textos básicos para educación secundaria matemáticas 3...2018/10/03 · 2 libro de texto básico...

3Matemáticas

Textos Básicos para Educación Secundaria

LA BUENA EDUCACIÓN PARA EL BUEN VIVIRRestituyendo la soberanía cultural y educativa

PROGRAMA DEMOCRÁTICO DE EDUCACIÓN Y CULTURA PARA EL ESTADO

DE MICHOACÁNPDECEM

Tercera edición

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Libro de Texto Básico

Los Textos Básicos Alternativos, son una herramienta de trabajo elaborada por maestros michoacanos, para fortalecer la acción pedagógica, donde se forjan los perfiles de los seres humanos y se cultivan sus juicios: político, moral-politécnico, estético e intelectivo para una práctica socio-comunitaria culta y en una senda de liberación. Son materiales de consulta para quienes constituidos en sujetos cognoscentes colectivos, acuden tramos del cuerpo del conocimiento humano, como referentes teóricos, filosóficos y/o metodológicos para el desarrollo de los procesos investigativos áulicos, escolares y comunitarios. Estos materiales no son con fines de lucro, de tal suerte que atenidos al principio de conocimiento libre, han sido compilados los textos aquí impresos, para el noble fin de la Buena Educación para el Buen vivir.

Michoacán, México, Primer edición estatal: Agosto de 2014.

Michoacán, México, Segunda edición estatal: Agosto de 2015.

Michoacán, México, Tercera edición estatal: Agosto de 2017.

Programa Democrático de Educación y Cultura para el Estado de Michoacán (PDECEM).

Comité Ejecutivo de la Sección XVIII del SNTE.

Oficinas Sindicales: Libramiento Sur 5400, Morelia, Michoacán.

Coordinación de la edición: Comisión de Gestión Educativa.

Diseño de pintura de la portada: Santiago Esteban Sánchez Quiroz.

En la construcción de la Propuesta Alternativa, se reconoce la participación de Colectivos Pedagógicos de la Secciones Democráticas del País, artistas, intelectuales, investigadores y militantes de organizaciones socia-les, comprometidos con la humanidad, con los derechos del pueblo, con la escuela pública y la lucha por la soberanía nacional y popular de nuestro México.

La publicación busca apegarse a las grandes definiciones que hemos adoptado a lo largo de más de cuatro décadas. Proceso en el cual definimos la defensa irrestricta de la escuela pública gratuita; la lucha por una educación integral, popular, humanista y científica; e inscribirnos en la lucha por un México con soberanía democrática y justicia social; por una buena educación y un SNTE democrático. Nuestros procesos de lucha siempre se han acompañado de la reflexión y debate de las ideas, la toma de posturas, la objeción fundamen-tada y la elaboración colectiva de propuestas autónomas. En ese marco, nuestros Cursos-Taller del Educador Popular y la sesiones de los Congresos de Educación y Cultura, son elementos nodales de la propuesta.

Llamamos a todos los Colectivos Pedagógicos a continuar la auto observación y la sistematización de la prác-tica docente, escolar y comunitaria, proceso con el cual renovamos la escuela pública y continuamos nuestra formación y construcción como educadores populares.

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Prólogo 2017

Los Libros de Texto Básicos, son parte del programa alternativo que los maestros de México y en particu-lar de Michoacán construimos desde hace más de 20 años, con el apoyo de múltiples colectivos de investi-gadores y artistas. Este modelo de educación popular cuenta con planes, programas, libros de texto alterna-tivos, desde el nivel preescolar hasta secundaria; con paquetes de recursos didácticos, construidos en pro-cesos colectivos de crítica, reflexión, argumentación, sistematización, elaboración socialización y puesta en práctica, en formas parcial e integral desde los pro-gramas: (Centros para el Desarrollo de la Creatividad, la Cultura, el Arte y el Deporte CDCCAD, Desarrollo Lingüístico Integral DLI, Escuelas Integrales de Edu-cación Básica EIEB, Colectivos Pedagógicos CP, Co-lectivo de Sistematización y en miles de Escuelas de Educación Básica) y respaldado desde foros, asam-bleas, Plenos, Talleres del Educador Popular, semi-narios y congresos populares de educación y cultura.

El PDECEM, es el proyecto de los trabajadores frente al modelo de educación neoliberal que pretende ex-tinguir la escuela pública, negando el derecho a una educación gratuita, legalizando cuotas escolares, con-virtiendo a todos los trabajadores de la educación en eventuales y empobreciendo al extremo programas de estudio y libros de texto. La reforma educativa, impo-ne: a) la hipoteca de las escuelas (escuelas al CIEN); b) condiciona el ingreso, la promoción y la perma-nencia en el ejercicio docente a una prueba punitiva; c) impone un nuevo recorte a la carga horaria en edu-cación secundaria y la desaparición de modalidades y subsistemas educativos; d) En el 2016 anunciaron un nuevo Modelo educativo, publicado en el Diario Oficial de la Federación en el 2017 los nuevos pro-gramas de estudio, los cuales intentaran implementar en el 2018.

Las reformas curriculares de la SEP son modelos edu-cativos de la ignorancia, para formar una sociedad en muchos sentidos analfabeta, desconocedora de su his-toria, de sus derechos humanos, sin identidad y con pobre desarrollo cultural, sociedad que calle, obedez-ca, no proteste, acepte salarios miserables y malos gobiernos. Promueve la llamada “inteligencia emo-cional”, negando la posibilidad de un conocimiento científico y de todo principio o creencia política y/o social. Su llamada educación de “calidad” no se re-fiere a una mejor educación, sino a la instrucción en “competencias”, acientífica. Suprime la tradicional educación “bancaria”, mecánico-memorística, por la instrucción empirista-azarosa, que induce a buscar

información en internet. Establece como fin, la for-mación de “capital humano”, Tiene como sustento la teoría de la complejidad de Edgar Morín cuya tesis principal es la indeterminación, la incerteza y en con-secuencia el creacionismo. Plantea como un “error” de la humanidad caminar con certezas.

Ese modelo de educación busca que la población mexicana: a) no cuente con herramientas intelectuales suficientes para entender como en la prolongada crisis económica mundial, unos cuantos han multiplicado sus riquezas de forma escandalosa empobreciendo al extremo a los pueblos; b) acepte las reformas estruc-turales que cancelan los derechos humanos más ele-mentales como el agua, el territorio, la alimentación, el trabajo, el salario y las energías; c) No proteste ante la privatización de sectores estratégicos e indispensa-bles para el desarrollo nacional como el petrolero, el eléctrico, de telecomunicaciones, financiero, de salud y educación.

Nos planteamos que la educación que imparta el Es-tado debe tender a la formación de ciudadanos cons-cientes. Dicha facultad humana de entender, inter-pretar y transformar la realidad ha de descansar en la apropiación, dominio y manejo ético de las ciencias, las humanidades y las artes. La evaluación desde la educación popular es el acto de reconocer socialmen-te los avances en los distintos niveles del pensar, los grados de interpretación y comprensión del funciona-miento de los múltiples fenómenos, de sus causas, de sus procesos y sus efectos, no puede ser externa a los actores del proceso educativo; debe propiciar perso-nas con un sentido común culto con criterio propio, reconocer los avances en la consciencia, ha de ser procesual, continua, contextual y formativa. Debe cu-brir el desarrollo cognitivo y lingüístico, habilidades y actitudes adquiridas, articulando el diseño comple-to desde el Modelo Social, Educativo, Pedagógico y Didáctico, así como las planeaciones comunitaria, de perfiles humanos y pedagógicos.

El Modelo alternativo proyecta un México soberano para el buen vivir, la felicidad y la justicia. Forma ni-ños y jóvenes con pleno desarrollo humano en su ser, pensar, hacer, sentir y decidir, cultos, de pensamiento libre, de acción colectiva, de compromiso patriótico y ética en favor de los derechos humanos y de la vida; ellos no son ni capital humano, ni máquinas vivientes. Desde el PDECEM nos asumimos parte de un mo-vimiento pedagógico mexicano, latinoamericano y mundial, que busca trascender enfoques anteriores de la teoría educativa rescatando lo mas noble y avanza-do de la educación popular y la dialéctica materialista.

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PROLOGO

Los Libros de Texto Básicos Alternativos

El libro de texto representa en nuestro proyecto educativo una herramienta didáctica de singular importancia, pues se compilan textos referidos a los contenidos u objetos de estudio; se trata de brindar elementos teóricos básicos que le sirven al educando. Cumple también una función coordinadora que permite sistematizar todos los procesos educativos que el alumno va desarrol-lando en la escuela. Reconociendo estas funciones del libro de texto, los trabajadores democráticos del país nos autorizamos y asumimos el compromiso de elaborar nuestros propios libros de texto que respondan didáctica y pedagógicamente a nuestro Programa Democrático de Educación y Cultura para el Estado de Michoacán.Los maestros democráticos hemos decidido apropiarnos de nuestra materia de trabajo. Editamos por varios años para el Pro-grama de Desarrollo Lingüístico de Lecto-escritura nuestro propio libro de texto, elaboramos el libro Nuestra Historia como materiales alternativos para enfrentar el modelo de educación neoliberal que distorsiona la enseñanza de la historia.

MATEMÁTICASEl proceso metodológico de la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas es complejo por que carece de un cuerpo teórico como modelo didáctico propio.

Este proceso ha transitado anclado al ritmo y trascendencia de los modelos didácticos psicopedagógicos o “paradigmas” enfo-cados con fortaleza y dinamismo al proceso de enseñanza y aprendizaje general del conocimiento de las disciplinas académi-cas y formativas, además de permear la política educativa del país.En la década de los 50´s a los 60´s predomino el modelo “tradicional” en el cual el “rol del docente” era transmisor verbal del conocimiento con métodos cohersivos. “el rol del alumno” memorista, receptor y pasivo. La metodología del proceso de aprendizaje iniciaba con la conceptualización temática, continuaba con la ejercitación y finalizaba con el examen. El análisis y la síntesis estaban ausentes, es decir; la inducción y deducción no eran importantes en la apropiación del conocimiento. El aprendizaje de las matemáticas no se ejercía a través de un proceso de razonamiento lógico. El principio sociológico sustenta-ba que “la educación era un privilegio de un reducido grupo social y que el desarrollo socioeconómico se alcanzaba con mano de obra barata”.

En las décadas de los 60´s a los 90´s trascendieron los modelos “conductista”, el cual pondera la tecnología educativa y los procesos de condicionamiento operante. El modelo “cognoscivista” cuyos creadores fueron: Brunner y Ausubel, en el cual el rol docente consiste en diseñar y dominar estrategias y experiencias didácticas como analogías, mapas conceptuales, resúmenes y sinopsis. El rol del alumno fue: activo, procesar información, poseer competencias cognitivas y alcanzar la metacognición. En la enseñanza de las matemá ticas, así como las otras disciplinas, el protagonista y expositor con autoridad se ostentaba en el “docente catedrático”, a pesar de estar auxiliando y apoyando con instrumentos y equipos tecnológicos,

da cuenta además, que el desarrollo del conocimiento matemático en los niveles “medio superior” y “superior” sólo es de interés de un porcentaje mínimo de estudiantes cuya inclinación es la formación en profesiones afines. Finaliza el S. XX e inicia el XXI y la política educativa se apropia del paradigma “constructivista” propuesto por Jean Piaget en el cual se otorga un papel activo al alumno quien deberá ser el constructor de sus conocimientos para alcanzar su aprendiza-je significativo. El docente es promotor del desarrollo y de la autonomía cognitiva del educando.

El conocimiento se origina en un proceso interaccionista dialectico entre el sujeto y el objeto de conocimiento a través de in-strumentos socioculturales denominados “herramientas psicológicas y/o procesos psicológicos superiores” (inducción, deduc-ción, análisis, síntesis, etc.) y “signos” (lenguaje y comunicación). Este proceso dialectico se ejerce en la escuela y la comuni-dad como medios socioculturales. Las matemáticas cobran relevancia al desarrollar estos procesos psicológicos superiores en los educandos, porque la dinámica que prevalece en su aprendizaje y comprensión, está apoyada en estos elementos, además del razonamiento lógico, la inferencia y la argumentación.

Como una propuesta innovadora y revolucionaria el paradigma “sociocrítico” propone la formación de un sujeto crítico, reflex-ivo, consciente, emancipador y ético. Esta propuesta ha contribuido en los modelos de “escuelas integrales” donde se pondera la educación popular. Profesor Félix Santiago Díaz Telesecundarias Colectivo democrático, Querétaro.

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Página

Portada 1

Créditos 2

Prólogo 3

Índice 5

Introducción 10

Principales Símbolos que utilizaremos en el curso 11

Figuras geométricas 12

Cuerpos geométricos 13

Áreas y perímetros 14

Volúmenes 15

Tabla de medidas 16

Tabla de conversiones y medidas 17

UNIDAD 1 18

Procedimiento metodológico 19

Palabras y conceptos 20

Principio de razón suficiente juicios por la relación: condicionales o hipotéticos; categóricos 21

Inferencia inmediata 22

Razonamiento disyuntivo 23

Inferencia inmediata 24

Sistema de numeración egipcio. 25

Número 26

Cifra y dígito 27

La divisibilidad 28

Simplificación de fracciones comunes 39

Representación gráfica de una fracción 43

Historia de la geometría 44

Recursos para el estudio de la geometría 46

Simplificación de fracciones comunes 47

El uso de los instrumentos de dibujo y medición 48

Clasificación de figuras geométricas regulares e irregulares 49

Rectas y puntos 50

Trigonometría. Definición 51

Producto de binomios conjugados 52

Producto de binomios con término común 53

Factorización 54

Diferencia de cuadrados 55

Conversión de unidades 56

Probabilidad y sus reglas 57

ÍNDICE

6

ÍNDICE

Probabilidad: conceptos 59

Muestra representantiva y variables estadísticas 60

Distribuciones de frecuencia 61

Unidad 2 62



Implicación 65

Inclusión 66

Inferencias inmediatas: equivalencias 68

Sistema de numeración romano 69

Sistema decimal - números hasta millones 71

Raíz cuadrada 75

Funciones trigonométricas 81

Círculo 82

Seno, coseno y tangente 83

Nociones básicas 84

Funciones trigonométricas 85

Factorización 88

La diferencia de cuadrados 89

Trinomio cuadrado perfecto 90

Sistemas de medición internacional e inglés 91

Recolección de datos 93

Tratamiento de datos 94

UNIDAD 3 95



Leyes de identidad - pensamiento lógico aristotélico 98

Leyes de identidad 99

Juicios por relación: Condiciones o hipotéticos / Disyuntivos y categóricos 100

Inferencias inmediatas 101

Sistema de numeración Babilónico 102

Representación en diversas formas de números hasta millones 104

Raíz cuadrada y métodos de aproximación 105

Errores de aproximación 106

Conversión de fracción a decimal y de decimal a fracción 107

Comparación de fracciones 108

Cálculo mental 109

El círculo 110

Rectas tangentes y secantes 111

Recta y segmento del círculo 113

7

ÍNDICE

Posiciones relativas de dos círculos 114

Trigonometría: Concepto de función de un ángulo agudo 115

Leyes de Identidad - Pensamiento lógico Aristotélico 117

Ecuaciones de segundo grado 118

Ecuaciones de segundo grado complejas 128

Resolución de la ecuación incompleta de segundo grado 129

Resolución de la ecuación de segundo grado 130

Interpretación gráfica de las raíces de una ecuación cuadrada 135

Ecuaciones de segundo grado complejas 136

Sistema métrico decimal 137

Organización de datos 140

Fenómenos que varían a tasa constante 142

UNIDAD 4 143



Juicios por modalidad 146

Juicio condicional 149

Inferencias inmediatas: oposición al predicado 148

Razonamiento categórico condicional 149

Sistema de numeración Maya 151

Leyes de Identidad - Pensamiento lógico Aristototélico 152

Leyes de Identidad 153

Adición de número fraccionarios 154

Resta de números fraccionarios 158

Multiplicación de números fraccionarios 160

Cálculo mental 166

Perpendiculares del radio tangente de un círculo 167

Ángulo inscrito en una semicircunferencia 168

Ángulo central en la circunferencia 169

Trigonometría: razones trigonométricas 170

Leyes de los exponentes 176

Potencia de un producto 177

Divisiones de potencias 178

Monomios 179

Polinomios 180

Unidades derivadas: la aceleración 181

Media artimética, mediana y moda 182

Mediana y moda 183

Mediana 184

Moda 185

8

ÍNDICE

UNIDAD 5 186



Juicios por modalidad: Juicios de posibilidad 189

Juicios condicionados y Sologísmos condicionales 190

Inferencias inmediatas: Cambio de relación 191

Sistema de numeración Azteca 192

Representación en diversas formas de números hasta millones 194

Raíz cuadrada de números decimales 197

Potenciación de fracciones 200

Cálculo mental 202

Dibujo a escala y homotecias 203

Área y volumen de una figura o sólido geométrico 207

Invariancia de los ángulos 219

Trigonometría: problemas de aplicación de las razones trigonométricas 220

Suma y resta de polinómios 222

Multiplicación de polinómios 223

Multipliación de un monomio y de un polinómio 224

División de polinómios 225

Unidades de temperatura 226

Probabilidad frecuencial 227

UNIDAD 6 228



Juicios por modalidad: Juicios de realidad o asertorios 231

Juicio condicional: exclusivos 232

Inferencias inmediatas: subordinación 233

Sistema de numeración binario 235

Representación de diversas formas hasta millones 237

Porcentajes 238

Razones y proporciones 242

Cálculo mental 248

Pirámires, conos y esferas 249

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 251

Factorización 254

Polinomios de segundo grado 263

Unidades de velocidad 266

Polinomios de segundo grado 267

Unidades de velocidad 268

UNIDAD 7 269

9

ÍNDICE



Juicios por modalidad: de necesidad o apodícticos 272

Interrogación 273

Inferencias 274

Razonamientos de relación 276

Sistema de numeración trinario 277

Variación proporcional 278

Cálculo mental 290

Pirámides, conos y esferas 291

Cálculo de la diagonal de cubos y paralelepipedos de la altura 294

La arista o la apotema de las pirámides y conos de revolución 296

Trigonometría: seno, coseno y tangente 302

Valores de seno, coseno y tangente 303

Semejanza y teorema de Pitágoras 305

Unidades de fuerza 326

Unidades derivadas: fuerza 327

Diagrama de árbol 328

UNIDAD 8 329



Juicios por relación 332

Exhortación 333

Inferencias inmediata: consecuencia modal 334

Errores en los razonamientos 335

Sistema de numeración quinario o base 5 336

Fracciones algebráicas 337

Cálculo mental 338

Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas 339

Solución de ecuaciones cuadráticas 340

Discriminante y solución de ecuaciones cuadráticas 341

Unidades de energía 342

Problemas por simulación 343

344

10

INTRODUCCIÓN

En toda la actividad humana interviene de algún modo el conocimiento matemático: desde la tarea cotidiana más elemental, como la que lleva a cabo el pastor que, aún sin conocer

los números, sabe cuantas ovejas integran su rebaño, hasta los cálculos más complejos de

la tecnología espacial, como los que realiza el científico para hacer que una nave llegue a los confines del sistema solar.

Y es que las ideas y los conceptos matemáticos, incluso los más abstractos, no son sino resultado de la atenta observación de ciertos hechos de la realidad, en los que el hombre ha

descubierto un orden y una regularidad inalterables: la sucesión del día y la noche, el cam-bio de las estaciones, el movimiento de los astros y otros, es decir, de lo que ha percibido a

través de sus sentidos desde el inicio de su elevación como especie.

Uno de los objetivos del estudio de las matemáticas, es que sea una herramienta eficaz que

permita expresar en términos cuantitativos ciertos fenómenos de la realidad física y social,

es decir, se pretende dotar con un conjunto de métodos y un lenguaje simbólico que sirvan para organizar y expresar ideas de modo preciso y coherente. De la misma manera la for-

mación del razonamiento lógico matemático será la base del desarrollo intelectivo, a tra-

vés del análisis de las relaciones entre el aspecto cualitativo de los fenómenos naturales y sociales y su dimensión cuantificable.

Para tal efecto, se propone realizar observaciones, experimentos y comparaciones, así co-mo formular preguntas sobre la posición, las dimensiones y el movimiento de los objetos;

se espera que de este modo los estudiantes adquieran conceptos, nociones y categorías so-bre los fenómenos de la realidad, que en un momento dado le sirvan de fundamento para

obtener conclusiones aplicables a la solución de problemas de la vida cotidiana.

MATEMÁTICAS

11

PRINCIPALES SÍMBOLOS QUE UTILIZAREMOS EN EL CURSO

12

ParalelogramoParalelogramoRomboRomboCircunferenciaCircunferencia

DecágonoDecágonoOctágonoOctágonoHeptágonoHeptágono

HexágonoHexágonoPentágonoPentágonoTriánguloTriángulo

TrapecioTrapecioRectánguloRectánguloCuadradoCuadrado

FIGURAS GEOMÉTRICAS

13

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Pirámide Prisma Cubo

Cono Cilindro Esfera

Pirámide

Hexagonal

Prisma reto

triangular Octaedro

14

ÁREAS Y PERÍMETROS

´

15

VOLÚMENES

16

TABLAS DE MEDIDAS

LONGITUD

Sistema métrico Sistema ingles

10 milímetros = 1 centímetro 25 centímetros = 1 pulgada

10 centímetros = 1 decímetro 30.48 centímetros = 1 pie (25 pulgadas) 10 decímetros = 1 metro 91 .44 centímetros = una yarda (3 pies)

1000 metros = un kilometro 16 093 kilómetros = 1 milla

PESO


1000 miligramos = 1 gramo 16 onzas = 1 libra

1000 gramos = 1 kilogramo 100 libras = 1 quintal 1000 kilogramos = 1 tonelada métrica 2000 libras = 1 tonelada corta

CAPACIDAD


1000 mililitros = 1 litro 2 pintas = 1 cuarto

10 litros = 1 decalitro 4 cuartos = 1 galón 1 galón = 3,785 litros

TIEMPO

60 segundos = 1 minuto 52 semanas = 1 año

60 minutos = 1 hora 12 meses = 1 año

24 horas = un dia 365 días = 1 año

7 días = 1 semana 366 días = 1 año bisiesto

´

´

´

17

TABLA DE CONVERSIONES Y MEDIDAS

MEDIDAS LINEALES

1 milla = 1609.35 m.

1 furlong = 201.1644 m.

1 pole = 5.029 m.

1 yarda = 0.9144 m.

1 pie = 0.3048 m.

1 pulgada = 0.0254 m.

1 m. = 0.0006214 milla

1 m. = 0.004971 furlong

1 m. = 0.19885 pole

1 m. = 1.0936 yardas

1 m. = 3.2808 pies

1 m. = 39.37 pulgadas

MEDIDAS SUPERFICIALES

1 milla² = 2589900 m² 1 acre = 4046.8 m² 1 rod² = 25.293 m² 1 yarda² = 0.8361 m² 1 pie² = 0.0929 m² 1 pulgada² = 0.000645 m²

1 m² = 0.0000003861 milla²

1 m² = 0.0002471 acre

1 m² = 0.03954 rod²

1 m² = 1.196 yarda²

1 m² = 10.7638 pies²

1 m² = 1550 pulgadas²

MEDIDAS CUBICAS

1 cord = 3.624 m³

1 yarda³ = 0.7645 m³

1 pie³ = 0.028317 m³

1pulgada³ = 0.00001639 m³

1 m³ = 0.276 cord

1 m³ = 1.308 yarda³

1 m³ = 35.3145 pies³

1 m³ = 61012.81 pulgadas³

MEDIDAS DE CAPACIDAD

Para líquidos

1 galón U. S. = 3.7854 litros

1 cuarto U. S. = 0.94636 litro

1 pinta U. S. = 0.47312 litro

1 gill U. S. = 0.11828 litro

1 litro = 0.26418 galón U. S.

1 litro = 1.05671 cuartos U. S.

1 litro = 2.11345 pintas U. S.

1 litro = 8.4538 gills U. S.

Para áridos

1 bushel U. S. = 35.237 litros

1 peck U. S. = 8.80925 litros

1 cuarto U. S. = 1.1012 litros

1 litro = 0.02838 bushel U. S.

1 litro = 0.1135 peck U. S.

1 litro = 0.908 cuarto U. S.

MEDIDAS DE PESO

1 tonelada U. S. = 907.18 kg.

1 quintal U. S. = 45.359 kg.

1 libra U. S. = 0.45359 kg.

1 onza U. S. = 0.028349 kg.

1 kg. = 0.00110232 tonelada U. S.

1 kg. = 0.0220463 quintal U. S.

1 kg. = 2.2046 libras U. S.

1 kg. = 35.2736 onza U. S.

TABLA DE CONVERSIÓN DE MEDIDAS DEL SISTEMA ANGLO-AMERICANO

AL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

´

´

18

UNIDAD 1

“LA ALIMENTACIÓN EN EL MUNDO”

19

LECTURA MATEMÁTICA DEL CONTEXTO, CONSTRUCCIÓN

PROBLÉMICA Y REPRESENTACIÓN ABSTRACTA DEL CONTEXTO

MANEJO DEL LENGUAJE

MATEMÁTICO

MANEJO DE PALABRAS CLAVE

MANEJO CONCEPTUAL DEL LENGUAJE MATEMÁTICO

CARACTERIZACIÓN, APROPIACIÓN Y DOMINIO

DE LA CIENCIA, LA TEORÍA, TEOREMAS Y PROCEDIMIENTOS

MATEMÁTICOS

REFLEXIÓN MATEMÁTICA,

CONSTRUCCIÓN DE INFERENCIAS

CONSTRUCCIÓN Y RESOLUCIÓN DE

PROYECTOS EN PLANOS DE TRANSFORMACIÓN SOCIAL

O DEL ENTORNO ECOLÓGICO

CONSTRUCCIÓN DE MODELOS

CORRELACIÓN ENTRE RAMAS MATEMÁTICAS

CORRELACIÓN DE LAS

MATEMÁTICASCON OTRAS DISCIPLINAS

CONSTRUCCIÓN DE CONCLUSIONES Y/O INFERENCIAS SOBRE LAS CORRELACIONES

CIENTÍFICAS

HACIA UN PROCEDIMIENTO

MATEMÁTICO GENERAL

CONTEXTUALIZAR DESDE LO OBJETIVO CONCEPTUALIZACIÓN

CONSTRUCCIÓN DEL OBJETO DE ESTUDIO

CUERPO DEL CONOCIMIENTO

HUMANO

20

EJE TEMÁTICO PALABRAS CLAVE CONCEPTOS

LÓGICA Y CONJUNTOS Lógica tradicional Conversión ObversiónContraposiciónInversión CompatibleIncompatible Negar Proposición Proposicional

CONVERSIÓN.-Conversión es un término con origen en el latín conversio que hace referencia a la acción y efecto de convertir o convertirse.INVERSIÓN.-La inversión del plano respecto de una cir-cunferencia es una transformación biyectiva y continua del plano en sí mismo. En análisis complejo está relacionado con las transformaciones de Möbius. El concepto es usado en problemas de geometría euclidiana y aparece de forma natural en las geometrías proyectiva e hiperbólic

ARITMÉTICA Sistema de numeración.SímboloProblemaUnidadValorPotenciaFórmulasEcuacionesdeterminantes

VALOR ABSOLUTO.-El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y de -3. El valor absoluto está relacio-nado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.

VALOR RELATIVO.-El valor relativo de un número es el valor que le corresponde por el lugar que ocupa en la recta numérica.

GEOMETRÍA TrazosÁreasVolúmenesPolígonosSuperficieÁnguloPoliedroesfera

POLÍGONO.– Poli, que puede traducirse como “muchos”, y gono que es sinónimo de “ángulo”. poli, que puede traducirse como “muchos”, y gono que es sinónimo de “ángulo”. Muchos ángulos. POLIEDRO.– Cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito.

ÁLGEBRA FórmulasBinomio TrinómioSimétrico Término común VariableExponente Multiplicado DivisorDiferencia Exacto

BINOMIO.- es una expresión algebraica formada por la suma de dos monomios. TRINOMIO.-Es la suma indicada de tres monomios, es decir, un polinomio con tres términos que no puede sim-plificarse más.

