invertible, P ∈Mnn(C), tal que P−1CP = eB. Simplificando, obtenemos C = ePBP−1

. Mas aun,por el comportamiento de la matriz exponencial sobre un bloque diagonal, essuficiente probar que para cada bloque de Jordan p× p

Cp :=

λ 0 0 · · · 0 01 λ 0 · · · 0 00 1 λ · · · 0 0...

...... · · · ...

...0 0 0 · · · λ 00 0 0 · · · 1 λ

,

Cp = eBp para alguna matriz Bp de dimension p× p.

Ahora, nuestro candidato para Bp es el logaritmo natural de Cp. Para esto,definimos el logaritmo de una matriz de manera similar al exponencial. Note-mos que Cp = λ Ip + Np = λ Ip(Ip + Np/λ ), donde Np es la matriz nilpotente.Como C es invertible, sabemos que todos los valores propios son distintos decero. Notemos que por la propiedad de la matriz nilpotente, (Np/λ )p = 0. Enton-ces tomamos

Bp = (lnλ )Ip + ln(Ip +Np/λ ), (4.18)

donde

ln(Ip +Np/λ ) =∞

∑k=1

(−1)k+1(Np/λ )k

k. (4.19)

Puesto que (Np/λ )p = 0, entonces la suma es convergente. Por lo tanto, sustitu-yendo (4.19) en (4.18), obtenemos eBp = Cp.

Los valores propios λi (i = 1, . . . ,n) de C son llamados multiplos de Floquet de(4.17). Los numeros ρi (i = 1, . . . ,n) tales que λi = eρiT son llamados exponentes

de Floquet de (4.17).

Teorema 4.2 (de Floquet) Sea X(t) una solucion (en terminos de matriz funda-

mental) del sistema periodico (4.17). Entonces


(i) X(t +T ) es tambien la solucion del sistema (4.17);

(ii) Existe una matriz invertible T -periodica P(t) tal que X(t) = P(t)eBt .

Demostracion.

(i) Sea Y (t) = X(t +T ). Puesto que X ′(t) = A(t)X(t), obtenemos

Y ′(t) = X ′(t +T ) = A(t +T )X(t +T ) = A(t)Y (t).

Por lo tanto, Y (t) es tambien una solucion del sistema (4.17). Puesto que X(t) esinvertible para toda t ∈ R, entonces X(t + T ) es tambien invertible. Por lo tanto,Y (t) es tambien una solucion (en terminos de matriz fundamental) del sistemaperiodico (4.17).(ii) Puesto que Y (t) es tambien una matriz fundamental, entonces tiene la formaX(t)C para una matriz constante invertible C tal que

Y (t) = X(t +T ) = X(t)C para todo t ∈ R.

De acuerdo de Lema 4.1, existe una matriz B tal que eBT = C. Sea P(t) =X(t)e−Bt , es decir, X(t) = P(t)eBt . Entonces

P(t +T ) = X(t +T )e−B(t+T ) = X(t +T )e−Bte−BT = X(t)Ce−Bte−BT

= X(t)eBT e−BT e−Bt = X(t)e−Bt = P(t).

Por lo tanto, P(t) es invertible para toda t ∈ R y T -periodica.

Los multiplos y los exponentes de Floquet no dependen de la matriz funda-mental elegida, aun cuando la matriz de monodromıa si depende de esta. Depen-den solamente de A(t). Para esto, sean X(t) y Y (t) matrices fundamentales con susmatrices de monodromıa correspondientes C y D. Ya que X(T ) y Y (t) son matri-ces fundamentales, existe una matriz constante no singular S tal que Y (t) = X(t)Spara toda t ∈ R. En particular, Y (0) = X(0)S y Y (T ) = X(T )S. Ası

C = X(0)−1X(T ) = SY (0)−1Y (T )S−1 = SY (0)−1Y (0)DS−1 = SDS−1.

Esto nos dice que las matrices de monodromıa son similares y, por lo tanto, tienenlos mismos valores propios.

4.3 Teorema de Floquet 63

Puesto que C es una matriz constante, se puede calcular para t = 0, es decir

C = X−1(0)X(T ). (4.20)

Si elegimos las condiciones iniciales X(0) = In, entonces C = X(T ).

Problema 4.1 SLED con coeficientes periodicos

Consideramos el siguiente sistema lineal de ecuaciones diferenciales con coefi-cientes periodicos:

x′(t) =(

1+cos t

4+ sen t

)x(t), y′(t) =−2x(t)− y(t),

o en la forma matricial equivalente:

X ′(t) = A(t)X(t), A =(

1+ cos t/(4+ sen t) 0−2 −1

), X =

(x(t)y(t)

).

De acuerdo del Teorema de Floquet demuestre que existen las siguientes solucio-nes linealmente independientes del sistema:

X1(t) = P1(t)et , X2(t) = P2(t)e−t ,

donde

P1(t) =(

2+ 12 sen t

15 cos t− 2

5 sen t−2

), P2(t) =

(01

)

son funciones periodicas con el perıodo T = 2π .

Solucion.

Si integramos las dos ecuaciones, obtenemos

x(t) = c1et 2tan2(12t)+ tan(1

2t)+2

tan2(12t)+1

= c1et(2+ 12 sen t),

y(t) = c1et (15 cos t− 2

5 sen t−2)+ c2e−t ,

donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. Encontramos una matriz fundamental

Φ(t) =(

et(2+ 12 sen t) 0

et(15 cos t− 2

5 sen t−2) e−t

)


y la matriz C

C = Φ−1(0)Φ(2π) =(

e2π 00 e−2π

).

Por lo tanto, los multiplos de Floquet son λ1 = e2π y λ2 = e−2π , los exponentesde Floquet son ρ1 = 1 y ρ2 =−1.

Determinamos la estructura de la solucion general del sistema lineal periodicade acuerdo del Teorema de Floquet:

X(t) = P(t)eBt ,

donde

X(t) = [X1(t),X2(t)], P(t) = [P1(t),P2(t)] =(

2+ 12 sen t 0

15 cos t− 2

5 sen t−2 1

),

B =(

1 00 −1

), eBt =

(et 00 e−t

).

Por lo tanto, obtenemos las siguientes soluciones linealmente independientes delsistema original:

X1(t) = P1(t)et , X2(t) = P2(t)e−t ,

donde

P1(t) =(

2+ 12 sen t

15 cos t− 2

5 sen t−2

), P2(t) =

(01

)

son funciones periodicas con el perıodo T = 2π . ¤

4.4 Propiedades de Soluciones de Floquet

Teorema 4.3 Sea λ un multiplo de Floquet del sistema (4.1) y ρ su exponente

de Floquet asociado, entonces existe una solucion no trivial X(t) de (4.1) tal que

X(t + T ) = λX(t) para toda t ∈ R y X(t) = eρtP(t) para algun vector funcional

T -periodico P(t).

Demostracion. Elijamos x0 como un vector propio de B corresondiente a su valorpropio λ , donde Φ(t) = P(t)etB es la descomposicion de una matriz fundamentalΦ(t). Sea X(t) = Φ(t)X0. Entonces X(t) es solucion de (4.1). La serie de potencia

4.4 Propiedades de Soluciones de Floquet 65

para la matriz exponencial implica que X0 es un vector propio de etB con valorpropio eρt . De aquı que,

X(t) = Φ(t)X0 = P(t)etBX0 = P(t)eλ tX0 = eρt ,

donde X(t) = P(t)X0. Tambien vemos que,

X(t +T ) = eλT eρtP(t +T ) = λeλ tP(t) = λX(t).

Aunque los multiplos y los exponentes de Floquet son determinados por A(t), esnecesario calcularlos.

Teorema 4.4 Sean λ1,λ2, . . . ,λn los multiplos de Floquet y ρ1,ρ2, . . . ,ρn los ex-

ponentes de Floquet de (4.1), entonces

λ1 · · ·λn = exp(∫ T

0Tr

(A(t)

)dt

)(4.21)

y

ρ1 + · · ·+ρn =1T

∫ T

0Tr

(A(t)

)dt mod

(2πiT

). (4.22)

Demostracion. Nos enfocaremos en (4.21). La formula (4.22) se sigue de estademostracion.

