PROPIEDADES GENERALES Definición: “Las Isometrías o movimientos en el plano, son transformaciones biyectivas del plano en sí mismo, que conservan las distancias”. Por ser Biyectivas, son Inyectivas, (uno a uno), y simultáneamente Sobre o Epi-yectivas. Recordemos que inyectivas es cuando cada pre-imagen tiene una y sola una imagen y recíprocamente, cada imagen lo es de una y sola una pre-imagen. Sobreyectiva implica que el conjunto de las imágenes, (comúnmente conocido como conjunto Recorrido), coincide con el Co dominio, es decir que en este conjunto no puede haber ningún elemento, que no sea imagen de algún elemento del Dominio. El siguiente esquema es representativo de una transformación o correspondencia entre 2 conjuntos que es Inyectiva y Sobreyectiva, por lo tanto, se trata de una correspondencia Biyectiva.

En el esquema anterior, X representa el conjunto Dominio, Y el Co dominio. Los elementos 1, 2, 3 y 4 en X, son las pre imágenes y los elementos a, b, c y d en Y, son las imágenes correspondientes. Cuando 2 conjuntos son tales que entre ellos es posible establecer una correspondencia biyectiva, se dice que los mismos son coordinables, o también equi potentes. En ambos casos, ya sea para conjuntos finitos o infinitos, esta condición implica que ambos conjuntos tengan igual Nº Cardinal. En el caso de las Isometrías, como el Dominio y el Co dominio, son el mismo conjunto, queda asegurada la condición de equi cardinalidad.

Propiedad:”Las isometrías, como mantienen las distancias entre puntos, entonces también conservan los ángulos”.

Si M es una isometría, como se conservan las distancias, entonces será: AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’, entonces por el 3º criterio de igualdad de triángulos, el ABC es idéntico al A’B’C’, con lo que también los ángulos en los vértices correspondientes, se mantendrán iguales. Es decir,

';';' CCBBAA ∠=∠∠=∠∠=∠

El Sentido en el Plano – Isometrías Directas e Indirectas

El triángulo ABC, tiene sus vértices ordenados en forma anti horaria. Su imagen, en la isometría M, es decir, el triángulo A’B’C’, tiene sus vértices ordenados en forma horaria, esto quiere decir que ha cambiado el sentido del plano. Definición:”Una isometría que cambie el sentido del plano se dice que es Indirecta, caso contario se dice, Directa”.

A

A’

B

B’

C C’

M

A

A’

B

B’

C C’

M

Composición de 2 o más Isometrías Definición: “La transformación resultante en el plano, de aplicar sucesivamente 2 o más isometrías es otra isometría llamada compuesta por las primeras”.

La isometría M, está compuesta por las isometrías M1 y M2, la notación que se sigue para indicar esto último es que: M = M2 o M1 Donde lo que se indica, es como está representado en la figura, es decir primeo se aplica la isometría que aparece a la derecha y luego secuencialmente las que van apareciendo a la izquierda, en la notación indicada. Desde este punto de vista, puede interesar que determinemos el carácter Directo o Indirecto de una isometría compuesta, por ejemplo, por 2 isometrías, conociendo dicho carácter de éstas. Vemos que se sigue a tales efectos, “formalmente”, la regla del producto de signos de números Enteros, como se indica en el siguiente cuadro:

Si identificamos, “formalmente”, las isometrías Directas con el signo + y las Indirectas con el signo -, vemos que la determinación del carácter Directo o Indirecto de la isometría compuesta por otras 2, se rige por reglas formales idénticas a las que rigen el signo del producto de 2 números enteros.

M1 M2 M

Directa

Directa

Indirecta

Indirecta

Directa

Indirecta

Directa

Indirecta

Directa

Indirecta

Indirecta

Directa

F1 F2 Producto

+ +

+

+

- - - - - -

+

+

A A’

B

B’

C C’

M1

M2

C” A”

B”

