tesis doctoral de la universidad de alicante. tesi...

Teoría del arrepentimiento:resultados teóricos y experimentales.Josefa Tomás Lucas

Tesis doctoral de la Universidad de Alicante. Tesi doctoral de la Universitat d'Alacant. 1994

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UNIVERSIDAD DE ALICANTE

FACIJLTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS Y EMPRESARIALESUNIVERSID¡ ,D DE ALICANTE

Faeultad de Ciencias Er:snónr icas U Empresar ia les

La p re s e nte T e s i s cl e D, 1".*":p"S:.r,:_Sn'-,*I'.o^\fL S* L!"CAS..................,...h a si do rc ¡.i ir;ii-,a cia a I Fo lio .^.....-á

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TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO:

RESULTADOS TEORICOS Y EXPERIMENTALES

U N | / i i : { S i D ¡ \ l l D E A , L I C A N T EFacu i tad de C isn l ; i i , : . ¡ i i ro l l r . : l r i cas y Er "n¡ r resar ia fe$

Re ' r r i i l o e r J " ¡ ' i i ¡ u i r ¡ . r i r r r o sL . i sü f ¡ i i c en e l d ía cJe Ia f echaacorclí¡ ctor,gar, por urranil ir i i i¿:cj, ¿i la Tti i i ; i f¡:, "i,: i i ir¡,r¡111,¡;¡;¡1,, ¡" Doñ+

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f tresidente,El Sc¡c¡.etarÍq,

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+ q Wu¡r7n-N,Ñ

Universitat d'Alacant

ruüflLtüüüLiltl! ililt ilil ilil illt ilil ilil Memoria presentada por

JOSEFA TOMAS LUCAS

para optar aI grado de Doctor

en Ciencias Econó¡nicas.



D- c¡BIT¿gN HERRERo BLANCo, CATEDRATICA DEL DEPARTAMENTO DE FUNDAMENTOS DEL

ANALISIS ECONOMICO DE LA UNIVERSIDAD DE ALICANTE,

CERTIFICA: Que la presente memoria "TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO:

RESULTADOS TEORICOS Y EXPERIMENTALES" ha sido realizada bajo

su dirección, en el Departamento de Fundamentos del

Análisis Económico de la Universidad de Alicante, por

la licenciada en Matemáticas Dt. Josefa Tomás Lucas y

constituye su Tésis para optar al grado de Doctor en

Ciencias Económicas y Empresariales (sección Económicas).

Y para que conste,

vigente, presento ante

referida Tésis Doctoral.

en cumplimiento de la legislación

la Universidad de Alicante la

firmando el presente certificado en

Alicante, a 28 de Junio de 1994

f ¡t}-^€

Fdo. CARMEN HERRERO BLANCO



INDICE

O. INISODUCCION página

0 . 1 . - T e o r í a s P s i c o l ó g i c a s A l t e r n a t i v a s a I a U t i l i d a d E s p e r a d a . . . . . 1

O . 2 . - E I e f e c t o r i e s g o . 4

0 .3 . - E1 e fec to decepc ión 6

0 .4 . - E l e fec to a r repent im ien to . 8

0 .5 . - E l e fec to punto de re fe renc ia . 9

0 .6 . - Avance de1 conten ido . 12

CAPITT]LO 1. I'NA VERSION DE LA TEORIA DEL ARREPENTIüIE{TO:

NE$'LTADOS TEORICOS

7.L . - Teor Ía de l Amepent in ien to de Loomes y Sugden. . . 16

1.2.- Una versión de Ia Teoría del Arrepent imiento:

Ut i l idad Expandida dependiente de Ia di ferencia. 20

1.3 . - Ind ice temperamenta l . 27

1.4.- Ut i l idad Expandida General 4I

1 . 5 . - C o m e n t a r i o s f i n a 1 e s . . . . 5 1



CAPITULO 2. TEORIA DEL ARREPET{TII{INTO: uN RESULTADO SOBRE DMRSIFICACION

2 . I . - I n t r o d u c c i o n . .

2.2.- La Teoria Hemisimétr ica SSB de Fishburn:

Re lac ión con Ia Teor ia de l Ar repent in ien to . . . .

2 .3 . - SSB con Es tados

2.4 . - Una ap l i cac ión a Ia va lo rac ión de ac t ivos ar r iesgados.

2 . 5 . - C o m e n t a r i o s f i n a l e s . . . . . . . . .

2 . 6 . - A p é n d i c e

CAPITT'LO 3. VERSION EXPAI{DIDA DE LA TEORIA DEL ANREPE}ITII{IENTO:

REST'LTAIAS EXPER I}'iNTALES

3,1 . - Tes ts exper imenta les de los node los a l te rna t ivos a Ia

Teoría de la Ut i l idad Esperada.

3 .2 . - Teor ía de l Ar repent im ien to : Ev idenc ia empí r ica . .

3.3.- Versión Expandida de la TeorÍa del Arrepent iniento:

Test Experimental

3.4.- Apéndice: Resultados del experimento. . .

I < lREFERENCIAS.. . ¿v¡

53

55

59

64

7a

80

a7

94

103

t23

I I



O. INTRODUCCION

O.T.- TEORIAS PSICOLOGICAS ALTERNATIVAS A LA UTILIDAD ESPERADA

O.2.- EL EFECTO RIESGO

O.3.- EFECTO DECEPCION

0.4.. EL EFECTO ARREPENTIMIENTO

O.5.- EL EFECTO PUNTO DE REFERENCIA

O.ó.- AVANCE DEL CONTENIDO



O.1.- Teorías Psicológicas Alternativas a la Utilidad Esperada

La Teoría de la Utilidad Esperada ha sido considerada como el

paradigma de la elección racional en condiciones de riesgo desde su

introducción y sistematización por Von Neuman y Morgenstern en L944. No

obstante, y desde el principio se han venido observando y reportando

numerosas violaciones de la misma en los procesos reales de decisión.

Posiblemente el primer y más conocido test fue el propuesto por Allais

(1953) que posteriormente desarrollal"on experimentalmente Kahneman y

Tversky 097q. El intento de acomodar las decisiones observadas de los

individuos con una teoría de comportamiento racional ha dado origen a

diversas extensiones, generalizaciones y alternativas a la Teoría de la

Utilidad Esperada.

Varios trabajos recogen los diferentes aspectos de esta literatura.

Appleby y Starmer (1987) revisan las evidencias empíricas contra la Teoría

Clásica; Machina (L987), Sugden (1987) y Weber y Cameren (1987) discuten

las pnopiedades analÍticas de varias teorías alternativas propuestas con el

objetivo de explicar algunas violaciones de la Teoría Clásica; Fishbunn

(1938) y Karni y Schmeidler (1991) revisan las fundamentaciones axiomáticas

de los distintos modelos alternativos; Hey (1991) presenta una panorámica

de estas teorÍas conectada con el desarrollo de tests experimentales de las

mismas y Epstein (1990) presenta algunas aplicaciones económicas de los

modelos para la elección en condiciones de riesgo.

Un hecho importante puesto de manifiesto por todos los trabajos

mencionados, es que no hay hasta la fecha ningún modelo capaz de acomodar

todas las violaciones del modelo clásico. Al igual que otros autores (ver,

por ejemplo, Bernasconi (1991)) pensamos que ninguna de las teorías de las

que hoy disponemos es una altennativa paradigmática a la Teoría de la

Utilidad Esperada y coincidimos con ellos en gu€, en eI futuro, no se

utilizará un único modelo para el análisis de cualquier problema de

decisión en condiciones de riesgo de la misma manera que se ha utilizado la

Teoría Clásica. Suscribimos la opinión de que para el estudio de cada

problema particular, alguna de las teorías disponibles se adecúa mejor



dependiendo de las características del mismo.

En este sentido, el tipo de problemas en el que hemos estado

interesados se caracteriza por la importancia que en su análisis deben

tener las consideraciones psicológicas. Ello sería así, tanto en los

problemas de decisión de seguro como en problemas relacionados con la

inversión en activos anriesgados. Algunos de estos efectos psicológicos

pueden producir desviaciones sistemáticas del comportamiento predicho por

la Teoría de la Utilidad Esperada justamente en la dirección que constata

la evidencia empírica.

Recogeremos brevemente aquellas teorías que consideramos más

consistentes con las motivaciones psicológicas y los efectos subyacentes.

Ilustraremos las predicciones de las diferentes teonías en un diagrama,

conocido como el triángulo de Marschak-Machina, [Marschak (1950), Machina

l.regrt.

Consideremos un conjunto de tres resultados monetarios -, a *, a *a.

En la figura O.1, el eje vertical representa la probabilidad de recibir el

pago mayor X3, mient¡"as que el eje horizontal mide la probabilidad de

recibir el menor pago, xt. Ya que sólo hay tres pagos posibles, la

probabilidad asociada con *" se puede encontrar, en cualquier caso,

restando de I la suma de las probabilidades de x, y de xa. Natunalmente se

supone que las probabilidades son no negativas, pudiendo sen para loterías

particulares una o dos de ellas nulas.

3



o z A p t

f ig. o.1

Un juego 5O-5O entre *, Y *, es representado por A = (O.5O, O.5O, O);

un juego 50-50 entre *, Y "g

por B = (0.5O, O, O.5O); la certeza de x, Por

Q = (O, 1, O) y un juego 2O-3O-5O entre xr, xz, x3 por C = (O.2O, O.3O,

O.5O). El conjunto de loterías factibles está entonces acotado por el eie

vertical, pl - O, por el eje horizontal, P3= O, y la parte superior por la

hipotenusa del triangulo.

Los efectos psicológicos que

"efecto riesgo", "efecto decepción",

punto de referencia"l.

O.2.- El efecto riesgo

ilustraremos serán los siguientes:

"efecto arrepentimiento" y "efecto

La Teoría de la Utilidad Espenada define las preferencias en el

conjunto P de todas las distribuciones de probabilidad P = (xr,Pr;

xr,p"i...xn,pn) sobre el conjunto de resultados X (loterías). Como es

conocido, esta teoría se fundamenta en tres axiomas normativos: ordenación

I

Otros efectos de caracter psicológico como por ejemplo el conocidocomo "efecto inCertidumbre", no son considerados aquí puesto que quedan

fuera del objeto de esta memoria en la que nos limitamos al entorno deriesgo (en el sentido de Knight Í92l)). Una excelente panorámica sobre losmodelos de decisión en incertidumbre se recoge en Camerer y Weber (199D.

4



(completitud y transitividad de las prefenencias), continuidad e

independencia. Una discusión detallada de estos axiomas puede vense en

Fishburn (1988, capítulo 1). Nuestro intenés aquí va a estar centrado

exclusivamente en los aspectos de esta teorÍa que caracterizan la actitud

frente al riesgo de los individuos.

La potencia y oper.atividad de esta teoría como herramienta en el

análisis de pnoblemas de riesgo, ha sido puesta de manifiesto en numerosas

aplicaciones económicas (ver por ejemplo, Machina Í9aZ y 1987)).

La ca¡'acterística más importante del mapa de indiferencia en el

tniángulo de Marschak-Machina para la Teoría de la Utilidad Esperada es que

las líneas de indiferencia son rectas paralelas. Para verlo, eonsideremos

la utilidad asociada con una lotería cualquiera p = (xr,pr; xz, l-pr-p.;

xa'Pa):

U(p) = pru(xr) + (1-pl-p3)u(xr) + pru(xr)

Sobre una curva de indiferencia U(p) - k, la utilidad es constante, y

la pendiente de la curva que pasa por p viene dada por la derivada

dP.

qque es positiva y constante a lo

u( xr ) -u(x , )

U=k = uq:ffit

largo del triángulo.

Para un individuo neutral al riesgo cuya función de utilidad sobre

la riqueza es lineal, las líneas de indifereneia se eorresponden con las

líneas de valor espenado constante y la pendiente de las mismas vendná dada

por el cociente (xr-xr)/(x"-xr). Para un agente averso al riesgo cuya

función de utilidad será cóncava, las líneas de indiferencia serán más

empinadas que las de valon espenado constante (ver la figura O.2, en la que

las líneas punteadas corresponden al individuo neutral)2. Naturalmente,

U(x ) -U (x )2 l

x -x2 L

U(x . ) -U (x r )

x - x3 2

Ello es así porque la concavidad implica



para un amante del riesgo,

pendiente. Vemos que el efecto

de las rectas de indiferencia.

las líneas de indiferencia tendr¿ln menor

riesgo se manifiesta alterando la pendiente

f ig. o.2

O.3.- El efecto decepción

El efecto decepción fue introducido por Bell (1985) y Loomes y Sugden

(1986) como una posible explicación de las desviaciones tipo Allais a la

Utilidad Esperada (ver Appleby y Starmer (1987)). Sugieren que los

individuos se forman unas expectativas a priori ante las opciones

arriesgadas de modo que experimentarán frustración o se sentirán

satisfechos según que el resultado que obtengan en definitiva, sea peor o

supere las expectativas que se habían formado.

Este efecto ha sido modelizado recientemente por Gul (1991) en una

forma que caracteriza claramente una actitud de aversión a la frustración.

Formalmente, una lotería p se evalúa mediante:

U(p) =7(a) f u(x , )n, . /a+ ( l - r (a) ) f u(x , )R, . / (1-a)

u (x )>U(p ) u (x )<U(p )

donde "

= I p, para u(x,) > U(p), z(a) = a/Il+[-úFI y F e (-1,o).

Intuitivamente el modelo separa la utilidad de la lotería en dos



partes, una asociada al regocijo y otra a la decepción de modo que los

pesos tf ') y l-f(a) caracterizan estas actitudes.

Desde el punto de vista axiomático, este modelo conserva los supuestos

de orden de la Utilidad Esperada pero asume una forma más débit de

linealidad en las probabilidades que implica que las curvas de indiferencia

en el triángulo de Marschak-Machina son rectas pero no necesariamente

paralelas. Esta característica hace que esta teoría pertenezca a un clase

más general de modelos caracterizados por cumplir la propiedad de

los "valores intenmedios" (betweerrn""a)3.

El modelo de Gul pnedice para B ) O, rectas de indiferencia que se

abren en abanico, en la parte inferior del triángulo desde un punto situado

al suroeste y en la parte superior desde un punto del nordeste como se

refleja en la figura O.3. Para B ( O se tiene la situación refleja y para B

= O, la teoría se reduce a la Utilidad Espenada.

3

Dadas dospara todo X, Y,e Y también lo

loterías indifenentes X - Y,lo que significa que si eles entne cualquier mezcla

entonces X - pX + (l-p)Y - Y,individuo es indiferente entre Xde ellas y las propias loterías.



Un ejemplo que ilustraría bien este sentimiento

una carrera un individuo que duda entre apostar

determinado caballo, decide en definitiva no apostar

puede sentir frustación puesto que al no apostar no

O.4.- El efecto arrepentimiento

Otra forma de incorporar sentimientos psicológicos ante el resultado

final de una determinada elección, derivado del rechazo de opciones

alternativas fue propuesta por Bell (1982) y Loomes y Sugden (1982,, 1987) y

se conoce como Teoría del Arepentimiento. La idea central de la Teoría del

Arrepentimiento consiste en incorponar a la evaluación "a priori" de las

opciones alternativas la futura respuesta psicológica del individuo ante el

resultado final. Así, los agentes elegirán "como si" maximizasen la

esperanza de una utilidad modificada por el arrepentimiento/regocijo

refenida a los resultados posibles.

4es el siguiente

': "En

o no a favor de un

y el caballo gana, no

expectativa, en cambio, puede arrepentirse de no haber

diferente".

se ha fijado ninguna

elegido de una forma

Puesto que nos ocuparemos de esta teorÍa con detalle a lo largo de

esta memoria, adelantamos aquí sólamente sus características básicas. Por

una parte, los agentes eligen entre parejas de acciones (vectores de

resultados estado-contíngentes) en el sentido de Savage (1954)) en vez de

sobre lotenías y por otro lado se prescinde de la tnansitividad sobre las

preferencias. La predición de determinados tipos de ciclos ha permitido

explicar (ver, Loomes, Starmer y Sugden (1991a)) comportamientos que no

acomoda la teoría Clásica como la revensión de prefenencias, pero al no

exigir la tnansitividad no hay posibilidad de resolver en general eI

problema de elección entre n alternativas.

La regla de elección de la Teoría del Arrepentimiento se puede

formular en términos de loterías cuando éstas son estocásticamente

Este ejemplo fué propuesto por Sugden (1987, pp. 16).

8



independientes, lo que conduce como veremos más adelante, bajo los

supuestos específicos de Loomes y Sugden (1987), a gue las curvas de

indiferencia en el triángulo de Marschak-Machina sean rectas que se abren

en abanico desde un punto del suroeste del triángulo.

Estrechamente relacionada con la Teoría del Arrepentimiento, está la

Teonía Bilineal Hemisimétrica (Skew Symmetric Bilinear Theory (SSB)) de

Fishburn (1982) que a pesar de tener un punto de partida absolutamente

diferente, ya que se trata de una teoría normativa fundamentada

axiomáticamente y no de una teoría psieológica, conduce al mismo tipo de

regla de elección. A diferencia de la Teoría del Arrepentimiento la SSB

resuelve el problema de elección entre n loterías aún en el caso de

pneferencias cÍclicas, garantizando la existencia y proporcionando un

método de cálculo de un elemento maximal en un conjunto cualquiera.

O.5.- El efecto punto de referencia

Khaneman y Tversky (L979), pnoponen el siguiente ejemplo que ilustra

eI efecto que pretendemos considena¡-.

Problema 1. Un individuo recibe IOOO libras israelíes sobre su riqueza

inicial y se le plantea el problema de elegir entre:

A: ganar 1OOO libras con probabilidad O.5 o O en otro caso

B: ganar 5OO con segunidad

Problema Z. Un individuo recibe ahora,

libras israelíes y se le pide elegir entre:

C: perder IOOO libras con probabilidad O.5 o

D: perder 5OO con certeza

sob¡"e su riqueza inicial,

O en otro caso

zooo

En términos de la riqueza final, considerando las cantidades

entregadas inicialmente, las dos problemas son idénticos ya 9u€, las

loterías A y C conducen a la lotería (2OOO, O.5; IOOO, O.5) mientnas B y D

dan 15OO como resultado final. Sin embargo, la mayorÍa de la gente prefiere

la opción más seguna B, cuando las loterÍas se presentan en términos de



ganancias (problema l) y en cambio, eligen la lotería C cuando la

presentación es en forma de péndidas (problema 2).

Kahneman y Tversky (1979) probanon que este tipo de comportamiento

resultaba consistente con eI modelo propuesto por ellos mismos conocido

como Prospect Theony. Más recientemente, Tversky y Khaneman (1990)

presentaron una formulación más general de su propuesta original conocida

como Cumulative Prospect Theory donde:

n - l n nV(xi ,Rr; . . .* ; ,R ) = v(x ' )w(p, . , ) + !v(x,) tw ( f n,) - w( f pt) I

l = 1 J = l " J - l + l

los resultados xl son ordenados de manera que x' si ' 1

una función de ponderación creciente w: [0,1] ------+ [0,1].

. . . = x ' y w ( . )

Esta teonía aparentemente similar a la Teoría de la Utilidad

Anticipada originalmente propuesta por Quiggin Q98D y conocida también

como EURDP (Expected Utility con Rank Dependent Probabilities), tiene

difenencias sustanciales con ella. En primer lugar, los resultados x, deben

interpretarse como ganancias y pérdidas definidas desde un punto de

refenencia, por ejemplo, la riqueza inicial del agente. En segundo lugar,

la función de ponderación w(.) es distinta para las ganancias y para las

pérdidas lo que contribuye a explicar la reflexión observada de las

preferencias. Y por último a la función v(.) se le impone la forma

reflejada en la figura 0.4.

lo



(i). Pérdida de aversión: la función de valoración

pérdidas que para las ganancias.

(ii). Sensibilidad decreciente: el valor marginal

de pérdidas decrece con su magnitud de manera

para las ganancias y convexa para las pérdidas.

f ig. O.4

Esta fonma para la función viene inducida por dos hipótesis

intuitivas:

es más empinada para las

tanto de ganancias como

que la función es cóncava

Sobre el diagrama de Marschak-Machina, la EURDP y similarmente la

Cumulative Prospect Theory genenan curvas de indifenencia que mantienen un

cierto paralelismo, tienen la misma pendiente a lo largo de la hipotenusa

del triángulo como aparece reflejado en la figura O.5 ( véase, por ejemplo,

Cámerer (1989)).

11



f ig. O.5

0.6.- Avance del contenido

La Teoría del Arrepentimiento de Loomes y Sugden (1982,, 1987) es capaz

de explicar un buen número de violaciones a la teoría clásica, sin embargo,

cuando se han contrastado empíricamente sus supuestos los resultados no han

sido lo suficientemente satisfactorios. Además, la aplicación de este

modelo al análisis de pr-oblemas concretos con más de 2 alternativas tiene

la dificultad de que no resuelve el problema de elección salvo en el caso

de transitividad.

La idea que motivó este trabajo fue doble: Por un lado proponer una

versión de esta teoría que, desde la misma filosofía, fuese operativa a la

hora de analizar problemas concretos en los que la respuesta psicológica

que quiere recoger fuera relevante y que además, acomodase la evidencia

empÍrica obtenida en experimentos recientes. Por otro lado, la posibilidad

de consideran la Teoría del Arrepentimiento como caso particular de la SSB

con estados podía resolver el pnoblema de elección entre n alternativas

incluso en el caso de preferencias cíclicas proporcionando así, un marco

adecuado para el análisis de problemas más complejos.

En el primer capítulo se propone una versión de la TeorÍa

Amepentimiento que denominamos Utilidad Expandida que caracteriza a

del

los

tz



individuos por su actitud frente al éxitolfracaso. Esta versión permite en

su particularización al caso dependiente de la diferencia analizar los

problemas de decisión de seguro presentados en la memoria "Tres Ensayos

sobre la Teoría del Arrepentimiento: Aplicación a la Demanda de Seguro"

(Sirvent 0994) obteniéndose unos resultados teóricos consistentes con el

comportamiento real de los agentes. La presentación de un índice de

temperamentalidad permite también en este caso realizar una clasificación

de los agentes que aparece como particularmente útil en el análisis de

situaciones en que las preferencias son estado-dependientes. La versión

general de Utilidad Expandida presentada en la última sección acomodaría en

mayor medida que la anterior los resultados empíricos.

El problema de la valoración de títulos con riesgo y la selección de

cartera es un problema complejo. La Teonía de la Utilidad Esperada explica

la diversificación como consecuencia de la aversión al riesgo de los

agentes y penmite, bajo supuestos bastante restrictivos, diseñar carteras

óptimas. En el capítulo dos de esta memoria, nos aproximamos al problema

teniendo en cuenta aspectos que se separan notablemente del tratamiento

tradicional como la incorporación de sentimientos psicológicos distintos de

la aversión al riesgo. La inconporación del arnepentimiento dentro del

marco de la SSB con estados de Fishburn permite explicar la diversificación

por razones distintas de la aversión explícita al riesgo, Al abondar el

problema desde este enfoque, si bien se garantiza la existencia de \¡n

maximal en la envoltura convexa de los títulos disponibles, al no ser tales

elementos maximales accesibles en general para el decisor por tratarse de

soluciones probabilísticas, asociamos a tales soluciones una cartera

accesible que goza de algunas propiedades que entendemos la hacen

"recomendable". Esta cartera resulta fácilmente computable y óptima bajo

determinadas condiciones.

En los últimos años se han incrementado notablemente las

verificaciones empíricas en el labo¡'atorio de las teorÍas altennativas a la

Utilidad Esperada diseñandose experimentos que permiten discriminar de

entre ellas cuales acomodan mejor las respuestas de los individuos. Con el

objetivo de chequear nuestra propuesta de Utildad Expandida hemos realizado

13



un expenimento que a la vez, investiga las respuestas de los individuos en

problemas que simulan decisiones de seguno. El diseño y los resultados del

mismo conforman el capítulo tercero de esta memoria.

14



CAPITULO I

UNA VERS¡ON DE LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO:

RESULTADOS TEORICOS

I.I.- TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO DE LOOMES Y SUGDEN

I.2.- UNA VERSION DE LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO.

UTILIDAD EXPANDIDA DEPENDIENTE DE LA DIFERENCIA

r.3.- INDICE TEMPERAMENTAL

I.4.. UTILIDAD EXPANDIDA GENERAL

1.5.- COMENTARIOS FINALES

15



1.1.- Teorfa del Arrepentimiento De Loomes y Sugden

La Teoría del Arepentimiento ó Regret Theory introducida simultánea e

independientemente por Bell (fl}ZJ y Loomes & Sugden $g82)l es de

naturaleza esencialmente descriptiva y pnetende explicar el comportamiento

de los decisores sobre la base de sus reacciones psicológicas frente a las

opciones arniesgadas.

La idea central de la Teoría del Amepentimiento consiste en

incorporar en la evaluación a priori de las opciones alternativas, Ia

futura respuesta psicológica del individuo ante el resultado final, el

sentimiento de pena derivado de haber realizado una elección errónea y, en

su caso, el regocijo por haber hecho una elección acertada. Así, los

agentes elegirán "como si" maximizasen la esperanza de una utilidad básica

modificada por eI arrepentimiento o regocijo (regret/rejoicing), referida a

los resultados posibles para cada pareja de opciones alternativas, en cada

estado del mundo.

La elección no se plantea en términos de loterías sino que se

construye una regla de valoración para parejas de aceiones alternativas.

