tesis geometria del cuadrilatero

Geometra del Cuadrilatero.

Jorge Alonso Santos Mellado

Indice general

Indice general IV

Prologo V

Agradecimientos IX

1. Cuadrilatero: nociones basicas. 11.1. Tipos de cuadrilateros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Polgonos convexos y concavos. . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Cuadrilateros convexos, entrantes y cruzados. . . . . . . . 21.1.3. Clasificacion y propiedades de los cuadrilateros convexos. 3

1.2. Area del cuadrilatero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Aplicaciones del area del cuadrilatero: Teorema de Varignon. . . 7

1.3.1. Teorema y Paralelogramo de Varignon. . . . . . . . . . . . 71.3.2. Consecuencias del Teorema de Varignon. . . . . . . . . . . 8

2. Cuadrilateros Cclicos y Circunscritos. 152.1. Cuadrilateros Cclicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Polgonos inscritos en crculos. . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2. Dos criterios para la caracterizacion

de cuadrilateros cclicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.3. Teorema de Ptolomeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.4. Lneas antiparalelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.5. Lnea de Simson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.6. Teoremas japoneses o de Mikami y Kobayashi. . . . . . . 222.1.7. Formula de Brahmagupta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.8. Construccion del cuadrilatero cclico. . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Cuadrilateros circunscritos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.1. Polgonos circunscritos en crculos. . . . . . . . . . . . . . 342.2.2. Dos criterios para la caracterizacion de

cuadrilateros circunscritos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3. Cuadrilatero bicentrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4. Teorema de Casey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4.1. Tangentes comunes a dos circunferencias. . . . . . . . . . 45

iii

iv INDICE GENERAL

2.4.2. Teorema de Casey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3. El cuadrilatero cclico en el Almagesto. 553.1. Claudio Ptolomeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.2. La Tabla de Cuerdas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3. Identidades trigonometricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.1. Teorema de Ptolomeo trigonometrico. . . . . . . . . . . . 713.3.2. Identidades del seno y del coseno . . . . . . . . . . . . . . 72

4. Cuadrilatero y cuadrangulo completos. 794.1. Principio de dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2. Cuadrilatero y cuadrangulo completos. . . . . . . . . . . . . . . . 814.3. Conjugados Armonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4. Perspectividad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.5. Orden y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.6. Proyectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.7. Involucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8. Colineaciones y Correlaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.9. Polaridad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.10. Triangulos polares y autopolares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.11. Polaridades elpticas e hiperbolicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5. Cuadrilateros de Saccheri y de Lambert. 1155.1. Cuadrilatero de Saccheri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.1.1. Girolamo Saccheri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.1.2. La obra de Saccheri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.2. Cuadrilatero de Lambert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.2.1. Juan Enrique Lambert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1265.2.2. La obra de Lambert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.3. Relacion entre el cuadrilatero de Saccheri y el de Lambert. . . . . 128

A. Angulos en la circunferencia 133A.1. Angulos Inscritos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A.2. Angulos semiinscritos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137A.3. Angulos interiores y exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Indice alfabetico 143

Bibliografa 143

Prologo

Una posible definicion de geometra euclidiana es: el estudio de las propie-dades de la figuras geometricas. Si seguimos tal definicion, podemos decir quees la rama del conocimiento que estudia las propiedades de los polgonos y delcrculo. Ahora bien, un polgono, de manera general, puede descomponerse entriangulos y, por lo tanto, el estudio de las propiedades de aquellos se reduceal de estos. En consecuencia, podemos decir que la geometra euclidiana es elestudio de las propiedades del triangulo y del crculo. Esta definicion es, sinembargo, solo una forma de entender la geometra pero explica porque en di-versos libros de la materia se hace la division entre geometra del triangulo ygeometra del crculo. Sin embargo, cualquiera que ha llevado uno de estos cur-sos sabe que no solo se ven propiedades de las dos figuras mencionadas, sinoque ademas se atienden las propiedades de otros polgonos, principalmente lasde los cuadrilateros. A pesar de esto, en los libros no se hacen apartados parala geometra del cuadrilatero, sino que se van estudiando sus propiedades en lamedida que facilitan y se requieren para la obtencion de resultados de las dosfiguras previamente mencionadas.

Es comun que en los textos de geometra, ademas de presentar los temasdel triangulo y la circunferencia esenciales para cualquier curso de esta materia,se consignen resultados mas particulares de tales figuras, los cuales no formanparte de un curso basico y se les propone como una opcion para que el alumnoprofundice sus conocimientos geometricos. Sin embargo, no es nada comun quese presenten propiedades particulares del cuadrilatero con la intencion descrita,lo que fomenta que muchas de ellas sean muy poco conocidas.

Partiendo del razonamiento anterior, la finalidad del presente trabajo escontribuir en la ensenanza-aprendizaje de la geometra euclidiana. Por un lado,y como su nombre lo indica, es un estudio de la geometra del cuadrilatero, que sibien no es exhaustivo s da un vision general del papel que tal figura desempenaen el campo del conocimiento que nos interesa. Por otro lado, puede ser unareferencia, respaldo o auxiliar en los cursos de geometra, pues contiene temasque no se ven en tales cursos a pesar de estar totalmente en contexto con ellos.La idea fue crear un trabajo autocontenido que este al alcance de cualquieraque tenga nociones geometricas mnimas, en concreto: criterios de congruenciay semejanza de triangulos, las funciones trigonometricas seno y coseno y susidentidades basicas como la ley de senos y la de cosenos.

Cuando realizamos un estudio de la geometra a partir del estudio de las

v

vi PROLOGO

propiedades del triangulo es innegable que no atendemos unica y exclusivamen-te a tal figura, es decir, nos auxiliamos, por ejemplo, de las propiedades delas circunferencias y de los cuadrilateros pero la idea central es el estudio deltrangulo. Las propiedades de otras figuras solo sirven para obtener resultadosreferentes a el. De la misma manera, al acercarnos a la geometra a traves de laspropiedades del cuadrilatero, en repetidas ocasiones tendremos que establecerresultados referentes al triangulo y a la circunferencia pero manteniendo siemprecomo directriz al cuadrilatero.

Por ultimo, describimos brevemente el contenido.En el primer captulo establecemos las propiedades mas elementales de los

cuadrilateros, hacemos una clasificacion, definimos su area, establecemos el teo-rema de Varignon y, a partir de el, obtenemos diversos resultados.

En el segundo captulo fundamentalmente atendemos a los cuadrilateroscclicos (quiza este es el tipo de cuadrilatero del que se conocen el mayor numerode resultados) y a los circunscritos. Con respecto a los primeros, establecemoscinco distintos criterios que los caracterizan. Los dos primeros en funcion desus angulos, el tercero es el teorema de Ptolomeo, que dicho sea de paso, muyprobablemente sea el resultado mas conocido referente a estas figuras, el cuartoesta dado en funcion de la teora de lneas antiparalelas y el quinto se basa enla lnea de Simson. Luego nos ocupamos de dos teoremas conocidos como teo-remas japoneses o teoremas de Mikami y Kobayashi. Deducimos la formula deBrahmagupta, la cual nos proporciona el area en funcion de los lados. Construi-mos con regla y compas un cuadrilatero cclico a partir de sus lados y damoscondiciones para que la construccion sea posible. Adicionalmente, vemos que talconstruccion no es unica. Por ultimo, damos resultados que ligan a las diago-nales con los lados. Para los cuadrilateros circunscritos establecemos un par decriterios que los caracterizan. Enseguida definimos los cuadrilateros bicentricosy los ortodiagonales para luego dar condiciones bajo las cuales un cuadrilateroes bicentrico. La parte final de este captulo la dedicamos al teorema de Casey,tambien conocido como generalizacion del teorema de Ptolomeo.

En el tercer captulo hacemos una revision minuciosa y ampliada del tra-bajo que Ptolomeo realizo en su Almagesto. Esencialmente es la construcciongeometrica completa y detallada de la tabla de valores de una funcion trigo-nometrica equivalente al seno: la funcion cuerda. El motivo por el cual expo-nemos este material es que los resultados se obtienen fundamentalmente delcuadrilatero cclico y de la aplicacion del teorema de Ptolomeo. Por otro lado,esta seccion, al seguir paso a paso la obtencion de los valores de la funcion cuer-da, muestra como se podra elaborar geometrica y completamente una tablapara el seno. Al final hacemos un agregado en donde obtenemos, con el uso ex-clusivo del cuadrilatero cclico y del teorema de Ptolomeo, las identidades parael seno o el coseno de la suma o la resta de dos angulos, el seno o coseno delangulo doble o del angulo mitad.

El cuarto captulo esencialmente es una introduccion a un curso de geometraproyectiva. Hacemos esto debido a que en tal disciplina el cuadrilatero completoes la figura a traves de la cual se definen todos los conceptos basicos. Si bienpara la geometra proyectiva el tema central es el estudio de las proyectividades

vii

y las perspectividades, para despues estudiar las conicas, tal estudio se realizacon estrecho apego al cuadrilatero completo. Es por ello que esta figura desem-pena un papel fundamental en esta geometra y, consecuentemente, le prestamosatencion. Cabe destacar que aunque este captulo tiene un caracter introducto-rio a la materia mencionada, en todo momento se hace ver que el cuadrilaterocompleto y su dual, el cuadrangulo completo, estan presentes.

El ultimo captulo, el quinto, se enfoca a revisar y obtener resultados delos cuadrilateros de Saccheri y de Lambert. En este captulo hacemos ver comolos trabajos de estos dos personajes dieron pie a las geometras no euclidianas.Ambos trabajaron fundamentalmente con cuadrilateros y de ah nuestro interes.Al final establecemos algunas relaciones entre estos dos tipos de figuras.

Hemos incluido un apendice en el que examinamos de manera atenta losangulos en la circunferencia, a saber: angulos inscritos, semiinscritos, interioresy exteriores. En cada uno clasificamos las distintas posibilidades y todos losponemos en funcion del angulo central.

viii PROLOGO

Agradecimientos

A los responsables de que este logro personal sea una realidad: mis abuelitosSantos y Carmen y a mi mama Bertha.

A mi toda mi familia, a mis amigos de la Facultad de Ciencias, a los pro-fesores Julio Cesar Cedillo, Leobardo Fernandez y Silvestre Cardenas por lasoportunidades academicas que me han dado y a Sandra por acompanarme eneste proceso.

ix

x AGRADECIMIENTOS

Captulo 1

Cuadrilatero: nociones

basicas.

1.1. Tipos de cuadrilateros.

En el presente trabajo haremos un estudio detallado del cuadrilatero. Paraempezar necesitamos establecer un acuerdo acerca de que es un cuadrilatero.Para tal efecto, primero debemos recordar brevemente que es un polgono y lasdistintas clases que nos interesan.

1.1.1. Polgonos convexos y concavos.

De manera intuitiva un polgono es una figura geometrica plana y cerradaque consta de puntos y segmentos de lnea que unen estos puntos en un ordenconsecutivo. Estableceremos con mas precision esta idea en la siguiente:

Definicion 1.1.1. Dados los puntos A1, A2, A3, , An en el plano y tomadosde tres a la vez no estan alineados. Diremos que el polgono determinado porellos es el conjunto de puntos del plano (figura cerrada) delimitados por lossegmentos de recta A1A2, A2A3, , An1An, AnA1.

En la anterior definicion los puntos A1, A2, A3, , An se llaman verticesy los segmentos A1A2, A2A3, , An1An, AnA1 son los lados del polgono.Tanto los vertices como los puntos que forman los lados son parte del lugargeometrico. Ahora distinguiremos los polgonos convexos de los concavos en lassiguientes definiciones.