M

No será esta la única similitud formal que hallaremos entre la composición de isometrías y el producto de enteros, es por esta razón que algunos autores se refieren a la composición de isometrías con el nombre de producto. Identidad: “Es un caso particular de isometría, que se caracteriza por hacer corresponder a cada punto del plano, consigo mismo” Resulta muy común en los estudiantes, referirse a la situación inicial del plano y a la situación final, al aplicar en él una isometría. Comúnmente, se crea la ilusión de que a un punto del plano, cuando en este se aplica una isometría, se le obliga a realizar un recorrido, identificando los conceptos de pre imagen e imagen, con los de posición inicial y final de dicho punto en un eventual recorrido “cinemático”, del punto. Es importante señalar que nada de eso es cierto, que una pre imagen, antes y después de aplicar una isometría, resulta ser el mismo punto en el plano, su posición relativa en dicho conjunto de puntos no es alterada por la transformación del plano, lo que ocurre es simplemente, una asociación de puntos. A un punto A en el plano, en una isometría M, se le asocia con un punto B del plano, pudiendo incluso ser A≡B, en cuyo caso se dice que dicho punto es fijo en la isometría M. Pero cuando se dice que es fijo, no se quiere indicar que se quede “quieto”, en contraposición con otros puntos que, al no ser fijos, “se muevan” en el plano. Ningún punto se “mueve”, en el plano al aplicar en él, una isometría, reitero, ninguno. Hay puntos en el plano, a los que una isometría los hace corresponder consigo mismo y a otros les hace corresponder con puntos que no coinciden con ellos, sin que ninguno, ni a los que se les hace corresponder consigo mismo ni a los otros, se les aplique algún tipo de “movimiento”, solamente se trata de establecer correspondencias entre puntos en el plano. Dicho esto veamos la siguiente definición: Definición: “Cuando a un punto del plano una isometría le hace corresponder consigo mismo, se dice que dicho punto es FIJO, en esa isometría”. Con este concepto incorporado, podemos ahora indicar que la Identidad, es una isometría que deja a todos los puntos del plano fijos.

Si se aplicara una isometría M1, esta determinaría una sucesión de asociaciones entre puntos del plano, por ejemplo, al triángulo ABC, le hace corresponder el A’B’C’. Si luego, aplicáramos la Identidad, esta transformación, al dejar fijos a todos los puntos del plano, no genera ninguna asociación adicional de puntos, a las que determinó M1. Por tanto, la isometría compuesta por una isometría cualquiera M1, con la Identidad, coincidirá con la isometría M1.O sea:

A A’

B

B’

C C’

M1

I

M1

B’ A’

C’

I = M2 o M1

De esta forma, la Identidad es a la composición de isometrías, lo que el nº 1 es al producto de enteros, es decir es el elemento neutro de la composición. Esta es otra similitud formal, entre el producto de enteros y la composición de isometrías. Isometrías Inversas:”Dos isometrías se dicen inversas, si y solo si la composición entre ellas da como resultado la Identidad”

Es decir: Esta es otra similitud formal con el producto de números, ya que 2 números se dicen inversos, si y sólo si su producto es igual al neutro del producto, o sea 1. Tantas similitudes formales podrían sugerir, que las propiedades del producto deberían ser todas ellas, válidas en la composición de isometrías. Por ejemplo, deberíamos chequear si la composición de isometrías es o no Conmutativa, para ello consideremos el siguiente ejemplo: Conmutatividad en la composición de Isometrías Sean M1 = R (P, +90º) o Sr y M2 = Sr o R (P, +90º) si la composición de isometrías fuera conmutativa, cualquiera sea la composición considerada, por el solo hecho de conmutar el orden en que se aplican las isometrías iniciales, ambas composiciones deberían determinar la misma transformación y en consecuencia, al ser aplicadas a un mismo punto del plano, deberían asignar igual imagen a dicho punto. Si podemos hallar un solo caso en que esto no es cierto, esto basta para comprobar que la composición de isometrías

M1 = M1 o I

A A’

B

B’

C C’

M1

M2

B C

A

I

Al aplicar la isometría M1 primero simetrizo el punto A, respecto del eje r, pero al estar A sobre r, entonces es un punto fijo, al igual que todos los puntos de r, por tanto la imagen de A, en la simetría respecto de r es el propio punto A. Ahora debemos rotar el punto A, respecto del punto P, 90º en sentido anti horario, con lo cual obtengo el punto B. Este punto, será la imagen de A, no solo según la rotación, sino también de la isometría M1. Esto último se expresa de varias formas: 1) M1: A B; 2) B ≡ M1 (A)