Una acción se define, a partir de un conjunto finito y exhaustivo S de

estados del mundo independientes, como un vector A, = (*lt, xtz, *r,.,)

de resultados estado-contingentes.

Así, x.. es el resultado asociado a la elección de A' u t

A cada estado del mundo le corresponde una probabilidadn

modo oue Ip=1.J=l

-

s .J

de

en

p .J

el estado

conocida,

1

Estos autores presentaronteoría, Loomes y Sugden (1987).

posteriormente una versión más general de la

t6



Considerando una pareja de acciones posibles Ar, Au supongamos gue se

da el estado de la naturaleza j-ésimo y que el agente eligió A, reehazando

Ao por lo que el resultado experimentado será xrr.

ESTADOS DEL MUNDO

PROBABI L IDADES

La idea clave

el resultado de tal

de su comparación

alternativa A .k

Representando por M(x.., x. .) el' ¡J ' kJ

experiencia compuesta de elegir A,

postula que los agentes eligen como

utilidad modificada:

de la teoría es que la utilidad básica del agente para

elección, vendrá m.ad)Ntna.dn por la reacción psicológica

con el nesultado *uj gu" pudo obtener de haber elegido la

nivel de satisfacción derivado de la

y rechazar A. en el estado s., se' k j -

si maximizasen la esperanza de esta

o, ? ou or!,or'"t*rj' xr,i) - M(xu.,' x,.,)l ! o

Llamando ú(xr,, "*r)

= M(xiJ, *ur) - M(x*r, *rr) la regla de elección

se expresa:

o, i ou orlror*t*u' **r) I o

donde la función r/r(.,.) resulta hemisimétrica pon construcción

independiente de las transformaciones de semejanza de razón positiva.

Loomes y Sugden (1987) en su versión general de la Teoría del

Arrepentimiento imponen las tres condiciones siguientes. OPC: ordenación de

s s s . . sr Z J n

p r p 2 . p J . . p n

xxx . xl l 1 2 l j l n

x x . x . xkl kZ kJ kn

T7



los resultados ciertos, I: crecimiento

,/(.,.). Estos supuestos, prescindiendo de

y C: convexidad para la función

los subíndices se expresan:

( O P C ) : x t I < r

( I) : ! l (x,

V¡(x, y) > o

<r ú(x, d '2

V$, zlv) :o

(C ) : x>y>z + $ ( x , z ) > r y ' ( x , y )+

V x , y r z .

úU, z)

Aunque la teorÍa se plantea en término de acciones y

posible analizar sobre el triángulo de Marschak-Machina

líneas de indiferencia.

no

la

de lote¡'ías es

forma de sus

Consideremos dos loterías L y M sobre los resultados z < y < x que

supondnemos estocásticamente independientes y tales que: L = (pr, p", p*) y

M = (q, q , q ). Se tendrá entonces la siguiente matriz de resultados paraz y x

el problema de elección entne L y M donde llamaremo, ú*" = {t(x,z) a la

diferencia entre la utilidad modificada que un individuo consigue cuando el

resultado de su elección es x y la utilidad modificada que tendnía si

hubiera elegido la acción alternativa y hubiera conseguido z. Análogamente

ú*, = ry'(x, y) y ú", = $(y, z\.

p qz z

P"Q" PrQ*

(tz x

Utx z

P"Q, P"Q" p qy x

p q p q p qx z x y x x

L

M

Utz z

{t z z

tltz y

Uty z

Ity z

{t zy

(tvv

{tvv

{t y x

Itxy

{t* .2

{t z x

{t (txy xx

Vt Vtx x

Teniendo en cuenta la propiedad de hemisimetría de la función {t el

individuo será indiferente entre L y M si:

(p"9"- p.9")úy" + (p*ez- prqx){txz + (p*ey- p"g*) ú*y = tl1

l8



Si tomamos los valones (qr, gy, g*) fijos y traTamos la línea de

indiferencia que pasa por este punto cuando varían (P", P", px), ya que [1)

es una ecuación lineal en pr, py, p*, debe ser una recta. Además, para

cualesquiera valones de (q=, gy, g*) la lfnea definida por tll pasa por el

punto:

Se tendrá pues que todas las curvas de indiferencia pasan por el

punto del plano (pr, p*) definido por [21.

El supuesto C que los propios autores denominan posteriormente de

aversión al arrepentimiento implica que ambas coordenadas son negativas y

este punto estará situado al suroeste del triángulo. Se deduce de ésto que

las lineas de indiferencia se abren en abanico a través del triángulo y

desde este punto.

Esta versión de la Teoría del

oniginal de Loomes y Sugden l1982)

hacía depender de la diferencia €

básicas de los resultados, donde u:

para los individuos aversos al riesgo:

Arrepentimiento venía a generalizar la

en la que la función de valoración se

= u(x) - u(y) entne las utilidades

R [O, 1l es creciente y cóncava

ry'(x, y) = ú(€) + R(€) - R(-€)

R(€) es no decreciente, R(O) = O y tal que R"(€) > R"(-€) V € > O lo que

determina que r/(€) resulte convexa para argumentos positivos.

En el trabajo mencionado Loomes y Sugden (1982) y en Loomes y Sugden

(1983) utilizan esta estructura aditiva particular que les permite explicar

las violaciones más frecuentes a la Teoría de la Utilidad Esperada.

19



1.2.- Una versión de la TeorÍa del Arrepentimiento. Utilidad Expandida

dependiente de la diferencia2.

En este punto vamos a presentar una versión de la Teoría del

Arrepentimiento dependiente de la diferencia (Loomes y Sugden (Jgg4).

Como punto de partida se

estados del mundo {"r, sz,

probabilidades { pr, pz, pJ,n

IP , = 1 .J= l

'

un sistema finito y exhaustivo de

. "r,

) cuyas correspondientes

supondremos conocidas y tales que

considera

' "J'Pr, )

Se suponen resultados monetarios y que las preferencias de los agentes

sobre los resultados ciertos son representables mediante una función de

utilidad (básica) continua y creciente u:@ ->R donde @ es el conjunto de

resultados. Así, la acción A vendrá asociada al vector de las utilidades

básicas de los resultados en cada estado del mundo.

El problema que enfrenta el agente decisor,

parejas de acciones alternativas que denotaremos A, y

Se tendría la siguíente matriz:

ESTADOS DEL MUNDO

PROBABIL IDADES

es la elección entre

A .2

zLos resultados

"LJna versión de lasegurorr de Sirvent y

formales de esta sección aparecen mayoritariamenteTeoría del Arepentimiento: Aplicación a la demandaTomás (,199D.

ende

s s s . . sl Z J n

p p _ p . . . p^ l ' ? ' j - n

uuu .u1 l 1 2 l j l n

uuu .u21 22 ZJ 2n

20



Donde u

monetario x..U

( j=1 , 2 , . . , n ) .

¡J

de la

u(xrr) es la utilidad que proporciona

acción A,(i = l, 2) cuando.se da el estado

el resultado

del mundo sJ

de la elección de A, V elDefinicion l.l: Llamaremos utilidad expandida er.,

rechazo de A, en el estado "¡

(i = l, 2, ..., n) a:

'r.,= (tr., - tzJ) h(urr' urr)

donde h(., .) es una medida del arrepentimiento/regocijo.

Definición 1.2: Llamaremos utilidad expandida .r, d" la elección de A, V el

rechazo de A, en el estado ",

(i = l, 2, ..., n) a:

t"r= (utr - trr) h(ur.,' urr)

Obsérvese que en la definición de €-. figurarJutilidad básica u, del resultado de la acción rechazada

del mismo modo en €_- figura u,.. Así, la valoración2J tj

relativizada, por- un lado a través de la diferencia

otro, mediante la función h(u-., u..) i,k = l, 2 i * k.rJ- KJ

que h(.,.) recoge diferentes actitudes psicológicas del

arrepentimiento, regocijo, frustración, responsabilidad...

explícitamente la

en el estado s vJ -

que da doblemente

(u,, - uuJ) Y' PonSe puede entenden

individuo como el

Nótese que en la definición de .rj figura explícitamente la utilidad

báiica u. del resultado de la acción rechazada en el estado s, J del mismo

modo en arJ figura rrJ. Así, la valoración queda doblemente relativizada,

por un lado a través de la diferencia tr, tu, J, por otro, mediante la

función h(u- -, u. -) i, l¡ = 1, 2, i * k. Esta estructura determina, como serJ' kj

verá más adelante, propiedades de simetría en las funciones de valoración.

Es natural imponer que h(urJ,r*j)

otro caso se invertiría el sentido de la valoración relativa básica. Según

2T



se tenga h(. .) mayor o menor que la unidad, el efecto sená respectivamente

una expansión o una contracción de la utilidad relativa básica. Se podría

interpretar que h(. .) necoge diferentes actitudes psicológicas del

individuo, arrepentimiento, frustración, regocijo, responsabilidad...

También es natural

u v decrezca con uu - k j

imponen que la utilidad expandida .rj crezca con

Continuando con el esquema de Loomes &

consiste en suponer que la elección se lleva a

maximizasen la esperanza de la utilidad expandida,

Sugden, nuestra propuesta

cabo como si los agentes

esto es:

A > At - 2

< + I p ( e - € ) = o, I r ' i u 2 J

Definiendo ú(urJ,

utilidad expandida para

s., resulta:J

que nepresenta

y el rechazo de A

balance de

en el estado

u )zJla

E

l j

elección

el

z

- €2J

d e AI

Ft',.,' "ú(urJ, trr) = (tr, - trr) ,J) * h(urJ' trr']

urr) > o

H(urj, rrr)

Ú(urj' trr) = (t'

es entonces:

Definiendo la función expansora H(ur1, urr),

h(u.. , u^,) + h(u^:, u-.) resulta simétr ica y la funciónu' 2J 2J' lj

- u^.) H(u-., ¡^.), hemisimétrica. La regla de elecciónzJ lj- 2J

A > Al " 2

* ,!, P, ú(',,'

y la función de valoración resulta independiente de las transformaciones de

semejanza de razón positiva.

Esta regla de elección entre pares de acciones alternativas no

zz



proporcionará en general una ordenación completa de las preferencias sobre

el conjunto de acciones, pudiendo presentarse ciclos cuando se valoran tnes

o más. Son numerosos los experimentos que evidencian prefenencias cíclicas

en determinados problemas de elección en condiciones de riesgo (Véanse por

ejemplo, Tversky (1969), Fishburn (1988) y Loomes, Starmer y Sugden (1989,

l99l)), por lo que dar cabida a esta posibilidad dentro de nuestro modelo

no puede ser considerado como una debilidad del mismo.

Nótese también que la representación obtenida para las preferencias

entre pares de acciones, resulta independiente de las transformaciones de

semejanza de razón positiva sobre h y en consecuencia sobre H y ú, de modo

que h y c,h con cr)O, modelizan al mismo agente.

Al objeto de hacer operativas las propuestas anteriores, impondremos:

HIPOTESIS A.l. h: R -+ R depende sólo de la diferencia €, = *rJ u' en cada

estado s- del mundo, con lo queJ

H(€r) = h(€r) + h(-€j) > o y por tanto, ú(€.¡) = €jH(€J)

La regla de elección se expresa ahona:

I e^ o Ip.€.H(€.) > o¿ . L - J J J

J = l

- i p. r/(€.) = o: ? r r J

En el caso de que H(.) sea constante,

a la de Von Neumann y Morgenstenn.

la regla anterior comespondería

cuando H({) = I + R(€) : R(-€), ""

correspondenía con la regla de' €

elección de Loomes y Sugden (1982).

23



Por simplificar

subíndice j.

Formalmente, el

y a su derivada h'({)

HIPOTESIS 4.2.

El supuesto S.l,

posibilidad de que los

para los que pueda

propiedad esta última

Morgenstern.

S.2 es un supuesto

versión más general.

El supuesto

expandida e, con la

h ( € ) + € h ' ( € ) > o

de

S.l : h(€) > O, V€ + O, h(O) > O

S,2: h(€) es de clase C2

s.3: h(€) + {h'({) > o V€ * o

S.4 : h ' (€ ) - h ' ( -€ ) o b ien h ' ( { ) s h ' ( -€ ) VE > O

+ R(€. ) -R(-€. ) l > oJ J

prescindimos a partir de ahora del

la util idad

€2, es decir,

su vez que

ei1

A < - > I p2 " ' 1

J = l -

la notación

r€,

conjunto de supuestos que exigiremos a la función h(€)

será el siguiente,

además de imponer que h(€) = O V€, excluye la

agentes consideren indistinguibles estados del mundo

obtenerse distinto resultado según la elección,

que también verifican los agentes Von Neumann y

técnico del que se podría prescindir en una

S.3, plasma el crecimiento regular de

utilidad relativa € y el decrecimiento dede

significa que t > o V € * o y ad€

2 = -h(-€) + {h,(-€) = -th(-€) - €h'(-E)l < o.dE

Las condiciones alternativas del supuesto S.4 determinan dos

actitudes temperamentales distintas a la hora de expandir o contraer la

valoración relativa básica, lo que permite clasificar a los individuos en:

24



"Temperamentales frente al éxito/fracaso" cuando:

h ' ( { ) = h ' ( -€ ) , €> o

"Tibios frente al éxito/fracaso" cuando:

h ' ( { ) s h ' ( -€ ) , €> o

Estas condiciones pueden interpretarse de la siguiente manera: los

agentes temperamentales son aquellos que manifiestan una mayor sensibilidad

frente a las ganancias que frente a las pérdidas en términos de utilidad

relativa, mientras que los individuos que hemos llamado tibios son más

sensibles frente a estas últimas. Las diferencias de sensibilidad en la

valoración de pérdidas y ganancias en términos absolutos, han sido

apuntadas por otros autores como por ejemplo Kahnemann y Tversky

(1979,1991) y Sugden (1987).

Por otra parte, estas condiciones garantizan una mínima regularidad

de comportamiento gü€, además de hacer manejable la teoría, permiten

abarcar una gran variedad de respuestas psicológicas.

CONSECUENCIAS DE A.l Y A.2z

a) H(€) = h(€) + h(-€) t o VE * o, H(o) = o.

b) H(€) = H (-€) Y€

c) H(€) es de clase

(simetría).

Cz por serlo h({).

d) H'(€) = h'(€) - h'(-€) Y€ de manena 9u€, por S.4, se

tendriin las dos siguientes posibilidades:

( i ) H ' ( € ) 2 0 , c u a n d o { > O y p o r s i m e t r í a d e H ( € ) , H ' ( € ) = O c u a n d o

€ < O con lo que H(€) será cuasiconvexa V€ y el individuo será

temperamental, o bien:

(ii) H'(€) s O, cuando { > O y H(€) es cuasicóncava V{ pero

no puede ser cóncav?, 13 que H({) > O V € y el individuo será tibio frente

E



al éxito,/fracaso.

(iii) En cualquien caso H'(Q) = 9.

Cuando H(.) es cuasiconvexa, reflejarfa actitudes en las que se

resaltan las utilidades relativas grandes: "amor al éxito" (figura 1.1(a)).

Por el contrario, cuando H(.) sea cuasicóncava, quedarían resaltadas las

pequeñas utilidades relativas: "tibieza frente al éxito" (figuna 1.1(b)).

f i g . t . 1 ( a )

e) La función ú(€) = €H(€) es de clase C2.

f) r/(€) = q H(€) = - t (-€) (hemisimetría) y ú{O) = o

C) t/(€) es estrictamente creciente:

t/(€) = €H(€)=

det / ' ( € )

d€creciente V{.

r ' l{ ln({)+h(-€) l = €h(€)

L J

dez ) o, v{*o y como

d€

f i e . l . l ( b )

€ - €t 2

será estrictamente

[-enr-er] =

ú(O)=O, t / (€)

26



De todo lo anterior se concluye que r/(€) será cuasimonotónica

estricta, es decin, cuasicóncava y cuasiconvexa estricta.

Loomes y Sugden lJ98D consiguen explicar las paradojas más

frecuentes de la Utilidad Espenada haciendo la hipótesis de que {tl-) es

convexa estricta para argumentos positivos, siendo razones empíricas las

que les inclinan a imponer esta condición.

Desde la perspectiva más amplia de la versión expandida en la que

t/(.) es cuasimonotónica, se puede dar cabida no sólo al supuesto anterior

sino a otras respuestas incluso opuestas, que también se reflejan en los

mismos experimentos.

1.3.- Indice temperamental TAU.

La versión expandida de la teorÍa del arrepentimiento postula dos

tipos básicos de respuesta psicológica frente al posible éxito o fracaso en

los problemas de elección entre pares de alternativas en condiciones de

riesgo, que han sido denominados actitud temperamental y actitud de

tibieza.

Recordemos que los agentes temperamentales son aquellos que, en cada

estado del mundo, expanden la correspondiente utilidad relativa mediante

una función que es creciente para los argumentos positivos, lo que equivale

a decir que esta clase de agentes resalta en la valoración a priori de las

acciones, precisamente las mayones diferencias de utilidad. Por su parte,

los agentes tibios resaltan las pequeñas utilidades relativas al

expandirlas mediante una función que es decreciente para argumentos

positivos. Los agentes con función expansora constante (neutrales frente al

éxito/fracaso) valoran los pares de acciones maximizando la esperanza de la

utilidad relativa: son los agentes Von Neumann y Morgenstern.

Vinculada la actitud frente al niesgo a la forma (cóncava o convexa)

de la función de utilidad básica u(.) sobre los resultados monetarios

ciertos, el índice de Arrow-Pratt (Pratt (1964)) resulta una medida local

27



adecuada de la intensidad o grado

decisores cuando enfrentan problemas

Et índice relativo de Arrow-Pratt

de aversión al riesgo de los agentes

de elección en condiciones de riesgo.

no es más que la elasticidad de la

fndice absoluto la derivada

como una medida del grado local

de utilidad particular de cada

utilidad marginal de la riqueza y el

logarftmica de esta misma utilidad marginal

de concavidad (curvatura) de la función

individuo.

Al tener en cuenta la respuesta temperamental de los agentes en

problemas de elección en condiciones de riesgo con resultados monetarios,

nos proponemos construir un índice que mida la intensidad y el sentido de

dicha actitud, variables de un individuo a otro. Puesto que las actitudes

frente al éxitolfracaso han sido vinculadas al carácter creciente o

decreciente de la función expansora, parece natural definir tal índice a

través de la derivada loganítmica y de la elasticidad de la mencionada

función expansora.

1.3.1.- Indice local absoluto

Proponemos ahora un índice, que llamaremos índice temperamental TAU

(z) como medida larÁL de la actitud frente al éxito/fracaso de los

individuos dentro del modelo de Utilidad Expandida.

Exigiremos que dicho índice tome el valor cero para los agentes que no

manifiestan actitud frente al éxito/fracaso, es decir, para los agentes Von

Neumann-Morgenstern, con H'({) = h'(€) - h'(-€) = O V € y que sea creciente

con la intensidad del grado temperamental, de modo que r < O para los

agentes tibios y r > O para los agentes temperamentales.

Es claro que habiéndose definido la actitud global frente al

éxitolfracaso a tnavés del signo de H'(€) para € ) O, el índice debe

relacionarse con la derivada de la función expansora H({), pero también es

claro que H'(€) no es una medida adecuada por no ser independiente de las

transformaciones de semeja¡za de razón positiva, es por ello que damos la

siguiente definición:

2a



Definición 1.3: Para cada

temperamental absoluto t(€)

cociente:

utilidad relativa €

del agente con función

O llamamos índice

expansora H({), al

H' (€ )r(€) =

H(€ )

Como H(€) es estrictamente positiva V € * O, la función t(€) está bien

definida para todo tipo de agentes, siendo además diferenciable V € > O.

Obsénvese que una utilidad relativa nula, determina que el estado del

mundo que la genera es irrelevante en la elección. Ello es así en la Teoría

Clásica de la Utilidad Esperada y también en nuestra versión de Teoría del

Arrepentimiento. Por ello, el que t(€) no esté definido en general en el

origen, no afecta a los resultados.

Comprobaremos ahora que z({) verifica las siguientes propiedades:

Propiedad l.l.- Siempre que z({) mantenga signo constante V { > O el índice

permite clasificar a los agentes en tibios, neutrales y temperamentales

frente al éxito/fracaso.

(i) z(€) = O V€>O <+ el agente es neutral al éxito/fracaso:

z({} = O V€>O <+ H'(€) = O Y€>O e H(€) es constante e ú(€) es lineal,

es decir se trata de agentes Von Neumann & Morgenstern.

(iil t(€) > O V€>O e el agente es temperamental:

z(€) =

(iii) z(€) < o

éxito,/frecaso.

H' (E) > oH(€)

<+ H'(€) ) O, por ser H(€) > O, V€.

V{>O <+ H'(€) < O

29

el agente es tibio frente al



Se está suponiendo que H(E) es no estacionania. Si se incluye esta

posibilidad, agentes aversos o tibios podrían localmente comportarse como

neutros frente al éxito.áracaso.

Propiedad 1.2.- EI lndice temperamental z(€) es independiente de las

transformaciones de semejanza de raz6n positiva.

Como sabemos, HA(€) y Hr(€) = c Hn(€) con c ) o modelizan el mismo

tipo de agente. Se tendná entonces:

Propiedad 1.3.- Para cada valor fijo €o, el fndice temperamental r(€o)

establece una ordenación de los agentes según su grado temperamental.

Fijada la utilidad relativa € = €o ) O, el índice temperamental

zo= r(€o) dependerá del valor Ho= H(€o) y de la pendiente H'o= H'(€o) de

la función H(€) del agente, de modo que ro= z(H'o,Ho), entonces:

(i)

6 r €o - n= - ) ñ

E H ' Ho o

El grado de temperamentalidad crece con la pendiente de la función utt €o.

( i i )

0 t H 'o o = - ..............- de modo que:

ó Ho [Ho ]z

30



6 r o

A Ho

> O cuando el agente es tibio frente al éxito

0 r o ( o c u a n d o e lA H

o

con lo que la intensidad de

agentes tibios y decrece para

agente es temperamental

la actitud temperamental

los temperamentales.

con Ho

para los

1.3.2.- Indice local relativo z*(€).

Definición 1.4: Para cada utilidad relativa € ) O, llamamos indice

temperamental relativo z*(€) del agente con función expansora H({) a Ia

elasticidad de dicha función:

z*(€) = € #E €>o

Este indice cumple las propiedades de discriminación de los agentes

(temperamentales, neutrales y tibios frente al éxito,4racaso),

independencia de las tnansformaciones de semejanza de razón positiva y

ranking de los agentes por su gnado temperamental.

1.3.3.- Indice temperamental y geometrÍa de las funciones H(€) V ú(€).

Considerando p(€) = H"(€) (opuesto del índice de Arow-Pratt paraH ' ( € )

H(€)) como uDa medida de la curvatuna-convexidad para la función H(€) y

z(€) como una medida del crecimiento, es posible obtener el siguiente

conjunto de caracterizaciones geométricas de los índices z(€) y zR(€), que

determinan a su vez formas particulares para las funciones expansora y de

valoración.

31



1.3.4.- Indices temperamentales z(€) y t*(€) constantes y monótonos.

Considerando r(€) = r constante Y E > O, la variación de la expansión

es proporcional en cada punto al valor de la misma. La clase de funciones

que expande la utilidad relativa de los agentes en cada estado es:¡F

H(€) = C e'=, C ) O, por independencia de las transformaciones de semejanza

de razón positiva podemos tomar C =1 (ver fig. 1.2(d y 1.2(b)).

f ie. 1.Zl .a) f i e . 1 . 2 ( b )

Para los agentes de temperamento constante se tiene la siguiente

propiedad.

Propiedad 1.4.- Si T es constante se cumple que la función de valoración

r/(€) es cóncava en todo el intervalo significativo de las utilidades

relativas para el caso de agentes tibios y convexa en dicho intervalo para

el caso de agentes temperamentales.

H ( € ) H " ( € ) - [ H ' ( € ) ] 2Ya que z'({) =

tH (€ ) I 2= O , € > O

lo que impl ica H(€) H"(€) = [H'(€)]2

32



y dividiendo por H(q)H'(€) * O, V € > O se tiene que:

7 = H ' ( € ) - H " ( € )

v € > oH ( € ) H ' ( € )

El crecimiento de la función r/(€) exige que r

,/r'({) = H(€) + {H'({) y en consecuencia

_ T = _ H ' , ( € ) _ _ H " ( € ) . I . 2- T - ' - T - { e ( O ' l lH ( € l H ' ( € )

Puesto que ry'"({) = 2 H'(€) + { H"({) concluimos que:

H ' ( € ) > O - - - + H " ( { ) > O y ú " ( € ) > o , { e ( o , 1 l

H ' ( € ) < O - - - + H " ( € ) < O y r ¿ " ( € ) < 0 , { e ( O , l J

Esta propiedad se puede formular como la condición geométrica:

Para cualquier tipo de agentes, z'(€) = O e p(€) = z(€), V€>O

Propiedad 1.5.- Para un agente temperamental se tiene que el Índice r(€) es

monótono creciente si y sólo si p(€) > r(€) para { > O y las funciones

expansora U(€) y de valoración ú(€), son ambas convexas para { > O.

z'(€) > o c=+ H(€)H"(€) > tH'(€)12

como H'(€) > O, dividiendo por H({) H'({) tendremos:

H " ( € ) H ' ( € )

H ' ( € ) H ( € )

e p(g) > ¡ (€) > o

Como p(€) > O se concluye que H"(€) > o y puesto que ry'"({) = 2H'(€)

+ { H"(€), será ry'"(€) > O.

