tesis espinaca final

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ESTADÍSTICA

“MEDIDAS REPETIDAS PARA EVALUAR EL EFECTO DE LA

VARIEDAD DE PLANTA Y NIVEL DE NITRÓGENO EN ALTURA

DE NÚMERO DE HOJAS EN PLANTAS DE ESPINACA”.

TESIS

PARA OBTENER EL TÍTULO PROFESIONAL DE

INGENIERO ESTADÍSTICO

AUTOR: Br. Edinson A. Angulo Montalván

ASESOR: Lic. Manuel Antonio Sisniegas Gonzáles

TRUJILLO - PERÚ

2010

Br. Edinson A. Angulo Montalván Universidad Nacional de Trujillo

i

DEDICATORIA.

A Dios.

Por haberme dado salud para lograr mi

objetivos más preciados.

Por permitirme llegar a este momento tas

especial de mi vida.

Por los triunfos y lo momentos difíciles que

me ha enseñado a valorarte cada día más.

Por su infinita bondad y amor.

A mi mamá Aurea y a mi papa

Bartolomé.

A mi mamá Aurea por darme la vida y

amor sin condición en cada etapa de mi

vida.

A mi papá Bartolomé por los consejos y

valores inculcados que me han permitido

ser una buena persona.

Gracias por hacer posible mi realización

profesional.

A mi mamá Carmen y a mi mamá

Sabina,

A mi mamá Carmen por enseñarme a ser

una persona de bien y brindarme su apoyo

incondicional en todo momento.

A mi mamá Sabina por los ejemplos de

perseverancia y de valor para seguir

adelante ante todas las adversidades.

Gracias, las llevaré en el corazón por

siempre.


ii

A mis Tíos.

Por ser ejemplos de profesionales y

brindarme su cariño y apoyo en los

momentos difíciles.

Por los consejos y llamadas de atención,

que me ayudaron a ser una buena

persona.

Por la confianza depositada en mí.

A toda mi familia.

Por estar a mí lado siempre.

Por brindarme momentos agradables, y

ayudarme a salir de los momentos

desagradables.

A una persona muy Especial.

Por su amor, comprensión y los buenos

momentos ofrecidos sin condición.

Por el apoyo incondicional de mi

realización personal y profesional.

Gracias por todo, espero contar siempre

contigo. Te amo.

A mis amigos.

Que nos apoyamos mutuamente en

nuestra formación profesional y que

seguiremos siendo amigos por siempre.


iii

AGRADECIMIENTO

Esta tesis es el resultado del esfuerzo conjunto de muchas personas, es por

ello que atribuirme el mayor merito de este aporte no es correcto, pues sin la

participación de todas estas personas no hubiese sido posible lograr la magnitud

de este aporte. Por consiguiente, es para mí un verdadero placer utilizar este

espacio para ser justo y consecuente con ellas, expresándole mis agradecimiento

infinitos.

Debo agradecer de manera especial a mis padres que gracias a su apoyo

moral y económico hicieron posible la realización de este trabajo.

Quiero expresar también, un agradecimiento afectuoso al Señor. Lic. Manuel

Antonio Sisniegas Gonzáles (Asesor) por aceptar que la realización de esta tesis

se encuentre bajo su dirección. Su apoyo y confianza en el presente, y su

capacidad para guiar mis ideas ha sido un aporte invaluable, no solamente en el

desarrollo de este aporte, sino también en mi formación como profesional. Las

ideas inmersas han sido la clave del buen trabajo que hemos realizado juntos,

pues no se hubiera podido concebir sin su oportuna participación. Le agradezco

también el haberme facilitado siempre los medios suficientes para llevar a cabo

todas las actividades propuestas en el desarrollo de esta tesis. Muchas gracias

Maestro.

Además, quiero brindar sinceros agradecimientos a mi jurado de tesis, Dra.

Lucy Yglesias Alva y Ms. Augusto Chafloque Chafloque, por su importante aporte y

participación activa en el desarrollo de esta tesis. Debo destacar por encima de

todo la disponibilidad y paciencia brindada sin condición. No cabe duda, que su

participación ha enriquecido el trabajo realizado.

Edinson A. Angulo Montalván


iv

PRESENTACIÓN

Señores Miembros del Jurado:

En Cumplimiento con las disposiciones del reglamento de

Grados y Títulos de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas,

Escuela Académico Profesional de Estadística de la Universidad

Nacional de Trujillo, para poder obtener el título de Ingeniero

Estadístico, se pone a vuestra disposición la siguiente tesis titulada:

“EFECTO DE LA VARIEDAD DE PLANTA Y NIVELES DE

NITRÓGENO SOBRE MEDICIONES REPETIDAS DE ALTURA DE

PLANTA Y NÚMERO DE HOJAS EN PLANTAS DE ESPINACA”.

Es así, que propongo la presente tesis para que sea analizada

a vuestro criterio y consideración, esperando que goce de su

aceptación.

Trujillo, Noviembre del 2010

El Autor


v

RESUMEN

“MEDIDAS REPETIDAS PARA EVALUAR EL EFECTO DE LA VARIEDAD DE

PLANTA Y NIVEL DE NITRÓGENO EN ALTURA Y NÚMERO DE HOJAS EN

PLANTAS DE ESPINACA”

La presente investigación muestra información que permite conocer la

aplicación de análisis de medidas repetidas, utilizando datos de altura de planta y

número de hojas en plantas de espinaca recogidos a los 15, 30 y 45 días después

de la siembra, bajo la aplicación de 3 niveles de nitrógeno y un control en 2

variedades de espinaca. Para tal estudio, se realizo primero la comprobación de

los supuestos básicos para un análisis de varianza inter-sujetos, es decir, que las

observaciones sean independientes y normalmente distribuidas con varianzas

iguales. También se probó el supuesto de esfericidad de Mauchly, prueba

importante para la realización del análisis de mediciones repetidas, pues sin el

cumplimiento de este, las pruebas F en el análisis de medidas repetidas deben ser

ajustadas mediante un ajuste en los grados de libertad según los estadísticos

épsilon de Huynh-Feldt o Greenhouse y Geisser.

En esta investigación se obtuvo como resultados que el factor Variedad de

planta presentó un efecto estadísticamente significativo en la altura de planta y en

el número de hojas en plantas, a través del tiempo. Por el contrario los niveles de

nitrógeno, no son significativos en las variables ya mencionadas, sin embargo se

observa de manera gráfica que el nivel de nitrógeno que presenta mejores

resultados es del nivel 50 de nitrógeno.

Para una mejor idea del comportamiento de estas variedades, se presentan

gráficos de perfiles observando claramente que la variedad con un mejor

comportamiento en el tiempo es la del híbrido Megaton, pues según el análisis de

varianza aplicado es la que brinda mejores resultados en el tamaño de planta y

área foliar o número de hojas en plantas de espinaca.

Palabras clave: Medidas repetidas, esfericidad, análisis de varianza.


vi

ABSTRACT

"REPEATED MEASURES TO ASSESS THE IMPACT OF PLANT VARIETY AND

LEVEL OF NITROGEN IN HEIGHT AND NUMBER OF LEAVES IN SPINACH"

This research shows information that lets you know the application of repeated

measures analysis, using data on plant height and number of leaves in spinach

plants collected at 15, 30 and 45 days after sowing, under the application of 3

levels nitrogen and 2 control varieties of spinach. For this study, first conducted the

audit of the basic assumptions for an analysis of variance between-subjects, ie, that

observations are independent and normally distributed with equal variances. Also

tested the assumption of sphericity Mauchly important test for the completion of the

analysis of repeated measures, because without the fulfillment of this, the F tests in

repeated measures analysis should be adjusted by adjusting the degrees of

Freedom statistical Huynh-Feldt epsilon or Greenhouse and Geisser.

This research was obtained as a result the variety of plant factor had a

statistically significant effect on plant height and number of leaves in plants over

time. By contrast, the nitrogen levels are not significant in the aforementioned

variables, however graphically shows that the level of nitrogen that performs best is

the 50 level of nitrogen.

For a better idea of the behavior of these varieties, graphic profiles are clearly

observing the variety with better performance over time is that of hybrid Megaton,

because according to the analysis of variance is the one that gives better results in

the size plant and leaf area or number of leaves in spinach.

Keywords: Repeated measures, sphericity, analysis of variance.


vii

ÍNDICE

DEDICATORIAS ........................................................................................... i

PRESENTACION ......................................................................................... iii

AGRADECIMIENTO ..................................................................................... iv

RESUMEN.................................................................................................... v

INDICE ......................................................................................................... vii

CAPITULO I: INTRODUCCION

1.1 ANTECEDENTES DEL PROBLEMA ................................................. 2

1.2 JUSTIFICACION ................................................................................ 6

1.3 ENUNCIADO DEL PROBLEMA ........................................................ 6

1.4 HIPOTESIS ....................................................................................... 6

1.5 OBJETIVOS ...................................................................................... 6

1.5.1. OBJETIVO GENERAL ............................................................ 6

1.5.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS .................................................. 7

CAPITULO II: MARCO TEORICO

2.1. MARCO TEORICO ............................................................................ 8

CAPITULO III: MATERIAL Y METODOS

3.1. MATERIAL ...................................................................................... 25

3.1.1. FUENTE DE INFORMACION ............................................... 25

3.1.2. POBLACION MUESTRAL .................................................... 25

3.1.3. UNIDAD DE ANÁLISIS ......................................................... 26

3.1.4. VARIABLES EN ESTUDIO ................................................... 26

3.2. METODOS ...................................................................................... 26

CAPITULO IV: RESULTADOS Y DISCUSIÓN

4.1. RESULTADOS ............................................................................... 31

4.2. DISCUSIÓN ................................................................................... 40

CAPITULO V: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1. CONCLUSIONES ............................................................................ 44

5.2. RECOMENDACIONES ................................................................... 45

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................................. 46

ANEXOS

CAPÍTULO I

Introducción


1

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

Las investigaciones realizadas en el área agropecuaria frecuentemente

conducen experimentos que involucran datos en cada una de varias unidades

experimentales bajo diferentes estímulos o tratamientos y cuyo efecto se mide a

través del tiempo. En otros casos la información se genera cuando cada uno de

varios tratamientos se aplica secuencialmente a la misma unidad experimental.