Sea W (t) el determinante de la matriz fundamental principal Φ(t). Sea Sn elconjunto de permutaciones de 1,2, . . . ,n y sea ε : Sn → −1,1 un mapeo deparidad. Entonces

W (t) = ∑σ∈Sn

ε(σ)Φ1,σ(1)(t)Φ2,σ(2)(t) · · ·Φn,σ(n)(t),

donde Φi j(t) es la (i, j)-esima entrada de Φ(t).Luego diferenciando ambos lados, obtenemos

W ′(t) = ∑σ∈Sn

ε(σ)ddt

[Φ1,σ(1)(t)Φ2,σ(2)(t)· · ·Φn,σ(n)(t)]

=n

∑i=1

∑σ∈Sn

ε(σ)Φ1,σ(1)(t)· · ·Φi−1,σ(i−1)(t)Φ′i,σ(i)(t)Φi+1,σ(i+1)(t)· · ·Φn,σ(n)(t)

=n

∑i=1

∑σ∈Sn

ε(σ)Φ1,σ(1)(t)· · ·Φi−1,σ(i−1)(t)

[n

∑j=1

Ai j(t)Φ j,σ(i)(t)

]Φi+1,σ(i+1)(t)· · ·Φn,σ(n)(t)

=n

∑i=1

n

∑j=1

Ai j(t)

(∑

σ∈Sn

ε(σ)Φ1,σ(1)(t)· · ·Φi−1,σ(i−1)(t)Φ j,σ(i)(t)Φi+1,σ(i+1)(t)· · ·Φn,σ(n)(t)

).


Si i 6= j, la suma interior es el determinante de la matriz obtenida al reemplazar lai-esima fila de Φ(t) por su j-esima fila. Esta nueva matriz, la cual tiene dos filasiguales, necesariamente tiene determinante igual a 0. Por lo tanto,

W ′(t) =n

∑i=1

Ai,i(t)det(Φ(t)

)=

[Tr

(A(t)

)]W (t).

AsıW (t) = exp

[∫ t

0Tr

(A(s)

)ds

]W (0) = exp

[Tr

(A(t)

)].

En particular,

exp[Tr

(A(t)

)]= W (t) = det(P(T )eT B) = det(P(0)eT B)

= deteT B = detC = λ1λ2 · · ·λn.

Capıtulo 5

Soluciones Periodicas de SLED deVarias Clases

5.1 Sistemas Lineales de Ecuaciones DiferencialesUnidimensionales de Primer Orden

En este Capıtulo consideramos sistemas lineales de ecuaciones diferenciales concoeficientes periodicos, construimos soluciones periodicas de algunos problemasmas generales y relevantes (Problemas 5.1-5.8), generalizamos algunos resulta-dos representados en el Capıtulo 12 de la monografıa cientıfica de Richards [17](Teoremas 5.1–5.8).

Empezamos con el sistema diferencial lineal homogeneo unidimensional. Suforma general con condicion inicial es

X ′(t) = A(t)X(t), X(0) = X0, A(t +T ) = A(t), t ∈ R, (5.1)

donde X(t) = x(t), y A(t) = a(t) es una funcion periodica con perıodo T . Estaecuacion se puede resolver por el metodo de separacion de variables,

x(t) = x(0)exp(∫ t

0a(s)ds

).

La linealidad de las ecuaciones y la periodicidad de los coeficientes restringen losposibles tipos de soluciones: si x(t) es solucion, entonces y(t) = x(t +T ) tambienes solucion, ya que

y′(t) = x′(t +T ) = a(t +T )x(t +T ) = a(t)y(t).

68 Soluciones Periodicas de SLED de Varias Clases

Por lo tanto, x(t + T ) y x(t) satisfacen la ecuacion (5.1). Sin embargo, no nece-sariamente son la misma funcion. Puesto que la ecuacion diferencial es lineal yde primer orden, existe solo una solucion linealmente independiente:

x(t +T ) = cx(t), (5.2)

donde c es una constante. Generalizamos este resultado para x(t + nT ), donde n

es un numero entero.

Teorema 5.1 Sea n un numero entero, entonces

x(t +nT ) = cnx(t),

donde a(t) es una funcion periodica con perıodo T y

c = exp(∫ T

0a(t) dt

).

Demostracion. Puesto que x(t + T ) = cx(t) para n = 1, esta ecuacion tiene laforma general

x(t +nT ) = cx(t +(n−1)T ) para n ∈ Z,

y de acuerdo con (5.2) tenemos x(t +(n−1)T ) = cx(t +(n−2)T ), la cual pode-mos sustituir en la ecuacion anterior,

x(t +nT ) = c[cx(t +(n−2)T )].

Luego, obtenemos

x(t +nT ) = c · · ·c[x(t +(n−n)T )],

esto es,x(t +nT ) = cnx(t).

Si analizamos el comportamiento cualitativo de la solucion x(t) para variosvalores de c, obtenemos las siguientes condiciones para soluciones periodicas:

1. c > 1: cn crece exponencialmente cuando n crece, ası la solucion x(t)tambien crece exponencialmente.

5.1 SLED Unidimensionales de Primer Orden 69

2. c < 1: cn → 0 cuando n→ ∞, ası x(t)→ 0 cuando t → ∞.

3. c = 1: x(t +T ) = x(t), t ∈R, entonces la solucion es periodica. Esto ocurresi se cumple el siguiente teorema.

Teorema 5.2 Sea x(t) una solucion periodica de (5.1), entonces el valor medio

de a(t) es cero, es decir ∫ T

0a(t)dt = 0.

Demostracion. Por la periodicidad tenemos

x(t +T ) = x(t) si c = 1.

Resolviendo la ecuacion diferencial x′(t) = a(t)x(t) por el metodo de separacionde variables, tenemos lnx(t) =

∫a(t)dt. Por la periodicidad de x(t), tenemos

ln(

x(t +T )x(t)

)=

∫a(t)dt. Despejamos c de (5.2) y obtenemos lnc =

∫ T

0a(t)dt.

Esto es, c = exp(∫ T

0a(t)dt

).

Ahora sustituyendo en la condicion anterior, obtenemos

1 = exp(∫ T

0a(t)dt

).

Ası, ∫ T

0a(t)dt = 0.

Problema 5.1 EDO-L de primer orden con coeficientes periodicos

Consideramos la ecuacion diferencial lineal de primer orden con la condicion ini-cial

x′(t) = x(t)sen(t)sen(σt), x(0) = 1, 0 < σ ≤ 1,

donde σ = p/q y p, q son primos relativos.Demuestre los siguientes resultados:

a) La solucion del problema de valor inicial es de la forma:

x(t) = exp(

sen(σ −1)t2(σ −1)

− sen(σ +1)t2(σ +1)

). (5.3)


b) La solucion es periodica con perıodo T = πq y C = 1, en este caso x(0) =x(πq) = 1.

c) El valor maximo de la solucion no esta acotado (para 0 < σ < 1).

Solucion.

a) Utilizando la identidad trigonometrica

senα senβ =12

[cos(α−β )− cos(α +β )] ,

la condicion inicial x(0) = 1 y resolviendo el problema por el metodo de sepa-racion de variables, obtenemos

x(t) = exp(

12

∫ t

0[cos(σt− t)− cos(σt− t)]dt

).

Resolviendo la integral, obtenemos la solucion

x(t) = exp(

sen(σt− t)2(σ −1)

− sen(σ +1)t2(σ +1)

).

b) Para que la solucion sea periodica con perıodo T = πq, se debe cumplir x(0) =x(πq). Simplificando la solucion, encontramos

sen(σt− t)2(σ −1)

− sen(σ +1)t2(σ +1)

=sen(σt)cos t− cos(σt)sen t

σ2−1,

y evaulando en t = πq tenemos

sen(π p)cos(πq)− cos(π p)sen(πq)σ2−1

.

Como p y q son primos relativos, y sen(nπ) = 0 para n ∈ Z, entonces se cumple

x(πq) = e0 = 1.

Por lo tanto, la solucion es periodica con perıodo T = πq.

c) Ahora, investigaremos los valores maximos de la solucion periodica.1) Investigaremos los valores maximos de la solucion periodica para diferentes

valores de σ con 0 < σ < 1 con Maple [19].

5.2 SLED n-dimensionales de Primer Orden 71

Figura 5.1: Graficas de la solucion (5.3) para distintos valores de σ

Las graficas de la solucion (5.3) para distintos valores de σ (0 < σ < 1): σ =23 , 3

5 , 57 , 7

11 , 1113 , 13

17 , 1719 se muestran en la Figura 5.1. Los valores maximos no

estan acotados: 4.753331434, 4.419496638, 7.319030111, 5.277486397, 32.95564262,

11.00181004, 147.9336580.

2) Investigaremos los valores maximos de la solucion periodica para un σ(0 < σ < 1) fijo (t ∈ [1,nπ]).

