tesis de calculo estructural helice

8/22/2019 Tesis de Calculo Estructural Helice

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Universidad Austral de ChileFacultad de Ciencias de la Ingeniera

Escuela de Ingeniera Naval

CORRELACIN DE TENSIONES Y DEFORMACIONESENTRE HLICES DE DISTINTOS MATERIALES A

TRAVS DEL MTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Tesis para optar al Grado de:

Licenciado en Ciencias de la Ingeniera.

PROFESOR PATROCINANTE:Sr: Richard Luco Salman.

Dr. Ingeniero Naval.

RODRIGO AMAGNO SEPLVEDA BENAVIDESVALDIVIA CHILE

2006


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No puedo dejarpasar esta oportunidad para agradecer el incondicional respaldo

y confianza que me ha entregado mi familia, en especial mis hermanos Sonia, Ruby,

Ana, Lucy, Mary, Guido y Anglica, quienes durante toda mi vida me han demostrado

que puedo contar con ellos en cualquier circunstancia. A mi madre, que sin duda, le

pertenece este logro y quien nos ha dedicado su vida por completo y a mi pap, que me

ha apoyado cuando ha podido hacerlo.

A quienes me han recibido en sus casas y me han integrado como uno ms de

sus familias, a mis compaeros, a los profesores y a todas las personas que hicieron

de mi estada en Valdivia un lugar agradable durante estos aos.


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NDICE

RESUMEN VII

INTRODUCCIN VIII

INTRODUCCIN AL MTODO DE ELEMENTOS FINITOS

1.1- Planteamiento general del mtodo. 1

1.1.1 - Modelo matemtico. 2

1.1.1.1 - LA TEORA DE LA ELASTICIDAD 2

1.1.2 - Discretizacin del dominio. 5

1.1.2.1 - Eleccin del elemento 5

1.1.2.2 - Generacin de la malla. 7

1.1.3-Funciones de aproximacin. 8

1.1.3.1 - Series polinmicas. 8

1.1.3.2 - Funciones de forma. 10

1.1.4 - Ecuaciones de compatibilidad. 11

1.1.5 - Matriz de rigidez elemental. 13

1.1.6 - Condiciones de contomo. 15

1.1.7 - Obtencin de los desplazamientos y tensiones. 16

1.1.8. - Presentacin de resultados. 16

1.2 - Anlisis tridimensional de tensiones. 16

1.2.1 - Funciones de desplazamiento. . 17

1.2.2 - Matriz de deformaciones. 19

1.2.3 - Matriz de elasticidad. 20

1.3. - Tipos de anlisis estructural. 21

1.4. - Instrumentos informticos. 22

MATERIALES COMPUESTOS

2.1 - Introduccin: 24

2.2 - Anlisis micromecnico de lminas. 27

2.2.1 - Materiales componentes. 28

2.2.2 - Regla de mezcla - Constantes de ingeniera. 31

2.2.3 - Tensin y deformacin axial. 32

2.2.4 - Transformacin de coordenadas y tensin-deformacin no axial. 332.2.5 - Rigidez no axial y conformidad (matriz de rigidez inversa). 34


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2.2.6 - Resistencia de una lmina. 35

2.2.6.1 - Criteriode mxima tensin. 35

2.2.6.2 - Criterio de mxima deformacin. 36

2.2.6.3 - Criterio de falla de Tsai-Wu. 36

2.3 - Anlisis de laminado. 37

2.3.1 - Rigidez de lminas en el plano. 33

2.3.2 - Rigidez a la flexin del laminado. 38

2.3.3 - Resistencia de laminados. 41

ELEMENTOS FINITOS PARA MATERIALES COMPUESTOS

3.1 - Elementos rectangulares para compuestos delgados. 42

3.2 - Elementos rectangulares para compuestos gruesos. 45

GEOMETRA DE LA HLICE

4.1 - La hlice como elemento propulsor. 47

4.2 - Superficies helicoidales. 49

4.3 - Representacin grfica de la hlice. 52

a) Proyeccin lateral. 53

b) Proyeccin frontal. 53

c) Perfiles expandidos. 53

4.4 - Relaciones geomtricas. 54

RESISTENCIA MECNICA DE LAS PALAS

5.1 - Generalidades. 56

5.2 - Esfuerzos debidos ai par y al empuje. 56

5.3 - Esfuerzos debidos a la fuerza centrfuga. 60

5.4 - Clculo de ios esfuerzos unitarios. 61

5.4.1 - Frmula de Tayton 625.4.2 - Frmulas de Romson. 63

5.5 - Clculo de una hlice por reglamento. 64

5.5.1 - Materiales. 64

5.5.2 - Clculo del espesor de las palas. 64

CARACTERSTICAS DE LA HLICE

6.1 - Caractersticas. 68

6.2 - Condiciones de operacin. 686.3 - Geometra de la hlice. 68


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MODELADO DE LA HLICE

7.1 - Perfil de la cara de presin y ncleo. 70

7.2 - Superficie helicoidal en la cara de presin. 71

7.3 - Cara de succin. 73

7.4 - Unin pala - ncleo. 777.5 - Maliado en Algor. 79

ESTIMACIN DE CARGAS Y CONDICIN DE CONTORNO

8.1 - Generalidades. 82

8.2 - Fuerzas por empuje y torque. 83

8.4 - Ubicacin y vector de direccin de las fuerzas puntuales. 86

8.5 - Clculo de las cargas a aplicar al modelo. 86

8.6 - Condicin de contorno. 89

CLCULO ESTRUCTURAL CON DISTINTOS MATERIALES

9.1 - Nquel-Aluminio - Bronce (NAB) 90

9.2 - Laminado A 93

9.3 - Comparacin de resultados. 95

CONCLUSIONES 96

BIBLIOGRAFA 98


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RESUMEN

Durante mucho tiempo las hlices se han dimensionado de acuerdo a

reglamentos de casa clasificadoras quienes a travs de expresiones empricas que

relacionan una serie de variables, proporcionan los espesores del perfil en la pala adiferentes radios evadiendo as, un anlisis estructural de tensiones, que a su vez

implica un gran trabajo, puesto que las formulaciones slo nos entregan el valor en un

punto, por tanto hacer la distribucin completa de tensiones para una hlice tomara

mucho tiempo y esfuerzo.

Gracias a las versiones ms actualizadas en software de diseo y elementos

finitos, que tienen una gran flexibilidad, podemos modelar geometras complejas en

uno y ejecutar todo tipo de anlisis disponibles en otro.

Con tal oportunidad que nos brindan estos programas, se realizar un clculoestructural para una hlice ya construida donde se mostrar la distribucin de

tensiones y las deformaciones que se producen en el propulsor cuando est operando

al mximo de su capacidad y se har una comparacin de resultados evaluando

diversos materiales de construccin bajo la accin de las cargas aplicadas.

SUMMARY

From a long time propellers were dimensioned by rules of classification, using

empiric expressions, which are related with many variables. The expressions allow us

to get the foil thicknesses of the blade for a specific radius, without a structural

analysis, which is labor intensive because formulas only give values for a specific

point, so to make the whole tension distribution will take too much time and effort.

With the new CAD and FEM software, we can design complex geometrical

shapes and later analyze these ones using different programs for both work stages

In this way, we'll effectuate a finite element structural analysis for a propeller

already built where, we're analyze the tension map and deformed shape of it in a load

condition, and also we'll make comparisons between different materials models under

the action of loads applied.


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INTRODUCCIN

Para una comprensin en la formulacin del mtodo de elementos finitos,

comenzaremos por dar un planteamiento general donde se indican los principales

enunciados que caracterizan este procedimiento de clculo, que aplicaremos paraencontrar la distribucin de tensiones en una hlice de bronce, la cual se comparar

con una ficticia de material compuesto. Las propiedades y caractersticas de tales

compuestos se exponen por separado para razonar la diferencia entre ambos

materiales, quienes sern sometidos a las distintas cargas que deduciremos a travs

de un mtodo emprico, que contrasta en la simpleza con una formulacin entregada

que nos permite realizar manualmente los clculos de resistencia mecnica de las

palas.

Los conceptos y fundamentos en el origen de la geometra para una hlice son

proporcionados con el fin de tener una mayor perspectiva de la situacin en estudio.

La geometra del propulsor elegido fue modelada en un programa de diseo, adems

se explica de manera muy sencilla como hacer una hlice paso a paso y as llegar a

obtener el modelo para esta estructura compleja de una manera mucho ms gil, que

hacerla directamente en un software de elementos finitos.

De esta forma podremos aplicar las fuerzas que actan en una pala paradeterminar de manera muy cercana a la realidad, donde se producen los esfuerzos

mximos as como la deformacin de la hlice bajo la accin de las cargas que est

generando. Con esto podremos hacer una comparacin en los resultados obtenidos

con los distintos materiales para concluir cuales son las diferencias entre ellos para

este caso en particular.


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CAPTULO I

INTRODUCCIN AL MTODO DE ELEMENTOS FINITOS

La necesidad de obtener respuestas fiables y rpidas a los diferentes problemas

que se presentan en ingeniera, ha llevado al mtodo de elementos finitos (MEF), a ser

uno de los instrumentos ms utilizadas en la solucin de estos, destacando el rea de

clculo de estructuras en donde su aplicacin ha hecho posible soluciones prcticas a

problemas complejos de abordar mediante otras tcnicas.

1.1 Planteamiento general del mtodo.

El mtodo consiste en discretizar un medio continuo mediante elementos

llamados elementos finitos, que estn enlazados entre si a travs de nodos ubicados

en el contorno de estos. En cada elemento se asume una funcin de aproximacin que

definir el comportamiento de la variable que se est estudiando, en el caso de las

estructuras sern los desplazamientos, en funcin de los valores que adquiera esta

variable en los nodos, es decir los desplazamientos nodales. Una vez obtenidos estos

valores se plantean las ecuaciones de compatibilidad de todos los elementos y seresuelven utilizando mtodos matriciales. La primera impresin es que el mtodo es

similar a lo que se conoce como anlisis matricial de estructuras, pero como se ver

ms adelante, la diferencia fundamental est en la obtencin de la matriz de rigidez,

adems de no estar limitado al anlisis de estructuras discretas.