En las últimas décadas, un tema de debate sugerente ha sido el desarrollo de

una alternativa a los diseños Fisherianos de grupos propios de la investigación

experimental clásica. En estas circunstancias, los diseños de medidas repetidas

representan una alternativa viable a los diseños de corte transversal, y es que uno

de los métodos de investigación más frecuentemente utilizados es tomar

observaciones repetidas sobre los mismos sujetos, bien sea en diferentes puntos

del tiempo, o bien bajo diferentes condiciones de una variable determinada.

(Fernández et al, 1996)

Aunque este tipo de diseños no están exentos de dificultades producidas por

los efectos de secuencia (efectos de orden y efectos residuales), es meritorio de

ellos que acentúan la validez de conclusión estadística debido a una mayor

precisión en la estimación de la variable de tratamiento, mejorando de esta manera

la potencia de prueba; facilitan la generalización de los efectos del tratamiento

debido a la particular presentación de los niveles del mismo, mejorando así la

validez externa; reducen drásticamente el tamaño de la muestra y además, en

alguna situación particular, permiten elaborar la posible tendencia. De acuerdo con

esto, en los años recientes, los investigadores han enfocado su atención en

determinar cuál de las estrategias analíticas resulta más apropiada para este tipo

de diseños. (Fernández et al, 1996)

Una aplicación común de este tipo de análisis se utiliza en nuestros productos

hortícolas, con la intención de controlar el desarrollo de dichos cultivos, pues,

nuestro país provee a los mercados internacionales productos hortícolas ya sea

para el consumo en fresco o procesados. La espinaca es uno de los cultivos


2

hortícolas que en los últimos años ha incrementado su consumo a nivel mundial,

pudiendo ocupar un importante nicho de mercado. En el Perú las principales zonas

de producción son los Departamentos de Lima y Junín, efectuándose la siembra

en el periodo de otoño – invierno, pues la espinaca presenta un desarrollo

adecuado a bajas temperaturas (UGAS et al, 2000).

En esta investigación se observó la altura y el número de hojas en plantas de

espinaca en tres ocasiones, y el rendimiento en peso en una sola ocasión, por

consiguiente se utilizarán procedimientos estadísticos que nos permitan ajustar y

explicar la variabilidad de la información, teniendo en cuenta los supuestos básicos

para este análisis.

Así, se hará uso del análisis de medidas repetidas, que implica el registro de

las variables dependientes altura de plantas y número de hojas en tres ocasiones

de medida que pueden ser antes, durante o después de la intervención. (Blanca,

2004)

1.1. Antecedentes del Problema

a. Antecedentes Internacionales

En Colombia, Hoyos et al (2009), estudió el crecimiento de espinaca

(Spinacia oleracea L.) bajo el efecto de diferentes fuentes y dosis de

nitrógeno. Los tratamientos correspondieron a dos fuentes: urea y nitrato

de amonio, y tres dosis de fertilización: 50, 100 y 150%, de la

recomendación del análisis de suelo. Se utilizó ecuaciones de regresión

de los parámetros evaluados para determinar el crecimiento de plantas.

Se obtuvo que el nitrato de amonio a la dosis más alta generó la mayor

área foliar, la mayor masa fresca total y el mayor índice de área foliar a

los 45 días después del trasplante. La masa seca de hojas y total de la

planta presentaron los mayores valores con las dos fuentes en las dosis

más altas. La tasa relativa de crecimiento, en general, fue decreciendo

en el tiempo, donde nitrato de amonio al 50% tuvo los valores más altos.


3

En Chile, Vásquez (2006), realizó un estudio acerca de la evaluación

agronómica de once cultivares de Spinacia Oleracea L., en donde trató

de determinar el comportamiento agronómico de la especie con fines

industriales. Los cultivares fueron evaluados cualitativa y

cuantitativamente para determinar cual o cuales cultivares se comportan

mejor en la zona sur de Chile, y su aptitud para ser utilizados como

cultivo industrial. Se utilizó un Diseño en Parcelas Divididas de Bloques

Completos al Azar, con cuatro bloques y 22 tratamientos, obteniéndose

como resultados que los cultivares Condesa, Laska y Quinto presentan

los mayores rendimientos en hojas, así como también que la adición de

cal mostró un efecto positivo en el crecimiento y desarrollo de las

plantas, lo que se expresó en todas las variables consideradas, excepto

para la relación longitud lámina /pecíolo.

En España J. Blanca (1998) realizó un material de apoyo para la

asignatura Metodología Experimental en las CC. del Comportamiento en

la Universidad de Málaga titulado Diseño Unifactorial de Medidas

Repetidas. En donde se ha seleccionado una investigación hipotética

que sigue un diseño de medidas repetidas y cuyos datos se han

analizado siguiendo con el programa SPSS para Windows (versión

6.0.1). Se expone el procedimiento por el cual se ha realizado el análisis

estadístico, ilustrado con las ventanas extraídas del SPSS para

Windows, con el objetivo de que pueda ser replicado siguiendo los pasos

pertinentes.

En Colombia, Giraldo et al (1997), aplicó el análisis de varianza de

medidas repetidas en un experimento con metales pesados. En donde se

presenta una revisión, dentro de un contexto ecológico, de conceptos

relacionados con el análisis de varianza de medidas repetidas. Se midió

la concentración de cadmio ug/g, en hojas de mangle negro en varias

estaciones de monitoreo y a través de varios intervalos en la toma de

muestra. Se obtuvo que la concentración promedio de cadmio

encontrada en hojas de mangle no difiere significativamente entre las

estaciones y los tipos de hojas considerados.


4

En México, García (1997), realizó un Estudio Fenológico y de

Crecimiento en once especies leñosas del matorral espinoso

Tamaulipeco en Linares, Nuevo León, México; en donde hizo uso de de

análisis de varianza con mediciones repetidas en la carga foliar, en la

carga de flores, en la carga de frutos, en el variación de grosor y el

crecimiento en grosor de las once especies. Además, realizó

comparaciones de medias con la prueba de Tukey y análisis

autoregresivos para las variables ya mencionadas. Se obtuvo como

resultados que el desarrollo de todos los eventos fenológicos: foliación,

floración y fructificación, así como el crecimiento radial y la relación

diámetro y altura se manifestaron muy distintamente en relación a las

once especies de estudio durante las fechas de muestreo. En relación al

porcentaje de las etapas fenológicas entre las especies, Pithecellobium

ébano fue el que exhibió el valor mayor (90%) en carga foliar. En carga

de flores, Acacia farnesiana registró el valor mayor (81%). En carga de

frutos, la especie que exhibió el mayor valor (63%) fue Acacia farnesiana.

En España, Fernández et al (1996), realizó un estudio acerca de un

diseño de medidas repetidas con dependencia serial en el error, en

donde abordó un modelo mixto de Análisis de Varianza con la estructura

del error modelada mediante procesos Auto Regresivos. Además, abordó

el problema desde una perspectiva más general haciendo uso del

enfoque multivariado de medidas repetidas, simulando datos mediante

procedimientos de Monte Carlo para investigar el efecto que el

incumplimiento de las asunciones de independencia, esfericidad y

homogeneidad tiene sobre el grado de “sesgadez” de los parámetros

estimados, sobre la probabilidad empírica de cometer errores Tipo I y

sobre la potencia de prueba para cada uno de los procedimientos.

b. Antecedentes Nacionales

En Lima Saray (2006), hizo una evaluación de cinco cultivares de

espinaca (spinacia oleracea l.) bajo cultivo orgánico, en donde se buscó

evaluar cual es el mejor rendimiento y calidad de cinco cultivares de


5

espinaca, determinando también la mejor época de siembra para cada

cultivar y la productividad de espinaca en un sistema de producción

orgánico, utilizándose un diseño de bloques completamente al azar con

cinco tratamientos y tres repeticiones cada uno, en dos épocas de

siembra. Se obtuvo como resultados que los cultivares híbridos

alcanzaron un mayor rendimiento inclusive en condiciones no favorables,

y que la productividad de espinaca bajo un sistema de producción

orgánico fue mayor en el período (Julio-Octubre).

c. Antecedentes Locales

En Trujillo, Tejada (2010) observó la influencia de dosis crecientes

de nitrógeno y dos densidades de siembra en el crecimiento de

producción de espinaca. El presente se llevó a cabo en el distrito de

Laredo - Trujillo, en donde se evaluó el efecto de la aplicación de

diferentes dosis de nitrógeno y densidades de siembra en cultivos de

espinaca, observando los resultados en 4 ocasiones diferentes. Se utilizó

para ello análisis de varianza bifactoriales para cada ocasión en el

tiempo, obteniendo como resultados que el factor densidad y el factor

dosis de fertilización no presentaron diferencias significativas en el

rendimiento de la espinaca.

1.2. Justificación del problema

Debido a la simplicidad con que se analiza este tipo de estructura de

datos, puede conllevar a resultados poco exactos, pues, estos datos tomados

en diferentes ocasiones en el tiempo, pueden estar correlacionadas, es decir,

la dependencia serial entre las observaciones tomadas desde una misma

unidad de análisis en distintos momentos o intervalos temporales puede

llegar a ser de considerable importancia.

Según lo comentado anteriormente, surge la necesidad de analizar la

información obtenida bajo un enfoque adecuado, en nuestro caso un análisis

de medidas repetidas.


6

1.3. Enunciado del problema

¿El diseño de medidas repetidas es una técnica adecuada para evaluar

la altura planta y número de hojas en plantas de espinaca?

1.4. Hipótesis

El diseño de medidas repetidas si es una técnica adecuada para evaluar

la altura de planta y número de hojas en plantas de espinaca.

1.5. Objetivos

a. Objetivo General

- Determinar si el diseño de medidas repetidas es una técnica

adecuada para evaluar la altura de planta y número de hojas en

plantas de espinaca.

b. Objetivos Específicos

- Determinar si el efecto de la variedad de planta y los niveles de

nitrógeno influyen en la altura de planta y en el número de hojas en


- Determinar si el efecto de la variedad de espinaca influye en la altura

de planta y el número de hojas de plantas de espinaca.

- Determinar si el efecto de los niveles de nitrógeno influyen en la

altura de planta y el número de hojas de plantas de espinaca.

- Probar los supuestos básicos para el análisis de medidas repetidas.