Si hacemos las graficas de la solucion (5.3) para σ = 1113 y calculamos los

valores maximos, obtenemos 5.135682957, 18.13038079, 32.95564262, 32.95564262,

32.95564262, 32.95564262, 32.95564262. Por lo tanto, los valores maximos de lasolucion periodica estan acotados para un σ fijo. ¤

5.2 Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferencialesn-dimensionales de Primer Orden

Ahora, consideremos el sistema lineal homogeneo n-dimensional:

X ′(t) = A(t)X(t), X(0) = X0, A(t +T ) = A(t), t ∈ R, (5.4)

donde A(t) es una matriz real de dimension n× n cuyos elementos son funcio-nes continuas T -periodicas, X : R→ Rn, A : R→Mnn(R), A(t) ∈ C(R,Mnn(R)).


Con las n soluciones linealmente independientes del sistema, (X1(t), . . . ,Xn(t)),podemos formar la matriz fundamental

Φ(t) =

x11(t) x12(t) · · · x1n(t)x21(t) x22(t) · · · x2n(t)

......

...xn1(t) xn2(t) · · · xnn(t)

que satisface la ecuacion matricial Φ′(t) = A(t)Φ(t). Los vectores Yk(t)=Xk(t+T )tambien son soluciones de la ecuacion diferencial, ya que

Y ′k(t) = X ′k(t +T ) = A(t +T )Xk(t +T ) = A(t)Yk.

Ası Yk(t) debe ser una combinacion lineal de las soluciones,

Yk(t) =n

∑j=1

X j(t)e jk,

para algunas constantes e jk. Estas soluciones se utilizan para formar la matrizfundamental Φ(t +T ), y ası tenemos Φ(t +T ) = Φ(t)E, donde E es la matriz conelementos ei j. Ya que det(Φ(t + T )) = det(Φ(t))det(E) y det(Φ) 6= 0, entoncesE es no singular.

Teorema 5.3 Sea In la matriz identidad de dimension n×n y Φ(t) la matriz fun-

damental que satisface la condicion Φ(0) = In. Entonces la matriz fundamental

Φ(t) satisface la ecuacion matricial

Φ(t +T ) = Φ(t)Φ(T ). (5.5)

Demostracion. En general, la matriz fundamental satisface la ecuacion matricial,

Φ(t +T ) = Φ(t)E. (5.6)

Ya que Φ(0)=In, entonces tenemos Φ(T )=Φ(0)E=E y ası, Φ(T )=E. Sustitu-yendo en la ecuacion (5.6), finalmente obtenemos Φ(t+T )=Φ(t)Φ(T ).

Los valores y vectores propios de E son importantes. Si λ es un valor propiode E y V es vector propio asociado, EV = λV , entonces la solucion

Z(t) = Φ(t)V tiene la propiedad Z(t +T ) = λZ(t), t ∈ R.

5.2 SLED n-dimensionales de Primer Orden 73

Esto se sigue de Z(t +T ) = Φ(t +T )V = Φ(t)EV = λΦ(t)V = λZ(t), t ∈ R.

Los valores propios de la matriz E se denominan multiplos de Floquet delsistema (5.4). Ahora demostramos el resultado que relaciona los multiples deFloquet y la estructura de la matriz A(t).

Teorema 5.4 Los multiplos de Floquet λk del sistema lineal (5.4) satisfacen la

ecuacionn

∏k=1

λk = exp(∫ T

0Tr(A(t))

). (5.7)

Demostracion. Puesto que el Wronskiano W=det(X(T )) del sistema (5.4) satis-face la ecuacion [17]

det(X(T )) = det(X(0))exp(∫ T

0Tr(A(t))dt

),

obtenemos la ecuacion para la matriz fundamental

det(Φ(T )) = det(Φ(0))exp(∫ T

0Tr(A(t))dt

).

Ya que la matriz fundamental satisface la condicion Φ(0) = In y sustituimosel valor t = 0 en la ecuacion (5.5), obtenemos Φ(T ) = E. Luego, puesto quedet(X(T )) = det(Φ(T )) = det(E) = ∏n

k=1 λk [6], finalmente obtenemos el resul-tado (5.7).

A continuacion presentamos otro resultado importante que nos permite en-contrar la solucion periodica del sistema (5.4) en el caso particular si los valorespropios satisfacen la ecuacion λ m = 1.

Teorema 5.5 Sea λ un valor propio de la matriz E y la m-esima raız de la

ecuacion λ m = 1 (m ∈ N). Sea V un vector propio asociado con λ . Entonces la

solucion de la ecuacion matricial Z(t) = Φ(t)V es periodica con el perıodo mT .

Demostracion. Si V es un vector propio de la matriz E, entonces tenemos EV =λV y si Z(t) satisface la ecuacion matricial Z(t) = Φ(t)V , entonces

Z(t +nT ) = Φ(t +nT )V = Φ(t)EnV = Φ(t)λ nV.


Puesto que Z(t) satisface la ecuacion matricial anterior, obtenemos

λ nΦ(t)V = λ nZ(t).

Esto es,

Z(t +nT ) = λ nZ(t).

Si λ m = 1, entonces

Z(t +mT ) = λ mZ(t) = Z(t).

Esto significa que la solucion del sistema (5.4) en el caso particular λ m = 1 esperiodica con perıodo mT .

5.3 Ecuaciones Diferenciales Linealesde Segundo Orden

5.3.1 Ecuacion Diferencial Lineal de Segundo Orden en FormaGeneral

Consideremos ahora la ecuacion diferencial lineal homogenea de segundo ordencon coeficientes periodicos

x′′(t)+a1(t)x′(t)+a2(t)x(t) = 0, ak(t +T ) = ak(t), k = 1,2, (5.8)

que es equivalente a la ecuacion matricial (o al sistema diferencial lineal homoge-neo)

X ′(t) = A(t)X(t), X(t) =(

x1(t)x2(t)

), A(t) =

(0 1

−a2(t) −a1(t)

),

donde x1(t) = x(t), x2(t) = x′(t). Nos enfocaremos en el caso especial en el cualla matriz de monodromıa C tiene dos valores propios reales identicos, tales queTr(C)2 = 4det(C).

Si λ es el valor propio, entonces existe una solucion de (5.8) que satisface

x1(t +T ) = λx1(t), t ∈ R. (5.9)

5.3 EDO-L de Segundo Orden 75

Sea x2(t) una solucion arbirtraria de (5.8) que es linealmente independiente dex1(t). Como x2(t + T ) es tambien solucion de (5.8), existen constantes c1 y c2

tales quex2(t +T ) = c1x1(t)+ c2x2(t). (5.10)

El valor de c2 se encuentra al evaluar el Wronskiano en una de estas soluciones,

W (t) = x1(t)x′2(t)− x′1(t)x2(t).

Sustituyendo (5.9) y (5.10) en la expresion equivalente para W (t +T ), obtenemos

W (t +T ) = x1(t +T )x′2(t +T )− x′1(t +T )x2(t +T )

= λx1(t)[c1x′1(t)+ c2x2(t)

]−λx′1(t) [c1x1(t)+ c2x2(t)]

= λ[x1(t)

[c1x′1(t)+ c2x′2(t)

]− x′1(t) [c1x1(t)+ c2x2(t)]]

= λ[c2x1(t)x′2(t)− c2x′1(t)x2(t)

]

= λc2W (t).

La ecuacion (2.3) nos dice

W (t +T ) = W (t)exp(∫ T

0Tr

(A(t)

)dt

)= W (t)exp

(−

∫ T

0a1(t)dt

),

y por lo tanto,

λc2W (t) = W (t +T ) = W (t)exp(−

∫ T

0a1(t)dt

).

Finalmente, obtenemos

λc2 = exp(−

∫ T

0a1(t)dt

).

Ahora, construimos la matriz de monodromıa C utilizando las dos soluciones li-nealmente independientes con condiciones iniciales

x1(0) = 1, x′1(0) = 0, x2(0) = 0, x′2(0) = 1,

de tal manera que

C =(

x1(T ) x2(T )x′1(T ) x′2(T )

)


y el multiplo de Floquet λ satisface la ecuacion

λ 2− (x1(T )+ x′2(T )

)λ + exp

(−

∫ T

0a1(t)dt

)= 0.

Pero asumimos que los valores propios son identicos de tal forma que la ecuaciontiene una raız doble, lo que implica

λ 2 = exp(−

∫ T

0a1(t)dt

)

y ası, c2 = λ . Por lo tanto, la ecuacion (5.10) resulta

x2(t +T ) = c1x1(t)+λx2(t),

y ası tenemos dos casos a considerar.

Caso 1. Si c1 = 0, tenemos x1(t +T ) = λx1(t) y x2(t +T ) = λx2(t).