El mtodo de elementos finitos puede plantearse en una serie de etapas, las que

se pueden ordenar de la siguiente forma:

1.1.1. Modelo matemtico.

1.1.2. Discretizacin del dominio.

1.1.3. Funciones de aproximacin.

1.1.4. Ecuaciones de compatibilidad.

1.1.5. Matriz de rigidez.

1.1.6. Condiciones de contorno.

1.1.7. Obtencin de desplazamientos y tensiones.

1.1.8. Presentacin de los resultados.


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Se detallan a continuacin cada una de las etapas sealadas:

1.1.1 Modelo matemtico.

Se debe seleccionar un modelo matemtico que describa el comportamiento de

la estructura, como por ejemplo la teora de la elasticidad, explicado brevemente a

continuacin.

En casos muy contados es posible obtener una solucin analtica del problema,

por lo que es comn utilizar tcnicas numricas, con lo que se obtiene una solucin

aproximada, involucrndose por lo tanto, la experiencia de quien realiza los clculos.

1.1.1.1 LA TEORA DE LA ELASTICIDAD

De un modo genrico se puede definir el mbito de la teora de la elasticidad

como extendido al estudio del comportamiento de los slidos deformables. No

obstante, bajo el trmino de elasticidad cabe incluir el anlisis de situaciones con

material no lineal, de frecuente aplicacin a la Mecnica del Suelo, o con grandes

movimientos y deformaciones, as como extensiones de evidente inters en el estudiode la propagacin de fisuras, como la teora de la elasticidad micropolar o el caso

particular de la misma conocido como elasticidad con tensiones-momentos.

En la actualidad, la utilizacin del computador ha permitido extender la utilidad de

la teora de la elasticidad ms all de los aspectos anteriormente comentados. En

efecto, tras la aparicin de los mtodos de los elementos finitos y de los elementos de

contorno, es posible obtener soluciones numricas de problemas complejos en

geometra, cargas y condiciones de contorno.

1.1.1.2 Concepto de slido elstico.

Un aspecto importante que debe considerar el ingeniero en las construcciones

corresponde a su estabilidad y resistencia. Estas propiedades se comprueban

mediante un modelo matemtico resultado de una abstraccin de la realidad, y es en

este modelo, que en general no es nico, sobre el que se aplican las tcnicas fsico-

matemticas adecuadas, con objeto de deducir unos resultados que deben ser, a su

vez, trasladados a la realidad.


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Por consiguiente, existen tres etapas en una comprobacin de la resistencia de

una construccin: idealizacin, clculo e interpretacin de los resultados.

La idealizacin de la realidad se denomina slido elstico, conviene recordar a

este respecto, que en la mecnica racional, el proceso de abstraccin conduca a un

modelo denominado slido rgido. En ambos casos, se concibe el modelo de slido

como un conjunto de puntos materiales que interaccionan entre si mediante las fuerzas

intermoleculares de cohesin. Los dos tipos de modelo de slido presentan las

siguientes propiedades:

El slido rgido se caracteriza por conservar invariables las distancias entre sus

puntos materiales. El slido elstico, al igual que el slido real, corresponde a modelos que implican

modificacin de las distancias entre puntos materiales. Sin embargo, en el slido

elstico se supone que no existen espacios vacos intermoleculares contrariamente

al slido real, es decir, la masa de los distintos puntos se distribuye uniformemente

en su entorno. Por ello el slido elstico se dice que es un slido deformable

continuo. Esta ltima propiedad implica que para todo entorno de un punto

geomtrico del slido existe asociada una masa o, lo que es lo mismo, la masa es

una funcin de distribucin continua y todos los puntos geomtricos son materiales.

El slido elstico as definido es el modelo que estudia la mecnica de los medios

continuos, y en particular como parte de la misma, la elasticidad. No obstante, y con

objeto de reducir su mbito y simplificar la formulacin matemtica, se suele considerar

una clase de slidos que sean elsticos, homogneos y continuos. La propiedad

elstica supone la recuperacin de las distancias modificadas por una accin a la

situacin inicial una vez que cesa esta. Las cualidades de homogeneidad e isotropa

consideran la igualdad de las caractersticas del slido (masa, propiedades elsticas,

etc.) independientemente del punto y de la direccin respectivamente.

En resumen, la elasticidad lineal estudia el comportamiento del slido elstico

definido como un sistema de puntos materiales deformable, continuo, elstico,

homogneo e istropo.

Desde un punto de vista formal, el comportamiento del slido elstico se rige de

acuerdo con las siguientes hiptesis:


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El slido es continuo y permanece as bajo la accin de las cargas

exteriores.

El principio de superposicin de efectos es vlido.

Existe un estado nico sin tensiones en el slido al cual se vuelve cuando

cesan las acciones.

La validez de las hiptesis anteriores exige que todas las ecuaciones que

intervengan en el clculo elstico sean lineales.

Las ecuaciones de la elasticidad se pueden clasificar en tres grandes grupos:

(a) Ecuaciones de equilibr io o estticas, que relacionan las fuerzas actuantes

con magnitudes estticas denominadas tensiones.

(b) Ecuaciones de compatib ilidad o cinemticas, que representan condiciones

entre los movimientos del slido y unas magnitudes cinemticas llamadas

deformaciones.

(c) Ecuaciones constituti vas o mixtas, que expresan el comportamiento delmaterial que compone el slido, es decir, relacionan las tensiones con las

deformaciones.

Las ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad pueden deducirse mediante

consideraciones de la mecnica racional. Las ecuaciones constitutivas son

fenomenolgicas y slo pueden obtenerse va ensayos experimentales.

Los tres grupos de ecuaciones anteriores tienen que ser lineales, si la hiptesis

de superposicin de efectos es vlida. La linealidad de las ecuaciones de equilibrio o

linealidad esttica exige que la geometra del slido elstico que se considere en el

planteamiento de las ecuaciones sea la correspondiente a la del slido en su posicin

inicial; es decir, no depende de los movimientos experimentados por el slido.

La linealidad de las ecuaciones de compatibilidad o linealidad cinemtica supone

que las ecuaciones entre deformaciones y movimientos sean de primer grado lo que

implica despreciar todos los trminos cuadrticos y de los movimientos frente a las

primeras potencias de estos.


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Finalmente, la linealidad del material asume que este sea elstico Hookeano, es

decir, las ecuaciones entre tensiones y deformaciones sean lineales. Adems si se

descargan las acciones, se alcanza el estado inicial nico sin deformaciones

permanentes (propiedad elstica del material).

1.1.2 Discretizacin del dominio.

La idea bsica de discretizar es dividir el medio continuo en una serie de

elementos, cuyos tamaos y orden estarn previamente establecidos, con el objeto de

reducir de infinitas a finitas las incgnitas a resolver y que representarn, en este caso,

el comportamiento de la estructura. Los elementos en que se divide el medio continuose denominan elementos finitos y estn conectados entre si por nodos ubicados

generalmente en la frontera de cada uno de ellos, el conjunto de elementos finitos y

nodos da por resultado una malla, la que representar lo ms fielmente posible la

geometra del medio continuo.

En la discretizacin del medio continuo se pueden diferenciar dos aspectos

importantes, el primero es la tipologa del elemento y el segundo la densidad de la

malla a utilizar, de estos dos aspectos depende en gran medida la precisin delresultado que se obtenga.

1.1.2.1 Eleccin del elemento

La tipologa del elemento a utilizar depender principalmente del problema que

se quiera resolver, por lo que es recomendable tener un conocimiento a priori del

comportamiento de la estructura y de la respuesta que ofrece cada elemento, esto

basado principalmente en la funcin de aproximacin asociada a ste y su geometra.

Una clasificacin general de los elementos y en funcin principalmente de su

geometra, se puede realizar como se detalla a continuacin:

i) Elementos monodimensionales: constituidos por barras y vigas, utilizados en diversos

tipos de problemas, siendo de gran utilidad en aquellos que se requiera rigidizar

paneles mediante refuerzos.


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ii) Elementos bidimensionales: constituidos por elementos triangulares (lineales o

cuadrticos), rectangulares (lineales, lagrangianos o serendpitos) y cuadrilteros

(resultantes de la eliminacin del nodo central de la unin de cuatro elementos

triangulares).

iii) Elementos tridimensionales: resultan de la generalizacin de los elementos

bidimensionales, pudiendo diferenciarse los axisimtricos, paraleleppedos y

hexaedros.

En la actualidad existe una amplia gama de elementos, dependiendo de la

herramienta informtica que se use, como se detalla en la figura 1.1.1, siendo

necesario resaltar que para cada problema se deber utilizar el elemento adecuadointroduciendo las variables nodales correspondientes.

FIGURA 1.1.1 TIPOS DE ELEMENTOS


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Los elementos detallados anteriormente pueden distorsionar su geometra

permitiendo una mejor aproximacin a la geometra del modelo en estudio, estos se

conocen como elementos isoparamtricos y son generados por medio de

transformaciones bilineales, teniendo la particularidad de que un elemento generatriz

bidimensional, no slo dar como resultado un elemento isoparamtrico bidimensional

sino que puede generar uno tridimensional. La utilizacin de elementos

isoparamtricos, soluciona en gran medida el problema de representacin geomtrica

de modelos complejos, especialmente aquellos que poseen zonas con curvaturas

pronunciadas y en las que sera necesario un gran nmero de elementos para

representar fielmente su geometra. Existen adems los elementos isoparamtricos

degenerados, producto del desplazamiento de uno de los nodos de un elemento

isoparamtrico triangular o rectangular, utilizado comnmente en el estudio defenmenos de mecnica de fractura.

1.1.2.2 Generacin de la malla.

El conjunto de elementos finitos, conectados entre si a travs de sus nodos, se

denomina malla, siendo de gran importancia el orden en el que se distribuyan los

elementos y la densidad de esta.

El orden de los elementos en la malla tiene directa relacin con el tiempo que

utilice el computador para resolver el problema, ya que, una vez obtenidas las matrices

de rigidez de los elementos, el orden en el que estn dispuestos en el modelo definir

el ancho de banda de la matriz global, por consiguiente, un estudio preliminar de la

distribucin de los elementos en el modelo asegurar un menor esfuerzo informtico.

Los programas modernos tienen una funcin de automallado que realiza en

forma automtica la optimizacin de la distribucin de los elementos, mejorando el

rendimiento del computador.