- Aplicar un análisis de medidas repetidas para el efecto de la variedad

de espinaca bajo diferentes niveles de nitrógeno en mediciones

repetidas de altura de planta y número de hojas en plantas de

espinaca.

CAPÍTULO II

Marco Teórico


7

CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

2.1. MARCO TEÓRICO

DEFINICIONES ESTADÍSTICAS

2.1.1. Diseños con mediciones repetidas

Se refieren a mediciones repetidas de la variable respuesta en

cada unidad experimental, haciendo hincapié en experimentos con

observaciones realizadas en ocasiones sucesivas en el tiempo.

(Kuehl, 2001)

La tendencia en el tiempo de las respuestas individuales al

tratamiento es un aspecto importante para muchos experimentos,

como aquellos en los que se pesan animales cada semana para

supervisar su crecimiento bajo diferentes condiciones de nutrición o

se cosechan parcelas de cultivos perennes como alfalfa varias

veces. (Kuehl, 2001)

Las mediciones repetidas en cada unidad experimental

proporcionan información sobre la tendencia en el tiempo de la

variable de respuesta bajo diferentes condiciones de tratamiento. Las

tendencias en el tiempo pueden revelar qué tan rápido responden las

unidades al tratamiento o durante cuánto tiempo se manifiestan los

efectos del tratamiento en las unidades del estudio. También es

posible evaluar las diferencias entre las tendencias de los

tratamientos. (Kuehl, 2001)

Las observaciones repetidas de la misma unidad experimental a

través del tiempo, con frecuencia son más eficientes que el uso de

una unidad experimental diferente para cada observación en el

tiempo. No sólo se requieren menos unidades, lo que reduce costos,


8

también la estimación de las tendencias en el tiempo serán más

precisas. El aumento en la precisión se debe a que las mediciones

en la misma unidad tienden a ser menos variables que las

mediciones en unidades distintas; por tanto el efecto de las

mediciones repetidas es similar al efecto del uso de bloques. (Kuehl,

2001)

2.1.2. Diseños entre y dentro de unidades experimentales

Los diseños de mediciones repetidas se pueden describir en

términos del diseño entre sujetos y el diseño dentro sujetos. Los

diseños entre sujetos se refieren a los diseños en que una unidad

experimental se asigna a un tratamiento. Los diseños dentro sujetos

se refieren a las diferentes mediciones en cada unidad experimental.

(Kuehl, 2001)

2.1.3. Análisis de Medidas Repetidas

Los experimentos de medidas repetidas tienen estructura

factorial, siendo los tratamientos y el tiempo los factores. Puede

suceder que los tratamientos a su vez, estén conformados por las

combinaciones de dos o más factores. (Correa, 2004)

El objetivo del análisis de medidas repetidas es examinar y

comparar las tendencias en el tiempo de las respuestas a los

tratamientos, lo cual puede involucrar comparaciones de

tratamientos en tiempos específicos (efectos simples de los

tratamientos) o comparaciones de tratamientos promediando todos

los tiempos (efectos principales de los tratamientos). También puede

resultar importante la comparación de tiempos para algún

tratamiento específico (efectos simples del tiempo) o la comparación

de tiempos promediando todos los tratamientos (efectos principales

del tiempo). El tipo de análisis depende, en última instancia, del

resultado del análisis de varianza, tal y como sucede en todos los


9

experimentos cuyos tratamientos incluyen una estructura factorial.

(Correa, 2004)

Las lecturas secuenciales sobre una misma unidad experimental

están correlacionadas, pues contienen un aporte común de tal

unidad. Además, las medidas sobre una misma unidad que están

cercanas en el tiempo tienden a estar más altamente

correlacionadas que aquellas más distantes en el tiempo; asimismo,

las varianzas tienden a verse afectadas por el tiempo. Tales

potenciales patrones de correlación y variación pueden combinarse

para producir complejas estructuras que hacen que la matriz de

covarianzas correspondiente a las lecturas repetidas sobre un mismo

individuo no se ajuste a los supuestos de los análisis de regresión y

de varianza usuales, por lo que estos pueden no ser válidos. (Correa,

2004)

Aunque este problema ha estado presente desde que Sir Ronald

Fisher desarrollo y empezó a aplicar el análisis de varianza en la

década de 1930, el manejo del mismo ha guardado correspondencia

con las herramientas disponibles en cada momento.

Cronológicamente, se han usado principalmente tres enfoques para

analizar este tipo de experimentos. (Correa, 2004)

a. Análisis separados en cada momento de tiempo

Consiste en la comparación de los tratamientos de manera

independiente en cada uno de los tiempos evaluados. Este

análisis no satisface el objetivo de examinar y comparar

tendencias en el tiempo, por lo que no constituye un verdadero

método de análisis de medidas repetidas y, si bien puede

resultar útil en la etapa exploratoria, no es adecuado como

método final de análisis para reportar los resultados. (Correa,

2004)


10

b. Análisis de varianza univariado

Entre los verdaderos métodos de análisis de medidas

repetidas, es decir, aquellos que realizan comparaciones entre

tiempos, este ha sido el más usado. Este análisis es equivalente

al de parcelas divididas, por lo que se le conoce como parcelas

divididas en el tiempo. El análisis de varianza solo sería válido si

se cumple la condición de simetría compuesta, esto es, que los

errores estén igualmente correlacionados y que tengan la misma

varianza (Milliken and Johnson, 1992), pero aun así, son

incorrectos los errores estándar estimados mediante el

procedimiento GLM para evaluar efectos simples de tratamientos

y para efectos cruzados. (Correa, 2004)

c. Ajuste de la estructura de covarianzas, mediante modelos

mixtos

Los modelos mixtos son los que incluyen tanto efectos fijos

como efectos aleatorios. Mediante su uso es posible ajustar la

estructura de covarianzas y estimar los errores estándar más

adecuados para las diferentes comparaciones, acorde con las

características de cada conjunto de datos.

Vale la pena enfatizar que los dos primeros métodos

presentados (análisis separados para cada uno de los tiempos y

análisis de varianza univariado) podrían utilizarse como parte del

análisis exploratorio, pero tienen falencias que los hacen

inadecuados como métodos finales de análisis. Por tanto,

siempre que se tengan medidas repetidas se recomienda ajustar

la estructura de covarianzas mediante el uso de modelos mixtos.

(Correa, 2004)


11

2.1.4. Relaciones entre las mediciones repetidas

Las relaciones entre las observaciones gobiernan los métodos

estadísticos necesarios para el diseño de investigación específico

usado en un estudio.

El orden de las mediciones no se puede aleatorizar con respecto

al tiempo; así, es posible que los pares de mediciones repetidas en

la misma unidad experimental tengan una correlación. En general, se

supone que los pares de observaciones adyacentes en el tiempo

tienen mayor correlación que los pares de observaciones más

separadas. (Kuehl, 2001)

La correlación entre dos variables, digamos 𝑦1 y 𝑦2 se define

como:

𝜌12 =𝜍12

𝜍1𝜍2

donde 𝜍1 y 𝜍2 son las desviaciones estándar de 𝑦1 y 𝑦2, y 𝜍12 es

la covarianza entre 𝑦1 y 𝑦2. Si el valor esperado o media de la

variable 𝑦 es 𝐸 𝑦 = 𝜇, entonces su varianza es 𝜍2 = 𝐸(𝑦 − 𝜇)2. La

covarianza de dos variables, 𝑦1 y 𝑦2, es 𝜍12 = 𝐸(𝑦1 − 𝜇1)(𝑦2 − 𝜇2).

(Kuehl, 2001)

Suposiciones del análisis de varianza

Varianzas iguales para los grupos de tratamiento y

observaciones independientes con distribución normal son las

suposiciones usuales necesarias para un análisis de varianza válido

de los datos. Con estas suposiciones, 𝜍2 tiene el mismo valor para

todos los grupos de tratamiento y tiempos de medición, y 𝜌 = 0 o

bien 𝜍𝑖𝑗 = 𝜍𝑗𝑖 = 0. (Kuehl, 2001)

Un experimento particular con asignación aleatoria de los

tratamientos a las unidades experimentales es sólo una muestra

aleatoria de todos los experimentos posibles que pudieran usarse.

Hacer una asignación aleatoria no elimina la correlación entre las


12

observaciones; sin embargo, la correlación esperada entre las

unidades experimentales es constante con todas las aleatorizaciones

posibles. Si varianzas y correlaciones son constantes, las

covarianzas tendrán el valor constante 𝜍𝑖𝑗 = 𝜌𝜍2, esta condición se

conoce como simetría compuesta. (Kuehl, 2001)

La suposición de simetría compuesta se usa para los errores de

las observaciones en el experimento de parcelas divididas porque se

hizo una asignación aleatoria de los tratamientos a las sub-parcelas.

El sujeto y el factor de tratamiento entre los sujetos del diseño de

mediciones repetidas equivalen, respectivamente, a la parcela

completa y al factor de tratamiento para la parcela de un diseño de

parcelas divididas, y las mediciones repetidas en un sujeto son

análogas a la sub-parcela. La diferencia entre las observaciones de

la sub-parcela y las mediciones repetidas es que en el diseño de

parcelas divididas se hace una asignación aleatoria de los

tratamientos a las sub-parcelas, mientras que no hay aleatorización

en las mediciones repetidas. Si todas las mediciones repetidas de un

sujeto tienen igual correlación, existe simetría compuesta y el diseño

de mediciones repetidas se puede analizar como un diseño de

parcelas divididas, empleando el tiempo de medición como factor de

tratamiento de la sub-parcela. (Kuehl, 2001)

Huynh y Feldt (1979) mostraron que las condiciones necesarias

para el análisis de varianza usual en los diseños de mediciones

repetidas eran menos estrictas que la condición de simetría

completa. Demostraron que la condición necesaria es tener la misma

varianza de la diferencia para todos los pares posibles de

observaciones tomadas en diferentes periodos, digamos, 𝑦𝑖 y 𝑦𝑗 , es

decir:

𝜍𝑦𝑖− 𝑦𝑗

2 = 2𝜆, para 𝑖 ≠ 𝑗.

para alguna λ > 0. Esta condición también se puede establecer

como:

𝜍𝑖𝑗 =1

2 𝜍𝑖

2 + 𝜍𝑗2 − 𝜆 para 𝑖 ≠ 𝑗.