Si λ = 1, las dos soluciones linealmente independientes

x1(t +T ) = x1(t), x2(t +T ) = x2(t),

son T -periodicas. En este caso det(C) = 1 y Tr(C) = 2, puesto que

x1(T ) = x1(0) = 1 y x′2(T ) = x′2(0) = 1,

y

det(C) = x1(T )x′2(T )− x′1(T )x2(T ) = 1 ·1−0 = 1,

Tr(C) = x1(T )+ x′2(T ) = 1+1 = 2.

Si λ =−1, las dos soluciones linealmente independientes

x1(t +2T ) = (−1)2 x1(t) = x1(t),

x2(t +2T ) = (−1)2 x2(t) = x2(t),

son 2T -periodicas. En este caso det(C) = 1 y Tr(C) =−2, puesto que

x1(T ) = (−1)x1(0) =−1 y x′2(T ) = (−1)x′2(0) =−1,


y

det(C) = x1(T )x′2(T )− x′1(T )x2(T ) = 1,

Tr(C) = x1(T )+ x′2(T ) =−2.

Caso 2. Si c1 6= 0, definimos dos funciones,

p1(t) = e−ρtx1(t), λ = eρT

p2(t) = e−ρtx2(t)− c1tT λ

p1(t).

Podemos ver que p1(t) y p2(t) son soluciones T -periodicas:

p1(t +T ) = e−ρ(t+T )x1(t +T )

= e−ρ(t+T )λx1(t)

= e−ρ(t+T )eρT x1(t)

= e−ρte−ρT eρT x1(t)

= e−ρ(t)x1(t)

= p1(t)

y

p2(t +T ) = e−ρ(t+T )x2(t +T )− c1(t +T )T λ

p1(t +T )

= e−ρ(t+T )(c1x1(t)+λx2(t))− c1(t +T )T λ

p1(t)

= e−ρ(t+T )(c1x1(t)+ eρT x2(t))− c1(t +T )T λ

p1(t)

= c1e−ρT p1(t)+ e−ρtx2(t)− c1t + c1TT λ

p1(t)

= e−ρtx2(t)+[

T λc1e−ρT − c1t− c1TT λ

]p1(t)

= e−ρtx2(t)+[

TeρT c1e−ρT − c1t− c1TT λ

]p1(t)

= e−ρtx2(t)+[

T c1− c1t− c1TT λ

]p1(t)

= e−ρtx2(t)− c1tT λ

p1(t) = p2(t).


Y ası, despejando x1(t) y x2(t), obtenemos

x1(t) = eρt p1(t), x2(t) = eρt(

p2(t)+c1tT λ

p1(t))

.

Si λ = eρT = 1, las dos soluciones linealmente independientes

x1(t +T ) = eρ(t+T )p1(t +T ) = eρteρT p1(t) = eρt p1(t) = x1(t),

x2(t +T ) = eρ(t+T )(

p2(t +T )+c1(t +T )

Tp1(t +T )

)

= eρteρT(

p2(t)+c1(t +T )

Tp1(t)

)

= eρt p2(t)+c1tT

eρt p1(t)+ c1eρt p1(t)

= x2(t)+ c1x1(t)

son T -periodicas. En este caso det(C) = 1 y Tr(C) = 2.Si λ =−1, las dos soluciones linealmente independientes

x1(t +2T ) = eρ(t+2T )p1(t +2T )

= eρteρ2T p1(t)

= eρt (eρT )2p1(t)

= eρt (−1)2 p1(t) = x1(t),

x2(t +2T ) = eρ(t+2T )(

p2(t +2T )− c1(t +2T )T

p1(t +2T ))

= eρt(eρT )2(

p2(t)− c1t− c12TT

p1(t))

= eρt(

p2(t)− c1tT

p1(t)− c12p1(t))

= eρt(

p2(t)− c1tT

p1(t))− c12p1(t)eρt

= x2(t)−2c1x1(t),

y como x2(t +T ) = c1x1(t)− x2(t), entonces

x2(t +2T ) = x2((t +T )+T ) = c1x1(t +T )− x2(t +T )

= −c1x1(t)− c1x1(t)+ x2(t)

= x2(t)−2c1x1(t),

ası, las soluciones son 2T -periodicas. En este caso det(C) = 1 y Tr(C) =−2.


Problema 5.2 Multiplos de Floquet

Consideremos la ecuacion

x′′(t)+a1(t)x′(t)+a2(t)x(t) = 0,

donde ak(t) (k = 1,2) son funciones T -periodicas. Demuestre que

(i) Los multiplos de Floquet satisfacen la relacion

λ1λ2 = exp(−

∫ T

0a1(t)dt

);

(ii) Sea u(t) la variable dependiente de la transformacion x(t) = u(t) f (t), con

f (t) = exp(−1

2

∫ t

0a1(s)ds

),

entonces la ecuacion para u(t) es de la forma

u′′(t)+ p(t)u(t) = 0, p(t) = a22(t)− 1

4a21(t)− 1

2a′1(t). (5.11)

(iii) La matriz fundamental relacionada a la ecuacion con respecto a u(t) tiene laforma,

Φ2(t) =1

f (t)

(1 0

a1(t)2 1

)Φ1(t),

donde Φ1(t) es una matriz fundamental de la ecuacion para x(t).

(iv) Los multiplos de Floquet, λk, de la ecuacion (5.11) estan dados por

λk = f (T )λ k = λ k exp(−1

2

∫ T

0a1(t)dt

), k = 1,2.

Solucion.

(i) Introduciendo la nueva variable y(t) = x′(t), podemos formar el sistema difer-encial lineal asociado

ddt

(x(t)y(t)

)=

(0 1

−a2(t) −a1(t)

)(x(t)y(t)

).

Por el Teorema 5.4, tenemos que para k = 2 la ecuacion queda

det(C) = λ1λ2 = exp(∫ T

0Tr(A(t))dt

)=−exp

(∫ T

0a1(t)dt

),


que es lo que buscamos.

(ii) Aplicamos la transformacion x(t) = u(t) f (t). Calculando las primeras dosderivadas y sustituyendo en la ecuacion original, obtenemos

u′′(t) f (t)+2u′(t) f ′(t)+u(t) f ′′(t)+a1(t)u′(t) f (t)+a1(t)u(t) f ′(t)+a2(t)u(t) f (t)=0,

reacomodando los terminos, tenemos

u′′(t) f (t)+u′(t)[2 f ′(t)+a1(t) f (t)

]+u(t)

[f ′′(t)+a1(t) f ′(t)+a2(t) f (t)

]=0. (5.12)

Tomando los coeficientes de u′(t) (igualando a cero) y despejando f ′(t), obten-emos

f ′(t) =−a1(t) f (t)2

.

Integrando ambos lados, tenemos

f (t) = exp(−1

2

∫ T

0a1(s)ds

).

Calculando las primeras dos derivadas de f (t) y sustituyendo en el coeficientede u(t) de la ecuacion (5.12), encontramos

u′′(t) f (t)+u(t)[a2(t) f (t)− 1

2a′1(t)− 14a2

1(t) f (t)]= 0.

Dividiendo entre f (t) y llamando p(t) al coeficiente de u(t), tenemos

u′′(t)+ p(t)u(t) = 0.

(iii) Utilizando la propiedad (5.6), buscamos la relacion(

x(t)x′(t)

)=

(f (t) 0f ′(t) f (t)

)(u(t)u′(t)

).

Con f ′(t) =−12a1(t), encontramos el vector

(u(t),u′(t)

)T y obtenemos

(u(t)u′(t)

)=

1f (t)

(1 0

12a1(t) 1

)(x(t)x′(t)

).

De aquı, tenemos

Φ2(t) =1

f (t)

(1 0

12a1(t) 1

)Φ1(t). (5.13)


Ahora, probaremos que Φ2(t) es periodica:

Φ2(t +T ) =1

f (t +T )

(1 0

12a1(t +T ) 1

)Φ1(t +T ). (5.14)

Por definicion, a1(t) es T -periodica y f (t +T ) = f (t) f (T ). Aplicando la propie-dad (5.6) a Φ1(t), obtenemos

Φ2(t +T ) =1

f (t) f (T )

(1 0

12a1(t) 1

)Φ1(t)E1.

Por (5.13), tenemos

Φ2(t +T ) =1

f (T )Φ2(t)E1.

Despejando E1 y utilizando la propiedad (5.6), obtenemos

E1 = Φ−12 (t)Φ2(t +T ) f (T ) = E2 f (T ).

Sustituyendo E1 en (5.14), tenemos que Φ2(t) es T -periodica.

(iv) Sean λ k valores propios de E2. Por el inciso anterior, E1 = E2 f (T ), y de aquı,

λk = λ k f (T ) = λ k exp(−1

2

∫ T

0a1(s)ds

).