Propiedad 1.6.- Para un agente temperamental se tiene que:

z'({) < o e p(€) < t(€) V € > o.

33



En este caso, no está determinada la forma particular para las

funciones H(€) y t/(€).

Propiedad 1.7.- Para un agente tibio se tiene que: t'(€) < O e p(€) > z(€)

V € > O y la función de valoración rl(€) es cóncava.

z'(€) < o c+ H(€)H"(€) < tH'(€)12

como H'({) < O, dividiendo por H(€) H'(€) < O tendremos:

H " ( € ) H ' , ( € ): > .+

H' (€ ) H (€ )

(=+ p(€) > z(€)

H' l l l t . , ^ ^ r ^ r , , ^ ^ H" (€ )_ L . 2como --::S:> V € > O, se deduce - -- - --

H ( € ) € H ' ( E )

y como H'(q) < o + -€ H"(€) > 2 H'(€) es decin 2 H'(E) + { H"({) < O

y por tanto ry'"(€) < O.

Propiedad 1.8.- Para un agente tibio se tiene que: r'(€) > O <+ p(€) <

r(€), v €>o.

Nótese que como p(€) < z(€) < O, sólo tiene sentido que H"(€) < O. En

estas condiciones si p(€)

limitada, se puede garantizar que r/({) es cóncava para { > O.

Los agentes con z*(€) constante tienen funciones expansoras del tipoT

H(€) = € * por lo que no existirán agentes tibios de esta clase al no estar

definida para ellos la función expansora en el onigen, y sólamente los

agentes temperamentales con H(O) = O pueden sen de esta clase.

Propiedad 1.9.- Para los agentes con fndice t*(€) constante, la función

ú(€) es convexa Y € > O y Ia función expansora H(€) es cóncava o convexa

34



según que O < TR(€) < I ó TR(€) > I respectivamente.

T - l T - 2Siendo H'(€) = TR

tendremos' H" (q)

H ' ( € )

€ * H " ( € ) = z * ( z * - l ) € R

T - 1R=--T- H ' ( € )

H ( € )

TR= - -

H" (€ ) = H ' ( € ) _ 1

H ' , (€ ) H (€ ) E

H" (g )_ I H ' (E ) . L . 2- -r ' (€) ---

"(€)-E-Tentonces -E H"(E) < 2H'(€), es decir, 2H'(€) + { H"({) = = ú"(€) > 0

y la función ú(€) es convexa para { > O en los agentes temperamentales con

Índice relativo constante. Entonces:

t * t 1 <+ H"(€) ¡ O, Tp = I e H"(€) = O y "*

. I e H"({ ) < O.

que corresponden a los casos (a), (b) y (c) r'eflejados en la figura 1.3.

( a - l ( b )

f ig. 1.3

Para todos estos agentes, el indice

decreciente ya que r*(€) = € z(€).

temperamental absoluto es

Pana el análisis de los casos de temperamento relativo monótono

(a- l

35



tendremos en cuenta que ti(€) se puede escribir como:

I z'lt ¡ { , ' (E ) H ' (€ ) - l _zl({)= z(€) + € l ' - ---; | - r(€) + €z'(€)^ L H(€) H(€)" J

r ' lcon H'({) + o, zi(€) se expresa: zi(€) = z(€)

Lt * Etotq) - z{€)lJ

y resultan inmediatas las siguientes caracterizaciones para el índice

relativo.

Propiedad l.lO.- Para un agente temperamental se tiene:

( i ) . z i ( { ) = oep(€ ) =z (€ ) - * t o vg>o .

( i i ) . z i ( { ) >o<¡p (€ ) >z (€ ) - f , o v€>o .

(ü tü ) . r i (€ ) ( oep(€) < z (€) - * t o v €>o.

(üv). En los casos (i) e (¿¿) en que p(€) es positivo se puede asegurar la

convexidad de las funciones H(€) V ú(€).

tp(€ ) >z (€ ) - t t o imp l i caqueH" ( { ) > o lo que asuvez imp l i ca

Vr"(€) > o.

Propiedad l.ll.- Para un agente tibio se tiene que:

zi(€) < o e p(€) > z(€) + v €>o.

zi(€) > o e p(€) < z(€) + v €>o.

Recuérdese que no existen agentes tibios con índice relativo constante.

1.3.5.- Indice temperamental para un problema dado.

Hemos definido el índice r(€) para una utilidad relativa fija go.

Pretendemos ahora definir un índice que sea una medida global de la actitud

36



frente al éxitolfracaso de cada individuo para cada problema de elección

entre un par de alternativas.

A todo problema de elección entre un par de alternativas A, y A, en

condiciones de riesgo, se asocia un vector € = (€r, €2,...€,.,) cuyas

componentes son las utilidades relativas gue, en cada estado del mundo,

supone la elección de A, y el rechazo de A". De esta forma, el problema de

elección entre A v A está vinculado al vector de utilidades relativasl ' z

€ = (€r, €2, €r,).

El primer paso para construir un índice temperamental para este

pnoblema consiste en reducir" el vector de utilidades relativas a un escalar

único € qu" mida la "utilidad relativa global" del problema en cuestión.

Como medida global € de la utilidad relativa del problema parece

natural adoptar la norma del vector, que mediría la intensidad resultante

de las utilidades relativas en cada estado del mundo. Tomaremos | = ll{ll,que pondera por igual la utilidad relativa de todos los estados del mundo.

Consideremos, a modo de ilustración, un problema con sólo dos estados

de la siguiente forma:

I -tt

donde €r= u(xrr) - u(xrr) y €, = t(*rr) - u(xrr)

Tomando la distancia u¡tAann E = ll€ll, = l€rl * l€rl "omo medida de la

utilidad relativa global del problema, observemos (figura 1.4), que todos

los puntos sobre MN,NP, PQ, y QM se asocian a problemas con la misma

utilidad relativa global. De entne los vectores cuya norma es f, existe un

único vector (or, c) con resultado cie¡"to o = ltZ > O que representa a todos

37



los problemas cuya utilidad relativa global es €. Si, de entre tales

problemas, seleccionamos el que enfrenta la acción cierta E = (E/2, EIZ)

frente a la acción (O, O) para los mismos estados del mundo, este problema

elemental tiene la misma utilidad relativa global que el problema planteado

entre Ar l Ar.

' - - - - /T\

. a l

z l

, ' It l

, l<--! t

III

1l- - - - - - - l

En general

generado por

O = ( O , . . . , O ) .

f ig . 1 .4

n

l l€l l , =r lE,l , EJ = l "

es equivalente al

- ( €- \ n t

generado

F. ,i). el regocijo

por (E, O), con

s i € =

( A . A )r ' 2

Podríamos dar entonces la siguiente definición:

Definición 1.5.- Para un

un agente expansor de la

problema dado, definimos el indice

utilidad relativa como:

- H ' (E)z({ )= -a-- ,8=l l€ l l ,

H ( € )

global r de

T =

38



2.1 6.- Prima de arrepentimiento asociada a un problema.

Sea el problema P siguiente:

Estados del mundo ", " ,

. . . "J "r , n

Probab i l i dades Í , n r . . . nJ . . . t r n , _ I r o r= t

uuuu1 l 1 2 r J l n

uuuu2 r 2 z 2 J 2 n

Acción A

Acción A

I

2

con €j = trJ- trJ siendo € = (€r, Er, €,r) el vector de utilidades

relativas y € = I l€,¡. Llamaremos equivalente temperamental de P a E =

- J = l J ' P

tr-r, siendo n el número de estados del mundo.

Definición 1.6: Para cada problema P cuyo vector de utilidades relativas

sea {, llamaremos prima de arrepentimiento asociada, al vector A{ tal que:

FFo€, +

- € , pa ra€r= o y A€ i= - i - € rpara€r . o

Proposición l.l- Dado el problema P, si el vector { de utilidades relativas

se incrementa en la prima de amepentimiento, se obtiene un nuevo problema

con vector €' = € + A€ para el cual la elección es independiente de la

actitud frente al éxito./fracaso.

Prueba. Definiendo los conjuntos

s + = { s . / E . > O ' , y s - = { s . , / € . < O }J - J - J - J

y llamando ol = n, si s, e s* y ol= o, si sre s- podemos reordenar los

estados del mundo y considerar el pno&tnma qtrptwod,o P':

39



tÍn

+It

I

+It

k

+Í

zTT

k + l

A'I

A '2

€ €n n

I

n o

€n

cuyo vector de utilidades relativas es

F F E{ '= ( - -> . . - : - . - -- n n n

El problema compensado P' es equivalente a:

¡.para el cual se tiene obviamente eue Ai'> Ar' e+ i "i

= * ""

decir, losJ = l

resultados de las acciones hacen que la elección entne A;' y A;'

(equivalentemente entre A; y A; en P') resulte independiente de la accitud

frente al éxito/fnacaso.

Obsérvese que {'= € + ¿€ de modo que:

€, = €r+ a€, cuando €r= O

a

n

F

n

€, = €r* o€., + cuando €r. o

40



Los A{. en cada s. vienen a compensar el- i J

asociado a, los resultados enfrentados , de modo

la respuesta temperamental de los agentes.

Obsérvese cómo a diferencia de la prima

vinculada a la forma de la utilidad de cada

ciertos, la prima de arrepentimiento aquí

problema bina¡"io de elección concreto ante el

responde de una manera distinta.

1.3.- Utilidad Expandida General

arrepentimiento o regocijo

que el vector A{ equilibra

de riesgo clásica que está

agente sobre los resultados

definida está asociada al

que cada agente particular

10 zo

T4

En esta sección se presenta una generalización de la versión Expandida

dependiente de la diferencia que se introdujo en la sección 1.1.

La motivación de esta extensión fueron los resultados de algunos

experimentos como los de Loomes (1989), Hey y Di Cagno (1990) y Hey y Orme

(1993). Hey y Orme en particular, plantearon a 80 individuos cien problemas

de elección entre pares de alternativas que involucraban cuatro resultados

distintos en grupos de tres, lo que les permitió estimar las lineas de

indiferencia de los encuestados a partir de las respuestas a 25 cuestiones

sobre cada uno de los triángulos de Marschak'Machina siguientes en los que

las cantidades corresponden a libras esterlinas:

Tl: O, lO, 2O; T2: O, lO, 30; T3: O,2O, 3Q; T4: lO, ZO, 30

La figura 1.5 muestra los triángulos en el plano (*, y) de resultados.

1 0 2 0

T1

3 0l o3 01 03 0 2 0

T3

fig. 1.5

4l

/

/

T2



El objeto de dicho experimento

indiferencia para cada individuo en

entre las teorías alternativas a la

propiedad de los valones intermedios

mejor a los datos obtenidos.

era el de estimar las líneas de

cada triángulo para determinar, de

Utilidad Esperada que verifican la

(betweenness), cuales se ajustaban

individuos no

respecto a su

La Teoría del Arrepentimiento de Loomes y Sugden (198?) predice que

las líneas de indiferencia se abnen en abanico a lo largo de los triángulos

desde un punto al suroeste. Este hecho viene implicado pon la condición de

aversión al arrepentimiento o de convexidad:

ú ( x , x ) > ú ( x , x . . ) + r / ( x . . , x )max m¡n max meolo meoto mtn

( * )

Con los datos del experimento se chequeó esta condición con el

objetivo de computar cuantos individuos eran compatibles con ella a lo

largo de los cuatro triángulos. Los resultados fueron: el 157. de los

individuos verificó la condición (*) en los cuatro triángulos, el 167.

verificaron la desigualdad no estricta rr<rr mientnas el 3O7" de los

individuos cambiaba el sentido de la desigualdad de ) a = de unos

triángulos a otros. El comportamiento del resto de

estaría de acuerdo con el cnecimento de la función

primera componente en alguno de los triángulos3.

los

{t

La intención de esta extensión de nuestra versión expandida de la

TeorÍa del Arrepentimiento, no es otra que la de acomodar en mayor medida

las predicciones del modelo a esta evidencia experimental, lo que nos lleva

a una redefinición de las actitudes de temperamentalidad y tibieza que abra

la posibilidad de que los agentes puedan cambiar su actitud como de hecho

se observa empíricamente.

3

El propio Hey señala que estos resultados deben leerse con precaución,ya que se tnata de una muestra de 80 individuos pero que a la vez no haymotivo para pensar que son menos representativos que cualesquiera otrosobtenidos en distintos experimentos (ver, Hey y Orme (1993)).

42



Recordemos de la sección l.l que el problema que enfrenta el agente

decisor, es la eleóción entre parejas de acciones alternativas que

denotamos A, ! Ar, donde la matriz de resultados viene dada por:

La regla de elección viene dada por:

A > A € l p ( e - € ) > Ot - z tZr ' i l i zJ

donde .rJ= (rrJ - trr) h(urr, urr) y e= (u -u )h (u u )2J 2J lj zJ- lj

ú(ur,, trr) = .rj - .rJ representaría el balance de utilidad expandida

para la elección de A, y el rechazo de L" en el estado =J y definiendo

H(urJ, trr) = h(urj, trj) + h(uzj, trr) que llamamos función expansora la

regla de elección se expresa:

ESTADOS DEL MUNDO

PROBABILIDADES

A > At - 2

A > Al ' 2

* ,i,

o, ú(t,r' *rr) = o o bien

n

c > t p ( u - u ) H ( u u ) > O,],

' i u 2J r i ' 2J

Cuando H(., .) es constante, la regla anterior correspondería a la de

Von Neumann y Morgenstern según la cual, los agentes maximizan la esperanza

de la utilidad relativa (rr, - urr).

Prescindiendo ahora de la hipótesis A.l de la sección 1.1 por la que

" , s 2 .

" J . . . s n

p l p 2 . p J . . p n

u u . u . ul l 1 2 l J l n

uu . . u .uZl ZZ 2J 2n

43



la función h(.,.) se hacía depender de la difenencia entre las utilidades

básicas y de la diferenciabilidad, los supuestos formales que exigiremos,

donde por agilidad en la notación llamaremos x = trJ e y = tz,, son los

siguientes:

S1': h(x, y) > o v x + X ; h(x, x) ¿ O Vx.

S2': h(x,y) es continua en R2.

S3 ' : V z , x > y imp l ica (x - z ) h (x , y ) > (y - z ) h (y , z )

y también (z - x) h(2, x) < (z - y) h(2, y)

S4': V x > y > z se verifica:

h(x,z) > h(x,y) + h(y,z) y h(z,x) > h(y,d + h(x,z)

h(x,z) = h(x,y) + h(y,z) y h(z,x) s h(y,x) + h(x,z)o bien

El primer supuesto S1' prohibe que la expansión altere el sentido de

la valoración relativa básica (x - y) de forma análoga a como lo hace el

supuesto Sl en la versión dependiente de la diferencia. Según se tenga

h(x, y) mayor o menor que la unidad, el efecto será respectivamente de una

expansión o de una contracción de la utilidad relativa básica.

En el segundo supuesto SZ' se prohibe que la valoración cambie

bruscamente para pequeñas variaciones en los resultados.

El supuesto 53' impone, como parece natural, gu€ la utilidad expandida

crezca con el resultado de la acción elegida y decrezca con el resultado de

la opción rechazada, es decir, e(x, z) > €(y, z) y e(2, x) < e(2, y).

El supuesto 54' es un supuesto de regularidad que permite definir a

través de la función expansora H(x,y) = h(x,y) + h(y,x), los dos tipos de

agentes siguientes:

44



"Temperamentales" cuando H(x,z) > H(x,y) + H(y,z) V x > y > z

"Tibios" ante el éxito/fracaso cuando H(x,z) s H(x,y) + H(y,z) Y x > y > z

Consecuencias:

Cl: H(x, y) = h(x, y) + h(y, x) > O V x + y ; H(x, x) = o

C2t H(x, y) = H(y, x): La función expansora es simétrica con respecto a la

recta J = x por definición.

C3: H(x,y) es continua en R2 por serlo h(x,y)

C4; x > y implica ry'(x, y) = (x - y) H(x, y) > O, que se corresponde con

el supuesto OPC de Loomes y Sugden (1987).

C5: ú(x, y) = - ú(y, x): La función de valoración es hemisimétrica y por

tanto Vr(x, x) = O.

C6z ry'(x, y) es continua en R2.

Cilz ú(x, y) es creciente en el primer argumento y decreciente en el

segundo.

En efecto: del supuesto 53' se tiene que con x > y

(x - z) h(x, z) > (y - z)h(y, z) y (z - x)h(2, x) < (z -y)h(2, y) Vz

La segunda desigualdad es equivalente a (x -z)h(2, x) > (y -z)h(2, y),

por lo que sumada a la primena da (x - z)H(x, z) ¡ (V - z)H(y, z), es

decir:

g(x, z) > {t(y, z) Vz

Por hemisimetría se tiene de forma inmediata que ry'(2, x) < {t(2, y) Vz.

De lo visto se deduce que para x ) ! ) z, por el crecimiento en la

45



primera componente ry'(x, z) > ú$, z)

argumento ry'(x ,z) > ry'(x, y), entonces

$$, z) para todo tipo de agentes.

en el

d

v

SC

por decrecimiento

verificará 2 lt(x,

segundo

ú(x y) +

C8: Para los agentes temperamentales, las lÍneas de indiferencia se abren

en abanico desde un punto al sunoeste del triángulo de Marschak-Machina.

En efecto: Para x > y > z, para un agente temperamental se tiene que

H(x, z) > H(x, y) + H(y, z), ello implica por tratanse de cantidades

positiva que:

H(x, z) > H(y, z) y H(x, z) > H(x, y) se tendrá

(y - =) H(x, z) > (y - z) H(y,

(x - y) H(x, z) > (x - y) H(x,

Sumando (x - z) H(x, z) > (x - y) H(x, y) + (y - z) H(x, z) es decir,

z )

y)

ú(x, d > ú(x, y) + ttt$, z)

Esta desigualdad implica que las líneas de indiferencia

abanico desde un punto del suroeste del triángulo al igual que

del Arrepentimiento (sección 1.1) como muestra la figura 1.7.

se

en

abren en

la Teoría

/ 7

/ . , / // / - '

,.2

46

fie. r.7



C9: Pa¡ a los agentes tibios las líneas de indiferencia en el triángulo de

Marschak-Machina pueden cerarse o abrirse en abanico desde un punto del

suroeste del triángulo,

Para x > y > z , de 54' se tienen para un agente tibio las

posibilidades (a), (b), (c) y (d) siguientes:

(a) H(x, d < H(y, z) y H(x, z) < H(x, y)

(b) H(x, d > H(y, z) y H(x, z) > H(x, y)

(c) H(x, z) > H(y, z) y H(x, z) < H(x, y)

(d) H(x, z) < H(y, z) y H(x, z) > H(x, y)

En el caso (a): H(x, z) < H(y, z) y H(x, z) k H(x, y) de manera que

(y - z) H(x, z) < (y - d H(y, z)

(* - t) H(x, z) < (x - y) H(x, y)

y sumando las desigualdades anteriores:

(x - z) H(x, z) < (x - y) H(x, y) + (y - z) H(x, z l

r ! (x, z) < ú(x, y) + g(y, z)

lo que significa que las líneas de indiferencia se abren desde un punto del

noreste del triángulo ya que según vimos en la sección 1.1 las líneas pasan

pon el punto:

¡ -ú ú*= -ú", l(P"' P"' P*) = l.' T*=fl=q-' ga::a:- v-.' T-jET-. )' x ,z yz xy x ,z yz xy xz yz xy

donde ú(x, d = ú*", (t(y, z) = ú"", ry'(x, y) = úxy, (ver figuna 1.8).

47



f ig. 1.8

En el caso (b): H(x, z) > H(y, z) y H(x, z) > H(x, I) se tendrá de nuevo

al igual que para los individuos temperamentales, líneas que se abren en

abanico desde el suroeste del triángulo.

En los casos (c) y (d), podrá tenerse ú(x, zl > ú(x, y) + ú(y, z) 6

bien ry'(x, z) < ry'(x, y) + ú(y, z) según el rango de los resultados y de la

forma particular de la función H(., .) del agente de que se trate.

CIO: La función expansora de cualquien tipo de agente verifica que:

x - y H ( x , z )> - l V z

De la consecuencia C7 que establece el cnecimiento de la función de

valoración ry'(.,.) con respecto al primer argumento, se tiene que:

x > y + ( x - z ) H ( x , z ) > ( y - z l H ( y , z l V z .

Como x - z = y - z + x - y, la condición anterior se puede

expresar como:

(y - z) H(x, z) + (x - y ) H(x, z) > (y - z) H$, z) V z.

4A



Esta condición supone una limitación en

nespecto al primer argumento de la función

extensión de la condición de acotación del

definió en el caso dependiente de la diferencia4.

O sea: (y - z)[H(x, z) - H(y, z)l > - (x - y) H(x, z)

Con ello se verificará que:

y - z H (x , z ) - H (y , z ) > - l Yzx -y H(x , z

Yz .

el posible decrecimiento con

expansona H(.,.) y es una

índice temperamental que se

Una interesante consecuencia de ello es que cuando en particular

considera x > y > z siendo y próximo a x, la función expansora H(.,.)

todos los agentes tenderá a ser creciente en el primer argumento.

En efecto: Expnesando y - z = & (x - y) se tendrá que

H(x, z) r -ii "

H(y*, z)

donde y* = T+-

Con ello, para valores grandes de a, esto €S, para valores de

próximos al valor del resultado mayor x, debe verificarse que H(x, z)

H(y*, z).

4

Como x > y + x - z > y - z Vz, en el caso dependiente de ladi ferenciapodemos hacer x- z = y - z+k = € + k con k > O y, supuestaH(€) diferenciable, la condición anterior se reduce a:

se

de

a,

y*

z({)={ #8'-1

49



S e c o n c l u y e e n t o n c e s q u e l o s a g e n t e s t i b i o s p a r a l o s c u a l e s r y ' ( x , z ) <

ú(x, y) + ú(y, zl podrían invertir el sentido de la anterior desigualdad

(cambiar la forma de apertura en abanico de sus líneas de indiferencia en

triángulo de Marshak-Machina), precísamente cuando el resultado intermedio

y* sea próximo a x o equivalentemente, alejado del resultado mínimo z.

1.3.1.- Actitudes temperamental y tibia

Hemos visto (consecuencia C'l) que para todos los agentes se verifica

que 2ry'(x, z) > ú(x, y) + ry'(y, z). Mientras para los agentes tempenamentales

debe tenerse siempre ú(x, z) > ú(x, y) + ú$, d para cualesquiera

x > y ) z, para los agentes tibios sólo debe cuplirse la condición más

débil A!(x, z) > ú(x, y) + ú(y, d con ry'(x, d <,y'(x, y) + ú(y, z) o bien

ú(x, ) > ú(x, y) + ú(y, z) dependiendo de los resultados y de su función

expansora.

Calificaremos de "actitud temperamental" a la asociada con la

condición ry'(x, d > ú(x, y) + ú(y, d y de "actitud tÍpicamente tibia" a la

asociada a la desigualdad opuesta que denominamos "concavidad"

palalelamente a la condición de "convexidad" de Loomes y Sugden (1987).

Según esta definición los agentes temperamentales mantienen la actitud y se

corresponderían con los aversos al arepentimiento de Loomes y Sugden

(1987). Los agentes que hemos llamado tibios podrÍan manifestar actitud

típicamente tibia o por el contrario cambiar dicha actitud en función del

rango de los resultados o de su función expansora panticular.

Los agentes temperamentales o tibios de la versión dependiente de la

diferencia quedarían englobados dentro de los que manifiestan

permanentemente actitud temperamental o tibia respectivamente-

En el experimento de Hey y Orme (1993) al que hacíamos referencia aI

principio de la sección, las respuestas del 6L7. de los individuos

encuestados se podrían explicar dentro de este esquema de Ia versión

expandida general y ello nos animó a llevar a cabo el expenimento que se

reporta en el último capítulo de esta memoria con el objetivo de chequear

50



el modelo.

1.5.- Comentarios fináles

Et arrepentimiento/regocijo es una reacción psicológica que puede

surgir en los individuos al enfrentar una paneja de opciones en condiciones

de riesgo. En este capítulo a través de la estructura multiplicativa de la

función de valoración se ha definido un tipo de respuesta más general que

hemos denominado temperamentalidad/tibieza. En la versión de Utilidad

Expandida dependiente de la diferencia ha sido posible la definición de un

índice que clasifica a los individuos en temperamentales y tibios y los

ordena según la intensidad de su respuesta frente al éxito/fracaso.

La Utilidad Expandida general no permite definir de modo similar un

índice que clasifique y ordene a los agentes ya que precisamente lo que

este modelo propone es que los individuos que en él se han denominado

tibios puedan cambiar de actitud y manifestar temperamentalidad para

deterrninados resultados. Así, este modelo más general estaría de acuerdo

con los resultados empíricos en mayor medida que la versión dependiente de

la diferencia. No obstante a la hora de analizar teóricamente problemas

concretos pensamos que es importante, como ya resaltamos en la sección O.l,

elegir un modelo que pueda recoger las características principales de cada

problema particular, y eD este sentido pensamos que para el análisis de los

problemas de decisión de seguro, por ejemplo, la versión Expandida

dependiente de la diferencia es adecuada ya que además de resultar

operativa es capaz de incorponar al análisis sentimientos psicológicos que

como el arrepentimiento/regocijo pueden tener peso en la decisión como se

ha hecho en la memoria "Tres Ensayos sobre la Teoría del Arrepentimiento:

Aplicación a las decisiones de Seguno".