La densidad de la malla o tamao de los elementos tiene directa relacin con el

grado de precisin que se requiera, ya que mientras ms fina sea la malla, es decir,

mientras ms pequeos sean los elementos que se utilicen, mayor ser el grado de

precisin que se obtendr.


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Generalmente un refinamiento de la malla involucra un mayor trabajo

informtico, por lo tanto, la tcnica utilizada es de refinar en forma progresiva y slo en

las zonas de inters, poniendo cuidado en algunos aspectos como el que la malla

inicial est contenida en la malla que resulte de disminuir el tamao de los elementos y

que el tamao de una de las dimensiones del elemento utilizado no sea mucho mayor o

menor que las otras.

En numerosos casos la generacin de la malla de un modelo implica el utilizar

un gran nmero de elementos, por lo que se debe considerar la posibilidad de aplicar

condiciones de simetra, lo que traer como resultado un ahorro del trabajo informtico

o una mayor exactitud de resultados.

1.1.3 Funciones de aproximacin.

Las funciones de aproximacin o funciones de interpolacin, nos permiten

aproximar los valores de la variable en estudio (desplazamientos) dentro del elemento,

a valores en los nodos, para ello existen dos maneras, una a travs de funciones de

forma y otra utilizando series polinmicas, siendo estas ltimas las ms utilizadas por

su sencillez de manejo y porque basta con aumentar el grado del polinomio paraaumentar el grado de precisin.

1.1.3.1 Series polinmicas.

Este mtodo define la funcin de desplazamientos dentro del elemento

mediante un polinomio completo M(x,y,z), de grado n igual al nmero de grados de

libertad de los nodos del elemento, es decir:

nm098

27

26

254321

za...xzayzaxyaza

yaxazayaxaa)z,y,x(

++++++

+++++=

(1.1.1)

que expresado en forma matricial ser:

{ }n222T

T

z,...,zx,yz,xy,z,y,x,z,y,x,1M

AM)z,y,x(

=

=


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- 10 -

+

=

+=

=

1n

1i

m

2

1

)i2n(im

a

a

a

AM

(1.1.2)

donde m es el nmero de trminos del polinomio.

En un elemento, con un nmero de nodos igual a m, la funcin de interpolacin

en funcin de los valores nodales queda:

(1.1.3)

Si despejamos la matrizA, obtenemos el valor de los coeficientes del polinomio

de interpolacin en funcin de los valores nodales:

[ ] n1

nMA = (1.1.4)

[ ]nM es matriz cuadrada mxm, no singular y caracterstica para cada elemento.

Sustituyendo (1.1.4) en (1.1.2) se tiene el valor de la funcin en cualquier punto

del elemento:

[ ] nn1

nTT NMMAM === (1.1.5)

donde N es la matriz de forma del elemento.

[ ]

)(nodoM

)(nodoM

)(nodoM

M

)(nodo

)(nodo

)(nodo

AM

mT

2

T

1T

n

m

2

1

n

nn

=

=

=

M

M


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- 11 -

Este procedimiento de aproximacin es muy utilizado, pero presenta algunas

desventajas como por ejemplo la necesidad de obtencin de la matriz inversa.

1.1.3.2 Funciones de forma.

Las funciones de forma pueden obtenerse mediante polinomios de interpolacin

como los desarrollados por Lagrange y Hermite, cumpliendo con definir unvocamente

el campo de desplazamientos en el interior del elemento en funcin de los

desplazamientos nodales:

[ ] { } [ ] { }nni N)z,y,x(N)z,y,x( == (1.1.6)

Donde:

)z,y,x( : es el campo de desplazamientos en el interior del elemento.

[ ]N : matriz de funciones de forma.

)z,y,x(N i : funcin de forma asociada a los nodos del elemento.

{ }n : vector de desplazamientos nodales.

Con el objeto de asegurar que la solucin que se obtiene mediante la funcin deaproximacin elegida converja a la solucin, esta debe cumplir con la condicin de

conformidad, que se refiere a la continuidad de resultados entre elementos, siendo

necesario que la funcin adquiera el valor cero en todos los nodos menos en el nodo

que se est considerando, en donde adquiere el valor de la unidad, adems debe

cumplir con la condicin de complitud, es decir, asegurar la continuidad de la funcin

dentro del elemento, cumpliendo con las ecuaciones que plantea el modelo

matemtico. Lo anterior implica que la funcin debe ser diferenciable hasta el grado

ms alto de las derivadas que aparezcan en la formulacin de la energa potencial delsistema, esto se cumple cuando la suma de las funciones de aproximacin asociadas a

los nodos, en cualquier punto del elemento, es igual a la unidad.

Estas dos condiciones pueden resumirse como:

0)z,y,x(N i = , en cualquier nodo ji

1)z,y,x(N i = , en cualquier nodo ji =

=

=n

1ii 1)z,y,x(N


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- 12 -

Entre los criterios para seleccionar el elemento a utilizar en el modelo, adems

de lo descrito en lo referido a discretizacin del dominio, es importante considerar el

tipo de funcin de forma que est asociada al elemento, as por ejemplo, habrn

elementos Lagrangianos que utilizan polinomios de Lagrange para generar la funcin

de forma; Hermticos, en donde se utilizan polinomios de Hermite y que son de especial

inters cuando se requiere conocer los valores de la funcin y de su derivada;

Serendpitos, en que el inters es que los nodos se encuentren en el contorno del

elemento y cuya funcin de forma se obtiene multiplicando los trminos de grado n del

polinomio elegido en una variable por trminos lineales en la otra, con lo cual se

obtiene un resultado similar a los polinomios de Lagrange en los contornos.

1.1.4 Ecuaciones de compatibilidad.

Se sabe por la teora de la elasticidad que la relacin entre tensiones y

deformaciones unitarias es:

[ ] = D (1.1.7)

En el caso de la tensin tridimensional, las deformaciones y tensiones, toman las

siguientes expresiones:

{ }

{ }

[ ]

=

=

=

A00000

0A0000

00A0000001

0001

0001

D

zxyzxyzzyyxxT

zxyzxyzzyyxxT

,,,,,

,,,,,

Donde:

Poisson.deecoeficient

Young.demdulo

Lam.deecoeficient

=

=

=

=

E

2

)21(A


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- 13 -

En el caso de la tensin plana tenemos que:

(1.1.8)

El vector de deformaciones unitarias puede expresarse en funcin de los

desplazamientos nodales de la siguiente forma:

+

+

+

=

)z/u()x/w(

)y/w()z/v(

)x/v()y/u(

z/w

y/v

x/u

zx

yz

xy

zz

yy

xx

(1.1.9)

donde u, v, w, son los desplazamientos definidos por:

=

)z,y,x(w

)z,y,x(v

)z,y,x(u

(1.1.10)

si [ ]L es el operador:

[ ]

=

x/0z/

y/z/0

0x/y/

z/00

0y/0

00x/

L (1.1.11)

la deformacin puede expresarse como:

[ ] = L (1.1.12)

{ }

{ }

[ ]

=

=

=

2)1(

00

01

01

)1(E

D22

xyyxT

xyyxT

,,

,,


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- 14 -

sustituyendo (1.1.5) en (1.1.12) resulta:

[ ] [ ] nNL = (1.1.13)

llamando [ ] [ ] [ ] :expresinlaobtenemosa NLB

[ ] nB = (1.1.14)

con lo que se consigue expresar las deformaciones en funcin de los valores nodales,

anlogamente, sustituyendo en (1.1.6) se obtendrn los valores de las tensiones en

funcin de los valores nodales:

[ ] [ ] nBD = (1.1.15)

1.1.5 Matriz de rig idez elemental.

Para la obtencin de las matrices de rigidez elementales, que relacionan las

cargas exteriores aplicadas al elemento con los desplazamientos nodalesindependientes que este experimenta, se utiliza un principio variacional como el

principio de energa potencial mnima. Principio que establece que entre todos los

desplazamientos admisibles, aquel que adems satisface las condiciones de equilibrio

de la estructura convierte el funcional energtico en estacionario. Por lo tanto,

aplicndolo al elemento, el procedimiento ser el siguiente:

La energa de deformacin almacenada en el interior del elemento est

expresada por:

{ } [ ]{ } dVD21 T

ve= (1.1.16)

Donde:

{ }[ ] material.delrigidezdeelsticamatriz

nes.deformaciodevector

=

=D

El trabajo de las cargas exteriores queda:

{ } { } = vT

ee dVf)z,y,x(W (1.1.17)


22/107

- 15 -

[ ] [ ] [ ] { } { } dVf)z,y,x(dVBDB21 T

v eTnnv

TTn

e

=

=

[ ] [ ] [ ] [ ] dVBDBK

0/

T

ve

n

=

=

{ } [ ] { }n= Kf

[ ] [ ]= eKK

Donde:

{ }{ } .exteriorescargasdevector:

entos.desplazamidecampo:

f

)z,y,x(e

la energa potencial total del elemento ser:

eee W= (1.1.18)

la energa potencial total en toda la estructura ser:

(1.1.19)

derivando e igualando a cero (1.1.19), para obtener la energa potencial mnima, se

obtiene la matriz de rigidez elemental:

(1.1.20)

La integracin se extiende dentro del subdominio constituido por los lmites del

elemento y se resuelve mediante mtodos de integracin numrica, los coeficientes de

la matriz obtenida dependen de la geometra y del material del elemento seleccionado.