¤

5.3.2 Ecuacion de Hill

Ahora estudiaremos un caso particular de una ecuacion diferencial lineal de se-gundo orden, la ecuacion de Hill. Fue estudiada por primera vez por GeorgeWilliam Hill en 1886 [18]. La ecuacion de Hill es una ecuacion diferencial ho-mogenea, lineal de segundo orden con coeficientes reales periodicos la cual tienemuchas aplicaciones en ingenierıa y fısica, incluyendo problemas en mecanica,astronomıa, y conductividad electrica del metal. Su importancia fue descubiertapor Lyapunov en 1907.

Consideramos la forma estandar de la ecuacion de Hill:

x′′(t)+(a+ p(t))x(t) = 0, (5.15)


donde a es una constante y p(t) es una funcion T -periodica. Introduciendo lasnuevas variables y1(t) = x(t), y2(t) = x′(t), podemos escribir la ecuacion en laforma matricial

Y ′(t) = A(t)Y (t), Y (t) =(

y1(t)y2(t)

), A(t) =

(0 1

−a− p(t) 0

).

Formamos la matriz fundamental

Φ(t) =(

y1(t) y2(t)y′1(t) y′2(t)

),

donde y1(t), y2(t) son soluciones linealmente independientes del sistema lineal talque Φ(0) = I2, es decir,

y1(0) = 1, y′1(0) = 0, y2(0) = 0, y′2(0) = 1.

Puesto que Tr(A(t)

)= 0, la ecuacion

W ′(t) = W (t)Tr(A(t)

)

nos dice que det(Φ(t)

)=W (t)=constante.

Consideramos la matriz C (la matriz C se define por la formula (4.20)):

C =(

y1(T ) y2(T )y′1(T ) y′2(T )

).

Mostramos que det(C) = 1. Por las propiedades de la matriz fundamental tene-mos:

det(C) = det(Φ(T )

)=

n

∏k=1

λk = exp(∫ T

0Tr

(A(t)

)dt

)= 1.

Por lo tanto, los valores propios λ de C estan dados por

λ 2−Tr(C)λ +det(C) = 0, donde Tr(C) = y1(T )+ y′2(T ),

es decir, los valores propios dependen de un parametro Tr(C):

λ1,2 =12(Tr(C)±

√Tr(C)2−4).

De acuerdo del Teorema de Vieta, tenemos

λ1λ2 = 1, λ1 +λ2 = Tr(C).


Los exponentes de Floquet son ρ1 y ρ2, donde

λ1,2 = eρ1,2T ,

y por lo tanto,

ρ1 +ρ2 = 0, ρ2 =−ρ1, (5.16)

cosh(ρ1T ) = 12Tr(C), ρ1 =

1T

arccosh(Tr(C)/2) . (5.17)

Existen cinco casos dependiendo del valor de Tr(C).

(1) Tr(C) > 2. Los valores propios son reales y positivos, diferentes y distintosde +1, satisfacen la desigualdad 0 < λ1 < 1 < λ2. Por lo tanto, λ2 es real ypositivo, λ1 =−λ2 es real y negativo. De acuerdo de (5.16),

λ2 = eρ2T , ρ2T = lnλ2 > 0,

y dos soluciones linealmente independientes son

y1(t) = e−ρ2t p1(t), y2(t) = eρ2t p2(t),

donde pk(t) (k = 1,2) son funciones T -periodicas. La solucion general de laecuacion de Hill (5.15) es

x(t) = c1e−ρ2t p1(t)+ c2eρ2t p2(t).

En este caso no existen soluciones periodicas. En general, limt→∞

|x(t)|= ∞.

(2) Tr(C) = 2. Los valores propios λ son iguales a 1. Entonces

λk = 1 = pk(t)eρkt , k = 1,2,

donde ρk = 0. Ahora, el comportamiento de las soluciones depende del numerode vectores propios de C:

a) C tiene dos vectores propios linealmente independientes, entonces existen dossoluciones T -periodicas:

y1(t) = p1(t), y2(t) = p2(t),

donde pk(t) (k = 1,2) son funciones T -periodicas. La solucion general es

x(t) = c1 p1(t)+ c2 p2(t). (5.18)


b) C tiene solamente un vector propio independiente, las dos soluciones indepen-dientes de (5.15) son

y1(t) = p1(t), y2(t) = t p1(t)+ p2(t),

donde pk(t) (k = 1,2) son funciones T -periodicas. La solucion general es

x(t) = c1 p1(t)+ c2[t p1(t)+ p2(t)]. (5.19)

Las soluciones generales (5.18) y (5.19) se puede unificar ası

x(t) = c1 p1(t)+ c2[mt p1(t)+ p2(t)], (5.20)

donde m es una constante que puede ser 0. En este caso, si c2 = 0, entonces existeuna solucion T -periodica de la ecuacion de Hill.

(3) |Tr(C)|< 2. Los valores propios de C son complejos con la magnitud |λ1,2|= 1

λ1,2 = e±iσT (0 < σT < π).

Los exponentes de Floquet son

ρ1,2 =±iσ , cos(σT ) = 12Tr(C), ρ1,2 =±iarccos

(12Tr(C)

).

Ası las soluciones independientes son

y1(t) = ℜeiσt p1(t), y2(t) = ℑe−iσt p2(t),

donde pk(t) son funciones complejas T -periodicas. La solucion general de laecuacion de Hill (5.15) es

x(t) = c1ℜeiσt p1(t)+ c2ℑe−iσt p2(t).

En este caso, soluciones son acotadas y oscilatorias, no existen soluciones T -periodicas o 2T -periodicas. En general, existen soluciones mT -periodicas si σT =2π/q (q = 3,4, . . .).

(4) Tr(C) =−2. Ambos valores propios λ son iguales a −1, es decir, λ1 = λ2 =−1. Los exponentes de Floquet son ρ1,2 = iπ/T . El comportamiento de las solu-ciones depende del numero de vectores propios independientes de C:


a) C tiene dos vectores propios linealmente independientes: existen dos solu-ciones 2T -periodicas ya que ρ1,2T = iπ y las dos soluciones linealmenteindependientes son

y1(t) = p1(t), y2(t) = p2(t),

donde pk(t) (k = 1,2) son funciones 2T -periodicas. La solucion general es

x(t) = c1 p1(t)+ c2 p2(t). (5.21)

b) C tiene un solo vector propio linealmente independiente: las dos solucionesde (5.15) son

y1(t) = p1(t), y2(t) = t p1(t)+ p2(t),

donde pk(t) (k = 1,2) son dos funciones 2T -periodicas. La solucion generales

x(t) = c1 p1(t)+ c2[t p1(t)+ p2(t)], (5.22)

donde pk(t) (k = 1,2) son funciones 2T -periodicas.

Las soluciones generales (5.21) y (5.22) se puede unificar:

x(t) = c1 p1(t)+ c2[mt p1(t)+ p2(t)], (5.23)

donde m es una constante que puede ser 0. En este caso, si c2 = 0, entonces existeuna solucion 2T -periodica de la ecuacion de Hill.

(5) Tr(C) < −2. Los valores propios λ1,2 son reales y negativos, diferentes ydistintos de −1, satisfacen la desigualdad λ2 <−1 < λ1 < 0. Si los multiplos deFloquet son negativos, entonces los exponentes de Floquet son complejos:

ρ =iπT

+ν , eνT =−λ .

En nuestro caso, tenemos

ρ1,2 =iπT∓ γ1,2, ρ1,2T = iπ∓ γ1,2T, cosh(γ1,2T ) =∓1

2Tr(C),


y las soluciones linealmente independientes son

y1(t) = e−γ1t p1(t), y2(t) = eγ1t p2(t),

donde pk(t) son funciones 2T -periodicas. La solucion general de la ecuacion deHill (5.15) es

x(t) = c1e−γ1t p1(t)+ c2eγ1t p2(t).

En este caso, no existen soluciones periodicas. En general, limt→∞

|x(t)|= ∞.

Problema 5.3 Ecuacion de Hill

Consideremos la ecuacion de Hill x′′(t)+ p(t)x(t) = 0, donde p(t) es una funcionT -periodica y p(t) < 0, ∀t ∈ R.

(i) Demuestre que al integrar la ecuacion queda de la siguiente manera

x′(t) = x′(0)+∫ t

0−p(s)x(s)ds. (5.24)

(ii) Encuentre soluciones de la ecuacion de Hill que crecen monotonamente.

Solucion.

(i) Despejando x′′(t) e integrando ambos lados de la ecuacion, obtenemos

x′(t) = x′(0)+∫ t

0−p(s)x(s)ds.