Hagamos lo mismo ahora con la isometría M2 y veamos si para el mismo punto A, obtenemos como imagen, el punto B, de ser así, por lo menos, para el punto A, “todo indicaría que habría conmutatividad”. Según M2, primero debo rotar el punto A, respecto del centro de giro, o sea P, 90º en sentido anti horario, esto ya lo hemos hecho antes y sabemos que se obtiene el punto B. Este punto es la imagen de A, en la rotación. Apliquemos ahora la simetría axial de eje r, al punto B, como este punto no pertenece a r, para simetrizarlo, debo trazar por B una recta auxiliar perpendicular a r, esa es la recta BP. Donde dicha recta corta al eje, que es en P, apoyo el compás y abro hasta B, para luego girar y cortar en el semiplano opuesto al que pertenece B, con la recta BP, esto determina el punto C. O sea que este punto, C, resultó ser la imagen de A, según la isometría M2. Resulta por demás claro, que C ≠ B, por lo tanto las isometrías M1 y M2 son transformaciones diferentes, con lo que concluimos en que la composición de isometrías NO es conmutativa. Esta afirmación es general, por lo tanto no implica que en algunos casos particulares, para algunas isometrías específicas, al componerlas, no pueda haber conmutatividad, pero eso se verá más adelante y en su momento. Isometrías Involutivas Vimos en el apartado anterior, que al aplicar al punto A, la rotación de centro P y ángulo 90º anti horario, se tiene como imagen de A, al punto B. No es nada complicado observar, que si aplicamos a B, otra vez la misma rotación, se obtendría el punto D. Por otra parte, también vimos que si al punto B se le aplica la simetría axial de eje r, se obtiene como imagen de B, el punto C. Tampoco es complicado ver, que si al punto C, le aplicaremos la simetría axial de eje r, se obtendría como imagen de C, el punto B. Es decir, la simetría axial es una isometría que presenta la siguiente propiedad, “aplicada 2 veces seguidas, da como resultado, la Identidad”. Es fácil advertir, por ejemplo, que la rotación de centro P y 90º anti horario, no tiene esa propiedad. Por lo tanto, diremos que toda isometría que presente esa característica, es decir que aplicada sucesivamente un par de veces, de cómo resultado la Identidad, se dirá que es Involutiva”

P A

C

B

D r

M es Involutiva ⇔ M o M = I

En otras palabras: Tarea Domiciliaria: ¿Cuál es la isometría inversa de una isometría involutiva? Justifique. Invariantes en una Isometría Definición: “Se llaman invariantes en una isometría a todas aquellas figuras geométricas que coincidan con su imagen” Los casos más elementales de invariantes son los puntos y las rectas: Puntos: Un punto para ser invariante en una isometría debe ser fijo en ella. Fijas: “Son aquellas que tienen todos sus puntos fijos” rectas Dobles o Unidas: “Son rectas que contienen puntos que NO son fijos, pero que como rectas, coinciden con su imagen” Teorema: “Si una recta r tiene 2 puntos fijos, entonces todos sus puntos son fijos”

Demo: Sean A y B los puntos fijos de la recta r, en una isometría M. Sea H un punto arbitrario de r. Como H ∈ r ⇒ H’ ∈ r’, pero como A y B son fijos entonces es A ≡ A’ y a su vez es B ≡ B’, entonces es r ≡ r’, por lo que H’ ∈ r y existe un solo punto en r que está a igual distancia de A y de B, que lo que lo está H, por tanto H ≡ H’ lo que implica que H es fijo entonces es r fija. Ejemplo de rectas dobles:

Sea r una recta, P es un punto exterior a r y se considera la simetría de eje r.

Está claro que todo punto de s tiene su imagen en s. El único punto fijo de s es F, en la intersección con r. Por tanto s ≡ s’ y por tanto es una recta doble de la simetría axial de eje r. Naturalmente, la misma situación se plantea con toda recta del plano que sea perpendicular a r.

P

P’

r

F

s s’

Imagen de una figura geométrica en una isometría

Sea F una figura geométrica arbitraria, por tanto, se tarta de un conjunto de puntos, que cumplen un conjunto de propiedades. P es un punto de F. M es una isometría que hace corresponder a la figura geométrica F, la figura F’. Esto implica que el conjunto de puntos del plano que pertenecen a F’, está constituido por las imágenes de los puntos de F. Por tanto, como p∈ F ⇒ P’ ∈ F’, como se indica con la línea de correspondencia verde. Obviamente P’ es la imagen de P según M. Si P fuera un punto variable de F, entonces P’ sería un punto variable en F’, lo que quiere decir que si no se conoce F’, pero se conoce F, P y la isometría M, entonces es posible con estos elementos, determinar F’, que será el Lugar Geométrico de P’, al variar P en F. Esto último se conoce como el “Método de las isometrías para determinar Lugares Geométricos”. Ejemplo:

P

M

F F’

P’

C

r

Pi

Pi’

C ‘

A través de una simetría axial de eje r: Pi -> Pi’, como Pi ∈ C ⇒ Pi’ ∈ C ‘ , por tanto, al variar Pi

en C, Pi’ varía sobre C ‘y es esta circunferencia, su Lugar Geométrico.