La matriz de rigidez de la estructura (matriz de rigidez global) de orden MxM

siendo M el nmero de nodos del elemento, se obtiene mediante el ensamblaje de las

matrices elementales, es decir, partiendo de la matriz de rigidez del elemento de orden

mxm, amplindola con ceros en los lugares correspondientes a los grados de libertad

de los nodos que no pertenecen al elemento, hasta completar el orden MxM, la matriz

de rigidez del sistema ser:

(1.1.21)

de esta forma queda:

(1.1.22)


23/107

- 16 -

{ } { } { }

{ } [ ] { } [ ] { } { } ++=

+=

iissT

v vT

n

svn

dpdSfNdVfNf

fff

Donde:

{ }[ ] global.rigidezdematriz:

es.equivalentnodalescargasdevector:

K

f

El vector de cargas equivalentes aplicadas en los nodos al elemento, queda

definido por:

(1.1.23)

Donde:

{ }{ }{ } puntuales.fuerzas

s.superficiedefuerzas

msicas.ovolumendefuerzas

:p

:f

:f

i

s

v

El vector de cargas totales de la estructura queda definido por:

{ } { }= nv ff (1.1.24)

1.1.6 Condic iones de contorno.

Con el objeto de resolver las ecuaciones, que llevan por incgnitas los

desplazamientos, se restringen los grados de libertad o desplazamientos en

determinadas direcciones de un conjunto de nodos, con lo cual la ecuacin (1.1.22),

puede escribirse como:

[ ] [ ][ ] [ ]

=

r

l

r

l

rrrl

lrll

f

f

KK

KK(1.1.25)

Donde:

os.restringidlibertaddegradoslossobrecargadevector

os.restringidnolibertaddegradoslossobrecargadevectorosrestringidlibertaddegradosvector

os.restringidnolibertaddegradosvector

:f

:f:

:

r

l

r

l


24/107

- 17 -

como el valor de los desplazamientos en los nodos restringidos es nulo:

[ ][ ]

rlrl

llll

fK

fK

=

=(1.1.26)

se pueden obtener los valores de los desplazamientos en las direcciones no

restringidas con la primera de las ecuaciones (1.1.26), y sustituyendo en la segunda, se

obtienen las reacciones en las restricciones.

1.1.7 Obtencin de los desplazamientos y tensiones.

Una vez obtenidos los valores de los desplazamientos nodales, como se indica

en las ecuaciones (1.1.26), las tensiones se obtienen aplicando la expresin (1.1.25).

Existen muchos procedimientos para la resolucin de ecuaciones lineales que pueden

ser implementados en el computador, pudiendo emplearse mtodos directos, iterativos,

gradiente conjugado y mtodos frontales. La resolucin de estos ltimos se realizan al

mismo tiempo que se van ensamblando las matrices.

1.1.8. Presentacin de resultados.

Existen diferentas formas de presentacin de resultados, dependiendo del

sistema informtico que se utilice, pero en general se obtendrn resultados mediante

listados, en donde se detallan los valores de desplazamientos y tensiones en los nodos

y mediante representaciones grficas de la pieza estructural que se est estudiando, en

donde se representan en base a cdigo de colores en imgenes las variables en

estudio.

1.2 Anlisis tridimensional de tensiones.

Los problemas de anlisis de tensiones en cuerpos tridimensionales,

evidentemente abarcan la mayora de los casos prcticos, aunque en algunos casos

puede obtenerse un modelo adecuado y sencillo utilizando distintas aproximacionesbidimensionales.


25/107

- 18 -

El elemento continuo bidimensional ms simple es el tringulo. Su equivalente

tridimensional es el tetraedro, que tiene cuatro nodos, uno en cada vrtice y sobre cuya

formulacin bsica se tratar en este captulo.

1.2.1 Funciones de desplazamiento.

En la figura 1.2.1 se representa un elemento tetradrico i, j, m, p en el espacio

definido por las coordenadas x, y, z. El desplazamiento de un punto queda definido por

tres componentes u, v, w en las direcciones de los ejes cartesianos x, y, z, por tanto:

=

w

v

u

u (1.2.1)

Al igual que en un tringulo plano los tres valores nodales definan la variacin

lineal de una cantidad, aqu una variacin lineal vendr definida por cuatro valores

nodales. Como en el caso de la ecuacin (1.1.1) podemos escribir, por ejemplo que:

zayaxaau 4321 +++= (1.2.2)

Igualando los valores de los desplazamientos en los nodos, tenemos cuatro

ecuaciones del tipo:

L++++= i4i3i211 zayaxaau (1.2.3)

de donde podemos calcular desde a1 a a4.

FIGURA 1.2.1 VOLUMEN TETRADRICO


26/107

- 19 -

Adems podemos escribir la solucin empleando el determinante, o sea:

( )

( ) ( )

+++++++

++++++++=

pppppmmmmm

jjjjjiiiii

uzdycxbauzdycxba

uzdycxbauzdycxba

V6

1u (1.2.4)

Siendo:

ppp

mmm

jjj

iii

zyx1

zyx1

zyx1

zyx1

detV6 = (1.2.5a)

en la que observamos que el valor de V representa el volumen del tetraedro.

Desarrollando, los otros determinantes por cofactores, obtenemos:

1yx1yx

1yx

detdz1xz1x

z1x

detc

zy1

zy1

zy1

detb

zyx

zyx

zyx

deta

pp

mm

ii

i

pp

mm

ii

i

pp

mm

jj

i

ppp

mmm

iii

i

==

==

(1.2.5b)

obtenindose el resto de las constantes mediante permutacin cclica de los subndices

p, i, j, m.

La ordenacin de los nmeros nodales p, i, j, m, debe seguir la regla de la

mano derecha como se deduce claramente de la figura 1.2.1. Los tres primeros nodos

se han numerado en esta siguiendo un orden contrario al sentido de las agujas del

reloj, mirando desde el ltimo nodo.

El vector de desplazamientos del elemento viene definido como sigue por las

doce componentes de desplazamiento de los nodos.

=

p

m

j

i

e

a

aa

a

a (1.2.6)


27/107

- 20 -

siendo:

etc.a ,

w

v

u

i

i

i

i

=

Podemos describir el desplazamiento de un punto cualquiera as:

[ ] epmji N,N,N,N aIIIIu = (1.2.7)

con funciones de forma definidas por:

etc.,V6

zdycxbaN iiiii

+++= (1.2.8)

De nuevo, las funciones de desplazamientos utilizadas satisfarn obviamente las

condiciones de continuidad en los contornos de separacin entre elementos. Este

hecho es consecuencia directa de la naturaleza lineal de la variacin de los

desplazamientos.

1.2.2 Matriz de deformaciones.

En un anlisis tridimensional completo, el vector deformacin en un punto tiene

seis componentes. La matriz de deformaciones se puede definir ahora siguiendo la

notacin general del texto de elasticidad de Timoshenko, como:

Su=

+

+

+

=

=

)z/u()x/w(

)y/w()z/v(

)x/v()y/u(

z/w

y/vx/u

zx

yz

xy

z

y

x

(1.2.9)

Empleando las ecuaciones (1.2.4) a (1.2.7) se comprueba fcilmente que:

[ ] epmjie aB,B,B,BBa == (1.2.10)


28/107

- 21 -

en la cual:

=

=

ii

ii

ii

i

i

i

ii

ii

ii

i

i

i

i

b0d

cd0

0bc

d00

0c0

00b

V6

1

,x

N,0,

z

N

,y

N,

z

N,0

,0,x

N,

y

N

,z

N,0,0

,0,yN,0

,0,0,x

N

B (1.2.11)

obtenindose las restantes submatrices de forma similar, permutando simplemente los

subndices.

Las deformaciones iniciales, tales como las debidas a la dilatacin trmica,

pueden escribirse de la forma habitual como vector de seis componentes que, por

ejemplo, en una dilatacin trmica istropa serian sencillamente:

=

0

0

0

e

e

e

0 (1.2.12)

siendo el coeficiente de dilatacin y e o el incremento medio de la temperatura en el

elemento.

1.2.3 Matriz de elasticidad.

Si existe la anisotropa completa, la matriz D que relaciona las seis componentes

de la tensin con los componentes de la deformacin puede contener 21 constantesindependientes.


29/107

- 22 -

As pues en general:

( ) 00

xz

yz

xy

z

y

x

+=

= D (1.2.13)

Aunque el clculo no presenta en si gran dificultad cuando se trata con estos

materiales, ya que la multiplicacin nunca se efecta explcitamente, es conveniente

recoger aqu la matriz D para un material isotrpico. Se puede escribir esta en funcin

de las constantes elsticas usuales E (mdulo de Young) y (coeficiente de Poisson).

( )( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

+

=

,12

21,0,0,0,0,0

,0,12

21,0,0,0,0

,0,0,12

21,0,0,0

,0,0,0,1,1

,1

,0,0,0,1

,1,1

0,0,0,1

,1

,1

211

1ED (1.2.14)

1.3. Tipos de anlisis estructural.

El tipo de anlisis estructural que se realice, depende del objetivo que se quiere

alcanzar con la aplicacin del mtodo, por ejemplo, comprobacin de clculos,

optimizacin estructural, optimizacin de peso, nuevo diseo, etc., se suma a esto la

capacidad del instrumento informtico y el tiempo que se desee invertir en el anlisis.

En general, la gran mayora de los software de elementos finitos poseen la capacidad

de ofrecer al menos las siguientes opciones de anlisis:

Anlisis esttico lineal, determinando desplazamientos debido a cargas en losnodos, cargas de presin, cargas de temperatura nodal y cargas de gravedad

debido al peso propio.


30/107

- 23 -

Anlisis de esfuerzos debido a las deformaciones producto de los

desplazamientos nodales.

Anlisis modal, el que incluye la determinacin de frecuencias naturales y modos

de vibracin. Anlisis de pandeo.

Respuesta a cargas dinmicas.

Anlisis lineal y no lineal de conduccin de calor.

Independiente del software utilizado es preponderante en cualquier tipo de

anlisis de estructura, la experiencia de quien recibe e interprete los resultados.

Cualquier tipo de anlisis requiere comprobar si los esfuerzos obtenidos son

compatibles con las tensiones admisibles.

1.4. Instrumentos informticos.

El mtodo de elementos finitos ha sido implementado en computadores

obtenindose excelentes resultados, existiendo hoy en da una amplia y variada oferta

de programas que resuelven numerosos problemas de ingeniera, diferencindose

entre ellos principalmente por la facilidad de uso, rapidez de clculo, plataforma de

trabajo, librera de elementos y por supuesto el costo, esto ltimo dice relacin directa

con las prestaciones de la herramienta (nmero de nodos, grados de libertad,

elementos, etc.) y el tipo de licencia (anual o perpetua), entre otras variables.

Cada herramienta informtica posee innumerables opciones de modelado y

presentacin de resultados, unas ms cmodas de trabajar que otras, pero en general,

estos instrumentos cumplen con el cometido de facilitar el trabajo de quienes proyectan

y disean estructuras.


31/107

- 24 -

A continuacin se plantean algunas diferencias, que hacen una herramienta

informtica ms atractiva que otra:

Facilidad de manejo, rapidez de aprendizaje y un buen servicio postventa.