(ii) Con las condiciones iniciales(

x(0)x′(0)

)=

(01

),

tenemos x′(0) = 1. Sustituyendo en la ecuacion (5.24), obtenemos

1+∫ t

0−p(s)x(s)ds.

Inicialmente, tenemos que si x′(t) > 0 ∀t, entonces x(t) es creciente.Probaremos esto por contradiccion. Supongamos que x(t) = 0 en t = τ , en-

tonces x′(t) = 0 para t = τ con 0 < τ < τ . Ası,

−1 =∫ τ

0−p(s)x(s)ds,

pero −p(s) > 0 y x(s) > 0, lo cual contradice que x(τ) = 0. Por lo tanto, x′(t)>0∀ t > 0. ¤


5.3.3 Ecuacion de Meissner

En 1918, Meissner investigo la ecuacion diferencial lineal de segundo orden

x′′(t)+α(t)x(t) = 0, α(t) = wi, t ∈ [(i−1)h, ih), i = 1, . . . ,n,

donde α(t) es una funcion T -periodica definida por partes, h = T/n, wi > 0 ∀i.La ecuacion de Meissner es un caso especial de la ecuacion de Hill, para la

cual existe teorıa general ([15], [17]).Una de las propiedades basicas de esta ecuacion es que todas las soluciones

son acotadas o todas las soluciones no acotadas [12]. En el primer caso, se diceque la ecuacion es inestable, mientras que en el segundo, es estable. Ya que laestabilidad de la ecuacion de Hill depende del discriminante, es decir, de la trazade la matriz de monodromıa, entonces la estabilidad de la ecuacion de Meissnertambien depende de Tr(C).

La ecuacion de Meissner es integrable, es decir, la ecuacion se puede resolveren cada intervalo (como un oscilador armonico) y verificar las condiciones decontinuidad en extremos (de los intervalos).

En general, la matriz de monodromıa para la ecuacion de Meissner es C =AnAn−1 · · ·A1, donde Ai son matrices exponenciales

Ai = eΩih =(

cos(ωih) (1/ωi)sen(ωih)−ωi sen(ωih) cos(ωih)

), Ωi =

(0 1−ωi 0

).

Si |Tr(C)|> 2, la ecuacion de Meissner es inestable y es estable si |Tr(C)|< 2.

Problema 5.4 Ecuacion de Hill–Meissner

Consideramos una ecuacion de Hill–Meissner, es decir el caso particular de laecuacion de Hill, donde la ecuacion de Meissner puede ser escrita en la siguienteforma:

x′′(t)+ω2(t)x(t) = 0, ω(t)=

a, 0≤ t < τ,0, τ ≤ t < T,

ω(t+T )=ω(t), t∈(0,∞),

donde ω(t) es la funcion T -periodica definida por partes (ver Figura 5.2) y a esuna constante arbitraria.

Encontramos las soluciones exactas periodicas de la ecuacion de Meissner, lamatriz de monodromıa, construimos y graficamos las curvas en las cuales existensoluciones T - y 2T -periodicas.


Figura 5.2: La funcion ω(t) T -periodica (a = 3, T = 3, τ = T/a)

Solucion.

(i) Veamos el comportamiento de las soluciones por casos.

Caso 1. 0≤t<τ . La ecuacion queda de la siguiente forma: x′′(t)+a2x(t)=0, y susolucion general es x1(t) = a1 cos(at)+b1 sen(at).

Caso 2. τ≤t<T . La ecuacion queda de la siguiente forma: x′′(t)= 0, y su soluciongeneral es x2(t) = a2(t− τ)+b2.

Ahora, aplicaremos las condiciones iniciales para encontrar las constantes a1,b1, a2 y b2.

(a) Para X(0) = (x(0),x′(0))T = (1,0)T tenemos

a1 cos(a ·0)+b1 sen(a ·0) = 1, −a1asen(a ·0)+b1acos(a ·0) = 0,

de donde obtenemos a1=1, b1=0, esto es:(

x1(t)x′1(t)

)=

(cos(at)−asen(at)

).

Verificando la condicion de continuidad en t = τ , tenemos(

x1(τ)x′1(τ)

)=

(x2(τ)x′2(τ)

),

esto es (cos(aτ)−asen(aτ)

)=

(b2a2

).

Ası, el valor de la solucion en t = T es

X(T ) =(

x2(T )x′2(T )

)=

(−a(T − τ)sen(aτ)+ cos(aτ)−asen(aτ)

).


(b) Ahora, para X(0) = (0,1)T tenemos

a1 cos(at)+b1 sen(at) = 0, −a1asen(at)+b1acos(at) = 1,

de donde a1 = 0, b1 = 1/a.

Verificando la condicion de continuidad en t = τ , obtenemos(1

a sen(aτ)cos(aτ)

)=

(b2a2

),

entonces, el valor de la solucion en t = T es

X(T ) =(

(T − τ)cos(aτ)+ 1a sen(aτ)

cos(aτ)

).

Ahora, sean γ = aτ y β = aT , entonces la matriz C queda de la siguienteforma:

C =(−(β − γ)senγ + cosγ [(β − γ)cosγ + senγ] 1

a−asenγ cosγ

).

(ii) Calcularemos el determinate de la matriz de monodromıa,

det(C) = (−(β − γ)senγ + cosγ)cosγ +1a

((β − γ)cosγ + senγ)asenγ

= −(β − γ)senγ cosγ + cos2 γ +(β − γ)cosγ senγ + sen2 γ= cos2 γ + sen2 γ = 1.

(iii) Encontramos las curvas en las cuales existen soluciones T - y 2T -periodicasen el plano (β ,γ). La traza de la matriz C es

Tr(C) = 2cosγ− (β − γ)senγ .

Puesto que la ecuacion de Meissner es el caso particular de la ecuacion de Hill,entonces de acuerdo de la teorıa de la ecuacion de Hill (5.3.2), las curvas en elplano (β ,γ) en las cuales Tr(C) = 2 y existen soluciones exactas T -periodicas. SiTr(C) =−2, las soluciones exactas son 2T -periodicas. Estas curvas se presentanen Figura 5.3. Las curvas de color magenta denotan las soluciones de Tr(C) = 2,mientras que las curvas azules denotan las soluciones de Tr(C) =−2. ¤


Figura 5.3: Las curvas en las cuales Tr(C)=2 (curvas de color magenta) y Tr(C)=−2(curvas azules)

Problema 5.5 Ecuacion de Mathieu–Meissner

Ahora, consideramos la ecuacion de Mathieu–Meissner, es decir el caso particularde la ecuacion de Mathieu, donde la ecuacion de Meissner puede ser escrita en lasiguiente forma:

x′′(t)+(a+2qp(t))x(t) = 0, p(t)=

b, 0≤ t < T2 ,

−b, T2 ≤ t < T,

p(t+T )=p(t), t∈(0,∞),

donde p(t) es una funcion T -periodica definida por partes (ver Figura 5.4) y b

es una constante arbitraria. Encontramos las soluciones exactas periodicas de laecuacion de Meissner, la matriz de monodromıa, construimos y graficamos lascurvas en las cuales existen soluciones T - y 2T -periodicas.

Solucion.

Si a > 2qb, calculamos las soluciones para cada caso.

Caso 1. 0≤ t < T2 . La ecuacion queda de la forma x′′(t)+(a+2qb)x(t) = 0 y su

solucion es,

x1(t) = a1 cos(√

a+2qbt)+b1 sen(√

a+2qbt).

Caso 2. T2 ≤ t < T . La ecuacion es x′′(t)+(a−2qb)x(t) = 0 y su solucion queda:

x2(t) = a2 cos(√

a−2qb(t−T/2)+b2 sen(√

a−2qb(t−T/2).


Figura 5.4: La funcion p(t) T -periodica (b = 1, T = 3)

Aplicando la condicion de continuidad en t = T2 , tenemos

a1 cos(√

a+2qb T2

)+b1 sen

(√a+2qb T

2

)= a2,

√a+2qb

[−a1 sen(√

a+2qb T2

)+b1 cos

(√a+2qb T

2

)]=

√a+2qbb2.

(a) Para las condiciones iniciales X(0) = (1,0)T obtenemos:

a1 = 1, b1 = 0, a2 = cos(√

a+2qbT/2)

,

b2 =−√

a+2qb√a−2qb

sen(√

a+2qbT/2)

.

(b) Para las condiciones iniciales X(0) = (0,1)T obtenemos:

a1 = 0, b1 = 1, a2 =1√

a+2qbsen

(√a+2qbT/2

),

b2 =1√

a−2qbcos

(√a+2qbT/2

).