Definicion 1.1.2 (Polgono Convexo). Un polgono convexo es aquel que altomar cualquier par de puntos de el, el segmento de recta determinado por ellosesta totalmente contenido en el polgono.

Definicion 1.1.3 (Polgono Concavo). Un polgono concavo es el que no esconvexo, es decir, aquel en donde existen un par de puntos que pertenecen a el

1

2 CAPITULO 1. CUADRILATERO: NOCIONES BASICAS.

y, sin embargo, el segmento determinado por ellos no esta totalmente contenidoen el polgono.

Figura 1.1:

1.1.2. Cuadrilateros convexos, entrantes y cruzados.

Estamos en condiciones de dar una definicion provisional de cuadrilatero.Mas adelante definiremos con mas precision el concepto, mas por el momentocon esto es suficiente.

Definicion 1.1.4 (Cuadrilatero). Un cuadrilatero es un polgono de cuatrolados.

El cuadrilatero de vertices A, B, C y D, lo denotaremos como ABCD.En la Figura 1.2 tenemos el ABCD. Los lados que comparten un vertice sonllamados lados adyacentes. Si dos lados no lo hacen, les decimos lados opuestos.AB es adyacente a BC y DA. Los lados AB y CD son opuestos, as comoBC y DA. Los vertices que estan en un mismo lado son vertices adyacentes,si no, vertices opuestos. A es adyacente de B y D. A y C, as como B y Dson opuestos. Finalmente, los segmentos determinados por un par de verticesopuestos son llamados diagonales. AC y BD son las diagonales del ABCD.

A B

CD

Figura 1.2:

Como los cuadrilateros son polgonos, los hay convexos y concavos. A partirde su definicion es claro que en los cuadrilateros convexos sus dos diagonalesestan totalmente contenidas en ellos. Si consideramos un cuadrilatero concavocomo el que aparece del lado izquierdo de la Figura 1.3, vemos que una de susdiagonales queda fuera y la otra dentro de el. A este tipo de cuadrilateros se lesllama entrantes . La pregunta natural en este punto es: existira un cuadrilateroen el que sus dos diagonales esten fuera de el? Algunos autores consideran que

1.1. TIPOS DE CUADRILATEROS. 3

s y, en consecuencia, a una figura como la que aparece del lado derecho de laFigura 1.3 le llaman cuadrilatero cruzado . En el los lados siguen siendo AB,BC, CD y DA pero el orden cclico en el que estan colocados sus vertices noes el mismo que el del ABCD convexo de la Figura 1.2. Si consideramosel sentido contrario a las manecillas del reloj, C aparece primero que B, locual origina que los lados AB y CD se intersequen. Vemos que esta figuratiene cuatro lados, pero tiene cinco vertices. Los autores que llaman a este tipode figuras cuadrilateros cruzados, no definen un vertice en la interseccion deAB y CD con lo que este cuadrilatero cruzado sigue teniendo cuatro lados ycuatro vertices. El definir esta figura como cuadrilatero, les permite clasificarun cuadrilatero a partir del numero de diagonales que esten dentro de el. As,si en un cuadrilatero sus dos diagonales estan dentro de el es convexo, si unaesta dentro y la otra fuera, es entrante y si las dos estan fuera, es cruzado. Otraforma, mas intuitiva de entender que es un cuadrilatero cruzado es como sigue:supongamos que tenemos un ABCD convexo como en la Figura 1.2 en el quelos lados AB y CD se pueden estirar. Giremos el lado BC 180. El ABCDconvexo se convierte en el ACBD que queda cruzado como el de la Figura 1.3.Insistimos en que en realidad esta figura no es un cuadrilatero pues no estamosconsiderando un vertice, pero en este tratado la consideraremos como tal debidoa que hay autores que as lo hacen, ademas de que al hacerlo as hay teora quequeda establecida de manera mas general. 1

Adoptamos la convencion de que ABCD representa un cuadrilatero con-vexo y ACBD, uno cruzado. Cuando el cuadrilatero sea entrante lo anuncia-remos explcitamente para evitar confusion.

BA

D

C

D

C

B

A

Figura 1.3:

1.1.3. Clasificacion y propiedades de los cuadrilateros con-

vexos.

Dentro de los cuadrilateros convexos podemos hacer una clasificacion aten-diendo a la longuitud de los lados, a los angulos y a si sus lados opuestos son

1Tanto el Teorema de Varignon como la caracterizacion de los cuadrilateros cclicos a travesde la nocion de lneas antiparalelas quedan establecidos de manera mas general (en el sentidode que siguen siendo validos) si tambien se consideran a los cuadrilateros cruzados. El Teoremade Varignon lo atenderemos en este mismo captulo, mientras que a las lneas antiparalelas,en el siguiente.


paralelos. Presentamos una lista con los nombres y su caracteririzacion.

(a) Cuadrado: Cuatro lados iguales y cuatro angulos rectos.

(b) Rectangulo: Cuatro angulos rectos.

(c) Paralelogramo: Lados opuestos paralelos.

(d) Rombo: Cuatro lados iguales.

(e) Romboide: Dos pares de lados adyacentes iguales.

(f) Trapecio: Un par de lados opuestos paralelos.

(g) Trapecio Isosceles: Un par de lados opuestos paralelos y los otros ladosiguales.

a b c

d e

f g

Figura 1.4:

Se pueden deducir diversas propiedades de estos cuadrilateros especficosa partir de las carecterizaciones dadas. Aqu solo enunciaremos y probaremosalgunas como proposiciones a manera de muestra.

Proposicion 1.1.5. Un cuadrilatero es un paralelogramo si y solo si sus dia-gonales se cortan en el punto medio.

Demostracion. Sea ABCD un paralelogramo y E el punto donde se cortan susdiagonales.CAB DAC pues BAC = DCA, AC es comun y ACB =CAD. En consecuencia AB = CD y BC = DA. Si usamos el mismo criterio,obtenemos que EAB ECD y, por lo tanto, AE = EC y BE = ED.

1.1. TIPOS DE CUADRILATEROS. 5

BA

D C

E

Figura 1.5:

De manera inversa, supongamos que en el ABCD sus diagonales se bisecanmutuamente en E. DEC BEA pues DE = EB, CED = AEB yAE = EC. Luego AB CD. AnalogamenteDAE BCE y DA BC.Proposicion 1.1.6. Un paralelogramo es un rectangulo si y solo si sus diago-nales tienen la misma longitud.

CD

A B

E

Figura 1.6:

Demostracion. Sea el ABCD un rectangulo. Por la proposicion anterior te-nemos que AB = CD y BC = DA. DAB CBA debido a las igualdadesprecedentes y a que ambos son rectangulos. Se sigue que AC = BD. Inversamen-te, si ABCD es paralelogramo y AC = BD, se obtiene que DAB CBAy, en consecuencia, BAD = CBA. Como entre estos dos angulos suman 180,entonces son rectos.

Proposicion 1.1.7. Todo rombo es paralelogramo.D

B

CAE

Figura 1.7:

Demostracion. Sea ABCD un rombo. Entonces CDB ADB al te-ner lados respectivos iguales. Ademas ambos son isosceles, lo que implica queBDC = DBA y esto que AB CD. Analogamente BC DA. As ABCDes un paralelogramo.


Proposicion 1.1.8. Un paralelogramo es un rombo si y solo si sus diagonalesson perpendiculares.

Demostracion. Sea ABCD un paralelogramo con AC BD. Por la Proposi-cion 1.1.5 AC y BD se bisecan en E y como lados opuestos son iguales se tieneque EAB EBC ECD EDA. As los cuatro lados son iguales yABCD es rombo. Supongamos ahora que ABCD es un rombo. Por la propo-sicion anterior tenemos que tambien es un paralelogramo y, en consecuencia, porProposicion 1.1.5, sus diagonales se bisecan en E. AsCDB ADB al tenersus lados correspondientes iguales. Consecuentemente CED = DEA y comosuman entre los dos 180, resultan ser ambos rectos. Con esto AC BD.

1.2. Area del cuadrilatero

Antes de empezar, introducimos notacion para el area. AABCD y AABCdenotan el area del ABCD y del ABC. Al area de un triangulo le asigna-remos orientacion positiva o negativa, segun recorramos sus vertices en sentidocontrario a las manecillas del reloj o no 2. As AABC = ABCA = ACAB =AACB.

Resulta natural definir el area de un cuadrilatero convexo (como el de laFigura 1.2) como la suma de las areas de los triangulos en los que se descomponepor cualquiera de sus diagonales.

AABCD = ADAB +ADBC = ADAC +ACAB (1.1)

Al considerar un cuadrilatero entrante como el de la parte izquierda de la Figura1.3, vemos que no con cualquier diagonal resulta natural definir su area. Siconsideramos la diagonal contenida en el cuadrilatero, entonces la definiciones la natural. Si consideramos la otra diagonal, definimos el area del ABCDentrante de la Figura 1.3 como la diferencia de las areas de los triangulosgenerados por esa diagonal. Con esto definimos el area del cuadrilatero entrantede la Figura 1.3 como:

AABCD = ADAC+ACAB = ADABADCB = ADAB+ADBC (1.2)Por ultimo, la definicion del area de un cuadrilatero cruzado no sera la queresulta natural. Definimos el area de un cruadrilatero cruzado como la diferenciade las areas de los triangulos que ((aparentemente)) se forman con sus cuatrolados. Para ser mas claros nos referiremos al ACBD cruzado de la Figura1.3. Decimos que en tal cuadrilatero ((aparentemente)) se forman dos triangulosporque en realidad en la interseccion de AB y CD no hay definido un vertice.Si nombramos E a ese punto -que no es vertice-, entonces el area sera:

AECB ADAE (1.3)2Este concepto es totalmente analogo al de segmentos dirigidos, en donde si escribimos AB

significa el segmento que va de A a B, mientras que BA, denota al que va de B a A. Con estoAB = BA que es equivalente a AB +BA = 0.

1.3. APLICACIONESDEL AREA DEL CUADRILATERO: TEOREMADE VARIGNON.7

Surge la pregunta de por que mientras que en los cuadrilateros convexos y en losentrantes se define el area como la porcion del plano delimitada por los cuatrolados, en los cruzados no. La respuesta la hallaremos en la siguiente seccion.

1.3. Aplicaciones del area del cuadrilatero: Teo-

rema de Varignon.

1.3.1. Teorema y Paralelogramo de Varignon.

El siguiente teorema aparecio publicado por vez primera en 1731 y su de-mostracion se la debemos a frances Pierre Varignon (1654-1722).

Teorema 1.3.1 (Teorema de Varignon). La figura formada con los puntos me-dios de un cuuadrilatero es un paralelogramo y su area es la mitad de la delcuadrilatero.

C

D

A

B

P

QR

S

C

D

A

BP Q

RS

Figura 1.8:

Demostracion. Haremos la demostracion refiriendonos al cudrilatero cruzadoque aparece en la parte derecha de la Figura 1.8, para hacer notar que la defini-cion del area en ese tipo de cuadrilateros tiene sentido. Para una demostracionen convexos y entrantes se debe proceder de manera totalmente analoga.

Sean P , Q, R y S los puntos medios de AB, BC, CD y DA. De BAC yDAC tenemos que PQ y RS son paralelas a AC y, en consecuencia, entre ellas.Analogamente SP y QR son paralelas. Por lo tanto, PQRS es paralelogramo.Este paralelogramo es llamado Paralelogramo de Varignon del ACBD.

Para calcular el APQRS , fijemonos en el cuadrilatero convexo que se for-ma con los segmentos AC, CB, BD y DA el cual denotaremos solo en esta


demostracion como ABCD.