Amplia librera de elementos, que posibiliten la realizacin de diferentes tipos de

anlisis.

Facilidad de lectura de resultados, presentados a travs de mapas de

degradacin de colores, listados por nodos, elementos y orientacin, ubicacin

expedita de puntos crticos, etc.

Plataforma de trabajo moderna y amigable, de fcil y rpida adaptacin.

Hardware mnimo necesario que permita soportar una inversin recuperable a

corto plazo.

Que posea un mtodo optimizado de solucin, disminuyendo el tiempo

informtico invertido en el anlisis.

Base terica para la formulacin de los elementos validada.

Costo acorde a las prestaciones.


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- 25 -

CAPTULO II

MATERIALES COMPUESTOS

Las exigencias de las modernas construcciones, tales como bajos costos, una

mejor esttica, alto rendimiento y larga vida til, han conducido a la industria a

desarrollar materiales ms avanzados que satisfagan las necesidades de hoy.

Tradicionalmente, materiales estructurales, tales como madera, acero y concreto, han

sido combinados para formar miembros estructurales de mayor calidad. Una parte

estructural construida por una combinacin de diferentes materiales es considerada

una pieza de MATERIAL COMPUESTO. El rendimiento de tales piezas es

generalmente superior al rendimiento de cada uno de los componentes. El concretoreforzado es un compuesto convencional que ha sido usado satisfactoriamente en una

variedad de estructuras. Otras combinaciones como acero-concreto o madera-acero,

son tambin usadas comnmente en estructuras modernas.

2.1 Introduccin:

Una nueva generacin de materiales basados en subproductos del petrleo ymadera ha evolucionado desde la introduccin de los plsticos. Ellos son fciles de

procesar, resistentes a la corrosin y adems livianos, pero tienen una baja rigidez y

resistencia comparada con los materiales convencionales. Estos plsticos pueden ser

eficientemente reforzados con fibras altamente resistentes tales como la de vidrio,

aramida y carbn. Usando tecnologa de materiales compuestos, se pueden crear

materiales que satisfacen las mayores necesidades en la construccin. Las

propiedades de los materiales pueden ser creadas de acuerdo a las necesidades

especficas, el uso excesivo de componentes se puede evitar y por tanto el rendimiento

puede ser maximizado sin un alto incremento en el costo de la construccin. Todos

estos esfuerzos han dejado estructuras ms livianas y delgadas. Las reglas bsicas de

seguridad asociadas a la tensin mxima posible, son ahora acompaadas por la carga

crtica de pandeo pues la falla de una estructura delgada es ms probable que sea

regida por la inestabilidad geomtrica que por falla de material. Durante aos la

mayora de la investigacin y desarrollo ha sido enfocada sobre el comportamiento

estructural en los miembros de acero, madera y concreto.


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- 26 -

En todos los casos los materiales estn asumidos como homogneos e

isotrpicos y las propiedades como el mdulo de elasticidad E, la relacin de Poisson

, y el mdulo de corte G, son constantes y el nico parmetro es la geometra de la

estructura. Hay casos donde estos parmetros son variables, como la tensin residualen el acero, comportamiento anisotrpico de la madera y grietas en el concreto

reforzado, que deben ser consideradas y realizarse un estudio ms exacto.

Sin embargo las diferencias entre un anlisis riguroso y uno simplificado son

usualmente pequeas. El uso de materiales completamente diferentes combinados con

bajo peso y miembros estructurales delgados requiere un completo y preciso anlisis

que puede hacerse ms complicado si se usan materiales anisotrpicos.

Los materiales pueden ser combinados en muchas formas para fabricar el

material compuesto deseado. El comportamiento estructural de una pieza compuesta

est regido no slo por la geometra o el tipo de carga, tambin por las propiedades del

material. La combinacin de materiales se decide de acuerdo a las necesidades

estructurales y a la relativa importancia de una variedad de propiedades como:

resistencia, peso, resistencia a la corrosin, rigidez, resistencia a la abrasin,

resistencia a la fatiga, expansin termal, propiedades electro-magnticas,

comportamiento a altas temperaturas, conductividad trmica, aislamiento acstico y

esttica del material. De este modo usando tcnicas de optimizacin, la combinacin

para el material deseado es decidida para cada aplicacin especifica.

En un sistema compuesto, dos o ms de los materiales componentes son

combinados en un cuerpo slido. En cada combinacin, uno de los materiales

componentes es llamado matriz. Las matrices estn usualmente caracterizadas por sus

relativamente bajas propiedades fsicas y proveen de la cohesin con los otros

materiales componentes. El otro material puede ser cualquier fibra continua, fibras

tejidas, fibras en forma aleatoria, o partculas que hacen el rol de refuerzo. Otra

posibilidad es combinar capas de diferentes materiales (compuestos hbridos). En

todos los casos el resultado de la combinacin es un nuevo material con caractersticas

y propiedades diferentes a las de sus materiales constitutivos.

De acuerdo a la combinacin de materiales, hay tres categoras bsicas de

materiales compuestos: los compuestos de fibra que consiste de fibras en una matriz,

el compuesto laminado que son capas laminadas de de varios materiales, y los

compuestos particulares que estn compuestos de partculas en una matriz.


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- 27 -

FIGURA 2.1.1 (a) FIBRAS, (b) LAMINADO, (c) COMPUESTO PARTICULAR

Por ejemplo, la fibra de vidrio colocada en una matriz epxica forma una fibra

compuesta, figura 2.1.1(a). La viga mostrada en la figura 2.1.1 (b) est hecha de capas

de madera y acero conectadas una a la otra en la superficie interlaminar y es una viga

laminada compuesta. Un compuesto laminado es tambin obtenido por la combinacin

de capas de fibras con diferentes orientaciones. Por ultimo el concreto no reforzado es

un ejemplo representativo de un compuesto particular, figura 2.1.1. (c).

Dependiendo del tipo de material compuesto y de su aplicacin estructural, se

han desarrollado numerosos procesos de fabricacin, ellos pueden ser categorizados

en procesos continuos y no continuos. Un proceso no continuo es empleado para

fabricar formas de estructuras complejas como aviones o partes de vehculos que son

producidas con la ayuda de un molde abierto o uno de compresin con matriz de acero,como los mostrados en las siguientes figuras.

FIGURA 2.1.2 (a) MOLDE ABIERTO, (b) FABRICACIN CON MOLDE DE COMPRESIN

En un proceso continuo, las partes estructurales son producidas relativamente

rpidas pasando a travs de una matriz a alta temperatura para formar un slido de

forma libre o de una seccin deseada como vigas I, vigas de cajn, secciones

acanaladas y muchas otras. Estos procesos continuos son ampliamente usados paraproducir formas constantes de secciones. Un proceso continuo usado comnmente es

el proceso pultrusion, que est esquematizado en la siguiente figura.


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- 28 -

FIGURA 2.1.3 PROCESO DE PULTRUSION

A causa del comportamiento anisotrpico del material y a su bajo mdulo de

elasticidad, grandes deflexiones ocurren probablemente en los miembros del

compuesto que puede derivar en un comportamiento geomtrico no lineal. As tambin,

pequeas imperfecciones tales como deflexiones iniciales y curvaturas, discontinuidad

de material o anomalas debido a defectos de manufactura, pueden jugar un rol

significativo en el comportamiento de una estructura compuesta.

Una vez que son seleccionados los componentes, el material compuesto puede

ser fabricado a travs de varios procedimientos. Un proceso comn forma lminas

como un ensamble de varias capas (lminas o pliegues) mantenindolas juntas. Ahora

se examinar el comportamiento de tales materiales.

2.2 Anlisis micromecnico de lminas.

Las partes estructurales hechas de materiales compuestos pueden ser

categorizadas como compuestos de fibra, compuestos laminado y compuestos

particulares. Los compuestos laminados consisten en capas de materiales

homogneos, cada uno caracterizado por sus propias propiedades mecnicas, o

alternativamente de capas de fibra compuesta. Es muy importante estudiar primero el

comportamiento del compuesto desde el punto de vista micromecnico, esto es el

comportamiento del laminado. El laminado ms comn hecho de fibra compuesta es

presentado en detalle.

La primera tarea en el anlisis es definir la relacin tensin-deformacin as


36/107

- 29 -

como la fuerza de la lmina compuesta de acuerdo al uso de tales propiedades para

predecir el comportamiento estructural del producto final, el laminado.

2.2.1 Materiales componentes.

Las lminas son fabricadas por la combinacin de dos o ms materiales

llamados matriz y fibras. Las fibras son usualmente ms fuertes y se caracterizan por

sus altos valores de elasticidad, de este modo juegan el rol de refuerzos. La matriz es

un material ms dbil con propiedades elsticas menores en relacin con las fibras. La

matriz mantiene juntas a las fibras, transfiere y distribuye las cargas externas y protege

a las fibras de daos exteriores. El producto final de una combinacin fibra-matriz es uncuerpo slido que retiene y extiende las propiedades de sus materiales constitutivos.

Las fibras pueden ser hechas de vidrio, carbn, polmeros o metales. La fibra de

vidrio E est especialmente diseada para una alta resistencia y es usada

extensamente en la industria de los compuestos. El carbn y las fibras de grafito

tambin tienen una alta resistencia y se han vuelto ms econmicas tras las ltimas

dcadas como resultado de la demanda y la capacidad de produccin. Las fibras de

polmeros, como la aramida, tambin pueden ser usadas en los compuestos.

Una matriz puede ser hecha de polmeros, metales o cermicos. Los materiales

ms ampliamente usados como matrices en los compuestos modernos son polmeros

como los epxicos, polister, vinilster y algunos otros, generalmente llamados

plsticos.

Las fibras se pueden orientar en una matriz de diferentes formas. Cuando las

fibras son continuas y tienen la misma direccin, el compuesto es llamado

unidireccional. Si las fibras estn orientadas al azar en la matriz, el compuesto es

llamado aleatorio, estas fibras pueden no ser continuas. Ejemplos de compuestos

unidireccionales y aleatorios estn mostrados en el esquema siguiente:


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- 30 -

FIGURA 2.2.1 (a) UNIDIRECCIONAL, (b) COMPUESTO ALEATORIO

En fibras compuestas cada uno de los materiales componentes, por ejemplo

fibras y matriz, es considerada como homogneo e isotrpico. Las propiedades

elsticas y resistencia para algunos de los componentes comnmente usados en los

compuestos son dadas a continuacin. Especficamente la tabla 2.2.1 enumera las

propiedades elsticas de las fibras ms comunes mientras que la tabla 2.2.2 enumera

las propiedades de las matrices de polmeros ms usadas.