MEDICIÓN CalcularImpuestoÁreasConversiónPirámidesMedir EquivalenciaConversión de unidades

CALCULAR.-Consiste en realizar las operaciones nece-sarias para prever el resultado de una acción previamente concebida, o conocer las consecuencias que se pueden derivar de unos datos previamente conocidos. CONVERSIÓN.– Es la transformación del valor numérico de una magnitud física, expresado en una cierta unidad de medida, en otro valor numérico equivalente y expresado en otra unidad de medida de la misma naturaleza.

PROBABILIDAD Y ESTADÍS-TICA

Predecir eclipsesVariableProbabilidadRelatividadDistribución binomialEstadística descriptiva

RELATIVIDAD.-La relatividad alude a aquello que posee la cualidad de ser relativo, por oposición a lo que es abso-luto; o que es lo que es, en relación a una persona, cosa o circunstancia. BINOMINAL.- En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Ber-noulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

PALABRAS Y CONCEPTOSUNIDAD 1

21

El principio de razón suficienteEste principio, a diferencia de los otros, no fue planteado por Aristóteles, sino por el filósofo alemán Wilhem Leibniz (1646-1716).El principio de razón suficiente nos dice que “todo objeto debe tener una razón suficiente que lo explique”. Lo que es, es por alguna razón, “nada existe sin una causa o razón determinante”. Dice Leibniz en su Monadología:Nuestros razonamientos están fundados sobre dos grandes principios: el de contradicción, en virtud del cual juzgamos falso lo que implica contradicción, y verdadero lo que es opuesto o contradictorio a lo falso, [...] y el de razón suficiente, en virtud del cual consideramos que no podría hallarse ningún hecho verdadero o existente, ni ninguna enunciación verdadera, sin que haya una razón suficiente para que sea así y no de otro modo. Aunque estas razones en la mayor parte de las cosas no pueden ser conocidas por nosotros.El principio de razón suficiente nos da respuesta a una exigencia natural de nuestra razón, según la cual nada puede ser nada más “porque sí”, pues todo obedece a una razón. Pongamos algunos ejem-plos que ilustran este principio lógico supremo: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos por alguna razón, y esa razón se nos da cuando hacemos la demostración del teorema [de Pitágoras]. Los planetas se mueven en órbitas elípticas por alguna razón, y esa razón aparece cuando acudimos a la ley de la Gravitación Universal. La Revolución mexicana se produjo por alguna razón, y esa razón surge cuando estudiamos sus antecedentes y consecuencias. En suma, el principio de razón suficiente nos dice: “todo tiene una razón de ser”.

Juicio Por la Relacióna) CategóricosSon aquellos en los que la relación sujeto – predicado se nos ofrece sin condiciones. Son juicios no sujetos a otra condición.Ejemplo: Los minerales son seres inertes. (No lo condicionamos a nada)b) HipotéticosSon aquellos en los que la relación sujeto – predicado se establece condicionalmente. Se hace un enunciado cuya veracidad depende siempre de una condición.Ejemplo: Si llueve, la cosecha será buena.c) DisyuntivosSon aquellos en los que se afirma alternativa o exclusivamente uno u otro predicado, o varios predi-cados.Ejemplo: Juan es estudiante o profesor.

Principio de razón suficiente juicios por la relación: condicionales o hipotéticos; categóricosE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

UNIDAD 1

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Inferencias inmediatas

La lógica aristotélica consideraba la posibilidad de inferencias inmediatas: aquellas que pueden obtenerse directamente a partir de la relación que establece un juicio7 respecto a los términos, sujeto y predicado, que le constituyen, en función de la cualidad (afirmativo-negativo) y la cantidad (univer-sal-particular) del mismo.

Aristóteles estudió con detalle ciertas operaciones que permitían tales inferencias inmediatas o dir-ectas. Para ello elaboró el llamado cuadro de oposición de los juicios, en el que dadas las relaciones que cada juicio aristotélico, A,E,I,O, lleva implícitas se pueden establecer ciertas inferencias directas. Asimismo en la lógica tradicional se admitían ciertas operaciones lógicas de transformación de un juicio manteniendo sus condiciones de verdad. Tales operaciones eran:

Conversión lógicaObversión lógicaContraposición lógicaInversión lógica

La lógica tradicional aristotélica no resuelve del todo bien los problemas que surgen de los juicios negativos por lo que este tipo de operaciones lógicas se prestan a argumentaciones que producen resultados aberrantes.

La lógica actual formaliza los enunciados lingüísticos bien como relación de clases o como funciones proposicionales o relaciones. Hoy se exige el rigor formal de la aplicación de una regla de inferen-cia. La idea de inferencia inmediata no es más que la aplicación de una regla modo implícito. La formalidad lógica, sin embargo, exige que sea explícita la regla que permite la transformación de una EBF.

En la lógica actualSe llama inferencia lógica a la aplicación de una regla de transformación que permite transformar una fórmula o expresión bien formada (EBF) de un sistema formal en otra EBF como teorema del mismo sistema. Ambas expresiones se relacionan mediante una relación de equivalencia, es decir, que ambas tienen los mismos valores de verdad o, dicho de otra forma, la verdad de una coimplica la verdad de la otra.

Inferencia inmediataE.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

UNIDAD 1

23

Razonamiento disyuntivo se basa en el carácter disyuntivo de la lógica proposicional para el razonamiento. Proposición disyuntiva con la compatibilidad e incompatibilidad de los puntos, por lo tanto, el razonamiento disyuntivo en compatibles e incompatibles disyuntiva Razonamiento disyuntivo dos tipos. Razonamiento di-syuntivo Compatibilidad Razonamiento disyuntivo compatibilidad es compatible con la premisa de una prop-osición disyuntiva, de acuerdo con la lógica de proposiciones carácter disyuntivo compatible de razonamiento. Hay dos reglas de inferencia disyuntiva compatibles: Regla 1: parte negativa de la rama disyuntiva, debemos sin duda otra parte de la rama disyuntiva. Regla 2: sin duda parte de la rama disyuntiva, no se puede negar a otra parte de la rama disyuntiva. Según las reglas, el razonamiento disyuntivo compatibilidad es sólo una forma correcta, es decir afirmativa negativo:

Ejemplo 1 partidos compatibilidad regla de inferencia disyuntiva “no forma parte de la rama disyuntiva, se debe sin duda otra parte de la rama disyuntiva”, por lo que, este razonamiento es correcto, y el caso 2 es un razonamiento disyuntivo compatible viola las reglas, no es corregir. Como proposición disyuntiva compatible rama disyuntiva “Kim Min maestros” y “Kim Min es un abogado” puede ser ambas verdaderas, por lo que definitivamente “Kim Min es un maestro,” no se puede negar “, dijo Kim Min es un abogado.” Razonamiento disyuntivo Incompatible Razonamiento disyuntivo Incompatible proposición disyuntiva es incompatible en la premisa, según la lógica de la proposición disyuntiva naturaleza incompatible de razonamiento. Hay dos reglas de inferencia disyuntiva incompatibles: Regla 1: parte negativa de la rama disyuntiva, debemos sin duda otra parte de la rama disyuntiva. Regla 2: sin duda parte de la rama disyuntiva, que se niegue a otra parte de la rama disyuntiva. Según las reglas, hay dos forma correcta razonamiento disyuntivo incompatibles:

Razonamiento disyuntivoE.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

UNIDAD 1

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El faraón Menes unificó los reinos hacia el año 2500 a.C., fundando la primera dinastía. Los egipcios crearon la más antigua escritura que se conoce, la escritura jeroglífica desarrollada sobre la base de dibujos que representaban de alguna manera la idea del número o idea que se quería representar. Los documentos más importantes que han sobrevivido son dos papiros bastante extensos, uno llamado papiro de Rhind y el de Mosú, ambos datan hacia el año 1700 a.C., su contenido son el planteamiento de problemas matemáticos y sus soluciones.

Esta cultura desarrolló su sistema de conteo muy original de base diez (10), contando por decenas, la unidad era representada por el signo /, la decena por el signo Ç , cada símbolo podía repetirse hasta nueve veces y el número representado se encontraba sumando los valores de cada uno de los jeroglíficos o símbolos empleados.8 Para repre-sentar otros números, se colocaban estos símbolos uno al lado de otro formando las combinaciones adec-uadas.

El principio de la numeración egip-cia estaba compuesto de siete signos sencillos, que cualquier persona podía interpretar y realizar con ellos cuentas, aún si ésta no supiera leer ni escribir, pero no se tenía plenamente identificado el concepto del valor posición, que se podía escribir e interpretar en ambos sentidos.. En la Figura No. 5 se representan los símbolos numéricos jeroglíficos.

Características del sistemas de numeración egipcia, jeroglíca

Las reglas para representar una cantidad en este sistema son:

a) Cada símbolo puede repetirse hasta nueve veces.

b) Si un símbolo debe escribirse más de cuatro veces, entonces no debe escribirse en una sola línea sino en dos o más renglones.

1. Agrupamientos de 10 en 10 (sistema decimal).

Como puedes observar, después de la uni-dad, los valores de los símbolos se obtie-nen multiplicando 10 por sí mismo varias veces. Es un sistema de base 10.

Uso del principio aditivo. Consiste en que, al escribir dos o más sím-bolos juntos, se suman los valores asigna-dos a cada símbolo.

No se utiliza un principio de posición.

No consideraban la posición de los símbo-los, es decir, los símbolos de una cantidad podían ser escritos de derecha a izquierda o de izquierda a derecha.

Inferencia inmediataE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 1

1=

2=

3=

4=

5=

10 =

20 =

30 =

40 =

50 =

100 =

200 =

300 =

400 =

500 =

1000 =

2000 =

3000 =

4000 =

5000 =

25

Los símbolos básicos del sistema de numeración jeroglífico-egipcio son:

El imperio egipcio utilizó las matemáticas en la administración estatal al calcular los impuestos que debían tributar sus súbditos, en la construcción de los templos, en el comercio calculando volúmenes de graneros y la geometría en las áreas cultivadas de los campos y sus monumentales pirámides funer-arias. El sistema de numeración egipcio también manejó las cifras fraccionarias, estas se representaban con el signo de una boca para expresar, uno partido por, y seguido del número denominador, el nu-merador siempre era la unidad.Algunos ejemplos de este tipo de numeración son los siguientes: 10Expresar los números 33, 57

Expresar el número 42, 75 = > se expresa en número mixto 42 ½ ¼

Expresar el número 124 100

El imperio egipcio utilizó las matemáticas en la administración estatal al calcular los impuestos que debían tributar sus súbditos, en la construcción de los templos, en el comercio calculando volúmenes de graneros y la geometría en las áreas cultivadas de los campos y sus monumentales pirámides funerarias. En la Figura No. 6 se muestran los símbolos de los diez números naturales en escritura hierática.

Sistema de numeración egipcioE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 1

26

NUMERO: Un número, en ciencia, es una abstracción que representa una cantidad o una magnitud. En matemáticas un número puede representar una cantidad métrica o más generalmente un elemento de un siste-ma numérico o un número ordinal que representará una posición dentro de un orden de una serie determinada. Los números complejos son usados como una herramienta útil para resolver problemas algebraicos y que algebraicamente son un mero añadido a los números reales que a su vez ampliaron el concepto de número ordinal.

También, en sentido amplio, indica el carácter gráfico que sirve para representarlo; dicho signo gráfico de un número recibe propiamente la denominación de numeral o cifra. El que se escribe con un solo guarismo se llama dígito.

El concepto de número incluye abstracciones tales como números fraccionarios, negativos, irracionales, tras-cendentales, complejos y también números de tipo más abstracto como los números hipercomplejos que generalizan el concepto de número complejo o los números hiperreales, los superreales y los surreales que incluyen a los números reales como subconjunto.

La teoría de los números trata básicamente de las propiedades de los números naturales y los enteros, mientras que las operaciones del álgebra y el cálculo permiten definir la mayor parte de los sistemas numéricos, entre los cuales están:

Números naturalesNúmero primoNúmeros compuestosNúmeros perfectosNúmeros enterosNúmeros negativosNúmeros paresNúmeros imparesNúmeros racionalesNúmeros realesNúmeros irracionalesNúmeros algebraicosNúmeros trascendentes:πe

NúmeroE.T. ARITMÉTICA

Extensiones de los números reales

Números complejosNúmeros hipercomplejosCuaternionesOctonionesNúmeros hiperrealesNúmeros superrealesNúmeros surrealesNúmeros usados en teoría de conjuntosNúmeros ordinales

Números cardinalesNúmeros transfinitos

UNIDAD 1

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Un dígito es un número que puede expresarse usando un numeral o guarismo de una sola cifra.1En el sistema decimal son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Así, 157 se compone de los dígitos 1, 5 y 7. El nombre dígito proviene del latín dígitus dedo, porque los 10 dedos corresponden a los 10 dígitos en el sistema numéri-co común en base 10, esto es, un dígito decimal.

En matemáticas y ciencia de la computación, un dígito numérico es un símbolo, v.gr. ‘3’, que usado en combi-naciones, v.gr. “37”, representa números (enteros o reales) en sistemas de numeración posicionales.Por tradición, al menos desde la época del Antiguo Egipto, se utiliza el sistema decimal, debido al arcaico uso de los diez dedos para ayudarse a contar, aunque no hay ninguna razón especial para que un sistema de nu-meración deba utilizar la base diez.

En el sistema decimal se necesitan 10 dígitos, aunque tienen diferente valor en función de su posición, pues se agrupan de diez en diez, esto es, mediante decenas (101), centenas (102), millares (103) y así, sucesivamente. Este método de notación posicional, agrupando de diez en diez, proviene de la India, y fue transmitido a Occi-dente por los matemáticos musulmanes durante la Edad Media.

El más simple es el sistema binario, que sólo precisa dos dígitos, generalmente representados por 0 y 1; en el sistema binario se agrupan de dos en dos: dos (21), cuatro (22), y así, sucesivamente. Es un sistema profusa-mente empleado en informática.

Ejemplos de dígitos incluyen cualquiera de los caracteres decimales desde “0” hasta “9”, o de los caracteres del sistema binario “0” o “1”, y los dígitos “0”...”9”, “A”,...,”F” usados en el sistema hexadecimal. En un siste-ma de numeración dado, si la base (radical, en inglés en:radix) es un entero, el número de dígitos necesarios, incluyendo al cero, es siempre igual al valor absoluto de la base.

REPRESENTA CON DIVERSAS OPERACIONES , NÚMEROS DE HASTA MILES DE MILLONES

100 X 1 000 X 1 000 X 3 000 = 300 000 000 000

Cifra y dígitoE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 1

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La divisibilidadE.T. ARITMÉTICA

LA DIVISIÓN

UNIDAD 1

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COCIENTE EXACTO

UNIDAD 1

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División entera o euclidiana

UNIDAD 1

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Ejemplo

Nota. Téngase presente que el resto es siempre menor que el divisor, y en el caso de la división exacta, el resto es igual a 0.

Relación entre el dividendo, divisor y resto

En toda división entera, el dividendo es igual a cociente por el divisor, más el resto

En símbolos:

Prueba de la división entera

La relación precedente, al verificarse, permite la prueba de la divisón entera.

Ejemplo


UNIDAD 1

Algoritmo de la división

Cuando el divisor es un numero formado por varias cifras, la división se efectúa en la forma siguiente: 1. Se toman tanta cifras del dividendo, a partir de La izquierda, como sea necesarias para que formen

un numero igual o mayor que el valor numérico del divisor; se efectúa la división y se obtiene así la primera cifra del cociente. Esta será escrita exactamente arriba de la última cifra que forma el primer dividendo parcial.

2. El primer número cociente será aquel que, multiplicado por el divisor, dé un producto igual o menor que el dividendo parcial con el que se ésta trabajando; si no es igual, la diferencia que exista tendrá que ser menor que el numero del divisor; esta diferencia se llama residuo, y se escribe debajo de las cifras del dividendo parcial.

3. Como el residuo (si lo hay) siempre es un número menor que el divisor, para poder continuar la división se le agrega la siguiente cifra de derecha del dividendo, bajándola para formar un número mayor que pueda contener al divisor.

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UNIDAD 1

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Observaciones sobre algunos casos de división

UNIDAD 1

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UNIDAD 1

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UNIDAD 1

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UNIDAD 1

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UNIDAD 1

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UNIDAD 1

1. 3 x = 45

2. 15 x = 105

3. 6 y = 108

4. 14 y = 108

5. 15 z = 465

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Calcule el valor de la incógnita en las siguientes ecuaciones:

39

Simplificación de fracciones comunesE.T. ARITMÉTICA

Números fraccionarios

UNIDAD 1

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UNIDAD 1

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UNIDAD 1

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Fracciones propias

UNIDAD 1

43

Representación gráfica de una fracciónE.T. ARITMÉTICA

Fracciones propias

UNIDAD 1

44

ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA

La idea de extensión, de situación y de formas son tan antiguas como el hombre mismo. La historia de las matemáticas está ligada al estudio de la astronomía en todos los pueblos antiguos entre los que podemos señalar Mesopotamia y los Pueblos chino, hindú, árabe, egipcio y griegos.

Con el establecimiento de grupos humanos en lugares fijos, surgió para el hombre el primer problema geométri-co, la necesidad de medir a fin de poder conocer sus propiedades, construir sus viviendas, sus templos y sus tum-bas, ello obligó al hombre a buscar reglas y fórmulas sencilla que aún cuando no constituían un estudio detallado y sistemático le ayudaban a resolver fácilmente sus problemas.

Asirios BabiloniosCon el nombre de Mesopotamia se conoció en la antigüedad el país comprendido entre los ríos Éufrates y Tigris en el Asia Occidental, hoy esta parte es el país de Irak. Los pueblos que habitaron a Mesopotamia, sumerios, arcadios, asirios y babilonios dejaron huella perdurable de sus conocimientos incrustando extraños signos cune-iformes en tablillas de arcilla, millares de las cuales sirvieron para realizar cálculos y trazos.

Los sumerios fueron ciudades gobernadas por reyes, sacerdotes que pertenecieron a la raza semi-amarilla cuyo origen era asiático. Hicieron grandes obras, canalizaron las aguas de sus ríos al igual que el pueblo egipcio hizo con las aguas del río Nilo, su ganadería y su agricultura y obtuvieron gran auge, organizaron el comercio, crearon la escritura cuneiforme, ordenaron su calendario, además crearon un sistema ordenado de medidas y numeración.

En la época de mayor esplendor irrumpieron los Arcadios y vencieron formando el primer imperio mesopotámi-co y originaron una nueva religión sobre la adoración de los astros; a los Arcadios sucedieron los Amoritas con su rey Hammurabi quien dictó al país leyes muy sabias. Los Amoritas fueron vencidos por los asirios que se mostraron crueles y bárbaros, pero que hicieron florecer la cultura y la arquitectura.

A este pueblo sucedió el pueblo Caldeo, que engrandeció a Mesopotamia con su arte y cultura. Seis siglos antes de Jesucristo ya usaban una numeración cuneiforme; se le atribuye el descubrimiento de las medidas de lon-gitud; usaron el Gar, que equivale a 12 brazos, posteriormente llegaron otros pueblos como los Helamitas, los Guti, los Hatitas, pero no tuvieron importancia de los anteriores.

Todos los pueblos que invadieron Mesopotamia influyeron de algún modo sobre su cultura sobre todo en con-ocimientos de astrología adivinatoria con la cual los calderos predecían los eclipses. También dejaron muestra de su arquitectura en las tumbas reales, templos palacios, canales, casas particulares, fortificaciones que con-struyeron con ladrillos secados al sol o cocidos y unidos por un orgamaso de betún.

En la Mesopotamia todos los estudios dirigen principalmente la mirara al cielo, calculan con anticipación los eclipses de sol y de luna, examinan y establecen el calendario, tienen pleno conocimiento de los ángulos bajos cuales aparecen y se ponen los astros, conocen la trayectoria recorrida por los planetas.

En geometría sus conocimientos prácticos fueron más limitados, conocían correctamente el área de los triángu-los, rectángulos y trapecios. El volumen de prismas rectos y de pirámides de base cuadrada, poseían nociones de semejanza de triángulos y posiblemente de algún caso particular del teorema de Pitágoras.

Historia de la geometríaE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 1

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Pueblo ChinoA sido muy difícil sacar limpio los adelantos de los chinos en matemáticas creían que ese era un privilegio de los dioses y no lo divulgaban, parece que por el año 1105 a. de c., se escribió el libro sagrado de la aritmética. En el siglo XII de nuestra era ya resolvían ecuaciones de 1º, 2º, 3º y 4º grado, y aplicaron el método de determinantes.

Pueblo HindúDejó huella de sus conocimientos matemáticos en la construcción de sus altares; fueron los primeros en conocer la posición de las cifras (valor relativo de los números), conocieron la fórmula de Herón para encontrar la super-ficie del triángulo y resolvieron ecuaciones 1º y 2º grado.

Pueblo Árabe Al invadir Europa se dieron a conocer su numeración, pero ellos a su vez la habían tomado d los hindúes; lo perfeccionaron e interpretaron más correctamente. El valor absoluto y relativo de las cifras; esta numeración es la que utilizamos y recibe el nombre de numeración arábiga.

Egipcios El conjunto de los conocimientos geométricos de los egipcios era más amplio que el de los asirios babilonios; una antigua opinión transmitida por Erodoto, atribuye el nacimiento de la geometría a la necesidad de medir las tierras de labranza, después de cada crecida del río Nilo, que podía alterar sus límite sin modificar su extensión, a fin de que el pago de los impuestos al rey fuera equitativo. Así como el volumen de un tronco, poliedros, pirámides de base cuadrada y aproximadamente el volumen de una esfera. Adoptaron como valor de 3.1604 que comporta un error por exceso relativamente pequeño.

Conocían también la relación pitagórica seguramente en su caso particular de lados 3, 4, y 5; y que lo utilizaron como escuadra, ya hablaban de la cotangente y sabían usar el compás. Aplicaban también sus conocimientos matemáticos en la construcción de las pirámides, conocían problemas de regla de tres, ya tenían fórmulas para la superficie del triángulo y del trapecio isósceles en los que cometían el error de tomar los lados iguales como altura

Los servidores del rey que medían las superficies de las tierras de labranza cerca del Nilo utilizaban para sus operaciones un cordel y recibían el nombre de tendedores de cuerdas siendo el cordel utilizado por ellos como regla y escuadra.

Griegos La geometría fue introducida a los griegos por el fenicio Tales de Mileto, que nació en el año 639 y murió en el 548 a. de c., fue uno de los siete sabios instruidos en Egipto donde sobre pasa a sus maestros y según la leyenda emociona al rey Amasis al calcular la altura de las pirámides conociendo la sombra que proyectan. Tales vuelve a Mileto para formar y fundar la escuela Jónica, con la que se inicia la matemática a esta escuela se le atribuye la teoría de los triángulos semejantes. Determinó que dos triángulos son iguales si tienen un ángulo igual formado por lados respectivamente iguales; hizo estudios sobre triángulos semejantes y proporcionalidad. Determinó que en un triángulo isósceles los ángulos opuestos o lados iguales son iguales. Hizo la demostración del siguiente teorema: si dos rectas se contraen entre sí los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Los pueblos mencionados se preocuparon por medir, resolver problemas particulares y demás aplicaciones de las matemáticas. Los matemáticos griegos se dieron cuenta que no era posible construir esta ciencia basándose únicamente en experimentos y casos específicos, ellos mediante razonamientos lógicos partiendo de conceptos ya aceptados llegaron a multitud de propiedades geométricas.

Historia de la geometríaE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 1

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Recursos para el estudio de la geometríaE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 1

47

Simplificación de fracciones comunesE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 1

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7.3 EL USO DE LOS INSTRUMENTOS DE DIBUJO Y MEDICIÓN

El uso de los instrumentos de dibujo y mediciónE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 1

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Una figura geométrica (también se la puede denominar lugar geométrico) corresponde a un espacio cerrado por líneas o por superficies.Las figuras geométricas de lados rectos se denominan polígonos y las figuras de lados curvos se denominan círculo y circunferencia y corresponden también a polígonos.Es importante recordar que las formas sólidas o tridimensionales corresponden a los cuerpos geométricos y se denominan poliedros, como el cubo y la pirámide, y a los cuerpos redondos, como la esfera y el cilindro.Según las características de las figuras geométricas (polígonos) se pueden establecer varias clasifi-caciones. Según la medida de sus lados y ángulos, los polígonos pueden ser regulares e irregulares. Un polígono es regular si todos sus lados poseen la misma longitud y si todos sus ángulos son igua-les.

Ejemplos:

Lados diferentes Ángulos diferentes

Polígonos regulares

Irregulares

Clasificación de figuras geométricas regulares e irregularesE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 1

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El punto es el elemento base de la geometría, porque con él determinamos las rectas y los planos. Podemos definirlo también, como la intercesión de dos líneas, sirve para indicar una posición y no tiene dimensión.Recta: La recta propiamente dicha se caracteriza porque los puntos que la forman están en la misma dirección. Tiene una sola dirección y dos sentidos. No se puede medir.

Semirrecta: Es línea recta que tiene origen pero no tiene fin, tiene sólo un sentido, y no se puede medir.Segmento: Un segmento es una línea recta que tiene principio y fin, un segmento se puede medir.

Poligonal: Se llama recta poligonal aquella que está formada por varias porciones de rectas que están unas a continuación de otras, pero no están alineadas, la línea poligonal puede ser abierta (cuando ningún extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo se une con el último). La línea poligonal cerrada forma una figura plana que se llama polígono.

Curva: Una curva está formada por puntos que están en distinta dirección. Puede ser curva abierta (los ex-ternos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se unen) y curva mixta (formada por líneas rectas y curvas unidas)

Posiciones de las rectas:

Dos rectas son paralelas: si no tienen ningún punto en común.Dos rectas son secantes: cuando tienen un punto en comúnDos rectas son perpendiculares: cuando al cortarse forman cuatro ángulos rectosPosición de las rectas en el espacioHorizontalVerticalInclinadaLa linea curva puede ser:

Circunferencia, es una curva regular cerrada, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro llamado centro.

Elípse, es una curva regular cerrada que se diferencia de la anterior porque la suma de la distancia de cada uno de sus puntos respecto a otros dos que están en su interior es siempre igual.

Espiral es una curva regular abierta que gira sobre sí misma.

Parábola es una curva regular abierta, cada uno de sus puntos está a una distancia siempre igual de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Rectas y puntosE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 1

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La Trigonometría es el estudio de la relación entre las medidas de los lados y los ángulos del triángulo.Identificar los conceptos básicos de la trigonometría plana, especialmente los diferentes sistemas de medición de ángulos. Establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo con las medidas de sus ángulos, de manera que resulte posible comprender el con-cepto de razón trigonométrica y sus definiciones.

Historia

Los antiguos egipcios y los babilonios conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos semejantes. Pero las socie-dades prehelénicas carecían de la noción de una medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.

Los astrónomos babilonios llevaron registros detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la base de la interpretación de una tablilla cuneiforme Plimpton 322 (c. 1900 aC), algunos incluso han afir-mado que los antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de soluciones de ecuaciones de segundo grado, o una tabla trigonométrica.

Los egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva de la trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes, escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 aC), contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría:“Si una pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de largo, ¿cuál es su Seked?”

La solución, al problema, es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es la cotangente del ángulo que forman la base de la pirámide y su cara.Unidades angulares.En la medición de ángulos y, por tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en matemáticas es el radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.Radián: unidad angular natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2π radianes (algo más de 6,28).Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 grados.Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.Mil angular: unidad angular que divide la circunferencia en 6400 unidades.

Trigonometría definiciónE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 1

En términos generales, la trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirecta-mente en las demás ramas de la matemá-tica y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de precisión.

La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.Posee numerosas aplicaciones, entre las que se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estre-llas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.

El Seked (también llamado Sequed) era una unidad de medida usada por los egipcios para medir superficies inclinadas, cómo es el caso de pirámides. El sistema se basaba en la me-dida lineal del egipcio conocido como el codo real con base en las encuestas de esta estructura que se han llevado a cabo por Flinders Petrie y otros. Las pendientes de las caras de este monumento fueron un seked de 5 1 / 2, o 5 palmeras y 2 dígitos, lo que equivale a una pen-diente de 51,84º sobre la horizontal, utilizando el moderno sistema de 360 grados.