APQRS = AABCD (1

4ADAB +

3

4ABAC +

3

4ADCB +

1

4ADAC)

4APQRS = 4AABCD (ADAB + 3ABAC + 3ADCB +ADAC)= 4AABCD (AABCD + 2ABAC +AABCD + 2ADCB)= 2AABCD 2(ABAC +ADCB)

APQRS =1

2(AABCD (ABAC +ADCB))

Con esto vemos que el APQRS es igual a la diferencia de las areas de lostriangulos que ((aparentemente)) se forman con los lados del ACBD.

Corolario 1.3.2. En el ABCD, el permetro de su Paralelogramo de Varignones igual a la suma de sus diagonales.

Demostracion. Solo hay que observar que QR = SP = 12BD y lo mismo parala otra diagonal.

1.3.2. Consecuencias del Teorema de Varignon.

De la Proposicion 1.1.5 sabemos que las diagonales de un paralelogramo sebisecan. Cuando se trata de un Paralelogramo de Varignon, ese punto recibepor nombre Centro del Paralelogramo de Varignon. El siguiente teorema hacereferencia a el.

Teorema 1.3.3. Los segmentos que unen los puntos medios de los dos pares delados opuestos y de las diagonales de un cuadrilatero concurren y se bisecan enel Centro del Paralelogramo de Varignon.

C

D

A

B

P Q

RS

U

TO

Figura 1.9:

Demostracion. En la Figura 1.9, PQRS es el Paralelogramo de Varignon deABCD. Sea O su centro. Solo resta ver que UT , con T y U puntos medios de


AC y BD, es bisecado por O. Para eso basta considerar el cuadrilatero cruzadoque se forma con BC y DA y con las diagonales de ABCD. Se tiene que elSTQU es su Paralelogramo de Varignon, con lo cual SQ y TU se bisecan,pero el punto medio de SQ es justo O. Por lo tanto, PR, SQ y TU concurreny se bisecan en el Centro del Paralelogramo de Varignon.

Teorema 1.3.4. Una diagonal divide a un cuadrilatero en dos triangulos deigual area si y solo si biseca a la otra diagonal.

C

D

A

B

G

HF

Figura 1.10:

Demostracion. Sean F la interseccion de AC y BD, G yH las proyecciones deDy B sobre AC. Supongamos que en la Figura 1.10 ADAC = AABC . Entonces,como en tales triangulos AC puede funcionar como su base, DG = BH . Conesto DGF BHF pues ambos tienen angulo recto, angulos opuestos porel vertice y un lado igual. Por lo tanto DF = BF . Inversamente, si se da estaultima igualdad se tiene que DGF BHF y as ADAC = AABC .

Teorema 1.3.5. Si en el ABCD las prolongaciones de AB y DC se cortanen E, T y U son los puntos medios de AC y BD, entonces AUTE =

14AABCD

C

D

A B

Q

S U

T

E

Figura 1.11:


Demostracion. Sea STQU el Paralelogramo de Varignon de ACDB. Traza-mos los segmentos UE, QE y TE. Notemos que T y Q son puntos medios deAC y BC, con lo que TQ biseca a CE. Con esta informacion podemos aplicarel Teorema 1.3.4 al CTEQ que es entrante. As obtenemos:

ACTQ = AQTE =1

4ACAB (1.4)

Analogamente en el UBQE:

AUBQ = AUQE =1

4ADBC (1.5)

Ahora aplicamos el Teorema de Varignon al ACBD

AUTQ =1

2ASTQU =

1

4AACBD =

1

4ADAB 1

4ACAB (1.6)

Sumamos (1.4), (1.5) y (1.6).

AUTE = AQTE +AUQE +AUTQ

=1

4ACAB +

1

4ADBC +

1

4ADAB 1

4ACAB

=1

4AABCD (1.7)

A continuacion estableceremos algunas proposiciones que relacionan los ladosde un cuadrilatero con sus diagonales, estas con las de su Paralelogramo deVarignon y, por ultimo, los lados con las diagonales de un trapecio isosceles.Para tal fin, requerimos un par de resultados previos.

Proposicion 1.3.6 (Ley del Paralelogramo). En un paralelogramo la suma delos cuadrados de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de sus diagonales.

BA

D C

E Fx xa x

b bh h

a

d

e

Figura 1.12:

Demostracion. Sea ABCD un paralelogramo. Sean E y F las proyecciones deD y C sobre AB. Nombremos a = AB = CD, b = BC = DA, h = DE = CF ,


x = AE = BF , a x = EB, d = AC y e = BD. Con esto lo que debemosprobar es:

d2 + e2 = 2(a2 + b2) (1.8)

Si aplicamos el Teorema de Pitagoras a CAF , DEB y DAE se obtiene:

d2 = (a+ x)2 + h2 (1.9)

e2 = (a x)2 + h2 (1.10)b2 = x2 + h2 (1.11)

Sumamos (1.9) y (1.10) y en la suma sustituimos (1.11) para obtener (1.8)

Como consecuencia de la Ley del Paralelogramo podemos obtener la longitudde las medianas de un triangulo, en terminos de sus lados. Esto lo establecemosen la siguiente:

Proposicion 1.3.7. El cuadrado de la longitud de una mediana de un triangulocualquiera, esta dado por la semisuma de los cuadrados de los lados que inter-sectan a la mediana, menos el cuadrado de la mitad del tercer lado.

CB

A

N

L

M

Figura 1.13:

Demostracion. En la Figura 1.13, sean a = BC, b = CA, c = AB y ma = AL.

ElANLM es un paralelogramo, consecuentemente en el se cumplem2a+(a2

)2=

2((

b2

)2+(c2

)2). Al despejar m2a queda:

m2a =b2 + c2

2(a2

)2(1.12)

Proposicion 1.3.8. Si P , Q, R, S, T y U son los puntos medios de AB, BC,CD, DA, AC y BD del ABCD, entonces se cumplen:

AB2 +BC2 + CD2 +DA2 = AC2 +BD2 + 4TU2 (1.13)

AC2 +BD2 = 2(PR2 +QS2

)(1.14)


C

D

A B

U

T

P

Q

R

S

Figura 1.14:

Demostracion. En la Figura 1.14 TU , AU y CU son medianas de UAC,DAB y DBC. Por la Proposicion 1.3.7 se tiene:

UT 2 =AU2 + CU2

2(AC

2

)2(1.15)

AU2 =DA2 +AB2

2(BD

2

)2(1.16)

CU2 =CD2 +BC2

2(BD

2

)2(1.17)

Sustituimos (1.16) y (1.17) en (1.15). Agrupamos adecuadamente para obtener( 1.13). Para demostrar ( 1.14) basta con aplicar la Ley del Paralelogramo aPQRS y recordar que los lados de este paralelogramo miden la mitad de ladiagonal a la que son paralelos.

PR2 +QS2 = 2(PQ2 +QS2

)= 2

((AC

2

)2+

(BD

2

)2)

=AC2 +BD2

2

Proposicion 1.3.9. Si ABCD es un trapecio isosceles, con lados paralelosc < b, lados iguales a y diagonales d, se cumple:

d2 = a2 + bc (1.18)

Demostracion. Si aplicamos el Teorema de Pitagoras a CAF y CFB, ob-tenemos:

d2 =(b+ c)2

4+ h2 (1.19)


A B

D C

E F

h ha a

c

b

d d

Figura 1.15:

a2 = h2 +(b c)2

4(1.20)

En (1.19) sustituimos (1.20), acomodamos y obtenemos (1.18)

Captulo 2

Cuadrilateros Cclicos y

Circunscritos.

2.1. Cuadrilateros Cclicos.

2.1.1. Polgonos inscritos en crculos.

Si un polgono tiene sus vertices sobre una circunferencia decimos que esta ins-crito en ella o, dicho de otra manera, decimos que la circunferencia esta circuns-crita en el polgono. Dado un polgono cualquiera no siempre podemos inscribirloen un crculo. Si el polgono es un triangulo, siempre es posible hacer lo anterior.Basta tomar como centro el punto donde concurren las mediatrices del triangu-lo y como radio la distancia de este punto a cualquiera de los vertices. En lasiguiente figura aparece un triangulo y un cuadrilatero inscritos en circunferen-cias.

b

O

CD

A

B

b

O

A

BC

Figura 2.1:

15

16 CAPITULO 2. CUADRILATEROS CICLICOS Y CIRCUNSCRITOS.

2.1.2. Dos criterios para la caracterizacion

de cuadrilateros cclicos.

Hemos visto que dado un triangulo, siempre es posible inscribirlo en uncrculo. Dado un cuadrilatero cualquiera, siempre es posible inscribirlo en uncrculo?

b

O

CD

A

B

-b-

b

O

CD

A

B

-a- Figura 2.2:

Si un ABCD esta inscrito en un crculo como en la Figura 2.2a, entoncessabemos que los angulos opuestos son suplementarios. Esto se sigue del hechoque son inscritos y que entre los dos abarcan la circunferencia completa. Inver-samente, si tenemos un ABCD en el que un par de sus angulos opuestos sonsuplementarios, sabemos que entonces el cuadrilatero es cclico. La demostracioncompleta de estos dos hechos esta en el apendice de angulos inscritos.

Del mismo modo, si tenemos un ABCD inscrito en un crculo como en laFigura 2.2b, sabemos que los angulos que subtienden un mismo lado son igualesentre s. Recprocamente, si en ABCD dos angulos que se forman cada uno conun lado opuesto y con una diagonal son iguales entre s, entonces el cuadrilateroes cclico. De nuevo, la demostracion detallada esta en el apendice de angulosinscritos.

Las dos discuciones precedentes son las demostraciones de los siguientes teo-remas.

Teorema 2.1.1. Un ABCD es cclico si y solo si sus angulos opuestos sonsuplementarios.

Teorema 2.1.2. Un ABCD es cclico si y solo si dos de los angulos formadoscada uno con un lado opuesto y con una diagonal son iguales entre s

Los dos teoremas precedentes caracterizan a los cuadrilateros cclicos a travesde sus angulos. Otra caracterizacion de ellos se puede hacer atendiendo a suslados y, de hecho, es conocido como Teorema de Ptolomeo, el cual enunciamosy demostramos.

2.1.3. Teorema de Ptolomeo.

Teorema 2.1.3 (Teorema de Ptolomeo). Un ABCD es cclico si y solo si:

AC BD = AB CD +AD BC (2.1)

2.1. CUADRILATEROS CICLICOS. 17

CD

A

BE

Figura 2.3:

Demostracion. Demostraremos primero la proposicion directa del teorema. Con-sideremos un ABCD cclico como en la Figura 2.3. Sea E un punto en la dia-gonal AC de tal forma que ADE = BDC. Tenemos que DAE DBCpor la igualdad de angulos anterior y por la de EAD y CBD. Se sigue que:

DA

DB=

AE

BC=ED

CD(2.2)

Utilizamos la relacion anterior y EDC = ADB para establecer queDEC DAB. Entonces:

DE

DA=EC

AB=CD

BD(2.3)

De las relaciones (2.2) y (2.3) se obtiene DA BC = AE DB y CD AB =EC DB. Sumando estas dos igualdades: AB CD+BC AD = (AE+EC)BD =AC BD.

Para la implicacion inversa haremos la demostracion por reduccion al ab-surdo, es decir, supongamos que se cumple la igualdad ( 2.1) y ademas queel ABCD no es clclico. De nuevo localicemos el punto E de tal forma queBDC = ADE y ademas que CBD = EAD. Necesariamente E esta fuerade AC pues estamos suponiendo que ABCD no es cclico. Procedemos exac-tamente como en la implicacion directa y llegamos a que AB CD+BC AD =(AE+EC)BD. Ahora, como E no esta en AC, elEAC es no degenerado y, enconsecuencia, AE +EC > AC. Esta desigualdad no es mas que la Desigualdaddel Triangulo aplicada a EAC. Por lo tanto:

AB CD +BC AD = (AE + EC)BD > AC BD. (2.4)Esto genera una contradiccion a la hipotesis que dice que se cumple la igual-

dad (2.1). Esta contradiccion indica que en realidad el punto E cae en AC y,entonces, CAD = CBD. As si en el ABCD se cumple (2.1) entonces escclico.