Observación: Si hacemos que el punto Pi recorra la circunferencia CCCC en sentido anti horario,

esclaro que su imagen, el punto Pi’ recorrerá la circunferencia CCCC ‘ , en sentido horario, lo cual, no hace otra cosa que advertir el carácter indirecto de la simetría axial.

CASOS PARTICULARES DE ISOMETRÍAS Caso 1) Simetría Axial Definición: “Es una isometría Indirecta, con 1 y sólo 1 recta fija, (eje de simetría r), tal que para todo punto P del plano, que pertenece al semiplano de borde r, (α 1), le hace corresponder el punto P’, perteneciente al semiplano de borde r, opuesto al α 1, (α 2)”.

¿Cómo hallar la imagen de un punto C del plano en esta isometría? Tomemos un punto arbitrario del eje r, sea A dicho punto. El punto A es fijo, porque pertenece al eje, por lo tanto coincide con su imagen A’. Unimos A con C, lo que determina el ángulo α , como las isometrías conservan los ángulos, entonces C’ debe formar con A’ y con el eje r el mismo ángulo α . De esta forma, trazamos la semirrecta por A’ que forme el ángulo α con el eje y sabemos que sobre esa semirrecta está C’. Además C’, debe estar respecto de A’ ≡ A, a igual distancia que lo está C, por tanto ubicamos C’. Si trazamos la rectas CC’, se construye un triángulo ACC’, que es isósceles, de base CC’. Como el eje r es bisectriz en el ángulo al vértice de ese isósceles, entonces es mediatriz de la base CC’. Esto indica que la recta que pasa por C y por C’ es perpendicular al eje y lo corta en el punto medio del segmento CC’. Esta es, entonces, la forma más práctica de construir el punto C’, se traza por C una perpendicular auxiliar al eje, donde corto al mismo, apoyo el compás y abro hasta

C, luego giro y corto a la recta CC’ en el semiplano opuesto al que se encuentra C, obtengo así, la imagen de C, en la Simetría Axial de eje r, el punto C’.

Sea E un punto del plano que determina con el punto C una recta s, paralela al eje de simetría r. Sea E’, su imagen en la simetría considerada. ¿Será s’ imagen de la recta s, paralela al eje? Bueno, es fácil ver que sí, el ángulo ECD se corresponde con el ángulo E’C’D’, por tanto, s’ es perpendicular a EE’, que a su vez lo es a r, de donde se deduce el paralelismo entre s’ y r. De las anteriores consideraciones surgen con claridad las siguientes propiedades específicas de la Simetría Axial: 1) El eje de simetría es mediatriz de todo segmento de recta, cuyos extremos se correspondan. 2) El eje de simetría es bisectriz de todo ángulo cuyo vértice esté sobre él y sus lados pase por

un par de puntos que se correspondan. 3) Toda recta paralela al eje de simetría tiene por imagen otra recta, paralela con ella y tal

que el eje de simetría es su paralela media. 4) Las rectas del plano que no son paralelas al eje de simetría, tienen por imagen otra recta,

que corta a la primera en el eje de simetría y tal que el eje es bisectriz del ángulo entre ellas.

Notación: SAB la S es por simetría y a modo de sub índice AB, se indica el eje de simetría.

Ejemplos: 1) Dada una recta a y en uno de sus 2 semiplanos 2 puntos A y B tales que la recta AB no sea

paralela a la recta dada a. Hallar el punto de a, para el cual es menor la suma de segmentos AP + PB. P es el punto de a que se desea hallar.

Solución:

Se halla el punto B’, imagen del B en la simetría axial de eje a. Se unen los puntos A y B’, estos dos puntos determinan una recta que corta a la recta dada a, en un punto que llamaremos P. La suma de distancias AP + PB’ es la menor de todas, pues representa la distancia entre los puntos A y B’. De otra forma, si existiera otro punto de la recta a, distinto del P, que pudiera generar una suma menor que la anterior, por ejemplo el punto C, entonces debería ser AC + CB’ < AP + PB’, lo que es falso ya que, como se vio, en nuestro repaso de primer año, en todo triángulo un lado es siempre menor o igual que la suma de los 2 restantes y el caso de la igualdad solo es posible cuando los 3 vértices del triángulo resultan alineados, que es el caso correspondiente al punto P. Como por otra parte P pertenece al eje de simetría, este es mediatriz del segmento BB’, por lo que se cumple que PB’ = PB, de esta forma al ser mínima AP + PB’, también lo es AP + PB, lo que resuelve el problema propuesto. 2) Apliquemos estas ideas para resolver el problema del Billar a una banda. Se tiene un Billar y en

el 2 bolas A y B, se pretende ubicar el punto exacto en una banda en la que debe impactar la bola A para luego de rebotar, chocar con la bola B, veamos:

Solución:

El problema es muy similar al anterior, se simetriza una de las 2 bolas, por ejemplo la bola A, respecto de la banda en la que se desea que esta impacte, antes de chocar con la bola B. Asumimos que dicha banda FE, es la recta a del ejemplo anterior, o sea es nuestro eje de simetría. De esta forma ubicamos el punto A’, simétrico del A respecto de la banda elegida. Al unir A’ con B, esta recta cortará ala banda en un punto N, que cumple que los ángulos HNA y el formado por BNE, son iguales. Esto debe ser así, pues el eje de simetría es bisectriz de todo ángulo cuyo vértice esté en él y sus lados pasen por 2 puntos que se correspondan. Por otra parte asumimos que las bandas de un billar son correctas cuando verifican que el ángulo de incidencia, o sea el HNA coincide con el posterior al rebote, es decir el ángulo BNE. En ese caso si apuntamos con la bola A al punto N, haremos que rebote y luego impacte a la bola B, como era lo deseado. Tarea Domiciliaria: ¿Te animas a resolver el mismo problema pero a 3 bandas? Caso 2) Simetría Central Definición: “Es una isometría Directa, con 1 y sólo 1 punto fijo, (centro de simetría O), tal que para todo punto P del plano, que pertenece a la semirrecta de origen O que pasa por P, le hace corresponder el punto P’, perteneciente a la semirrecta opuesta a la anterior”.

Esquema:

Como se aprecia en la figura anterior y se deduce de la propia definición, el centro de simetría es punto medio de todo segmento de recta cuyos extremos se correspondan. Por otra parte, toda recta del plano que pase por el centro de simetría, es doble. Finalmente, si se aprecian los puntos P, Q, P’ y Q’ se tiene que constituyen un cuadrilátero cuyas diagonales se cortan en su punto medio, entonces es un paralelogramo y por serlo, tiene 2 pares de lados paralelos, por lo tanto la recta PQ, que NO pasa por el centro de simetría, tiene por imagen otra recta paralela con ella y tal que el centro de simetría equidista de ambas. En vista de lo anterior, podemos enunciar las siguientes: Propiedades: 1) El centro de simetría es punto medio de todo segmento cuyos extremos se correspondan. 2) Toda recta del plano que pase por el centro de simetría, es doble. 3) Toda recta del plano que NO pase por el centro de simetría, tiene por imagen otra recta

paralela con ella y tal que el centro de simetría equidista de ambas.

Notación: CA la C, es por simetría Central, a modo de sub índice se indica el punto del plano, centro de simetría.

Ejemplo:

Se da una circunferencia de centro O y en ella un punto fijo A. Sea BiCi un diámetro variable. Se construyen los triángulos isósceles BiCiDi con BiCi = CiDi y tal que A pertenece a CiDi. Hallar el L. G. del punto Di, al variar BiCi. Solución: Si se une Bi con A, el ángulo inscripto BiACi es recto, por el Lugar de Thales del diámetro BiCi. Por tanto A es punto medio del CiDi y esto implica que Di es la imagen del punto Ci en una simetría Central de centro A. Aplicando el método de las isometrías para hallar Lugares Geométricos resulta que el L. G. del punto Di es la circunferencia imagen

de la dada en la Simetría Central de centro A. Caso 3) Giros o Rotaciones en el Plano Definición: “Es una isometría Directa, con 1 y sólo 1 punto fijo, (llamado centro de giro, O) y tal que ∀ P del plano le hace corresponder un punto P’ de modo que ∠ POP’ = α constante, (llamado ángulo de giro)” Esquema:

Explicación: Se considera a O como centro de giro, P es un punto del plano. Para hallar la imagen de P en la rotación de centro O y ángulo α antihorario, se apoya el compás en O se abre hasta P y se gira, hasta cortar una reta que pase por O y forme con la recta OP el ángulo dado, sea P’ dicho punto. Entonces escribimos que P’ = R(O,+α ), el signo + indica el sentido de giro de la rotación, como se ha dicho, antihorario. De esa forma, la imagen de la recta OP = a, es la recta OP’ = a’. Análogamente se procede para hallar el rotado de Q, Q’. El punto Q se elije de forma que el ángulo OQP = 90º de esa forma, el ángulo OQ’P’ = 90º, por correspondientes en el giro. La recta QP, es decir j, se corresponde con la recta j’, estas forman entre sí el ángulo de giro, pues el cuadrilátero OQPQ’ es inscriptible por tener como ya se ha mostrado 2 ángulos opuestos suplementarios entonces, como el ángulo Q’OQ = α , su opuesto es 180 - α , este es Q’PQ, pr lo que su adyacente es α . Finalmente hay que indicar que O equidista de los lados del ángulo formado por las rectas correspondientes j y j’ ya que OQ y OQ’ son iguales por tratarse de una isometría, esto implica que O pertenece a la bisectriz del ángulo entre j y j’ suplementario del de giro. De acuerdo a estas apreciaciones, podemos formular las siguientes: Propiedades: 1) El centro de giro pertenece a la mediatriz de todo segmento, cuyos extremos se

correspondan. 2) Las rectas que pasan por el centro de giro, forman cónsul imagen el ángulo de giro. 3) Las rectas que NO pasan por el centro de giro, también forman el ángulo de rotación y el

centro de giro, pertenece a la bisectriz del ángulo entre estas, suplementario al de rotación.

Notación: R(O,+Â) la R por rotación o giro, a modo de sub índice, la primer componente es el centro de giro y la segunda, el ángulo de rotación con su signo, + si es anti horario y -, en caso opuesto. Ejemplo:

Se considera una circunferencia de diámetro AB y centro O. Por A se traza una recta variable que corta a la circunferencia en Ci. Luego se construyen los triángulos equiláteros BDiCi. Se pide hallar el L.G. del punto Di. Es un caso típico para aplicar el método de las isometrías para hallar L.G. Di es la imagen de Ci en la R (B, +60ª), por lo tanto el L. G. buscado es la circunferencia imagen de la dada en dicha rotación.

Caso 4) Traslaciones en el Plano Definición: “Es una Isometría Directa, sin puntos fijos, tal que a todo punto P del plano le

hace corresponder el punto P’, de modo que →

'PP = →u constante”

Como se puede apreciar, el vector fijo →u , se aplica a cada punto del plano. Es, el mismo vector

para cada punto del plano, por tanto al aplicarlo al punto C, se obtiene su imagen C’ y de esta forma

la recta CC’ resulta ser paralela al vector →u . Se puede ver fácilmente, por ejemplo como sucede con

el punto D y su imagen D’, que todos los puntos de la recta a, a la que pertenecen C, D, C’ y D’, entre muchos otros, tienen sus imágenes en la misma recta, por tanto a la recta a, le corresponde la

recta a’, que coincide con la recta a. Por lo tanto, en una Traslación de vector →u , todas las rectas del

plano, paralelas a él resultan ser dobles. Para las rectas que NO son paralelas al vector, como lo es la recta b, se tienen rectas paralelas a ellas, como loes b’, pues los puntos C, C’, E’ y E, determinan un paralelogramo, al tener 1 par de lados iguales y paralelos, de esta forma, también los otros 2 lados serán paralelos y estos son b y b’. Propiedades: 1) Todo par de puntos que se correspondan en una traslación, definen el vector traslación. 2) Toda recta paralela al vector traslación, es doble. 3) Toda recta NO paralela al vector traslación, tiene por imagen, otra recta paralela con ella.

Notación: Tu la T es por traslación, a modo de sub índice, se indica el vector traslación.

Ejemplo:

Dada una recta a, un segmento DE y un puno C, se pide construir una circunferencia cuyo radio sea igual al segmento DE dado, sea tangente a la recta a y que pase por C. Solución: Se traza una circunferencia auxiliar Ω, tangente a la recta a dada y cuyo radio coincida con la medida del segmento DE dado. Luego trazo por el punto C, una recta h, paralela a la recta a, la cual

corta a la circunferencia Ω, en el punto K. Considero luego el vector →

KC y aplico una traslación en el plano con ese vector. Al punto I, centro de la circunferencia auxiliar trazada, le corresponde en esa traslación el punto I’, que será el centro de la circunferencia solución, pues es la imagen de Ω, en esa traslación. En dicha isometría, C es la imagen de K, por tanto Ω’, (circunferencia imagen de Ω), pasará por dicho punto y al ser de igual radio que Ω y su centro pertenecer a una recta paralela a la dada, será también tangente a la recta a. T.D.: “¿Te animas a resolver nuevamente este problema sin usar una traslación?” Caso 5) Antitraslaciones en el Plano Definición: “Es una Isometría Indirecta, sin puntos fijos, definida por la composición de una

Traslación de →u , con una Simetría axial de eje paralelo al vector de la traslación”

Notación: At (r, →u ) At, por Antitraslación, r indica el eje de la simetría axial y

→u es el vector de

la traslación, el cual debe ser paralelo a r.