Esta pendiente probablemente habría sido aplicada con precisión durante la construcción por medio de ‘marco’ en forma de herramientas de madera con plomadas, se marcan para la inclinación correcta, de modo que las pendien-tes puede ser medidas y controladas de manera eficiente.

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Producto de binomios conjugadosE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 1

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Producto de binomios con término comúnE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 1

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FactorizaciónE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 1

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Diferencia de cuadradosE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 1

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1. Convertir 1milla a metrosA) 500 m B) 16 m C) 1000 m D) 1609 m

2. Convertir 12.3 millas a metrosA) 19794 m B) 1609 m C) 12000 m D) 12500 m

3. Convertir 45millas a kilómetrosA) 78.9 km B) 70 .858 km C) 72.420 km D) 75.900 km

4. Convertir 1metro a yardasA) 2.54 yardas B) .9 yardas C) 1 Yarda D) 1.093 yardas

5. Convertir 100 metros a yardasA) 100.3 yardas B) 900.3 yardas C) 109.3 yar-das D) 1.3 yarda

6. Convertir 3 metros a piesA) 6.895 ft B) 9.842 ft C) 7.598 ft D) 800 ft

7. Convertir 6 pies a metrosA) 1.5 m B) 2 m C) 1.828 m D) 2.567 m

8. Convertir 2.5 pies a pulgadasA) 27.5 in B) 28 in C) 30 in D) 25 in

9. Convertir 1 galón a litrosA) 4.356 lts B) 4 lts C) 3.785 lts D) 3.5 lts

10. Convertir 4 galones a litrosA) 15.139 lts B) 16 lts C) 16.956 lts D) 14 lts

La conversión de unidades es la transformación del valor numérico de una magnitud física, expresado en una cierta unidad de medida, en otro valor numérico equivalente y expresado en otra unidad de medida de la misma naturaleza.

Este proceso suele realizarse con el uso de los factores de conversión y las tablas de conversión de uni-dades.

Frecuentemente basta multiplicar por una fracción (factor de una conversión) y el resultado es otra medi-da equivalente, en la que han cambiado las unidades.

Cuando el cambio de unidades implica la transformación de varias unidades, se pueden utilizar varios factores de conversión uno tras otro, de forma que el resultado final será la medida equivalente en las unidades que buscamos.

Conversión de unidadesE.T. MEDICIÓN

UNIDAD 1

57

La probabilidad es un método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen to-dos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables.La teoría de la probabilidad se usa extensa-mente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina a los experimentos o fenómenos aleatorios.

TeoríaLa probabilidad constituye un importante parámetro en la determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.[cita requerida]La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes[cita requerida], por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la prob-abilidad de que un evento “no ocurra” equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra q P(Q) = 1 - P(E)Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la adición, la regla de la multipli-cación y la distribución binomial.

Regla de la adición

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de cualqui-er evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo tiempo.P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

Regla de la multiplicaciónLa regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al produc-to de sus probabilidades individuales.P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son inde-pendientes.P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes.

Regla de LaplaceLa regla de Laplace establece que: La probabilidad de ocurrencia de un suceso imposible es 0. La probabilidad de ocurrencia de un suceso seguro es 1, es decir, P(A) = 1.Para aplicar la regla de Laplace es necesario que los ex-perimentos den lugar a sucesos equiprobables, es decir, que todos tengan o posean la misma probabilidad. La probabilidad de que ocurra un suceso se calcula así:P(A) = Nº de casos favorables / Nº de resultados posiblesEsto significa que: la probabilidad del evento A es igual al cociente del número de casos favorables (los casos dónde sucede A) sobre el total de casos posibles.

Probabilidad y sus reglasE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 1

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Distribución binomialLa probabilidad de ocurrencia de una combinación específica de eventos independientes y mutuamente excluy-entes se determina con la distribución binomial, que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales como masculino/femenino o si/no. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes. La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.Para aplicar esta distribución al cálculo de la probabilidad de obtener un número dado de éxitos en una serie de experimentos en un proceso de Bermnoulli, se requieren tres valores: el número designado de éxitos (m), el número de ensayos y observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada ensayo (p).Entonces la probabilidad de que ocurran m éxitos en un experimento de n ensayos es:P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−mSiendo: nCm el número total de combinaciones posibles de m elementos en un conjunto de n elementos.En otras palabras P(x = m) = [n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−mNota: Al menos, a lo menos y por lo menos son locuciones adverbiales sinónimas.

AplicacionesDos aplicaciones principales de la teoría de la prob-abilidad en el día a día son en el análisis de riesgo y en el comercio de los mercados de materias primas. Los gobiernos normalmente aplican métodos proba-bilísticos en regulación ambiental donde se les llama “análisis de vías de dispersión”, y a menudo miden el bienestar usando métodos que son estocásticos por naturaleza, y escogen qué proyectos emprender basándose en análisis estadísticos de su probable efecto en la población como un conjunto. No es correcto decir que la estadística está incluida en el propio modelado, ya que típicamente los análisis de riesgo son para una única vez y por lo tanto requi-eren más modelos de probabilidad fundamentales, por ej. “la probabilidad de otro 11-S”. Una ley de números pequeños tiende a aplicarse a todas aquellas elecciones y percepciones del efecto de estas elec-ciones, lo que hace de las medidas probabilísticas un tema político. Un buen ejemplo es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado sobre los precios del petróleo en Oriente Medio - que pro-ducen un efecto dominó en la economía en conjunto. Un cálculo por un mercado de materias primas en que la guerra es más probable en contra de menos probable probablemente envía los precios hacia arriba o hacia abajo e indica a otros comerciantes esa opinión. Por consiguiente, las probabilidades no se calculan independientemente y tampoco son necesar-iamente muy racionales. La teoría de las finanzas conductuales surgió para describir el efecto de este pensamiento de grupo en el precio, en la política, y en la paz y en los conflictos.

Análisis Combinatorio Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, placas o loterías se pueden formar utilizan-do un conjunto dado de letras y dígitos. Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va a servir de andamiaje para poder resolver y com-prender problemas sobre probabilidades. Principios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combina-torio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señal-ado. El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las opera-ciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos.I) Principio de multiplicación : Si un evento o suceso “A” puede ocurrir , en forma independiente, de “m” maneras diferentes y otro suceso de “n” maneras diferentes, entonces el número de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es “m . n” .II) Principio de adición : Supongamos que un evento A se puede realizar de “m” maneras y otro evento B se puede realizar de “n” maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos (AÇ B = Æ ), entonces el evento A o el evento B se realizarán de ( m + n) maneras

Probabilidad y sus reglasE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 1

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La Estadística descriptiva es una parte de la Estadística cuyo objetivo es examinar a todos los individuos de un conjunto para luego describir e interpretar numéricamente la información obtenida.Sus métodos están basados en la observación y el recuento. Se pretende, una vez realizados, poder simplificar los datos observados para obtener de ellos una información lo más completa posible del total de la población.En estadística descriptiva el material de trabajo lo constituyen los datos, que son los resultados de las obser-vaciones. Una vez obtenidos los datos hay que ordenarlos y clasificarlos mediante algún criterio racional de modo que sea posible una visión crítica de los mismos.

En general, este tratamiento previo de los datos será de alguno de estos tres tipos:

1) Construcción de tablas para ordenar y clasificar los datos.2) Realización de gráficos para representar físicamente los datos.3) Obtención de estadísticos o funciones de los valores de los datos, que pretenden poner de manifiesto ciertas propiedades de los mismos.

1. Conceptos básicos.

Cualquier elemento o ente que sea portador de información sobre alguna propiedad en la cual se está interesa-do se denomina individuo.

El conjunto de todos los individuos en los que se desea estudiar alguna propiedad o característica se llama población.

Todo subconjunto finito de la población sobre el que se realice el estudio de la propiedad deseada, es una muestra. Al número de individuos de este subconjunto se le llama tamaño de la muestra.

Ejemplo 1. Para estudiar la evolución del cáncer de mama en la población femenina de un país, se puede considerar que individuo es cada una de las mujeres residentes en el mismo, población es el conjunto de todas ellas y una muestra se obtiene al observar el 1% del censo.

Con mucha frecuencia se consideran como población y muestra, no los conjuntos de individuos, sino las medi-das de la característica asociadas a esos individuos.

Ejemplo 2. En un banco de sangre se experimenta un nuevo sistema para aumentar el período de conservación de la misma. En este caso cada bolsa de sangre es un individuo; la población es el conjunto de todas las bolsas del banco y una muestra se obtiene tomando un cierto número de bolsas para su análisis.Obsérvese que el concepto de individuo no va asociado necesariamente con el de persona, sino que puede ser algo de naturaleza más abstracta.

2. Clasificación de los datos.Conviene también observar que todos los datos no son del mismo tipo. Cuando los datos, es decir los resulta-dos de las observaciones, no son magnitudes medibles numéricamente, sino cualidades o atributos, se dice que se trata de datos cualitativos, mientras que en caso contrario se habla de datos cuantitativos.

Probabilidad: conceptosE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 1

60

3. Características de una muestra representativa

La observación de un determinado carácter en una población puede realizarse de varias formas:

a) Observación exhaustiva: si se considera a la totalidad de los individuos.

b) Observación parcial: si se utiliza una muestra.

En los casos en que el tamaño de la población es muy grande el estudio estadístico se realiza sobre muestras.

Para seleccionar una muestra han de respetarse dos tipos de criterios:

- De carácter cuantitativo, es decir ¿cuál es le tamaño adecuado de una muestra?- De carácter cualitativo, o, lo que es lo mismo, ¿cómo debe elegirse la muestra?

Hay múltiples formas de realizar un muestreo estadístico, entre otras:a) Muestreo aleatorio simple; se basa en suponer que todos los elementos de la población tienen asignada la misma probabilidad de ser elegidos. Si se numeran los elementos de la población, una tabla de números alea-torios puede facilitar la tarea de selección.

b) Muestreo por estratos: Consiste en clasificar previamente a la población en clases o estratos y de ellos ob-tener muestras aleatorias.

c) Muestreo por conglomerados: es en esencia el mismo sistema que el anterior con la diferencia de que ahora la población se divide en clases con determinados caracteres comunes entre ellas (conglomerados).Nota. De la obtención de muestras de las que se pueden sacar conclusiones válidas para la totalidad de la población se ocupa la Teoría de muestras.

4. Variables estadísticas. Frecuencias.

Los caracteres estadísticos de una población son las propiedades o cualidades de los individuos que nos inte-resa estudiar. Un carácter estadístico divide a la población en clases. A cada una de estas clases se la denomina modalidad.

Muestra representativa y variables estadísticasE.T. PROBABILIDAD Y

ESTADÍSTICA

UNIDAD 1

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Distribuciones de frecuenciaE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 1

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UNIDAD 2

“La producción de alimentos en el mundo”

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MANEJO DEL LENGUAJE

MATEMÁTICO





MATEMÁTICOS








CORRELACIÓN DE LAS



CIENTÍFICAS


MATEMÁTICO GENERAL




HUMANO

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LÓGICA Y CONJUNTOS Implicación Hipótesis TesisInclusión Notación Subconjunto Conjunto Proposición Diagrama de Venn Equivalencia

HIPÓTESIS.- Es una proposición aceptable que ha sido formulada a través de la recolección de información y datos, aunque no esté confirmada, sirve para responder de forma alternativa a un problema con base científica. TESIS.-Es la aseveración concreta de una idea que, de manera fundamentada, se expone públicamente. También puede llamársele teoría científica toda vez que un sustento teórico puede ser considerado como parte del conocimien-to establecido.

ARITMÉTICA Principio aditivoPrincipio sustractivoDecimalCifra Posición Millón Exponente Numerales

PRINCIPIO ADITIVO.-Principio basado en la suma de valores de cada símbolo.

PRINCIPIO SUSTRACTIVO.– Principio basado en la sustracción de símbolos por el sistema de numeración Romano. Se resta un símbolo de menor valor que esté a la izquierda de uno de mayor valor.

GEOMETRÍA SenoCoseno TangenteTrigonometríaTrigonometría planaÁngulos positivosÁngulos negativos

SENO.-En trigonometría, el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo de ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. COSENO.-En trigonometría, el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el catetoadyacente a dicho ángulo y la hipotenusa.

ÁLGEBRA Trinomio cuadrado perfecto Doble producto SignoPositivoNegativo

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.– Ees un polino-mio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio. SIGNO.- Un signo es una unidad capaz de transmitir con-tenidos representativos. Un signo puede ser una palabra, una imagen, un olor y muchas otras cosas más.

MEDICIÓN Sistemas de unidadesPesas y medidasLongitudMasa TiempoContarMedir

CONTAR.– Pproceso de abstracción que nos lleva a otorgar un número cardinal como representativo de un conjunto.

MEDIR.– Proceso básico de la ciencia que consiste en comparar un patrón seleccionado con el objeto o fenóme-no cuya magnitud física se desea medir para ver cuántas veces el patrón está contenido en esa magnitud

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA Recopilación OrganizaciónAnálisis de datosDatos Inferencial Descriptiva Información InterpretarReunir

RECOPILACIÓN.- Es la forma en que se colecta la infor-mación de una población en estudio.INFERENCIAL.- Este concepto comprende los métodos y procedimientos que por medio de la inducción determi-nan propiedades de una población estadística, a partir de una pequeña parte de la misma.


65

ImplicaciónE.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

UNIDAD 2

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InclusiónE.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

UNIDAD 2

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InclusiónE.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

UNIDAD 2

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Inferencias inmediatas: equivalenciasE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

UNIDAD 2

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Los romanos adoptaron gran parte de las unidades literales griegas, a las que les incorporaron algunas propias como la libra y extendieron su uso por todos sus dominios conquistados. Utilizaron signos simples combi-nados con algunas letras, para construir un sistema que era mucho más fácil de manejar. El sistema literal de numeración romano no utiliza el principio del valor relativo, el valor de los símbolos siempre es el mismo sin que influya el lugar que ocupan. Este sistema de numeración fue usado, generalmente para la contabilidad, en Europa hasta el siglo XVIII.

Las letras numerales romanas eran mejores que las antiguas maneras de contar que se conocían, y permane-cieron en uso durante casi dos mil años. “La contribución de los romanos a las matemáticas estuvo limitada a algunas nociones de Agrimensura, surgidas de la necesidad de medir y fijar las fronteras del vasto imperio. No obstante la huella romana en su numeración, todavía hoy tiene vigencia por el uso en los capítulos de los libros, en la sucesión de los reyes, en la notación de los siglos y especialmente en las inscripciones históricas.”

Características del sistema de numeración romano

Es frecuente ver los números romanos en fechas de aniversario o en las carátulas de relojes. Por ser éste un sistema que aún empleamos, analizaremos sus principios ordenadamente.Principio aditivo

Cada símbolo primario puede repetirse hasta tres veces. Por ejemplo, I sirve para representar los números del 1 al 3: I = 1 II = 2 III = 3

Agrupamientos de 10 en 10. Emplearon el sistema decimal (base 10).

Uso del principio aditivo.

Sumaban el valor de cada símbolo para obtener el valor total.

Uso del principio sustractivo.

Cuando un símbolo primario aparece a la izquierda de otro y este último es su inme-diato superior, ya sea un símbolo primario o secundario, al de mayor valor se le resta el menor.

Uso del principio multiplicativo Se coloca una barra encima de los símbolos para representar que su valor se multiplica por 1 000.

Primarios Secundarios

I X C M1 10 100 1000

V L D 5 50 500

Sistema de numeración romanoE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 2

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Pero el 4 no es IIII sino que debe ser formado combinando dos símbolos: IV.

Los símbolos son colocados de izquierda a derecha, del mayor al menor.

La suma de los símbolos representa el valor del numeral. Por ejemplo:

MCCXVI equivale a 1 000 + 100 + 100 + 10 + 5 + 1 = 1 216

Principio sustractivo Este principio consiste en que, si un símbolo primario se encuentra a la izquierda de otro símbolo (sea primario o secundario) y este último es su inmediato superior, se debe efectuar una resta para ob-tener el valor del numeral: el símbolo mayor menos el menor.

Ejemplos:IV equivale a 5 – 1 = 4IX equivale a 10 – 1 = 9Éstas son algunas de las sustracciones que se realizan en el sistema romano.

Principio multiplicativoOcurre cuando al colocar una línea horizontal encima del numeral, éste multiplica su valor por 1 000.¿Qué número es MCMXCIII? Pasos a seguir: a) Separa los numerales romanos tomando en cuenta los principios aditivo y sustractivo. La separación quedaría así:

M CM XC III

Primero tenemos la M sola, que es la cifra mayor y se escribe al inicio. Después hay dos cifras forma-das por el principio sustractivo (un símbolo primario se encuentra a la izquierda de otro símbolo mayor que él). Y finalmente hay otra cifra formada por el principio aditivo (tres números uno).

b) Sustituye cada símbolo con su valor y efectúa las sumas y restas que sean necesarias:

¿Cómo se escribe 18 399 en el sistema romano? ______________________________

a) Expresa en notación desarrollada el número, es decir, escribe las unidades, decenas, centenas, etcétera, que lo forman:18 399 = 10 000 + 8 000 + 300 + 90 + 9

b) Comienza a sustituir cada cantidad por símbolos romanos. En primer lugar, hay que simbolizar las unidades de millar, que son los números mayores. Pero no es posible emplear 18 símbolos con valor de 1 000 (M) para representar el 18 000. Aplica el principio multiplicativo: escribe 18 con una línea encima para obtener 18 x 1000:

Sistema de numeración romanoE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 2

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Sistema decimal-números hasta millonesE.T. ARITMÉTICA

Lectura y escritura de números del sistema decimal

UNIDAD 2

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UNIDAD 2

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UNIDAD 2

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UNIDAD 2

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Raíz cuadradaE.T. ARITMÉTICA

Radicación

UNIDAD 2

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UNIDAD 2

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UNIDAD 2

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UNIDAD 2

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UNIDAD 2

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UNIDAD 2

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Funciones trigonométricasE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 2

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CírculoE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 2

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Las funciones trigonométricasLa trigonometría es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y una circunferencia. Con este propósito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para convertirse en elementos matemáticos estudiados en sí mismos y con aplicaciones en los campos más diversos.Razones trigonométricasEl triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo , correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia.El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse “sĭnus” en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa.

El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Seno, coseno y tangenteE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 2

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Nociones básicasE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 2

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Las funciones trigonométricas de ángulos de 30°, 45° y 60° se pueden obtener mediante con-strucciones geométricas.


UNIDAD 2

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UNIDAD 2

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UNIDAD 2

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FactorizaciónE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 2

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La diferencia de cuadradosE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 2

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Trinomio cuadrado perfectoE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 2

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Sistema Internacional de unidades. Nombre adoptado por la XI Conferencia General de Pesas y Medidas (celebrada en París en 1960) para un sistema universal, unificado y coherente de unidades de medida, basado en el sistema mks (metro-kilogramo-segundo).

Este sistema se conoce como SI, iniciales de Sistema Internacional. En la Conferencia de 1960 se definieron los patrones para seis unidades básicas o fundamentales y dos unidades suple-mentarias (radián y estereorradián); en 1971 se añadió una séptima unidad fundamental, el mol.

Las dos unidades suplementarias se suprimieron como una clase independiente dentro del Sistema Internacional en la XX Conferencia General de Pesas y Medidas (1995); estas dos unidades quedaron incorporadas al SI como unidades derivadas sin dimensiones.

ImportanciaEl desarrollo alcanzado siglos atrás por algunos países como Alemania, EE.UU., España e In-glaterra en la ciencia y la técnica; trajo consigo la necesidad de emplear diferentes magnitudes físicas para expresar las características técnicas de los diferentes descubrimientos. El comercio con los diferentes países del mundo, trajo consi-go la propagación de las magnitudes y unidades físicas que se fueron arraigando en la población. Todo este intercambio de tecnología o comercio entre países con mayor o menor desarrollo facil-itó que una misma característica se le asignara una unidad diferente, la cual dependía del país que la fabricaba. Esta diversidad de magnitudes y unidades físicas obligó al hombre a establecer equivalencias y por consiguiente realizar con-versiones entre las unidades; propiciando impre-cisiones y errores. Por todo lo antes expuesto es que el Comité Estatal de Normalización, en uso de las facultades que le confiere el decreto ley No. 62 del 30 de diciembre de 1982, por la Disposición Especial Tercera, establece los coeficientes de conversión entre unidades de medida de uso legal en el país.

Sistemas de medición internacional e inglésE.T. MEDICIÓN

UNIDAD 2

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SurgimientoEl Sistema Internacional de Unidades (SI), surge del Sistema Métrico MKS (metro, kilogramo y segundo) y de tres sistemas derivados de este. El de la Electrotecnia MKSA (metro, Kilogramo, segundo y ampere); de la Termotecnia MKSG (metro, kilogramo, segundo y grado kelvin); de la Luminotecnia MSC (metro, segundo y candela). Estos sistemas se usaban aisladamente y tenían como elemento común el metro el kilogramo y el segundo. Surge así la idea de organizar sobre la base de estos sistemas. Un sistema único de unidades, universal y coherente que abarcase todas las ramas de la ciencia y la técnica. Como resultado de las consultas hechas a miles de científicos, técnicos y pedagogos de todos los países, se produce el establec-imiento del Sistema Internacional de Unidades (SI), para ser adoptado por todos los países signatarios de la conversión del metro. Las conferencias Generales de Pesas y Medidas que tuvieron a cargo esta ardua labor, hicieron presente la necesidad de su pronta aplicación en todos los campos de la ciencia, la técnica y la educación. Como consecuencia de esta decisión, los científicos y pedagogos del mundo iniciaron una campaña por la implantación estatal de este sistema como único y universal. Este método consiste en que como base del sistema se eligen algunas unidades de medida básicas; consideradas independientes entre sí, de las cuales se derivan las unidades de medida de las magnitudes físicas. Existe otro grupo de unidades de medida derivadas que se determinan de acuerdo con las fórmulas físicas que relacionan entre sí a las magnitudes físicas. Las unidades de medida básicas SI son: el metro (m), el kilogramo (kg), el segundo(s), el ampere (A), el Kelvin (K), la candela (cd), y el mole (mol).

Prefijos, Símbolos, y Factores en el SI

PREFIJO SIMBOLO FACTOR

exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000

peta T 1015 = 1 000 000 000 000 000

tera P 1012 = 1 000 000 000 000

giga G 109 = 1 000 000 000

mega M 106 = 1 000 000

kilo k 103 = 1 000

hecto h 102 = 100

deca da 101=10

deci d 10-1 = 0,1

centi c 10-2 = 0,01

mili m 10-3 = 0,001

micro µ 10-6 = 0,000 001

nano n 10-9 = 0,000 000 001

pico p 10-12 = 0,000 000 000 001

femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001

atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001

Sistemas de medición internacional e inglésE.T. MEDICIÓN

UNIDAD 2

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Recolección de datosE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 2

94

Tratamiento de datosE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 2

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UNIDAD 3

“LA SALUD Y LA MEDICINA TRADICIONAL EN EL MUNDO”

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MANEJO DEL LENGUAJE

MATEMÁTICO





MATEMÁTICOS








CORRELACIÓN DE LAS



CIENTÍFICAS


MATEMÁTICO GENERAL




HUMANO

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LÓGICA Y CONJUNTOS

Lógica Principio Identidad Leyes clásicas FilósofosAlta Edad MediaExpresión matemática Medio excluido Verdadera Falsa

LÓGICA.-La lógica es una ciencia formal que estudia los princi-pios de la demostración e inferencia válida. El objeto de estudio de la lógica es la inferencia. La inferencia es el proceso por el cual se derivan conclusiones a partir de premisas. La lógica investiga los principios por los cuales algunas inferencias son aceptables, y otras no. Cuando una inferencia es aceptable, lo es por su estructu-ra lógica, y no por el contenido específico del argumento o el len-guaje utilizado. Por esta razón la lógica se considera una ciencia formal, como la matemática, en vez de una ciencia empírica.

ARITMÉTICA Números fraccionariosRaíz cuadradaBabilónico AproximaciónFracciónFracción comúnFracción decimal Cálculo mental Contarnúmeros mixtos

FRACCIÓN.-En matemáticas, una fracción, número fraccionario, (del vocablo latín frāctus, fractĭo -ōnis, roto, o quebrado) es la expresión de una cantidad dividida entre otra cantidad; es decir que representa un cociente no efectuado de números. Por razones históricas también se les llama fracción común, fracción vulgar o fracción decimal. El conjunto matemático que contiene a las fracciones es el conjunto de los números racionales.

GEOMETRIA HipotenusaCateto AdyacenteCateto opuestoÁngulo agudoTriángulo rectánguloCírculoSecante Centro ParalelaRadio

HIPOTENUSA.-La hipotenusa es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo, y el lado opuesto al ángulo recto. La medida de la hipotenusa puede ser hallada mediante el teorema de Pitágo-ras, si se conoce la longitud de los otros dos lados, denominados catetos.CÍRCULO.-Un círculo, en geometría euclídea, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que una cantidad constante, llamada radio.

ÁLGEBRA EcuaciónIncógnitaNúmero imaginarioPotenciaBaseExponenteSegundo gradoComprobación ExactaNegativo

ECUACIÓN.-Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores co-nocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. POTENCIA.-En física, potencia (símbolo P)[nota 1] es la cantidad de trabajo efectuado por unidad de tiempo.

MEDICIÓN MúltiploSubmúltiploMétricoLongitudPeso

Capacidad Medidas LongitudVolumen Metro cúbico

MÉTRICO.-Que está basado en el metro como unidad de medida: el sistema métrico es un sistema decimal de medidas y pesos basado en el metro. LONGITUD.-La longitud es la magnitud física que determina la distancia, es decir, la cantidad de espacio existente entre dos puntos.

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

PresentaciónTratamientoTasaConstanteVariante

Fenómeno ordinaldatotablaFrecuencia

TASA.-La tasa es un coeficiente que expresa la relación entre la cantidad y la frecuencia de un fenómeno o un grupo de fenóme-nos. Se utiliza para indicar la presencia de una situación que no puede ser medida en forma directa. Este coeficiente se utiliza en ámbitos variados, como la demografía o la economía, donde se hace referencia a la tasa de interés.

98

El principio de identidad es un principio clásico de la lógica y la filosofía, según el cual toda entidad es idéntica a sí misma. Por ejemplo, Julio César es idéntico a sí mismo (a Julio César), el Sol es idéntico a sí mismo, esta manzana es idéntica a sí misma, etc. El principio de identidad es, junto con el principio de no contradicción y el principio del tercero excluido, una de las leyes clásicas del pensamiento. En lógica de primer orden con identidad, el principio de identidad se expresa:

Es decir: para toda entidad x, x es idéntica a sí misma.No se debe confundir al principio de identidad con la siguiente tautología de la lógica proposicional:

Esta fórmula expresa que toda proposición es verdadera si y sólo si ella misma es verdadera. Por lo tanto, expresa una verdad acerca de proposiciones y sus valores de verdad, mientras que el principio de identidad expresa una verdad acerca todo tipo de entidades, no sólo proposiciones.En el siglo XVII, la referencia a esta ley era común entre los filósofos, y es probable que haya sido tomada de las enseñanzas de Aristóteles durante la Alta Edad Media.

En matemáticas, una identidad es la constatación de que dos objetos que matemáticamente se escriben dif-erente, son de hecho el mismo objeto.1 En particular, una identidad es una igualdad entre dos expresiones que es cierta sean cuales sean los valores de las distintas variables empleadas.2 Las identidades suelen utilizarse para transformar una expresión matemática en otra equivalente, particularmente para resolver una ecuación.

EjemplosEn el conjunto de los números complejos, la identidad de Euler

relaciona de manera muy simple los números fundamentales 0; 1; i; π; y e. Esta identidad no relaciona vari-ables sino únicamente constantes matemáticas.

La Identidad de Euler es un caso particular de otra identidad más general dada por la fórmula de Euler para ángulos distintos de pi.