TABLA 2.2.1

E G Gpa Gpa (kN/m3)Fibras

(ksi)

(ksi) (lb/in3)73 30 24.4

Vidrio-E10600

0.224350 0.09

85.4 35.6 24.4Vidrio-S

124000.2

5170 0.09220 9 17.6

Carbn

32000

0.2

1300 0.065152 2.9 14.4Aramida

220000.35

420 0.053

TABLA 2.2.2

E G Gpa Gpa (kN/m3)Matriz

(ksi)

(ksi) (lb/in3

)3.45 1.28 11.95

Epxica500

0.35186 0.044

3.38 1.38 12.22Vinilster

4900.24

200 0.045

3.25 1.2 11.95Polister

4700.36

175 0.044


38/107

- 31 -

isotrpicos y por tanto se requieren dos constantes elsticas para cada uno, pueden

ser el mdulo de elasticidad Ef y la relacin de Poisson f , o el mdulo de corte Gf

para las fibras y Em , f o Gm para la matriz respectivamente. Para determinar las

propiedades elsticas de una lmina compuesta de fibras, debemos saber el aporte decada material al producto final. Esto es determinado por la fraccin de volumen de

fibrasVf, que es el porcentaje de fibra en una unidad de volumen representativo. Las

fibras pueden ser arregladas en una matriz de diferentes formas. Para compuestos

unidireccionales, se examina un plano normal a la seccin de direccin de la fibra para

obtener una seccin representativa de reaA, donde el rea de las fibras es Af, y el

rea de la matriz esAm. La fraccin de volumen de fibra es determinada por la relacin:

AAV ff = (2.2.1)

DondeA = Af+ Am. La idea del volumen representativo o rea en un compuesto

de fibras es dada en la figura 2.2.2 para varios tipos de arreglos en una matriz.

FIGURA 2.2.2 REA REPRESENTATIVA PARA UN COMPUESTO DE FIBRAS.

As, para un compuesto unidireccional para el cual los materiales componentes

han sido seleccionados, podemos determinar las propiedades del material usando

diferentes aproximaciones. A esta altura, debi ser notado que cualquier propiedadderivada matemticamente debe estar sujeta a una cuidadosa verificacin

experimental. Dos aproximaciones bsicas son presentadas en la micromecnica de

los compuestos: la aproximacin mecnica del material a la rigidez que est basada en

la teora clsica de resistencia de materiales para comportamientos combinados de los

materiales componentes, y la aproximacin elstica a la rigidez, que est basada en los

principios de energa variacional de la teora clsica de la elasticidad, para determinar

los limites superiores e inferiores de rigidez para un lmina. La aproximacin mecnica

a la rigidez es presentada a continuacin. El mtodo entrega suficiente precisin para

la mayora de las aplicaciones en compuestos unidireccionales.

2.2.2 Regla de mezcla Constantes de ingeniera.

Los materiales componentes son usualmente considerados homogneos e


39/107

- 32 -

La regla de mezcla es la ms simple regla linear para la relacin fraccin de

volumen entre una lmina compuesta y las propiedades de los componentes.

Considere un plano en el sistema coordenado 12 (ver figura 2.2.3), donde las fibras

son paralelas al eje 1 correspondindole la direccin longitudinal. Ntese que E1 es el

mdulo de elasticidad longitudinal del compuesto, E2 es el mdulo transversal de

elasticidad, 12 la relacin de Poisson y G12el mdulo de corte en el plano 12. El

material es isotrpico transversalmente y sus propiedades elsticas E1, E2, 12 y G12

son las llamadas Constantes de Ingeniera. La expresin de la regla de mezcla para las

propiedades elsticas de un compuesto est dadas por:

(2.2.5)

(2.2.4)

(2.2.3)

(2.2.2)

mfff

mf12

mfff12

mfff

mf2

mfff1

GVG)V1(

GGG

)V1(V

EVE)V1(

EEE

E)V1(EVE

+=

+=

+=

+=

Los valores de E2 y G12 dados en las ecuaciones (2.2.3) y (2.2.5) son

usualmente un lmite inferior del mdulo de corte y mdulo transversal y se deben llevar

a cabo anlisis experimentales para predecir valores ms precisos.

Para fibras distribuidas aleatoriamente en una matriz como en la figura 2.2.1. (b),

los compuestos se comportan como materiales isotrpicos en el plano, para los cuales

las propiedades del material pueden ser determinadas por la siguiente relacin semi-

emprica:

(2.2.7)

(2.2.6)

21

21

E4

1E

8

1G

E8

5E

8

3E

+=

+=

El mdulo E1 y E2 en la ecuacin (2.2.6) y (2.2.7) puede ser calculado de la

ecuacin (2.2.2) y (2.2.3) respectivamente, mientras que la relacin de Poisson estdeterminada por la conocida relacin 1)G2/E( = vlida para materiales isotrpicos.

2.2.3 Tensin y deformacin axial.


40/107

- 33 -

Tras la determinacin de las constantes de ingeniera E1, E2, 12 y G12 la relacin

tensin-deformacin correspondiente al sistema axial 12 est definida para cualquiera

de las tres orientaciones mostradas en la figura 2.2.3

FIGURA 2.2.3 SISTEMA AXIAL PARA UNA LMINA DE FIBRAS: (a), (b), (c) MUESTRAN

LA ORIENTACIN DE LA FIBRA.

Si las fibras estn alineadas a lo largo del eje 1, el sistema 1-2 es llamado axial o

material axial, y las relaciones correspondientes son llamadas tensin-deformacin

axiales. Estas relaciones pueden ser expresadas en trminos de la matriz derigidez [ ]Q

y de la matriz de conformidad [ ]S , dadas por:

[ ] [ ]

(2.2.10);

:pordadosestan1,2,6conrigidezdeescoeficientLosSDonde

(2.2.9)

(2.2.8)

12661121221212

2112

222

2112

111

ji1

12

2

1

66

2212

1211

12

2

1

12

2

1

66

2212

1211

12

2

1

GQQQQ

1

EQ,

1

EQ

i , jQ.Q

S00

0SS

0SS

y

Q00

0QQ

0QQ

===

=

=

==

=

=

Donde 121221 E/E= . Los componentes axiales de la rigidez Q16 y Q26 son


41/107

- 34 -

cero, porque los compuestos unidireccionales son transversalmente isotrpicos y no

existe el acoplamiento de extensin de corte. El componente de conformidad S i j con

i, j = 1, 2, 6 est dado por:

;

(2.2.11)

;

1266

2

21

1

1212

122

111

G

1S

EES

E

1S

E

1S

=

=

=

==

2.2.4 Transformacin de coordenadas y tensin-deformacin no axial.

Considere un sistema de coordenadas x-y orientado a 0 respecto al sistema

axial 1-2. El sistema x-y es llamado no axial. El sistema no axial y la convencin de

signos para el ngulo est ilustrado en la figura 2.2.4.

FIGURA 2.2.4 ORIENTACIN AXIAL Y NO AXIAL: (a), (b), (c) MUESTRAN

LA ORIENTACIN DE LAS FIBRAS

El sistema de coordenadas 1-2 para el material no siempre coincide con el

sistema estructural x-y y por tanto tensiones y deformaciones expresadas en un

sistema axial deben ser transformadas a una nueva configuracin no axial. Esto es un

problema puramente geomtrico y las tensiones pueden ser determinadas por:

(2.2.12)

=

xy

y

x

22

22

22

12

2

1

nmmnmn

mn2mn

mn2nm


42/107

- 35 -

)(senny)cos(m

nmmn2mn2

mnmn

mnnm

xy

y

x

22

22

22

12

2

1

==

=

:Donde

(2.2.13)

:poradeterminadserpuedendeformaciladecintransformalaquemientras

2.2.5 Rigidez no axial y conformidad (matriz de r igidez inversa).

Para un sistema no axial, la relacin tensin-deformacin de la ecuacin (2.2.8)

se vuelve:

(2.2.14)

=

xy

y

x

ssysxs

ysyyxy

xsxyxx

xy

y

x

QQQ

QQQ

QQQ

Donde los trminos de acoplamiento de extensin de corte Qss y Qys no son cero.

Combinando las relaciones de tensin-deformacin axial y no axial (2.2.8) y(2.2.14) con las ecuaciones de transformacin (2.2.12) y (2.2.13) y resolviendo para los

componentes de rigidez en el sistema no axial, obtenemos las ecuaciones de

transformacin para los componentes de rigidez:

(2.2.15)

+=

66

12

22

11

333333

333333

222222222

22442222

222244

222244

ys

xs

ss

xy

yy

xx

QQ

Q

Q

)mnnm(2mnnmnmmn

)nmmn(2nmmnmnnm)nm(nm2nmnm

nm4nmnmnm

nm4nm2mn

nm4nm2nm

Q

QQ

Q

Q

Q

La ecuaciones de transformacin anterior son vlidas cuando la transformacin

es realizada desde un sistema axial 1-2 a cualquier sistema no axial x-y. De igual forma

la relacin de tensin-deformacin en trminos de conformidad en x-y, est dada por:

(2.2.16)

=

xy

y

x

ssysxs

ysyyxy

xsxyxx

xy

y

x

SSS

SSS

SSS


43/107

- 36 -

Las ecuaciones de transformacin para los componentes de conformidad

pueden ser derivados de manera similar y estn dados por:

(2.2.17)

+=

66

12

22

11

333333

333333

222222222

22442222

222244

222244

ys

xs

ss

xy

yy

xx

S

S

S

S

mnnm)mnnm(2nm2mn2

nmmn)nmmn(2mn2nm2

)nm(nm8nm4nm4

nmnmnmnm

nm4nm2mnnm4nm2nm

S

S

S

S

SS

2.2.6 Resistencia de una lmina.

La resistencia de una lmina es examinada con la ayuda del criterio de falla. Los

criterios ms ampliamente usados son: tensin mxima, deformacin mxima y

algunos criterios cuadrticos. Los criterios son mayormente empricos, pero ellos an

son muy importantes en diseo y optimizacin de materiales compuestos.