13

La matriz de varianzas y covarianzas que satisface esta

condición se conoce como matriz tipo H. Los cuadrados medios del

análisis de varianza se pueden usar para probar las hipótesis sobre

los tratamientos dentro sujetos si se cumple la condición de Huynh-

Feldt. (Kuehl, 2001)

Transferencia de efectos

Los efectos de ciertos tipos de tratamiento se transfieren al

siguiente periodo de tratamiento cuando se administran en secuencia

a los sujetos. Estas transferencias pueden sesgar severamente las

estimaciones de las medias de tratamiento debido a que los

tratamientos suministrados en periodos anteriores influyen en el

efecto del tratamiento aplicado en periodos sucesivos.

Los efectos de transferencia son particularmente complicados en

sujetos humanos y animales con un suministro sucesivo de

tratamientos dietéticos o médicos que afectan su fisiología. Antes de

suministrar un segundo tratamiento suele usarse un periodo de

descanso, o "de lavado", entre dos tratamientos sucesivos para

eliminar los efectos del tratamiento más reciente. (Kuehl, 2001)

Prueba para el supuesto de Huynh-Feldt

Se puede usar el análisis de varianza univariado con cualquiera

de los tres supuestos sobre las mediciones, éstos eran

independencia, simetría compuesta o condición Huynh-Feldt. La

condición de Huynh-Feldt con la matriz tipo H para varianzas y

covarianzas de las mediciones repetidas es la menos restrictiva de

las tres suposiciones. Se pueden usar sencillos métodos univariados

para el análisis si se puede suponer que la condición Huynh-Feldt se

cumple para las mediciones repetidas. La suposición de una matriz

tipo H se puede evaluar con la prueba atribuida a Mauchly (1940),

que se demuestra en el Anexo N°1. (Kuehl, 2001)


14

La prueba W de Mauchly (Mauchly, 1940), usada para la prueba

de hipótesis de la forma tipo H para la ∑, se calcula en muchos

paquetes de computadora que tienen programas para el análisis de

diseño de mediciones repetidas.

El estadístico de prueba Mauchly, tiene una distribución

aproximada a la variable chi-cuadrada con 𝑣 =𝑝(𝑝−1)

2− 1 grados de

libertad, donde 𝑝 es el número de mediciones repetidas. Si el

resultado de la prueba Mauchly es aceptable, entonces las pruebas

F en el análisis de varianza univariado son válidas. (Kuehl, 2001)

En el Anexo N°1 se encuentra una breve descripción de los

detalles del estadístico de prueba.

La prueba Mauchly para la matriz ∑ de varianza-covarianza

tiende a tener un potencial bajo a menos que los tamaños de

muestras sean muy grandes y su capacidad para detectar

alejamientos de la hipótesis nula no es muy buena a menos que los

experimentos tengan un número grande de réplicas, Boik (1981)

indica un potencial menor que 0.20 para algunos casos específicos

de la prueba de Mauchly con tres grupos de tratamiento y hasta 12

sujetos por grupo. En consecuencia, no se recomienda confiar por

completo en la prueba. Dada la incertidumbre asociada, con la

capacidad de la prueba de Mauchly para detectar alejamientos de las

suposiciones del análisis de varianza, la decisión para usar el

análisis de varianza univarido tendrá que basarse en la experiencia

con las características específicas del material de investigación.

(Kuehl, 2001)

2.1.5. Análisis de varianza para Medidas Repetidas – Una muestra

Asumiendo que una variable respuesta continua distribuida

normalmente es medida en cada punto de tiempo t para cada n

unidad experimental (Sujetos o individuos), como se muestra a

continuación:


15

Cuadro N° 1: Distribución de los datos para un diseño de medidas

repetidas para una sola muestra.

El modelo para el análisis de varianza esta dado por:

𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜋𝑖 + 𝜏𝑗 + 𝑒𝑖𝑗

Para i = 1, … , n y j = 1, … , t. yij es la respuesta del sujeto i en el

tiempo j, μ es la media global, πi es el efecto aleatorio para el sujeto i

cuando las ocasiones son constantes, τj es el efecto fijo del tiempo j,

eij es el componente de error aleatorio específico para el sujeto i en

el tiempo j. El efecto aleatorio πi es independiente N 0, σπ2 , el error

aleatorio eij es independiente N 0, σe2 , y los efectos aleatorios πi y

los términos de error aleatorio eij son independientes. Para efecto fijo

τj se asume que satisface la suma cero de contrastes τjtj=1 = 0.

(Davis, 2002)

A pesar que todas las variables aleatorias en el modelo son

independientes, las observaciones repetidas de un objeto están

correlacionadas. La tabla de ANOVA para este modelo es como se

muestra a continuación:

1 … j … t

1 y 11 … y 1j … y 1t

Sujeto Punto en el tiempo

… … … … … …

i y i1 … y ij … y it

… … … … … …

n y n1 … y nj … y nt


16

Cuadro N°2: Análisis de Varianza para mediciones repetidas para una

muestra

Fuente de Variación

Suma de cuadrados

Grados de Libertad

Cuadrados Medios Cuadrados

medios esperados

Tiempo SST t-1 𝑀𝑆𝑇 =𝑆𝑆𝑇

𝑡 − 1 𝜍𝑒

2 + 𝑛𝜍𝜏2

Sujetos SSS n-1 𝑀𝑆𝑆 =𝑆𝑆𝑆

𝑛 − 1 𝜍𝑒

2 + 𝑛𝜍𝜋2

Residuo SSR (t-1)(n-1) 𝑀𝑆𝑅 =𝑆𝑆𝑅

𝑡 − 1 (𝑛 − 1) 𝜍𝑒

2

Donde la media general está dada por:

𝑦 . . = 𝑦𝑖𝑗

𝑡𝑗=1

𝑛𝑖=1

𝑛𝑡

La media para cada sujeto en el tiempo, por:

𝑦 𝑖. = 𝑦𝑖𝑗

𝑡𝑗=1

𝑡

Y las medias en cada punto en el tiempo para los sujetos, por:

𝑦 .𝑗 = 𝑦𝑖𝑗

𝑛𝑖=1

𝑛

La suma de cuadrados está definida como sigue a continuación:

SST = y .j − y .. 2

t

j=1

n

i=1

= n y .j − y .. 2

t

j=1

SSS = (y i. − y ..)2

t

j=1

n

i=1

= t (y i. − y ..)2

n

i=1

SSR = (yij − y i. − y .j + y ..)2

t

j=1

n

i=1

Además, el símbolo 𝜍𝜏2 de la columna de los cuadrados medios

esperados representa una función de los efectos fijos 𝜏𝑗 . La hipótesis

nula de que no hay diferencias entre los períodos de tiempo pueden


17

ser probados utilizando el estadístico 𝐹 =𝑀𝑆𝑇

𝑀𝑆𝑅. Siempre que los

supuestos del modelo se cumplan, la estadística de prueba tiene

distribución 𝐹𝑡−1,(𝑡−1)(𝑛−1) y prueba si la hipótesis nula es cierta. Los

contrastes lineales de las medias de cada periodo de tiempo también

pueden ser probados.

Si tiene simetría compuesta, este estadístico F proporciona una

prueba más poderosa que el enfoque mediante el estadístico T2 de

Hotelling. Sin embargo, debido a que la prueba F es anti

conservadora en ausencia de simetría compuesta, las decisiones de

rechazo no son confiables. (Davis, 2002)

Scheffé (1959) ofrece un modelo alternativo para el ajuste de

mediciones repetidas de un solo factor. Aunque 𝑦𝑖𝑗 , 𝜇, y 𝜏𝑗 definida

en la ecuación anterior, el componente de error aleatorio 𝑒𝑖𝑗 ahora

incluye la interacción Sujeto x Tiempo, como una buena medición del

error. Scheffé supone que los componentes 𝜋𝑖 y 𝑒𝑖𝑗 siguen una

distribución normal multivariante. Siempre que se cumplan ciertos

supuestos, el análisis es el mismo para ambos modelos. Esto puede

explicar por qué muchos libros de texto no hacen una distinción entre

los dos modelos. (Davis, 2002)

La siguiente tabla muestra la suma de los cuadrados, los grados

de libertad, y los cuadrados medios esperados para cada fuente de

variación en el modelo de Scheffé.

Cuadro N°3: Análisis de Varianza para mediciones repetidas para una

sola muestra incluyendo la interacción

Fuente de Variación

Suma de cuadrados

Grados de Libertad

Cuadrados medios esperados

Tiempo SST t-1 𝜍𝑒2 + 𝜍𝑇𝑥𝑆

2 + 𝑛𝜍𝜏2

Sujetos SSS n-1 𝜍𝑒2 + 𝑛𝜍𝜋

2

Tiempo x Sujetos

SSTS (t-1)(n-1) 𝜍𝑒2 + 𝜍𝑇𝑥𝑆

2


18

Las sumas de cuadrados 𝑆𝑆𝑇 y 𝑆𝑆𝑆 se calculan como en las

ecuaciones mostradas anteriormente. La suma de cuadrados de

Tratamiento x Sujetos 𝑆𝑆𝑇𝑆 es la misma que la suma de cuadrados

residuales 𝑆𝑆𝑅 dada en la ecuación anterior. El estadístico 𝐹 =𝑀𝑆𝑇

𝑀𝑆𝑇𝑆,

donde:

𝑀𝑆𝑇𝑆 =𝑆𝑆𝑇𝑆

𝑡 − 1 (𝑛 − 1)

Prueba la hipótesis nula de que las medias en cada punto en el

tiempo 𝑡 son iguales. (Davis, 2002)

2.1.6. Análisis de varianza para Medidas Repetidas – Múltiples

muestras

Supóngase que las medidas repetidas en los puntos de tiempo 𝑡

son obtenidas de 𝑠 grupos de sujetos. Sea 𝑛ℎ el número de sujetos

en un grupo ℎ, y sea 𝑛 = 𝑛ℎ𝑠ℎ=1 . Sea 𝑦ℎ𝑖𝑗 , denota la respuesta en el

periodo 𝑗 del 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 sujeto en el grupo ℎ para ℎ = 1, … , 𝑠, 𝑖 =

1, … , 𝑛ℎ y 𝑗 = 1, … , 𝑡. En la siguiente tabla muestra la disposición

general de datos para esta configuración:


19

Cuadro N° 4: Distribución de los datos para un diseño de medidas

repetidas con múltiples muestras.