En trigonometría, existen numerosas identidades que facilitan los cálculos. Por ejemplo,

es una identidad, cierta para cualquier número real o complejo .Identidades notables

Algunas identidades algebraicas se denominan «notables» y facilitan los cálculos o la factorización de expresiones polinómicas.

Por ejemplo el producto notable , que es cierto sean cuales sean los ele-mentos y de un anillo conmutativo.

Leyes de Identidad - Pensamiento lógico AristotélicoE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

UNIDAD 3

99

La lógica es el eje del pensamiento crítico y es extremadamente útil para sacar a la luz el error y establecer la verdad. Hay tres leyes de la lógica las cuales son muy importantes:

La Ley de la Identidad. La Ley de la No Contradicción. La Ley del Medio Excluido.

La ley de la identidad establece que A es A. En otras palabras, algo es lo que es. Una manzana es una manzana. Si algo existe tiene una naturaleza, una esencia. Por ejemplo, un libro tiene una portada y una contraportada con páginas en su interior. Un automóvil tiene cuatro ruedas, asientos, puertas, vidrios, etc. Un árbol tiene ramas, hojas, un tronco y raíces. Esto también significa que cualquier cosa que exista tiene características. Reconocemos lo que algo es al observar sus características. Usted sabe que un árbol es un árbol debido a que ve sus ramas, sus hojas, su tronco, etc.

Aún más, si algo tiene una identidad, no puede tener otra, ya que ésta es única e individual. En otras pal-abras: Si algo existe cuenta con una serie de atributos que son consistentes consigo mismo. Este algo, no tiene un conjunto de atributos que sean inconsistentes consigo mismo. Por lo tanto, podemos fácilmente concluir, que un gato no es un paracaídas. Una manzana no es un automóvil de carreras y un árbol no es una película.

La ley de la no contradicción nos dice que A no puede ser tanto A y ninguna A al mismo tiempo y en el mismo sentido. En otras palabras: algo, como una declaración no puede ser al mismo tiempo tanto ver-dadero como falso y del mismo modo. Con frecuencia usamos la ley de la no contradicción en discusiones y debates ya que somos capaces de reconocer cuando algo es contrario a sí mismo. Si le dijéramos a Usted que ayer alguien fue de compras y más tarde le dijéramos que ese alguien no fue de compras, Usted nos corregiría diciéndonos que existe una contradicción. Una contradicción ocurre cuando una declaración excluye la posibilidad de otra y aun ambas afirman ser verdaderas. Ya que sabemos que ambas no pueden ser verdad, vemos entonces, una contradicción. Basados en este principio, podemos concluir, que la verdad no se contradice a sí misma. Este es un concepto muy importante. Vamos a repetirlo: “La verdad no se contradice a sí misma.”

La ley del medio excluido dice que una declaración es verdadera o falsa. Por ejemplo: “El cabello de esa mujer es castaño.” Es verdadero o falso que el cabello de esa mujer es castaño. Otro ejemplo: La declaración “Estoy embarazado”, es verdadera o falsa. Debido a quien escribe esta Lección es un hombre, no es posible que esté embarazado.

Por lo tanto, la declaración es falsa. Si fuera una mujer, sería posible que estuviera embarazada dadas las condiciones normales del cuerpo de la mujer. Cuando una mujer se encuentra embarazada, no existe una posición intermedia: Está, o no está embarazada. La ley del medio excluido es importante ya que nos ayuda a tratar con absolutos y esto es particularmente importante en una sociedad donde el relativismo es promovido y las declaraciones verdaderas son negadas.

Leyes de IdentidadE.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

UNIDAD 3

100

Juicios Condicionales o hipotéticos:

El juicio es afirmar o negar algo de alguien. Es la relación de conveniencia o no conveniencia (venir con) entre dos conceptos, por ejemplo, el concepto de mamífero viene con el concepto de gato. Se puede afirmar que: Todos los gatos son mamíferos.Esta oración es un juicio que afirma la conveniencia de los conceptos gato y mamífero, en este sentido, estoy afirmando algo, ser mamífero, de alguien, los gatos. Se dice que el juicio es la segunda operación que nuestra mente hace, porque la primera es la formación de conceptos. Para que podamos afirmar o negar algo de alguien, primero debemos tener claro y saber el signifi-cado de los conceptos, en el caso del ejemplo: gato y mamífero.Un juicio es la asociación de un sujeto con un predicado mediante una cópula verbal (generalmente el verbo ser o estar).Estructura del juicio. Características: verdad y falsedad. Las partes que conforman un juicio son:a)Sujeto: la materia del juicio, el algo o alguien de quien se afirma o niega algo.b)Predicado: aquello que decimos (afirmamos o negamos) de algo-alguien.c)Cópula: verbo que une o desune conceptos Al decir que los juicios afirman o niegan cosas diversas, nos metemos inevitablemente con el asunto de la verdad y la falsedad. Si yo de repente digo: azul, nadie podría decir si mi palabra es falsa o verdadera. Esto de debe a que yo no estoy afirmando o negando nada de nadie, simplemente estoy expresando un concepto aislado. Sin embargo, si yo dijera: algunos hombres son azules, muchas personas podrían decirme que ese juicio es falso. Igualmente si dijera: Ningún hombre muere, algunos coches son grises, algún perro no es labrador, etc.De esta manera vemos que, los juicios les dan dirección y sentido a los conceptos, pero este sentido y/o di-rección puede estar equivocado, ser cierto, o estar sujeto a discusiones interminables. Clasificación de los juicios. a) Por su cantidad: el número de individuos que el juicio abarca.b) Por su cualidad:c) Por su modalidad: corresponde a los niveles de certeza: posibilidad, realidad y necesidad.d) Por su relación: (entre sujeto y predicado) Juicios Hipotéticos: expresa una condición de posibilidad de un fenómeno cualquiera. Afirma relaciones de causa y efecto.Si llueve, la siembra será buena.Si baja la temperatura, hará frío. Si estudias, podrás resolver los ejercicios.

Juicios Disyuntivos:

Fija una doble o múltiple posibilidad como solución a su planteamiento.La lectura se lee en su idioma original o en traducciones.Los mamíferos pueden ser terrestres o acuáticos. Los gobiernos pueden ser, monárquicos, democráticos o dictatoriales .

Juicios Categóricos: Expresa una verdad sin condiciones, enuncia una verdad del conocimiento y puede ser universal o particular, afirmativa o negativaNingún hombre vuela.

Algunos humanos son inmunes al VIH.

Juicios por relación: Condicionales o hipotéticos / Disyuntivos y categóricosE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

UNIDAD 3

101

CUADRO DE OPOSICIÓN

CONVERTIENTE (PRE-MISA)

CONVERSA (CONCLU-SIÓN)

A TODO S ES P I ALGUNOS P SON S (POR LIMITACIÓN)

E NINGUN S ES P E NINGUN P ES S

I ALGUNOS S SON P I ALGUNOS P SON S

O ALGUNOS S NO SON P

O NO HAY

Inferencias inmediatasE.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

UNIDAD 3

102

Los primeros indicios de pueblos civilizados aparecieron en la cuenca mediterránea oriental entre los ríos Tigris y Éufrates, que corresponde a las civilizaciones Sumeria y Babilónica. Poste-riormente se propagaron a las culturas occidentales a través de las rutas comerciales y las conquistas de las culturas griegas y romanas.

Civilización sumeria y babilónica.- Hacia el año 4000 a.C. en el sudeste de la mesopotámica se instalaron los sumerios y su capital fue Ur, posteriormente en el año 2500 a.C. este pueblo fue dominado por los acadios, un pueblo semita cuya capital era Acad, gobernados en esa época por Sargón, de esta forma la brillante cultura sumeria quedó fusionada con la acadia. Poste-riormente este imperio cayó en poder de los babilonios hacia el año de 2270 a.C., gobernando el rey Hammurabi y haciendo de Babilonia su capital, durante su reinado floreció un período de alto nivel cultural.

Los babilonios fueron los primeros en contribuir al desarrollo de las matemáticas, la aritmética alcanzó su más alto nivel de desarrollo. En los restos arqueológicos de las Tablas de Senkreh, llamadas así por el lugar donde fueron descubiertas a orillas del Éufrates en 1854, se encontraron otras referencias literarias anti-guas de esta civilización. En otros restos arqueológicos de Nuffar, existían tablas de multiplicar grabadas con caracteres cuneiformes, de números enteros dispuestos en columnas con valores superiores a 180 000.

Los primeros símbolos escritos de estas culturas, representaban los números con marcas en forma de cuña de acuerdo a su escritura cuneiforme. Los babilonios tenían un método de contar un poco complicado, su sistema numérico era en base sesenta (60), o sea, contaban de sesenta en sesenta, llamadas sesentenas babilónicas, Su aritmética se basaba en dos números ejes, el 10 y 60, teniendo en cuenta el posicionamien-to de estos caracteres así mismo se leían e interpretaban.El símbolo ▼ puede representar sesenta o uno, dependiendo de la posición en que se encuentre, al inicio o al final del número a expresar, girado 90º a la derecha su valor cambia a 10. La representación de una resta era precedida por los caracteres ▼ , las cifras se escribían de derecha a izquierda, y se descifraban de la misma manera. Sus numerales en algunos casos podían resultar un poco confusos para su interpretación, había que conocer bien su sistema de numeración. Los números fraccionarios siempre los representaban con un único denominador cuyo valor era sesenta, las cifras se espaciaban de la parte entera.Ejemplos de aplicación del sistema numérico babilónico son los siguientes:Expresar el número 142

(1 + 1) (10 +10 +2) = 2 (60) + 22 = 142Expresar el número 258 458

Sistema de numeración BabilónicoE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 3

103

Expresar el número 258 458

Representación típica numeración cuneiformeExpresar el número 321,75 = > se expresa en número mixto 321 ¾ => el denominador se expresa con denominador 60 = > 321 (¾) x (15/15) = > 321 45/60

(5 x 60) + (2x10) +1 (4x10) + (5x1) = 300 + 20 +1 40 +5 = 321 45/60

Sistema de numeración BabilónicoE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 3

104

Representación en diversas formas de números hasta millonesE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 3

Escribe el número: ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

105

Método de aproximación Este método es atribuido a todo aquel que haya tenido la necesidadde obtener una raíz cuadrada. Se trata de aproximar o “tantear” tanto como sea posible un número tal que al elevarlo al cuadrado sea el valor en cuestión. No obstante, uno de los mejores tantos registrados es el atribuido a Herón de Alejandría (100 d.C.), el cual se desarrolla como sigue:Para obtener la raíz cuadra de n, considérese lo siguiente.

notación explicación ejemplo

Téngase

La raíz cuadrada se encuentra entre númerosEnteros consecutivos. Sea n=30

Por lo tanto la raíz estará entre 5 y 6

Obténgase un número “p” racional positivo que se encuentre entre los números consecutivos. Sea p=

Ahora obténgase un número q que mul-tiplicado por p, sea=n

q=Porque:

( =30

Entonces la raíz aproximada de n es la media aritmética de p y q

= = 5.477

OTROS MÉTODOS DE OBTENER LA RAÍZ CUADRADA SON:MÉTODO GEOMÉTRICO (por duplicación del área y por media proporcional); POR EXTRACCIÓN DE FACTORES; MÉTODO FUNCIONAL (o solución por una ecuación).

Raíz cuadrada y métodos de aproximaciónE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 3

106

Errores de aproximaciónE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 3

El error en el cálculo de raíz cuadrada en el método de aproximación puede ser mayor o menor que uno. Debemos elegir la opción menor que uno. Ejemplo:

Raíz cuadrada de 28Se ubica entre 5 y 6 porque:52 es 25 62 es 36

Aproximando (5.2)2 = 27.04 error por faltante de 0.96(5.292)2 = 28.005264 error por exceso 0.005264La expresión obtenida para aproximar la raíz cuadrada de un número requiere siempre de una aproximación anterior, esto es, para hallar la enésima más una aproximación necesitamos haber obtenido la enésima aproximación, mediante sucesivas aproximaciones.Si la raíz cuadrada tiene varias cifras decimales se puede redondear o truncar, aunque persista cierto grado de error.

107

Conversión de fracción a decimal y de decimal a fracciónE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 3

Fracción: número fraccionario es la expresión de una cantidad dividida entre otra. Es conoci-da como fracción común, una fracción es una parte de un todo.Convertir fracción decimal a fracción común:0.75 (setenta y cinco centésimos) a fracción comúnPaso 1: escribe

Paso 2: multiplica el numerador y denominador por 100. x =

Paso 3: simplifica la fracción.Todo número que termina en 5 y 0 es divisible entre 5, por tanto: = =

Fracciones comunes a decimales:Únicamente divide numerador entre denominador.Ejemplo: = 0.75

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Comparación de fraccionesE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 3

A menudo nos enfrentamos al problema de comparar fracciones para determinar cuál es mayor y cuál es menor.Hay dos maneras fáciles de comparar fracciones: usando decimales o el método de productos cruzados.

¿Cuál es mayor? ó

Debes convertir la fracción común en decimal. Dividiendo:

= 0.375 = 0.4166

por tanto: es menor que

El método de productos cruzados

ó multiplicamos numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción 3 x 12 = 36 y multiplicamos el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción 8 x 5 = 40

ó

Por productos cruzados la fracción mayor es

4036

109

El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y papel o los dedos para contar fácilmente. También se puede considerar cálculo mental al uso del cerebro y cuerpo. Algunos calculistas pueden realizar opera-ciones matemáticas muy complejas (como productos de números de 4 o más cifras) mediante el cálculo mental. Sin embargo, los mejores matemáticos muchas veces no coinciden con los mejores calculistas.

La práctica del cálculo mental ayuda al estudiante para que ponga en juego diversas estrategias. Es la actividad matemática más cotidiana y la menos utilizada en el áula. Entre sus beneficios se encuentran: de-sarrollo del Sentido Numérico y de habilidades intelectuales como la atención y la concentración, además de gusto por las Matemáticas. Para su enseñanza es aconsejable enseñar el descubrimiento de reglas nemotécnicas fáciles así como las de selección de estrategias. Aquí se presentan algunas formas de entrenar el cálculo mental aunque cada uno tiene que hacerlo con sus propios números.Si no hay acarreos, es decir, si ninguna suma parcial es mayor que 9, las sumas se pueden realizar directa-mente. Lo mismo ocurre con las restas.En caso contrario, hay que saber modelar los números de los que se dispone, a veces convirtiendo una suma de dos números en una suma más sencilla de más sumandos, y algo análogo para las restas. Calculis-tas como Alberto Coto proponen realizar las sumas siempre de izquierda a derecha, aunque haya acarreos.Ejemplos:Calcular 456 + 155:Método tradicional, sumando de derecha a izquierda:456 + 155461 + 150511 + 100611Llevando el primer sumando a la decena superior, a la centena superior... para acabar realizando una suma más sencilla equivalente a la primera:456 + 155455 + 5 + 151460 + 40 + 111500 + 111611Sumando de izquierda a derecha:456 + 155556 + 55606 + 5611Calcular 876 - 98:876 - 98 = 868 - 90 = 778 (método tradicional, de derecha a izquierda)876 - 98 = 876 - (100 - 2) = 876 - 100 + 2 = 776 + 2 = 778 (valiéndose de la proximidad del sustraendo (98) a uno que facilita la resta (100))876 - 98 = 786 - 8 = 778 (restando de izquierda a derecha)Calcular 634 - 256:634 - 256 = 434 - 56 = 384 - 6 = 378 (de izquierda a derecha)

Cálculo mentalE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 3

110

El círculoE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 3

111

Rectas tangentes y secantesE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 3

112

Rectas tangentes y secantesE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 3

113

Recta y segmento del círculoE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 3

114

Posiciones relativas de dos círculosE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 3

115

Trigonometría: Concepto de función de un ángulo agudoE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 3

116

Trigonometría: Concepto de función de un ángulo agudoE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 3

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Leyes de Identidad - Pensamiento lógico AristotélicoE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 3

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Ecuaciones de segundo gradoE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 3

119

Resolvamos ahora el siguiente problema: Un campesino desea sembrar 207 cafetos en varias filas. Si en cada fila sembrara 14 cafetos más que el número de filas, ¿Cuántas filas sembrará y cuántos cafetos tendrá cada fila?

Datos Ecuación Comprobación Resultado Filas de cafetos: n n (n + 14) = 207 Filas: Cafetos cada fila: n + 14 n2 + 14n = 207 cafetos por fila Total de cafetos: 207

¿Cuántas incógnitas tiene la ecuación? ______________ ¿Por qué? _______________________________¿Cuál es el mayor exponente de la incógnita? _________________________________________________¿Será la ecuación de este problema del mismo grado que la ecuación del problema anterior? _______________. ¿Por qué? _____________________________________________________________ ¿puedes resolverla ? _________________. Si tu respuesta es afirmativa, resuélvela; si es negativa, continuemos paso a paso: 5 x 5 = 52 = aa = 6 x 6 = = bb = (- 3) (- 3) = = c2c2 = (- 7) (- 7) = = m2m2 = En la operación: 82 = 64: a2 =

¿Cómo se llama el 8? ______________________________. a, es: _________________.¿Cómo de llama el 2? _____________________________. n, es: _________________.¿Cómo se llama el 64? _____________________________. b, es: _________________.


UNIDAD 3

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UNIDAD 3

121

Hemos observado que algunos números y expresiones tienen raíz cuadrada exacta y otros no.A los números o expresiones que tienen raíz cuadrada exacta se les denomina racionales.A los números o expresiones que tienen resultado no exacto se les denomina irracionales.En tu cuaderno: Escribe 10 números o expresiones que tengan raíz cuadrada exacta, o sea________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Escribe 10 números o expresiones que tengan raíz cuadrada inexacta, o sea

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Qué número multiplicado por sí mismo tiene por resultado –1?

Recuerda que la raíz cuadrada consiste en encontrar un número que elevado al cuadrado tenga por resultado el subradical.No existe algún número que elevado al cuadrado sea negativo. Esto da origen a los números imaginarios.Escribe 10 números imaginarios


UNIDAD 3

122

IDENTIFICACION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ejemplos: x2 + 6x — 8 = 0 (x + 5) (3x — 1) = 2 o sea 3x2 + 14x — 7 = 0 3a2 + 8a = 0 5m2 —- 100 = 25

Del ejemplo (x + 5) (3x - 1) = 2, se explica paso a paso, su transformación :

3x2 — x + 15x — 5 = 2 Se han efectuado las operaciones indicadas. 3x2 + 14x — 5 = 2 Se ha hecho una reducción para tener todo en un 3x2 + 14x — 5 — 2 = 2 — 2 solo miembro, ¿Cuál es el mayor exponen-te de la x? 3x2 + 14x — 7 = 0 __________________________________________________ Ecuación cuadrática o de segundo gradob) x2 + 5x — 6 = 2x + x2 ¿Cuál es el mayor exponente de la incógnita? x2 + 5x — 6 — 2x —x2 = 2x + x2 — 2x — x2 _________ ¿es ecuación de segundo grado? _______ 3x — 6 = 0 ¿Por qué? ________________________________________ ¿De qué grado es? _______________________________ Conclusión: x2 + 5x — 6 = 2x + x2 , no es ecuación de 2° grado ya que su equivalente no lo es.

Frente a cada ecuación escribe el grado que le corresponda: (después de que en tu cuaderno hayas realizado las operaciones indicadas y las simplificaciones) x2 + 5x + 6 = 0 _______________________________ 2m = 3m 5 5 3x3 + 2x = 5 ___________________________________ — 3y( — 4 + 5y) = 6 ___________________________ 8a2 + 6 = 0 ____________________________________ (6h + 1)( h + 1) = h ___________________________ 2x2 + 5x = 2x2 + 6 _____________________________ * p2 — p2 — 0 ________________________________ 5x(x + 1) = 0 ___________________________________ t2 — 1 = 0 ___________________________________ (6a + 1)(7a — 1) = 0 ___________________________ x2 — 5x = 0 __________________________________ (m — 5)(m + 5) = 0 ____________________________ * y3 + y2 = y3 + y2 _____________________________ x + 6 = 3x — 1 x4 — 5x3 = x __________________________________ 3 x

Nota: las expresiones señaladas con un asterisco se llaman identidades.

Lo que pretendemos ahora es identificar ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Se dice que una ecuación es de segundo grado o cuadrática, si, luego de efectuar todas las opera-ciones indicadas, de realizar las reducciones posibles y de tener todos los términos en el mismo miembro, resulta que el mayor exponente de la incógnita es 2.


UNIDAD 3

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UNIDAD 3

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Ecuaciones de segundo grado complejasE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 3

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Resolución de la ecuación incompleta de segundo gradoE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 3

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Para representar gráficamente ecuaciones de segundo grado

Resolución de la ecuación de segundo gradoE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 3

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UNIDAD 3

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UNIDAD 3

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UNIDAD 3

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UNIDAD 3

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Interpretación gráfica de las raíces de una ecuación cuadradaE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 3

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Ecuaciones de segundo grado complejasE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 3

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El Sistema Métrico Decimal es un sistema, porque es un conjunto de medidas; métrico, porque su uni-dad fundamental es el metro; decimal, porque los múltiplos y submúltiplos siguen la ley del sistema de numeración decimal, es decir sus medidas aumentan y disminuyen como las potencias de 10.El Sistema Métrico Decimal se utiliza en la medida de las siguientes magnitudes: Longitud, Masa, Ca-

pacidad, Superficie y Volumen.

Para medir medidas mayores que la unidad fundamental se emplean otras medidas llamadas múltiplos, mientras que para medir medidas menores que la unidad fundamental se emplean otras medidas denomi-nadas submúltiplos. Dichas medidas irán aumentando o disminuyendo dependiendo de la magnitud de que se trate, las medidas de longitud, masa y capacidad aumentan o disminuyen de 10 en 10, mientras que las de superficie lo hacen de 100 en 100 y las de volumen, en cambio, de 1000 en 1000.MEDIDAS DE LONGITUDLa unidad principal para medir longitudes es el metro. Los múltiplos del metro se forman anteponiendo a la palabra metro, las palabras griegas Deca, Hecto y Kilo, que significan diez, cien y mil respectivamente, y los submúltipos que se forman anteponiendo las palabras griegas deci, centi y mili, que significan déci-ma, centésima y milésima parte respectivamente. Las medidas irán aumentando y disminuyendo de diez en diez.Los múltiplos y submúltiplos del metro son:El problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.

TABLA DEL SISTEMA MÉTRICO DECIMALCLASE DE MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO

LONGITUD METRO m

MASA GRAMO g

CAPACIDAD LITRO l

SUPERFICIE METRO CUADRADO

VOLUMEN METRO CÚBICO

UNIDAD ABREVIATURA EQUIVALENCIA

Kilómetro Km 1000 m

Hectómetro Hm 100 m

Decámetro Dam 10 m

Metro m 1 m

Decímetro dm 0.1 m

Centímetro cm 0.01 m

Milímetro mm 0.001 m

Sistema métrico decimalE.T. MEDICIÓN

UNIDAD 3

138

MEDIDAS DE MASALa unidad principal para medir masas es el gramo. Las medidas de masa aumentan y disminuyen de diez en

diez.Los múltiplos y submúltiplos del gramo son:

Si se quiere pasar de una unidad a otra se tiene que multiplicar (si es de una unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.MEDIDAS DE CAPACIDADLa unidad principal para medir capacidades es el litro. Estas medidas aumentan y disminuyen de diez en diez.Los múltiplos y submúltiplos del litro:

Si se quiere pasar de una unidad a otra se tiene que multiplicar (si es de una unidad mayor a otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.MEDIDAS DE SUPERFICIELa unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado. Estas medidas aumentan y disminuyen de cien en cien.Los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado son:

MEDIDA SÍMBOLO EQUIVALENCIA

Kilogramo Kg 1000 g

Hectogramo Hg 100 g

Decagramo Dag 10 g

Gramo g 1 g

Decigramo dg 0.1 g

Centigramo cg 0.01 g

Miligramo mg 0.001 g

MEDIDA SÍMBOLO EQUIVALENCIAKilolitro Kl 1000 l

Hectolitro Hl 100 l

Decalitro Dal 10 l

Litro l 1 l

Decilitro dl 0.1 l

Centilitro cl 0.01 l

Mililitro ml 0.001 l


UNIDAD 3

139

MEDIDAS DE SUPERFICIELa unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado. Estas medidas aumentan y disminuyen de cien en cien.Los múltiplos y submúltiplos del metro cuadrado son:

El problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad se-guida de tantos pares de ceros como lugares haya entre ellas.MEDIDAS DE VOLUMENLa medida fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico. Estas medidas aumentan y dis-minuyen de mil en mil. Los múltiplos y submúltiplos del metro cúbico son:

El problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad se-guida de tantos tríos de ceros como lugares haya entre ellas.


Kilómetro cuadrado 1,000,000

Hectómetro cuadrado 10,000

Decámetro cuadrado 100

Metro cuadrado 1

Decímetro cuadrado 0.01

Centímetro cuadrado 0.0001

Milímetro cuadrado 0.000001


Kilómetro cúbico 1,000,000,000

Hectómetro cúbico 1,000,000

Decámetro cúbico 1,00

Metro cúbico 1

Decímetro cúbico 0.001

Centímetro cúbico 0.000001

Milímetro cúbico 0.000000001


UNIDAD 3

140

Organización de datosE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 3

141

Organización de datosE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 3

142

Fenómenos que varían a tasa constanteE.T. PROBABILIDAD

Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 3

143

UNIDAD 4

“LA ASAMBLEA BASE DE LA ORGANIZACIÓN CO-LECTIVA EN EL MUNDO”

144



MANEJO DEL LENGUAJE

MATEMÁTICO





MATEMÁTICOS








CORRELACIÓN DE LAS



CIENTÍFICAS


MATEMÁTICO GENERAL




HUMANO

145



LÓGICA Y CONJUNTOS

CertezaPosibilidad Realidad Juicios Subjetivo ValidezApodictico Condicional Afirman Componentes

JUICIOS-El juicio es un pensamiento en el que se afirma o se niega algo de algo. Según Aristóteles, el juicio es el “pensamiento compues-to de más de una idea, pero dotado, a la vez, de una unidad especial que se logra por medio de la cópula”

ARITMÉTICA CálculoExploración CeroProgresionesOperaciones Potencia SumaMultiplicarFraccionario Sumandos

CERO- El cero (0) es el signo numérico de valor nulo, que en notación posicional ocupa los lugares donde no hay una cifra signifi-cativa. Si está situado a la derecha de un número entero, decuplica su valor;[1] colocado a la izquierda, no lo modifica.

GEOMETRÍA CírculoTangenteRadioDiámetroRadianArcoInscritoFunción trigonométricaCatetosHipotenusa

RADIAN: EL radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una cir-cunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.

ÁLGEBRA PotenciaFactoresCocientePotencia de productoLeyes de exponentesPotencia de igual baseProductosExponente Monomio Semejanza

Factor- es un divisor de otro número.Exponente- El exponente de un número nos dice cuántas veces se usa el número en una multiplicación.

MEDICIÓN AceleraciónGravedadMetro Velocidad Cambio Rapidez MagnitudVectorialUnidad Tiempo

Gravedad- es una de las cuatro interacciones fundamentales. Origina la aceleración que experimenta un cuerpo físico en las cercanías de un objeto astronómico. También se denomina interacción gravitatoria o gravitación.


mediana moda aritméticamedia tendencia

promedio posición central repetición distribución

Aritmética- es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales hechas con ellos: suma, resta, multiplicación y división.

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Por su modalidad: corresponde a los niveles de certeza: posibilidad, realidad y necesidad. Juicios Problemáticos: Expresan sólo una categoría de posibilidad, indican que algo puede suceder, ocur-rir o conocerse.Es posible que llueva en la tarde.El cáncer puede ser originado por un virus.Es probable que designen un nuevo secretario de hacienda.Tal vez consiga libertad condicional. Juicios Asertóricos: Enuncian un saber real, pero subjetivo, es decir lo que cada ser humano puede opinar y/o sentir sobre algo y que, por tanto, es sujeto de discusión y de un juicio contrario con igual validez.Cien años de soledad es el mejor libro que he leído.Las pinturas de Picasso no me gustan.La pena de muerte es un castigo justo.La tortura es mala. Juicios Apodícticos: Expresan el máximo grado de verdad, certeza y necesidad del conocimiento. Nos indican algo que debe ser por necesidad (leyes de las matemáticas, de la física y demás ciencias)La materia no se crea ni se destruye, sólo se transforma.Teorema de Pitágoras.A mayor profundidad en el mar, mayor presión.

