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TECSUP Cálculo Diferencial e Integral

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UUNNIIDDAADD VV

CCÁÁLLCCUULLOO DDEE ÁÁRREEAASS

1. INTRODUCCIÓN

Si el problema del cálculo de la recta tangente llevó a los matemáticos del siglo XVII al desarrollo de las técnicas de la derivación, otro problema, el del cálculo del área encerrada por una curva, propició el desarrollo de las técnicas de integración.

Se trataba, por ejemplo, de hallar el área encerrada bajo la curva f(x) entre los puntos a y b:

Se conocían fórmulas para recintos de forma igual a figuras geométricas (rectangulares, triangulares, e incluso algunas de curvas específicas), pero si la curva no tenia forma regular, no se conocía, en general, su área exacta.

El cálculo integral da respuesta a esta y otras cuestiones.

2. ÁREA BAJO LA CURVA

Si f(x) está definida en el intervalo [a;b] y además es continua, el área bajo la curva se determina del siguiente modo.

b

a

b

a )a(F)b(F)x(Fdx)x(fÁrea

Cálculo Diferencial e Integral TECSUP

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Ejemplo Calcule el área bajo la curva de la función: f(x)=x2, en el intervalo [1;3]

La aplicación de la integral definida para el calculo de áreas depende de como sea la función en el intervalo concreto. Se pueden presentar los siguientes casos:

2.1 ÁREAS LIMITADAS POR UNA FUNCIÓN Y EL EJE X

a) La función es siempre positiva en el intervalo:

En este caso el área simplemente viene dada por:

b

a

dx)x(fÁrea

Donde a y b son los puntos entre los que queremos calcular el área, y que habitualmente son los puntos de corte de la función con el eje x.

Geométricamente:

3

1

233

3

1

32 u

3

26

3

1

3

3

3

xdxxÁrea


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b) La función es siempre negativa en el intervalo:

En este caso el área simplemente viene dada por:

b

a

dx)x(fÁrea

Geométricamente:

c) Si la función es a veces positiva y a veces negativa en el intervalo, se calculan los puntos de corte y se calculan las integrales sucesivas:

En la figura sería:

b

d

d

c

c

a

dx)x(fdx)x(fdx)x(fÁrea

En cualquier caso, y cuando calculemos áreas, siempre es conveniente comenzar por calcular los puntos de corte de la función con el eje x para saber si es positiva o negativa y calcular las integrales correspondientes, o bien utilizar siempre el valor absoluto para asegurarnos de que el resultado es positivo.


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Ejemplo Calcular el área que encierra con el eje x la gráfica de la función:

x10x7x)x(f 23

No hace falta dibujar la gráfica. Calculamos los puntos de corte con el eje x:

5x;2x;0x0)10x7x(x0x10x7x 223

Corta al eje x en (0;0), (2;0), (5;0) Veamos como es la función entre 0 y 2. Tomamos un valor situado en ese intervalo y lo sustituimos en la función. Se obtiene:

4)1(10)1(7)1()1(f 23

Como 4 es positivo, significa que la función es positiva en ese intervalo, luego el área sería:

2

0

2342342

0

23423

2

0.10

3

0.7

4

0

2

2.10

3

2.7

4

2

2

x10

3

x7

4

xdx)x10x7x(Área

2u3

1620

3

564

En el otro intervalo, entre el 2 y el 5, tomamos otro valor para saber si la función es positiva o negativa:

6)3(10)3(7)3()3(f 23

La función es negativa en el intervalo, luego el área será:

2

2.10

3

2.7

4

2

2

5.10

3

5.7

4

5

2

x10

3

x7

4

xdx)x10x7x(Área

2342345

2

2345

2

23

2u4

63

4

63

3

16

12

125

En total el área pedida será:

22 u 08,21u12

253

4

63

3

16Área


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Gráficamente:

Observa lo importante que es diferenciar los dos intervalos, pues si simplemente hubiésemos calculado, sin más:

5

0

23 dx)x10x7x(Área

El resultado sería:

2

5

0

23 u42,10dx)x10x7x(Área

Que no es el área buscada sino la diferencia entre las áreas. Desde luego, si es posible, es mejor hacer un dibujo para saber como va la gráfica y determinar el área a calcular.