En realidad el Teorema de Ptolomeo solo es la implicacion directa del teo-rema anterior. Por comodidad lo presentamos con ambas implicaciones con esenombre. Al demostrarlo, de paso hemos demostrado una propiedad que se cum-ple para los cuadrilateros, sean cclicos o no. La enunciamos en la siguiente:


CD

A

B

E

Figura 2.4:

Proposicion 2.1.4. En un cuadrilatero la suma de los productos de los la-dos opuestos es mayor o igual al producto de las diagonales. En smbolos: enABCD se cumple:

AB CD +BC AD AC BD. (2.5)Existe otro criterio para establecer cuando un cuadrilatero es cclico. Para

poder establecerlo necesitamos, primero, hacer una definiciones.

2.1.4. Lneas antiparalelas.

Definicion 2.1.5. Sean dos pares de lneas que estan de tal forma que la bi-sectriz del angulo formado por el primer par, es transversal al segundo par y losangulos interiores que se forman del mismo lado de la transversal (entre estay el segundo par) son iguales. En estas condiciones decimos que las rectas delsegundo par son antiparalelas 1 entre s con respecto al primer par de lneas.En smbolos: l3 l4 c.r. l1 y l2.

En la Figura 2.5, l es la bisectriz del angulo formado por l1 y l2. = .As l3 es antiparalela a l4 con respecto a l1 y l2 (l3 l4 c.r. l1 y l2).

Teorema 2.1.6. Un ABCD es cclico si y solo si un par de lados opuestosen antiparalelo entre s con respecto al otro par de lados opuestos.

Demostracion. Sean ABCD cclico; E y F los puntos donde se cortan ABcon CD y BC con DA; l la bisectriz del AED; H e I las intersecciones de lcon DA y con BC; = IHD y = CIH . Notemos que DEH IEBpues AEH = HED y IBA = EDH . En consecuencia DHE = HIB.Luego DHE + = y HIB + = . Por lo tanto = .

1La nocion de lneas antiparalelas no es contraria a la de paralelas. Se pueden tener un parde lneas antiparalelas entre s, con respecto a otras dos, y esas dos mismas lneas ser paralelasuna a la otra. Por ejemplo, en un trapecio isosceles se tiene que la bisectriz del angulo de loslados no paralelos corta a los paralelos formando angulos internos rectos. Un caso especial esel del rectangulo. Por convencion decimos que la bisectriz del angulo formado por dos lneasparalelas ajenas es la lnea que equidista de ellas. Obviamente esta resulta ser paralela a ellas.As se puede establecer que las lneas que forman un par de lados opuestos de un rectanguloson antiparalelas una a la otra con respecto a los otros dos lados.


CD

A B

E

F

l

l3l4

l1

l2

Figura 2.5:

CD

A B

E

F

lH I

l3

l4

l1

l2

Figura 2.6:

Inversamente, sea = y sean l1, l2, l3 y l4 las lneas determinadas porDC, AB, DA y BC. Procediendo al reves que en el parrafo anterior llegamosa DEH IEB y de esto se sigue que CBA + ADC = que es loesperado.

Veremos un quinto criterio que establece cuando un cuadrilatero es cclico.En realidad este criterio es el conocido Teorema de Simson (el cual se refiere ala lnea que lleva su nombre) pero como a nosotros nos interesa el cuadrilatero,primero presentaremos el teorema como comunmente se presenta y luego enfuncion del cuadrilatero, es decir, como un criterio que establece cuando cuatropuntos son cclicos.

2.1.5. Lnea de Simson.

Teorema 2.1.7 (Teorema de Simson). Los pies de las perpendiculares desde unpunto P , en el circuncrculo del ABC, a los lados del triangulo, son colineales.

Demostracion. Sea P en el circuncrculo del ABC, como en la Figura 2.7,X , Y y Z los pies de las perpendiculares desde P a BC, CA y AB. El PZAY


AP

B C

Z

X

Y

Figura 2.7:

es cclico pues AZP = pi2 = PY A, entonces:

PY Z = PAZ (2.6)

De igual forma, PXCY es cclico pues CXP = pi2 = PY C, entonces:

PYX = PCB (2.7)

Por otro lado, como PBCA es cclico por hipotesis, se tiene:

PAB = PCB (2.8)

De las ecuaciones ( 2.6), ( 2.7) y ( 2.8), como PAZ = PAB, tenemos quePY Z = PYX . Esto prueba que los puntos X , Y y Z son colineales.

La lnea que contiene a los puntos X , Y y Z es llamada Lnea de Simsondel ABC con respecto al punto P.

El recproco de este teorema tambien es cierto:

Teorema 2.1.8. Si los pies de las perpendiculares desde un punto P a los ladosdel ABC son colineales, entonces P esta en el circuncrculo del ABC.Demostracion. Sean los puntos colineales X , Y y Z los pies de las perpendicu-lares PX , PY y PZ desde P a los lados del ABC, como en la Figura 2.7. ElPBXZ es cclico pues PZB = pi2 = PXB, entonces:

XBP + PZX = (2.9)

Igualmente, el PZAY es cclico pues AZP = pi2 = PY A, entonces:

Y AP = Y ZP (2.10)

De las ecuaciones (2.9) y (2.10) tenemos que XBP = Y AP . Por otro ladoY AP + PAC = . Por lo tanto, CBP + PAC = y el PBCA escclico.

Estamos en condiciones de dar el quinto criterio, el cual reune y parafrasealos Teoremas 2.1.7 y 2.1.8.


Teorema 2.1.9. Un ABCD es cclico si y solo si los pies de las perpendicu-lares desde uno de sus vertices a los lados del triangulo formado por los otrostres, son colineales.

Con los cinco criterios examinados, dado un cuadrilatero, es facil decidirsi es cclico. Por ejemplo, los paralelogramos, en general, no con cclicos puessus angulos opuestos son iguales y, en consecuencia, lo seran solo cuando seanrectangulos. Un trapecio isosceles s lo es, pues los lados paralelos son antipara-lelos entre s. Un romboide solo es cclico cuando su par de angulos iguales, sonrectos.

Una aplicacion interesante de la teora de la Lnea de Simson que se refierea cuadrilateros es la siguiente:

Proposicion 2.1.10. Si el ABCD no es paralelogramo, existe un unico puntoP del plano tal que los pies de las perpendiculares desde el a los cuatro ladosdel cuadrilatero son colineales.

C

D

A

B

F

E

b

PW

XY

ZC

D

B

A

EX Y

Figura 2.8:

Demostracion. Sea ABCD tal que no es paralelogramo. Supongamos que elABCD es un trapecio, como en la Figura 2.8. Sin perdida de generalidad,BC es paralela a DA. Sea E la interseccion de AB y CD. Sea Y el pie de laperpendicular a CB desde E, prolongamos EY hasta que corte a DA en X ,que resulta ser pie de perpendicular desde E. Como AB y CD concurren en E,entonces E es el pie de las perpendiculares a estos lados. Por lo tanto, comolos punto X , Y y E son colineales, E es el punto buscado. Para mostrar que Ees el unico, debemos hacer ver que los circuncrculos de CBE y DAE son


tangentes en el punto E. Supongamos que no es as. Sea P el hipotetico puntodonde los crculos se cortan ademas de E. Por el Teorema de Simson 2.1.7, comoP esta en los dos crculos se tiene que los cuatro pies de las perpendicularesdesde P son colineales, pero dos lados son paralelos, entonces los pies de lasperpendiculares a esos lados son colineales con P . Ademas los otros dos piesdeben estar en esa lnea y cada uno en un lado no paralelo. La unica forma queesto suceda es que P sea el punto donde concurren la perpendicular a los ladosparalelos y los lados no paralelos, o sea, P = E. De lo anterior y del Teorema2.1.9 se desprende que E es unico.

Ahora supongamos que no es trapecio, es decir, no tiene lados opuestosparalelos. Sea E la interseccion de AB y CD y F la de BC y DA, como en laparte izquierda de la Figura 2.8. E y F no tienen la propiedad buscada justo porcomo fueron construidos. Los circuncrculos deCBE y DAE se cortan en Pque es distinto de E. Sean W , X , Y y Z los pies de las perpendiculares desde Pa DA, BC, CD y AB. Debido al Teorema 2.1.7, W , Y y Z son colineales y X ,Y y Z tambien. Por lo tanto W , X , Y y Z son colineales. Por el Teorema 2.1.8,aplicado a FDC y FAB tenemos que los circuncrculos de esos triangulospasan por P . Por lo tanto P es el unico punto con la propiedad requerida.

2.1.6. Teoremas japoneses o de Mikami y Kobayashi.

Existen tres resultados conocidos como Teoremas japoneses o Teoremas deMikami y Kobayashi. El primero de ellos tambien es conocido como AntiguoTeorema Japones y dice que si en un polgono inscrito en un crculo son traza-das todas sus diagonales desde un mismo vertice y si se construyen todos losincrculos de los triangulos que se originan al trazar las diagonales, entonces lasuma de los inradios no depende del vertice elegido. El segundo teorema tieneque ver directamente con un cuadrilatero cclico. El tercero habla de circunfe-rencias tangentes a una misma recta. Abordaremos los dos primeros teoremas,elprimero en el caso particular en que el polgono es de cuatro lados.

Antes de ver dichos teoremas estableceremos una proposicion que describecomo son los triangulos (en funcion de sus angulos, es decir: acutangulos, ob-tusangulos o rectangulos) que se originan en un cuadrilatero cclico al trazaruna de sus diagonales.

Proposicion 2.1.11. Si el ABCD es cclico y se traza cualquiera de susdiagonales, entonces de los dos triangulos que se originan: uno es acutangu-lo y el otro obtusangulo o ambos obtusangulos o ambos rectos pero no ambosacutangulos.

Demostracion. Sea ABCD como en el primer caso de la Figura 2.9, es decir,los vertices del cuadrilatero abarcan un arco de la circunferencia mayor a y ademas la diagonal trazada no es diametro. Entonces, BD origina ABDy BCD. En nuestro caso BAD es obtuso y, en consecuencia, ABD esobtusangulo. Ademas DCB, al ser el opuesto de BAD, es agudo. Resta verque CBD y BDC tambien lo son. Supongamos que CBD fuera obtuso,


C

D

A

B

CD

A

B

bc

B

bc

Figura 2.9:

entonces el arco comprendido por C y D sera mayor a y C coincidira conun punto como B. Si esto pasara, entonces todos los vertices del ABCDestaran en un arco no mayor a , contrario a nuestra hipotesis y el cuadrilaterosera como el segundo caso de la Figura 2.9. De esta contradiccion se deduceque CBD es agudo. Analogamente BDC lo es. Por lo tanto el BCD esacutangulo.

Supongamos ahora que los vertices del ABCD estan en un arco menor que con lo que sus diagonales no son diametro, como el segundo caso de la Figura2.9. Entonces, ABD y BCD son obtusangulos pues DBA y DCB sonobtusos por construccion. Por ultimo, si la diagonal es diametro es claro queambos triangulos son rectangulos.