Juicios por modalidadE.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

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La forma que con más frecuencia utilizamos para presentar un razonamiento deductivo: el argumento condicional, cuya primera premisa recoge las condiciones que exigimos para que algo se cumpla o se afirme: Si tiene paperas, no puede ir a la escuela; Si es hombre, es mortal; Si es mayor, de edad puede votar. Sea el ejemplo: Si termino los deberes, puedo salir a jugar.He terminado los deberesLuego, puedo salir a jugar.Como en todo argumento, se trata de aportar las razones que justifiquen una conclusión. El argumento condicional emplea dos: un hecho (he terminado los deberes) y, como garantía, un juicio condicional (Si termino los deberes, puedo salir a jugar). Si es mayor de edad, puede votarCarlos es mayor de edadLuego, Carlos puede votar.En términos esquemáticos: Si A, entonces afirmo BX es A.Luego, X es B Lo empleamos continuamente en cualquier tipo de cuestión: Conjetural: Si fue el asesino, tuvo que estar presente.Nominal: Si el robo es en una Iglesia, se llama sacrilegioDe valoración: Si es para algo ilegal, no cuentes conmigo. Si consigues financiación, aprobaré el plan. El juicio condicionalLos argumentos condicionales contienen, pues, como primera premisa un juicio condicional. Llamamos así a los que afirman algo sujeto a una condición suficiente: si es tinerfeño, es español. Nos señalan en qué condi-ciones, en qué supuesto, estamos autorizados para afirmar algo. Se reconocen estos juicios porque emplean la conjunción si o la expresión si... entonces: si hoy es domingo, entonces habrá misa en la ermita.Si se da A, entonces afirmo BSi es jueves, comeremos paella. En todo juicio condicional distinguimos dos componentes. A la primera parte de la proposición, la que condiciona el juicio, la llamamos antecedente y al resto, donde se expresa nuestra afirmación condicionada, consecuente. Así en el ejemplo anterior, Si es jueves forma el antecedente, y comeremos paella, el conse-cuente. Conviene no olvidarlo porque a veces el juicio se expone al revés: primero se enuncia la afirmación y luego su condición: Comeremos paella si es Jueves.Perderás el autobús si no te levantas. Los juicios condicionales que utilizamos para argumentar cuentan con el respaldo de una generalización. Puedo afirmar: Si es cebra, entonces tiene la piel rayada, porque me consta que Todas las cebras tienen la piel rayada. Dicho al revés, cualquier generalización puede convertirse en un juicio condicional. Una gener-alización descriptiva como: Siempre que viene deja su coche en la calle, nos permite afirmar: Si ha venido, estará su coche en la calle. Lo mismo ocurre con una generalización causal: Siempre que se tira una piedra a un cristal, se rompe éste, se convierte en Si tiras la piedra, romperás el cristal. En fin, lo mismo ocurre con las normas o generalizaciones normativas: Toda persona mayor de edad puede votar nos permite afirmar: Si es mayor de edad, puede votar. Ya se comprende que lo mismo vale para las generalizaciones presuntivas o probables: Los suecos, en general, son protestantes, nos permite afirmar: Si es sueca, probablemente es protestante.

Juicio condicionalE.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

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Para vivir una vida creativa debemos aprender a perder el miedo a equivocarnos. Joseph C. PearceCompetencia: Distingue, operacionaliza y jerarquiza las inferencias inmediata y mediata, distinguiendo los tipos de silogismo, modos y figuras.El término inferencia se usa en diversos contextos. Por ello no es sorprendente que sean varias las definiciones dadas por los filósofos. Considerando la inferencia definida como el conjunto de todos los procesos discursivos, es necesa-rio distinguir entre dos tipos de tales procesos: los inmediatos y los mediatos.

El proceso discursivo inmediato da origen a la llamada inferencia inmediata, pues en ella se concluye una prop-osición de otra sin intervención de una tercera. El proceso discursivo mediato da origen a la llamada inferencia mediata, en la que se concluye una proposición de otra por medio de otra u otras proposiciones.

Las inferencias inmediatas y mediatas reciben también respectivamente los nombres de procesos discursivos simples y complejos. Entre los últimos se han incluido la deducción, la inducción y el razonamiento por analogía. Ejemplo de inferencia mediata es: “Todo país subdesarrollado es dependiente; Es así que Bolivia es país subdesarrollado; Luego Bolivia es país dependiente”,

pues observamos que para pasar de la primera premisa a la conclusión, se necesita de la mediación de la segunda premisa; por tanto, el ejemplo es una premisa mediata. Si decimos: “Todo país subdesarrollado es dependiente; luego no es el caso que existan países subdesarrollados que no sean dependientes”,observamos que no se ha utilizado una premisa intermedia, pues se pasa inmediatamente de una premisa a la con-clusión.

INFERENCIAS POR OPOSICIÓN

Aristóteles, en su libro “Sobre la Interpretación”, examina aquellas combinaciones de términos que se llaman enunciados declarativos o proposiciones, es decir, las frases que constituyen asertos pero no plegarias, ni órdenes, ni exhortaciones, etc. El aserto puede ser afirmativo o negativo según que atribuya algo a algo o que separe algo de algo. Además, puede ser universal o singular; universal cuando el sujeto es universal, es decir, lo que por naturaleza se predica de varias cosas, como, hombre; es singular, cuando el sujeto es un ente sólo, como Juan.Pero un mismo término universal puede emplearse en una proposición tanto en su universalidad, como cuando se dice “todo hombre es alto”, como en su particularidad, como cuando se dice “algún hombre es alto”. Toda prop-osición es categórica cuando comienza con alguna de las palabras “todos”, “ningún” y “algunos”.

Aristóteles se preocupó por establecer la relación entre la proposición universal y la proposición particular, cada una de las cuales a su vez puede ser afirmativa o negativa; llamó contraria a la oposición entre la proposición universal afirmativa y la negativa y contradictoria a la oposición entre la universal afirmativa y la particular negativa, y la particular afirmativa y la universal negativa. La relación entre la particular y la particular negativa, la llamaron los lógicos medievales oposición sub-contraria. Se trata de una oposición para la cual, según Aristóteles, no vale el principio de contradicción. En efecto, de las dos proposiciones “algún hombre es alto”, “algún hombre no es alto”, ambas pueden ser ciertas.

En cambio, para las proposiciones que se hallan entre sí en oposición contraria y contradictoria, el principio de contradicción es rigurosamente válido. Una de las dos tiene que ser falsa y la otra cierta. Esta segunda exigencia, es decir, que una de las dos tiene que ser cierta, es la expresada por el principio que mucho después se llamó de “terce-ro excluido” y que Aristóteles, aunque sin distinguirlo del principio de contradicción, expresó y defendió repetida-mente, afirmando que “entre los opuestos contradictorios no hay medio”.

Inferencias inmediatas: oposición al predicadoE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

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Una de las claves del razonamiento crítico, es identificar los diferentes razonamientos, entonces podremos evaluarlos mas fácil y determinar sus posibles errores.

CATEGORICO, establece la pertenencia de uno o varios elementos dentro de determinado grupo o cate-goría, parte de una o mas premisas, si estas son verdaderas, y la construcción del razonamiento es correcta (valido), nos da la certeza que la conclusión es verdadera o correcta, el silogismo, determinado como dos premisas que nos permite llegar a una conclusión. El análisis implica determinar la cantidad (todos, al-gunos), y la calidad (Afirmativo o Negativo) de las premisas, así como determinar su validez, ya sea a través de diagramas de Venn, o de las reglas de la inferencia mediata Todo M es PS es MLuego S es PEL SILOGISMO

Aristóteles fue el iniciador de la lógica formal con sus estudios del silogismo, al que abordó en sus tratados “Primeros analíticos”, en el siglo IV a. C., y caracterizó como un argumento deductivo.Un silogismoes un argumento deductivo compuesto por dos proposiciones o premisas y su conclusión, en donde esta última se deduce de las otras dos.Así están compuestos a su vez por tres términos.El silogismo puede ser de diversos tipos, así entonces, se dividen en tres clases que son:El Silogismo Categórico.El silogismo Condicional o Hipotético.El Silogismo Disyuntivo.En esta ocasión trataremos el Silogismo Categórico, puesto que los otros dos silogismos están formados por proposiciones compuestas, las cuales se prestan al análisis de la Lógica Moderna proposicional en tanto que los silogismos categóricos requieren el análisis de la lógica tradicional.

La importancia de los silogismos para ordenar nuestro pensamiento

El silogismo fue muy valorado en el pasado, particularmente durante el período históricode la escolástica, inspirada en el pensamiento de Aristóteles. Amén de ser estudiado ampliamente, se empleó como método para estructurar ideas de manera clara a este tipo de razonamiento, que algunos llegaron a considerar que la lógica ya no podría avanzar más, porque toda ella estaba considerada en el estudio del silogismo. Sin embargo, la relación entre lógica y matemáticas desarrollada en el siglo XIX demostró lo equivocado de esa consideración, pues a finales de ese siglo el avance de los sistemas formales de la lógica de primer orden revolucionó la disciplina. Lo que sigue siendo verdad es que el silogismo es una herramienta útil para orde-nar el pensamiento de forma sencilla, y es de valiosa utilidad en distintos contextos argumentativos. Aunque el análisis lógico del silogismo es limitado, nos permite reconocer que las premisas de los argu-mentos contienen términos relacionados y que, si son válidos, dan lugar necesariamente a la conclusión.

El Silogismo Categórico

Es el silogismo constituído por juicios categóricos. En los juicios categóricos la enunciación se cumple en forma incondicional; porque no está sujeto a ninguna condición. Por ende , el juicio es claro y preciso. Ejemplo:Los insectos son invertebrados.La mariposa es un insecto. Cl. Por lo tanto, la mariposa es un invertebrado.

Razonamiento categórico condicionalE.T. LÓGICA Y

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Los elementos principales del silogismo categórico.Además de contener dos premisas y su conclusión, los silogismos se caracterizan por contar con tres términos, que aparecen en el sujeto o en el predicado de los enunciados que son premisas o conclusión. Podemos identificar cada término ubicándolo por el lugar que ocupa en la conclusión y después reconoc-erlo dentro de las premisas. Así, llamamos Término mayor al que figura en el predicado de la conclusión y que también aparece en el sujeto o el predicado de la primera premisa conocida como premisa mayor y la denotamos con “P” mayúscula. Denominamos término menor al ubicado en el sujeto de la conclusión y que también aparece en la segunda premisa del razonamiento es decir en la premisa menor y lo represen-tamos con “S”mayúscula. Y finalmente llamamos Termino medioal que no aparece nunca en la conclusión pero se repite en ambas premisas, ya sea como sujeto o como predicado, lo representamos con la letra “M” mayúscula.

La conclusión es el resultado o consecuencia de la deducción a partir de los dos primeros juicios o prop-osiciones.

Razonamiento categóricocondicionalE.T. LÓGICA Y

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En el continente americano descollaron dos grandes civilizaciones localizadas en América del norte y central, las cultu-ras Azteca y Maya. Fueron cultores del estudio de la astronomía, realizando grandes y precisos cálculos de la posición del sol y los astros, en las matemáticas los Mayas dejaron un legado de conocimiento que solamente se conoció con las exploraciones arqueológicas adelantadas en el siglo XX.Civilización maya.- Los Mayas habían desarrollado una floreciente civilización en América central, practicaban el comercio y la agricultura por medio de las observaciones solares, teniendo un avan-zado sistema numérico en uso por los años 400 – 300 a.C., su sistema tiene alguna semejanza con el romano aunque en algunos aspectos es superior. Conocieron el cero y su sistema de numeración es de base veinte o vigesimal pero posicional, utilizaban el cinco como base auxiliar.

SISTEMA NUMÉRICO MAYA

Los números del uno al diecinueve se representaban por medio de puntos y barras consecutivas verticales, el numero uno era representado por un punto, los puntos se repetían hasta cuatro veces para obtener el cuatro, el cinco era una raya hori-zontal que le se iban añadiendo puntos hasta llegar al nueve. Las barras se podían repetir hasta tres veces en combinación

de los puntos, hasta llegar al diecinueve. Este sistema numérico se interpretaba de abajo hacia arriba,

El cero se representaba por un ojo o una concha semicerrada con un punto adentro, para los números superiores al diecinueve aplicaban su sistema posicio-nal de las cifras, con progresiones de veinte en veinte de abajo hacia arriba, (200 – 201 – 202 – 203…), con las cuales se podían realizar operaciones de diverso orden. Se citan a continuación algunos ejemplos de aplicación del sistema de numeración maya:

En los cómputos de tiempo y observación astronómica existía variación en la tercera

posición, no se utilizaba la cifra 202 que era reemplazada por 20 x 18, con el objeto de obtener una mayor precisión en sus cálculos. Se citan a continuación algunos ejemplos de aplicación del sistema de numeración maya

Sistema de numeración MayaE.T. ARITMÉTICA

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Multiplicar por 2 es lo mismo que sumarle al número inicial el mismo número. La duplicación y la media-ción son un pilar fundamental de las matemáticas egipcias.Ejemplo: multiplicar 173 × 16:Esto se puede hacer por duplicaciones sucesivas: 173 × 16 = 346 × 8 = 692 × 4 = 1384 × 2 = 2768.La multiplicación y la mediación sirven, en general, para calcular el producto de un número cualquiera por el producto de potencias de 2 y de 5. Multiplicar por 5 es lo mismo que calcular la mitad del número inicial multiplicado por 10, lo que a veces es más fácil de hallar.Ejemplo: multiplicar 376 × 125Como 125 = 5³ = 10³/2³, se puede hallar la solución añadiendo los tres ceros correspondientes y dividiendo el resultado tres veces por 2.376 × 125 = 376000/8 = 188000/4 = 94000/2 = 47000.324 x 125 = 324000/8 = 162000/4 = 81000/2 = 40500.Es útil conocer algunas potencias de 2 y 5 para realizar estas operaciones con soltura.También se puede utilizar este método para multiplicar por otros números que son sumas de (pocas) poten-cias de 2 o de 5, como 12 (8 + 4), 130 (125 + 5), 18 (16 + 2), etc.Multiplicación por números cercanos a las potencias de 10Multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es decir, por una potencia de 10 menos 1 (o más 1), se puede hacer men-talmente con un poco de práctica mediante la suma (o resta) de 10n veces el número inicial más (o resta) del número inicial. Sin embargo, es fácil cometer errores al sumar o restar al mezclar, por ejemplo, uni-dades con decenas.Ejemplo: multiplicar 28 × 9928 × 99 = 28 × (100 - 1) = 2800 - 28 = 2772Otro ejemplo: multiplicar 37 × 121121 es el cuadrado de 11, así que lo que se pide es lo mismo que multiplicar 37 por 11 y el resultado de nuevo por 11: 37 × 121 = 37 ×(10 + 1) × 11 = (370 + 37) × 11 = 407 × 11 = 4477Además multiplicar por 11 resulta fácil: se separan las cifras y luego se escribe siempre cifra de las uni-dades y seguidamente se van sumando grupos de dos cifras seguidas poniendo el resultado o la última cifra de la suma llevando un acarreo de 1 si la suma es mayor que 10, y finalmente se coloca la cifra más significativa, así:Multiplicar:12345 × 11 : 1° las unid 5, 5+4=9, 4+3=7, 3+2=5,2+1=3, y finalmente 1; ahora colocar en orden inverso : 1357958946 × 11 : 1° las unid 6, 6+4=10 (0 y lleva 1), 4+9+1(acarreo)=14 (4 y lleva 1), 9+8+1(acarreo)=18 (8 y lleva 1), y finalmente 8+1(acarreo)=9; ahora colocar en orden inverso : 98406Análogamente, se puede aplicar esto a las multiplicaciones por potencias de 2, o de 5, más 1. Por ejemplo, 26, 17, 124 y 63

Leyes de Identidad - Pensamiento lógico AristotélicoE.T. LÓGICA Y

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Leyes de IdentidadE.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

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Adición de números fraccionariosE.T. ARITMÉTICA

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Resta de números fraccionariosE.T. ARITMÉTICA

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Resta de números fraccionariosE.T. ARITMÉTICA

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Multiplicación de números fraccionariosE.T. ARITMÉTICA

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Multiplicación por 37Primero, basta recordar lo siguiente:37 × 3 = 11137 × 27 = (37 × 3) × 9 = 999 = 1000 - 1El procedimiento NO es este (Es un proceso muy difícil, pero no es el proceso auténtico):NO se divide el otro factor entre 3. Hay que re-cordar el cociente y el resto. Si el resto es 1, al resultado final habrá que sumar 37; si es 2, habrá que sumar 74. Ejemplo engañoso y embustero (Nada recomend-able): en 37 × 94, se toma 94 : 3 = 31, resto 1. Ahora el producto es 111 × 31.

NO es posible hacer la siguiente operación: dividir el cociente del paso anterior entre 9. El cociente se multiplica por 999 (= 1000 - 1) y el resto por 111. En el ejemplo anterior, 31 : 9 = 3, resto 4. Ahora tenemos la suma de dos productos: 999 × 3 (= 2997, o, si se prefiere, 3000 - 3) y 111 × 4 = 444. Como el resto del primer cociente que hicimos era 1, al resultado habrá que sumar 37.

Se suma todo. 3000 - 3 + 444 + 37 = 3000 + 444 + 37 - 3 (a menudo es más fácil organizar los términos de esta forma, dejando el número que se resta al final) = 3444 + 34 = 3478.

Una variante es tomar por exceso y no por defec-to el cociente de la división del primer paso. Esto significa que se suma uno al cociente y al resto se le restan 3. Así, en lugar de un número de la forma 3 × Q + R (donde R = 1 ó 2) tenemos uno de la forma 3 × (Q + 1) + R’ (donde R’ = -2 ó -1, respec-tivamente), y al resultado final se le restará 74 o 37 (porque el nuevo “resto” de la división es negativo).Más ejemplos:37 × 54 = 111 × 18 = 999 × 2 = 2000 - 2 = 199837 × 79 (método usual) = 111 × 26 + 37 = 999 × 2 + 111 × 8 + 37 = 2000 - 2 + 888 + 37 = 2925 - 2 = 292337 × 79 (variante) = 111 × 27 - 74 = 999 × 3 - 74 = 3000 - 3 - 74 = 3000 - 77 = 2923 Como se puede comprobar, en este caso la variante

es más fácil, aunque no tiene por qué ser siempre así. En general, si el factor es uno o dos menos que un múltiplo de 27 (recordar que 37 × 27Q = 999Q), es más sencillo ir a por ese múltiplo de 27.Si uno de los factores del producto no es 37 pero sí un múltiplo, se puede reformular la multiplicación haciendo que uno de los factores sea 37. Probemos por ejemplo con los siguientes cuadrados:74 × 74 = 37 × 2 × 74 = 37 × 148 = 111 × 49 + 37 = 999 × 5 + 111 × 4 + 37 = 5000 - 5 + 444 + 37 = 5444 + 32 = 5476111 × 111 = 37 × 3 × 111 = 37 × 333 = 999 × 12 + 333 = 12000 - 12 + 333 = 12321 (en este caso, como ya teníamos el 333, el procedimiento era más sencillo)148 × 148 = 37 × 4 × 148 = 37 × 592 = 111 × 198 - 74 (en este caso se vuelve a emplear la variante porque 594 es múltiplo de 27) = 999 × 22 - 74 = 22000 - 22 - 74 = 21904Métodos así funcionan cuando uno de los facto-res de la multiplicación tiene a su vez un múltiplo que es una concatenación de nueves. Se trata pues de encontrar ese múltiplo. Otro ejemplo notable es el número 142857. No sólo el producto de este número por 7 es igual a 999999, sino que su tabla de multiplicar es muy sencilla, ya que en la cadena 142857142857... basta con tomar seis dígitos con-secutivos a partir de una posición dada:142857 × 1 = 142857142857 × 2 = 285714142857 × 3 = 428571142857 × 4 = 571428142857 × 5 = 714285142857 × 6 = 857142Probemos a calcular el cuadrado de este número de seis cifras (!):142857 × 142857 = (142857 × 7) × (142857 : 7) = 999999 × 20408 + 142857 (Como el resto de 142857 : 7 da 1, al resultado de la multiplicación hay que sumarle 142857. Es lo mismo que se hacía en la multiplicación por 37) = (1.000.000 - 1) × 20.408 + 128.857 = 20.408.000.000 - 20.408 + 142857 = 20.408.000.000 + 122.449 = 20.408.122.449


UNIDAD 4

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Perpendiculares del radioEl radio (o diámetro) perpendicular a la cuerda la biseca. La conversa también se cumple: si un radio biseca una cuerda entonces es su mediatriz.

Demostración: Porque en un isósceles la altura y la mediatriz coinciden. Conversa: Si el radio biseca la cuerda entonc-es el punto de bisección, los extremos de la cuerda y el centro forman dos triángulos congruentes --por criterio LLL. De aquí que los ángulos en el punto de bisección --que son correspondientes-- son iguales. Pero forman un llano; luego, son rectos.

Tangente de un círculo

Tangente (línea)

Una línea que apenas toca a una curva en un punto, sin cortarla. Ejemplo: La tangente de un círculo.La tangente al círculo es perpendicular al radio en el punto de tangencia.

Demostración: Porque el radio es la distancia más corta a la tangente. Y la distancia más corta a una recta es la distancia perpendicular.

Perpendiculares del radio tangente de un círculoE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 4

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Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

Esta propiedad también se conoce como un corolario. Un corolario corresponde a un teorema que surge como consecuencia de otro.

Para demostrar entonces este corolario, usaremos el teorema de ángulo inscrito, que dice: “Todo ángulo inscrito mide la mitad del arco que lo subtiende” o “Todo ángulo inscrito mide la mitad del ángulo cen-tral subtendido por el mismo arco”

Como ya sabemos un ángulo inscrito en una circunferencia mide la mitad del arco que lo subtiende. Ahora como el arco que subtiende corresponde al diámetro de la circunferencia, entonces corresponde a la mitad de la circunferencia, por lo tanto, el arco mide 180º.

Ahora si tenemos un ángulo inscrito en una circunferencia, y el arco que lo subtiende mide 180º, por propiedades de ángulo inscrito, el ángulo alfa mide 90º, quedando así demostrada esta propiedad.

¿De qué tipo es el triángulo que se inscribe a una semicircunferencia, siendo uno de sus lados el diámet-ro de esta?

Ángulo inscrito en una semicircunferenciaE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 4

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Ángulo central en la circunferenciaE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 4

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Razones o funciones trigonométricas.

Se les conoce de las dos maneras, a tal punto que el nombre es correc-to en ambos casos: hablar de razones o funciones trigonométricas es lo mismo y hacemos referencia a las relaciones que podemos establecer entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.

Las razones o funciones trigonométricas que pueden establecerse para cualquier triángulo rectángulo son seis y se dividen en dos grupos:

Razones o funciones fundamentalesRazones o funciones recíprocas

Las funciones fundamentales son las siguientes:

Cuando se habla de cateto opuesto (c op), ca-teto adyacente (c ady) y de hipotenusa (hip) en las fórmulas que anteceden, siempre se quiere decir “medida de”, es decir por ejemplo: me-dida del cateto opuesto dividido medida de la hipotenusa. Sólo se abrevian de ese modo para memorizarlas de un modo más sencillo, pero todos los casos, hablamos de las medidas de esos lados.

Las funciones recíprocas también son tres. Aunque no las utilizaremos al principio, es importante saber que existen y cuáles son. Se llaman respectivamente: Cosecante, es la inversa a la función seno, es decir hip/c op, secante, es la inversa a la función coseno, es decir hip/c ady, y cotangente es la inversa a la función tangente, es decir c ady / c op.

En resumen:Que al ángulo recto de un triángulo rectángulo generalmente se lo denomina A y su lado opuesto

es la hipotenusa (a).Que a los ángulos agudos del triángulo rectángulo, generalmente se los llama B y C; que lados

que se oponen a los mismos se llaman catetos opuestos y se los nombra con la respectiva letra minúscula (“b” y “c”).

Que las funciones fundamentales de la trigonometría son tres: seno, coseno y tangente.

Trigonometría: razones trigonométricasE.T. GEOMETRÍA

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Leyes de los exponentesE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 4

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Potencia de un productoE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 4

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Divisiones de potenciasE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 4

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MonomiosE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 4

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PolinomiosE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 4

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Unidad de aceleración. La unidad de medida de la aceleración en el Sistema Internacional de Uni-dades es el metro por segundo al cuadrado.Esta es una unidad de medida derivada.

m= metroS= segundos

AceleraciónLa aceleración relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo en el que se producen, es decir, lo que mide de rápidos son los cambios de velocidad:

Una aceleración grande significa que la velocidad cambia rápidamente.Una aceleración pequeña significa que la velocidad cambia lentamente.Una aceleración cero significa que la velocidad no cambia.La aceleración nos dice cómo cambia la velocidad y no cómo es la velocidad. Por lo tanto un móvil puede tener un velocidad grande y una aceleración pequeña (o cero) y viceversa. Unidad de medidas de la aceleración en el sistema CGS cuyo símbolo es Gal en honor a Galileo. Es equivalente al centímetro por segundo al cuadrado (cm/s2). Se utiliza para medir la intensidad del campo gravitacional de la tierra y la aceleración de la gravedad varía de 978 a 983 Gal, disminuye de los polos al ecuador con el aumento de la altura con respecto al centro de la tierra.

Unidades de AceleraciónConcepto: Magnitud vectorial que nos indica el

cambio de velocidad por unidad de tiempo.

fórmula

m/s2

Aceleración SÍMBOLO EQUIVALENCIA

pie (UK, US) por segundo al cuadrado ft/s2 0,304 8 m/s2

gal Gal 0,01 m/s2

Kilómetro por hora al cuadrado km/h2 7,72.10-5m/s 2

pulgada por segundo al cuadrado in/s2 25,4.10-3m/ s2

yarda por segundo al cuadrado yd/s2 0,914 4 m/s2

Aceleración de la gravedad convencional - 9,806 65 m/s2

Unidades derivadas: la aceleración E.T. MEDICIÓN

UNIDAD 4

182

Media aritmética, mediana y modaE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 4

183

Mediana y modaE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 4

184

MedianaE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 4

185

ModaE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 4

186

UNIDAD 5

“EL CUIDADO DEL MEDIO AMBIENTE EN EL MUNDO”

187



MANEJO DEL LENGUAJE

MATEMÁTICO





MATEMÁTICOS








CORRELACIÓN DE LAS



CIENTÍFICAS


MATEMÁTICO GENERAL




HUMANO

188


LÓGICA Y CONJUNTOS

ClasificaciónConexiónCarácterGéneroPosibilidadProbabilidadAsertóricosApodícticosLeyesCondicional

LEY.-Una ley física o ley científica es un principio teórico deducido de hechos concretos, aplicable a un grupo definido de fenómenos y que se puede enunciar como que un fenómeno en particular siempre ocurre si se presentan ciertas condiciones.

CONDICIONAL.– Implicación material, condicional funcional de verdad o simplemente condicional, es una constante lógica que conecta dos proposiciones.

ARITMÉTICA

EtimologicoRazonPensarIdentificarCompararClasificarSeriarIdentidadContradicciónIncomprensible

COMPARAR.- Examinar dos o más cosas para encontrar parecidos y apreciar diferencias entre ellas SERIAR.-es una operación lógica que a partir de un sistemas de referencias, permite establecer relaciones comparativas entre los elementos de un conjunto, y ordenarlos según sus diferencias, ya sea en forma decreciente o creciente.

GEOMETRÍA

HomoteciasReducciónAmpliaciónNaturalCentroDimensiónAstronomíaTrípoideIsóselesCalibrador

REDUCCIÓN.-consiste en eliminar una de las incógnitas, para ello se amplifica una (o ambas) ecuaciones por ciertos factores de modo que el coeficiente de una de las incógnitas de una de las ecuaciones sea el opuesto al coeficiente de la misma incógnita en la otra ecua-ción. Se suman las ecuaciones y así se elimina dicha incógnita.