El criterio de falla est desarrollado con respecto a un sistema de coordenadas

axial. Usando la transformacin de coordenadas para la tensin y deformacin (verseccin 2.2.4) es fcil obtener el criterio de falla para una lmina no axial. Para una

lmina compuesta por fibras unidireccionales, los siguientes valores de resistencia

pueden ser obtenidos de simples pruebas de laboratorio:

X = Resistencia a la tensin longitudinal.

X' = Resistencia a la compresin longitudinal.

Y = Resistencia a la tensin transversal.

Y' = Resistencia a la compresin transversal.

S = Resistencia al corte.

2.2.6.1 Criterio de mxima tensin.

Segn el criterio de mxima tensin, la falla ocurre cuando a lo menos una de

las siguientes relaciones no es satisfecha:

(2.2.18c)

(2.2.18b)

(2.2.18a)

S

YY

XX

12

2

1


44/107

- 37 -

2.2.6.2 Criterio de mxima deformacin.

El criterio de mxima deformacin se puede desarrollar a partir de la ecuacin

(2.2.18) usando la relacin lineal de tensin-deformacin, y est expresado como:

(2.2.19c)

(2.2.19b)

(2.2.19a)

1212

22

2

11

1

G

S

E

y

E

Y

E

X

E

X

La falla ocurre si cualquiera de las ecuaciones (2.2.19) no es satisfecha. Ningn

criterio de mxima tensin o mxima deformacin incluye alguna interaccin entre los

componentes de la tensin o deformacin. Este efecto est incluido en el criterio

cuadrtico de Von Mises para materiales isotrpicos.

2.2.6.3 Criterio de falla de Tsai-Wu.

Uno de los criterios cuadrticos ms usados es el de Tsai-Wu. Para una lmina

ortotrpica bajo tensin en el plano el criterio de Tsai-Wu est expresado por:

(2.2.20a)1FFFFFF 2126622222112

21112211 +++++

Donde los coeficientes Fi y Fi j(i, j=1, 2, 6) estn dados por:

266221112

2211

21

S

1FFFF

YY

1F

XX

1F

Y

1

Y

1F

X

1

X

1F

==

=

=

=

=

;

(2.2.20b);

;

El material ha fallado cuando la ecuacin (2.2.20a) no es satisfecha. Otros

criterios cuadrticos como el de Hill, Tsai-Hill, y Tsai-Hahn son similares al criterio de

Tsai-Wu. Las desigualdades entre los criterios de tensin mxima, deformacin

mxima y el criterio cuadrtico de Tsai-Wu expresado en el espacio 21 son

ilustradas en la figura 2.2.5.


45/107

- 38 -

FIGURA 2.2.5 CRITERIO DE FALLA PARA UNA LMINA UNIDIRECCIONAL

EN EL ESPACIO DE TENSIN

2.3 Anlisis de laminado.

Un laminado consiste en dos o ms capas perfectamente unidas o plegadas. La

unin es infinitesimalmente delgada y no hay deformacin por corte, lo cual implica que

los desplazamientos son continuos a travs de las interfaces del laminado, y las capas

no pueden resbalar una sobre otra. Como resultado, el laminado acta como una capa

simple de material con propiedades combinadas. Las capas componentes pueden ser

del mismo o diferentes combinaciones de material, adems la orientacin tambin

puede variar. Usualmente el laminado compuesto est construido con capas

unidireccionales del mismo material pero est orientado relativamente de diferentes

maneras una capa respecto de la otra.

Numerosas combinaciones pueden ser aplicadas a la orientacin de capas as

como los materiales componentes. Cuando las capas estn compuestas del mismo

material componente la orientacin as como la posicin de de cada una en el laminado

de todas formas necesita ser descrita. El arreglo de las capas est especificado por laconvencin del cdigo de laminado el cual describe la secuencia de apilamiento de

capas. Segn este cdigo, la numeracin comienza desde la superficie inferior del

laminado y continua hacia la capa superior.

Los laminados que son simtricos respecto de su plano medio tambin son

conocidos como laminados balanceados. En la prctica, es muy usado considerar

laminados balanceados, ya que estn caracterizados por su comportamiento

ortotrpico.


46/107

- 39 -

2.3.1 Rigidez de lminas en el plano.

La relacin tensin-deformacin en un sistema axial puede ser definida por cada

lmina usando al procedimiento descrito previamente. Ahora, la transformacin de la

relacin tensin-deformacin est determinada para cada capa desde la secuencia de

apilamiento y el cdigo de laminado.

Usando la relacin de tensin-deformacin en una capa individual, podemos

llegar a dicha relacin para el laminado que relaciona las resultantes de tensin Nx, Ny

y Nxy a la deformacin de la superficie media 0xy0y

0x y, enz = 0, esto es:

=

0xy

0y

0x

662616

232212

161211

xy

y

x

AAA

AAA

AAA

N

N

N

(2.3.1)

Los trminos de rigidez planar son funcin de los componentes de la rigidez, el

espesor de las capas y la secuencia de apilado y son dados por:

6,2,1j,i,tQA

n

1kk

kjiji == = (2.3.2)

Donde kjiQ , es la rigidez transformada desde la ecuacin (1.2.14), y tk es el espesor de

la k-sima capa y n es el numero total de capas en el laminado.

2.3.2 Rigidez a la flexin del laminado.

Muchas partes estructurales hechas de materiales compuestos, tales como

placas o cscaras, se comportan de manera eficiente a la flexin. Algunas teoras han

sido desarrolladas para modelar el comportamiento a la flexin de los compuestos

laminados. La ms popular es la teora clsica de laminacin (TCL), anloga a la teora

clsica para flexin de placas. La TCL est basada en las siguientes consideraciones:

El laminado es delgado.

La distribucin de deformacin es linear en la direccin del espesor Las deformaciones perpendiculares a la superficie media son despreciables.

La deformacin por corte fuera del plano es cero.


47/107

- 40 -

El acuerdo para la flexin de la TCL es mostrada esquemticamente en la siguiente

figura:

FIGURA 2.3.1 COMPUESTO LAMINADO EN FLEXIN: (a) POSICIN ORIGINAL,Y (b) POSICIN DEFORMADA

Segn la TCL, slo las tres deformaciones xyyx , y producen trabajo,

mientras que todas las otras son cero. Es ms, la deformacin total puede ser

expresada como funcin de la curvatura y deformacin del plano medio, esto es:

=

xy

y

x

0xy

0y

0

x

xy

y

x

z (2.3.3)

Donde el ndice cero denota valores en la superficie media del laminado y las

curvaturas ,,, xyyx estn dadas por las ecuaciones (3.1.3). Sustituyendo la

ecuacin (2.3.3) en (2.2.14) obtenemos:

(2.3.4)

=

xy

y

x

0xy

0y

0x

ssysxs

ysyyxy

xsxyxx

xy

y

x

z

QQQ

QQQ

QQQ

La ecuacin (2.3.4) integrada capa por capa sobre el espesor del laminado h

resulta en la relacin general tensin-deformacin para laminados, esto es:


48/107

- 41 -

(2.3.5)

=

xy

y

x

xy

y

x

662616662616

262212262212

161211161211

662616662616

262212262212

161211161211

xy

y

x

xy

y

x

DDDBBB

DDDBBB

DDDBBB

BBBAAA

BBBAAA

BBBAAA

M

M

M

N

N

N

La ecuacin (2.3.5) relaciona la tensin y el momento resultante de la

deformacin y la curvatura. El termino Aij fue derivado en la seccin 2.3.1 ecuacin

(2.3.2). La ecuacin (2.3.5) implica que, en general, hay acoplamientos desarrollados

en laminados entre los modos de flexin y en el plano, por ejemplo, una tensin axial

puede producir curvaturas y el momento de flexin puede producir deformacionesaxiales. Este comportamiento complejo caracteriza a los materiales anisotrpicos. Los

trminos Bij y Dij son dados en forma explcita a continuacin:

(2.3.7)

(2.3.6)

+=

=

=

=

3k

2

k

n

1k

kjiji

k

n

1k

kjiji

t12

1kztQD

kztQB

Para i, j= 1, 2, 3, donde Qij son los componentes de la rigidez transformada dada

por la ecuacin (2.2.15) y kz

est definida como la distancia desde la superficie media

de la k-sima capa a la superficie media del laminado. Para un laminado con n capas,

la distancia kz

de la k-sima capa desde el eje x es mostrada en la siguiente figura.

FIGURA 2.3.2 SECUENCIA DE PUESTA DE CAPAS Y NUMERACIN DE UN LAMINADO


49/107

- 42 -

Para laminados simtricos, el trmino acoplado Bij desaparece y la ecuacin

(2.3.5) queda simplificada a un problema desacoplado.

2.3.3 Resistencia de laminados.

El criterio de falla presentado en la seccin 2.2.6 se refiere a la resistencia de

capas. As, para un laminado de dos o ms capas, la aplicacin de un criterio de

resistencia a cada capa individual o pliegue puede indicar falla para algunas, mientras

que para las otras el criterio puede ser satisfecho.

En vista de esta consideracin, se han desarrollado varios criterios referidos a laresistencia de un laminado, el primer criterio de falla para capas asume que el material

es degradado en el sentido que el laminado ha fallado si uno de sus pliegues ha fallado

a causa de una tensin en el plano. En otros criterios, se asume que los pliegues

restantes an conservan una importante capacidad de resistencia, este es el llamado

criterio de fallas sucesivas de pliegues. Despus de las sucesivas fallas de pliegues, el

criterio del ltimo pliegue asume que el laminado an retiene algo de su resistencia

hasta que todos los pliegues han fallado, de este modo el criterio est asociado con la

capacidad de ltima resistencia del laminado. Por ejemplo la delaminacin o prdidade continuidad entre las capas debido a una tensin interlaminar excesiva est

examinada por el criterio de delaminacin.