Existen por lo menos tres modelos para esta situación, todos

tienen como resultado el mismo ANOVA. Uno de estos modelos esta

dado por:

𝑦ℎ𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝛾ℎ + 𝜏𝑗 + (𝛾𝜏)ℎ𝑗 + 𝜋𝑖(ℎ) + 𝑒ℎ𝑖𝑗

Donde, 𝜇 es la media general, 𝛾ℎ es el efecto fijo del grupo ℎ,

con 𝛾ℎ𝑠ℎ=1 = 0. Además, 𝜏𝑗 es el efecto fijo del periodo 𝑗, con

𝜏𝑗𝑡𝑗=1 = 0 y (𝛾𝜏)ℎ𝑗 es el efecto fijo de la interacción del ℎ − é𝑠𝑖𝑚𝑜

grupo con el 𝑗 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 periodo. Las restricciones sobre los

parámetros de interacción son:


20

γτ hj

s

h=1

= γτ hj

t

j=1

= 0

Los parámetros 𝜋𝑖(ℎ) son los efectos aleatorios para el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜

sujeto en el ℎ − é𝑠𝑖𝑚𝑜 grupo. El 𝜋𝑖(ℎ) es asumido como una

distribución normal e independiente con media cero y varianza 𝜍𝜋2.

Por último, los parámetros 𝑒ℎ𝑖𝑗 son términos de error aleatorio

independientes, con 𝑒ℎ𝑖𝑗 ~𝑁(0, 𝜍𝑒2). (Davis, 2002)

En la siguiente tabla se muestra las sumas de cuadrados, grados

de libertad, y cuadrados medios esperados para cada fuente de

variación. En la columna de cuadrados medios esperados, las

cantidades llamadas 𝐷𝐺, 𝐷𝑇 y 𝐷𝐺𝑇 representan las diferencias entre los

grupos, diferencias entre los periodos de tiempo, y la interacción de

grupos por tiempo, respectivamente.

Cuadro N°5: Análisis de Varianza para mediciones repetidas para

múltiples muestras.

Fuente de

Variación

Suma de

cuadrados

Grados de

Libertad

Cuadrados medios

esperados

Grupos SSG s-1 𝜍𝑒2 + 𝑡𝜍𝜋

2 + 𝐷𝐺

Sujetos(Grupos) SSS(G) n-s 𝜍𝑒2 + 𝑡𝜍𝜋

2

Tiempo SST t-1 𝜍𝑒2 + 𝐷𝑇

Grupo x Tiempo SSGT (s-1)(t-1) 𝜍𝑒2 + 𝐷𝐺𝑇

Residuo SSR (n-s)(t-1) 𝜍𝑒2

La suma de cuadrados de la tabla anterior está basada en la

siguiente descomposición de desviaciones yhij − y … para cada

observación sobre la media general:

𝑦ℎ𝑖𝑗 − y … = y ℎ .. − y … + y ℎ𝑖. − y ℎ .. + y ..𝑗 − y …

+ y ℎ .𝑗 − y ℎ .. − y ..𝑗 + y … + y ℎ𝑖𝑗 − y ℎ .𝑗 − y ℎ𝑖. + y ℎ ..


21

Donde:

𝑦 … = 𝑦ℎ𝑖𝑗

𝑡𝑗=1

𝑛ℎ𝑖=1

𝑠ℎ=1

𝑛𝑡

Es la media general,

𝑦 … = 𝑦ℎ𝑖𝑗

𝑡𝑗=1

𝑛ℎ𝑖=1

𝑛ℎ𝑡

Es la media para el grupo ℎ,

𝑦 ..𝑗 = 𝑦ℎ𝑖𝑗

𝑛ℎ𝑖=1

𝑠ℎ=1

𝑛

Es la meda para periodo 𝑗,

𝑦 ℎ .𝑗 = 𝑦ℎ𝑖𝑗

𝑛ℎ𝑖=1

𝑛ℎ

Es la media para el grupo ℎ en el periodo 𝑗, y

𝑦 ℎ𝑖. = 𝑦ℎ𝑖𝑗

𝑡𝑗=1

𝑡

Es la media para el 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 sujeto en el grupo ℎ.

La suma de cuadrados está definida como sigue:

𝑆𝑆𝐺 = (𝑦 ℎ .. − 𝑦 …)2

𝑡

𝑗=1

𝑛ℎ

𝑖=1

𝑠

ℎ=1

= 𝑡 𝑛ℎ(𝑦 ℎ .. − 𝑦 ..)2

𝑠

ℎ=1

𝑆𝑆𝑆 𝐺 = 𝑦 ℎ𝑖. − 𝑦 ℎ .. 2

𝑡

𝑗 =1

𝑛ℎ

𝑖=1

𝑠

ℎ=1

= 𝑡 𝑦 ℎ𝑖. − 𝑦 ℎ .. 2

𝑛ℎ

𝑖=1

𝑠

ℎ=1

𝑆𝑆𝑇 = (𝑦 ..𝑗 − 𝑦 …)2

𝑡

𝑗 =1

𝑛ℎ

𝑖=1

𝑠

ℎ=1

= 𝑛 𝑦 ..𝑗 − 𝑦 ... 2

𝑡

𝑗 =1

𝑆𝑆𝐺𝑇 = (𝑦 ℎ .𝑗 − 𝑦 ℎ .. − 𝑦 ..𝑗 + 𝑦 …)2

𝑡

𝑗 =1

𝑛ℎ

𝑖=1

𝑠

ℎ=1

𝑆𝑆𝑅 = (𝑦ℎ𝑖𝑗 − 𝑦 ℎ .𝑗 − 𝑦 ℎ𝑖. + 𝑦 ℎ)2

𝑡

𝑗 =1

𝑛ℎ

𝑖=1

𝑠

ℎ=1


22

Tenga en cuenta que 𝑆𝑆𝐺, 𝑆𝑆𝑇, y 𝑆𝑆𝐺𝑇 son iguales a las sumas

de cuadrados de un modelo de ANOVA de dos factores (suponiendo

que todas las observaciones 𝑛𝑡 son independientes) con efectos

para el grupo, el tiempo y la interacción de grupo × tiempo. La suma

de cuadrados residuales 𝑆𝑆𝑅 se debe al efecto del sujeto anidado

dentro de la clasificación cruzada de tiempo × grupo. (Davis, 2002)

El estadístico F para probar las diferencias entre los grupos está

dada por:

𝐹 =𝑀𝑆𝐺

𝑀𝑆𝑆(𝐺)

=𝑆𝑆𝐺/(𝑠 − 1)

𝑆𝑆𝑆 𝐺 /(𝑛 − 𝑠)

Con 𝑠 − 1 y 𝑛 − 𝑠 grados de libertad. Esta prueba requiere el

supuesto de igual matriz de covarianzas dentro de los grupos. En

general, este supuesto es necesario para todas las pruebas de los

efectos inter-sujetos.

El estadístico F para comprobar las diferencias entre los periodos

viene dada por:

𝐹 =𝑀𝑆𝑇

𝑀𝑆𝑅

=𝑆𝑆𝑇/(𝑡 − 1)

𝑆𝑆𝑅/ 𝑛 − 𝑠 (𝑡 − 1)

Con 𝑡 − 1 y 𝑛 − 𝑠 (𝑡 − 1) grados de libertad. Del mismo modo,

el estadístico F para probar la significancia de la interacción de grupo

× tiempo viene dada por:

𝐹 =𝑀𝑆𝐺𝑇

𝑀𝑆𝑅

=𝑆𝑆𝐺𝑇/ (𝑠 − 1)(𝑡 − 1)

𝑆𝑆𝑅/ 𝑛 − 𝑠 (𝑡 − 1)

Con (𝑠 − 1)(𝑡 − 1) y 𝑛 − 𝑠 (𝑡 − 1) grados de libertad. Ambas

pruebas requieren la suposición de que las matrices de covarianza

dentro de los grupos sean iguales y que la condición de esfericidad

se cumpla. En general, estos supuestos son necesarios para todas

las pruebas de los efectos dentro de sujetos.


23

Una alternativa de modelo ANOVA de medidas repetidas para

esta configuración incluye un efecto adicional al azar para la

interacción de tiempo × sujeto. Este efecto es usualmente asumido

como no correlacionado con el efecto aleatorio de los sujetos. A

pesar de que los cuadrados medios esperados para este modelo son

diferentes de los que se muestran en la anterior, las sumas de

cuadrados y estadísticos de prueba son idénticos. (Davis, 2002)

CAPÍTULO III

MATERIAL Y MÉTODOS


24

CAPÍTULO III

MATERIAL Y MÉTODOS

3.1. MATERIAL

3.1.1 Fuente de información

La información a ser procesada y analizada fue obtenida de la

consultoría realizada a un bachiller de la Universidad Privada

Antenor Orrego para optar el grado de Ingeniero Agrónomo, con el

informe de tesis titulado “Influencia de tres niveles de nitrógeno en el

crecimiento y producción de dos híbridos de espinaca (Spinacea

oleracea L. Var. Dash y Megathon)”. Este informe ya fue presentado

en la escuela de agronomía de la UPAO.

3.1.2 Población muestral

La muestra está comprendida por 32 parcelas debido a las

posibilidades brindadas por la institución en donde se realizó, las

cuales se encuentran distribuidas como se muestra a continuación:

Área total: 323 m

2


25

3.1.3 Unidad de análisis

La unidad de análisis está dada por los datos obtenidos de cada

parcela utilizada en el experimento, los cuales son los promedios

obtenidos de una muestra aleatoria de 6 plantas dentro de cada

parcela.

3.1.4 Variables en estudio

Variables Independientes

Las variables independientes están dadas por el efecto de la

Variedad de Espinaca que se utiliza en el experimento y por los

efectos de los Niveles de Nitrógeno aplicados en los cultivos.

Variables Dependientes

En cuanto a las variables dependientes, se tiene a la Altura de

Planta promedio y el número de Hojas promedio en Plantas de

Espinaca.