5l



CAPITULO 2

TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO: UN RESULTADO SOBRE DIVERSIFICACION *

2.I.- INTRODUCCION

2.2.- LA TEORIA HEMISIMETRICA SSB DE FISHBURN:

RELACION CON LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO

2.3.- SSB CON ESTADOS

2.4.. UNA ¡.TT-ICICION A LA VALORACION DE ACTIVOS ARRIESGADOS

2.5.- COMENTARIOS FINALES

2.6.. APENDICE

* El contenido de este capítulo se corresponde esencialmente con eltrabajo "Valonación de títulos con riesgo: Hacia un enfoque alternativo" deSirvent y Tomás (1992), WP-EC 9Z-O4, ME,.

52



2.1.- Introducción

El problema genérico de la valoración de activos arriesgados es un

tema clásico de la literatura de decisión en condiciones de riesgo, para la

cual la Teoría Clásica de la Utilidad Esperada, presentada por Von Neumann

y Morgenstern (1944), continúa siendo el paradigma a pesar de que se apoya

en supuestos tan controvertidos como el axioma de independencia. Los

resultados clásicos del análisis del problema de selección de cartera,

vienen a explicar la diversificación entre activos indiferentes y la

existencia de cartera óptima a través de la aversión al riesgo, es decin, a

través de la concavidad de Ia función de utilidad del agente sobre el

dinero. Pon otro lado, los cómputos explícitos de la cartera óptima

requieren restricciones paramétricas y/o funcionales como por ejemplo el

que en la valoración de los activos con riesgo, se tome sólo en

consideración la media v la varianza.

Nuestra intención es la de aproximarnos a este problema analizando en

concreto el caso de un agente que se enfrenta a la valoración de { activos

financieros (títulos) teniendo en cuenta aspectos que se sepanan

notablemente del tratamiento tradicional como la incorporaeión de

sentimientos psicológicos distintos de la aversión al riesgo que obligan a

relativizar la elección valorando por pares y apareciendo en consecuencia,

la posibilidad de que las preferencias del agente no sean necesariamente

transitivas. Estas mismas ideas fueron aplicadas al problema de la toma de

seguros, explicando la existencia de contratos entre agentes neutrales

frente al riesgo y un posible mecanismo de selección favorable. También

Shefrin y Statman (1990), analizan el problema de la existencia de los

brokers en los mercados bursátiles como un mecanismo de delegación en el

que la variable que explica dicha delegación no es la aversión al riesgo,

sino una componente psicológica que modifica las preferencias del agente.

Con la idea de eliminar las incongruencias entre el comportamiento

observado y las predicciones de la teoría normativa clásica, han surgido a

lo largo de los últimos años, no pocas propuestas alternativas a la Teoría

de la Utilidad Esperada, y algunas de ellas se ajustan perfectamente a

53



nuestro propósito. Tal es el caso de la Teoría del Arrepentimiento (Loomes

y Sugden (1982, 1987), una teorÍa de elección por parejas cuya idea central

consiste en que los agentes, al elegir una determinada opción, tienen en

cuenta que están de hecho rechazando otra opción alternativa. El

arepentimiento,/regocijo BS, entonces, una modificación de la utilidad que

el agente deriva de lo que ha elegido, provocada por el sentimiento de

aquello a lo que ha renunciado.

I-a. Teoría del Arrepentimiento, de carácter esencialmente descriptivo,

no resuelve el problema de elección entre n alternativasl, salvo en el caso

de transitividad, pero es posible considerar esta' teoría dentro de un

modelo más general como es la Skew-Symmetric Bilinear (SSB) con estados de

Fishburn (1984b). En este marco de la teoría de Fishburn,

existencia de elementos maximales incluso en el caso

cíclicas.

se

de

garantiza Ia

prefenencias

Al abordar nuestro problema desde este enfoque, si bien se asegura la

existencia de un maximal en la envoltura convexa de los activos

disponibles, tales elementos maximales no resultan, en general, una

posibilidad real para el decisor ya que se trata de soluciones

probabilísticas. Lo que nosotnos hacemos en este trabajo es asociar a tales

soluciones una cartena accesible que goza de algunas propiedades que

entendemos la hacen "recomendable". Además, probamos que tal cartera es

fácilmente computable y óptima bajo determinadas condiciones.

I

En un reciente trabajo, Sugden (1993), recuperando algunas ideasapuntadas en Loomes y Sugden (1987), extiende Ia TeorÍa del arrepentimientoal caso de n alternativas, de modo que la valoración sigue siendo binaria,pero tiene en cuenta no sólo el par concreto que se enfrenta, sino tambiénel resto de alternativas disponibles. No obstante, esta generalizacióncontinúa sin resolver el problema de la existencia de elementos maximales.

54



2.2.- La Teoría Hemisimétrica SSB de Fishburn: Relación con la TeorÍa del

Amepentimiento.

Aunque la Teonía SSB (Skew-Symmetric-Bilinear) de Fishburn ¡9eZ)

tiene características comunes con la TeorÍa del Arrepentimiento de Loomes y

Sugden (1982, 1987) hay también algunos puntos que las separan. Pretendemos

en esta sección hacer un resumen de la SSB par"a poderla comparar con Ia

TeorÍa del Arrepentimiento que presentamos en el capítulo anterior, sección

1 . 1 .

2.2.1.- La teorÍa hemisimétrica SSB de Fishburn

La TeorÍa Hemisimétrica o SSB de Fishburn (J982) es una de las teorías

alternativas a la Utilidad Esperada que renunciando a una representación

uniparamétrica de las preferencias hace hincapié en la elección entre

parejas de alternativas.

Aunque esta teoría se construye, al igual que la Teoría Clásica,

partiendo de un conjunto de axiomas sobre el conjunto de loterías la

racionalidad que determina es menos rÍgida que la impuesta por la

axiomática clásica. La regla de elección se fonmula también sobne loterías.

La SSB prescinde del axioma de independencia y de la transitividad

sobre las preferencias y aporta un resultado particularmente interesante:

la posibilidad de encontrar maximales entne múltiples alternativas aún en

el caso de preferencias cíclicas, si se amplÍa el conjunto de elección a la

envoltura convexa.

El punto de partida de esta teonía es el conjunto X + a de los

resultados posibles de una elección. A partir de él se construye una

o-álgebra I de subconjuntos de X que contenga todos los resultados simples

{x'} / x e X. Se considera eI conjunto convexo P, de medidas de probabilidad

definidas sobre f[ con soponte finito: P - {p: f --s [O,l] / sop p es

finito ).

55



Los supuestos que se hacen sobre los elementos del conjunto P

(loterias o prospects) son los siguientes:

C ( C o n t i n u i d a d ) : p ) q , q ) r = ) 3 a e ( O , L ) / q - c ¿ p + ( 1 - a ) r .

D (Dominancia-Convexidad):

P > Q, P : r =) p ) a q + (1-a) r , V a e (O,l)

g ) p, r : p -> d, q + (l-a) r ) p, V c¿ e (0,1)

p - g, p - r =) p - a q + (1-c) r , Y a e (O,1)

S (Simetría): p > q, q ) r, p ) r, g - 0/D p + 0/D r =)

a p + (1-c) r - 0/D p + 0/2) q (=) cr r + (1-c¿) p - 0/D r + Í/2) 9

Estos axiomas son condiciones necesarias y suficientes para la

existencia de un funcional SSB (hemisimétrico y bilineal) que represente

las preferencias sobre loterias resultado que se recoge en el siguiente

Teorema de representación (Fishburn, 1982)

La relación ) sobre P satisface los axiomas C, D, y S si y solamente

si existe una función $: P x P --*-+lR, hemisimétrica, bilineal y única

salvo transformación de semejanza tal que:

p > q e {(p,q) > O, V (p,q) e P x P

Una vez definida la representación

loterías P X P, se puede extender la

siguiente forma.

SSB en el conjunto de pares de

definición a los resultados de la

Dado el conjunto X de resultados y el conjunto P de medidas de

p r o b a b i l i d a d d e f i n i d a s s o b r e X , c o n s o p o r t e f i n i t o , e s d e c i r , p ( x ) >

para todo x y p(x) > O para un número finito de puntos de X, de forma que

I p(x) = l, se define la función ry' en X x X como:x

Vr(x, y) = S(p,q) cuando p(x) = p(y) = t

56



teniéndose entonces aplicando la bilinealidad de la función 0(..), la

siguiente relación:

c(p,q) = t[ I

p(x)x*, rJ = |

p(x)ó(x*,q) =

=I Ip (x )q (y )ú (x* ,y * )=x y

= I I p(x)q(y)r/x,y).x y

Expresada la valoración en términos de los resultados, ry'(x,y)

reflejaría la intensidad relativa de las preferencias del individuo al

enfrentar los resultados x e y. C(p,q) aparacería entonces, consideradas

las loterías independientemente, como el valor espenado de estas

intensidades ponderadas por las probabilidades p(x)q(y).

Los supuestos D y S de dominancia-convexidad y simetría implican que

las líneas de indiferencia sean rectas que pueden contarse en el interior

del triángulo de Marschak-Machina (pueden verse los detalles en Fishburn

(1982, 1988).

2.2.2.- Conexión entre la Teoría del Arrepentimiento y la SSB.

Tanto la SSB de Fishburn (1982) como la Teoría del Arrepentimiento de

Loomes y Sugden (1987) son teorías binarias en las que la elección se

plantea sobre pares de alternativas y se prescinde, en general, de la

transitividad. Aunque ambas teorías presentan rasgos comunes, sus puntos de

partida y sus "filosofÍas" son distintos.

La TeorÍa del Amepentimiento es descriptiva e intenta recoger

aspectos psicológicos de los individuos mientras la SSB es una teoría

normativa fundamentada en una axiomática que prescribe un determinado

comportamiento racional.

La. Teoría del Amepentimiento plantea la elección entre acciones

I n{x)O[x*, I qty)v*)

57



(vectores de resultados estado-contingentes) y la SSB parte del conjunto de

resultados y opera con loterías o distribuciones de probabilidad sobre

tales resultados.

Las características comunes a ambas teorías se concretan en que

prescinden del axioma de independencia así como de la transitividad, por lo

que permiten la existencia de preferencias cÍclicas y resultan consistentes

con buena parte de las violaciones constatadas a la Teoría Clásica. Además,

ambas teorías conducen al mismo tipo de regla de elección.

La elección entre loterías, contemplada desde la Teoría del

Arrepentimiento no resulta posible a menos que la matriz de resultados

estado-contingentes esté perfectamente definida, ( hay que tenen en cuenta

que una pareja de loterías puede ser consistente con matrices diferentes

puesto que acciones distintas pueden corresponder a una misma lotería).

Pero en el caso de que las loterías sean estocásticamente independientes sí

es posible determinar unívocamente la matriz de resultados contingentes

definiendo un sistema de estados del mundo de manera que para el estado del

mundo s la lotería p de el resultado x y la loterÍa q el resultado y con

probabilidad p(x)q(y). La regla de elección para la Teoría del

Arrepentimiento sená en este caso coincidente con la regla de valoración

SSB.

P : q <r I I p(x)n(r)¡y'(x,y) = ox y

Un estudio detallado de estas conexiones puede verse en Loomes y

Sugden (198?) y Fishbunn (1987).

58



2.3.- SSB con estados.

Resuminemos en esta sección la Teoría SSB con estados de Fishburn

(19S4b) que pretendemos utilizar para nuestro análisis de la valoración

binaria de { activos arriesgados cuando las preferencias no son

necesariamente transitivas.

Si la Teoría SSB original (Fishburn (1982)) parte como hemos visto de

un conjunto X de resultados posibles y toma como conjunto de elección el

conjunto P de loterÍas sobre X como en la Utilidad Espenada, la Teoría SSB

con estados (Fishburn (1984b) parte, al modo de Savage (1954), de un

conjunto finito y exhaustivo S de estados del mundo excluyentes entre sí y

asocia a cada estado del mundo una lotería o distribución de probabilidad

sobre X, de manena que los elementos del conjunto de elección son lo que en

la literatura se conoce como acciones-loterías (Anscombe & Aumann, (1963);

Pratt, Raiffa & Schlaifer (1964)). Tenemos asÍ las siguientes definiciones:

Una acción es una función A:S ---+X, que asocia a cada estado del mundo

s e S un resultado, siendo A(S) finito.

Una acción-lotería se define de modo que a cada estado del mundo se

h a c e c o r r e s p o n d e n u n e l e m e n t o d e P , ñ r S - - - - - - + P , P = { p : X - - + Í O , l l /

s o p ( p ) f i n i t o y I p ( x ) = I ) .x€Sop ( p )

Si una acción asocia un resultado ciento a cada estado del mundo y

una loterÍa una probabilidad a cada resultado posible, una acción-lotería

asigna a cada estado del mundo una distribución de probabilidad de soporte

finito sobre el conjunto X = { "r,

Xt,...x*,..} de resultados posibles

como se detalla en la siguiente tabla

59



El conjunto de acciones-lotenías será entonces:^nP" = {p= (p r ,p r , .pn ) / Ore P Y r }

de manera que p. es la distribución de probabilidad de los resultados queJ

se asigna al estado sr.

En el conjunto Pt se definen las combinaciones convexas de

acciones-loterías de forma natural:

rp + (1-l)9 = ()tpr+ (l-)r)er, . . ¡pr,* (l-r)er,)

modo que en cada estado sr, la distribución de probabilidad asociada es

+ (1-)t)q. .J

Con ello, Pt es un mixture set. Supongamos que el agente tiene

definidas sus preferencias sobre Pt, verificandose las hipótesis de C

(Continuidad), D (Dominancia-Convexidad) y S (Simetría) de la SSB vistas en

la sección anterior. En este caso el teorema de representación (sección

2.2) gararrtiza Ia existencia de una función bilineal y hemisimétrica O: Pnx

PN

de

^0,

60



O(p,q) * Q (=) p > q. La valonación relativa de acciones-loterías se resume

entonces en el anáIisis de los valores que toma la funcional 0. En

particular, la funcional 0 permite comparar acciones, ya que éstas son

casos particulares de acciones-loterÍas, para las cuales cada una -de las

distribuciones p1,...,p. son degeneradas (vectores canónicos).

Nótese que, por extensión, podemos considenar O definida sobre PxP,

def iniendo $(p,q) = o[(p,p,. . . ,p),(q,q,. . . ,q)1, como el valor que toma o

sobre las acciones loterÍas constantes que asocian la lotería p

(respectivamente la lotería g), a todos los estados del mundo. De forma

análoga, podemos suponer que O está también definida sobre XxX,

i d e n t i f i c a n d o c a d a r e s u l t a d o x € X , c o n l a l o t e r í a P " : X - >

forma que p--(x) = 1, p--(y) = O, V y É x. Así, al disponer de una funcional- - x ' x -

que valora por pares acciones-loterías, tenemos recogida en ella en

particular las valoraciones por pares de acciones, loterÍas y resultados.

La introducción de supuestos adicionales permite diferentes

especificaciones de la forma anterior. Un conjunto de axiomas particular

que presentaremos a continuación (véase Fishburn (1984b)), proporciona una

regla de valonación operativa.

Dados p, g € P, denotaremos [p, q]r al elemento de Pn que asocia la

loterÍa q a todos los estados, excepto al estado ri, al que le asocia la

lotería p. Por otro lado, designaremos por ñ" a la acción-loteria que

asocia la lotería p a todos los estados.

El concepto siguiente se refiere, intuitivamente, a la "probabilidad"

que el agente asigna a ciertos estados del mundo:

Definición 2.1. Un estado s, se dirá nulo si [p, rl, - [q, rl, V p, q, re P

La idea de estado nulo puede vincularse al concepto de que eI agente

piensa que esüe estado no tiene probabíLidad de ocurrír, por lo que si dos

acciones-loterÍas son idénticas, salvo en la loterÍa que asignan al estado

"i, el agente resulta indiferente ent¡"e ambas. Se considera entonces el

6l



siguiente conjunto de axiomas:

Fl.- Al menos hay un estado no nulo.

F2.- Si ",

I "j

son estados no nulos, [p,rl, > [q, r]r =) [p, rl, > [9, rl,

F3.- Si f , g, h, es una permutación cualquiera de [p, rJr,[g, rlr,-f,

entonces:

f - re + ( r - I )h -> ! , * f ,h

- i hg + ( l - r )h l .

: h

El axioma F2, expresa que la relación de preferencias en P, dentro de

cada estado (fijada una misma dist¡"ibución en el resto de los estados), es

la misma para cada estado no nulo. Es una forma de deci¡' que los estados no

tienen utilidad por sí mismos, sólo tienen posibilidad de ocurrir.

El axioma F3 es una versión restr"ingida del axioma de Henstein y

Milnor (1953) que no lo implica, como tampoco implica la transitividad para

Ias acciones-loterias constantes.

Se tiene entonces el siguiente teorema:

Teorema (Fishburn f984b).- Si en (P', t ) tenemos definida una relación

de preferencias, las condiciones siguientes son equivalentes:

(i) se verifican los axiomas C, D, S, Fl, F2 y F3

(ii) existen una funcional bilineal y hemisimétrica iD : Pt* Pt-> R,

y números n > O únicos ,i rr=, , oJ= Q (=) s- es nulo) de. ¡ l r J J J

manera que:

v f,{e P" o(ñ, a) =.i_o, o(pr,e¡)J = 1

-

En el caso en que se den todas las hipótesis especificadas en los

axiomas C, D, S, Fl, FZ y F3, la valoración de las acciones-loterías

resulta, pues, particularmente openativa. Nótese que f, valora prospects en

cada estado del mundo como en la SSB original (Fishburn 1982); cuando p, y

9, son degeneradas se tiene la regla de valoración como en la Regret TheoryJ

62



(Loomes & Sugden

resultados ciertos

respectivamente.

nlg82) O(t,q) = f try'(xo,xo ),

J = l - ' J ' J

asociados a las distribuciones

siendo *or' *or' los

degenerada" pJ, eJ,

En el marco de la teoría que estamos comentando, un elemento F ¿" pt

es maximal para la relación de preferencias cuando se cumple que O(f,,f,) = O

para todo A en Pn. El resultado siguiente garantiza la existencia de

elementos maximales cuando nos movemos en La envoltura convexa de un

conjunto fínito de elementos en Pn:

Teorema (Fishburn, f984a).- Sea el conjunto Pn en el que tenemos definida

una relación de preferencias que satisface los supuestos C,D,S. Entonces,

para todo subconjunto finito Q c Pn, existe un elemento p* en }t(Q) tal que

O* : n, para todo q e ?C(Q), siendo }f(Q) la envoltura convexa de Q.

La prueba del teorema anterior proporciona, a su vez, un método para

la obtención de f,* "orno

solución de un juego simétrico cuya matr iz de pagos

es la matriz hemisimétrica de valoración de los panes de elementos de e.

63



2.4.- Una aplicación a la valoración de activos arriesgados

Comenzamos esta sección identificando, en el problema de la selección

entre activos arriesgados, los diferentes tipos de entes que v¿rmos a

considerar, para posteriormente, proceder a su valoración en los términos

de la teoría presentada en la sección anterion.

2.4.1.- Títulos, tltulos compuestos y carteras.

Por título entenderemos un activo financiero que da derecho a la

participación en los beneficios de una Compañía (que cotiza en Bolsa), de

manera que al final de un determinado período de tiempo proporcionará, por

unidad monetaria invertida, un rendimiento que dependená de que se

produzcan ciertos eventos que se entienden fuera del control del inversor.

El rendimiento se define como:

va lo r de l t í tu lo a l f ina l de l per íodo -va lo r in ic ia l + d iv idendos

t -

v a l o r i n i c i a l

con lo que r será un número real.l

Un título pues, lo podemos representar como un vector de resultados

estado-contingentes en los que el agente ha estimado un resultado cierto,

dependiendo del estado del mundo que se realice. Se tiene entonces

representado un título mediante una acción, como es habitual en el

tratamiento clásico del problema de valoración de títulos y selección de

cartera. (Ver por ejemplo Fond (1983) o Sharpe (1970)).

El problema que que vamos a considerar es el que enfrenta un decisor

al valorar los 0 títulos disponibles T1, Tz,...TL, para distribuir una

1

La posibilidad de activos sin riesgo o con rendimiento fijoindependiente de los estados del mundo como el ahorro en el Banco o losBonos del Estado está incluida en el concepto general de título.

64



unidad monetania de su riqueza en la compra de uno o más de ellos. Haremos

Ios siguientes supuestos:

Supondremos que el inversor es capaz

exhaustivo (que puede ser simple o muy

exc luyentes en t re s Í : S = { " r , s2 , . . . ,

prevalecerá al fin del período considerado.

de construir un sistema finito y

detallado) de estados del mundo

s ), uno sólo de los cuales*.-r P

Supondnemos que las cantidades inventidas en cada título no pueden serT,

negativas ni mayores que la unidad así, I l, = I I trr = O Vi, siendo 2t, lal = l

parte de riqueza que se invierte en el título T..I

Este supuesto

es utilizado en los modelos standard de selección de cartera que

tampoco contemplan la posibilidad de "quedarse corto" o pedir prestado.(Ver

por ejemplo Markowitz (1987) o Sharpe (i970)). En nuestro caso, resulta

imprescindible pana poder aplicar al problema la teorÍa SSB con estados.

Supondremos por último que es posible inventir cualquier cantidad )t €

[O, 1] en cualquiera de los 0 tÍtulos.

Un tÍtulo se puede nepresentar como una acción, como ya hemos visto, o

bien como una acción lotería de la siguiente forma: Si llamamos X, el

conjunto finito de resultados del título T, y X = X, u X, v u X¿

podemos representar el título I,

como vector. de distribuciones de

probabilidad degenenadas T, = 1ni, p'2, ...p:) donde p': H(X) ---+ [0, 1] es

una distnibución de probabilidad que asocia a cada estado s

cierto y H(X) es la envoltuna convexa de X2.

. un resultadoJ

Definición 2.2.- LLamaremos título a todo n-vector de loterías degeneradas,

que asocia por tanto un resultado cierto a cada estado del mundo.

)En principio es suficiente considerar sólo el conjunto X para poden

representar un título como una acción-lotería, para poder incorporarposteriormente las carteras como títulos consideraremos de entrada H(X).

65



Definición 2.3.- Consideremos un título Tr. Definimos una participación-tr

P,(T.) en T. como un nuevo vector de resultados estado-contingentes queA l t

proporciona en cada estado del mundo s. (j=t,/...n) los rendimientos 1,x..,J T J

siendo x los rendimientos de T.

Según la definición, P,(T.) corresponde a la inversión de )t unidades' A t

monetarias en el título Ti. Ya que hemos excluido la posibilidad de venta

de títulos y de dinero prestado tendremos O = ¡, = l.

Definición 2.4.-

participaciones S

Dados 0 títulos Tr, T2...,

= Ptr (Tr) + PI (T2) + . . . +

Tn definimos la suma deL

P, (Tr) como la acción quen L L' L z

proporciona el resultado I l.x-. en cada s-., l r i i i J

Definición 2.5.- Dados 0 títulos Tr, Tz, T¿ consideremos las

participaciones Ptr (T1), Ptr (T2), ..., P) (Tr). Llamaremos cartera-i C(I),I z

n l L

I = (Ir, tr¿), de los títulos Tr, ..., Tt a toda participación

simultánea en ellos (suma) que esté normalizada, esto es:

c(i) = Pr (Tr) + P, (T^) + .. . + P. (T¿),n r ' n¿

Lc o n t I = l v

l 'i = 1

T = O V iI

Queda pues definida una cartera mediante

monetaria distribuída en participaciones en

disponibles.

inversión de una unidad

los diferentes títulos

66



sI

T(.I

s2

TE2

sn

ltn

l 2

x2 2

*¿"

P; , , (T r )

P ^ 2 ( T 2 )

Pr¿ ( T¿)

Definición 2.6.- Dados

compuesto T de ellos

te(TfT2,. . . ,T¿,).

¿T = I I T

i tI = l

* ¿ r ,

I xr t 2

I x2 2 2

\¿ . *¿ " . " ' t r¿ *¿ r ,

*¿ ,

t r xI 1 l

) t x? 2 L

\¿*¿,

c( r)

Dados dos título" Tr, Tz, una combinación convexa de ellos T = ). T, +

(1-I)T^ ), € [O,l], la interpretamos como un nuevo título (que llamaremoszcompuesto) T = 1pr, pz, . . . ,prr) , con pJ = Iel + {r- f)nl , para j = l , 2,

n de manera que da el resultado *J, con probabilidad ^o, y el

resultado x.^ con probabilidad (f-¡)2. para el estado del mundo s. cuyaJ 2 J . J

probabilidad es n.. Tiene pues sentido hablar de la envoltura convexa de

los 2 títulos, por ,lo Ou" damos la siguiente definición:

¿¿I ) t x I ) t x

I n l l 2l = 1 l = 1

T,t ) \ = |

tl= i

¿I l,*,,,

l = l

los

a

tÍtulos Tl, Tz, T¿, llamamos título

todo elemento de la envoltura conyexa

: O V it

67



T,c o n D = I ) t r 't - ' ' i i J J = l ' ¿ ' " ' ' n '

' l = 1

-

Es claro que los títulos compuestos no se pueden representar como

acciones sino como acciones-loterías: Dado un estado del mundo, un título

compuesto da una distribución de probabilidad sobre los resultado ciertos

de los títulos originales por lo que no están al alcance del agente. Por

otra parte, un título compuesto no es tampoco una cartera (una cartera es

una acción). No obstante, dado un título compuesto podemos asociarle una

cartera de la siguiente forma:

Definición 2.7.- Sean

título compuestoI T

t I = I : Te P ' .V rt t

l = l

T= I ^ iT . ,O=^ r= t ,l = 1

¿definiremos Ia cartera C(f,) asociada a T como: C(I) = t P. (T )

A Il = 1 t

Siendo el título compuesto T una ponderación probabilística de los

tÍtulos elementale" Tr, la cartera asociada ha sido definida como una

participación simultánea de )., unidades monetarias en cada Tr. La idea base

en la asociación mencionada consiste en tomar ponderaciones monetarias a

partin de las ponderaciones probabilísticas del título compuesto.