DIMENSIÓN.-es un número relacionado con las propiedades métri-cas o topológicas de un objeto matemático.

ÁLGEBRA

Expresión algebraricaPolinomioSustracciónVerticalFactorProductoRepresentaciónMonomioFracciónCambio

SUSTRACCIÓN.-es una operación matemática que se representa con el signo (-), representa la operación de eliminación de objetos de una colección. Está representada por el signo menos (-).

FACTORES.-Los Factores son los números que se multiplican para obtener otro número.

MEDICIÓN

TemperaturaAbsolutaRelativaKelvinMoleculaAtomosCelsiusCongelaciónEbulliciónTermometro

CELSIUS.- Es la unidad termométrica cuyo 0 se ubica 0,01 grados por debajo del punto triple del agua y su intensidad calórica equivale a la del kelvin.

TERMÓMETRO.– es un instrumento de medición de temperatura. Desde su invención ha evolucionado mucho, principalmente a partir del desarrollo de los termómetros electrónicos digitales.


FrecuenciaExactitudDeterministaAleatorioDistintoEspacio muestralEventoEmpiricoDetonaráRegularidad

FRECUENCIA.-Magnitud que mide el número de repeticiones por unidad de tiempo de cualquier fenómeno o suceso periódico.

ALEATORIO.– Es una variable estadística cuyos valores se obtie-nen de mediciones en experimento aleatorio.


189

Juicios por modalidad: Juicios de posibilidadE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

UNIDAD 5

190

Juicio condicionados y Silogismos condicionalesE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

UNIDAD 5

191

Inferencias inmediatas: Cambio de relaciónE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

UNIDAD 5

192

En el latín y también en el griego es donde nos encontramos con el origen etimológico de las dos palabras que dan forma al término pensamiento lógico que ahora vamos a analizar en profundidad. En concreto, pensamiento emana del verbo pensare que es sinónimo de “pensar”. Lógico, por su parte, tiene en el griego su punto de origen pues procede del vocablo logos que puede traducirse como “razón”. El pensamiento lógico matemático incluye cálculos matemáticos, pensamiento numérico, solucionar problemas, para comprender conceptos abstractos, razonamiento y comprensión de relaciones. Todas estas habilidades van mucho más allá de las matemáticas entendidas como tales, los beneficios de este tipo de pensamiento contribuyen a un desarrollo sano en muchos aspectos y consecución de las metas y logros personales, y con ello al éxito personal. La inteligencia lógico matemática contribuye a:Desarrollo del pensamiento y de la inteligencia.Capacidad de solucionar problemas en diferentes ámbitos de la vida, formulando hipótesis y estableciendo pre-dicciones.

Fomenta la capacidad de razonar, sobre las metas y la forma de planificar para conseguirlo.Permite establecer relaciones entre diferentes conceptos y llegar a una comprensión más profunda.Proporciona orden y sentido a las acciones y/o decisiones.

10 Estrategias para estimular el desarrollo del pensamiento matemático.

La estimulación adecuada desde una edad temprana favorecerá el desarrollo fácil y sin esfuerzo de la inteligencia lógico matemática y permitirá al niño/a introducir estas habilidades en su vida cotidiana. Esta estimulación debe ser acorde a la edad y características de los pequeños, respetando su propio ritmo, debe ser divertida, significati-va y dotada de refuerzos que la hagan agradable.

Permite a los niños y niñas manipular y experimentar con diferentes objetos. Deja que se den cuenta de las cual-idades de los mismos, sus diferencias y semejanzas; de esta forma estarán estableciendo relaciones y razonando sin darse cuenta.

Emplea actividades para identificar, comparar, clasificar, seriar diferentes objetos de acuerdo con sus característi-cas.

Muéstrales los efectos sobre las cosas en situaciones cotidianas. Por ejemplo, como al calentar el agua se pro-duce un efecto y se crea vapor porque el agua transforma su estado.Genera ambientes adecuados para la concentración y la observación.Utiliza diferentes juegos que contribuyan al desarrollo de este pensamiento, como sudokus, domino, juegos de cartas, adivinanzas, etc.

Plantéales problemas que les supongan un reto o un esfuerzo mental. Han de motivarse con el reto, pero esta dificultad debe estar adecuada a su edad y capacidades, si es demasiado alto, se desmotivarán y puede verse dañado su auto concepto.Haz que reflexionen sobre las cosas y que poco a poco vayan racionalizándolas. Para ello puedes buscar eventos inexplicables y jugar a buscar una explicación lógica.Deja que manipule y emplee cantidades, en situaciones de utilidad. Puedes hacerles pensar en los precios, jugar a adivinar cuantos lápices habrá en un estuche, etc.Deja que ellos solos se enfrenten a los problemas matemáticos. Puedes darles una pista o guía, pero deben ser ellos mismos los que elaboren el razonamiento que les lleve a la solución.

Sistema de numeración AztecaE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 5

193

Filosofía II: Los principios lógicos supremos La ciencia, dice Aristóteles, “se deriva de principios que son necesarios” y que no necesitan ser demostrados porque son en sí mismos evidentes. De esta manera, la ciencia, el conocimiento mismo, parte de ciertos principios fundamentales o “puntos de partida”, sin los cuales no sería posible pensar con orden, con sentido y rigor lógico.

La lógica tradicional nos habla de los principios lógicos supremos que rigen el proceso del pensamiento. Estos prin-cipios son de tal amplitud que se aplican a las distintas ciencias particulares (matemática, física, historia, etcétera).El campo extraordinariamente amplio de aplicación de las leyes de la lógica se explica por el hecho de que estas leyes reflejan facetas y relaciones de los objetos del mundo material tan simples que se dan en todas partes. Estos principios lógicos son cuatro:

a) El principio de identidad

“A es A”Decir que una cosa es idéntica a sí misma significa que una cosa es una cosa. Podemos decir que una cosa cambia constantemente, sin embargo, sigue siendo ese mismo objeto, pues si no fuese así, no podríamos decir que ese obje-to ha cambiado. Todas las cosas, por mucho que éstas cambien, tienen algo que las identifica, un sustrato lógico que nos permite identificarlas en la totalidad de sus diversas situaciones. La identidad es una ley de nuestro pensamiento, ya que éste reclama buscar la identidad de las cosas.

En primera instancia, cuando formalmente aludimos al primer principio lógico llamado de identidad, nos referimos a los objetos o cosas, por lo cual, hablando con rigor, éste sería un principio de carácter ontológico, porque nos referimos a las cosas (recordemos que la ontología estudia los objetos o cosas). Para que fuera un principio estrict-amente lógico tendríamos que aplicarlo o referirlo a los juicios o enunciados, diciendo, por ejemplo: que “todo enunciado es idéntico a sí mismo”. Pues bien, es necesario tomar en cuenta esta misma observación al estudiar los demás principios lógicos supremos que postula la lógica tradicional, en los cuales advertiremos siempre un plano ontológico (cuando se refieren a objetos o cosas) y un plano lógico (cuando se refieren a formas lógicas, como los juicios). b) El principio de no contradicción

Este principio se enuncia diciendo: “es imposible que algo sea y no sea al mismo tiempo y en el mismo sentido”. En forma esquemática se puede simbolizar así:“Es imposible que A sea B y no sea B.”

Por ejemplo, no es posible que un objeto sea un libro y no sea, a la vez, un libro. Es posible pensar que el obje-to pueda ser algo ahora y no ser ese algo después, pero no al mismo tiempo. Así, lo que antes fue un libro puede ser ahora basura o cenizas. Yo puedo estar aquí ahora y no estar después, pero no al mismo tiempo. Así como el principio de identidad nos dice que una cosa es una cosa, el principio de no contradicción nos dice que una cosa no es dos cosas a la vez. En el plano lógico, de los juicios, este principio de no contradicción nos dice que: dos juicios contradictorios entre sí no pueden ser verdaderos los dos. Por ejemplo: • “Todos los hombres son mortales.” • “Al-gunos hombres no son mortales.” En este caso, sólo el primer juicio es verdadero.c) El principio del tercero excluido

Este principio declara que todo tiene que ser o no ser “A es B” o “A no es B”.Si decimos, por ejemplo, que “el perro es un mamífero” y que “el perro no es mamífero”, no podemos rechazar estas dos proposiciones como falsas, pues no hay una tercera posibilidad. En el principio de tercero excluido es preciso reconocer que una alternativa es falsa y otra verdadera y que no cabría una tercera posibilidad.

Sistema de numeración AztecaE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 5

194

Millón BillónNormalmente es fácil decir el número más grande de boca pero poco incomprensible para escribir a los númer-os de esos casos esta tabla de Millón Billón Trillón puede ayudarle para representar los números en varias unidades. Utilizando la tabla, puede convertir cualquier número en cualquier representación como en Millón, Billón, Trillón, miles, cientos y regular las notaciones.

Lectura de números largosPara leer un número de varias cifras, por ejemplo, 4123157249433: primero se separa el número en grupos de tres cifras de derecha a izquierda usando un punto, 4.123.157.249.433. Luego, se leen de izquierda a derecha los grupos de cifras de acuerdo con la posición que ocupen, así: 4 billones. 123 miles de millones. 157 millones. 249

mil. 433.

Escribe en el cuadro cada grupo de cifras de acuerdo a su nombre, para facilitar la lectura de cada número.

Separa el número en grupos de tres cifras y escríbelo en letras

Unit Value

1 cientos 100

1 mil 1000

10 mil 10000

1 Millón 1000000

10 Millón 10000000

100 Millón 100000000

1 Billón 1000000000

10 Billón 10000000000

100 Billón 100000000000

1 Trillón 1000000000000


UNIDAD 5

195

Fracciones decimalesUna fracción decimal es aquella que tiene como denominadores los números 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000,… Se leen:


UNIDAD 5

196


UNIDAD 5

197

Raíz Cuadrada de números decimalesE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 5

198


UNIDAD 5

199


UNIDAD 5

200

Todas las propiedades que conocemos de las potencias de números enteros pueden aplicarse a la potenciación de números fraccionarios.

POTENCIA DE UNA FRACCIÓN Para elevar una frac-ción a una potencia, se elevan el numera-dor y el denominador a dicha potencia

Potenciación de fraccionesUNIDAD 5

E.T. ARITMÉTICA

201

Potenciación de fraccionesUNIDAD 5

E.T. ARITMÉTICA

202

El cálculo mental consiste en realizar cálculos matemáticos utilizando sólo el cerebro, sin ayudas de otros instrumentos como calculadoras o incluso lápiz y papel o los dedos para contar fácilmente. También se puede considerar cálculo mental al uso del cerebro y cuerpo. Algunos calculistas pueden realizar operaciones matemáticas muy complejas (como productos de números de 4 o más cifras) mediante el cálculo mental. Sin embargo, los mejores matemáticos muchas veces no coinciden con los mejores calculistas.

La práctica del cálculo mental te ayuda para que pongas en juego diversas estrategias. Es una actividad matemática cotidiana. Entre sus beneficios se encuentran: desarrollo del Sentido Numérico y de habilidades intelectuales como la atención y la concentración, además de gusto por las Matemáticas.

Para su enseñanza es aconsejable enseñar el descubrimiento de reglas nemotécnicas fáciles así como las de selección de estrategias

Realiza los ejercicios sin usar ningún aditamento (lápiz, calculadora etc.)

Cálculo mentalUNIDAD 5

E.T. ARITMÉTICA

203

La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o un mapa. Es la relación de proporción que existe entre las medidas de un mapa con las originales.A la hora de representar objetos sobre un papel nos podemos encontrar tres casos diferentes: El objeto a dibujar es demasiado grande y al dibujarlo hay que hacerlo más pequeño. En este caso se emplea escala de reducción.El objeto a representar tiene el tamaño adecuado para el dibujo y se puede dibujar tal cual es. Ésta se denomi-na escala natural.El objeto a representar es tan pequeño que hay que dibujarlo más grande de lo que es en realidad. Esta escala se llama escala de ampliación.Para indicar la escala a la que está representado un plano se una fracción en la que el numerador está asociado al dibujo y el denominador al objeto real:

Ejercicio:

Las escalas de ___________representan dibujos más pequeños que la realidad. Las escalas de ______________representan dibujos mayores que la realidad. En una escala natural, el dibujo y el objeto real son_____________.Así, por ejemplo: 1/50 quiere decir que la realidad es 50 veces _____________que el dibujo.5/1 indica que la realidad es 25 veces __________________que el dibujo.1/100 indica que 1 cm en el________________ 1 son 100 cm en la realidad.

Proporción

Escala

1/100 ó 1:100 Se trata de una escala de reducción en la que cada centímetro del dibujo es en la realidad 100cm (1 metro).

1/1 ó 1:1 Se trata de una escala natural en la que cada centímetro del dibujo es 1cm en la realidad.

100/1 ó 100:1 Se trata de una escala de ampliación en la que 100 centímetros del dibujo son en la realidad 1cm.

Dibujo a escala y homoteciasUNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

204


E.T. GEOMETRÍA

1/1 indica que 1 cm en el dibujo es __________________5 cm en la realidad.

Para indicar que el dibujo es 25 veces mayor escribiré ________________.

Para indicar que la realidad es 200 veces mayor que el dibujo, escribiré ____________.

En una escala 1/2, 40 cm en la realidad serán ______________cm en el dibujo.

En un escala 1/10, 20 cm en el dibujo son ________________ cm en la realidad.

En una escala 1/1, ______________mm en el dibujo serán 28 mm en la realidad

Dibuja en tu cuaderno cada una de las piezas siguientes empleando la escala 2/1.

205

En la figura tienes un triángulo rectángulo ABC y su homotético A’B’C’.

Halla la razón de la homotecia y calcula las dimensiones de los triángulos.En la figura tienes dos triángulos. Determina si son homotéticos y calcula, en su caso, el centro, la

razón de la homotecia y las dimensiones de los triángulos.

Señala el centro y la razón de homotecia en los siguientes casos:

Completa la figura sabiendo que A’ es la imagen de A y que la razón de homotecia vale 3. Indica el centro de homotecia.


E.T. GEOMETRÍA

206

Completa la figura sabiendo que A’ es la imagen de A, y que B’ es la de B. Indica el centro y la razón de homotecia.

A’ B’

Aplicaciones de las homotecias.

Astronomía.Los estudiantes de Astronomía utilizan un aparato, llamado tubo negro, con el que se realizan diferentes experimentos. Para construirlo se puede utilizar un tubo de PVC de 180 por 15 centímetros al que se coloca en uno de sus extremos un círculo de aluminio con un agujero central de 1mm de diámetro. El otro extremo se cierra con papel cebolla.

Veamos, sabiendo que la distancia desde la Tierra hasta el Sol es de 149’1 millones de Km, cómo estimar el diámetro solar:Se coloca el tubo sobre un trípode y se orienta al Sol. En la figura observamos los dos triángulos isós-celes relacionados mediante una homotecia, de razón negativa, que tiene el centro en el vértice común O. Si medimos con un calibrador el diámetro del disco proyectado sobre el papel, podremos establecer el diámetro solar mediante la proporción:

Hemos realizado las operaciones expresando las medidas en metros. El diámetro verdadero es de 1391000 Km, lo que indica la asombrosa precisión del aparato.

Cálculo de distancias.Deseamos calcular la profundidad del pozo, para ello disponemos del aparato de la figura y nos disponemos en la forma que nuestro protagonista.

Los triángulos ABC y AB’C’ son homotéticos, en consecuencia es

igual la razón entre lados homólogos:Como los lados AB, BC y B’C’ son fáciles de medir, podemos despe-jar la longitud AB’. Sólo hay que restarle la altura del aparato para conocer la profundidad del pozo.


E.T. GEOMETRÍA

207

Área y volumen de una figura o sólido geométrico

UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

208


UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

209


UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

210


UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

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UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

212


UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

213


UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

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UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

215


UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

216


UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

217


UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

218


UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

Ejercicios de afirmación

219

Invariancia de los ángulosUNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

Invariancia de círculos, ángulos y razón cruzada.

Toda transformación de Möbius mandacírculos en círculos. En efecto, ya sabemos que todas las transfor-maciones afines y la inversión mandancírculos en círculos, y que cualquier transformación de Möbius es composición de éstas!XOtra manera de verlo es, como en el caso de la inversión, substituyendo z = T (w) enla ecuación de un círculo, para ver que se obtiene la ecuación de otro círculo.Veremos otra demostración de esto y de que además se preservan los ángulos entrelos círculos, en base a entender, como lo hicimos antes con las traslaciones y las afines,cuándo podemos mandar un conjunto de puntos en otro mediante una transformación de

Möbius.

Möbius: La banda o cinta de Möbius o Moebius (/moˈebius/) es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta en forma independiente por los matemáticosalemanesAugust Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

220

Trigonometría: Problemas de aplicación de las razones trigonométricas

UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

221

Trigonometría: Problemas de aplicación de las razones trigonométricas

UNIDAD 5

E.T. GEOMETRÍA

222

Suma y Resta de polinómiosUNIDAD 5

E.T. ÁLGEBRA

223

Multiplicación de polinomiosUNIDAD 5

E.T. ÁLGEBRA

224

Multiplicación de un monomio y de un polinómio

UNIDAD 5

E.T. ÁLGEBRA

225

División de polinómiosUNIDAD 5

E.T. ÁLGEBRA

226

En el sistema internacional de unidades, la unidad de temperatura es el Kelvin. Existen dos categorías en las unidades de medida para la temperatura: absolutas y relativas.- Absolutas son las que parten del cero absoluto, que es la temperatura teórica más baja posible, y cor-responde al punto en el que las moléculas y los átomos de un sistema tienen la mínima energía térmica posible. Kelvin (sistema internacional): se representa por la letra K y no lleva ningún símbolo “º” de grado. Fue creada por William Thomson, sobre la base de grados Celsius, estableciendo así el punto cero en el cero absoluto (-273,15 ºC) y conservando la misma dimensión para los grados. Esta fue establecida en el sistema internacional de unidades en 1954.

- Relativas por que se comparan con un proceso fisicoquímico establecido que siempre se produce a la misma temperatura. - Grados Celsius o Grados Centigrados (sistema internacional): o también denomina-do grado centígrado, se representa con el símbolo ºC. Esta unidad de medida se define escogiendo el punto de congelación del agua a 0º y el punto de ebullición del agua a 100º , ambas medidas a una atmósfera de presión, y dividiendo la escala en 100 partes iguales en las que cada una corresponde a 1 grado. Esta escala la propuso Anders Celsius en 1742, un físico y astrónomo sueco. - Grados Fahrenheit (sistema interna-cional): este toma las divisiones entre los puntos de congelación y evaporación de disoluciones de cloruro amónico. Así que la propuesta de Gabriel Fahrenheit en 1724, establece el cero y el cien en las temperaturas de congelación y evaporación del cloruro amónico en agua. Este utilizo un termómetro de mercurio en el que introduce una mezcla de hielo triturado con cloruro amónico a partes iguales. Esta disolución salina concentrada daba la temperatura más baja posible en el laboratorio, por aquella época. A continuación realizaba otra mezcla de hielo triturado y agua pura, que determina el punto 30 ºF, que después fija en 32 ºF (punto de fusión del hielo) y posteriormente expone el termómetro al vapor de agua hirviendo y obtiene el punto 212 ºF (punto de ebullición del agua). La diferencia entre los dos puntos es de 180 ºF, que dividida en 180 partes iguales determina el grado Fahrenheit.

Unidades de temperaturaConcepto:

La temperatura es una magnitud física que expresa el grado o nivel de calor o frío de los cuerpos o del ambiente.

Unidades de TemperaturaUNIDAD 5

E.T. ÁLGEBRA

227

Probabilidad frecuencialUNIDAD 5

E.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

228

UNIDAD 6

“DESARROLLO CULTURAL EN EL MUNDO”

229



MANEJO DEL LENGUAJE

MATEMÁTICO





MATEMÁTICOS








CORRELACIÓN DE LAS



CIENTÍFICAS


MATEMÁTICO GENERAL




HUMANO

230


LÓGICA Y CONJUN-TOS

AsertóricosPerteneceCientificoNegadoDependenciaSecuenciaCondiciónAnálisisProcesosRealidad

ASERTÓRICOS: es un juicio de realidad en la cual se presentan los hechos como reales.

SECUENCIA: es una sucesión ordenada de cosas que guardan alguna relación entre sí, una continuidad.

ARITMÉTICA

SistemaTensiónBitBinarioDecimalCocienteConclusiónOperacionesPorcentajeRazónProporción

COCIENTE:se conoce como cociente al resultado al que se llega tras dividir un número por otro. En este sentido, el cociente sirve para indicar qué cantidad de veces el divisor está contenido en el dividendo.RAZÓN: es una relación binaria entre magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas, uni-dades del SI, etc.), generalmente se expresa como “a es a b” o a:b. En el caso de números toda razón se puede expresar como una fracción y eventualmente como un decimal

GEOMETRÍA

PiramideCaraVerticeAristaPrismaBaseAlturaTroncoCuerpoSuperficie

PIRAMIDE: es un poliedro limitado por una base, que es un polígonocon una cara; y por caras, que son trián-gulos coincidentes en un punto denominado ápice.

ARISTA: es el segmento de recta que limita la cara, también conocida como lado, de una figura plana; en la Geometría sólida se le llama arista al segmento de recta donde se encuentran dos caras.

ÁLGEBRA

FactorizaciónInversoProcedimientoFactoresComúnDividendoLiteralExpresiónM.C.D.Término

FACTORIZACIÓN: es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.

DIVIDENDO: es la cantidad o el número que se dividirá por otra u otro, según corresponda.

MEDICIÓN

VelocidadUnidadNewtonFísicaMecánicaDerivadaMasaMetroSegundoCeleridad

VELOCIDAD: es una magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo.

CELERIDAD: o rapidez de un cuerpo que se mueve en-tre dos puntos P

1 y P

2 como el cociente entre el espacio

recorrido y el intervalo de tiempo en que transcurre el movimiento.


PosibilidadFavorableProbabilidadProbabilidad clásicaIncompatibleNúmero primoEventoFormulaResultadoCalculo

PROBABILIDAD CLÁSICA: o a Priori. Si un suceso puede ocurrir de N maneras mutuamente excluyentes e igualmente probables, y m de ellas poseen una caracte-rística A.

NÚMERO PRIMO: aquel número entero positivo que no puede expresarse como producto de dos números enteros positivos más pequeños que él, o bien, como producto de dos enteros positivos de más de una forma.


231

Juicios por modalidad: Juicios de realidad o asertoriosE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

UNIDAD 6

232

Juicio condicional: ExclusivosE.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

UNIDAD 6

233

Inferencias Inmediatas: SubordinaciónE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

UNIDAD 6

234

Inferencias Inmediatas: Subordinación

Razonamientos condicionales

E.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

E.T. LÓGICA Y CONJUNTOS

UNIDAD 6

UNIDAD 6

235

El sistema binario es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando las cifras 0 y 1,

es decir solo 2 dígitos, esto en informática tiene mucha importancia ya que las computadoras trabajan inter-

namente con 2 niveles de Tensión lo que hace que su sistema de numeración natural sea binario, por ejemplo

1 para encendido y 0 para apagado. También se utiliza en electrónica y en electricidad (encendido o apagado,

activado o desactivado).

Se basa en la representación de cantidades utilizando los dígitos 1 y 0. Por tanto su base es 2 (número de dígi-

tos del sistema). Cada dígito de un número en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit).

Por ejemplo el número en binario 1001 es de 4 bits. Recuerda cualquier número binario solo puede tener

ceros y unos.

Pasar un número Decimal a su equivalente en Binario

Según el orden ascendente de los números en decimal tendríamos un número equivalente en binario: El 0 en decimal sería el 0 en binario El 1 en decimal sería el 1 en binario El 2 en decimal sería el 10 en binario (recuerda solo combinaciones de 1 y 0) El 3 en decimal sería el 11 en binario El 4 en decimal sería el 100 en binario

Y así sucesivamente obtendríamos todos los números en orden ascendente de su valor, es decir obtendríamos

el Sistema de Numeración Binario y su equivalente en decimal. Pero que pasaría si quisiera saber el número

equivalente en binario al 23456 en decimal. Tranquilo, hay un método para convertir un número decimal en

binario sin hacerlo uno a uno.

Para hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el número decimal entre dos y anotar

en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la división es par y un 1 si es impar). Para sacar

la cifra en binario cogeremos el último cociente (siempre será 1) y todos los restos de las divisiones de abajo

arriba, orden ascendente.

Ejemplo queremos convertir el número 28 a binario

28 dividimos entre 2 : Resto 0



3 dividimos entre 2 : Resto 1 y cociente final 1

Sistema de numeración binarioE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 6

236

Entonces el primer número del número equivalente en binario sería el cociente último que es 1, el segundo

número del equivalente el resto último, que también es 1, la tercera cifra del equivalente sería el resto anterior

que es 1, el anterior que es 0 y el último número de equivalente en binario sería el primer resto que es 0 que-

daría el 11100

Conclusión el número 28 es equivalente en binario al 11.100.

Aquí lo vemos con las operaciones de forma más sencilla de entender:

Vemos como para sacar el equivalente se coge el último cociente de las operaciones y los restos que han sali-

do en orden ascendente (de abajo arriba) 11100. El Número 2 del final en subíndice es para indicar que es un

número en base 2, pero no es necesario ponerlo.

Veamos otro ejemplo el número 65 pasarlo a binario.

Sistema de numeración binarioE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 6

237

Representación en diversas formas hasta millonesE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 6

238

PorcentajesE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 6

239


UNIDAD 6

240


UNIDAD 6

241


UNIDAD 6

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Razones y proporcionesE.T. ARITMÉTICA

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Cálculo MentalE.T. ARITMÉTICA

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Pirámides, conos y esferasE.T. GEOMETRÍA

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Pirámides, conos y esferasE.T. GEOMETRÍA

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Las funciones trigonométricas en el plano cartesiano se describen como relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo.

Funciones trigonométricas en el plano cartesiano de ángulos agudos

Si el triángulo tiene un ángulo θse pueden encontrar seis razones entre las longitudes de los lados a, b y c del triángulo.

b/c, a/c, b/a, a/b, c/a, c/b

Estas relaciones dependen del ángulo θy no del tamaño del triángulo. Si dos ángulos tienen ángulos iguales son semejantes y sus lados son proporcionales.

Al hacer las gráficas de las funciones trigonométricas siempre suponemos que los ángulos están en radianes.

Funciones trigonométricas en el plano cartesianoE.T. GEOMETRÍA

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Ejemplo:Gráficas de las siguientes funciones trigonométricas en el plano cartesiano

Y= sent

Y= cos t

Y= tan t


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Y= cot t

Y= sec t

Y= csc t


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Veamos la primera parte de la afirmación que se hace en el párrafo anterior.

(3x + 2y — 5z) 2a = 6ax + 4ay — 10az

(2x + 3)( 2x — 5) = 4x2 — 10x + 6x — 15 = 4x2 — 4x — 15

El problema inverso consiste en determinar los factores de los que proviene el producto.

Ejemplo:

12a2b + 20a2b2 — 8ab3 = 4ab(3a + 5ab — 2b2)

4x2 — 4x — 15 = (2x + 3)( 2x — 5)

Se llama producto notable al resultado que se puede encontrar sin llevar a cabo la multiplicación por el procedimiento usual, ya que existen algunas relaciones particulares entre sus factores.

Ejemplos: (2x + 3)( 2x — 5) = 4x2 — 4x — 15; (3x + 6)2 9x2 + 36x + 36; (4y + 3)( 4y — 3) = 16y2 — 9

La factorización consiste en encontrar los factores que determinan un producto dado.