Teorema 2.1.12 (Primer Teorema de Mikami y Kobayashi). En el ABCDcclico, donde r1, r2, r3 y r4 son los inradios de ABD, BCD, ABC yACD se tiene que r1 + r2 = r3 + r4

b

O

C

D

A

B

bc

bc

W

X

Y

ZU

m1

m2

m3m4 ma

r1

r2

R

b

OC

D

A

B

bc

bc

W

X

Y

Z

Vm1

m2

m3

m4mb

r3

r4

R

Figura 2.10:


Demostracion. Sean m1, m2, m3 y m4 las mediatrices de los lados AB, BC,CD y DA; ma y mb las mediatrices de las diagonales BD y AC. Sean W , X ,Y y Z los puntos medios de los lados en el mismo orden, as como U y V sonpuntos medios de las diagonales. El centro de la circunferencia circunscrita aABCD es O y su radio es R. Como primer paso probemos que en el ABDde la Figura 2.10 se cumple que m1+m4+ma = R+ r1. Aplicamos el Teoremade Ptolomeo 2.1.3 a WBUO, DZOU y ZAWO:

AB

2ma +

BD

2m1 =

DA

2R (2.11)

DA

2ma +

BD

2m4 =

AB

2R (2.12)

DA

2m1 +

AB

2m4 =

BD

2R (2.13)

Por otro lado, como elABD se descompone enOAB, OBD y ODA,sucede:

2AABD = ABm1 +BDma +DAm4 (2.14)

Si designamos s = AB+BD+DA2 y sumamos (2.11), (2.12), (2.13) y (2.14),obtenemos:

s(ma +m1 +m4) = sR+AABD (2.15)

Por otro lado, como el incentro de un triangulo siempre es un punto interiorde el y como los segmentos que unen el incentro con los puntos en donde elincrculo toca a los lados son perpendiculares a ellos, se tiene que AABD =AB2 r1 +

BD2 r1 +

DA2 r1 = sr1. Si sustituimos esto en (2.15), tenemos:

m1 +m4 +ma = R+ r1 (2.16)

Si realizamos el mismo proceso, ahora en BCD y utilizamos OBXU ,OXCY y OUY D, llegamos a:

m2 +m3 ma = R+ r2 (2.17)Si sumamos (2.16) y(2.17), obtenemos:

m1 +m2 +m3 +m4 = 2R+ r1 + r2 (2.18)

Analogamente, al utilizar ABC y ACD tenemos:m1 +m2 +m3 +m4 = 2R+ r3 + r4 (2.19)

El resultado se sigue de igualar las ecuaciones (2.18) y (2.19).

Para demostrar la version original del Primer Teorema de Mikami y Koba-yashi, es decir, el que habla de un polgono inscrito, se procede exactamente igualque en la demostracion anterior, es decir, en esencia lo demostramos. Ademas,al hacer tal demostracion de paso establecimos un resultado conocido comoTeorema de Carnot, el cual enunciamos:


Teorema 2.1.13 (Teorema de Carnot). Si O es circuncentro, R es circunradioy r es inradio del ABC; L, M y N son los puntos medios de AB, BC y CAy OL = m1, OM = m2 y ON = m3, entonces, dependiendo de si ABC esacutangulo, obtusangulo en BAC o rectangulo en BAC, se cumple:

m1 +m2 +m3 = R+ r (2.20)

m1 m2 +m3 = R+ r (2.21)m1 +m3 = R + r (2.22)

Demostracion. Los dos primeros casos quedaron establecidos en el Teorema2.1.12. Cuando el triangulo es rectangulo se procede de manera analoga conla particularidad de que O =M y m2 = 0.

Con el resultado de la Proposicion 2.1.11, vemos que en la demostracion delTeorema 2.1.12 existen varias posibilidades para los triangulos en cuestion, sinembargo, gracias al Teorema 2.1.13 el resultado se mantiene en cualquiera deestas posibilidades.

Teorema 2.1.14 (Segundo Teorema de Mikami y Kobayashi). Los incentros P ,Q, R y S de ABC, ACD, DAB y DBC, que se obtienen del ABCDcclico al trazar sus diagonales, forman un rectangulo

C

D

A

B

R

S

Q

P

bc T

Figura 2.11:

Demostracion. Sean P , Q, R y S los incentros de ABC, ACD, DAB yDBC. Por construccion tenemos que 2QAD = CAD y 2ADQ = ADC,ademas en DAC se tiene que ADC+CAD+DCA = y en DAQ queADQ + QAD + DQA = . Luego DQA = DCA + pi2 . Analogamente,DRA = DBA + pi2 . Como DCA = DBA, entonces DQA = DRA.


Con esto DARQ es cclico. De la misma manera ABPR es cclico. Conestos resultados podemos probar que PRQ = pi2 . Sea T la prolongacion deAR. ADQ = TRD y PBA = PRT . Como ADC + CBA = ,2ADQ = ADC y 2PBA = CBA, se obtine PRQ = pi2 . De maneraanaloga se demuestra que los demas angulos son rectos. Por lo tanto, PSQRes rectangulo.

2.1.7. Formula de Brahmagupta.

Previamente definimos el area de un cuadrilatero convexo como la suma deareas de los triangulos en los que se descompone al trazar una de sus diagonales.Cuando el cuadrilatero es cclico y convexo, su area se puede expresar en termi-nos de sus lados. Esta formula se le atribuye a Brahmagupta, un matematicode la India de la primera mitad del siglo VII. Si bien el la dio por valida paracualquier cuadrilatero, ahora se sabe que es cierta solo para los que son convexosy cclicos a la vez.

Como paso previo estableceremos tres distintas formulas para calcular el areade un triangulo, las cuales estan relacionadas con los tres criterios de congruenciade triangulos: lado, lado, lado (LLL); angulo, lado, angulo (ALA) y lado, angulo,lado (LAL). Estos criterios significan que si dos triangulos cumplen alguno deellos, entonces sus tres lados y sus tres angulos correspondientes seran iguales.Otra forma de entenderlos es diciendo que cualquiera de ellos determina demanera unica un triangulo. Por lo tanto, como cualquiera de los criterios (LLL),(ALA) y (LAL) determinan un triangulo de manera unica, entonces el area deese triangulo se puede expresar en terminos de cualquiera de ellos. En resumen:el area de un triangulo se puede expresar en terminos de sus tres lados, de dosde sus angulos y el lado comprendido entre ellos o de dos de sus lados y el angulocomprendido entre ellos.

Empezamos por expresar el area de un triangulo en funcion de sus tres lados.

Teorema 2.1.15 (Formula de Heron). Si los lados del ABC son a, b y c ysi s = a+b+c+d2 , entonces:

AABC =s(s a)(s b)(s c) (2.23)

Demostracion. En ABC sea O su incentro, D, F y E los puntos de contactodel incrculo con los lados AB, BC y CA. Trazamos los segmentos OA, OB yOC. La perpendicular a OB en O corta a la perpendicular a BC en C en elpunto P . Si K esta en la prolongacion de BC y es tal que CK = AD, entoncesCPB + BOC = pues OBPC es cclico. Ademas AOD = EOA,COE = FOC y DOB = BOF , de esto se tiene que BOF + FOC +AOD = . Entonces,AOD+BOC = , CPB = AOD y, en consecuencia,BPC AOD:

BC

AD=

PC

DO(2.24)


A

BC

OD

F

E

P

Gbc

K

Figura 2.12:

Sea G la interseccion de OP y BC, entonces OFG PCG:GC

FG=PC

OF(2.25)

De (2.24) y (2.25), teniendo en cuenta que OF = OD y AD = CK, tenemos:

BC

CK=GC

FG(2.26)

Si en (2.26) sumamos CKCK

del lado derecho, FGFG

del izquierdo y notamos queBC + CK = BK y FG+GC = FC, esta igualdad nos queda:

(BK)(FG) = (CK)(FC) (2.27)

Al multiplicar por BK:

(BK)2(FG) = (BK)(CK)(FC) (2.28)

Por otro lado, en OBG, OF es una de sus alturas, con lo que BFO OFG. Luego:

OF 2 = (FG)(BF ) (2.29)

Con esto estamos en condiciones de calcular el area que nos interesa. AABC =AOAB +AOBC +AOCA o:

1

2((OD)(AB) + (OF )(BC) + (OE)(CA)) =

1

2(OF )(AB +BC + CA) = OF s

(2.30)Ademas como DB = BF , FC = CE y EA = AD, entonces:

s = BF + FC + AD = BF + FC + CK = BK (2.31)

Pues AD = CK por construccion. Con esto AABC = (BK)(OF ). Si elevamosal cuadrado, sustituimos (2.29) y luego (2.28):

(AABC)2 = (BK)(CK)(FC)(BF ) (2.32)


Por lo tanto:AABC =

(BK)(CK)(FC)(BF ) (2.33)

Si BC = a, CA = b y AB = c, entonces s a = CK, s b = BF y s c = FC.Sustituyendo lo anterior y (2.31) en (2.33), obtenemos el resultado buscado:

AABC =s(s a)(s b)(s c) (2.34)

Ahora expresamos el area de un triangulo en funcion de dos de sus lados yel angulo comprendido por ellos.

Proposicion 2.1.16. En el ABC sean a = BC, b = CA, c = AB, =BAC, = CBA y = ACB. Su area se puede calcular como:

AABC =ac sen

2=bc sen

2=ab sen

2(2.35)

A

B CD a

bcha

A

B CD a

bcha

Figura 2.13:

Demostracion. Partiremos del hecho de el area de un triangulo se puede calcularcomo el semiproducto de uno de sus lados por la altura que pasa por el verticeopuesto a ese lado. Desde A trazamos la altura ha que corta perpendicularmentea BC en D. Dependiendo de si es agudo u obtuso, D estara a la derecha o a laizquierda de B, como en la Figura 2.13. Si es agudo, entonces ha = c sen.Si es obtuso, sea = ABD. Como + = , entonces sen = sen y, enconsecuencia, ha = c sen. Con esto tenemos lo siguiente:

AABC =a ha2

=ac sen

2

Que es la primera de las igualdades de la expresion ( 2.35). Las restantes seprueban de manera analoga.

Proposicion 2.1.17. En el ABC sean a = BC, b = CA, c = AB, =BAC, = CBA y = ACB. Su area se puede calcular como:

AABC =a2 sen sen 2 sen( + )

=b2 sen sen2 sen( + )

=c2 sen sen2 sen(+ )

(2.36)


Demostracion. De la proposicion anterior tenemos que AABC =acsen

2 . Alutilizar la Ley de Senos obtenemos c = asensen . Por otro lado, como +(+) =, entonces sen = sen( + ). Por lo tanto:

AABC =ac sen

2=a2 sen sen 2 sen( + )

Las otras dos expresiones se pueden calcular del mismo modo.