Se tiene entonces la siguiente propiedad:

Proposición 2.1.- Sea T € 1t(Tr,...,Tr) un tÍtulo compuesto y construyamos

la cartera asociada C. Entonces, para cualquier distribución de

probabilidad que el agente asigne a los estados del mundo, nf-..fi.r con

tr, 2 o para todo j = lr. . .rD, ! o, = r,J = 1

J

(i) T y C poseen la misma media.

(ii) La varianza de C es estrictamente menor que la varianza de T.

La prueba de (i) es inmediata ya que asociada al título compuesto T

Tr, T z,

T, títulos elementales. A partir del

68



se tiene la cartena

C(lt, lz, . . . , ^¿) = Ptrr(Tr) + P^r(Tr)+ .. . + P^r(Tr)

de modo que E, = E..

Para probar (ii) tendremos en cuenta que los momentos de segundo ordende la cartera y el tÍtulo compuesto T son:

2 _ 2 2m = L + o

c c c

z ^ 2 2m = t . + ( '

T T T

I

v' l

) tx + ( l - ) t )vI - l

tT= f )\rT, tr,=O

l = l

x2

v' 2

l x + ( 1 - ) t ) v2 ' 2

- 2Aft x

2 2

2,l t x l

n n

T.I )\.=l

Il = 1

(cartera)

(título compuesto)

J

vJ

. ¡ * ( l - l )Y j ) tx , r+ (1- ) t ) r '

donde n" y "i

son las varianzas respectivas, para probar que n'. , "".,

bastará probar que ^" . *;. Comencemos considerando dos títulos:

s2

TÍ,2

sI

rf.I

sj

7t

sn

TTn

T2

c() r )

T= t rT r+ (1 -2 \ )Tz

r ' ;= rz rxz+( l - rh r ry?

= )t[tt xz + Í xz + ...

+

+

+

+

(r-7oÍzy: +

(r-I)tzrrf

+^n x2n n

2+ fÍ v +2 - Z

t(r-)t)z y-n n

2 .+ r y Jn n1 1 2 2

- ^*i * tr-l)ml (r)

donde *] ""

el momento de segundo orden de T-l - 1

69



*l ""

el momento de segundo onden de T-.2 - z

Para la cartera C()t) tendremos:

mz = zr[2txr + (l-l)yrlz + n"I\xz + J-\t)yzlz * ... +n.,[)\xr, + (1-)r)y,r]2 =

= ¡zÍor*21 * n"*Z + ... + or,*'l * tt-ltlzfurll * o"y| + ... + nnr(l * n =

= r'-f + (t-r)zml + c

donde a = 2l(l-l)[nrxry,

de (I) y ( I I )

(u)

* or*rY.- + ... + orr*rrYr,l

* [tr-rt'

- (1-r)] mf, + z)tí-r)tn,x¡2 - zlnrxr!, * o"i"rr+ ... + o"*r,rJ

.3 -*í=(^2-

Ttxy l= I ( r -1 ) fmn n n L

c o m o l ( ) t - l ) < O , O < ¡ , < l

2 ( z x v + t t x v + . . . +I 1 - l 2 2 ' 2

que:

2 2 2 2m + m = z x + t t x

L Z 1 1 2 2

' 2 2 ' ' 2= I t t X + V J + t t [ XI I - l 2 2

+ f t x v + . . . +| 2 1 2

' - ^ ' < o c u a n d o ̂ " * ^ " ,se tenora que mc T I Z

urrxrrlrr), peno ello siempre se verifica puesto

2 2+ ' '* *rr*r, * orY,.

z 2* nzYz + ... + orrYr, =

z - . - 2 . . 2* Yrri = ttrlxr-Yrl + Ízlxz-yzl +2 , , 2+ y ^ , + . . . + 1 r ( x¿ n n

)r)m2I

2 + mI

. . . + Í I* -y l ' + Zn-x]y. + zTt-x-y-+ . . . + 2 n x yn n - n I l - l ? 2 ' 2 n n - n

así:

^ t * ^ ' - Z ( n x v + ? r x v + . . . + n x v ) =' =1r'*, -t r'r-') . -:r':, - ,tl '. ": :-"

o r , ( * . r - I r r ) 2 > o

' 2 , ' > Z ( o * v + . . . + z x v ) . y D o r t a n t oPon lo que ml + ' ' t

r l - t n n -n -

2 2o < o

C T

En general sean ahora T , ,T ".

. . T ¿ para los que tend¡"emos el título

70



T = I tr,T, Y la car"tera asociada C(l) = I PI (Tr)l = 1 l = 1 t

L-t 2.- tConsideremos U = IUrTr, C(F) = f Pr..(Tr)

l = 1 l = 1 ' I

L-t ¿.entonces: T = cr U + (l-cr)Tn = ü t pJr* (l-c)T, = I lr Tr con

" t l , r = l

i = 1, 2, . . . (2-I) ; ) t , = (1-c)L

Para la cartera C(a) tendr-emos:

I =1 wi,

C(cr) = Pc(U)

Pero C(a) =

L - tPT

al = 1

De modo

+ Pr-o(Tr) Y, Por el resultado anterior, "?,or*",

Po(C(r)) + Pr_o(Tr)=

l - t ¿tult,' + P1-6r(T¿)=,lrtour(T,)+ Pr-o(T¿) =

,frt^,tt,' = c(r)'

que o]lr< ";.f

2.4.2.- Valoración de tÍtulos y carteras.

Nos planteamos aho¡ a el problema de la valoración de títulos por un

agente decisor particular. Recordaremos brevemente algunos resultados

clásicos.

En el caso de un agente VNM, cuya utilidad básica viene dada por la

función u:R

regla de Ia utilidad espenada, esto €s, define una función v(Tr) = i o,J = 1 -

u(xrr), i = I,...,1, siendo (zr,...,zrr) las probabilidades asignadas a los

estados del mundo. Este tipo de agente valorará las carteras de la

siguiente manera: Una cartera C()\) es una lotería cuyos resultados, en cada!.

estado del mundo s- vienen dados por ulr^u*ur,

i=l,...,D. En este sentido,

/

7t



la valoración de un agente que maximice la utilidad esperada de la cartera

C(tr) es, simplemente,

vlc()r)l = I o,J = 1 "

¿u[ f ?tox",l

k = 1

Un resultado elásico es entonces eue, si los tÍtulos T1,...,T¿ son

indiferentes para el agente, y éste es averso al riesgo (u(.) estrictamente

cóncava), la cartera C(I) es prefenida a cualquiera de los tÍtulos que la

comPonen. AsÍ, la aversión al riesgo aparece como una justificación de la

diversificación entne títulos indiferentes. Por otra parte, si la función u

es conocida, la cartera óptima se encuentra nesolviendo el siguiente

problema de optimización:

Max vlC(I) lT.

s . a . t ) \ = lk

k = l

Una de las dificultades a la hora de resolver el problema de

optimización anterion es la falta de algoritmos, salvo en el caso en que la

función u tenga propiedades muy particulares. La literatuna clásica sobre

selección de carte¡'a ha destinado una buena parte de sus esfuerzos al

análisis de este problema en casos particulares que resulten operativos. El

modelo más conocido es el denominado "media-varianza", presentado

inicialmente por Tobin (1958), y que supone que La valoración de una

cartera es únicamente funcíón de La media y La va¡ianza de dicha cartera.

Elto supone que vtc(I)l puede expresarse como una función FtEr(^),r3(^)1,n 2 2 L L

d o n d e E ^ , , . = I z - [ I I x - - ] , u , ^ u - F F l I o . s i e n d o t r l a-C(^ ) , : . J . - . r ( r (J t "C(^ ) - .L - .L - " t " j - rJ '

U

covarianza de los iitlt"r ;:: t.. i=rr=l

L ' J

Para conseguir expresar la valoración de carteras mediante una función

F que dependa sólo de la media y de la varianza de las mismas, hay que

suponer bien que la utilidad básica es cuadrática, o alternativamente, que

las distnibuciones de probabilidad sobre los rendimientos de los títulos

son particulares. Muchos de estos supuestos han sido ampliamente criticados

[Pueden verse al respecto Arrow (1974), Borch (1969), Feldstein (1969),

72



Tobin 1969, chamberlain (1983) y Ross (1978)1. Además, la valoración de

canteras y tÍtulos mediante la regla de la utilidad esperada supone el

admitir unas propiedades específicas (alguna de ellas también muy

criticada) acerca de las prefenencias del agente sobre el espacio de las

loterías.

2.4.3.- Aplicación de la SSB con estados a la valoración

títulos. Un primer resultado de diversificación.

de

Vamos ahora a suponer que los agentes

preferencias ] sobne el conjunto convexo de títulos

Tr) de modo que se verifiquen los axiomas C,L

(Fishburn (1984b). En tal caso, sabemos que existen

hemisimétrica

O: l f(Tr, Tr, . . . , Tr)xlf(Tr, Tr, . . . , T¿) -t

y números (zr,...,rzrr) no negativos, cuya suma es l, y que podemos

identificar con las probabilidades que el agente asigna a los estados del

mundo, de tal forma que V T,U e }t(Tr, Tz, ..., TL)

0 ( T , U ) = f o , 0 ( p , , 9 , )J = r -

siendo T = ( pr, pr, . . .pn), u = ( gr, gr, . . .grr) . En tal caso,

nT > U (=) O(T, U) = I o, C(p,, 9,) > O

J = 1 '

La bilinealidad de o permite calcular o(T,u) en función de la

valoración de las parejas de rendimientos de los tÍtulos Tr,...Tr: Llamemos

bltl a una matriz lxl tal que úu.= o(Tr,Tk), i,k = 1,...,1- Entonces, o(T,u)¿ L

= I I trr&u úro = (trr,...,Ir)[r/ l(ur,...,1r¿)'l = l k = l

siendo T = IrT, +...+7tf, y U = FrT, *.. .+ l t f¿

Pon otro lado, para las parejas de títulos, se tiene que

tienen definidas sus

compuestos X((Tr, Tz,

D, S, Fl, FZ, y F3

una funcional bilineal

73



T, i To (+ o(Tr, Tk) = .,!ro,

,y'(xiJ, x.r) = o

donde *rJ ""

el resultado asociado a la acción (título) T, en el estado del

mundo s,. Así, las probabilidades asociadas a los estados del mundo,J

permiten ponderar las valonaciones relativas de resultados para títulos

alternativos, mientras que las probabilidades asociadas a los diferentes

títulos, cuando nos movemos en la envoltura convexa ?l(T{...,T¿), permiten

ponderar las valoraciones relativas de parejas de títulos para valorar

tÍtulos compuestos.

Consideremos entonces el problema de decisión con que se enfrenta un

agente, ante el cual se presenta un conjunto finito de alternativas

arriesgadas, dadas po¡. los I títulos T1,...,T¿. Supongamos que se da el

caso de que dichos tÍtulos resultan ser, para el agente, indiferentes dos a

dos, esto es Ó(Tt,Tk) = O para todo i,k =1,...,¿. Consideremos una cantera

C(f), construída a partir de dichos títulos,

Entonces: C([) :

carteras,

, *["i,^"*n' *"JTa

n(+ f , z

J = 1

i 9. Además, dadas dos

c(t) > c{[) <=> i ou* t I ^,*,u, I u,*,u ] = ok = l l = 1 l = 1

En estas circunstancias, si se conoce la funcional ,lt que valora las

parejas de resultados, es fácil compar"ar carteras alternativas, si bien no

es posible encontrar en general, cuando las preferencias no sean

transítivas, la cartera óptima.

No obstante, es posible obtener un primer resultado de diversificación

que tiene interés:

Proposición 2.2.' Si la funcional ry' es estrictamente cóncava en el primer

argumento, y los tÍtulos Tr,...,T, son indiferentes dos a dos, cualquier

cartera C()t) es estrictamente preferida a cualquiera de los mencionados

74



tÍtulos.

Prueba:n l -

C()t) > T, .=t I zu út I tr,*,n , xÉk I > Ok = l l = l

Supuesta ry' cóncava estricta en el primer argumento,

r r l 2 . n

L nuÚ [ I trrxrr, x"r ] t I r, I o*Ú (xr¡.,x"¡.)k = l I = 1 l = 1 k = 1

pero el segundo miembro es una combinación convexa de ceros, ya que T, es

indiferente a T=, cualquiera que sean i,s =1,...,L, por lo eü€,

efectivamente, C(tr) es estrictamente preferida a cada Ts.I

El resultado de la Proposicián 2.2 mereee algún comentanio. Nótese que

la concavidad de It en el primer argumento puede provenir de diversas

causas: puede ser debida a que el agente es avenso al riesgo, en cuyo caso

la función de utilidad básica es eóncava, y esta concavidad puede ser

heredada por la funcional ry'. Pero también puede provenir del sentimiento de

arrepentimiento./regocijo con el que se modifica la utilidad básica, de tal

forma gue, agentes neutrales al riesgo, pero con un determinado tipo de

temperamento, preferirían dive¡'sificar su inversión entre activos

indiferentes antes que invertir en uno solo de dichos activos. AsÍ, la

proposición 2.2 se puede entender como una extensión del resultado clásico

de diversificación dando un esquema explicativo más completo. Nótese que al

vincular la actitud frente al riesgo a la forma de la utilidad básica u(x)

sobre los resultados ciertos, si ry'(x,y) = f(u(x),u(y)), entonces la

concavidad en la primera componente puede darse en agentes neutrales al

riesgo cuando 62f/6tt2 < O lo que se asociaría a una actitud de

arrepentimiento/regocijo. Por otra parte, esta misma actitud temperamental

podría determinar que agentes aversos al riesgo no diversificaran cuando

62f,26u2 >o.

75



2.4.4.- Valoración de titulos compuestos. Diversificación por ciclos:

Titulo ideal y cartera recomendada.

Dados los { títulos, y puesto que las preferencias de nuestro agente

no son necesariamente transitivas, puede darse el caso de gu€, al

compararlos, aparezcan ciclos. Si esta es la situación, al disponer de una

regla de valoración bilineal hemisimétrica sobre el conjunto te(T',...,T¿),

podemos encontrar un elemento óptimo entre los títulos compuestos. Este

hecho nos conduce a elegir una cartera determinada (de cómputo sencillo),

como recomendación al agente que presenta ciclos en las preferencias entre

títulos, En efecto, se tiene el siguiente resultado:

Proposición 2.3.- Si el agente decisor presenta ciclos en las preferencias

entre Z tÍtulos, es posible encontrar un elemento T* e ,{(T1,...,T¿), de

tal forma que T* > Tr, para todo i=1,...,2. Asociada al título compuesto T*

= T()t*), (título ideal), podernos definir (y recomendar) la cartera C(tr*).

La existencia de T* se deriva directamente del teorema de Fishburn

(198aa). En dicha prueba se proporciona, asimismo, un método de cómputo del

título ideal, como solución de un juego simétrico, cuya matriz de pagos es

la matniz hemisimétrica de valoración de los pares de tÍtulos Tr.

En un apéndice al capítulo damos un ejemplo numérico de valoración de

títulos y cómputo del título compuesto T*.

Llamaremos título IDEAL al título T* que resulte de resolver el

mencionado problema. Este título ideal es una acción-loterÍa: no €S, por

tanto, una cartera. No obstante, asociada al título T* (que es una lotería

sobre los tÍtulos Tr,...,T¿, con probabilidades I1,...,)r¡, podemos

construir la cartera C()t*), que distribuye cada unidad monetaria en

participaciones IT, . . . ,II en los títulos T \,.

. . ,T L, respectivamente. La

racionalidad de tal recomendación descansa en la Proposición I que

garantiza que C()t*) conserva el valor esperado del título ideal y posee

menon varianza.l

76



Siendo C(l*) una alternativa accesible al agente, podrÍa éste

enfrentarla a los títulos disponibles. Si C(¡*) es pneferida, inventir en

ella será sin duda una buena elección. Si algún T, fue¡"a preferido a esta

cartera, no habría difícultad en repetir el proceso generando un nuevo

tftulo ideal y una nueva cartera recomendada y así sucesivamente.

Investigar la convergencia del proceso y las propiedades de las carteras

generadas en cada iteración es un problema abierto en el que seguimos

trabajando.

No obstante, la optimalidad de la cartera recomendada puede aseguranse

cuando eI agente decisor valora las acciones mediante una funcional V

cóncava en el primer argumento, hecho este que como ya se comentó más

ar¡'iba puede ser debido a una actitud psicológica frente al éxito o

fracaso, superpuesta o no a la aversión al riesgo.

Proposición 2.4.- En el caso de preferencias cÍclicas sobre los tÍtulos

elementales, si la funcional ry' es cóncava en eI primer argumento, la

cartera recomendada C(),*) asociada al título ideal T* es óptima, esto es:

c( ) \ * ) :c fu) vpesn

donde S,, es el simplex standard en el espacio de acciones.

Prueba:

Sea C(tr*) la cartena asociada al título ideal T* y sea C(p) la cartera

asociada a un título cualquiena T e 1((Tr, Tz,...T¿).

n

OIC( ) I * ) , c ( ¡ r ) l = f rj = l

por concavidad de {¡ en el primer argumento

*u, ] =r -L

.i Úl-,!.ri *,¡'¿.

rPok = 1

77



L r"=.I_rT | .I ", ú( xrj,

l = 1 L J = 1 -

¿ 1

r ¡, n**.¡) I

por la bilinealidad de O

l = 1

Así pues, C()t*) es preferida o indiferente

los t í tulos T.I

a cualquier

Valgan de nuevo los comentarios hechos

2.2 sobre el posible origen de la concavidad

funcional ry'.

2.5.-Comentarios finales

En este capítulo hemos abordado el problema de la valoración de ¿

activos arriesgados desde una perspectiva diferente de la tradicional. La

elección del marco de la valonación de Fishburn (1984b) de las

acciones-loterías permite enfrentan el problema de decisión en un contexto

de mayor riqueza conceptual y computacional. Este marco teórico resulta

compatible con la incorporación, en la valoración del agente, de

sentimientos psicológicos que modifican la mera evaluación de los

resultados. Se tiene así una teoría normativa capaz de sustentar algunas de

las teorÍas descriptivas más usuales, como es el caso de la Teoría del

Arrepentimiento de Loomes y Sugden Q982, I9g7). Es claro que desde esta

perspectiva, no resulta posible abordar eI problema de la selección de

cartera en toda su complejidad, con lo que nuestro objetivo no puede ser

otro que el de contribuir desde el punto de vista teórico a la explicación

de determinadas estrategias invensoras en un contexto más general que el de

la Utilidad Esperada, en el que tienen cabida las actitudes psicológicas de

n l . F 2 . 1= ,1, ",,1,^i ú F',' nr,uu

*o, J =

¿= I ^i o(T,, T) =

l = 1

= o( I llr,, r) = o(T*, T) > o I

a

en

otra carterd de

propósito de la Proposipión

el primer argumento dé la

7a



los decisores y en el que los fallos de transitividad pueden dar cuenta de

la diversificación.

Tres son los resultados básicos ofrecidos: en primer lugar, una

extensión del resultado tradicional de diversificación ante títulos

indiferentes, explicado ahora pon razones que pueden ser diferentes de la

aversión explícita al riesgo. En segundo lugar, se enfrenta el problema de

la elección en el caso de que la valoración de los títulos conduzca a un

ciclo. En este caso, se proporciona una solución recomendada aI problema de

decisión, sugiriendo al agente una cartena que resulta tener la misma media

y menor varianza que un título ideal, ente no disponible en el mercado, y

que sería preferido por el agente a cualquiera de los títulos del ciclo en

cuestión. Por último, se prueba la optimalidad de la cartera recomendada

cuando la valoración de los resultados en cada estado del mundo es cóncava

en su primer argumento, con independencia de la actitud frente al riesgo.

Admitir la posible presencia de ciclos en las preferencias supone una

notable sepal'ación de la teoría tradicional. No obstante, la evidencia

empÍrica indica claramente que en el tratamiento de muchos problemas de

decisión en condiciones de riesgo, las hipótesis de la utilidad esperada

resultan particularmente restrictivas. Pensamos que la introducción de

teorías alternativas, que permitan un rango de compontamiento más amplio

para los agentes, pero que conserven las caracterÍsticas deseables de

openatividad, pueden dar algunas respuestas satisfactorias a la cantidad de

problemas abiertos en este área. Esta parte de la memoria no pretende ser

más que un modesto paso en esta dinección.

79



2.6.- Apéndice.

Ejemplo de cálculo del título compuesto T* y la cartera asociada.

Considérense disponibles tres tÍtulos Tr, T" I Ta de manera que:

T_ proporciona un rendimiento cierto del 16,3 7..l '

Se estima que el rendimiento de T, será del 29,3 7" si se produce un

determinado evento A, y del 5,2 7. en otro caso.

El rendimiento de T" dependerá de que se produzcan o no los eventos

compatibles A y B de modo que: si se realizan ambos, el rendimiento será

del 22,5 7. y si se realiza A pero no B, del 29,3 7,. Para los sucesos

Á n B y Á n É , l o s r e n d i m i e n t o s r e s p e c t i v o s s o n O % y 2 2 , 5 7 ^ .

Para representar los títulos partiremos de los cuatro estados del

mundo:

s =AnB s =AnEt 2

cuyas respectivas probabilidades son:

rr, = O,3O n, = o'19

s =ÁnB3

za = 0,33 zn = O,18

s =AnB4

E"lol

,l:l

o

o

o

I

o

rl'ltl r'=

"l.J

o

o

o

o

I

;l,lI

1 l T -t''l

'l

rI

r z

r3

r4

r5

= Q

= O,o52

= O¡ ló3

= O,zZs

= 0'293

J =I

oo

oo

1 l

oo

:o

o

o

1

o

o

00

o1

oo

oo

10

o l

oo

oo

oo

10

. t I I Il r = (P , p2 p3 p4 , 3 3 3 3 ,l " = ( P , P , P . P n '

80

, z 2 2 2 ,l z = t P , p 2 p 3 p 4 )



o(Tl' Tz) =r!ro, o{n]' nll

Tr7T" €+ o (T1 ,Tz ) z o

IolO(nf,nlt=to o 1 o o )túl1 i l=ry'(r.,r.)=ry'(o,163, o,2s3)

L?] J O

OtV'r, o?rl = ry'(o.163, o.2g3)

otnl, nll - o{nro, o'o) =

l-ell l l

=(O O t O Ottr/t l O | = ú{"", ,") = ú(0.163, O.O52)lo l

-LO-J

a) Valoración de TI

de modo que:

frente a Tz

T, , - T , (+ (0 .30+0 .19 ) r r (0 .163 , O .293 ) +

+ ( O . 3 3 + O . 1 8 ) r / ( O . 1 6 3 , 0 . O 5 2 ) = O

81



b) Valoración de T, f rente a T.

T , i T . < = + ( O . 3 O + O . 1 8 ) r / ( 0 . 1 6 3 , O . 2 Z S ) +

+ O , 1 9 i Í ( O . 1 6 3 , O . 2 9 3 ) + O . 3 3 V ( O . 1 6 3 , O ) > O

c) Valoración de T, frente a T.

T ^ > T ^ e + O . 3 O . ! ( O . 2 9 3 , 0 . 2 2 5 ) +2 - 3

+ 0 . 3 3 { I ( O . O 5 Z , 0 ) + O . 1 8 r / ( 0 . O 5 2 , O . ? 2 5 ) > O

Supongamos ahora que el agente tiene una utilidad cuadrática sobre el

rendimiento

u ( r ) = - r 2 + 2 r r s l

En lugar de la tabla de rendimientos:

TABLA I

TI

Tz

T3

o.163

o.293

o.225

0 .163

o.293

o.293

o .163 0 .163

0.o52 0 .o52

o o .22s

82



utilizaremos la tabla de las u(rr)

TABLA II

0 .30 o . l 9 o. 33 o .18

T

T

T

I

z

3

o .2994

o .5001

o .3994

o .2994

o .5001

0 .5001

o .2994

o . I o13

o

o .2994

o. ro13

o .3994

Para la valoración de los rendimientos, tomaremos:

Iu(rr) - u{rr)]e*t"("i)-u(rr)l

J Y Vr(rr, rr) = - r/r(rr, rr)

Esta función, en nuestna versión de Utilidad Expandida dependiente de

la diferencia presentada en el primer capítulo coresponde a un agente

tibío fnente al éxito-fracaso y explícitamente averso al riesgo:

l lamando € = u(r) - u(r) se t iene que:- i j '

ú(r . , r . ) =r J

c o n r = rI

ü,(€) = €H(E),

Con ello obtenemos:

H(€) = e - l€ l v E

0(Tr, T2) = O.49 .I|GO.ZOOT) + O.51 ry'(O.rget)=

= O.49(-O.16420) + 0.51(0.16249) = O.OO241 > O

por lo eue T, > T,

83



O(T1, T3) = O.48 |/r(-0.1) + O.19 V|?O.ZOO7) + O.33 \t(O.2994)=

= O.48(-O.O9048) + O.19(-0.16420) + O.33(0.22193)=

=-O .OOI39<O

T >T3 1

O(T^, T^) = O.3O r/(O.1OO7) + O.l9 ú(O) + O.33 '/(O.lO13) +2 ' 3

O.L8 VIGO.Z981) =

= O.3O(O.O9IO5) + o.33(O.O9r54) + O.I8GO.ZZL26) =

= O.O1769 > O

T >T2 3

En consecuencia, las preferencias resultan cÍclicas:

. T

Obsénvese que la aversión explícita al niesgo es irrelevante para que

las preferencias resulten cíclicas. Puede tomarse u(r) = r y tomar la TABLA

I[ como tabla de rendimientos.