Ejemplos: 4x2 — 4x — 15 = (2x + 3)( 2x — 5); 9x2 + 36x + 36 = (3x + 6)2; 16y2 — 9 = (4y + 3)(4y — 3)


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Ejercicio: 1. Encuentra los siguientes productos: ( x + 5)(x + 9) = (2m + 8)(2m - 10) = (m + 1)(m + 3)) = (5a - 6)(5a - 4) = (m - 4)(m - 2) = (3x + 7)(3x - 1) = (x + 6)(x - 3) = (2a + 6)( 2a - 2) = (3a + 2)(3a + 4) = (5b - 1 )(5b - 9) = (2y - 5)(2y - 7) = (2x2 + 3)(2x2 - 5) = (5c + 9)(5c - 10) = (3a2 + 5a)(3a2 - 2a) =

2. Hallar el área de los siguientes rectángulos.

2

m

m 6 x 5

A = A =

FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO Resuelve las siguientes operaciones: (x + 7)(x + 3) = (2m - 2)(2m - 5) = (2a + 1)(2a + 4) = (b + 5)(b - 8) = (m - 6)(m - 3) = (3c - 4)(3c + 6) = A continuación aplicamos la propiedad simétrica en los productos anteriores y tenemos: X2 + 10x + 21 = (x + 7)(x + 3) 4m2 - 14m + 10 = (2m - 2)(2m - 5) 4a2 + 10a + 4 = (2a + 1)(2a + 4) b2 - 3b - 40 = (b + 5)(b - 8) m2 - 9m + 18 = (m - 6)(m - 3) 9c2 + 6c - 24 = (3c - 4)(3c + 6)Tomando en cuenta las operaciones anteriores, contesta lo siguiente:¿Qué relación tiene el primer término del trinomio con el término común de los binomios?_____________________________________________________________________________________________________ ¿Qué relación tiene el tercer término del trinomio con los términos no comunes de los binomios?_____________________________________________________________________________________________________Si divides el segundo término del trinomio entre el término común de los binomios, ¿Qué relación tiene este cociente con la suma algebraica de los términos no comunes?_________________________________________________________________________________________________________________________________________


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FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a + h)2 = a2 + 2ah + h2

Binomio al cuadrado trinomio cuadrado perfecto Por la propiedad simétrica:

a2 + 2ah + h2 = (a + h)2 Trinomio cuadrado perfecto binomio al cuadrado

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, se puede seguir el procedimiento utilizado factorización de un trinomio de segundo grado. Ejemplos:

y2 + 12y + 36 = (y + 6)(y + 6) = (y + 6)2

9m2 - 48m + 64 = (3m - 8)(3m - 8) = (3m - 8)2

Otro procedimiento es el siguiente: a. Se observa si el trinomio tiene dos términos positivos con raíz cuadrada exacta: y2 + 12y + 36 = 9m2 - 48m + 64 =

y 6 3m 8

b. Se comprueba si el segundo término del trinomio equivale al doble del producto de las raíces

y2 + + 36 = 9m2 - + 64 =

2(y)(6) = 12y 2(3m)(8) = 48m

b. Las raíces son los términos del binomio al cuadrado y el signo que los separa es el que corresponde al segundo término del trinomio.

y2 + 12y + 36 = (y + 6)2 9m2 - 48m + 64 = (3m - 8)2

Ejercicios: 1. Escribe el término o signo que falta para que las expresiones sean correctas:

m2 - 10m + 25 = ( - 5)2 9x2 - 36x + 36 = ( - )2

a2 - 12a + 36 = (a - )2 4a2 + 16a + 16 = ( )2

12y 48m


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Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llama-das también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola, e incluso ninguna).Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma: ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular. Este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:Ejemplos:

9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 103x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorizaciónEn toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; en-tonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos1) Resolver(x + 3)(2x − 1) = 9Lo primero es igualar la ecuación a cero.Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:Ahora podemos factorizar esta ecuación:(2x − 3)(x + 4) = 0Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:Si2x − 3 = 02x = 3

Polinomios de segundo gradoE.T. ÁLGEBRA

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Six + 4 = 0x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 92x2 + 5x − 12 = 02x2 + 5x = 122x2 − 12 = − 5x

En todos los casos la solución por factorización es la misma:Solución por completación de cuadradosSe llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)2 = nen la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.Partiendo de una ecuación del tipox2 + bx + c = 0por ejemplo, la ecuaciónx2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo(ax + b)2

Que es lo mismo que(ax + b) (ax + b)Que es lo mismo que(ax)2 + 2axb + b2

En nuestro ejemplo

x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x2 + 8x + 16 = 48 + 16x2 + 8x + 16 = 64

la cual, factorizando, podemos escribir como sigue:(x + 4) (x + 4) = 64Que es igual a(x + 4)2 = 64Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos Nos quedax + 4 = 8


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Entoncesx = 8 − 4x = 4Se dice que “se completó un cuadrado” porque para el primer miembro de la ecuación se logró obtener la ex-presión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.

Solución por la fórmula general Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de fac-torización.

Ejemplo: Resolver la ecuación 2x2 + 3x − 5 = 0Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = −5, así es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − : y también

Así es que las soluciones son .

Aquí debemos anotar algo muy importante:En la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresión . Esa raíz cuadrada sólo existirá cuando el radicando (b2 − 4ac) sea positivo o cero.

El radicando b2 – 4ac se denomina discriminante y se simboliza por Δ. El número de soluciones (llamadas también raíces) depende del signo de Δ y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuación.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el número de soluciones que posee:Si Δ es positivo, la ecuación tiene dos soluciones.Si Δ es negativo, la ecuación no tiene solución.

Si Δ es cero, la ecuación tiene una única solución.

En el ejemplo anterior el discriminante era Δ = 49, positivo, por eso la ecuación tenía dos soluciones.Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a, y otra solución cuando restamos a − b la raíz y lo dividimos por 2a.


UNIDAD 6

266

En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de medida de fuerza es el newton que se representa con el símbolo: N , nombrada así en reconocimiento a Isaac Newton por su aportación a la física, espe-cialmente a la mecánica clásica. El newton es una unidad derivada que se define como la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración de 1 m/s² a un objeto de 1 kg de masa. m=metro S= segundo

En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del despla-zamiento y el módulo, al cual se le denomina celeridad o rapidez. La velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo, la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo. Frey (1977): “Capacidad que permite, en base a la movilidad de los procesos del sistema neuromuscular y de las propiedades de los músculos para desarrollar la fuerza, realizar acciones motrices en un lapso de tiempo situado por debajo de las condiciones mínimas dadas”. (Citado por Weineeck, 1988, 223).

Grosser (1992, 14): “Capacidad de conseguir, en base a procesos cognitivos, máxima fuerza volitiva y funcionalidad del sistema neuromuscular, una rapidez máxima de reacción y de movimiento en determi-nadas condiciones establecidas”.Clasificación:Según el lapso de tiempo recorrido, la velocidad puede ser de diversos tipos: media, instantánea y relati-va. Velocidad Media reporta la velocidad en un intervalo dado y se llega a ella dividiendo el desplazamiento por el tiempo transcurrido.Velocidad Instantánea nos permite conocer la velocidad de un objeto que se mueve por determinado trayecto con la especial característica que el lapso de tiempo es infinitamente pequeño, siendo también el espacio que recorre muy pequeño, representándonos tan solo un punto de la mencionada trayectoria.Velocidad Relativa entre dos observadores surgirá del valor de la velocidad de un observador medida por el otro.

Unidades de VelocidadConcepto:

Magnitud física de carácter vectorial que expresa el desplazamiento de un objeto por unidad de tiempo.

fórmula

1 m/s²

Unidades de VelocidadE.T. MEDICIÓN

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Polinomios de segundo gradoE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 6

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Unidades de VelocidadE.T. MEDICIÓN

UNIDAD 6

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UNIDAD 7

“LA REVALORIZACIÓN DEL TRABAJO EN EL MUNDO”

270



MANEJO DEL LENGUAJE

MATEMÁTICO





MATEMÁTICOS








CORRELACIÓN DE LAS



CIENTÍFICAS


MATEMÁTICO GENERAL




HUMANO

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LÓGICA Y CONJUNTOS Apodíctico PredicadoAsertóricoInterrogaciónAseverativoAtributivoEstructuraInquirirAsemeja Oposición

PREDICADO.-En matemáticas se emplea como una función (rela-ción) entre dos o más términos. El predicado es parte de la oración que aporta información acerca del sujeto.

ASEVERATIVO.-(Adj.) que asevera o que manifiesta una afirma-ción.

ARITMÉTICA ProporciónSistema ternarioNúmeros naturalesCocienteResiduosElementosExtremoMedioParteCálculo

PROPORCIÓN.-Se trata de la correspondencia, el equilibrio o la simetría que existe entre los componentes de un todo.

TERNARIO.-(Adj. )que esta compuesto de tres elementos, unida-des o guarismos (cifra que expresa una cantidad).

GEOMETRÍA Diagonal VérticePoliedroParalelepípedoAristaCaraPirámide,ApotemaBaseConosFiguras de revolución

DIAGONAL.- Una diagonal es todo segmento que une dos vértices diagonalmente no consecutivos de un polígono o de un poliedro.VÉRTICE.-Es el punto donde se encuentran dos o más semirrectas que conforman un ángulo.

ÁLGEBRA FórmulasFunciones trigonométricasCálculo de fuerzasTeorema de Pitágoras Razón geométricaSemejanzaFiguraEscalaÁngulos Elementos homólogos

CÁLCULO.-La palabra cálculo proviene del término latino calcu-lus (“piedra”) y se refiere a la cuenta, la enumeración o la pesquisa que se lleva a cabo mediante un ejercicio matemático. El concepto también se utiliza como sinónimo de conjetura.VOLUMEN.- grosor o tamaño que posee un determinado objeto. Asimismo, el término sirve para identificar a la magnitud física que informa sobre la extensión de un cuerpo en relación a tres dimensiones (alto, largo y ancho).

MEDICIÓN Unidad de fuerzaSímboloDerivadaAceleraciónMasaCuerpoKilogramoDinaSthenDesequilibradaEquilibrada

SISTEMA.-Del latín systema, un sistema es módulo ordenado de elementos que se encuentran interrelacionados y que interactúan entre sí. El concepto se utiliza tanto para definir a un conjunto de conceptos como a objetos reales dotados de organización.FUERZA.- describe la fortaleza, la robustez, el poder y la habili-dad para sacar o desplazar de lugar a algo o a alguien que posea peso o que ejerza resistencia (por ejemplo, se necesita fuerza para sostener una roca).

PROBABILIDAD Y ESTA-DÍSTICA

SimulaciónUrnas Urna de BernoulliEsferasÉxito

BateríasSeñalamientosProbabilidadOcurrencia

SIMULACIÓN.– Emana de la unión de dos componentes léxicos latinos: la palabra “similis”, que puede traducirse como “pareci-do”, y el sufijo “-ion”, que es equivalente a “acción y efecto”.URNA DE BERNOULLI.- El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, des-cribe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente de agua.


272

Juicios por modalidad: de necesidades o apodícticosE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

UNIDAD 7

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InterrogaciónE.T. LÓGICA YCONJUNTOS

UNIDAD 7

274

InferenciasE.T. LÓGICA YCONJUNTOS

UNIDAD 7

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InferenciasE.T. LÓGICA YCONJUNTOS

UNIDAD 7

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Razonamientos de relaciónE.T. LÓGICA YCONJUNTOS

UNIDAD 7

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Sistema de numeración trinarioE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 7

Sistema ternario

Esta vez, sólo podemos usar las cifras 0,1 y 2.Veamos qué se puede hacer con esto. Expresando los prim-eros 15 números naturales en sistema ternario tenemos:

0=0(3)1=1(3)2=2(3)3=10(3)4=11(3)5=12(3)6=20(3)7=21(3)8=22(3)9=100(3)10=101(3)11=102(3)12=110(3)13=111(3)14=112(3)15=120(3)

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Variación proporcionalE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 7

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UNIDAD 7

Proporciones continuas. Éstas se presentan cuando los extremos o los medios son términos iguales.Ejemplo numérico:

16 es tercera proporcional de 36 y 81.36 es media proporcional de 16 y 81.81 es tercera proporcional de 16 y 36.

es proporción continua (los medios son iguales).=1636

3681

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UNIDAD 7

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UNIDAD 7

Si se establece una relación entre dos conjuntos A y B, se llama dominio de la relación R, al conjunto formado por los elementos de A que son primeras componentes de los pares ordenados de esa relación.

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UNIDAD 7

Igualdades notables y cálculo de cuadradosLas llamadas igualdades notables pueden aplicarse al cálculo mental:

(a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²(a + b) (a - b) = a² - b²

Cálculo del cuadrado de un número cualquiera de dos cifrasLas dos primeras identidades se pueden aplicar al cálculo de cuadrados perfectos. Supongamos que queremos calcular 52². 52 = 50 + 2, así que aplicamos la identidad correspondiente al cuadrado de la suma, donde a = 50 y b = 2.

(50 + 2)² = 50² + 2 × 2 × 50 + 2² = 2500 + 200 + 4 = 2704

Más ejemplos:

17² = (10 + 7)² = 10² + 2 × 7 × 10 + 7² = 100 + 140 + 49 = 28976² = (70 + 6)² = 70² + 2 × 6 × 70 + 6² = 4900 + 840 + 36 = 577695² = (90 + 5)² = 90² + 2 × 5 × 90 + 5² = 8100 + 900 + 25 = 9025

Con este método también es fácil calcular el cuadrado de un número con una cifra entera y una deci-mal, sólo hay que acordarse del lugar que ocupa cada cifra:

2,4² = (2 + 0,4)² = 0,1² × 14² = 0,01 × (20² + 2 × 4 × 20 + 4²) = 0,01 × (400 + 160 + 16) = 0,01 × 576 = 5,76

Algoritmo para elevar al cuadrado un número de dos cifras que empieza con 4: (4*10+u)^2 = (15+u) y (10-u)^2 Ejemplo: 47^2= (15+7) y (10-7)^2 = 22 y 09 =2209, ya que 47^2= 40x40 + 40x7x2 + 7x7 = 1600 + 560 + 49 = 2209.

Algoritmo idem, para los que empieza con 5.- (5*10+u)^2 =(25+u) y u^2; ejemplo: 53^2= (25+3) y 3^2 = 2809

Algoritmo idem, para los que empiezan con 9.- (9*10+u)^2= (80+2u)y(10-u)^2; ejemplo: 96^2=(80+2*6)y(10-6)^2= 92y16= 9216

Algoritmo idem, para los de tres cifras que empieza con 10.- (10*10+u)^2= (100+2u)y u^2; ejemplo 108^2= (100+2*8)y8^2 = 116y64= 11664

Algunos calculistas conocen de memoria las tablas de multiplicar del 1 al 100, por lo que pueden uti-lizar este método fácilmente para hallar el cuadrado de un número de cuatro cifras o más. Esto sólo se consigue tras mucho entrenamiento, pero simplifica enormemente el cálculo como se puede observar:5782² = (5700 + 82)² = 5700² + 2 × 82 × 5700 + 82² = 32.490.000 + 934.800 + 6.724 = 33.431.524

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Piramides, conos y esferasE.T. LÓGICA YCONJUNTOS

UNIDAD 7

Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.El ápice o cúspide también es llamado vértice de la pirámide, aunque una pirámide tiene más vértices, tantos como el número de polígonos que lo limitan.

Una pirámide recta es un tipo de pirámide cuyas caras laterales son triángulos isósceles. En este tipo de pirámides la recta perpendicular a la base que pasa por el ápice corta a la base por su circuncentro.Una pirámide oblicua es aquella en la que no todas sus caras laterales son triángulos isósceles.Una pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.Una pirámide convexa tiene como base un polígono convexo.Una pirámide cóncava tiene como base un polígono cóncavo.Existen tres tipos de pirámides cuyas caras son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 y 5 lados re-spectivamente. Un tetraedro regular es una pirámide cuyas caras (base y caras laterales) son triángulos equiláteros.

Área de un polígono regularEl área de un polígono regular puede calcularse en función de la longitud de cada lado y su número de lados. Un polígono regular de n lados puede dividirse en n triángulos isósceles (equiláteros en el caso del hexágono regular) cuyas bases son los lados del polígono regular. La altura de cada uno de estos triángulos es un apotema del polígono regular y divide cada uno de los triángulos isósceles en dos triángulos rectángulos, dividiendo así el polígono en 2n triángulos rectángulos.Área lateral de una pirámideEl área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de las caras laterales.En una pirámide regular, las caras laterales son triángulos isósceles. El área de cada cara es el semipro-ducto de su base (que es igual al lado de la base de la pirámide l ), por su altura (que es el apotema de la pirámide ap ). El área lateral de una pirámide regular resulta de multiplicar el área de una de sus caras laterales por el número de caras laterales.Área total de una pirámideEl área total de la pirámide es la suma del área de la base y el área lateral.El volumen de una pirámide puede obtenerse mediante cálculo diferencial. El área de un plano de corte transversal es directamente proporcional al área de la base (A

b) y al cuadrado de la distancia del

plano de corte respecto al ápice de la pirámide. Esta distancia (d) es la diferencia entre la altura de la pirámide (h) y altura del plano de corte (z).

Volumen de una pirámide regularEl volumen de una pirámide cuya base es un polígono regular puede calcularse a partir del lado del polígono regular que define su base y la altura de la pirámide. Sustituyendo el área de la base A

b (1) en

la ecuación del volumen de la pirámide se obtiene:

292

Piramides, conos y esferasE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 7

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide. Otra definición ( mas simple ) : Cuerpo geometricoSuperficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que te-niendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.Propiedades

Área de la superficie cónica

El área de la superficie del cono recto es:

donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz del cono recto.La generatriz de un cono recto del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base;

su longitud es: .Desarrollo plano de un cono rectoEl desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longi-tud de la circunferencia de la base.

La forma de calcular la distancia a en el desarrollo es con la ecuación de donde r es el radio de la base y h es la altura del cono.

El ángulo que está sombreado en la figura se calcula con la siguiente fórmula:

.

Volumen de un conoEl volumen de un cono de radio y altura es 1/3 del volumen del cilindro que posee las mismas dimensiones:

La ecuación se obtiene mediante ,

donde es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura , en este caso

.

293

Piramides, conos y esferasE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 7

En geometría, una superficie esférica es una superficie de revolución formada por el conjunto de los puntos del espacio cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro. Los puntos cuya distancia es menor que la longitud del radio forman el interior de la superficie esférica. La unión del interior y la superficie esférica se llama bola cerrada.

La esfera, como superficie de revolución, se genera haciendo girar una superficie semicircular alrede-dor de su diámetro (Euclides, L. XI, def. 14). Esfera proviene del término griego σφαῖρα, sphaîra, que significa pelota (para jugar). Coloquialmente hablando, se emplea la palabra bola, para describir al cuerpo delimitado por una esfera.Volumen

El volumen, , de una esfera se expresa en función de su radio como: Se puede considerar el volumen de una esfera como 2/3 del volumen del cilindro circunscrito a la esfera. Su base es un círculo del mismo diámetro que la esfera. Su altura tiene la misma medida que

dicho diámetro:

Esta relación de volúmenes se adjudica a Arquímedes.

Es posible calcular el volumen de una esfera con un margen de error aproximado al 0.03% sin utilizar el valor de π:

Área

El área es 4 veces por su radio al cuadrado.

Ecuación cartesiana

En un sistema de coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano tridimensional, la ecuación de la

esfera unitaria (de radio 1), con centro en el origen, es: Esta ecuación se obtiene considerando que en el punto M (x, y, z) de la esfera, el vector normal OM es igual a 1.

Generalizando, la esfera de radio r, de centro Ω (a, b, c) tiene como ecuación:

La ecuación del plano tangente en el punto M (x’, y’, z’) se obtiene mediante el desdoblamiento de las

variables: en el caso de la esfera unitaria:

y en el segundo ejemplo:

294

Cálculo de la diagonal de cubos y paralelepípedos de la alturaE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 7

CÁLCULO DE LA DIAGONAL DE CUBOS

Las diagonales de un cubo son segmentos que unen dos vértices no pertenecientes a la misma cara.

Ca lcu la r l a d i agona l de un cubo de 5cm de a r i s t a .

PARALELEPÍPEDOS DE LA ALTURA

Un paralelepípedo (del latínparallelepipĕdum,‘planos paralelos’) es un poliedro de seis caras (por tan-to, un hexaedro), en el que todas las caras son paralelogramos, paralelas e iguales dos a dos. Un para-lelepípedo tiene 12 aristas, que son iguales y paralelas en grupos de cuatro, y 8 vértices.Se pueden dar tres definiciones equivalentes de un paralelepípedo:Es un poliedro de seis caras (hexaedro), cada una de las cuales es un paralelogramo.Es un hexaedro con tres pares de caras paralelas.Es un prisma cuya base es un paralelogramo.

El paralelepípedo pertenece al grupo de los prismatoides, aquellos poliedros en los que todos los vértices se encuentran contenidos en dos planos paralelos.Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rectángulos, y por tanto todas sus caras son perpendiculares entre sí, es un ortoedro. Es un caso particular del paralelepípedo recto.Un paralelepípedo en el que todas sus bases son rombos es un romboedro.Un paralelepípedo en el que todas sus bases son cuadrados es un hexaedro regular o cubo.

295

Cálculo de la diagonal de cubos y paralelepípedos de la alturaE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 7

Volumen []En el caso más general, el volumen de un paralelepípedo se calcula multiplicando el área de cualquiera de sus caras por la altura respecto de dicha cara. La altura debe medirse en la perpendicular levantada respecto del plano que contiene la cara que se considera como base, como muestra la figura adjunta.V=Ah

En el caso más sencillo de que todas las caras sean perpendiculares entre sí, el volumen se calcula multi-plicando las longitudes de las tres aristas convergentes en cualquier vértice. Por lo tanto, si las tres aristas concurrentes a un vértice miden a, b y c entonces su volumen se calcula a través de la fórmula:

V=abc

Por ejemplo, si las aristas de un paralelepípedo recto son 2, 3 y 6 cm entonces el volumen se obtiene multiplicando 2 · 3 · 6 = 36 cm3.

En el caso particular del cubo, en el que todas las aristas tienen la misma dimensión, el volumen es el lado elevado al cubo:

V=l 3

En general, si a,b y c son vectores que definen aristas concurrentes en un vértice, el volumen del para-lelepípedo es igual al valor absoluto del producto mixto:

V=|a(b×c)|

La ecuación es equivalente al valor absoluto del determinante de la matriz tridimensional formada por los vectores a, b y c como filas o columnas:

296

La arista o la apotema de las pirámides y conos de revoluciónE.T. GEOMETRÍA

UNIDAD 7

La pirámide es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide.

Elementos de una pirámide

La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice.

Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales.

La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cual-quiera de sus caras laterales.

Cálculo de la apotema lateral de la pirámide

Calculamos la apotema lateral de la pirámide, conociendo la altura y la apotema de la base, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombrado.

297


UNIDAD 7

Cálculo de la arista lateral de la pirámide

Calculamos la arista lateral de la pirámide, conociendo la altura y el radio de la base o radio de la cir-cunferencia circunscrita aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo sombreado:

Área lateral de la pirámide

Área de la pirámide

Volumen de la pirámide

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UNIDAD 7

Ejercicios

Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide hexagonal de 16 cm de arista básica y 28 cm de arista lateral.

299


UNIDAD 7

Cono de revolución

Un cuerpo de revolución es aquel que se origina al girar una figura plana alrededor de un eje. Las caras de un cuerpo de revolución son curvas.

Se llama cono de revolución a la superficie generada por una recta que gira alrededor de otra secante con ella. La recta que gira se denomina generatriz y la recta fija se denomina eje del cono.

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide.

300

La arista o la apotema de las pirámides y conos de revoluciónE.T. GEOMÉTRIA

UNIDAD 7

Los conos pueden ser:Cono recto: si el eje (e), es perpendicular a la base, Cono oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base, Cono de revolución: si está limitado por una superficie cónica de revolución. Pueden a su vez ser: Cono de revolución recto: si el eje (e), es perpendicular a la base, Cono de revolución oblicuo: si el eje (e), no es perpendicular a la base.

Cono: tiene una sola base en forma de círculo y una cara lateral curva que finaliza en un punto llamado vértice o cúspide.Esta figura se obtiene girando un triángulo rectángulo alrededor un eje.

La generatriz es el segmento que va desde cualquier punto de la circunferencia de la base al vé

Cono de no revolución

Cono recto de revolución

Cono recto

Cono de revolución

Cono de revolución oblicuo

Cono oblicuo

e e e eV V V V

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La arista o la apotema de las pirámides y conos de revoluciónE.T. GEOMÉTRIA

UNIDAD 7

Cono Inclinado

Se obtiene cortando un cono de forma oblicua con un plano. La base de un cono inclinado no es circular sino que tiene forma de elipse.

Tronco de cono

Es una figura que se obtiene al cortar un cono con un plano horizontal

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Trigonometría: Seno, Coseno y TangenteE.T. GEOMÉTRIA

UNIDAD 7

VALORES DE SENO, COSENO, TANGENTEUn truco que nos resuelve varios casos notables de trigonometría:Utiliza esta tabla y no te vas a olvidar: .............._________________ ............ / ............/.0...30..45..60..90 sen...../..0...1......2....3....4 cos..../...4...3......2....1....0 .....\../ ......\/ .....__________________________ .................................2....... La idea es si quieres saber por ejemplo el sen de 45 entonces la sacas la raiz a 2 y luego lo divides por 2 ,osea “raiz cuadrada de 2 / 2 “. Si quieres saber el coseno de 60 , entonc-es le aplicas raiz cuadrada a 1 , que es uno, luego lo divides por 2, es decir 1/2. Para sacar la tangente solo debes sacar el seno del angulo correspondiente y lo divides por el coseno del mismo angulo utili-zando la tablita.Para otros valores se cuenta con las tablas ya calculadas con aproximación de diezmilésimas de grado o bien con el uso de calculadoras científicas que vienen como software en las computadoras.

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Valores de Seno, Coseno y TangenteE.T. GEOMÉTRIA

UNIDAD 7

Seno, coseno y tangente de 30º y 60º Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y si trazamos una altu-ra del mismo h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno, recurriendo al teorema de Pitágorasdividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:

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Valores de Seno, Coseno y TangenteE.T. GEOMÉTRIA

UNIDAD 7

Seno , coseno y t angen te de 45 º

Razones t r i gonomét r i cas de ángu los no tab le s

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Semejanza y teorema de PitágorasE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 7

Al terminar el estudio de la presente Unidad, deberás manejar con habilidad el concepto de escala en la construcción de figuras semejantes y continuarás aplicando como lo hicis-te en unidades anteriores, el razonamiento en la demostración de propiedades de las figu-ras semejantes. Tendrás oportunidad de aplicar los conocimientos que sobre congruencia adquiriste en la cuarta Unidad para construir figuras homotéticas y resolverás problemas.

SEMEJANTES

¿Crees que las figuras congruentes son semejantes? ¿Por qué?

¿Crees que los dibujos a escala son semejantes? ¿Por qué?

Dadas las figuras siguientes, señala las parejas que semejantes.

FIGURAS SEMEJANTESConstantemente, al platica, empleamos la palabra semejante, por ejemplo:a) Dos gatos que tienen el mismo color de pelo, tamaño, etc., decimos que son semejantes.b) Al observar un lirio y una orquídea les encontramos gran parecido y decimos que son semejantes.c) Al aplicar ciertos métodos para demostrar algunos fenómenos químicos obser-vamos que las técnicas que se siguen son semejantes.

Pues bien, en Geometría, el término semejante es aún más preciso, ya que quiere decir tiene la misma forma.

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UNIDAD 7

307


UNIDAD 7

Si efectuaste la comparación por medio de una diferencia has obtenido la razón aritmética de estas cantidades.

Los siguientes ejercicios que efectuarás están basados en la razón geométrica.

Ejercicios:

1. Mide los lados de estas figuras.

¿Cuál es la razón de semejanzas de los lados de la figura P con respecto a la figura Q? ____________________________________________________________________________________________ ¿Cuál es la razón de semejanza de Q respecto a P? ________________________________________________________________________________________________________________________________

¿Cuál es la razón de semejanzas de los lados de la figura X con respecto a los lados de Y? _________________________________________________________________________________________________________. ¿Cuál es la razón de semejanza de los lados de la figura X con respecto a los lados de Z? __________________________________________________________________________________________________________. ¿Cuál es la razón de semejanza de Y con respecto a Z? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________.