Teorema 2.1.18 (Formula de Brahmagupta). Si los lados del ABCD cclicoy convexo son a, b, c y d y si s = a+b+c+d2 , entonces:

AABCD =(s a)(s b)(s c)(s d) (2.37)

CD

AB

P a

bc

d

x

y

Figura 2.14:

Demostracion. Como primer caso supongamos que los dos pares de lados opues-tos son paralelos, en cuyo caso y dadas las hipotesis, el cuadrilatero es unrectangulo. Digamos que a = c y b = d. Si asumimos la formula de Brah-magupta:

AABCD =(s a)(s b)(s c)(s d) =

(a+ b a)(a+ b b)(a+ b a)(a+ b b) =a2b2 = ab

Con lo que en un rectangulo es valida la formula. Supongamos que el cua-drilatero tiene un par de lados opuestos no paralelos, digamos AB y CD. SeaP el punto donde se cortan. Sean x = PB y y = PC. Aplicamos la formula deHeron a PBC:

APBC =1

4

(x+ y + c)(y x+ c)(x+ y c)(x y + c) (2.38)

Por otro lado, como DCB = DAP , entonces APD CPB pues elAPD lo comparten. Con esto en cuenta y con auxilio de la Proposicion 2.1.17,AAPDACPB

= a2

c2. Luego

ACPBACPB

AAPDACPB

= c2

c2 a2

c2Por lo tanto:

AABCDACPB

=c2 a2c2

(2.39)

De APD CPB, obtenemos:


x

c=y da

(2.40)

y

c=x ba

(2.41)

Sumamos (2.40) y (2.41):

x+ y

c=x+ y b d

a

x+ y =c

c a (b+ d)

x+ y + c =c

c a (b + c+ d a) (2.42)

Si en esta ultima igualdad en lugar de sumar c, la restamos:

x+ y c = cc a (a+ b+ d c) (2.43)

Si a (2.41) le restamos (2.40) y luego al reves:

y x+ c = cc+ a

(a+ c+ d b) (2.44)

x y + c = cc+ a

(a+ b+ c d) (2.45)

Sustituimos (2.42), (2.43), (2.44) y (2.45) en (2.38) y realizamos las opera-ciones:

APBC =c2

4(c2 a2)(b+ c+ d a)(a+ c+ d b)(a+ b+ d c)(a+ b+ c d)

(2.46)Al despejar en (2.39):

AABCD =(s a)(s b)(s c)(s d) (2.47)

Con el teorema anterior podemos calcular el area de un cuadrilatero cclicoy convexo. Otro problema referente a este tipo de figuras es como construir conregla y compas un cuadrilatero cclico si conocemos la longitud de sus lados.Como hemos venido haciendo, obtendremos un par de resultados previos quenos auxiliaran en la construccion. El primero es el Teorema de la Bisectriz y elsegundo es la Circunferencia de Apolonio.


2.1.8. Construccion del cuadrilatero cclico.

Teorema 2.1.19 (Teorema de la Bisectriz). En ABC las bisectriz internay la externa del BAC dividen al lado BC, la primera internamente y la se-gunda externamente, en la razon AB

CA. Si L y L son los puntos en donde estas

bisectrices cortan a BC, entonces:

BL

LC=AB

CA= BL

CL

A

B CL

R

c

b

b

Figura 2.15:

Demostracion. Haremos la demostracion para la bisectriz interna, para la ex-terna se procede analogamente. Sean b = CA, c = AB, BAL = = LAC.Trazamos la paralela a AL por C, sea R el punto donde esta paralela corta aAB. Como ARC = = RCA, pues RC paralela a AL, entonces AR = b.En el RBC tenemos las transversales BC y BR a lneas paralelas, entoncesBLLC

= cb= AB

CA. Podemos invertir los pasos en la demostracion, con lo que el

recproco tambien es cierto.

Teorema 2.1.20 (Circunferencia de Apolonio). Si A y B son dos puntos fijosy p

q6= 1 es una razon fija, el lugar geometrico de los puntos P que cumplen

APPB

= pqes una circunferencia conocida como circunferencia de Apolonio.

AB

Y

Y

X

CC

p

p

q

C

P

A B C

Figura 2.16:


Demostracion. Por los puntos A y B trazamos los segmentos Y Y y BX para-lelos entre s, como en la parte izquierda de la Figura 2.16, de tal forma queBX = q e Y A = AY = p. Si C y C son las intersecciones de XY y XY conAB. ComoAY C BXC yACY BCX , obtenemos AC

CB= AY

BX= p

q

y AC

CB= AY

XB= p

q. Por lo tanto C y C estan en el lugar geometrico buscado.

Supongamos ahora que P es otro punto del lugar geometrico, entonces, utili-zando el Teorema 2.1.19, AP

PB= p

q= AC

CBcon lo que PC es la bisectriz interior

de APB. Ademas APPB

= pq= AC

CBy PC es la bisectriz exterior del mismo

angulo. Por lo tanto, P se encuentra en la circunferencia de diametro CC, puesCPC = pi2 . El recproco tambien es valido.

Proposicion 2.1.21. Construir con regla y compas un ABCD cclico de ladosAB = a, BC = b, CD = c y DA = d, con b y d un par de lados opuestos.

A

B C

D

O

a

b

c

d

bcO bc

C

bc

B

b

A

a

d

Figura 2.17:

Demostracion. Primero notemos que si uno de los lados es mayor que la sumade los otros tres, entonces no se puede formar ningun cuadrilatero y si un lado esigual a la suma de los otros tres, entonces solo se puede formar un cuadrlilaterodegenerado donde los cuatro vertices estan alineados y, en consecuencia, no soncclicos. Suponemos pues que la suma de cualesquiera tres lados es mayor alcuarto. En una recta colocamos el segmento BC = b, lo prolongamos hasta Ode tal forma que BO = ac

d. Se puede construir este segmento debido a que los

cuatro lados son magnitudes dadas. Supongamos que tenemos construido el cua-drilatero como el de la Figura 2.17, para ver que condiciones se deben cumpliry a partir de eso construirlo. El vertice A solo puede estar en la circunferenciade centro en B y radio a, ademas como queremos que el cuadrilatero sea cclicose debe cumplir que ABO = ADC y como construimos BO = ac

d, entonces

resultara que AOB ACD pues AOAC

= ABad

= OBCD

= accd

= ad, es decir,

AOAC

= adlo cual significa, por el Teorema 2.1.20, que A debe estar en el crculo

de Apolonio de los puntos O, C y la razon ad. Construimos esta circunferencia

y donde intersecte a la de centro en B y radio a ese punto sera A. Con esto


tenemos construido el ABC. Para determinar D solo hacemos circunferenciascon centro en C y radio c y con centro en A y radio d. Donde se corten es elpunto D.

Al hacer la construccion anterior colocamos a b y d como lados opuestos. Enrealidad, podemos colocar a a, c o d como opuesto a b con lo que se construyentres cuadrilateros cclicos distintos con los mismos cuatro lados dados.

A

B C

Dd

b

c

a

n

l

A

B C

D

a

b

d

c

mn

A

B C

Da

b

c

d

m

l

Figura 2.18:

Nombramos l y m a las diagonales del primer cuadrilatero de la Figura2.18.En el segundo cuadrilatero solo se intercambian a y d, o sea, la diagonall se mantiene y obtenemos una nueva diagonal n que abarca un arco en dondeestan inscritos los lado a y c. En el tercero se intercambian los lados c y d conrespecto al primero, es decir, m se mantiene y la otra diagonal subtiende unarco en donde estan inscritos los lados a y c, por lo tanto, la longitud de estadiagonal es n. Con esto obtenemos que estos tres cuadrilateros distintos sologeneran tres distintas diagonales. Por ultimo, como los tres cuadrilateros estanformados con los mismos cuatro lados, por el Teorema 2.1.18, resulta que tienenla misma area. Estos resultados los enunciamos en el siguiente:

Teorema 2.1.22 (Desigualdad del cuadrilatero cclico). Dadas cuatro cantida-des a, b, c y d cada una menor que la suma de las otras tres, se pueden construirtres cuadrilateros cclicos distintos y de igual area.

Cuatro segmentos como los anteriores determinan un circuncrculo en elque pueden ser inscritos tres distintos cuadrilateros que tienen la misma areaindependientemente de en que orden coloquemos los lados y ademas determinansolo tres diagonales. Por lo tanto, estos cuatro segmentos tambien determinanel circunradio R. Veremos, pues, que el area que determinan estos segmentos, seexpresa en terminos de las tres diagonales l,m, n y del circunradioR. Obtenemoscomo paso intermedio una formula que relaciona a R con el area del trianguloinscrito en el circuncrculo.

Teorema 2.1.23. Si el ABC tiene lados a, b, c y R es el radio de su cir-cuncrculo, entonces AABC =

abc4R .

Demostracion. SeaABC, trazamos su circuncrculo y la altura AD = h, comoen la Figura 2.19. Prolongamos AO hasta que corte en A a la circunferencia.


b O

A

B C

A

D a

bc h

Figura 2.19:

Partimos del hecho de que AABC se puede calcular como la mitad del productode uno de sus lados por la altura trazada desde el vertice opuesto. En la figura,AABC =

ah2 . Por otro lado, como CBA = CA

A, se tiene que ABD AAC. De esto se sigue que h = bc2R . Sustituimos para obtener AABC =abc4R .

Teorema 2.1.24. Si R es el radio del crculo donde se encuentran los cuadrila-teros de lados a, b, c, d y diagonales l, m, n; entonces el area de los cuadrilateros

es lmn4R . Adicionalmente el cuadrado de esta area es(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)

16R2 .

Demostracion. Por el Teorema de Ptolomeo 2.1.3, lm = ac+ bd, luego lmn =acn + bdn. Si aplicamos el Teorema 2.1.23 a los triangulos de lados a, c, n yb, d, n del segundo cuadrilatero de la Figura 2.18 y sustituimos en la igualdadanterior:lmn = 4R(ACDA +ABCA) = 4R(AABCD). Por lo tanto:

AABCD =lmn

4R(2.48)

Para la otra parte, mn = ad + bc y ln = ab + cd. Multiplicando estas dosigualdades y la que habamos obtenido, tenemos (lmn)2 = (ac+bd)(ad+bc)(ab+cd). Despejando (lmn)2 de (2.48) obtenemos:

AABCD =(ac+ bd)(ad+ bc)(ab+ cd)

16R2(2.49)

2.2. Cuadrilateros circunscritos.

2.2.1. Polgonos circunscritos en crculos.

Si un crculo es tangente interiormente a cada lado de un polgono, entoncesdecimos que el crculo esta inscrito en el polgono. Tambien podemos decir que elpolgono esta circunscrito al crculo. Es claro que dado un polgono cualquiera,no siempre podemos construir una circunferencia inscrita en el. Si el poligono

2.2. CUADRILATEROS CIRCUNSCRITOS. 35

es un triangulo, entonces siempre es posible contruirle su circunferencia inscri-ta. El centro de tal crculo es el punto donde las bisectrices interiores de susangulos concurren. Este centro esta a la misma distancia de los tres lados y estadistancia es justo la longitud del radio del crculo inscrito. Por ultimo, el crculoes tangente a los tres lados.

En las siguiente figuras mostramos circunferencias incritas en un trianguloy en un cuadrilatero.

O

AB

C

D

-b-

r r

r

O

Q

RS

A

B C

-a-

r r

r

Figura 2.20:

2.2.2. Dos criterios para la caracterizacion de

cuadrilateros circunscritos.

Si consideramos un rectangulo o un paralelogramo, nos sera facil intuir quea este tipo de cuadrilateros, en general, no se les puede inscribir una circunfe-rencia. La pregunta natural es que condiciones debe cumplir un cuadrilateropara poderle inscribir un crculo? Para responder esta pregunta analicemos laFigura 2.20b. En ella, el centro O de la circunferencia esta a la misma distanciade los lados del cuadrilatero. Podemos decir entonces que O esta en cada unade las bisectrices. Por lo tanto las cuatro bisectrices interiores de los angulosdel cuadrilatero concurren en O. Inversamente, si en un cuadrilatero las cuatrobisectrices interiores concurren en un punto, este es el centro de una circun-ferencia tangente a los cuatro lados, es decir, inscrita. El radio es la distanciamedida perpendicularmente a cualquier lado.

La discucion precedente es la demostracion del siguiente:

Teorema 2.2.1. Una circunferencia se puede inscribir en un cuadrilatero (o,dicho de otro modo, un cuadrilatero es circunscribible) si y solo si las bisectricesinteriores de los cuatro angulos del cuadrilatero son concurrentes.

A manera de ejemplo, utilicemos el teorema en un romboide.

Proposicion 2.2.2. En un romboide se puede inscribir una circunferencia.