El Teorema de Fishburn (1984a) garantiza la existencia de un elemento

T* e H(Tr, Tr, T.) de manera que T* > T VT e H(Tr, Tz, T3).

84



EI Teorema proporciona además, un método para determinan T* como

solución del juego bipensonal simétrico de matriz:

o o.ooz4L -o.oor39

-o.oo24r o 0.01769

o.ool39 -0.01769 0

La solución es:

\* = 0.8232I

tr* = O.O6472

Il = o'ttzt

correspondiente al título compuesto o "título ideal"

Tx = O.8232T + 0.0647 T + O.1121 Tr 2 3

TIF -t -

o o o.Ltzt o

o o 0.0647 0.0647

0.8232 0.8232- O.a?32 O.aZ3Z

o.rtzr o o o.tLzl

0.0647 0.1768 0 0

La cartera c(I*) asociada a T*, correspondiente a la inversión

de 0.8232 u.m. en TL, 0.0,647 en T, y O.LLZI en T., tiene la misma esperanza

que T* y varianza menor:

85



42.32 % en T,

6.47 7. en T,

ll.Zl 7" en T3

Los rendimientos de la cartera C(tr*),

son: 0.1784, O.1860, O.1375, 0.1628). Es fácil

caso, la cartera es estrictamente preferida a

(i = 1, Z, 3) y se tiene:

ESPERANZA

La cartera C(¡1, ^t, ^l)

del agente:

es la "recomendada" dadas las preferencias

en cada estado del mundo

comprobar cómo, en este

cada uno de los títulos T,

VARIANZA

o

0 .o145

o . o138

o. ooo4

ya que

Tt

Tz

Tg

c( t * )

o . 1 630

0 .1701

o . I 637

o .1635

Además,

la función ry'(€)

la

CS

cartera C(tr*) es la cartera óptima para el agente,

cóncava en el intervalo [0, l].

86



CAPITULO 3

VERSION EXPANDIDA DE LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO:TEST EXPERIMENTAL

3.I.- TESTS EXPERIMENTALES DE LOS MODELOS ALTERNATIVOS A LA

TEORIA DE LA UTILIDAD ESPERADA.

3.2.- TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO: EVIDENCIA EMPIRICA.

3.3.- VERSION EXPANDIDA DE LA TEORIA DEL ARREPENTIMIENTO:

TEST EXPERIMENTAL.

3.4.- APENDICE: RESULTADOS DEL EXPERIMENTO.

a7



3.1.- Introducción: Tests experimentales de los modelos al ternat ivos a la

TeorÍa de la Utilidad Esperada

La distinta forma y disposición de las curvas de indiferencia en el

triángulo de Marschak-Machina asociada a las diferentes teorías, ha

inspirado un buen número de experimentos cuya finalidad es poder comparar

los distintos modelos alternativos entre ellos mismos y a su vez con la

Utilidad Esperada para ver cuales se ajustan mejor a los datos empíricos

obtenidos.

Un primer enfoque consiste en construir conjuntos de lotenías

dispuestas en distintas zonas del triángulo y pedir a los encuestados que

realicen una serie de elecciones entre pares formados con estas loterías

hasta tener un número suficiente de puntos para poder estimar las curvas de

indiferencia de cada individuo. Los patrones de pneferencias revelados se

pueden comparar entonces con los predichos por los diferentes modelos

alternativos. En esta línea están los trabajos de camerer (1989); Battalio,

Kagel y Jiranyakul (1990); Hey y Di Cagno (1990); Camerer (1992); Starmer(1992) y Hey y Orme (1993).

La ventaja de esta clase de experimentos en los que las cuestiones son

de elección directa entre pares de alternativas, es que son relativamente

fáciles de implementar con muestras grandes y que los individuos no tienen

dificultades en general en la comprensión ni del proceso de elección ni

tampoco del mecanismo de incentivos utilizado que es a menudo del tipoI

RSLP^. El mayor inconveniente que presentan es que el número de cuestiones

debe ser suficientemente grande para poder tener un amplio rango de datos

dentro de cada triángulo ya que de lo contrario, como las preferencias de

los individuos varÍan considerablemente, puede haber una parte de ellos

I

El mecanismo RSLP (random-selection-lotery-procedure) consistesimplemente en sortear al final del experimento una cuestión particular ypagar a los individuos según su respuesta a esta cuestión. Con ello seconsigue que se piense en cada uno de los problemas como si el pago sefuera a realizar sobre él ya que de hecho puede ser así.

88



para los que el diseño no sea

elecciones puede reducir este

dificultades como la falta de

ejemplo, Camerer (1989).

discriminatorio. Incrementar el número de

problema pero implica otro tipo de

motivación o de concentración (ver, por

Otra posibilidad alternativa para estimar las curvas de indiferencia

de los individuos es plantear cuestiones típo-índíferencta. Una estrategia

consiste en empezar desde un punto tal como G en el triángulo de

Marschak-Machina (figura 3.1) y preguntar a los encuestados la probabilidad

p- que hace G - F = (x-, p-; X^,1-p-) sobre la hipotenusa. Después se' l ' 1 ' ' l ' 3 ' ^ l '

determinan otras probabilidades hasta tener un número nazonable de puntos

sobre la línea de indiferencia que pasa por G. Repitiendo este proceso

desde distintos puntos de partida en el triángulo, el experimento puede

construir un mapa de indiferencia para cada individuo.

f ig. 3.1

La ventaja de este tipo de experimentos es que proporcionan más

infonmación que los antes mencionados para la obtención del mapa de

indiferencia de cada individuo. El mayor inconveniente es que resultan más

complicados a nivel de realización pues mucha gente puede encontrar

conceptualmente difícil manejar las probabilidades con precisión y se hace

necesario entrevistar a los individos uno a uno para explicarles el

mecanismo o bien ayudarse de un programa de ordenador. No obstante, se

han realizado algunos trabajos de esta clase con muestras pequeñas (ver,

89



por ejemplo, Hey y Strazzera (1989)).

Otra altennativa distinta también con cuestiones tipo-indiferencia, es

el procedimento de buscar valores equivalentes propuesto por Loomes (1991)

y que ya había utilizado antes, en Loomes (1988a,b). Vamos a describir

brevemente este método en el contexto del diagrama triangular.

El experimento se desarrolla en torno a diferentes combinaciones de

las cinco matrices siguientes (figura 3.2):

t - p

I ( I - p ) 1-r

G

l ( l - p ) I -)r

G

)tp l - I - I p

G

A:

I p

B:

C:

)tp

D:

F x z

G v v

z.A,x z z

z)\ v v z

x.2tx z x

x . I v v x

,z .A

x z z

,2. tr z z v

90



1-2)t+trp ¡ ( 1 - p )

G

,x.) \ x z x

x.tr x x v

f ig. 3.2

Las filas muestran acciones alternativas y las columnas representan

estados del mundo cuyas probabilidades se expresan en términos de )t y p

donde o < ¡, < I y o < p < 1. La figura 3.3 presenta sobre el triángulo las

tres prit.reras matnices para los valores p = O.6 y I = O.5. Las líneasrectas que unen cada par de acciones alternativas son paralelas. Unmaximizador de la Utilidad Esperada preferirá las aeciones F en las tres

matrices o preferirá las G, o bien sera indiferente en los tres casos,dependiendo de si el gradiente de sus curvas de indiferencia es menor,mayor o igual al de las lineas dibujadas en el triángulo,

f ig. 3.3

Si consideramos el tipo de teorÍas conformes con la hipótesis deMachina (1982) de apertura en abanico para las lÍneas de indiferencia ypensamos en un individuo tal que una de sus líneas de indiferencia pasa porG y por F, se tendrá entonces que para este agente la lfnea que pasa por

,\

FE:

9 l



G*.^ cortará la hipotenusa al noreste d" F".)t, mientras que su curva por

G".^ cortará a la hipotenusa al sureste del punto F".I, dicho de otra

manera, en contraste con la Utilidad Espenada ahora F - G implica F*.1 <

G * . ) r Y F " . t r > G r . ) t '

Para las teorías que predicen líneas que se abren en abanico desde un

punto situado al suroeste, en la parte inferior del triángulo y que se

cierran hacia el noreste en la parte superior del mismo (una teoría que

implica tal patrón de preferencias es la de Gul (1991)), la indiferencia

F - G implicará F*.I > G*.)r I a la vez Fr.)r ( G*.^.

Aunque las implicaciones de estos dos tipos de modelos son claramente

diferentes entne sÍ, es difÍcil diseñar un experimento del primer tipo

(estimando las líneas de indiferencia con elecciones directas), capaz de

discriminarlos, las figuras 3.4(a) y 3.a(b) ponen de manifiesto las

limitaciones de este enfoque.

fig. 3.4(a) f ig.3.a(b)

El criterio utilizado en este nuevo tipo de expenimentos supone fijar

todos los parámetros excepto "y" y buscar el valor que da la indiferencia

para cada par de alternativas. Las predicciones de las distintas teorías se

formulan ahora en términos de los diferentes valo¡'es establecidos para "y".

Pon ejemplo, si llamamos Io "

yo a los valores para los que el individuo es

indiferente entre los pares que aparecen en A y D respectivamente, aquellos

que se comporten según la Utilidad Esperada establecerán yA = yD. Sin

92



embargo, un individuo cuyas curvas de indiferencia se abran en abanico

F G implica Fr.Lt Gr.f de manera que el valor de "y" que de la

indiferencia en la matriz A producirá una preferencia estricta por F en D.

Para alcanzar la indiferencia en la matriz D se necesita un valor mas

grande del parámetro "y". Es decir, si las curvas se abren en abanico

entonces yA a Jo, recíprocamente si las curvas se cierran en abanico

v > v- A ' D

Es interesante observar cómo las distintas matrices presentadas pueden

evaluar también los modelos cuya elección se realiza sobre acciones como la

Teoría del Arrepentimiento (Bell (1982), Loomes y Sugden Q982, 198?)).

Para las teorías que basan su elección en loterías, las matrices A y D son

equivalentes como también lo son C y E, mientras no lo son para los modelos

con "arrepentimiento" que tienen en cuenta la yuxtaposición de las

consecuencias de diferentes acciones en el mismo estado del mundo.

De las dos formas básicas de evaluar las preferencias de los

individuos a las que nos hemos referido: los procesos de elección directa y

los de indifenencia, estos últimos serían en principio preferibles ya que

con ellos se puede obtener más información. No obstante, hay objeciones al

procedimiento de establecer equivalentes ciertos. Karni y Safra (1987) han

demostrado que si la gente se comporta según determinados modelos de

utilidad no esperada (cuando no se verifica el axioma de independencia), el

mecanismo de Becker-DeGroot MarschakZ que se utiliza en este tipo de

experimentos puede producir una ordenación de las preferencias, basada en

calcular valores equivalentes, distinta de la producida con elecciones

directas. Aunque ésta es una posibilidad teórica, no hay evidencias de que

z

Este mecanismo fue propuesto por Becker-DeGroot y Marschak (1964): Unindividuo, frente a una loteria, puede optar por quedarse con el juego obien venderlo, para lo que se Ie pide que establezca su precio de ventamínimo. A continuación se fija aleatoriamente un precio de compra, si esteprecio es mayor o igual al del individuo se le compra el boleto por- esteprecio, en caso contrario el individuo conserva la lotería. Ver laimplementación del método, por ejemplo, en Davis y Holt (1993).

93



este mecanismo produzca tales efectos [ver, por ejemplo, Tversky, Slovic y

Kahneman (1990)1.

Un hecho constatado en todos los experimentos realizados hasta el

momento es que los resultados son mixtos, en el sentido de que ninguno de

los modelos puede dar cuenta de todos los datos observados (ver, por

ejemplo, Cameren (1989)). Es difícil saber si esto es atribuible al

pnocedimiento experimental: los parámetros usados, la forma en que se

proponen los problemas' o a alguna otra caracterÍstica del mismo. Quizás,

apunta Loomes (1991, p. 664) la raz6n por la que cada teoría puede dar

cuenta de sólo parte de los datos es porque la población es heterogénea y

hay gente que elige según predice un modelo mientras que la elección de

otros se realiza según otro modelo distinto. Loomes añade gue, además de

que individuos dist intos es posible que actuen según modelos dist intos,

puede ocurr i r también, que un mismo individuo esté motivado por dist intas

tendencias, y que alguna de ellas se manif ieste con mayor fuerza

dependiendo de elementos externos como la forma de presentación, los

parámetros del problema o quizá los procedimientos utilizados para evaluar

las respuestas.

3.2.- TeorÍa del Arrepent imiento: Evidencia empÍr ica.

Si los experimentos a los que nos hemos referido en la sección

anterior tenían como objetivo el evaluar y comparar distintos modelos entre

sí y frente a la Utilidad Esperada, queremos ahora comentar algunos

experimentos más específ icos en los que se ha pretendido poner de

manifiesto la evidencia empírica del arrepentimiento como una explicación

plausible de algunas paradojas de la Utilidad Esperada.

La Teoría del Arrepentimiento y Ia versión que hemos llamado Utilidad

3

Para una discusién general de la importancia dede presentar un problema particular ver, por ejemplo,(1981) .

las distintas formasTversky y Kahneman

94



Expandida difieren de la mayoría de teorías alternativas a la Teoría de la

Utilidad Esperada y de ésta misma en dos aspectos importantes. No se adopta

el axioma de la transitividad y las preferencias sobre pares de loterÍas no

están unívocamente determinadas ya que dependen de la yuxtaposición de

consecuencias en la matriz acciones,/estados del mundo. Aunque el principio

del "resultado seguro" (sure-thing axiom) se mantiene para las acciones, el

axioma de independencia puede ser violado si hay cambios en la

yuxtaposición de las consecuencias. De esto se deriva que el axioma de

independencia no se mantiene para loterías estocásticamente independientes

y se pueden entonces explicar las explicar las paradojas que tienen como

origen las violaciones de este axioma.

Vamos a ver cómo desde la TeorÍa del Arrepentimiento se explica el

efecto del "ratio común".

Consideremos el siguiente problema

(1989): la elección entre una lotería

p r o b a b i l i d a d p y O c o n p r o b a b i l i d a d

arriesgada): ganar xz con probabilidad )tp

O < p < l y ) t € ( O , l ) .

propuesto por Starmer y

S (mas segura): ganar

( l -p) y otra lotería

y O con ( l - Ip). Donde O <

Sugden

x conI

R (mas

x < xl 2

La Uti l idad Esperada establece U(S) = pu(xr) y U(R) = ) ,pu(xr) o sea

los cambios en p no afectan las preferencias. Sin embargo, hay una

considerable evidencia experimental de que la gente tiende a cambiar de

S > R a R > S cuando p decrece (ver por ejemplo Hagen (1979), Kahneman y

Tversky (1979), MacCrimon y Larson U979), Chew y Waller (1986)): éste es

el efecto conocido como cornrnon ratio effect.

Si expresamos este problema en la forma de acciones en una matriz

de consecuencias estado,/contingentes tendremos:

95



pw^ p ( I - w ) l p( I -w l ) l - p l t + ( l - w ) l l

R x2

x2

o 0

S x o xI

o

El parámetro w describe el

decir, la probabilidad de que la

que R de xz. Obsérvese que w

independientes y que el valor

teorías definidas sobre loterías.

grado de yuxtaposición entre xr y xz, es

acción S de el resultado xr. condicionada a

= p cuando S y.R son estocást icamente

de w es irrelevante para todas aquellas

Según la Teoría del Arrepentimiento:

n ] S e f(w) = wtrry '(xr,x,) + ( l -w)lú(xr,O) + ( l -wI)ú(O, xr) > O

Para w fijo las prefenencias son independientes de p, pero para p fija

las preferencias pueden verse afectadas por cambios en w. Si derivamos f(w)

respecto a w y utilizamos la propiedad de hemisimetrÍa de la función ry' se

tendrá que:

d f (w) /áw = t r [ r l (x - , x ) + ry ' (x , O) - r / . ¡ (x ,O) ]' 2 ' l t - 2 '

La hipótesis de aversión al arrepentimiento determina que la derivada

8f(w)/0w sea negativa para *, t *, > O con lo cual si para algún valor w*

s e v e r i f i c a q u e R - S e n t o n c e s p a r a w ) w * , S > R y p a r a w ( w * , R > S ,

es decir, la Teoría del Arrepentimiento predice una tendencia a cambios en

las preferencias de S > R a R > S cuando disminuye el valor de w.

Si R y S son estocásticamente independientes tenemos w = p, de manera

que un cambio en p implica el mismo cambio en w. De esta forma se explica

el efecto del ratio común pues se obtiene la tendencia a cambiar de S > R a

R > S c u a n d o p d e c r e c e .

96



En la versión expandida la función ry' cumple la condición de "aversión

al arrepentimiento" para los índividuos que allí Ilamamos temperamentales

teniéndose entonces la mismas posibilidades que en la Teoría del

Arepentimiento, los agentes tibios podrían responder como temperamentales

dependiendo de la función expansora particular y/o del rango de los

resultados.

Experimentos llevados a cabo para evaluar este heeho son los

realizados por Starmer y Sugden (1989), Loomes (1991) y más recientemente

por Humphrey (1993).

La otra característica fundamental que diferencia la Teoría del

Arrepentimiento es la de no exigir la transitividad como un axioman

normativo '.

Esta teonía predice, como consecuencia de la hipótesis de

convexidad que si aparecen ciclos éstos serán, como veremos a continuación,

en una determinada dirección y no en la opuesta (Loomes, Starmer y Sugden

(1991a).

Esta predicción de la Teoría del Arrepentimiento se ha presentado como

una interesante explicación del fenómeno de la reversión de las\

preferencias". Recordemos que la paradoja surge cuando se evalúan loterías

que tienen aproximadamente el mismo valor esperado: una lotería con un pago

pequeño relativamente "seguro" $ I otra mas "arriesgada" P con un pago alto

y una probabilidad pequeña de lograrlo.

4

Para unanormativo ver

discusión enSugden (1985)

torno a la transitividad como un principioy Fishburn (1991).

5

Esta paradojay Slovic (1971), side Grether y Plott

fue originalmentebien se considera

0e7e).

puesta de manifiestocomo trabajo clásico

por Lichtensteinen este tema el

97



Si Ilamamos V* al

que un individuo está

correspondiente para la

Las tres filas son

s e s u p o n e n a ) b ) c >

pares {A, B}, {8, C} y {C,

pnecio de reserva de la lotería

dispuesto a vender su ticket y

lotería P se t iene:

$ - U $ = V " - P < - - - - + $ > P

acciones alternativas A, B

d = e. Apl icando la regla

A) se t iene:

$ (precio mínimo

no jugan) y Uo

y C, Ias consecuencias

de elección a los tres

al

el

La reversión de las preferencias se produce porque hay individuos para

los que V$ t V" pero P > $. Es decir, asignan un valor superior a la

lotería con mas premío pero cuando se trata de elegir prefieren la lotería

mas segura.

Veamos cómo desde la Teoría del Arrepentimiento se puede explicar la

paradoja de la reversión de las preferencias.

Consideremos la matriz de consecuencias estado-contingentes siguientel

b ) + p ' 2

c ) + p ' 2

a ) + p ' z

pt

p t

p l

A >

B >

C >

B

C

A

V(a,ry'(b,

ú(c ,

, !(d,

ry'(b,

úb,

P3ry'(d'

P.Ú(e,

PrÚ(c,

b )

c )

d )

e )=o

c ) = O

d )=o

Sólo

y c > A .

sean no

negativas.

son pos ib les dos c ic los : A > C, C ) B , B > A o b ien A > B, B > C

Para que se de el primero es necesario que las tres desigualdades

positivas, mientras que el opuesto requiere desigualdades no

98



Sumando los tres términos y haciendo uso de la hemisimetría tendremos:

[ r / (a, b) + ry '(b, c) - r l (a, c)] + pz[ú(b, c) + r /(c, d) - r / (b, d)] +

lr / (c, d) + ry '(d, e) - ry ' (c, e) l

La propiedad de convexidad de la función Vt en la Teoría del

Arrepentimiento obliga a que los dos primeros corchetes de la última

expresión sean estrictamente negativos y el tercero no positivo, siendo por

tanto sólo el primer ciclo consistente con la teoría. Los resultados del

experimento de Loomes, Starmer y Sugden (l99la) pusieron de manifiesto la

aparición sistemática de intransitividades y que la mayoría de Ios ciclos

observados eran en la dirección predicha por la teoría.

Supongamos ahora un individuo cuyas preferencias presenten el ciclo B

> A, C > B, A ) C. Para esta persona el equivalente cierto de A (la apuesta

$) debe ser más grande que c, mientras que el equivalente cierto de B (ta

apuesta P) debe ser menor qu" "6.

Peno ya que B > A la lotería de mayor

probabilidad de premio es preferida en la elección directa, lo que se

corresponde precisamente con el hecho de revertir las preferencias.

Nos gustaría hacer notar cómo la posibilidad de que la función ttt

cumpla la propiedad de concavidad (compatible con la versión expandida)

permitirÍa explicar las cíclos en las dos direcciones. El hecho de que el

primer ciclo aparezca con mayor frecuencia no es contradictorio con el

modelo de la utilidad Expandida pues éste intuitivamente predice un mayor

número de agentes con actitud temperamental que con actitud tibia y

acomodaría la observación empírica de que la reversión de las preferencias

sea mas frecuente en uno que en otro sentido.

pl

p3

6

Ya que el resultado "ganar" para la accion Aaccion B que por el contrario tiene una probabilidadpodemos considerar A como una lotenía $ y B

es mayor que para lamás elevada de ganar,

como una lotería P.

99



Otras posibles explicaciones al fenomeno de la reversión de

preferencias, pueden Verse en los trabajos de Karni y Safra (198?), Segal

(1987), Holt (1986) y Tversky, Slovic y Kahneman (1990).

Otno de los tópicos en esta literatuna es el de la monotonicidad o

preferencia por la dominancia estocástica de primer orden. Esta hipótesis

es considerada por una amplia mayoría como una hipótesis de racionalidad en

elección en condiciones de riesgo e incertidumbre. Una de las implicaciones

sorprendentes de la Teoría del Arrepentimiento es que los individuos pueden

violar la monotonicidad.

La hipótesis de crecimiento en la pr imera componente de la función de

valoracion ,lt implica Ia propiedad de preferencia por la estado-dominancia.

Una acción A. estado-domina a otra acción O, si "ru

= "ju

es cierto para

todo k, con, al menos, una desigualdad estricta. La propiedad

preferencia estado-dominancia significa que A, será preferida a A..

Es fácil probar que

estado-domina a A. entonces:

(¿) Ah >

A, impl i"J cu" Rn ,

(¿¿) A . >

A . imp l ica que A. >j - h

' - i

7

An y A, son estocásticamente

misma distribucion de probabilidad

dadas tres acciones Ah, A¡, A donde

Aj

Ah

Si una acción A. domina estocásticamente a otra A., existe una terceraJ

acción A. tal que A. estado-domina a A. y A. es estocásticamenteh ? - i h - h

equivalente a A.'. La Teoría del Arrepentimiento o la versión ExpandidaJ

verificarían la monotonicidad si las acciones estocásticamente equivalentes

fueran siempre indiferentes, pero si éste no es el caso, pueden aparecer

violaciones de la misma.

equivalentes si se pueden reducir a la

sobre sus consecuencias.

loo



Supongamos las acciones A,

matriz l. Las consecuencias son x

misma probabilidad 1/3 de ocurrir.

I A, estocásticamente equivalentes de

, ' *, t *a Y los tres estados tienen

la

la

A t A

2

Matr iz I

t / 3 1 /3 r / 3

<r ry '(x", xr) - r / (xr, *r) - ry ' (xr, xr) > O

De nuevo, la hipótesis de convexidad para la función Vr hace que la

Teoría del Arrepent imiento impl ique A, u Ar, Io que es una violación de la

equivalencia. Este ejemplo i lustra la intuición psicológica detrás del

arrepentimiento: el individuo es averso a grandes "arrepentimientos" y ante

dos acciones estocásticamente equivalentes elige la que proporciona menor

potencial de arrepentimiento.

Obsérvese que en este caso los individuos t ib ios del modelo expandido

pueden elegir la acción A, dando más peso en la valoración global, a los

dos estados del mundo que comportan menores diferencias entre los

resultados.