Ahora, sean ωp =√

a+2qb, ωm =√

a−2qb, βp = ωpT/2, βm = ωmT/2,entonces la matriz de monodromıa C queda de la siguiente forma:

C=

(c(βp)c(βm)−ωp

ωms(βp)s(βm) 1

ωps(βp)c(βm)+ 1

ωmc(βp)s(βm)

−ωmc(βp)s(βm)−ωps(βp)c(βm) −ωmωp

s(βp)s(βm)+c(βp)c(βm)

),

donde c(βp) = cos(βp), c(βm) = cos(βm), s(βp) = sen(βp), and s(βm) = sen(βm).Por lo tanto, si obtenemos la traza de la matriz de monodromıa

Tr(C) = 2cos(βp)cos(βm)− 2a√a2−4q2b2

sen(βp)sen(βm)


Figura 5.5: La grafica de Tr(C) (q = 1, b = 1)

para a > 2qb. De manera similar, se puede obtener la traza de la matriz de mono-dromıa

Tr(C) = 2cos(βp)cosh(βm)− 2a√4q2b2−a2

sen(βp)senh(βm)

para a < 2qb y ωp =√

a+2qb, ωm =√

2qb−a, βp = ωpT/2, βm = ωmT/2.

La grafica de Tr(C) (para q = 1, b = 1) se presenta en Figura 5.5. Las lıneasde color magenta denotan las fronteras: Tr(C) = 2 y Tr(C) =−2. ¤

5.4 Aplicaciones de la Teorıa de SLED a Ecuacionesy Sistemas No Lineales

5.4.1 Sistemas No Lineales Autonomos n-Dimensionales

Consideremos el sistema autonomo n-dimensional:

X ′(t) = F(X(t)

), (5.25)

donde X(t) =(x1(t),x2(t), . . . ,xn(t)

)T y F = ( f1, f2, . . . , fn)T vectores columnan-dimensionales, y F : Rn → Rn.

5.4 Aplicaciones de SLED a Ecuaciones y Sistemas No Lineales 93

Teorema 5.6 Sea P(t) =(

p1(t), . . . , pn(t))T una solucion periodica del sistema

no lineal autonomo

X ′(t) = F(X(t)

). (5.26)

Supongamos que

X(t) = P(t)+Z(t), Z(t) =(z1(t), . . . ,zn(t)

)T, ‖Z(t)‖¿ ‖P(t)‖.

Entonces P′(t) es una solucion del sistema (5.26) y Z(t) satisface el sistema lineal

no autonomo

Z′(t) = A(t)Z(t), Ai j(t) =

∂ fi

∂x j(t)

∣∣∣∣xk(t)=pk(t)

, (5.27)

donde A(t) es una matriz real de dimension n× n con coeficientes periodicos

evaluados en xk(t) = pk(t) (k = 1, . . . ,n; i = 1, . . . ,n; j = 1, . . . ,n).

Demostracion. Si tenemos el sistema de la forma X′(t) = F

(X(t)

)y si X(t) es

una solucion periodica, entonces X(t +T ) (donde T es una constante) es tambienuna solucion periodica.

Si X(t) = P(t) es una solucion periodica, entonces Y (t)=P(t+T ) es tambienuna solucion periodica.

Consideremos la solucion X(t) = P(t) + Z(t) (‖Z(t)‖ ¿ ‖P(t)‖). Sustitu-yendo esta solucion en el sistema (5.26) y expandiendo el resultado en la seriede Taylor alrededor de P(t), obtenemos

P′(t)+Z

′(t) = F

(P(t)

)+A(t)Z(t)+O

(Z2(t)

), (5.28)

donde A(t) es la matriz con elementos

Ai j(t) =∂ fi

∂xi(t)

∣∣∣∣xk(t)=pk(t)

, (5.29)

donde k = 1, . . . ,n, i = 1, . . . ,n, j = 1, . . . ,n.Expandiendo P(t +T ) en la serie de Taylor alrededor de t, tenemos

Y (t) = P(t +T ) = P(t)+P′(t)T +O(T 2). (5.30)

Si comparamos las expansiones (5.28) y (5.30), obtenemos que P′(t) es una solu-

cion del sistema lineal no autonoma Z′(t) = A(t)Z(t).


Problema 5.6 Sistema no lineal de dos ecuaciones diferenciales no lineales

Consideramos el sistema no lineal autonomo

x′1(t) = x1(t)− x2(t)− x1(t)[x21(t)+ x2

2(t)],

x′2(t) = x2(t)+ x1(t)− x2(t)[x21(t)+ x2

2(t)]. (5.31)

(i) Verifique que

P(t) =(

p1(t)p2(t)

)=

(cos tsen t

), P

′(t) =

(−sen tcos t

)

son las soluciones periodicas del sistema no lineal autonomo (5.31).

(ii) De acuerdo del Teorema 5.6, determine la matriz A(t), el sistema lineal noautonomo correspondiente, Z

′(t) = A(t)Z(t), la solucion Z(t) del sistema lineal.

Verifique que la solucion P′(t) satisface el sistema lineal no autonomo.

(iii) Determine una solucion particular Z(t) que satisface la condicion ‖Z(t)‖ ¿‖P(t)‖. Construye y compare las graficas de las soluciones p1(t), x1(t) = p1(t)+z1(t) y p2(t), x2(t) = p2(t)+ z2(t).

Solucion.

(i) Si sustituimos P(t) y P′(t) en el sistema de acuaciones no lineales (5.31),

obtenemos, respectivamente, las identidades: −sen t = −sen t, cos t = cos t y−cos t =−cos t, −sen t =−sen t.

(ii) De acuerdo de la formula para la matriz A(t) (5.29), calculamos(−sen2 t−3cos2 t +1 −2sen t cos t−1

−2sen t cos t +1 −3sen2 t− cos2 t +1

).

Por lo tanto, el sistema lineal no autonoma queda

z′1(t) = (1− sen2 t−3cos2 t)z1(t)− (2sen t cos t +1)z2(t), (5.32)

z′2(t) = (1−2sen t cos t)z1(t)+(1−3sen2 t− cos2 t)z2(t). (5.33)

Resolvemos el sistema anterior analıticamente y obtenemos la solucion general:

z1(t) =−c1 sen t− c2e−2t cos t, z2(t) =− e−2t

sen t(c1e2t cos t sen t + c2 cos2 t− c2).


Figura 5.6: Graficas de soluciones pi(t), xi(t)=pi(t)+zi(t) (i = 1,2)

Si sustituimos la solucion P′(t) = (−sen t,cos t)T en el sistema lineal no autono-

mo anterior, obtenemos la identidad: −cos t =−cos t, −sen t =−sen t.

(iii) Ahora consideremos la solucion X(t) = P(t)+Z(t),

x1(t) = cos t + c1 sen t + c2 cos te−2t , (5.34)

x2(t) = sen t− e−2t

sen t(c1e2t cos t sen t + c2 cos2 t− c2), (5.35)

que satisface la condicion ‖Z(t)‖¿ ‖P(t)‖. Tomando c1 = 1/10, c2 = 0, tenemosuna solucion particular periodica del sistema lineal no autonomo

z1(t) = 110 sen(t), z2(t) =− 1

10 cos t

y una solucion particular periodica del sistema no lineal autonomo

x1(t) = cos t + 110 sen(t), x2(t) = sen t− 1

10 cos t.

Por lo tanto, la norma euclidiana del vector P(t) = (p1(t), p2(t))T es ‖P(t)‖2 = 1y la norma euclidiana del vector Z(t) = (z1(t),z2(t))T es ‖Z(t)‖2 = 1/10.

Las graficas de las soluciones periodicas de los sistemas considerados, p1(t),x1(t) = p1(t)+ z1(t) y p2(t), x2(t) = p2(t)+ z2(t), se muestran en la Figura 5.6.Se puede controlar la coincidencia de las soluciones variando las constantes arbi-trarias. ¤


5.4.2 Ecuaciones Diferenciales No Lineales Autonomas

Una de las aplicaciones de la teorıa de sistemas lineales de ecuaciones diferen-ciales es determinar soluciones periodicas de ecuaciones no lineales autonomas.Esta aplicacion la ilustramos con la ecuacion diferencial no lineal autonoma deLienard:

x′′(t)+ f (x)x′(t)+g(x) = 0, t ∈ R,

donde f (x) y g(x) son funciones arbitrarias. Asumimos que existe una solucionperiodica de la ecuacion de Lienard.