CA

B

D

E

2 1

12

Figura 2.21:

Demostracion. Consideremos el ABCD el cual es un romboide, es decir, AB =AD y CB = CD. Debemos hacer ver que las bisectrices de este romboideconcurren. Si trazamos el segmento AC, resulta que BAC ADC. LuegoAC es la bisectriz de A y de C. Ahora sea E el punto donde la bisectriz delB corta a AC. Tenemos que 1 = 2. Debemos mostrar que ED es la bisectrizdel D, es decir, mostraremos que 1 = 2. Notemos que BEC DEC,pues EC es comun, BCE = ECD y BC = CD. As 1 = 1. AnalogamenteBAE ADE y, en consecuencia, 2 = 2. Por lo tanto 1 = 2. Con estotenemos que el romboide es circunscribible, pues sus bisectrices concurren enE.

Otra pregunta que nos podemos formular es: el criterio anterior es el unicoexistente para determinar si un cuadrilatero es circunscribible? La respuesta esno. Es posible determinar si a un cuadrilatero se le puede inscribir una circun-ferencia, si se conoce la longitud de sus lados. Este hecho queda establecido enel siguiente:

Teorema 2.2.3. Un cuadrilatero es circunscribible a una circunferencia si ysolo si la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de laslongitudes de los otros dos lados opuestos.

O

AB

C

D

w

w

x

x y

y

z

z

Figura 2.22:

2.2. CUADRILATEROS CIRCUNSCRITOS. 37

Demostracion. Probaremos primero la suficiencia. Si tenemos una circunferen-cia inscrita en un cuadrilatero, como en la Figura 2.22, sabemos que la longitudde las dos tangentes desde cada uno de los vetices del cuadrilatero es igual. Enestas condiciones podemos establecer las siguientes igualdades.

AB = x+ y DC = w + z

BC = z + y DA = w + x

Sumando.

AB +DC = x+ y + z + w

BC +DA = x+ y + z + w

Por lo tanto.AB +DC = BC +DA (2.50)

O

I

H

K

J

AB

C

D

E

F

Figura 2.23:

Probemos la necesidad. Supongamos que en la Figura 2.23 se cumple (2.50).Debemos mostrar que el cuadrilatero es circunscribible. Si sucede que dos ladosadyacentes son iguales, entonces el cuadrilatero es un romboide y ya probamosque en estos sus bisectrices concurren. Supongamos que no hay dos lados ad-yacentes iguales. Sin perdida de generalidad podemos suponer que AD > AB,de la igualdad (2.50) se desprende que AD AB = DC BC y por lo tan-to DC > BC. Sean E y F en AD y DC de tal manera que AB = AE yBC = CF . Sustituyendo en (2.50) tenemos que ADAE = DCCF y enton-ces DE = DF . Con esto tenemos que EAB, FBC y DEF son isosceles.En estos triangulos trazamos las bisectrices de A, C y D respectivamen-te. En un triangulo isosceles la bisectriz del angulo comprendido por los ladosiguales resulta ser tambien mediatriz. Teniendo esto en cuenta, resulta que lasbisectrices que trazamos son la mediatrices delEBF . Como las mediatrices deun triangulo concurren, entonces las tres bisectrices trazadas son concurrentes.Sea O este punto. Resta probar que la bisectriz de B pasa por O. Como Oesta en las otras tres bisectrices, entonces su distancia a los cuatro lados delcuadrilatero es la misma, en particular, O equidista de AB y de BC. Por lo


tanto, O esta en la bisectriz de B. Tenemos pues que las bisectrices concurrenen O.

Utilizando el Teorema 2.2.3 es facil comprobar que, en general, los rectangu-los y los paralelogramos no son circunscribibles. Para serlo, segun el teorema,necesitan ser cuadrados o romboides. Un trapecio isosceles para ser circunscri-bible, requiere que la longitud de los lados iguales sea igual a la longitud dellado paralelo menor mas la mitad de la diferencia entre el lado paralelo mayory el menor.

Hemos establecido dos criterios que establecen (uno en funcion de las bisec-trices y otro en funcion de los lados) cuando un cuadrilatero es circunscribible.

2.3. Cuadrilatero bicentrico.

En las dos secciones precedentes revisamos propiedades de los cuadrilateroscclicos y de los circunscritos. Resulta natural preguntarnos si existen cuadrilate-ros que tengan las dos propiedades simultaneamente. Esta pregunta la podemosresponder con lo visto hasta ahora. En la Proposicion 2.2.2 vimos que en unromboide puede ser inscrita una circunferencia. Supongamos ahora que en laFigura 2.21 de esa proposicion, 1 + 2 =

pi2 = 1 + 2, entonces el romboide

sera cclico al tener angulos opuestos suplementarios. Vemos, pues, en un rom-boide que tiene un par de angulos opuestos rectos se puede inscribir un crculoy circunscribir otro. Damos una definicion para este tipo de figuras.

Definicion 2.3.1 (Cuadrilatero Bicentrico). Si el ABCD es tal que se le pue-de inscribir una circunferencia y circunscribir otra, entonces es llamado cua-drilatero bicentrico.

El siguiente paso es describir de manera mas general como debe ser elABCD para ser bicentrico. Esto lo consignamos en el siguiente:

Teorema 2.3.2. Un cuadrilatero, circunscrito en una circunferencia, es cclicosi y solo si las lneas que unen los puntos de contacto de lados opuestos sonperpendiculares entre s.

Demostracion. Sea A1A2A3A4 circunscrito en una circunferencia, como en laFigura 2.24. Sean B1, B2, B3 y B4 los puntos en los que los lados A1A2, A2A3,A3A4 y A4A1 tocan a la circunferencia. Supongamos que B1B3 y B2B4 se cor-tan perpendicularmente en M . Debemos mostrar que A1A2A3A4 es cclico,para tal efecto, probaremos que A3A2A1 + A1A4A3 = + = . ComoB4B1M es recto por hipotesis, entonces MB1B4 + B1B4M = + =

pi2 .

El A2B1B2 = es semiinscrito y abarca el mismo arco que , luego = .Del mismo modo B3B4A4 = = . Por otro lado, B1A2B2 y B3A4B4 sonisosceles pues dos de sus lados son las tangentes desde un punto a la circunfe-rencia. Con esto +2 = y +2 = . Sumamos y sustituimos para obtener + = y, por lo tanto, A1A2A3A4 es cclico. Inversamente, si suponemos

2.3. CUADRILATERO BICENTRICO. 39

B3B4

B1

B2

A1

A2 A3

A4

M

Figura 2.24:

que + = , entonces + + 2( + ) = 2. Despejamos para obtener + = pi2 y, por lo tanto, B1B3 y B2B4 son perpendiculares.

Definicion 2.3.3. El ABCD es llamado ortodiagonal si sus diagonales sonperpendiculares entre s

En la Figura 2.24 tenemos que el B1B2B3B4 cclico es ortodiagonal. Unaconsecuencia del teorema anterior se expresa en terminos de este cuadrilateroortodiagonal.

Corolario 2.3.4. Si el ABCD es cclico y ortodiagonal, entonces el cua-drilatero formado con las tangentes a la circunferencia por sus vertices es bicentri-co.

Daremos enseguida un criterio que caracteriza a los cuadrilateros ortodiago-nales.

Proposicion 2.3.5. El ABCD es ortodiagonal si y solo si la suma de loscuadrados de un par de lados opuestos es igual a la suma de los cuadrados delotro par de lados opuestos.

Demostracion. En el ABCD sean E la interseccion de AC y BD, = AEBy = DEA, como en la Figura 2.25. Como + = , entonces cos = cos. Teniendo esto en cuenta, aplicamos la Ley de Cosenos aEAB,ECD,EBC y EDA:

AB2 = BE2 +AE2 2BE AE cosCD2 = CE2 +DE2 2CE DE cos


C

D

A B

E

Figura 2.25:

BC2 = BE2 + CE2 + 2BE CE cosDA2 = DE2 +AE2 + 2DE AE cos

Si les cambiamos los signos a las dos primeras igualdades y sumamos lascuatro, obtenemos:

BC2+DA2AB2CD2 = 2 cos(BE CE+DE AE+BE AE+CE DE)

Como por construccion 0 < < , entonces el lado derecho de la igualdadanterior es cero si y solo si = pi2

Las siguientes dos proposiciones relacionan cuadrilateros cclicos con circuns-critos.

Proposicion 2.3.6. Si el A1A2A3A4 esta circunscrito en una circunferenciay B1, B2, B3 y B4 son los puntos en los que los lados A1A2, A2A3, A3A4 yA4A1 tocan a la circunferencia, entonces las diagonales de A1A2A3A4 y deB1B2B3B4 son concurrentes en un punto M

B3

B4

B1

B2

A1

A2 A3

A4

M

Figura 2.26:

Demostracion. SeaM la interseccion deA2A4 yB1B3. En la Proposicion 2.1.16,calculamos el area de un triangulo en funcion de dos lados y el angulo com-prendido entre ellos. Teniendo esto en cuenta, podemos expresar el cociente de


AA4B3M y AA2B1M como:

AA4MB3AA2MB1

=B3M MA4B1M MA2 (2.51)

Por otro lado, como A4B3M = MB1A1 por ser B1B3 la cuerda que origi-nan las tangentes B1A1 y B3A4. Ademas, A2B1M + MB1A1 = por loque sen(A2B1M) = sen(MB1A1). Con esto podemos expresar el cocienteanterior como:

AA4MB3AA2MB1

=B3M A4B3B1M A2B1 (2.52)

De (2.51) y (2.52) tenemosMA4MA2

=A4B3A2B1

(2.53)

Esto ultimo significa que M divide al segmento A2A4 en la razonA4B3A2B1

.Sea N la interseccion de A2A4 y B2B4. Si procedemos exactamente de la

misma forma llegamos a que N divide al segmento A2A4 en la razonB4A4B2A2

. ComoB4A4 = A4B3 al ser las tangentes desde A4 y B2A2 = A2B1, obtenemos queM y N dividen a A2A4 en la misma razon y, consecuentemente, son el mismopunto. Por lo tanto, la diagonal A2A4 pasa por la interseccion de las diagonalesB1B3 y B2B4. Si repetimos el proceso pero ahora con la diagonal A1A3 llegamosa que tambien pasa por la interseccion de B1B3 y B2B4. Con esto, las cuatrodiagonales concurren en M .

Proposicion 2.3.7. En el ABCD convexo, sea O la interseccion de sus dia-ginales AC y BD, sean K, L, M y N los pies de las perpendiculares desde Oa AB, BC, CD y DA. En estas condiciones ABCD es cclico si y solo siKLMN es circunscrito.

CD

A B

O

K

L

M

N

Figura 2.27:

Demostracion. Primero supongamos que ABCD es cclico para probar queKLMN es circunscrito. Es claro queOKBL,OLCM ,OMDN yONAK


son todos cclicos. ComoABCD tambien lo es por hipotesis, entonces podemosescribir lo siguiente:

ONM = ODM = BDC = BAC = KAO = KNO

Esto significa que O esta en la bisectriz del KNM . Del mismo modo se pruebaque O esta en las tres bisectrices restantes con lo que estas concurren en O y,en consecuencia, KLMN esta circunscrito en una circunferencia de centro O.

Ahora supongamos que KLMN es circunscrito y probemos que ABCDes cclico. Para tal efecto, veremos que en estas condiciones las diagonales ACy BD se cortan en O que es el centro de la circunferencia inscrita a KLMN .Tenemos que OBK = OLK pues OKBL es cclico, OLK = MLO puesLO es bisectriz de MLK y MLO = MCO. Con esto obtenemos KOB =COM . Del mismo modo, AOK = MOD. Por lo tanto, AOB = COD.Similarmente, BOC = DOA. Como AOB +COD +BOC +DOA =2, tenemos que BOC +COD = . Por lo tanto, BD y AC se cortan en O.