Consideremos ahora la matriz 2. Esta representa la elección entre la

misma acción A- de la matriz I y una nueva acción A^ que es idéntica a AI - 3 ' - - - - - - - - - - - - z

excepto una pequeña cantidad que se ha añadido al resultado xr. Ya que A"

domina estocásticamente a A, la monotonicidad requiere que sea preferida a

ésta. Sin embargo, será posib le encontrar un valor posi t ivo para €,

suficientemente pequeño, de manera que A, t Aa, violando así la dominancia

estocástica.

lo l

x x x3 1 2

xxxr 2 3



Mat r i z Z

L / 3 t / 3

EI trabajo de Loomes, Starmer y Sugden (l99Ib) desarrolla un

experimento para chequear las violaciones de la dominancia estocástica y de

la equivalencia. Los resultados obtenidos ponen de manifiesto el gran

número de violaciones a la dominancia estocástica de acuerdo a las

predicciones de la Teoría del Arrepentimiento. Sin embargo, no se

observaron violaciones a la equivalencia.

A continuación presentamos un experimento para chequear empíricamente

la versión general del modelo expandido. Si la Teoría del Arrepentimiento

predice que las desviaciones respecto a la Utilidad Esperada son siempre en

el sent ido que determina la aversión al arrepent imiento, la versión

expandida permite además que Ios agentes denominados tibios puedan

responder en sentido opuesto dependiendo de los resultados y de su función

expansora.

/ 3

t02



t l 1

3.3.- Versión Expandida de la Teorla del Arrepentimiento: Test experimental

Consideremos el problema de elección entre el par de alternativas N y

F siguientes:

P l - p

donde x- > x^ > O son resultados monetarios y donde p y (l-p) son last zprobabilidades de los estados del mundo correspondientes.

Supóngase que un individuo es indiferente entre N y F para la

probabilidad p = p*.

Si se considera ahora el problema:

' 7 , o ) , 1 -P*

P o x zx + x

t 2-*---z-F xz x

2x

2

Para un agente maximizador de la utilidad esperada, se verificará que:

N - F <r (1-p*) u(xr) = u(xr)

donde u(.) es la utilidad sobre la riqueza que se entiende cóncava

para los agentes aversos al riesgo.

Normalizando de modo que u(xr) = l, se tendrá que u(xr) = l-p*.

Para el problema [2] se verificará que:

lzl

. i , . ' u(xr) l $u(xr)+(r-p*)" [4 j1]

N o xI

F x2

x2

t03



( l -p* )

Y por la concavidad de u(.):

f - x + x I(1-p*),,1-+_lr iP . ' rr-$r i

F. Si el

P - F .

*,t-o*, = (r- g)+ u(x,)+ + u(xr)= + +

De manera que P

verificarse obviamente que

Si observamos el problema

acciones N y F, vemos que se

decisión de seguro pleno en el

cuantía de la pérdida es x, y la

N corresponde al no seguro y la F

agente fuese neutral al riesgo, debería

[1], que presenta la elección entre las

podría interpretar como un problema de

que la probabilidad de pérdida es p, la

prima que paga el agente *r- *, (la acción

al seguro pleno).

El problema [2] presenta la elección entre el seguro pleno y el seguro

denominado probabilístico en el caso particular de Khaneman y Tversky

0979). Se considera la prima justa para la que el individuo es indiferente

entre asegurarse o no, o bíen, dada la prima, Ia probabilidad p* de

indiferencia y, en este caso, para r = l/z la alternativa p se corresponde

con el seguro pnobabilístico chequeado por Kahneman y Tversky (19?9). Este

experimento puso de manifiesto que el 8O7" de los individuos prefería el

seguro pleno en contra de la predicción de la Utilidad Esperada. [ver para

más detalle la memoria "Tres ensayos sobre la Teoría del Arrepentimiento:

Aplicación a problemas de seguro, capítulo II, Sirvent (1994)1.

Consideremos ahora un agente que elige

Arrepentimiento de Loomes y Sugden (1982).

supone:

acuerdo con la Teoría del

i n d i f e r e n c i a e n t r e N y F

de

La

p* ry'(O, xr) + (t-p*¡ ry'(x,, xr) = O y por la

lo4

hemisimetría de la función



(l-p*) ry'(xr, *r) = p* ry'(xr, o)

En el segundo problema la elección entre F y P para esta probabilidad

de indiferencia verificará:

! n* l - x . + x^ lt? t <+ T l l t t * " ,o )+( l -p* lúL*r ,#)

ls

ñ* t- x- + x^lé T úl*r, o) + (l-p*l U[_*2, -+) i o

l - x +x I<r p* r!(xr, ü Z z (l-p*) ,!l*+, *,

J

T x +x I. l ( l-p*) ry'(x,, xr) I z (t-p*) f l-t*, *,

l

* + ú(x,, xr): -[ *, *r*,,

*, ]

La convexidad de la función {t garantizaría que el primer miembro de la

desigualdad fuera mayor con lo que se tendría F > p, es decir, los

individuos aversos al arrepentimiento pueden elegir el seguro pleno con loque Ia teoría del Arrepentimiento es compatible con este tipo de elección.

El modelo expandido establece:

. i , * , ry ' (x , , x , ) : - [ * ' ) * ' ,

* , ]

o !.&,-*,) H(x,, *,)'¿ i+] "[ *'

; .'

, *, ]f x +x I

c+ H(x,, *r) .1 "L-a=--3, ", l

l05



I x .+x^ . l l - x .+x^ IH(x,, xr) > HL -+, *,

) . H[ *o -#

]

l - x +x Ique implica H(x,, *r) r H[ -J23, xz

J elesirán el seguro pleno,

mientras los tibios podrán elegir el seguro probabilístico o el pleno. Losagente tfpicamente tibios para los cuales la función expansora cumple:

l -x .+x^ IH(xr, *") .

" | -!ZJ , xz

I elesirán el seguro . probabilfstico al igual

que los .g.nt"r-.aximizador"" a" la util idad esperada.

Consideremos un tercer problema en el que enfrentamos ahora el seguro

probabilístico a la posibilidad de no comprar ningún tipo de seguno para la

misma probabilidad de indiferencia entre N v F.

Los agentes temperamentales, para los cuales:

o) , o ) , I - p*

N o o xI

P o x2

x + xt 2

¿

Para un agente Von Neumann se tendrá: F ¡ N, p > F y p > N.

Veamos que es compatible con los otros modelos que los individuos no sean

transitivos para estos tres pares de acciones:

N - P e (1-p*) ry'(xr, xr) = p* ry'(xr, O)

t31

*i" *{ , lrc,*r)*(r-p*)*[*,,+"] io

l06



.t- *r**, I ,2(1-p*) Vl#, *r) i o* ,ltlxr, o) = (1 -P*) ry'(xr, xr)

. l- *r**rl,2(l-p*) ,L*r, Z ,l . p* ú(xr, O) = (l -p*) ry'(xr, xr)

I x +x - l

I - x +x I, l I z | . l | 2 | >,l'L----Z-, *") * úL*,, --l . ,/(*,, *z)

Puesto que *, , * t

)" ' . * , la hipótesis de aversión al

arrepentimiento o de convexidad para la función {t en la Teoría del

Arrepentimiento.

T x +x I l - x +x ' l' / l -+, *,1 * ' i I xt,-Lz 3 | < v,{*,, xr)

L A " J L I ' J

explicaría uno de los posibles ciclos: N - F > P > N. El ciclo opuesto

F - N > P > F se explicaría con la actitud típicamente tibia.

Para las mismas cantidades ",

y x2 que aparecen en el problema tll

consideremos una nueva elección representada por las acciones N' y M en el

siguiente problema I l l ' :

l - q

I r ] '

Para cualquier pareja {*r, tr) con ",

u *, ) O, el problema tllpresenta la elección entre dos alternativas N y F y el problema [1]' entre

las alternativas N' y M como las de la figura 3.S.

l07

N ' o xI

M x2

o



.l

/ '1

J I

f ig 3 .5 (a)

Si en ambos problemas consideramos la probabilidad de indiferencia, la

Teoría de la Utilidad Esperada implica:

N 7

z - '.2- -

a'DF

( l - p*) u(x , ) = u(xr )

(1 - q*) u(xr) = q* u(xr) = ( l - p*) q* u(xr) -> (t -p*¡

lo que signif ica que las lÍneas de indiferencia NF(ver figura 3.5).

La TeorÍa del Arrepentimiento predice:

t l l p* V,(O, *r) * ( l - p*) ry'(xr, xr) = O

o (l - p*) ú(xl, *r) - p* ú(xz, o) + ú(x2, o) - ry'(xr,

<r (1 - p*) lry'(xl, xr) + ry'(xr, O)l = rl(xr, O)

[1] ' q* V,(O, tr l * (1 - q't-¡ ú(xr, O) = O

<+ (1 - q*) ú(xr, o) - q* r!(xr, o)

l - q ne ry'(xr, O) = --¡*- ry'(xr, O)

l - q *=

q*

y N'M son paralelas

O ) = O

l08



Por tanto de [1] y [1] ' se t iene:

(1 - o*¡ [ry'(xr, x"l + ú(xr, o)l = !I

r/(x¡, o)

Si la función r/ verifica la condición de

ry'(xr, xr) + rlt(xr, O) < ry'(xr, O) -----+ (l -

Si la función r/ verifica la condición de

ty'(xr, xr) + {t(xr, O) > ú(xr, O) ------+ (l -

convexidad:

l - q *p*) > -dr-

concavidad:

1 - q *p*) < --

q-

La condición de convexidad implica en el triángulo de Manschak-Machina

que la pendiente de las lÍneas de indiferencia es mayon en N que en N', loque significa que dichas líneas de se abren en abanico, ver fig. 3.5(a),

Ieste sería el caso de la Teoría del Arrepentimiento o el del individuo

temperamental en la Utilidad Expandidal.

La condición de concavidad supone que las líneas de indiferencia

tienen menor pendiente en N que en N' y ésto se interpreta como cierne enabanico hacia un punto del noreste del triángulo, ver fig. 3.5(b). Lavensión Expandida de la Teoría del Arrepentimiento permite esta posibilidad

y a la vez que los individuos clasificados como tibios puedan cambiar, para

distintos triángulos, la forma de sus líneas de indiferencia permitiendo

que en unos triángulos se cierren y en otros se abran en abanico.

Partiendo de estos presupuestos se planteó la prueba empfrica conlos siguientes objetivos:

(a): Volver a repetir el experimento de Khaneman y Tversky respecto alseguro probabilístico con pagos reales (el experimento or"iginal no estuvomotivado f inancieramente).

(b): Observar el comportamiento de los individuos

l09



cuando se enfrentan los dos tipos de seguro (el pleno y el probabilfstico)

al no seguro, para validar los res¡¡ltados del capítulo II de la

memoria "Tres Ensayos sobre la Teorfa del Arrepentimiento:

Aplicaciones a problemas de seguro", Sirvent (1994)

(c): Verificar la aparición o no de ciclos en las preferencias, puesto que

se trata de tres alternativas valoradas por parejas y corroborar asÍ, la

posibilidad de intransitividades cuando la elección es binaria.

(d): Como objetivo último del experimento se pretendía chequear los

distintos tipos de agentes predichos por" el modelo expandido: qué

proporción de individuos tienen las curvas de indiferencia abiertas en

abanico (son temperamentales), cuántos tienen curvas de indiferencia que se

cierren en abanico (son tibios típicos ) y cuántos cambian su actitud, es

decir, la forma de sus líneas de de indiferencia dependiendo de los

resultados.

3.3.1.- Diseño del experimento.

El experimento constaba de dos partes diferenciadas una de las cuales

recogía cuestiones de elección directa entre un par de alternativas. Estas

cuestiones pretendían chequear el comportamiento de tos individuos en

problemas relativos a los seguros. Las cuestiones de la otra parte trataban

de dilucidar la probabilidad de indiferencia de los individuos para

distintas loterías y poder testar así los distintos tipos de individuos

según su actitud temperamental.

Se plantearon 16 problemas de elección en cuatro formatos distintos:

formato (a), formato (b) y problemas de seguro en los formatos (c) y (d)

como muestra la figura 3.6.

ilo



A o xI

B x z x2

formato (a)

? too

p t l o o - p

fo rmato (b )

? too

q ' I O O - q

fo rmato (c )

p / 2 , p / Z | 1 0 0 - p

fo rmato (d )

Ptz p roo

p / 2 ' p / 2 | I O O - p

f ig . 3 .6

De las 16 cuestiones, 12 formaban 6 pares de problemas (a) y (b) donde

A o xI

B x2

o

P lz ! ' rgo

A o x2

xxt + 2_-;-

¿-

B x2

x2

x2

A o o xI

B o x2

x + xt 2------;-

¿

n l



las cantidades que apareclan para xr y xz eran las mismas para cada par.

Las 4 cuestiones restantes eran dos panes de problemas (c) y (d) con las

cantidades *, ! *" también iguales para cada par.

Al inicio de cada sesión cada individuo se sentó frente a un ondenador

personal y eligió al'azar un sobre de un montón de lOO y lo conservó hasta

finalizar el experimento. Cada uno de los sobres contenfa una tarjeta con

un número del I al 1OO. Cada individuo dispuso de un folleto (ver Apéndice)

donde aparecía la explicación detallada del experimento. Además, se realizó

una explicación verbal al mismo tiempo que en el ordenador se resolvían

cuatro cuestiones prácticas, una de cada tipo. 'El

objetivo de estas

cuestiones prácticas era que cada uno de los sujetos participantes en el

experimento se familiarizase con el equipo y el procedimiento experimental

aunque se insistió en que podían pedir cuantas aclaraciones deseasen

durante el desarrollo de la sesión. La figura 3.7 muestra las dos

cuestiones prácticas propuestas en los formatos (a) y (b).

Problema (a) Problema (b)

l ig . 3 .7

En los problemas (a) y (b), la primera alternativa A ofrece laposibilidad de ganar fO.OOO pesetas si el número del sobre elegido por el

individuo está comprendido entre 5l y IOO y O pesetas si dicho número está

comprendido entre I y 5O. La alternativa B en el formato (a) garantiza unpago de 4.OOO pesetas con independencia del número contenido en el sobre y

en el formato (b) es otro juego que ofrece el 50% de oportuninades de tener

3ooo pesetas. La línea inferior de la tabla explicita el número deposibilidades o "suertes" correspondientes

altennativa.

to . oooi s l

fiz

a cada resultado en cada



Dependiendo de las preferencias del individuo, el programa plantea un

nuevo problema de decisión en el que las suertes o posibilidades de obtener

los diferentes pagos son modificadas. si la elección inicial es A, el

programa desplaza la linea central (punteada) 24 puntos a la derecha, de

manera que A ofrece en la segunda iteración 26 suertes de IO.OOO y 74 de

cero mientras que B, en el problema (a) sigue ofreciendo 4OOO con seguridad

y en el problema (b) ofrece 74 oportunidades de 4.OOO frente a 26 de nada.

En esta nueva posición de la línea, los participantes tienen que repetir la

elección y, en esta iteración, la línea se mueve 12 puntos a la derecha o a

la izquierda dependiendo de la preferencia manifestada. Después de una

tercera elección, la línea se mueve 6 puntos en la dirección apropiada. Por

último, en lugar de una nueva elección, aparece un mensaje recordando al

individuo sus decisiones previas y permitiéndole un ajuste final de la

probabilidad con la tecla del cursor hasta que alcanza el punto donde las

dos alternativas son igualmente atractivas, lo que se le advierte al

individuo con el mensaje "si otra persona decidiese por usted, le daría

exactamente lo mismo cual fuese la alternativa elegida y cual la

rechazada".

El otro tipo de problemas que se plantearon en este experimento eran

de elección directa. La figura 3.8 muestra las otras dos cuestionesprácticas que se realizaron y que corresponden a los formatos (c) y (d).

P r o b I e m a ( c )

Plz p

p / 2 I O O - p

l l 3

A o 4 . O O O 7 . O O O

B 4 . O O O 4 . O O O 4 . O O O



A o o lo . ooo

B o 4 . O O O 7 . O O O

Prob I ema (d )

Ptz

P / 2 p / 2

f ig. 3.8

l o o

Los participantes debían resolver cuatro cuestiones de esta clase. El

problema (c) plantea la elección entre el seguro probabilístico de Kahneman

y Tversky (1979) y el seguro pleno; el segundo modelo (d) se corresponde

con un no seguro enfrentado, de nuevo, al probabilístico. La probabilidad

que aparece en ambos casos es la propia del individuo para la que manifestó

indiferencia cuando enfrentó el seguro pleno al no seguro (problema (a)).

No se permitió la indiferencia y en los casos en que el individuo fuese

indiferente entre las dos alternativas debía simplemente elegir al azar

entre una de las dos opciones.

Después que los individuos respondieron al total de los 16 problemas

planteados en cada sesión, se sorteó el número de cuestión sobre la que

debian realizarse los pagos. Este es el mecanismo usual en este tipo de

experimentos, el hecho de que los pagos no dependan en un principio de una

cuestión concreta induce a que los participantes traten cada una de las

cuestiones como si de ella, en particular, dependiese su premio.

si la cuestión sobre la que se realizan los pagos es una del tipo depreferencia estricta, cada individuo recibe el pago dependiendo de que

haya elegido A o B y del número que contiene su sobre. Si la cuestión esdel tipo indiferencia el mecanismo es como sigue: Cada individuo esemparejado aleatoriamente con otro y el pago que recibe depende de suspreferencias en la tabla de su compañero/a, por ejemplo, supongamos que lacuestión sobre la que se materializan los pagos presenta para los dosindividuos emparejados los datos de las siguientes tablas:

f i4



A

B

A

B

I n d i v i d u o I Ind i v iduo 2

Puesto que el primer individuo afirma ser indiferente entre lO suertes

de IOOOO pesetas y 4OOO con seguridad, es claro que 2O suertes para 1OOOO

le parecen una mejor elección, por lo que en esas condiciones preferiría A

en la tabla del individuo 2, si ahora abre su sobre y el número está

comprendido entre 80 y loo, recibirá lo.ooo pts. Si el número del sobre

está entre I y 8o, no recibirá pago alguno. Para el segundo individuo, como

manifestó su indiferencia para 2O suertes de 1OOOO pesetas, la decisión del

pnimero (indiferente lo suertes de loooo), le parecerá peor: con

independencia del número que contenga el sobre, recibirá 4ooo pesetas.

Este mecanismo fue discutido ampliamente en cada sesión. Se explicó

eu€, decir la verdad respecto a las pneferencias garantiza jugar a una

alternativa que es al menos tan preferida como la no jugada. El hecho de

mentir no garantiza tener algo más preferido y si puede, en cambio, obligar

a jugar una alternativa menos preferida, en el folleto explicativo del

experimento (ver Apéndice) aparecía una comprobación. Una demostración

formal de este hecho aparece en el trabajo de Loomes (1999).

3.3.2.2 Resultados y anáI is is

El experimento se realizó en dos etapas y en total tomaron parte lO6

estudiantes de los últimos cursos de Económicas, Sociología y

Empresariales.

La primera etapa se realizó con pagos reales y en ella participaron SZpersonas de los tres colectivos mencionados, en tres sesiones sucesivas v

l l 5



se pagó a cada uno de los individuos según la nespuesta dada a la cuestión

sorteada.

En la segunda etapa no se realizaron pagos en general y para motivan a

los individuos a que pensaran cuidadosamente sus respuestas se sortearon,

al final de cada sesión, dos estudiantes a los que se pagó con el mismo

mecanismo de la primera fase. Se realizaron también tres sesiones en esta

segunda etapa y cobraron seis de los 54 participantes. Aunque los

resultados no difieren sustancialmente los presentaremos por separado y

conjuntamente.

3.3.2.1.- Análisis de los problemas de seguro.

Los problemas de elección dinecta

fueron cuatro, divididos en dos pares

enfrentaba el seguro probabilístico

probabilístico al no seguro N, la figura

que resolvieron los encuestados.

p * / z

p* /z

p * / z

relativos a problemas de seguro

del mismo tipo. En cada par se

P, al pleno F, y el seguro

(3.9) muestra los cuatro problemas

l 0 O - p

ro0

I O O - p

o0

/ 2/ 2

/ 2

oo

p

P o 9 . O O O 9 . 5 0 0

F 9 . O O O 9 . O O O 9 . O O O

P

N o o 10. ooo

P o 9 . O O O 9 . 5 0 0*

P o 7 . O O O 8 . 5 0 0

F 7 . O O O 7 . O O O 7 . O O O

il6

/ 2 I O O - p



*/z

N o o to. ooo

P o 7 . O O O 8 .500* 1 0 0 - p

f ig. 3.9

Las probabilidades se fijaban para cada individuo dependiendo de la

probabilidad de indiferencia p* que él mismo había establecido en el

problema (a) correspondiente. En este problema aparecían enfrentados el no

seguro al seguro pleno para los valones *, = IO.OOO y *r= 9 OOO en el

primer par y Xr= lO.OOO y xr= 7.000 en el segundo. Los individuos

contestaron pues, a dos tripletas de problemas NF, PF y NP donde

en primer lugar establecían la probabilidad p* tal que N - F.

Somos conscientes de las limitaciones de la simulación de un seguro

en este t ipo de experimentos ( téngase en cuenta'que las pérdidas aparecen

como no ganancias y las cantidades de dinero ofrecidas son relativamente

pequeñas si se compara con un seguro real), pero es bien sabido que es

difícil encontrar candidatos para realizar estos experimentos con pérdidas

reales. No obstante, se piensa que estas cantidades son adecuadas para que

el colectivo particular de estudiantes encuestados las considere

relevantes: de hecho las cantidades de dinero ofertadas en este

experimento, han sido relativamente mayores a las ofertadas en otros

experimentos semejantes dirigidos a colectivos de estudiantes, (ver, por

ejemplo, Hey y Di cagno (199o); Loomes (1989) o Loomes, Starmer y Sugden(leel)

Los resultados que se obtuvieron, recogidos en las tablas l(A) y l(B)

del apéndice son los siguientes:

EL 627. de individuos eligieron

probabilístico en la fase con pagos reales

seguro pleno frente al

un 56.5 % en la etapa con

/ 2/ 2

el

v

n7



pagos parciales. En términos globales el 59.5 7. eligió el seguro pleno. En

los problemas que enfrentaban el seguro probabilfstico al no seguro, los

resultados presentaban una asimetrfa similar, en el sentido de que los

sujetos pnef irieron mayoritariamente cubnirse fnente al riesgo (globalmente

el 6Q% eligió el seguro probabilístico). Ello nos permite pensan que aunque

no se permitió la'indiferencia, los encuestados no contestaron al azar y

eligieron de acuerdo con sus verdaderas preferencias. Se confirmarfan

entonces las predicciones de Kahneman y Tversky 0979) aunque no en el

elevado porcentaje que ellos obtuvieron. No obstante, recuérdese que la

pregunta formulada por estos autores era hipotética y que no hubo

motivación financiera.

Los dos tripletas de problemas, la primera con xz = 9.OOO y la segunda

con x-= 7.OOO arrojan prácticamente resultados idénticos por lo que2

podríamos entender que la valoración no depende del valo¡. relativo del

resultado central xz. Ello avalaría el análisis de estos seguros utilizando

el modelo de Utilidad Expandida dependiente de la dife¡"encia de ¡.esultados

nealizado en la memoria "Tres Ensayos sobre la Teor'fa del Arrepentimiento:

Aplicación a las decisiones de seguro", Sirvent (1994).

Resaltaremos también la existencia de fallos de transitividad. En las

dos etapas del experimento aparecen individuos cuyas preferencias son

clclicas entre las alternativas F, P y N: Hay dos tipos de ciclos posibles,

N - F > P > N y F - N > P > F. El hecho de que el núme¡"o de veces que

aparece el primer ciclo (4L.57. sobre los datos globales) sea

considerablemente superior

posibilidad de que sean

segundo (21.5 7.1 descarta de nuevo la

errores los últimos causantes de las

intransitividades. Si así fuera, el número de ciclos debe¡"ía ser idéntico

en ambos sentidos. Este resultado asimétrico confirma el obtenido por

Loomes, Starme¡" y Sugden (1991). señalaremos además, gu€ el segundo tipo de

ciclo es compatible con el modelo Expandido y correspondería a posibles

respuestas de un agente que manifiesta tibieza frente al éxito/fracaso.

al

los

l l 8



3.4.2.22 Análisis de los problemas tipo indiferencia.

La tabla 2 del Apéndice recoge las respuestas de los individuos a los

6 pares de problemas (a) y (b) como sigue: Las filas primera y segunda

recogen el número de individuos que establecen claramente l-p > (l-q)/q ó

l-p < (l-ql/q en cada par8, de uno a otro par sólo cambia el resultado

central xr. Ya que p y q son enteros (con valores entre I y IOO) serfa casi

imposible el que apareciesen individuos con la igualdad exacta, se han

ajustado los decimales al entero más próximo por arriba o por abajo al

valor entero de l-p además, se han considerado iguales todas aquellos datos

cuya diferencia es de una unidad en uno u otro sentido (las tablas 3(A) y

3(B) del Apéndice recogen los resultados ajustados para cada individuo). La

tercera fila recoge todos los casos en los que con este ajuste se ha dado

l-p = (l-q),2q. En la última fila aparecen bajo la denominación de "otros"

todos aquellos casos donde se ha violado la dominancia, estableciendo p > q

o q < 50. La tabla I recoge por separado las respuestas de los encuestados

en tres bloques: 2(A) para el experimento con pagos reales (primera etapa),

2l3) para el experimento con pagos parciales y 2n para los datos

globales.

Hay autores que piensan que el comportamiento observado de los

individuos se podría corresponder con agentes que maximizan la utilidad

esperada pero que cometen errores (véase, por ejemplo, Hey y orme (t993)).