Si la comparación la realizaste por cociente, has obtenido la razón geométrica o simplemente lo que llamamos razón. En Geometría a esta razón geométrica se le llama razón de semejanza.

P

Q

Y

X

Z

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UNIDAD 7

¿Cuál es la razón de semejanza de Z con respecto a Y? ________________________________________________________________________________________________________________________________________________. ¿Cuál es la razón de semejanza de Z con respecto de X? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________.

2. Observa las medidas reales de las siguientes figuras y contesta:

De acuerdo a sus medidas, ¿son semejantes las figuras M y N? ___________________________________. Si resultaron semejantes, ¿cuál es la razón de semejanza? _______________________________________.

DIBUJOS A ESCALA La aplicación más práctica de la relación de semejanza se realiza en las figuras y dibujos a escala. Veamos algunos casos donde es necesario emplear escalas: a) Para realizar construcciones, los arquitectos primero hacen sus planos a una determinada escala; por ejemplo 1:100 que significa que es la centésima parte o bien cien veces más pequeño que el tamaño normal. b) En Biología, para observar algunos microorganismos utilizamos el microscopio que emplea una escala de 400:1 aproximadamente, es decir, que aumenta 400 veces la imagen de su tamaño real. c) En la elaboración de un radio portátil se utiliza la escala 1:1, es decir que se mantiene el mismo tamaño. d) Los planisferios que usan en la clase de Geografía, en uno de sus extremos tienen una anotación como 1:10 000 000, lo que implica que es la diezmillonésima parte del tamaño real. Efectúa los dibujos que faltan aplicando la respectiva escala o razón:

N M

Ejemplo:

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UNIDAD 7

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UNIDAD 7

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UNIDAD 7

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UNIDAD 7

¿Cuál es la razón del área del F´G´H´ respecto al FGH? _______________________________________________________________________________________________________________________________________.

Lo que podemos escribir

Área F´G´H´ = ________________ = 42 Área FGH 12

De lo anterior podemos inferir que : las áreas de figuras semejantes están en razón del cuadrado de sus lados.

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UNIDAD 7

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UNIDAD 7

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UNIDAD 7

El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto). Teorema de PitágorasHistoriaEl teorema de Pitágoras tiene este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagóri-ca. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de valores que se corre-spondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándose en el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.Pitágoras de SamosSi un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la medida de la hipotenusa es , se esta-blece que:

De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:

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UNIDAD 7

Teorema de Pitágoras

a2+b2=c2

c= a2+b2

De la expresión c2=a2+b2, si extraemos la raíz cuadrada de los dos miembros obtenemos

CUARTA PROPORCIONAL

Cuando una proporción tiene diferentes sus medios y sus extremos se llama no continua. A cada uno de los términos de una proporción no continua, se dice que es cuarta proporcional en relación con los otros tres términos.

Ejemplo:

3 es cuarta proporcional en relación con 4, 6 y 84 es cuarta proporcional en relación con 3, 6 y 86 es cuarta proporcional en relación con 3, 4 y 88 es cuarta proporcional en relación con 3, 4 y 5

Despeja a y b de la igualdad a2 + b2 = c2 y da la interpretación.

aa2

c

c2

b

b2

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UNIDAD 7

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UNIDAD 7

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UNIDAD 7

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UNIDAD 7

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UNIDAD 7

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Unidades de FueraE.T. MEDICIÓN

UNIDAD 7

La unidad de medida según el SI de fuerza es el Newton (cuyo símbolo es N). Es derivada con nombre es-pecial al considerar a Isaac Newton como el primero que formuló la definición de fuerza, la que se define a partir de la masa y la aceleración (magnitud en la que intervienen longitud y tiempo). F = fuerza total que actúa sobre el cuerpo m = la masa A = la aceleración

Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado.

Unidades más usualesKilogramo fuerza: Para evitar la confusión entre esta unidad de medida y de masa, el kilogramo, algunos países como Austria, denomina al kilogramo fuerza con símbolo (kp) . Dina: Unidad de medida de fuerza del Sistema CGS. En los libros alemanes también la llamada “dina grande” que es igual a 105 dyn o sea un newton. Sthene: Unidad de medida de fuerza en el sistema MTS metro, tonelada seg 56, poundal. Unidad de medida de fuerza en el siste-ma pie-libra-segundo. Es la fuerza que imprime una aceleración de un pie por segundo al cuadrado una masa de una libra (UK,

US)(lb(UK, US)).

Unidades de fuerza

Concepto:

Magnitud física que mide la intensidad del intercambio de momento lineal entre

dos partículas o sistemas de partículas

fórmula

F = m . a

Fuerza SÍMBOLO EQUIVALENCIA

kilogramo fuerza kgf 9,806 65 N

gramo fuerza gf 9,806 65.10-3 N

tonelada fuerza tf 9 506,65 N

dina dyn 1.10-5 N

libra fuerza 1bf 4,448 22 N

sthene sn 1 000 N

poundal pdl 0,135 255 N

onza fuerza ozf 0,278 014 N

Tipos de

fuerza

Normal

equilibrada

desequilibrada

Es un sistema de fuer-zas en el cual, cuando se suman dan más de cero.

Es un sistema de fuer-zas en el cual, cuando se suman dan más de cero.

Es un sistema de fuerzas en el cual las fuerzas que actúan son iguales y no hay movimien-to.

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Unidades derivadas: FuerzaE.T. MEDICIÓN

UNIDAD 7

La fuerza es una magnitud vectorial que mide la Intensidad del intercambio de momento lineal entre dos partículas o sistemas de partículas. Según una definición clásica, fuerza es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la forma de los materiales. No debe confundirse con los conceptos de esfuerzo o de energía.En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de medida de fuerza es el newton que se rep-resenta con el símbolo: N , nombrada así en reconocimiento a Isaac Newton por su aportación a la física, especialmente a la mecánica clásica. El newton es una unidad derivada del SI que se define como la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración de 1 m/s² a un objeto de 1 kg de masa.Con el desarrollo de la electrodinámica cuántica, a mediados del siglo XX, se constató que la “fuerza” era una magnitud puramente macroscópica surgida de la conservación del momento lin-eal o cantidad de movimiento para partículas elementales. Por esa razón las llamadas fuerzas fundamentales suelen denominarse “interacciones fundamentales”.Fuerza en mecánica newtoniana Si la masa permanece constante, se puede escribir:

(*)donde“m” es la masa y “a” la aceleración, que es la expresión tradicional de la segunda ley de Newton. En el caso de la estática, donde no existen aceleraciones, las fuerzas actuantes pueden deducirse de consideraciones de equilibrio.

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Diagrama de ÁrbolE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 7

329

UNIDAD 8

“LA EDUCACIÓN PUBLICA, GRATUITA, INTEGRAL, PO-PULAR, HUMANISTA Y CIEN-TÍFICA EN EL MUNDO”

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MANEJO DEL LENGUAJE

MATEMÁTICO





MATEMÁTICOS








CORRELACIÓN DE LAS



CIENTÍFICAS


MATEMÁTICO GENERAL




HUMANO

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LÓGICA Y CONJUNTOS RelaciónPeculiaridadDisyuntivoCompuestoCopulativoGenéricamenteExhortación InferenciaConsecuenciaNodal

RELACIÓN.– Vínculo o correspondencia que existe entre

dos conjuntos EXHORTACIÓN.-): Incitar con palabras, razones o ruegos a actuar de cierta manera, especialmente una persona que

tiene autoridad material o moral para ello

ARITMÉTICA QuinarioDecimalDígitoPosiciónPotenciaOrdenAlfanumérico.FórmulaCuadráticaEcuación

DÍGITO.– Número del sistema decimal que se expresa con un solo signo. Ejemplo: el número 1,127 está formado

por cuatro dígitos. POTENCIA.-): Es una expresión que representa a un nú-mero que se multiplica por sí mismo varias veces.

GEOMETRÍA UnidadesMediciónMúltiploVoltio InternacionalPrefijoFrigoriaFoeArticuladaJoule

FRIGORIA.-es una unidad de energía informal para medir la absorción de energía térmica. Aunque a veces se dice que equivale a una kilocaloría negativa, no es realmente cierto desde un punto de vista físico: efectivamente en todos los casos, calefacción o refrigeración.JOULE.- Joule: unidad del sistema internacional, utilizada para medir energía, trabajo y calor. Un Joule se define como la uni-dad de trabajo realizado por una fuerza constante de un Newton durante un metro de longitud en dirección de la fuerza.

ÁLGEBRA ÁlgebraRaíz cuadradoFactorizaDespejaLenguaje simbólicoSustituyenIncógnitaDiscriminanteAveriguarDistinta

RAIZ CUADRADA.-se llama raíz cuadrada de un número positivo a un segundo número positivo que al multiplicarlo por sí mismo resulta el valor del primero, es decir, que es un segundo número que al elevarlo al cuadrado es igual al primero.

Abreviado como raíz tiene el símbolo: . Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con exponente 1/

2.

FACTORIZA.-es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto.

MEDICIÓN UnidadesMediciónMúltiploVoltio InternacionalPrefijoFrigoriaFoeArticuladaJulios

VOLTIO.- se define como la diferencia de potencial a lo largo de un conductor cuando una corriente de un ampe-rio utiliza un vatio de potencia. También se puede definir

como . MEDICIÓN.-La medición es un proceso básico de la ciencia que consiste en comparar un patrón seleccionado con el objeto o fenómeno cuya magnitud física se desea medir para ver cuán-tas veces el patrón está contenido en esa magnitud.

PROBABILIDAD Y ESTA-DÍSTICA

DiagramaÁrbolRamaExperimentosTrayectoriaCalcularAuxilioFrecuenciaLanzamientoUnión

DIAGRAMA.- es un dibujo geométrico, muy utilizado en ciencia, en educación y en comunicación; con el que se obtiene la representación gráfica de una proposición, de la resolución de un problema, de las relaciones entre las diferentes partes o elementos de un conjunto o sistema, o de la regularidad en la variación de un fenómeno que permite establecer un tipo de ley. TRAYECTORIA.-es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas por las que pasa un cuerpo en su movimiento. La tra-yectoria depende del sistema de referencia en el que se describa el movimiento; es decir el punto de vista del observador.


332

Juicios por relaciónE.T. LÓGICA YCONJUNTOS

UNIDAD 8

9.- Clasificación por los Juicios por la Relación

Por la relación interna de sus elementos, o esa, por la peculiaridad en que se conectan entre si para formar al juicio el sujeto, el predicado y la cópula, los juicios se agrupan en las tres clases siguientes: 1) categóricos, 2) disyuntivos y 3) condicionales o hipotéticos.

Los juicios categóricos se definen de manera negativa, pues son aquellos que afirman o niegan de una manera simple, es decir sin sujeción a una condición. Las fórmulas generales del juicio “S es P” y “S no es P. así como las fórmulas de los juicios singulares, particulares y universales afirmativos y negativos, hasta aquí estudiadas, corresponden precisamente al juicio categórico.

Los juicios disyuntivos son juicios compuestos que tienen en su predicado dos o más caracteres, de los cuales o bien varios o bien uno solo pertenecen al objeto del juicio. De acuerdo con esto, los juicios disyuntivos pueden ser de dos clases: a).- Disyuntivos copulativos, que son los que indican que por lo menos uno de los caracteres mencionados en su predicado pertenece al objeto del juicio, pero sin que obste que le pertenezcan varios. Su fórmula es: “S es P o Q, etc.” Ejemplo: “Juan estu-dia matemáticas o lógica” b).- Los juicios disyuntivos exclusivos, indican que solamente uno de los caracteres mencionados en su predicado pertenece al objeto del juicio. Fórmula: “S es o bien P o bien Q, etc.” Ejemplo: “ Esta sustancia es o bien ácido o bien base”.

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ExhortaciónE.T. LÓGICA YCONJUNTOS

UNIDAD 8

Las formas imperativas de la oración gramatical corresponden a las formas lógicas llamadas genéri-camente exhortaciones.

El análisis permite descubrir en la exhortación una estructura sujeto-predicado, que la asemeja for-malmente al juicio enunciativo y a la interrogación, aún cuando su significación de ruego o mandato la diferencia de ellos.

Algunos lógicos han propuesto que todas las formas lógicas con estructura sujeto-predicado sean consideradas como un género con tres especies principales: el juicio enunciativo, la interrogación y la exhortación. Sin embargo, en este manual seguiremos ocupándonos solamente del juicio enun-ciativo, pues de lo contrario se vería recargado en exceso el programa de lógica que corresponde al bachillerato.

334

Inferencias inmediatas: Consecuencia modalE.T. LÓGICA Y

CONJUNTOS

UNIDAD 8

9.- La Consecuencia Modal

La inferencia inmediata por consecuencia modal está basada en las conexiones que se establecen entre las tres clases de juicios que resultan de su división por su modalidad.

La inferencia por consecuencia modal comprende dos casos.

En primer lugar, de la verdad de un juicio apodíctico se infiere la verdad de los juicios asertóricos y de la posibilidad correspondientemente, ya que lo es verdadero por necesidad, también es verdadero en el nivel de la posibilidad o de la contingencia. En segundo lugar, de la verdad de un juicio asertó-rico se infiere la verdad del juicio de posibilidad correspondiente, por una razón análoga, puesto que lo que de hecho es cierto también lo es desde el punto de vista de la posibilidad.

De la verdad de un juicio asertórico no se infiere la verdad del apodíctico, pues lo que es casual no puede ser considerado como necesario. De la verdad del juicio de posibilidad no hay inferencia, por consecuencia modal, ya que lo posible, por su propia naturaleza, se refiere tanto a lo que puede ser como a lo que puede no ser. Por tanto, aún siendo verdadero un juicio de posibilidad, no se puede inferir con seguridad que tal posibilidad se realice contingente o necesariamente.

Sin embargo, el juicio de una clase de las que resultan de la división por modalidad, sí puede ser negado por otro juicio perteneciente a la misma o a otra de las clases resultantes de la mencionada división por la modalidad: el asertórico se puede negar por otro asertórico y por el apodítico; el jui-cio de la posibilidad puede negarse por un apodítico; y el juicio apodítico puede ser negado por otro apodítico, por un asertórico, e incluso por un juicio de posibilidad.

335

Errores en los razonamientosE.T. LÓGICA YCONJUNTOS

UNIDAD 8

8.- Errores Principales en los Razonamientos Deductivos

Si la lógica toma como correctos todos los razonamiento y en general a todo pensamiento, que refleje en forma esencialmente verdadera la realidad objetiva, cualquier pensamiento que no refleje verdaderamente la objetividad debe ser considerado erróneo, no nada más gnoseológicamente sino también desde el punto de vista lógico.

Cada una de las formas lógicas en que se expresa el decurso del pensamiento ya sean conceptuales, judicativas o inferenciales, puede presentar errores lógicos característicos.

Genéricamente todo error lógico, cualquiera que él sea, recibe el nombre de falacia. Cuando se incurre en una falacia de manera involuntariamente y sin conciencia de que se está cometiendo un error, el error se denomina paralogismo. Las falacias voluntarias o intencionadas reciben el nombre de sofismas.

Los principales errores lógicos que se cometen en los razonamientos deductivos son los cuatro siguientes, que bien pueden ser paralogismos o sofismas: 1) ignorancia del asunto; 2) petición de principio; 3) círculo vicioso; y 4) el error del cuarto término.

La ignorancia del asunto (en latín: ignoratio elenchi) es una falacia que se comete en los razona-mientos deductivos cuando se responde a otra cosa distinta al asunto que está planteado; o cuando se prueba algo que no es lo que corresponde probar.

La petición de principio se produce cuando se da por acordado o aprobado lo mismo que está en cuestión.

El círculo vicioso es la falacia que consiste en probar una proposición “a” por medio de otra proposi-ción “b”; y luego probar a “b” por medio de “a”.

Uno de los más comunes errores lógicos que se da con mucha frecuencia en los razonamientos deductivos es la falacia del cuarto término ( en latín: quaterno terminorum), el cual presenta muchas especies. Genéricamente el error del cuarto término consiste en tomar el término medio de un silo-gismo con significación distinta en cada una de las premisas, lo cual conduce a una conclusión falsa.

336

Sistema de numeración quinario o base cincoE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 8

Sistema Quinario, Sistema de numeración de 5 símbolos, este emplea solo los dígitos: 0,1,2,3,4 para repre-sentar cualquier cantidad. Aquí hay una lista de cantidades en este sistema y el decimal:

0=0(5)

1=1(5)

2=2(5)

3=3(5)

4=4(5)

5=10(5)

12=22(5)

20=40(5)

131=511(5)

3008=44013(5)

Queda claro que el proceso es el mismo para cualquier base. Lo que hay que tener en cuenta es la posi-ción relativa de los números: siempre la posición de los números indicarán la potencia de la base según la posición sea la primera, segunda, tercera, etc. multiplicado por la cantidad (dígito) en esa posición. Dicho de otro modo, se puede decir que cada unidad escrita la izquierda de otra unidad, vale n veces cada unidad de la derecha, siendo en la base. Y que en cada orden o posición relativa, un número de unidades igual a la base nos dará siempre una unidad del orden o posición inmediata superior (a la izquierda).

Es por eso que en nuestro sistema decimal escribimos 10.El 1 representa una vez la cantidad 10, el 2 del 20 representa dos veces 10 y así. Si queremos escribir 10 decenas ya no podemos escribir en el segundo orden, sino que escribimos un 1 en el tercer orden que representan esas 10 decenas, o sea 100.En el número 555, un 5 representa 5 veces 10 ^2, es decir=500;el otro 5 representa 5 veces 10^1, y el último 5 representa 5 veces 10^0.

Cabe recalcar que siempre con el número 10 escribiremos el número que corresponda a la base que esta-mos usando. Es decir el 4 en base 4 siempre se escribirá 10, el 5 en base 5 se escribirá 10, el 9 en base 9 se escribirá 10,y así sucesivamente.

Para representar los dígitos mayores a 9 se usan las letras del alfabeto, según sea la base. Se puede deducir entonces, que usando un sistema alfanumérico, podríamos trabajar máximo hasta la base 36. Pasada dicha base, necesitaríamos nuevos símbolos o dígitos para representar las cantidades.

337

Fracciones algebráicasE.T. ARITMÉTICA

UNIDAD 8

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Son fracciones algebraicas:

Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones numéricas. El valor de una fracción no se altera si se multiplican o dividen el numerador y denominador por una misma cantidad. Esta cantidad debe ser distinta de cero.Por ejemplo:

Si se multiplica por x + 2 en su numerador y denominador resulta:

Se recomienda hacer las operaciones con calma y mucha concentración ya que son frecuentes los errores de signos y los errores en el uso incorrecto de paréntesis.

338


UNIDAD 8

Producto de dos números equidistantes de un número cuyo cuadrado es conocido

El número cuyo cuadrado es conocido generalmente será uno acabado en 0. Por ejemplo, a la hora de calcular 58 × 62 nos apoyaremos en el 60, ya que ambos están a la misma distancia (2 unidades) de 60. Aquí se puede utilizar la tercera identidad, la del producto de suma por diferencia, donde a = 60 y b = 2.

(60 + 2) (60 - 2) = 60² - 2² = 3600 - 4 = 3596

Más ejemplos:

77 × 83 = (80 - 3) (80 + 3) = 6400-9= 6391

95 × 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10000-25= 9975

128 × 152 = (140 - 12) (140 + 12) = 19600-144= 19456

Cuadrado de un número acabado en 5

El cálculo del cuadrado de un número que acabe en 5 puede simplificarse utilizando la tercera identidad. Aquí a será el número inicial (por ejemplo, 65), y b = 5:

(a + 5) (a - 5) = a² - 25

Por tanto, se tiene que:

(a + 5) (a - 5) + 25 = a²

Si a = 65, el resultado es el siguiente:

65² = 70 × 60 + 25 = 4200 + 25 = 4225.

Más ejemplos:

35 × 35 = 40 × 30 + 25 = 1225

105 × 105 = 110 × 100 + 25 = 11025

255 × 255 = 260 × 250 + 25 = 65025

En este último caso, para calcular 260 × 250 se puede optar por formularlo de esta manera: 260 × 250 = (250 + 10) × 250 = 250² + 2500, y ya sabemos calcular con facilidad 250², así, quedaría 62500 + 2500 + 25 = 65025.

Cubos y potencias superiores

El cálculo de cubos y potencias superiores mediante el uso de igualdades notables es progresivamente más difícil, y a menudo es más sencillo hallar la cuarta potencia de un número como el cuadrado de su cuadrado:

954 = (95²)² = 9025² = (9000 + 25)² = 9000² + 2 × 25 × 9000 + 25² = 81.000.000 + 450.000 + 625 = 81.450.625 (Fa-

cilita mucho el cálculo el hecho de que la segunda cifra de 9025 sea un cero)

339

Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticasE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 8

La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es -b ± b2-4ac

2ax=

340

Solución de ecuaciones cuadráticasE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 8

Ejemplo

341

Discriminante y solución de ecuaciones cuadráticasE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 8

342

Unidades de EnergíaE.T. ÁLGEBRA

UNIDAD 8

El julio (en inglés y también en español: joule; pronunciado jul) es la unidad derivada del Sistema Internacional utilizada para medir en-ergía, trabajo y calor. Como unidad de trabajo, el joule se define como la cantidad de trabajo realizado por una fuerza constante de un new-ton para desplazar una masa de un kilogramo, un metro de longitud en la misma dirección de la fuerza.En esta definición, al ser tan específica, no se consideran tipos de resistencia como el roce del aire. Su símbolo es J, con mayúscula, como to-dos los símbolos de unidades del SI que derivan de nombres de persona.La unidad julio se puede definir como:el trabajo necesario para mover una carga eléctrica de un culombio a través de una tensión (diferencia de potencial) de un voltio. Es decir, un voltio-columbio (V·C). Esta relación se puede utilizar, a su vez, para definir la unidad voltio. el trabajo necesario para producir un vatio (watt) de potencia durante un segundo. Es decir, un vatio-segundo (W·s). Esta relación es, además, utilizable para definir el vatio.Puede utilizarse para medir calor, el cual es energía cinética (movimiento en forma de vibraciones) a escala atómica y molecular de un cuerpo.Toma su nombre en honor del físico James Prescott Joule

Unidades de Energía

Concepto:

El término energía (del griego ἐνέργεια [enérgueia], ‘actividad’, ‘operación’; de ἐνεργóς [energós], ‘fuerza de acción’ o ‘fuerza trabajando’) tiene diversas acep-ciones y definiciones, relacionadas con la idea de una capacidad para obrar, transfor-mar o poner en movimiento. En física, «energía» se define como la capacidad para realizar un trabajo. En tecnología y economía, «energía» se refiere a un recurso natural (incluyendo a su tecnología asociada) para extraerla, transformarla y darle un uso industrial o económico.

Múltiplos del Sistema Internacional para julio (J)

Submúltiplos Múltiplos

Valor Símbolo Nombre Valor Símbolo Nombre

10−1 J dJ decijulio 101 J daJ decajulio

10−2 J cJ centijulio 102 J hJ hectojulio

10−3 J mJ milijulio 103 J kJ kilojulio

10−6 J µJ microjulio 106 J MJ megajulio

10−9 J nJ nanojulio 109 J GJ gigajulio

10−12 J pJ picojulio 1012 J TJ terajulio

10−15 J fJ femtojulio 1015 J PJ petajulio

10−18 J aJ attojulio 1018 J EJ exajulio

10−21 J zJ zeptojulio 1021 J ZJ zettajulio

10−24 J yJ yoctojulio 1024 J YJ yottajulio

Los prefijos más comunes de la unidad están en negritas.

343

Unidades de EnergíaE.T. MEDICIÓN

UNIDAD 8

El ergio es la unidad de medida de energía en el sistema de unidades CGS (centímet-ro-gramo-segundo), su símbolo es erg. Se trata de una unidad utilizada principalmente en Estados Unidos y en algunos campos de ingeniería. Sin embargo, se considera anticuada, en el sentido que las medidas usadas en décadas recientes incluyendo el SI están orientadas a sistemas MKS (met-ro-kilogramo-segundo). La unidad de energía usada en el SI es el julio.

El Foe es una unidad de energía igual a 1044 julios. Para medir las inmensas cantidades de energía que produce una supernova, los científicos usaban ocasionalmente una unidad de energía llamada foe que era un acrónimo de Fifty One Ergs o 1051 ergios (erg en inglés). Esta unidad de medida resulta-ba ideal para contar la energía de estos fenómenos ya que una supernova típica emite alrededor de un foe de energía observable (luz visible).

Por comparación el Sol a lo largo de toda su vida habrá emitido tan solo 1,2 foe. Pues suponiendo su luminosidad constante a lo largo de toda su vida 3,827×1026 W × 1010 años ≈ 1,2 foe (Google Calculator).

La frigoría (símbolo: fg) es una unidad de energía informal para medir la absorción de energía tér-mica. Aunque a veces se dice que equivale a una kilocaloría negativa, no es realmente cierto desde un punto de vista físico: efectivamente en todos los casos, calefacción o refrigeración, lo que se hace es llevar calor de un lado a otro, de modo que a la misma forma de energía corresponden las mismas unidades, en este caso la caloría. Ello permite decir que es una unidad convencional para entenderse cuando se habla de refrigeración.

Podría definirse, como extensión de la definición de kilocaloría del Sistema Técnico, como la energía que hay que sustraer de un kilogramo de agua a 15,5 °C, a presión atmosférica normal, para reducir su temperatura en 1 °C. Si bien el término ha sido aceptado por la Real Academia Española, la uni-dad no existe en el Sistema Técnico. Un Hartree (símbolo Eh) es la unidad atómica de energía, llamada así por el físico Douglas Hartree.

La energía de Hartree es igual al valor absoluto de la energía potencial eléctrica del átomo de hi-drógeno en su estado fundamental. Este valor es exactamente el doble del valor absoluto de la energía de enlace del electrón en el estado fundamental del átomo de hidrógeno, |E1| (no es exact-amente igual a dos veces la energía de ionización debido a la masa finita del protón; véase masa reducida).

Unidades de EnergíaConcepto:

344

Problemas por simulaciónE.T. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

UNIDAD 8

La simulación permite estudiar un fenómeno cuando se carece de las condiciones para reproducirlo.

La simulación puede realizarse mediante el uso de urnas con esferas de color en la cantidad necesaria. Por ejemplo:

Acertar al borne positivo en una bateria sin señalamientos.

Este experimento puede simularse colocando en una urna dos esferas de diferente color (una roja y otra blanca).

Consideremos éxito sacar una esfera roja de la urna y fracaso el sacar la blanca.

Al devolver a la urna la esfera sacada después del pri-mer intento la probabilidad de sacar bola roja en un 2do. intento, es igual a la del caso anterior, pues cada uno es independiente del otro (1/2).

Si el experimento descrito anteriormente se efectúa un gran número de veces y cada vez existe la misma probabi-lidad de éxito, se le conoce como experimento de Bernou-lli.

Las urna usada recibe en nombre de urna de Bernoulli.

Lanzar un dado presenta 6 posibilidades: 1 y 2, 3 y 4, 5 y 6).

La probabilidad de éxito (sacar la esfera roja) es cada vez.

139. Simula con una urna y esferas los siguientes fenómenos e indica la probabilidad de éxito.

a) Sacar una goma de color rojo de una caja donde hay 8 de igual forma y tamaño (5 son blancas y 3 rojas).

b) Ser seleccionado de entre 5 candidatos.

c) De 6 muchachas (4 morenas y 2 rubias) elegir al azar una rubia.

d) Elegir un foco sin defecto de una caja con 8 focos ( 2 defectuosos).

Elegir un tornillo con tuerca sin defecto, de una caja que contiene 6 tornillos con tuerca sin defecto, y 3 con defecto.

Respuesta: la simulación es con una urna con 6 esferas rojas y 3 blancas o también, con una urna con 2 esferas rojas y 1 blanca (las rojas representan las piezas sin defecto y las blancas con defecto). La proba-bilidad de éxito de 2/3.

Ejemplo

1/2

1/2

Fracaso (caer 3,4,5 ó 6)

Éxito caer 1 ó 2

+

+

Simular significa reproducir las alternativas de ocurrencia de un fenómeno

URNA DE BERNOULLI

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