Propiedades: 1) El punto medio del segmento definido por 2 puntos correspondientes, pertenece al eje. 2) Dadas 2 rectas que se corresponden en una Antitraslación, la bisectriz del ángulo entre ellas es

paralela al eje.

3) En una Antitraslación hay conmutatividad, es decir At (r, →u ) = Sr o Tu = Tu o Sr

Ejemplo: Se consideran 2 circunferencias C y C1 de centros O y O1, de modo que C1 = At (e, u) (C). Hallar

el eje e, sabiendo únicamente la medida del vector →u = 4 cm.

Solución: De acuerdo a la propiedad 1, el punto medio del segmento OO1 pertenece al eje de simetría buscado, por tanto el eje buscado pasará por C1. Por otra parte, cada vez que aplico una Antitraslación a un punto, se forma un triángulo rectángulo de hipotenusa con extremos en los puntos correspondientes, por tanto el segmento OO1 es hipotenusa de ese triángulo, por lo que el punto C1 es su circuncentro. Los catetos de ese triángulo rectángulo son el punto O y la imagen de este en la simetría axial de eje buscado, por tanto, dichos puntos pertenecen a la circunferencia auxiliar de centro C1 y diámetro OO1. El cateto que va del punto imagen de O en la simetría axial a O1, dista de O1, la longitud del vector de la traslación, o sea 4 cm. Por lo tanto dicho punto pertenece a una circunferencia de centro O1 y radio 4, entonces dicho punto queda determinado por las intersecciones de las circunferencias auxiliares trazadas, o sea los puntos B y D. Por último el eje buscado será mediatriz de los segmentos BO o DO, ya que hay 2 soluciones posibles.

Descomposición de Isometrías en composición de Axiales 1) Rotación de centro A y ángulo α – Simetría Central

Se aplica primero una Simetría de eje b y luego otra de eje a, ambos ejes se intersectan en A. De acuerdo a las propiedades vistas de la simetría axial, se tiene que AP = AP’ = AP”. Por otro lado, el ángulo entre AP y AP” es β + β + (α – β) + (α – β) = 2α, siendo α el ángulo entre los ejes a y b y β el formado por el segmento AP y el eje b, eje de la primera simetría axial aplicada. En definitiva, para cualquier punto P del plano, al aplicar sucesivamente 2 simetrías axiales de ejes que se cortan en un punto y que forman un determinado ángulo, se obtiene como imagen el mismo punto que se obtiene con una Rotación de centro el punto de

intersección entre los ejes y de ángulo el doble del formado por estos. El sentido de giro queda determinado por el barrido del ángulo entre ejes, al pasar del primer eje al segundo. En el caso de la figura, una R(A, -2α). En otras palabras, toda rotación, puede descomponerse en una composición de 2 simetrías axiales cuyos ejes deben cortarse en el centro de giro y que deben formar entre ellos un ángulo igual a la mitad del ángulo de giro, el sentido de giro, indicará que simetría deberá aplicarse primero y cual en segundo término, de modo que el eje de la primer simetría “barra” el ángulo entre ellos en igual sentido del dado por la rotación.

Como una Simetría Central coincide con una rotación de centro de giro el centro de simetría y de ángulo 180º, esta isometría podrá descomponerse en 2 simetrías axiales, cuyos ejes deben cortarse en el centro de simetría y cuyos ejes deben ser perpendiculares. 2) Traslaciones - Antitraslaciones

Vamos a aplicar una simetría axial de eje s al punto P y luego aplicamos otra simetría axial esta última de eje r, ambos paralelos, como se indica en la figura. Sea t una recta perpendicular a las anteriores y P un punto de esta. La recta t, corta a s en E y corta a r en D. La distancia de P a s es r y la distancia entre las rectas r y s es h. Al aplicar la simetría axial de