2.2 ÁREAS LIMITADAS POR DOS FUNCIONES

También es posible aplicar las integrales definidas para el cálculo de áreas de recintos limitados por dos curvas, por ejemplo el de la figura:


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Si las curvas son f(x) y g(x) se cumple que el área limitada por las dos curvas en el intervalo [a; b] es:

b

a

dx)x(g)x(fÁrea

Siempre que f(x) esté por encima de g(x) en el intervalo [a; b]

Si las curvas se cortan en el intervalo, se subdivide el intervalo en otros menores, en cada uno de los cuales se aplican la integral anterior, determinando que curva está por encima, y se suma el resultado. En todo caso siempre es necesario hallar los puntos de corte entre las curvas, que se calculan igualando las expresiones algebraicas de ambas funciones:

f(x) = g(x)

Y resolviendo la ecuación resultante.

Ejemplo Calcular el área limitada por las curvas:

1x)x(f 2 y 4x4)x(g

Comenzamos calculando los puntos de corte de las funciones:

3x1x03x4x4x41x)x(g)x(f 22

Las funciones se cortan en los puntos 1 y 3.


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Veamos que función está por encima y cual por debajo en ese intervalo. Dando un valor intermedio, por ejemplo el 2:

312)2(f 2 442.4)2(g

Como el valor de g(x) es mayor, significa que g(x) está por encima de f(x) en el intervalo, de modo que el valor del área sería el dado por la integral definida:

3

1

3

1

3

1

22 dx)3xx4(dx)1x()4x4(dx)x(f)x(gÁrea

22

3

1

32 u 33,1u

3

4)

3

132()9918(x3

3

xx2

Gráficamente:


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BLOQUE IV

Determina el área comprendida entre las gráficas de:

1.- 29 xy ; 12 xy

2.- 23 xxy ; xxy 2

3.- 223 23 xxxy ; 242 2 xxy

4.- 2xy ; 1y

5.- 42 yx ; 073 yx

6.- 0x ; xy tg ; xy cos3

2 . Indicación: Grafique.

7.- 3xy ; 0y ; 1x ; 3x

8.- 29 xy ; 0y ; 2x ; 1x

9.- xy ; xy ; 4x

10.- 4 xy ; 0y ; 0x

11.- Hallar el área de la región sombreada, donde la parábola tiene por ecuación:

xxy 42 y la recta es tangente a ésta en el punto (3,3). (Fig.1).

12.- Hallar el área de la región sombreada, donde la curva tiene por ecuación:

xy y la recta es tangente a ésta en el punto (4,2). (Fig.2).


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13.- Halle el área de la región sombreada en la Fig.3. 14.- Calcular el área de la figura limitada por las líneas cuyas ecuaciones son

2y 2x 1 y x y 1 0 .

15.- Hallar el área de la figura comprendida entre la parábola 2y x 4x 3 y las

tangentes a ésta en los puntos (0;-3) y (3;0).

16.- Calcular el área de la figura limitada por las parábolas 2y x e y x .

x

y

y = x2

y = 2 - x2

y = x + 6

x

y

(3,3)

Fig. 1

x

y

(4,2)

Fig. 2

Fig.3


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17.- Calcular el área de las figuras limitadas por las parábolas 2y 8x 16 e

2y 24x 48 .

18.- Calcular el área de las figuras limitadas por las parábolas 2y x e

3y x /3 .

19.- La circunferencia 2 2x y 8 está dividida por la parábola

2y x / 2 en dos partes.. Hallar el área de la parte superior formada por ambas.

20.- Calcular el área de la figura comprendida entre la línea 2y x(x 1) y el eje de

abscisas. 21.- Calcular el área de la figura limitada por el eje de ordenadas y la línea

2x y (y 1) .

22.- Calcular el área de la figura limitada por las líneas xy e ,

xy e y la recta x 1 .

23.- Calcular el área de uno de los triángulos curvilíneos limitados por el eje de

abscisas y las líneas y senx e y cosx . 24.- Calcular el área de la figura limitada por el eje de abscisas y las líneas

y arcsen(x) e y arccos(x) .

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