3.2. METODOS

3.2.1. Gráficos de Perfiles

Los gráficos representan un elemento básico en la presentación,

análisis e interpretación de datos estadísticos. La importancia

fundamental reside en que en esta forma de representación de la

información nos da una apreciación anticipada de la información en

estudio, que en algunas ocasiones puede difícilmente representada

por cuadros.


26

Para poder cumplir con este propósito los gráficos realizados son

realizados para cada factor individual y para la interacción en el

tiempo, de manera que estos sean auto-explicativos y sencillos.

3.2.2. Análisis Estadístico

Paso 1. Transformación de los datos de Número de Hojas.

La razón principal de la transformación de datos es que de

llevarse a cabo un análisis estadístico con resultados que no

cumplan con los supuestos acerca del modelo estadístico, se puede

llegar a una conclusión equivocada.

Un cambio de escala puede variar la media y la variancia de la

variable así como su relación con respecto a otras variables.

Mediante una transformación adecuada puede conseguirse que

un variable que no se distribuye normalmente pase a tener una

distribución casi normal. Las poblaciones con variancias desiguales

pueden convertirse en homocedásticas (variancias homogéneas)

mediante una transformación apropiada.

Según Ching Chun Li, la Transformación de la raíz cuadrada, es

utilizada para datos que están dados por números enteros

procedentes del conteo de objetos, como en nuestro caso, el número

de hojas en plantas de espinaca, los números observados tienden a

presentar una distribución de Poisson más que una distribución

Normal. Las consideraciones teóricas conducen a la transformación

de la raíz cuadrada de los números observados. Normalmente esta

transformación determina que las varianzas de los grupos sean más

iguales.

Cuando los números observados son pequeños (de 2 a 10), se

prefiere la transformación (𝑦 + 0.5)1/2, en especial cuando algunos

de los números observados son cero.


27

Paso 2. Pruebas para los supuestos básicos del análisis de

varianza

Para la Normalidad, se utilizó la prueba de Kolmogórov-Smirnov

(también prueba K-S) que es una prueba no paramétrica que se

utiliza para determinar la bondad de ajuste de dos distribuciones de

probabilidad entre sí.

Luego se probó la esfericidad de Mauchly, la cual se refiere a la

igualdad de las varianzas de las diferencias entre los niveles del

factor de medidas repetidas. La esfericidad es una suposición de un

ANOVA con un factor de medidas repetidas (RMF). Por lo tanto, los

resultados de ANOVA violando este supuesto no son confiables.

Cuando el supuesto de esfericidad de Mauchly es violado la

validez de diversas pruebas estadísticas utilizadas en el análisis de

la varianza son afectadas. En este caso, las correcciones para la

violación de este supuesto son el ajuste de los grados de libertad

según Greenhouse-Geisser, Huynh-Feldt y la correción de Lower-

bound.

Paso 3. Construcción del Análisis de Varianza para las

mediciones repetidas

Esta es una extensión lógica para la división de parcelas o

diseño mixto en un estudio de tres factores con medidas repetidas en

un factor. El grupo de factores pueden ser variables experimentales

o individuales.

También en este caso, la desviación total de las puntuaciones de

la media general se divide en 2 componentes: inter-sujetos e intra-

sujetos. El componente de inter-sujetos de nuevo representa la

diferencia entre el promedio de una parcela y la media general. Esta

diferencia se debe a la pertenencia a uno de los dos grupos (factor


28

Variedad y Nivel de Nitrógeno), al efecto de la interacción entre ellos

(Variedad × Nivel de Nitrógeno), y la variabilidad de la parcela dentro

del grupo. Del mismo modo, el componente intra-sujetos representa

la diferencia entre la puntuación de una parcela y la media. Estas

diferencias se deben al nivel del factor de medidas repetidas

(Tiempo), y la interacción entre este factor y, los factores Variedad,

Nivel de Nitrógeno y la interacción de estos. De esta forma el modelo

resulta:

𝑌𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝜇 + 𝛽𝑘 + 𝛾𝑙 + 𝛽𝛾𝑘𝑙 + 𝜋𝑖(𝑘𝑙) + 𝛼𝑗 + 𝛼𝛽𝑗𝑘 + 𝛼𝛾𝑗𝑙 + 𝛼𝛽𝛾𝑗𝑘𝑙 + 𝛼𝜋𝑗𝑖 (𝑘𝑙) + 𝜀𝑖𝑗𝑘𝑙

Donde:

𝜇 es la media general

𝛽𝑘 es el efecto fijo del primer factor (Variedad de planta)

𝛾𝑙 es el efecto fijo del segundo factor (Nivel de Nitrógeno)

𝛽𝛾𝑘𝑙 es efecto de la interacción del primer y segundo factor

𝜋𝑖(𝑘𝑙) es el efecto de parcela anidado dentro del primer y segundo

factor

𝛼𝑗 es el efecto del factor de medidas repetidas (Tiempo)

𝛼𝛽𝑗𝑘 es el efecto de la interacción del factor de medidas con el

primer factor.

𝛼𝛾𝑗𝑙 es el efecto de la interacción del factor de medidas con el

segundo factor.

𝛼𝛽𝛾𝑗𝑘𝑙 es el efecto de la interacción del factor de medidas con el

primer y segundo factor.

𝛼𝜋𝑗𝑖 (𝑘𝑙) es efecto del factor de medidas repetidas sobre una única

parcela.

𝜀𝑖𝑗𝑘𝑙 es el error aleatorio para cada medición de cada parcela

Y los grados de libertad se distribuyen de la siguiente forma:


29

Cuadro N°6: Distribución de los grados de libertad para un

diseño de mediciones repetidas en un experimento con 3 factores

Fuente de Variación Grados de Libertad

Factor A a-1

Factor B b-1

A*B (a-1)(b-1)

Error inter-sujetos ab(n-1)

Factor C t-1

A*C (a-1)(t-1)

B*C (b-1)(t-1)

A*B*C (a-1)(b-1)(t-1)

Error intra-sujetos ab(t-1)(n-1)

Total abtn-1

CAPÍTULO IV

RESULTADOS Y DISCUSIÓN


30

CAPÍTULO IV

RESULTADOS

PRESENTACIÓN DE DATOS

A continuación se muestran los datos recogidos de altura y número de hojas

en plantas de espinaca, en las 3 ocasiones en el tiempo, a los 15, 30 y 45 días

después de la siembra.

Cuadro N°7: Variedades de planta (Híbridos) y Niveles de Nitrógeno sobre la Altura

de plantas de Espinaca

Factor 1 Factor 2

15 30 45

9.67 27.00 44.67

9.17 24.67 38.33

9.33 25.50 39.83

10.58 29.33 42.00

9.08 25.33 41.50

9.25 28.33 46.00

10.50 29.00 40.67

9.83 26.50 39.17

8.75 27.00 43.33

10.33 26.50 41.67

9.17 24.67 36.83

10.42 30.00 44.67

8.92 27.17 42.67

9.42 24.33 37.67

9.25 25.17 39.33

11.00 31.00 44.17

9.30 25.83 44.00

10.00 25.17 42.33

9.33 27.17 42.67

9.92 29.83 46.17

8.92 27.83 48.00

9.50 26.00 42.67

9.58 28.00 43.50

10.83 32.17 50.33

9.50 25.17 47.00

9.42 27.67 43.17

9.00 25.83 40.17

10.83 33.67 47.33

9.00 31.67 47.50

9.17 26.00 44.50

10.08 24.17 40.83

10.58 30.00 43.83Fuente: Investigador agrónomo.

Hibrido

Dash

Megaton

N100

N150

N50

Control

N100

N150

Altura de Planta promedio (cm)

N50

Control

Tiempos (Dias despues de la siembra)Nivel de

Nitrógeno


31

En el cuadro siguiente se presenta la variable Número de hojas, la cual no

cumple con una distribución normal, es por ello que en el Cuadro N°3 se muestra

la transformación de la raíz cuadrada para aproximación de datos a una

distribución normal.

Cuadro N°8: Variedades de planta (Híbridos) y Niveles de Nitrógeno sobre el

Número de hojas de 6 plantas de Espinaca

Factor 1 Factor 2

15 30 45

33 91 200

35 85 161

34 83 176

42 94 182

31 83 172

33 88 228

43 104 176

36 100 178

34 90 193

38 94 178

29 88 168

43 95 203

29 82 185

29 87 157

37 83 171

45 111 209

31 81 175

35 84 200

35 85 202

40 108 211

31 93 193

33 84 186

35 96 196

46 116 235

29 82 228

33 91 179

32 90 200

49 113 217

32 118 224

33 86 196

37 73 197

44 100 201Fuente: Investigador agrónomo.

Megaton

Control

N50

N150

N100

Número de hojas

HibridoNivel de

Nitrógeno

Tiempos (Dias despues de la siembra)

Dash

Control

N50

N150

N100


32

Cuadro N°9: Variedades de planta (Híbridos) y Niveles de Nitrógeno sobre la raíz

cuadrada del número de hojas de 6 plantas de Espinaca

Factor 1 Factor 2

15 30 45

5.74 9.54 14.14

5.92 9.22 12.69

5.83 9.11 13.27

6.48 9.70 13.49

5.57 9.11 13.11

5.74 9.38 15.10

6.56 10.20 13.27

6.00 10.00 13.34

5.83 9.49 13.89

6.16 9.70 13.34

5.39 9.38 12.96

6.56 9.75 14.25

5.39 9.06 13.60

5.39 9.33 12.53

6.08 9.11 13.08

6.71 10.54 14.46

5.57 9.00 13.23

5.92 9.17 14.14

5.92 9.22 14.21

6.32 10.39 14.53

5.57 9.64 13.89

5.74 9.17 13.64

5.92 9.80 14.00

6.78 10.77 15.33

5.39 9.06 15.10

5.74 9.54 13.38

5.66 9.49 14.14

7.00 10.63 14.73

5.66 10.86 14.97

5.74 9.27 14.00

6.08 8.54 14.04

6.63 10.00 14.18Fuente: Investigador agrónomo.

Megaton

Control

N50

N150

N100

Raiz cuadrada del número de hojas

HibridoNivel de

Nitrógeno

Tiempos (Dias despues de la siembra)

Dash

Control

N50

N150

N100


33

A continuación se presenta los gráficos de perfiles para al altura y el número

de hojas en plantas de espinaca bajo la aplicación de los niveles de nitrógeno

según la variedad de planta, a los 15, 30 y 45 días después de la siembra.