R(A, -2α) = Sb o Sa R(A, 2α) = Sb o Sa α = ángulo entre a y b

CA = Sb o Sa a y b perpendiculares

eje s al punto P se obtiene el punto P’ que dista, al igual que P, r de la recta s. De esto último deducimos que la distancia de P’ a la recta r es (h-r), por lo que al simetrizar ahora este punto respecto de r, se tendrá el punto P”, también a (h-r) del eje de simetría r. Por lo tanto en la aplicación sucesiva de ambas simetrías, se tiene una correspondencia entre el punto P y el punto P”, de modo que el segmento PP”, tiene dirección y sentido fijos. Una vez señalados los ejes de las simetrías, la dirección es perpendicular a los ejes y el sentido del segmento está orientado, desde el primer eje hacia el segundo. Si además, para cada punto del plano la longitud del segmento PP”, fuera constante, entonces estaríamos frente a una traslación de vector perpendicular a los ejes. Resulta fácil advertir que la distancia PP” = 2h, es decir el doble de la distancia de los ejes de ambas simetrías axiales aplicadas sucesivamente. En síntesis, la aplicación sucesiva de estas simetrías, determina para cada punto del plano, la misma imagen que se hallaría con una Traslación de vector perpendicular a los ejes y de longitud igual al doble de la distancia entre ellos. El sentido del vector estará dado por el orden en que se ubican los ejes de las simetrías referidas.

Antitraslación La Antitraslación, como fue ya señalado, es la composición de una simetría axial con una traslación ⇔ el eje de simetría es paralelo al vector traslación. Por lo tanto, como ya se ha indicado, resulta que una Antitraslación se descompone en producto de axiales, a través de 3 simetrías de ejes e1, e2 y e3. Para que esto último sea correcto, tenemos 2 alternativas:

1) Las 2 primeras simetrías axiales de ejes e1 y e2 definen la traslación y la simetría que se aplica en tercer término, respecto del eje e3, representa la simetría axial, cuyo eje debe ser paralelo al vector de la traslación. Pero por lo visto para estas isometrías, los ejes e1 y e2, deben ser perpendiculares al vector por lo que serán también perpendiculares al eje e3 de la axial que se aplica en tercer término. Así que una composición de 3 axiales, cuyos ejes sean 2 consecutivos paralelos y un tercero perpendicular a los anteriores, será una Antitraslación. En este caso la Antitraslación será de eje e3 y de vector perpendicular a los ejes e1 y e2.

2) Las 2 últimas simetrías axiales de ejes e2 y e3 definen la traslación y la simetría que se aplica en primer término, respecto del eje e1, representa la simetría axial, cuyo eje debe ser paralelo al vector de la traslación. Pero por lo visto para estas isometrías, los ejes e2 y e3, deben ser perpendiculares al vector por lo que serán también perpendiculares al eje e1 de la axial que se aplica en tercer término. Así que una composición de 3 axiales, cuyos ejes sean 2 consecutivos paralelos y un tercero perpendicular a los anteriores, será una Antitraslación. En este caso la Antitraslación será de eje e1 y de vector perpendicular a los ejes e2 y e3.

Sintetizando:

Traslación de vector →ED2 = Ss o Sr

Ejemplo:

ABCD es un cuadrado horario, se desea conocer la isometría que queda determinada por la siguiente composición: CA o R(E, +90º) o CB o R(D, -90º) = (Se6 o Se5) o (Se’4 o Se’1) o (Se4 o Se3) o (Se2 o Se1) Esta descomposición implica las siguientes sustituciones:

1) R(D, -90º) = (Se2 o Se1) ; e1 ∩ e2 = D y forman 45º, e1 barre antihorario 2) CB = (Se4 o Se3) ; e4 ∩ e3 = B y son perpendiculares. 3) R(E, +90º) = (Se’4 o Se’1) ; e’4 ∩ e’3 = E y forman 45º, e’1 barre horario 4) CA = (Se6 o Se5) ; e5 ∩ e6 = A y son perpendiculares.

Como se observa en la figura, e2 = e3, por tanto (Se3 o Se2) = Identidad. De la misma forma, se puede ve que (Se’1 o Se4) = Identidad y análogamente (Se5 o Se’4) = Identidad, de esta forma la composición de 6 axiales inicial se reduce a (Se6 o Se1) = CA que es la solución final al problema propuesto.

Si e1 || e2 y ⊥ e3 At (e3, →u ) = Se1 o Se2 o Se3 con

→u ⊥ e1 y e2

Si e2 || e3 y ⊥ e1 At (e1, →u ) = Se1 o Se2 o Se3 con

→u ⊥ e2 y e3