Ahora probemos que ABCD es cclico. Del OKBL, BKL = BOL.Por otro lado, LKO = OKN por ser OK bisectriz. Se sigue que BKL =NKA. Por lo tanto, BOL = NKA. Del mismo modo, MOD = ANK.Con esta informacion obtenemos que LOM = KAN pero como LOM +MCL = , entonces KAN + MCL = y, en consecuencia, ABCD escclico al tener un par de angulos opuestos suplementarios.

La siguiente igualdad que estableceremos relaciona el circunradio, el inradioy la distancia entre ellos en un cuadrilatero bicentrico. Es debida a Nicolaus Fuss(1755-1826) quien fue estudiante y amigo de L. Euler. Fuss tambien establecio lasformulas correspondientes para pentagonos, hexagonos, heptagonos y octagonosbicentricos. Antes de entrar de lleno en este resultado, veremos una propiedadelemental conocida como potencia de un punto con respecto a una circunferencia.

Definicion 2.3.8. Dada C(O, r) y un punto P en el plano, definimos la po-tencia de P con respecto a C(O, r) como el producto = PA PB, donde A yB son los puntos en los que una secante desde P toca a C(O, r).

A partir de la anterior definicion, vemos que P puede estar dentro, sobre ofuera de la circunferencia. Si le asignamos sentido a los segmentos, es decir, siconsideramos segmentos de magnitud positiva o negativa, entonces resulta claroque la potencia de P con respecto a C(O, r) es negativa, cero o positiva segunP este dentro, sobre o fuera de ella. En la Figura 2.28 esta representado dellado izquierdo la potencia positiva y del derecho, la negativa.

Proposicion 2.3.9. La potencia de P es independiente de la secante desde Pa C(O, r) que se elija.

Demostracion. Independientemente de si P esta fuera o dentro de C(O, r), seanAB y AB dos secantes que pasan por P . Es claro que PAB PAB. Deesto se sigue:

= PA PB = PA PB (2.54)


O

BA

A B

P TT

O

A

B

B

A

P

T

Figura 2.28:

Por lo tanto la potencia de P con respecto a C(O, r) es independiente de lasecante elegida.

Proposicion 2.3.10. Si P esta fuera de C(O, r) y T es el punto donde latangente a C(O, r) desde P la toca, entonces la potencia de P con respecto aC(O, r) es = PT 2.

Demostracion. Trazamos BT y TA como en la parte izquierda de la Figura2.28. Tenemos que PTB PAT y de esto:

= PA PB = PT 2 (2.55)

Proposicion 2.3.11. La potencia de P con respecto a C(O, r) se puede calcularcomo = OP 2 r2 si P esta fuera de C(O, r) y como = r2 OP 2 si Pesta dentro de C(O, r).

Demostracion. Si P esta fuera de C(O, r) el resultado es inmediato a partir delPTO el cual es rectangulo. Si P esta dentro, sean T y T los puntos en losque la perpendicular a OP por P corta a C(O, r). Como PTO PT O, sesigue que PT = PT . Ademas = PA PB = PT PT = PT 2 = OT 2OP 2 =r2 OP 2.

Hacemos la aclaracion de que si consideramos segmentos positivos y negati-vos, entonces en la demostracion anterior cuando P esta dentro la potencia es ne-gativa con lo que = PAPB = PT PT = PT 2 = OP 2OT 2 = OP 2r2y as obtenemos la misma expresion = OP 2 r2 independientemente de si Pesta fuera o dentro. Por ultimo, resulta claro que cuando P esta sobre la circun-ferencia los resultado anteriores se mantienen y en todos los casos la potenciaes cero.

Teorema 2.3.12 (Teorema de Fuss). Sea A1A2A3A4 bicentrico, sean I y rel centro y el radio de la circunferencia inscrita, O y R el centro y radio de lacircunscrita y d = IO. En estas condiciones se cumple:

1

(R d)2 +1

(R+ d)2=

1

r2(2.56)


bc

I

B3

B4A1

A2

A3

A4

bc

O

E

F

A1

I

A3 B3B4

Figura 2.29:

Demostracion. Consideremos el A1A2A3A4 bicentrico, como el de la Figu-ra 2.29. Sean B3 y B4 los puntos en los que A3A4 y A4A1 tocan a C(I, r).Como A1A2A3A4 es cclico, entonces A4A3A2 + A2A1A4 = y como escircunscrito, entonces A4A3I = IA3A2 y A2A1I = IA1A4. Por lo tantoA4A3I + IA1A4 =

pi2 .

Notemos que enIA3B3 y IB4A1 se tiene IB3 = IB4 = r, ademas ambosson rectangulos. Si estos dos triangulos los juntamos de tal modo que IB3 e IB4coincidan como se aprecia en la parte derecha de la Figura 2.29, entonces estenuevo triangulo es rectangulo, es decir, A3IA1 =

pi2 . Partiendo del hecho de

que el area de un triangulo se calcula como el semiproducto de un lado por laaltura correspondiente a ese lado, podemos escribir:

2AIA3A1 = r(A3B3 +A1B4) = A3I A1I (2.57)De la aplicacion del Teorema de Pitagoras a IA3A1:

(A3B3 +A1B4)2 = A3I

2 +A1I2 (2.58)

De las ecuaciones (2.57) y (2.58), tenemos:

r2(A3I2 +A1I

2) = A3I2 A1I2 (2.59)

De esta ultima ecuacion, se sigue:

1

r2=

1

A3I2+

1

A1I2(2.60)

Por otro lado, si prolongamos A3I y A1I hasta que corten a C(O,R) en Fy E, entonces EF es diametro de C(O,R) debido a que FOA2 + A2OE =2(IA3A2 + A2A1I) = A4A3A2 + A2A1A4 = . En el IFE, IO = d esmediana. Como en el captulo anterior calculamos la longitud de las medianas

de un triangulo, podemos escribir ahora OI2 = EI2+FI2

2 (EF2 )2. Notemos queEF = 2R, con esta informacion se tiene:

EI2 + FI2 = 2OI2 +EF 2

2= 2(d2 +R2) (2.61)

2.4. TEOREMA DE CASEY 45

Ahora, si consideramos a I un punto interior de C(O,R), la potencia deI con respecto a C(O,R) la podemos calcular, con ayuda de las proposiciones2.3.9 y 2.3.11 como:

A3I FI = A1I EI = R2 d2 (2.62)

Si combinamos las ecuaciones (2.61) y (2.62), obtenemos:

1

A3I2+

1

A1I2=

FI2

(R2 d2)2 +EI2

(R2 d2)2

=FI2 + EI2

(R2 d2)2

=2(R2 + d2)

(R2 d2)2 (2.63)

Por ultimo, al combinar las ecuaciones (2.60) y (2.63), obtenemos:

1

r2=

2(R2 + d2)

(R2 d2)2

=(R+ d)2 + (R d)2

(R2 d2)2

=1

(R+ d)2+

1

(R d)2 (2.64)

2.4. Generalizacion del Teorema de Ptolomeo o

Teorema de Casey.

El geometra irlandes John Casey publico en Dublin en 1881 el libro A Sequelto the first six Books of the Elements of Euclid. En el se incluye la generalizaciondel Teorema de Ptolomeo, sin embargo, la primera vez que aparecio publicadoeste resultado fue en el artculo Proceedings of the Royal Irish Academy de Caseyen 1866.

2.4.1. Tangentes comunes a dos circunferencias.

Para establecer el Teorema de Casey, necesitamos saber la longitud del seg-mento de recta que une los puntos de tangencia de la tangente comun a doscircunferencias. Desde luego que supondremos que las dos circunferencias tienentangentes comunes, es decir, no esta contenida una en la otra. La importanciade conocer la longitud del segmento mencionado radica en que la demostraciondel teorema basicamente se reduce a sustituir estos valores.


Proposicion 2.4.1 (Longitud de la tangente exterior a dos circunferencias).Sean dos circunferencias de centros O1 y O2 y radios r1 y r2 denotadas comoC(O1, r1) y C(O2, r2). Sea t el segmento determinado por los puntos de tangen-cia de la tangente exterior comun a las circunferencias. En estas condiciones severifica la relacion:

t2 = (O1O2)2 (r1 r2)2 (2.65)

O1 O2 P

T1

T2

O1O2Q

r1r2

r1 r2t

R

Figura 2.30:

Demostracion. Notemos que si las circunferencias son concentricas y los radiosdesiguales, entonces no hay tangente comun. Si son concentricas y los radiosiguales, a pesar de haber tangente comun, el segmento t degenera en el puntode tangencia. Tomemos C(O1, r1) y C(O2, r2) con O1 6= O2 y r1 r2 como enla Figura 2.30. Sean T1 y T2 los puntos de tangencia de C(O1, r1) y C(O2, r2)con la tangente comun. Tracemos paralelas a la lnea de los centros por T1 yT2 hasta que corten en Q y R a las lneas determinadas por O2T2 y O1T1. Enestas condiciones el T1QT2R es un paralelogramo y el T1QT2 es rectangulo,en el, la hipotenusa es O1O2, el cateto mayor t y el menor r1 r2. Aplicando elTeorema de Pitagoras el resultado es inmediato.

Corolario 2.4.2. Si en la proposicion anterior las circunferencias son tangentesentre s exteriormente, entonces se cumple la igualdad:

t2 = 4r1r2

Demostracion. Basta con notar que como las circunferencias son tangentes, en-tonces O1O2 = r1+ r2 y entonces t

2 = (O1O2)2 (r1 r2)2 = (r1 + r2)2 (r1

r2)2. Desarrollando y simplificando se llega al resultado.

Proposicion 2.4.3 (Longitud de la tangente interior a dos circunferencias).Sean C(O1, r1) y C(O2, r2). Sea t el segmento determinado por los puntos detangencia de la tangente exterior comun a las circunferencias. En estas condi-ciones se verifica la relacion:

t2 = (O1O2)2 (r1 + r2)2 (2.66)

2.4. TEOREMA DE CASEY 47

O1 O2 P

T1

T2

O1O2Q

r1r2

r1 r2t

R

Figura 2.31:

O1 O2P

T1

T2

Q

r1

r2

r1 + r2 t

Figura 2.32:

Demostracion. Primero notemos que si las circunferencias se cortan o son tan-gentes entre s, no hay tangente interior comun o esta degenera en el puntode contacto, respectivamente. Tomemos C(O1, r1) y C(O2, r2) con O1 6= O2y r1 r2 como en la Figura 2.32. Sean T1 y T2 los puntos de tangencia deC(O1, r1) y C(O2, r2) con la tangente comun. Sea Q la interseccion de la para-lela a T1T2 por O2 y la prolongacion de O1T1. Como O2T2 es paralela a O1T1,entonces t = QO2 = T1T2. Al igual que en la proposicion anterior, el resultadoes inmediato al aplicar teorema de Pitagoras el QO1O2.

En las siguientes proposiciones tambien calcularemos la longitud de la tan-gente comun a dos circunferencias pero ahora cuando estas son tangentes a unatercer circunferencia. Existen tres posibilidades para tal situacion: ambas soninteriores a la tercer circunferencia, ambas exteriores o una interior y la otraexterior. En todos los casos el procedimiento sera exactamente el mismo: utili-zaremos la ecuacion (2.65) o la (2.66) y despues, en una par de ocaciones, laLey de Cosenos.

Proposicion 2.4.4. Sean C(O1, r1) y C(O2, r2) dos circunferencias tangentesinteriormen

tesis geometria del cuadrilatero

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