Aceptando la dificultad que supone el establecer la probabilidad

equivalente y el hecho de que los individuos pueden cometen errores tanto

en la comprensión como en la valoración sería realmente dicífil que

apareciesen verdaderos maximizadores de la utilidad esperada en estaspruebas experimentales. En su lugar lo que se puede hacer (ver Loomes(1989)) es pensar que un individuo que se comporte según esta teoría

establezca l-p = (l-q),zq un número igual de veces que l-p s (l-q),2q.

Tomando esta hipótesis como la hipótesis nula, frente a la hipótesis

alternativa de que el resultado l-p > (l-q)/q ocurre más frecuentemente que

8

El valor de p es el de la(a) y el de q la probabi l idad de

probabilidad de indiferencia en el problemaindiferencia en el problema (b).

l l 9



p = (l-q)/q la tabla 1 muestna cómo la hipótesis nula se puede rechazar en

3 de los 6 pares (justamente en los pares de problemas (a), (b) en los que

el resultado intenmedio x, es mayor). Ya que los fallos de dominancia son

casos en los que debe darse l-p < (l-q)/q, si los incluimos en el análisis

obtenemos que la hipótesis nula puede entonces rechazarse todavía

claramente en los mismos tres pares9.

Los diagnamas de barras I(A) y I(B) del Apéndice muestran los

porcentajes de los resultados l-p > [-Q/q y de l-p < (1-q),2q. Si los

individuos se comportan según la Teonía del Arrepentimiento las

probabilidades de indiferencia deberían cumplir siempre l-p > (l-q)/q, si

admitimos que los individuos se pueden comportar como aversos al

arrepentimiento con errores, tendniámos el mismo númeno de desviaciones en

todos los pares. Sin embargo, los diagramas muestran que los individuos no

se comportan de la misma forma en unos triángulos que en otros. Para

resaltar este hecho obsérvese que si en los tres primenos pares el

porcentaje de los individuos que establece l-p > (I-q)/q es del 35.5% y Ios

que establecen l-p < (L-q)/q son el 36.77", estos porcentajes se convierten

en el 637. para ">" frente aI ?57" para "<".

Estos resultados son consistentes con la versión Expandida de la

Teoría del Arrepentimiento: los individuos temperamentales eligen en el

triiángulo de Marschak-Machina como los aversos al arrepentimiento pero los

tibios, pueden cambiar su elección en la dirección temperamental. Ello

ocurre preferentemente cuando eI resultado x, es más próximo al resultado

mayor *r. Ello estaría en concordancia con las implicaciones sobre la

función expansora H(.,.) de nuestra versión Expandida de la Teoría del

Arrepentimiento (ver sección 1.3, consecuencia CIO)

Otra forma de estudiar los datos es la de tomar al individuo como la

unidad de análisis. Si consideramos 7 clases distintas que van desde un 6:O

9

El individuorespuestas fueron

número 52 no se haabsolutamente idénticas

incluido en la muestra pues susen todas las cuestiones.

LZO



hasta un 0:6 según el número de veces que se haya establecido l-p > (l-q)/q

o l-p < (I-q)/q en los seis pares de problemas, cada individuo estará

clasificado en una de ellas. En los casos donde l-p = 1-q)/q, se considera

media observación en cada una de las clases adyácentes así por ejemplo, unindividuo que establezca ">" en 3 pares, "<" en dos panes

" "=" en un p¿Ir

es clasificado como media observación en la clase 3:3 y media en la clase

4:2. Las tabias 3(A) y 3(B) del Apéndice recogen los valores de l-p y de(l-q)/q para cada individuo y la clase a la que pertenece.

Si la hipótesis nula es que los individuos son realmente maximizadores

de la utilidad esperada y que las desigualdades entre l-p y 0-ü/q son

debidas sóIo a errores, la frecuencia de las observaciones en cada una de

las siete clases se podría estimar sobre la base de la distribución

binomial con p = 0.5. Los diagramas II(A) (con pagos), II(B) (con pagosparciales) y II(C) (datos globales ) muestran la frecuencia real de cada

clase (barras rayadas) y la distribución binomial para p = O.5 Oíneacontinua). Un test chi-cuadrado muestra claramente para los datos globales

que se puede rechazar la hipótesis nula, la probabilidad de que elcomportamiento observado sea consistente con una muestra de maximizadores

de la Utilidad Esperada es menor que O.OO0096.

Si clasificamos los datos globales en dos muestras que recojan por unaparte, las respuestas de los individuos a los pnoblemas donde x2 toma losvalores looo, 2o0o y 3ooo y por otra, las respuestas a los problemas donde

x, vale 7OOO, 8OOO y 9OOO, podemos observar (ver diagramas III(A) y III(B))

la notable diferencia entre ambos conjuntos. Mientras en los triángulos

corespondientes a valores de x, bajos, el compontamiento observado podría

ser consistente con una muestra de individuos maximizado¡"es de ia Utilidad

Esperada con errores, para los valores de x, próximos a IO.OOO la hipótesis

de que los individuos se comportan según la teoría clásica es claramente

rechazada.

Si bien es cierto que la Teoría del

versión Expandida son generalizaciones

comportamiento diferenciado, dependiendo

Arrepentimiento al igual que la

de la Utilidad Espenada, este

del resultado centnal, no lo

r2l



explicaría la Teoría del Arrepentimiento y en cambio serfa compatible con

el modelo Expandido. Este cambio en el tipo de respuesta dado por los

individuos como consecüencia del valor relativo del resultado central ya

venfa apuntado como una posibilidad en el trabajo de Loomes (1989). Este

experimento confirmarÍa la idea de que el individuo manifiesta su respuesta

temperamental (la aversión al arrepentimiento) precisamente cuando las

diferencias entre "lo que ha conseguido frente a lo que ha perdido son

elevadas".

tzz



3.4.- Apéndice: Resultados del experinento.

TABLA 1 (A)

F: Seguro pleno. P: Seguro probabi l íst ico. N: No seguro

sujeto

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

t 1

t2

13

14

15

t6

77

18

T9

20

2 I

22

23

24

25

26

27

p*

2

4

6

2

2

2

2

26

2

2

8

4

10

2

4

8

2

4

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L4

4

2

2

2

2

2

I

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26

1 0

8

2

2

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56

8

8

8

8

20

7 4

20

8

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L 4

28

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6

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20

4

t 4

1 0

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B

B

B

B

B

B

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B

B

B

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A

A

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N>P

N>P A

L23



28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

4I

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

48

2

8

50

4

2

2

t 4

L 4

8

6

30

1 0

30

2

2

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?,

2

2

2

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2

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44

8

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40

12

36

26

2

26

38

18

6

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2

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26

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B

B

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B

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B

B

B

B

A

B

A

B

B

B

B

A

B

B

B

A

r24



sujeto

L

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

7 7

L 2

1 3

L 4

1 5

L 6

L 7

1 8

1 9

20

2 t

22

23

24

25

26

27

28

29

30

3 1

32

pt

1 0

1 0

1 0

1 8

L 6

7 6

z2

4

2

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1 0

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2

6

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I 4

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2

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T 4

2

2

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2

2

7 4

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P5

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P>F

TABLA 1(B)

P6 Ciclol

P>N

P>N B

P>N B

N>P A

P>N B

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P>N B

P>N B

P>N B

P>N B

N>P

N>P A

P>N B

N>P A

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P>N b

P>N B

N>P A

P15 P16

F>P N>P

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F>P N>P

pr

30

30

30

30

40

4

2

26

4

4

26

46

76

16

74

L6

2

38

2

4

38

L4

t4

2

50

10

2

38

I4

6

38

76

Ciclo2

B

B

A

B

A

B

B

B

A

B

A

B

B

B

B

B

B

r25



A

B

B

3 3 8

34 50

3 5 2

36 50

3 7 2

38 t6

3 9 2

4 0 2

4 t 6

4 2 2

4 3 8

44 36

4 5 2

46 10

4 7 4

4 8 4

4 9 6

50 10

5 1 2

5 2 2

5 3 4

5 4 6

P>F

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P>N

P>N

2

t4

2

44

6

I4

62

2

62

20

6

30

24

30

20

10

10

10

2

2

L6

20

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P>N

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N>P

N>P

N>P

P>N

B

A

B

B

A

B

B

A

A

B

A

A

B

B

A

B

A

A

A

B

P r i m e r a t r i p l e t a : F > P

P > F

P > N

N > P

N - F > P > N

F - N > P > F

P o r c e n t a j e s : F > P . . . . . 5 6 . 5 %

P > F . . . . . 4 3 . 5 %

30 Segunda tr ipleta: F > P

2 4 P > F

3 6 P > N

1 8 N > P

2 0 N - F > P > N

9 F - N > P > F

P > N . . . . 5 9 %

N > P . . . . 4 7 %

31

23

28

26

18

72

L26



ST'I'ÍARIO GLOBAL. DATOS TOTALES

P r i m e r a t r i p l e t a : F > P 6 2 S e g u n d a t r i p l e t a : F > p 6 3

P > F 4 3

P > N 6 5

N > P 4 T

N - F > P > N 4 2

F " N > P > F 2 2

Porcentajes globales: F > P. S9.S%

P > F 4 2

P > N 6 2

N > P 4 4

N " F > P > N 4 T

F - N > P > F 2 7

727



x ---+ 10002

l-p > (t-q)/q t4

l-p < (t-q)/q

p = ( l -q)/q

¡otnos!

x --)2

l-p > (l-q)/q

l-p < U-s)/q

p = ( l -q ) /q

¡otros!

1000

t6

18

1 3

7

x ----) 10002

l-p > (l 'ql/q 30

l-p < (l-q)/q

p = ( l -q ) /q

¡o t ros !

TABLA. - 2(A)

3000

22

18

8000 9000

8000 9000

38

7000 8000 9000

26

33

15

34

l 41 6

23

t71 8

31 1

8

11

29

1 3

t 2

t2

18

5

TABLA. - 2(.B)

3000

t9

22

L2

t

TABLA. - 2rc)

3000

41

40

18

2000

36

7 l634t

27

8t424

61 015

r28

15



'?g

OIAGRAIIA OE BAFIRAS I (A)

FORCENTAJES TOTALES DE l-p ) ( l-q).zq

0 1 0 0 0 4 0 0 0 3 0 6 0 4 0 0 0 5 0 0 0 5 0 6 0 ' ? g g o a o e o g o o a t o o o o

U¡lor dt X 2

t29

6 g

5 0

I

¡+JctoLo0.

t g



60

OIAGFIAMA DE EAFIRAS I(EI)

PORCENTAJES TOÍALES OE l-p ( ( l-q).zq

0 1000 29g6 30e0 40sg s000 6000 ' 7606 a900 9900 19000

Vr lor d. X a

4 g¡a

.lJc¡uLo0,

3 6

? s



DIAGRAT.IA OE BARRAS ¡¡(A)

EXPER¡¡,IENTO CON PAGOS

Srgundr conponrntr dr cl¡¡r

131



OIAGRAT.IA OE

EXPERII.IENTO CON

BARRAS I ¡ (B)

PAOOS PARCIALES

Srgund. compon.ntl da c¡a.¡

t32



t

f¡cIfott.$

DIAERAHA DE BARRAS T¡(C)

DATOS TOTALEg

S.gund. cgnponant¡ dr cla¡a

r33



50

DIAGRAT.IA ¡¡¡ (A)

OATOS TOTALES (x e)

50

40

DIAORAT.IA II¡(B)

OATOS TOTALES

I

uc!fuIl.L

aucIft¡ILL

?g 2g

- 1

Srgundr conponrntr dr cl¡¡r

134

Srgundr componrntr dr cl¡¡r



TABLA. - 3(A)

RESI'LTÁMS DEL EXPERI}.IET.ITO CON PAGOS

PROBLE'ÍAS (a) Y (b)

x^ 1000 2000 3000 7000 8000 9000¿Sujeto

1 1-p 74 26 26 74 T4 98

(7-q)/q 16 3s 3s 54 81 1oO 0:6

2 1-p 10 38 35 90 95 9T

n-ü /q 16 33 33 62 7s 62 3 :3

3 l -p 81 68 81 92 95 95

l -Q/q 27 62 48 73 GT BZ 6 :0

4 1-p 26 98 93 98 98 98([-q)/q 36 62 62 79 Tg 1OO 5:1

5 1-p t4 26 26 98 98 98

n-q) /q 16 17 35 1OO 1OO 1OO 1:5

6 l-p t4 t4 26 49 86 98

0 - ú / q t 6 7 6 3 5 1 O O 1 o O 6 2 1 : 5

7 1-p 44 74 70 86 S0 98

(7-d /q 47 43 62 79 69 aZ 4 :2

135



x2

1-p

(L-q)/q

1-p

Q-Q/q

10 l -p

(1-q)/q

1-p

(7-q) /q

LZ 1-p

(7-q)/q

13 l -p

(1-q)/q

t4 1 -p

(7-q)/q

15 l -p

(1-q)/q

1000 2000 3000 7000 8000 9000

10

2

98

8 6 4 z Z

26

77

44

78

92

62

92

48

92

82

92

96

36

37

50

6 7

48

69

38

17

25

25

40

42.

25

9

80

I2

70

62

40

100

80

25

74

62

85

96

95

93

74

aZ 3 :3

e8 e:o(1)6 2 ¿

, S: f ( l )

97

17 3 :3

90

67 5 :1

e6 s: r ( l )93ó

, + :Z ( ) l

50

6L

37

34

35

6 I

20

31

50

1.2

38

L 7

25

25

1 1

98

82

98

79

95

76

92

62 4 :2

68

57

80

62

98

62 5 :1

90

34

98

62

86

62

80

62

86

62

44

63

136



1000 2000 3000 7000 8000 90002

L6 l -p

( t -Q/q

77 1-p

e-ú/q

18 1-p

( l -q),zq

L9 1-p

0-d/q

20 1-p

(1-q)/q

1-p

(7-q)/q

22 1-p

(I-q)/q

23 l-p

0-d/q

38

L 7

1 0

9

96

93

a270

92

73

70

43

86

62

73

56

96

79

86

67

95

82

38

36

35

61

10

LL

74

t6

t4

33

38

7 7

98

62

36

34

62

96

50

36

10

17

38

67

92

62

20

44

50

6T

92

62

15

L2

92

62

80

37

98

100

86

100

92

62 6 :0

e8 s: r (1)a2¿

q:z( ! )> - 2 '

97

9 3 4 : 2

90

7 2 5 : 1

86

1 O O 2 : 4

96

8 9 4 : 2

98

t :o 3 :3

47

77

I 4

96

18

23

L4

L2

27

1

2

26

35

38

6L

98

86

98

62

t37

3 :3



x^ 1000 2000 3000 7000 8000 9000¿

24 1-p Z 74 13 81 98 98

( l -q ) /q 2 76 L4 t22 52 62 3 :3

= ( =

25 l-p 50 62 74 96 9T 98

Q-q)/q 100 62 67 1OO lOO 67 3:3

( =

26 l-p 26 38 so 86 T4 98

(t-q)/q 35 36 35 62 62 1OO 4zZ

2 7 1 - p 4 2 0 6 7 9 0 8 0 s 3 i6:o ( i )

(L-q)/q 5 13 35 54 73 86 ¿

=

28 1-p 26 49 38 56 58 53(7-q)/q 36 92 67 96 1OO 36 1:5

29 1-p 14 38 38 92 95 98 S: r (1)0-ü/q 16 3s 35 T9 96 62 2

30 l -p 3 14 L4 86 9T 92 S :s ( l )(t-q)/q =' :' : :' : 7' z,+rit

31 l-p 14 38 38 98 98 50

( t -q ) /q 16 36 6 t 1OO 1OO 1oo 2 :4

138



1000 2000 3000 7000 8000 9000

32 1-p 10 20 20 73 95 97

0-ú /q 5 25 12 59 82 70 5 :1

33 1-p L4 26 26 6L 74 98 s : g (1^)

Í-q)/q 13 35 3s 59 67 1OO ¿

=

34 l-p 2 24 Zo 88 97 98 S: g(1^)

(t-q)/q 3 31 31 92 39 ZS ¿

=

35 1-p 20 62 67 65 90 86 q :Zé)1-q)/q 16 62 1Oo 43 az gZ z

) =

36 1-p 26 50 50 74 98 86

( t - q ) / q 6 1 6 t 1 O O 1 O O 1 O o 1 O O O : 6

37 l -p s0 92 86 98 e8 92 o:o( l )l-Q/q 100 100 loO 97 tt? 1Oo ¿

38 1-p L4 26 26 74 90 95( t -q) /q 16 58 76 54 1OO 54 3:3

39 1-p 10 24 26 62 96 TO(t-q)/q 16 29 33 82 aZ 85 1:5

139



x2

1000 2000 3000 7000 8000 9000

1 0

1 1

10

25

4I

40 1-p

(7-q)/q

1-p

(7-q)/q

42 l-p

(1--q)/q

43 l-p

(1-q)/q

1-p

0-d/q

4s 1-p

(t-q) /q

46 1-p

(t-q)/q

47 1-p

(7-q) /q

t 9

77

6 t

61

83

39

82

47

37

25

26

6L

98

7 0 5 : 1

76

20

85

34

45

66

98

93

85

79

eo s: r (1)6 7 ¿

, e:O(l)

70 z : + ( \ )7 9 é

. 1 : 5 ( : )

8

2

98

36

37

53

74

36

86

82

62

69

z2

t4

2s

25

33

50

36

85

82

38

36

10

11

95

6 L

86

100

95

100

85

54

98

34

60

8 1

98

62

98

82

98

89

44

74

36

37

66

98

36 5 : t

73

59 1 :5

98

100 4 :2

74

39

80

67

70

6L

98

8 2 6 : O

98

89 4-.2

740



1000 2000 3000 7000 8000 90002

1-p

(7-q)/q

49 1-p

(7-q)/q

1-p

(L-q)/q

51 1-p

(L-q)/q

1-p

(7-q)/q

L 4

7

98

62

98

9 7 4 : 2

95

67

86

70

86

100

74

35

80

85

38

52

26

t7

z535

26

35

T 4

28

74

614

47

42

86

62

25

T7

26

35

25

43

?

50

43

2

74

89

65

43

?

86

100

98

67

65

43

2

30

43

2

86

L O A 2 : 4

86

7 3 4 : 2

e8 r :s(1)9 7 ¿

1z: a())¿

50

43

?

L47



TABLA.. 3(B)

REST'LTADOS DEL EXPERIüffTO CON PAGOS PARCIALES

PRoBLHAS (a) y (b)

Sujeto

x_ 1000 2OOO 3000 7000 8000 90002

1 1-p 10 20 25 70 80 90(l-q)/q

:t :" tn

:t : t : ,

3:3

2 1-p 10 20 30 70 80 90(L-q)/q

:. :t :. ,=o ,=t

:,

3:3

3 l -p ZS 20 31 To 86 90 A:Z(=)(I-q)/q 30 25 30 62 5Z 79 ¿

4 1-p 26 3s 3s 70 7t 83 s : t ( l )1-q)/q 31 30 34 59 ST Tg ¿

s l -p 10 2s zz 60 8s 85 s :g( l )(t-q)/q 7 t2 25 66 6Z gZ ¿

6 l -p L4 49 37 97 97 8s s :S( l )(L-q)/q t6 36 58 62 9T 95 ¿

7 l-p L4 38 50 98 98 98(t-q)/q 14 36 61 43 63 97 4:2

=

r42



x_ 1000 2000 3000 7000 8000 90002

8 1-p 26 26 38 74 74 e8 g , g(1)I - i l /q 31 17 36 73 82 T6

¿

9 1-p 40 38 70 97 98 9T

(L-q)/q 66 66 67 67 82 82 4:2

t 0 1 - p 2 0 3 6 8 1 9 6 9 8 e B , r .6 : O ( : )

lr-q) /q t=o :' :t :'

',o :t s, t rit

LL 1-p 38 38 35 74 90 Tzg-q)/q 34 42 54 89 IT 6T 4:Z

12 l-p 38 38 45 54 65 qn i¿ v 3 : 3 ( l )

(7-q)/q 36 67 61 67 66 6T ¿

13 1-p 38 4s 4s 85 90 95

(L-q)/C 34 54 34 57 79 86 5:1

14 1-p 74 38 49 8s 81 98(l-q)/q 16 36 34 62 54 82 5:1

15 1-p L4 38 38 86 86 92(t-q)/q 3 36 36 62 62 1OO 5:1

143



x2

1000 2000 3000 7000 8000 9000

t6 l -p

Q-d/q

t7 1 -p

(L'q)/q

18 l -p

(I-q)/q

19 1-p

(L-q)/q

20 1-p

0-Q/q

1-p

(t-q)/q

22 1-p

(t-q)/q

23 1-p

(L-ü/q

6 1

6 7

I 4

7 4

26

L7

35

53

86

36

80

100

97

47

80

67

98

100

50

78

86

82 3 :3

62

85

74

59

98

97

98

62

60

6 7

85

67

98

62

62

63

98

93

85

6 7 4 : 2

98

1oo 3 :3

e4 e: a( f )79

, + :Z( ) )

e7 s: s(1)9 7 ¿

+:z(!)¿

98

6 2 3 : 3

86

100 3 :3

98

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483 :3 ( : )

2,4(t)

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FOLLETO EXPLICATIVO DEL EXPERIMENTO

Este es un experimento sobre elección en condiciones de riesgo en elque usted tiene la posibilidad de ganar hasta IO.OOO pesetas.

A la entrada del aula verá un montón de cien sobres cerradosy debidamente barajados, de los cuales usted elegirá uno, que no seráabierto hasta que concluya el experimento. El sobre, contiene un número del1 al lOO, y el pago que usted reciba dependená de dicho número.

Recogerá usted también una etiqueta por la que quedará asignado alordenador en el cual contestará a una serie de cuestiones.

El tipo de cuestiones a las que usted deberá responder se ajusta alsiguiente esquema:

que plantea un problema de elección entre dos alternativas A y B.

La pnimera de ellas (A) le ofrece la posibilidad de ganar lo.ooopesetas si el número del sobre que usted eligió está comprendido entre 31 y1oo y o pesetas si dicho número está comprendido entre I y 30. (Líneasuperior de la tabla).

La alternativa (B), le garantiza un pago de 4.OOO pesetas conindependencia del número que contenga el sobre.

Observe que la linea inferior de la tabla explicita el número deposibilidades o suertes correspondientes a cada resultado en eadaalternativa.

usted deberá decidirse por la alternativa A o B que le resultepreferida en cada una de las cuestiones planteadas.

Según sean sus preferencias, el pnograma le planteará un nuevoproblema de decisión en el que las suertes o posibilidades de obtener losdiferentes pagos según sea su elección, se venán modificadas. Su respuestafinal se concretará en fijar las suertes para las cuales sea ustedindiferente entre las opciones A y B, de modo que si otra persona decidiesepor usted, le darÍa exactamente lo mismo cual fuese la alternativa elegiday cual la alternativa rechazada.

Deberá contestar a un total de LZ cuestiones de este tipo, si bien elpago final que reciba dependerá de sólo una de ellas, que será determinadapor sorteo al final del experimento. Es por ello por lo que se lerecomienda que trate cada una de las cuestiones como si de ella enparticular dependiese su premio.

Antes de proceder al sorteo del número de cuestión que determine lospagos' será usted emparejado aleatoriamente con otro participante y eldinero que usted reciba estará de acuerdo con SUS preferencias sobre latabla de su compañero/a del siguiente modo:

Suponga que la cuestión sobre la que se materializan los pagos es ladel ejemplo anterior y gue en ella se pronunció usted como indiferente

r49



entre A y B para las siguientes suertes:

Suponga que su pareja manifestó su indiferencia para la tabla:

Puesto que usted afirmó sen indiferente entre 10 suertes de IOOOOpesetas y 4O00 con seguridad, es claro que 2O suertes para IOOOO le parecenuna mejor elección, pon lo que en esas condiciones usted preferiría A.

Si ahora abre usted su sobre y el númeno está compnendido entre 8Oy loo, recibirá usted lo.ooo pts. Si el nrimero del sobre está entre I y go,no recibirá pago alguno.

Para su pareja en cambio, como manifestó su indifenencia para ZOsuentes de loooo pesetas, la elección de usted (to suertes de loooo), leparecerá peor: con independencia del número que contenga el sobre, recibirá4OOO pesetas.

Por qué éste mecanismo induce a contestar honestamente?. Suponga queusted que es indiferente entre 10 suertes de IO.OOO y 4.OOO con seguridadestablece erróneamente su indiferencia en ?5 suertes para IO.OOO entoneesconseguirá la alternativa B en la tabla de su compañero, con lo que jugaráa una opción que era menos preferida para usted ya que para 2o suertes delO OOO prefiere en realidad la opción A.

Además de las cuestiones anteriores, usted deberá contestar otrascuatro en las que sólo tendrá que hacer una elección: o la alternativa A espreferida a la B, o la B preferida a la A. Si la cuestión sobre la quese realizan los pagos reales correspondiese a una de las de este tipo,usted recibirá directamente el dinero que le cornesponda según haya elegidoA o B y según sea el número que contenga su sobre.

Para familiarizarse con las cuestiones y la mecánica del experimento,antes de contestar a los problemas reales, practicará con tres ejemplos.

No dude en consultar sus dudas al supervisor en cualquier momento. Enparticulan, interesa en este momento que tenga bien claras lasinstrucciones que presenta este folleto.

Tenga en cuenta por encima de todo, gu€ en este experimento No hayrespuestas buenas y respuestas malas: debe usted elegir en cada momentocomo crea que debe hacerlo.

r50

Muchas gracias por su colaboración.



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