Teorema 5.7 Sea p(t) una solucion T -periodica de la ecuacion de Lienard no

lineal autonoma

x′′(t)+ f (x)x′(t)+g(x) = 0, t ∈ R. (5.36)

Supongamos que

x(t) = p(t)+ z(t), |z(t)| ¿ |p(t)|,es una transformacion. Entonces p′(t) es una solucion periodica de la ecuacion

diferencial lineal no autonoma

z′′(t)+ f (p)z′(t)+(

f ′(p)p′(t)+g′(p))

z(t) = 0, (5.37)

o del sistema diferencial lineal no autonomo equivalente

Z′(t) = A(t)Z(t), (5.38)

donde

A(t) =(

0 1−p′(t) f ′(p)−g′(p) − f (p)

)y Z(t) =

(z1(t)z2(t)

).

Demostracion. Si sustituimos la transformacion x(t) = p(t)+ z(t) en la ecuacionde Lienard (5.36), obtenemos la siguiente ecuacion:

(p(t)+ z(t)

)′′+ f(

p(t)+ z(t))(

p(t)+ z(t))′+g

(p(t)+ z(t)

)= 0.

Simplificando, encontramos la ecuacion diferencial lineal no autonoma (5.37) ysu forma matricial equivalente (5.38). Puesto que la ecuacion de Lienard (5.36)


es autonoma, entonces si T es una constante arbitraria, p(t + T ) tambien es unasolucion de la ecuacion. Expandiendo p(t +T ) alrededor de t, obtenemos

x(t) = p(t +T ) = p(t)+ p′(t)T +O(T 2)

y p′(t) es una solucion de la ecuacion (5.37).

Problema 5.7 Ecuacion de Lienard no lineal autonoma

Consideramos la ecuacion de Lienard no lineal autonoma

x′′(t) = cos(2x(t)

)x′(t). (5.39)

(i) Verifique que

p(t) = arctan(

12 tan(1

2t√

3)√

3− 12

)(5.40)

es la solucion periodica de la ecuacion de Lienard no lineal autonoma (5.39).

(ii) De acuerdo del Teorema 5.7, determine la ecuacion diferencial lineal no auto-noma correspondiente, la solucion z(t) de la ecuacion lineal.

(iii) Determine una solucion particular z(t) y construye las graficas de las solucio-nes p(t), x(t) = p(t)+ z(t). Verifique que la solucion p′(t) satisface la ecuacionlineal no autonoma.

Solucion.

(i) Si sustituimos p(t) en la ecuacion de Lienard, obtenemos la identidad.

(ii) De acuerdo del Teorema 5.7, encontramos la ecuacion diferencial lineal noautonoma

z′′(t)+ cos(2p(t)

)z′(t)−2sen

(2p(t)

)p′(t) = 0, (5.41)

donde p(t) es la solucion periodica (5.40). Resolvemos la ecuacion diferenciallineal anterior analıticamente y obtenemos la solucion general:

z(t)=−p(t)−arctan[

12c1

tan

(12c2

√4c2

1−1+12t

√4c2

1−1)√

4c21−1−1

].


Figura 5.7: Graficas de soluciones p(t) y x(t)=p(t)+z(t)

(iii) Ahora consideremos una solucion particular x(t) = p(t)+ z(t) que satisfacela condicion |z(t)| ¿ |p(t)|, es decir,

x(t)=arctan [0.8716121875tan(0.8890444310 t)−0.4901960784] ,

donde c1 =−1.02, c2 = 0.Ahora supongamos que una solucion particular (de la ecuacion lineal no auto-

noma) es z(t) = kp′(t) y que satisface la condicion |z(t)| ¿ |p(t)|. Por lo tanto,podemos encontrar el valor de la constante k: k = 1/20.

Las graficas de las soluciones periodicas de las ecuaciones consideradas, p(t)y x(t) = p(t)+z(t), se muestran en la Figura 5.7. Se puede controlar la coinciden-cia de las soluciones variando las constantes arbitrarias. ¤

Teorema 5.8 Sea z(t) = p′(t) una solucion periodica de la ecuacion lineal no

autonoma (5.37) y que satisface la condicion |z(t)| ¿ |p(t)|, donde p(t) una

solucion periodica de la ecuacion de Lienard no lineal autonoma. Sea

z(t) = ω(t)p′(t)

una transformacion. Entonces

z(t) = mp′t∫ 1(

p′(t))2 exp

(−

∫f (p)dt

)dt, (5.42)

donde m es una constante arbitraria, es tambien una solucion periodica de la

ecuacion lineal no autonoma (5.37).


Demostracion. Si sustituimos la transformacion z(t) = ω(t)p′(t) en la ecuacionlineal no autonoma (5.37) y simplificamos la ecuacion resultante considerandoque p′(t) es una solucion de la ecuacion lineal no autonoma (5.37), obtenemos lasiguiente ecuacion:

ω ′′(t)p′(t)+ω ′(t)(2p′′(t)+ f (p)p′(t)

)= 0.

Aplicando el metodo de separacion de variables e integrando, encontramos

ω ′(t) =m(

p′(t))2 exp

(−

∫f (p)dt

),

donde m es una constante de integracion. Al integrar nuevamente, tenemos

ω(t) =∫ m(

p′(t))2 exp

(−

∫f (p)dt

)dt.

Aplicando la transformacion

z(t) = ω(t)p′(t),

obtenemos la solucion periodica (5.42) de la ecuacion lineal no autonoma.

Problema 5.8 Ecuacion de Lienard. Transformaciones

Consideramos la ecuacion de Lienard no lineal autonoma x′′(t) = cos(2x(t)

)x′(t).

(i) Verifique que

q(t) =1

20p′(t) =

120

3+3tan(12t√

3)2

5+3tan(12t√

3)2−2tan(12t√

3)√

3(5.43)

es la solucion periodica de la ecuacion lineal no autonoma (5.41) obtenida porla transformacion x(t) = p(t)+ z(t) y que satisface la condicion |z(t)| ¿ |p(t)|,donde p(t) es la solucion periodica definida por la formula (5.40) (del problemaanterior).

(ii) Verifique que la funcion periodica

z(t) = mq(t)∫

q−2(t)exp(−

∫cos

(2p(t)

)dt

)dt

Figura 5.8: Graficas de la ecuacion (E1, E2) trascendente (m = 1/3000)

es la solucion periodica de la ecuacion lineal no autonoma (5.41). Determine laconstante m.

Solucion.

(i) Consideramos la solucion periodica p(t) definida en (5.40), encontramos laderivada p′(t) y multiplicamos por la constante k = 1/20 (ver Problema 5.7).

(ii) Si sustituimos q(t) = 1/20p′(t) en la ecuacion lineal no autonoma (5.41),obtenemos la ecuacion trascendente complicada que depende de un parametro m.Variando el valor de m, podemos llegar a la identidad. En nuestro caso, m =1/3000. Las graficas de las expresiones que corresponden a los lados (E1, E2) dela ecuacion se muestran en la Figura 5.8. ¤

Conclusiones

En este trabajo de tesis se estudiaron distintas clases de ecuaciones diferenciales,enfocandonos en la clase especial en la cual permiten soluciones periodicas. So-luciones periodicas de sistemas lineales y no lineales son un aspecto importantede la teorıa de ecuaciones diferenciales, ya que muchos fenomenos fısicos tienennaturaleza periodica. En general, los medios periodicos lineales y no lineales sonimportantes en la fısica y aplicaciones tecnicas, por ejemplo, especialmente ennanotecnologıa optica (una ciencia fundamental en el siglo XXI).

En el presente trabajo, se vio un breve resumen historico sobre la evolucionde las ecuaciones diferenciales y quienes estudiaron con ellas, ası como una intro-duccion general a los Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales y algunas desus aplicaciones. Se mostraron definiciones y propiedades generales de SistemasLineales de Ecuaciones Diferenciales. Se estudiaron algunos Sistemas Linealesde Ecuaciones Diferenciales de varias clases. Se vio la teorıa de Floquet de losSistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales con coeficientes periodicos y al-gunas aplicaciones.

En el ultimo Capıtulo, construimos las soluciones periodicas de Sistemas Li-neales de Ecuaciones Diferenciales de varias clases. Vimos algunas de sus pro-piedades y estudiamos algunas ecuaciones diferenciales que describen procesosfısicos (ecuaciones de Hill–Meissner y Mathieu–Meissner). Finalmente, apli-camos la teorıa de Sistemas Lineales de Ecuaciones Diferenciales para encontrarsoluciones periodicas de sistemas no lineales autonomos y ecuaciones no linealesautonomas (ecuacion de Lienard).

En este trabajo de tesis se aportan resultados a la literatura de Sistemas Li-neales de Ecuaciones Diferenciales tanto en el campo teorico (Teoremas 3.1, 3.3,5.1–5.8) como en practico (Ejemplos 2.1–2.3, Problemas 3.1–3.6, 4.1, 5.1–5.8).

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