Algunas causas comunes de falla por delaminacin y sus causas asociadas son

mostradas a continuacin:

FIGURA 2.3.3 DELAMINACIN DE COMPUESTOS: (a) DELAMINACIN POR EXCESIVA TENSIN

EN EL PLANO, (b) DELAMINACIN ASOCIADA CON CAMBIOS DE TEMPERATURA


50/107

- 43 -

CAPTULO III

ELEMENTOS FINITOS PARA MATERIALES COMPUESTOS

Dos tipos de elementos finitos sern examinados para el anlisis de los

materiales compuestos. En el primer tipo la lmina es considerada delgada (espesor

despreciable) y las suposiciones de Kirchhoff para placas son adoptadas. Para el

segundo tipo la lmina tiene un espesor y se asume que el efecto de corte transversal

en placas gruesas combinada con la flexin entrega una aproximacin ms apropiada,

lo que se conoce como la teora para placas Mindlin. En ambos casos, el elemento

finito para materiales compuestos combina tensiones y deformaciones planares con la

flexin.

Debe ponerse atencin especial en la orientacin del elemento en el sistema

coordenado global X-Y-Z. Contrario a los materiales isotrpicos donde adems del

sistema global X-Y-Z, cada elemento est asociado con un sistema de coordenadas

local , en los materiales compuestos los sistemas de coordenadas adicionales

estn definidos por cada capa. Por ejemplo cada capa est caracterizada por su

sistema de material, el cual es un sistema local que define la orientacin de las fibras

en el sistema de elementos.

A continuacin se desarrolla un procedimiento paso a paso para obtener las

ecuaciones de rigidez de un elemento compuesto que est resaltado para elementos

rectangulares isoparamtricos. Slo los pasos que requieren alguna clarificacin son

discutidos aqu.

3.1 Elementos rectangulares para compuestos delgados.

La matriz de rigidez para una placa rectangular isoparamtrica delgada de

elementos compuestos es desarrollada con la ayuda del mtodo de la energa

potencial. El mtodo est sujeto a cargas planares y transversales. Debido a la

complejidad de las relaciones algebraicas slo las relaciones bsicas sern obtenidas.


51/107

- 44 -

FIGURA 3.1.1 ELEMENTO RECTANGULAR DE 4 NODOS

PARA COMPUESTOS DELGADOS

1erPaso: Definir el tipo de elemento y el sistema de coordenadas.

Se selecciona un elemento rectangular de cuatro nodos. El elemento tiene 24

grados de libertad (DOF), esto es seis grados por cada nodo. La numeracin de los

nodos, los desplazamientos as como el sistema de coordenadas estn mostrados en

la figura 3.1.1

2o

Paso: Seleccionar la funcin de forma.Los desplazamientos u, v y w dentro del elemento estn expresados en trminos

del desplazamiento nodal ui, vi y wi y la funcin de forma Ni por:

u=N1u1+N2u2+N3u3+N4u4

v=N1v1+N2v2+N3v3+N4v4 (3.1.1)

w=N1w1+N2w2+N3w3+N4w4

Donde:

)1)(1(4

1),(N)1)(1(

4

1),(N

)1)(1(4

1),(N)1)(1(

4

1),(N

43

21

+=++=

+==

;

;(3.1.2)

Siguiendo la numeracin de nodos en sentido opuesto a las agujas del reloj

mostrado en la figura 3.1.1, las coordenadas nodales de los nodos 1, 2, 3 y 4 en elsistema son: (-1,-1), (1,-1), (1,1) y (-1,1) respectivamente.


52/107

- 45 -

3erPaso: Determinar las relaciones deformacin-desplazamiento.

Para un elemento bajo carga planar y transversal, las tensiones y deformaciones

que producen trabajo son xyyx , y , para un estado planar de tensin-deformacin, y

xyyx , y , para la flexin. Por tanto las relaciones de deformacin-desplazamiento

son dadas por:

yx

w2

x

v

y

u

y

w

y

v

x

w

x

u

2

xy

2

2

y

2

2

x

=

+

=

=

=

=

=

xy

x

x

;

(3.1.3);

;

Sustituyendo la ecuacin (3.1.1) en (3.1.3), podemos expresar las tensiones y

deformaciones con respecto a los desplazamientos nodales.

4o Paso: Definir la relacin tensin-deformacin.

La relacin tensin-deformacin de la ecuacin (2.3.5) que relaciona la tensin

resultante y el momento resultante para deformaciones y curvaturas es usada. Ntese

que la integracin sobre el espesor de la lmina ya ha sido hecha en la derivacin de

la ecuacin (2.3.5).

5o Paso: Formular la matriz de rigidez para el elemento.

La matriz de rigidez del elemento est dada por:

(3.1.4)

Donde la integracin es realizada sobre el rea del elemento en el sistema .

Ntese que [ ] e puede ser derivada en el sistema x-y a travs de la transformacin

J acobiana.

6o Paso: Calcular la fuerza nodal equivalente.

De la superposicin de fuerzas nodales equivalentes se obtiene el vector de

fuerzas { }ef para elementos compuestos. La relacin de fuerza-desplazamiento puede

ser obtenida de la siguiente forma para un sistema de equilibrio, donde las ecuaciones

pueden ser formuladas en forma de matriz para toda la estructura:

{ } [ ]{ } (3.1.5)UKF =

[ ] [ ] [ ][ ]dxdyBCBT

e =


53/107

- 46 -

Donde { } denota un vector y [ ] denota una matriz. En la ecuacin (3.1.5), { }f

es el vector de fuerza nodal, [ ]K es la matriz global de rigidez referida a toda la

estructura y { }U es el vector de desplazamiento nodal.

El equilibrio a nivel del elemento puede ser expresado con una relacin similar a

(3.1.5), esta es:

{ } [ ] { } (3.1.6)eee ukf =

Donde { }ef es el vector de fuerza nodal en el elemento, [ ] ek es la matriz de

rigidez del elemento y { }eu es el vector de desplazamiento nodal.

3.2 Elementos rectangulares para compuestos gruesos.

Para elementos de placa delgados las deformaciones por corte yzxz y han

sido ignoradas como justificacin para las suposiciones de pequeas deflexiones de la

teora. Sin embargo para placas compuestas gruesas y su correspondiente elemento

de placa el efecto de corte transversal no puede ser ignorado y la aplicacin de la

teora de deformacin por corte Mindlin para flexin de placas es requerida. Las

deformaciones por corte no planares yzxz y son incluidas en el vector de

deformacin.

La derivacin de la matriz de rigidez para elementos de placa gruesos

requiere exactamente de los mismos procedimientos mostrados anteriormente para

placas delgadas. La nica diferencia descansa en la relacin deformacin-desplazamiento donde las deformaciones yzxz y as como la resultante asociada de

tensin Nxz y Nyz estn incluidas en el anlisis. Segn la teora para placas Mindlin, la

relacin deformacin-desplazamiento est dada por:

;

;

;

yz

xz

z

y

w

x

v

y

ux

w

y

v

0z

w

x

u

sxy

yy

x

+=

+

=

+=

=

=

=

=

(3.2.1)


54/107

- 47 -

Los desplazamientos y rotaciones estn expresados en trminos de los grados

de libertad nodales y la funcin de forma dada por:

u=N1u1+N2u2+N3u3+N4u4

v=N1v1+N2v2+N3v3+N4v4

w=N1w1+N2w2+N3w3+N4w4 (3.2.2)

x= N11x+N22x+N33x+N44x

y= N11y+N22y+N33y+N44y

Donde la funcin de forma Ni est dada por la ecuacin (3.1.2). La relacin

tensin-deformacin de la ecuacin (2.3.5) con la inclusin de las fuerzas de corte

queda:

(3.2.3)

=

xz

yz

xy

y

x

xy

y

x

55

45

45

44

662616662616

262212262212

161211161211

662616662616

262212262212

161211161211

xz

yz

xy

y

x

xy

y

x

A

A

0

0

0

0

0

0

A

A

0

0

0

0

0

0

0

0

D

0

0

D

0

0

D

0

0

B

0

0

B

0

0

BDDDBBB

DDDBBB

BBBAAA

BBBAAA

BBBAAA

N

N

M

M

M

N

N

N

Donde los componentes de la rigidez transversal del corteA44,A55 yA45 estn

dados por:

(3.2.4c)

(3.2.4b)

(3.2.4a)

k

n

1k

k

4545

k

n

1k

k5555

k

n

1k

k4444

tQA

tQA

tQA

=

=

=

=

=

=

Finalmente, los trminos de rigidez transversal del corte Q44, Q55 y Q45 para

cada capa del laminado estn compuestos por:

Q44 = G23

Q55 = G13 (3.2.5)

Q45 = v45 G13 = v54 G23

Para materiales isotrpicos, la relacin (3.2.5) es simplificada, ya que Q44 = G,

Q55=G y Q45=0


55/107

- 48 -

CAPTULO IV

GEOMETRA DE LA HLICE

4.1 La hlice como elemento propulsor.

La aplicabilidad del propulsor llamado hlice a la propulsin de los buques

nace del fenmeno fsico denominado sustentacin.

Un cuerpo con seccin recta de tipo de perfil (caracterizada por ser su longitud

cuerda bastante mayor que su espesor), movindose en el seno de un fluido real

experimenta una fuerza perpendicular a la direccin del flujo incidente, llamadasustentacin L, y otra paralela a dicha direccin llamada resistencia D. Ambas fuerzas

tienen su origen en las diferentes presiones que se crean en ambas caras del perfil, y

su valor depende de las caractersticas geomtricas y del ngulo de incidencia del flujo

sobre el mismo (figura 4.1.1). La cara del perfil en la que se crea una sobrepresin se

llama cara de presin frontal, y en la que se crea una depresin se denomina cara de

succin dorsal.

FIGURA 4.1.1 DEFINICIONES.

Este fenmeno, que es el fundamento fsico del vuelo de los aviones por la

fuerza que experimentan en sus alas, puede ser aplicado ventajosamente para la

propulsin de los buques. En efecto, para que el perfil permanezca en movimiento, es

necesario empujarle con una fuerza D. Si conseguimos esto podremos utilizar la fuerza

L para empujar al buque, siempre que esta fuerza permanezca dirigida segn el eje

longitudinal del buque.


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Para ello no hay ms que obligar al perfil a seguir un movimiento circular de giro

alrededor de un eje y a una distancia rdel mismo.

Esto se puede conseguir ligando el perfil mecnicamente al eje de una mquina

tesis de calculo estructural helice

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