GRÁFICOS DE PERFILES PARA ALTURA DE PLANTA

9.69

9.67 9.67

9.659.64

9.71

9.699.71

9.60

9.62

9.64

9.66

9.68

9.70

9.72

Control N50 N100 N150

Alt

ura

de

Pla

nta

(cm

)

Gráfico N° 1: Altura Promedio por nivel de Nitrógeno según Variedad de Espinaca a los 15 dias despues de la siembra

Dash

Megaton

26.63

27.29

27.04

26.92

27.00

28.5028.08

27.96

25.50

26.00

26.50

27.00

27.50

28.00

28.50

29.00


Alt

ura

de

Pla

nta

(cm

)


Dash

Megaton


34

GRÁFICOS DE PERFILES PARA NÚMERO DE HOJAS

41.2141.83

41.63

40.96

43.79

46.13

44.42

44.17

38.00

39.00

40.00

41.00

42.00

43.00

44.00

45.00

46.00

47.00


Alt

ura

de

Pla

nta

(cm

)


Dash

Megaton

6.00

5.96

6.00

5.83

5.88

6.04

5.96

6.08

5.70

5.75

5.80

5.85

5.90

5.95

6.00

6.05

6.10

6.15


Nu

me

ro d

e H

oja

s

Gráfico N° 4: Número de hojas promedio por nivel de Nitrógeno según Variedad de Espinaca a los 15 dias despues de la siembra

Dash

Megaton


35

14.7115.63

15.29

15.13

14.92

16.21

15.67

15.71

13.50

14.00

14.50

15.00

15.50

16.00

16.50


Nú

me

ro d

e h

oja

s


Dash

Megaton

29.96 31.42

30.92

30.08

32.83

33.75

34.33

34.08

27.00

28.00

29.00

30.00

31.00

32.00

33.00

34.00

35.00


Nu

me

ro d

e H

oja

s


Dash

Megaton


36

A continuación se muestran las pruebas de normalidad para los supuestos

básicos necesarios para el análisis de varianza de mediciones repetidas de los

datos de Altura y Número de hojas en plantas de espinaca, a los 15, 30 y 45 días

después de la siembra.

SUPUESTOS BÁSICOS PARA LA ALTURA DE PLANTA

Cuadro N°10: Prueba de Normalidad de Kolmogorov-Smirnov para Altura de

Planta en cada período de tiempo

Cuadro N°11: Prueba Esfericidad, W de Mauchly para Altura de Planta.

Cuadro N°12: Prueba de Box sobre igualdad de varianzas

D15_AP D30_AP D45_AP

32 32 32.00

Media 9.68 27.43 43.02

Desviación

típica0.65 2.47 3.18

0.96 0.77 0.47

0.32 0.60 0.98

Z de Kolmogorov-Smirnov

Sig. asintót. (bilateral)

N

Parámetros

normales(a,b)

Tiempo 0.89 2.751 2 0.25

Efecto intra-

sujetos

W de

Mauchly

Chi-

cuadrado

aprox.

gl Significación

M de Box 91.74

F 1.20

gl1 42.00

gl2 952.63

Significación 0.18


37

SUPUESTOS BÁSICOS PARA EL NÚMERO DE HOJAS EN PLANTAS

Cuadro N°13: Prueba de Kolmogorov-Smirnov para Altura de Planta en cada

período de tiempo

Cuadro N°14: Prueba W de Mauchly para Número de hojas en plantas

Cuadro N°15: Prueba de Box sobre igualdad de varianzas

D15_NH D30_NH D45_NH

32 32 32.00

Media 5.97 9.60 13.88

Desviación

típica0.45 0.57 0.72

0.95 0.76 0.56

0.33 0.60 0.91

N

Parámetros

normales(a,b)

Z de Kolmogorov-Smirnov

Sig. asintót. (bilateral)

Tiempo 0.84 4.03 2.00 0.13

Chi-cuadrado

aprox.gl Significación

Efecto intra-

sujetos

W de

Mauchly

M de Box 93.31

F 1.22

gl1 42.00

gl2 952.63

Significación 0.16


38

ANÁLISIS DE VARIANZA PARA MEDICIONES REPETIDAS DE ALTURA DE

PLANTA

Cuadro N°16: Análisis de Varianza para mediciones repetidas de altura de planta

bajo la aplicación de 3 niveles de nitrógeno y un control en dos variedades de

espinaca.

ANÁLISIS DE VARIANZA PARA MEDICIONES REPETIDAS DE NÚMERO DE

HOJAS.

Cuadro N°17: Análisis de Varianza para mediciones repetidas de altura de planta

bajo la aplicación de 3 niveles de nitrógeno y un control en dos variedades de

espinaca.

Fuente de Variación GL SC CM F

Entre Parcelas 31 312.9

Variedad 1 46.2 46.2 4.35 0.048 *

Nitrógeno 3 9.5 3.2 0.30 0.826 No Sig.

Variedad*Nitrógeno 3 2.3 0.8 0.07 0.974 No Sig.

Error entre parcelas 24 254.8 10.6

Dentro Parcelas 64 18009.2

Tiempo 2 17805.8 8902.9 2820.94 0.000 **

Variedad*Tiempo 2 43.4 21.7 6.88 0.002 **

Nitrógeno*Tiempo 6 6.6 1.1 0.35 0.907 No Sig.

Variedad*Nitrógeno*Tiempo 6 1.9 0.3 0.10 0.996 No Sig.

Error dentro de parcelas 48 151.5 3.2

Total 95 18322.1

Sig.

Fuente de Variación GL SC CM FEntre Parcelas 31 20.09

Variedad 1 1.82 1.824 2.5 0.128 No Sig.

Nitrógeno 3 0.56 0.185 0.3 0.859 No Sig.

Variedad*Nitrógeno 3 0.12 0.040 0.1 0.983 No Sig.

Error entre parcelas 24 17.59 0.733

Dentro de Parcelas 64 1014.79

Tiempo 2 1002.69 501.346 2488.9 0.000 **

Variedad*Tiempo 2 2.07 1.033 5.1 0.010 **

Nitrógeno*Tiempo 6 0.27 0.046 0.2 0.966 No Sig.

Variedad*Nitrógeno*Tiempo 6 0.09 0.016 0.1 0.998 No Sig.

Error dentro de parcela 48 9.67 0.201

Total 95 1034.88

Sig.


39

DISCUSIÓN

De acuerdo a los gráficos de perfiles mostrados en el capitulo anterior

podemos mencionar que:

Del gráfico N°1, se observa el efecto de los niveles de nitrógeno en las alturas

promedios de las 2 variedades de planta a los 15 días después de la siembra,

podemos observar que la variedad Dash disminuye con la aplicación creciente del

nivel de nitrógeno, por el contrario, la variedad de espinaca Megaton alcanza sus

máximas altura cuando se utiliza un nivel de nitrógeno 50 o de 150.

Sin embargo, debemos recalcar que la variedad Megaton se encuentra por

encima de la Dash cuando a éstas se le han aplicado los niveles de nitrógeno por

igual. Es decir, parece existir diferencia entre las alturas de planta para cada

variedad.

El gráfico N°2, se muestra las alturas promedios a los 30 días después de la

siembra, y podemos ver claramente como la variedad Megaton ya se superpuso a

la variedad Dash, y ambas alcanzan la mayor altura cuando se le aplica el nivel 50

de nitrógeno, decayendo en los siguiente niveles crecientes de nitrógeno.

En el gráfico N° 3, observamos nuevamente que la variedad de planta

Megaton se encuentra por encima de la variedad Dash. En la variedad Megaton

parece alcanzar su mayor altura siempre al nivel 50 de nitrógeno, por el contrario

en la variedad Dash todos los niveles de nitrógeno parecen tener el mismo

resultado.

El grafico N°4, muestra el efecto de los niveles de nitrógeno en el número de

hojas en planta de las 2 variedades de espinaca a los 15 días después de la

siembra. En donde podemos observar a simple vista que las variedades tienen

efectos inversos con respecto a los niveles de nitrógeno.

Sin embargo, los mayores número de hojas promedio son alcanzados por la

variedad Megaton a los niveles de nitrógeno 50 y 150.


40

En el grafico N°5, se puede ver el número de hojas promedio para los 30 días

después de la siembra, en donde observamos que la variedad Megaton responde

mejor ante los efectos de los niveles de nitrógeno, en el tiempo, pues esta se

encuentra nuevamente por encima de la variedad Dash.

Además, se alcanza el mayor número de hojas en la aplicación del nivel 50 de

nitrógeno, en ambas variedades.

En el gráfico N°6, se observa que la variedad Megaton presenta una diferencia

significativa con respecto a la variedad Dash, pues la diferencia del número de

hojas promedio en todos los niveles de nitrógeno son aproximadamente de 3 o 4

hojas.

Con respecto a las pruebas para los supuestos básicos podemos

mencionar que:

Según el cuadro N° 10, podemos algunos estadísticos descriptivos como la

medias y las desviaciones estándar para los datos de altura de planta en cada

ocasión muestreada. Tenemos un promedio de 9.67 cm de altura en planta de

espinaca a los 15 días después de la siembra, una media de 27.43 cm a los 30

días y 43.02 cm a los 45 días, según estos promedios se puede observar que los

tamaños de planta son crecientes.

Además se muestra el estadístico Z de Kolmogorov-Smirnov que nos dice que

las observaciones tomadas de la altura de planta a los 15, 30 y 45 días después de

la siembra, pertenecen a una distribución normal, pues el valor 𝑝 de la prueba es

mayor que 0.05 en todos los periodos.

En el cuadro N° 11, se presenta el estadístico W de Mauchly, en donde se

observa que la hipótesis nula de que las diferencias de observaciones en el tiempo

se encuentran igualmente correlacionadas es aceptada con un valor 𝑝 mayor a

0.05.

En el cuadro N° 12, apreciamos la prueba de Box, la cual prueba la existencia

de igualdad de matrices de covarianza en todos los grupos. En nuestro caso la


41

hipótesis nula, de que las matrices de varianzas y covarianzas en todos los grupos

son homogéneas, es aceptada con un 𝑝 mayor a 0.05.

Con respecto a los datos de número de hojas en plantas de espinaca, estos

fueron transformados con el método de la raíz cuadrada, por ello se uso la raíz

cuadrada del total de número de hojas para realizar el análisis correspondiente a

esta investigación. En el Cuadro N° 13 se muestra que la prueba de normalidad de

Kolmogorov-Smirnov es aceptada, es decir que la transformación realizada eliminó

nuestro problema de no normalidad en los datos ya mencionados.

Luego, el cuadro N° 14 muestra la prueba W de Mauchly, en donde se observa

que la hipótesis nula de que las diferencias de observaciones en el tiempo se

encuentran igualmente correlacionadas se acepta con un 𝑝 mayor a 0.05.

En relación a los Análisis de Varianzas para las mediciones repetidas de

altura de planta y número de hojas en plantas de espinaca se puede

mencionar que:

En el cuadro N° 16 se muestra el análisis de varianza para las mediciones

repetidas de altura de planta en donde se observa que la Variedad de Planta es un

factor que tiene un efecto estadísticamente significativo en la altura de planta, y por

consiguiente es muestra también un efecto a lo largo del tiempo, por el contrario el

nivel de nitrógeno no presenta efectos significativos en la altura de planta ni las

interacciones de este con el tiempo, sin embargo, en los gráficos de perfiles

mostrados anteriormente, la dosis de nitrógeno de nivel 50 es la que presenta una

mejor respuesta con respecto a la altura de planta. Igualmente, en Colombia,

Hoyos et al encontró que el nitrato de amonio a nivel 50% obtuvo los mejores

valores en las plantas de espinaca.

Con respecto al tiempo, este es significativo debido a que las plantas de

espinaca presentan un crecimiento en cada etapa muestreada, desde que se

siembra. Sin embargo Hoyos et al en obtiene que la tasa relativa de crecimiento es

decreciente.


42

Por otro lado, en Trujillo, Tejada, luego de la aplicación de análisis de

varianzas bifactoriales para cada ocasión, obtuvo que el factor dosis de nitrógeno

no presentó un efecto significativo en las etapas muestreadas.

En el cuadro N° 17, se presenta el análisis de varianza para las mediciones

repetidas del número de hojas, en donde se observa que la variedad en el tiempo

es un factor que influye significativamente en el número de hojas en plantas de

espinaca. Por el contrario, los niveles de nitrógeno no presentan ninguna influencia

en el número de hojas. Sin embargo, Hoyos et al pudo observar que el mayor

índice de área foliara los 45 días después del trasplante se presenta en las plantas

con mayores dosis de nitrato de amonio.

CAPÍTULO VI

CONCLUSIONES Y

RECOMENDACIONES


43

CAPÍTULO VI

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1. CONCLUSIONES

Luego de finalizar el proceso de investigación acerca de las mediciones

repetidas de altura de planta y número de hojas en plantas de espinaca se

pudo concluir que:

- El análisis de medidas repetidas es un procedimiento adecuado para

evaluar el efecto de variedad de planta y nivel de nitrógeno en altura y

número de hojas en plantas de espinaca.

- El factor Variedad de planta por si solo presenta un efecto

estadísticamente significativo en la altura de planta, siendo mayor en la

interacción con el tiempo. Tal es así que se puede ver claramente la

diferencia entre estas, en los gráficos de perfiles N° 1, 2 y 3, en donde

la variedad Megaton es la que sobresale con las mayores alturas en


- Con respecto al número de hojas en plantas de espinaca, la variedad

de planta en interacción con el tiempo presenta una diferencia muy

marcada obteniendo mayores números de hojas cuando se trata de la

variedad Megaton.

- El nivel de nitrógeno no presenta efectos sobre la altura de planta y

tampoco sobre el número de hojas en plantas. Sin embargo se puede

observar en los gráficos de perfiles que mayores alturas y mayores

números de hojas en plantas de espinaca se obtienen cuando se usa

una dosis de nitrógeno de 50.

- La Interacción de la variedad con los niveles de nitrógeno no

presentaron diferencias significativas en las alturas y número de hojas

en plantas de espinaca.


44

- La variedad de espinaca Megaton, es una especie que brinda buenos

resultados en el tamaño de planta y área foliar o número de hojas, por

tanto es una buena opción en el mercado internacional.

5.2. RECOMENDACIONES

- Evaluar los experimentos con mediciones repetidas, con los métodos

apropiados para dichas mediciones, sin dejar de probar los supuestos

básicos para dicho análisis, pues de lo contrario, existen otros métodos

importantes para el análisis de los mismos, como ajustes de la prueba F

en caso del no cumplimiento de esfericidad, y uso de modelos de

regresión en otros casos.

- Implementar y concientizar a las personas para el mejor

aprovechamiento de nuestros productos hortícolas, en este caso, del

híbrido Megaton, el cual parece producir buenos resultados, tanto para

la altura de planta como el número de hojas en plantas de ésta

variedad.

- Observar el comportamiento del Híbrido Megaton bajo el efecto de otros

factores influyentes en rendimiento de esta especie, con la intención de

generalizar estos tratamientos para cultivos hortícolas más amplios.

- Capacitación básica para el análisis de este tipo de información,

mediante software estadístico, como SPSS v.15 y otros.


45

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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diseños de medidas repetidas. Psicothema Vol. 16, nº 3, pp. 509-518.

2. Chahua, Liz y Siura, Saray. 2006. Evaluación de cinco cultivares de

espinaca (Spinacia Oleracea L.)bajo cultivo orgánico. XIV Congreso

Peruano De Horticultura. Arequipa Perú.

3. Charles S. Davis. 2002. Statistical Methods for the Analysis of Repeated

Measurements. Editorial Springer Verlagnn New York, Inc. USA – New

York.

4. Correa Londoño Guillermo. 2004. Análisis de Medidas Repetidas. Facultad

de Ciencias Agropecuarias. Universidad Nacional de Colombia - Sede

Medellín.

5. Fernández, Paula y Vallejo, Guillermo. 1996. Diseño de medidas repetidas

con dependencia serial en el error bajo la violación de la asunción de

homogeneidad.

6. García Alanís, Laura Cristina. 1997. Estudio fenológico y de crecimiento de

once especies leñosas del matorral espinoso Tamaulipeco en Linares,

Nuevo León, México. Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de

Ciencias Forestales.

7. Giraldo H. Ramón y Hernando Campos Nestor. 1997. Aplicación del análisis

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Rev. Acad. Colomb. Cienc. ISSN: 0370-3908.

8. Hoyos C. Verónica, Rodríguez Marcela, Cárdenas Hernández Julián

Fernando y Balaguera López Helber Enrique. 2009. Análisis del

crecimiento de espinaca (Spinacia oleracea L.) bajo el efecto de diferentes

fuentes y dosis de nitrógeno. Revista Colombiana De Ciencias Hortícolas -

Vol. 3 - No.2 - pp. 175-187.

9. J. Blanca María. 1998. Diseño Unifactorial de Medidas Repetidas. Ejercicio

Práctico. Universidad de Málaga. España.

10. Kuehl Robert O. 2001. Diseño de experimentos: Principios estadísticos de

diseño y análisis de investigación. Segunda edición. International Thomson

Editores. México.


46

11. Ruiz Ochoa Mauricio, Meléndez Rafael, Castellanos Martha y Polanía

Jaime. 2006. Aplicación de medidas repetidas a cuatro propiedades

edáficas en los manglares del brazo Calancala, Río Ranchería. Rev. Acad.

Colomb. Cienc. 2006.

12. Tejada Vera. 2010. Influencia de dosis creciente de nitrógeno y dos

densidades de siembra en el crecimiento y producción de espinaca.

Universidad Privada Antenor Orrego. Trujillo – Perú.

13. Vásquez Navarrete, Alberto José. 2006. Evaluación agronómica de once

cultivares de Spinacia oleracea L. para cultivo industrial en la zona de

Valdivia. Universidad Austral De Chile.

ANEXOS


viii

ANEXO N° 1

Prueba de esfericidad de Mauchly

La condición Huynh-Feldt para la matriz de varianzas y covarianzas de las p

mediciones repetidas de los sujetos necesita (𝑝 − 1) contrastes ortogonales

normalizados para que las mediciones repetidas no se correlacionen y tengan

varianzas iguales.

Sean la matriz de covarianzas de las mediciones repetidas y 𝐶 una matriz de

𝑝 − 1 ∗ 𝑝, donde los renglones son contrastes ortogonales normalizados de las p

mediciones repetidas. La condición Huynh-Feldt necesaria para la covarianza de los

contrastes es 𝐶 𝐶′ = ℷ𝐼 , donde 𝐼 es la matriz identidad y 𝐶′ es la transpuesta de 𝐶.

Si se satisface la condición, se dice que la matriz de covarianzas ℷ𝐼 es esférica.

Sea 𝑆𝑖𝑗 el elemento en el i-ésimo renglón y la j-ésima columna de la matriz de

covarianzas de 𝑝 ∗ 𝑝 para los errores experimentales dentro sujetos 𝑆, con 𝑣 grados de

libertad. Se eligen (𝑝 − 1) contrastes ortogonales normalizados en las 𝑝 mediciones

repetidas. Sea 𝐶 la matriz de 𝑝 − 1 ∗ 𝑝 donde los renglones son contrastes

ortogonales normalizados en las 𝑝 mediciones repetidas. El estadístico de prueba

(Mauchly, 1940) para la hipótesis nula 𝐻𝑜: 𝐶 𝐶′ = ℷ𝐼 es:

𝑊 =(𝑝 − 1)𝑝−1 𝐶𝑆𝐶′

(𝑡𝑟𝐶𝑆𝐶′)𝑝−1

Donde 𝑡𝑟𝐶𝑆𝐶′ es la traza de la matriz. La traza de una matriz es la suma de sus

elementos diagonales. El estadístico de prueba se pone en la escala adecuada para

mejorar la exactitud de sus aproximaciones por la distribución chi-cuadrada. El factor

de escala para la aproximación chi-cuadrada con 𝑓 =1

2𝑝 𝑝 − 1 − 1 grados de libertad

es:

𝛾 = 𝑣 −2𝑝2 − 3𝑝 + 3

6(𝑝 − 1)

La hipótesis nula se rechaza al nivel de significancia – 𝛾 si 𝑊 > 𝑋𝛼 ,𝑓2 .

tesis espinaca final

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