teoria y diseño de antenas - dr. cruz-pol

Introducción a la Introducción a la Teoría y Diseño de Teoría y Diseño de

AntenasAntenas

Dra. Sandra Cruz-Pol, Catedrática Departamento de Ingeniería Eléctrica y Computadoras

Recinto Universitario de Mayagüez Mayagüez, Puerto Rico

© Copyright 1994, 2000, 2002, 2005, 2007, 2009, 2010 Sandra L. Cruz Pol

© Copyright 1994, 2000, 2002, 2005, 2007, 2009, 2010 Sandra L. Cruz Pol Todos los derechos reservados. Uso educativo exclusivamente, no comercial.los derechos reservados..

. On the cover: Photo of the CASA UPRM OTG X-band single-pol radar and comparable plots from CSU-CHILL S-band Doppler Polarimetric weather radar. [Pablos, 2010]

Tabla de Contenido

TABLA DE CONTENIDO ................................................................................................................... II

TABLA DE FIGURAS ........................................................................................................................... V

1 CONCEPTOS NECESARIOS DE LA TEORIA DE ANTENAS ............................................... 1 1.1 ¿QUÉ ES UNA ANTENA? ....................................................................................................... 1 1.2 PATRÓN DE IRRADIACIÓN .................................................................................................. 1 1.3 COORDENADAS ESFÉRICAS, (θ,φ,ρ) .................................................................................. 2 1.4 ANCHO DEL HAZ ("BEAMWIDTH") .................................................................................... 4

1.4.1 HPBW- "Half Power beamwidth" ...................................................................................... 4 1.4.2 "Null-to null Beamwidth", NNBW ...................................................................................... 4

1.5 ZONAS DE CAMPO ................................................................................................................. 4 1.5.1 "Near field" (zona de Fresnel) ........................................................................................... 4 1.5.2 "Far field" (zona de Fraunhofer) ....................................................................................... 4

1.6 ANGULO SÓLIDO: .................................................................................................................. 5 1.7 ANTENA ISOTRÓPICA (ANTENA PUNTO) ........................................................................ 6 1.8 BEAM AREA (ÁREA DE HAZ)- ΩA ...................................................................................... 6 1.9 INTENSIDAD DE RADIACIÓN, U(θ,φ) [W/SR] .................................................................... 7

1.9.1 "Beam efficiency" εM (Eficiencia de la iluminación) ........................................................ 8 1.9.2 Potencia Total Irradiada por la antena es ........................................................................ 8

1.10 DIRECTIVIDAD, D(θ,φ) Y D .................................................................................................... 8 1.11 GANANCIA G [DB] ............................................................................................................. 10 1.12 IMPEDANCIA ...................................................................................................................... 10 1.13 RESISTENCIA DE RADIACIÓN, RR .................................................................................. 10 1.14 ÁREA EFECTIVA, AE [M2] ................................................................................................... 11 1.15 RELACIÓN ENTRE RR Y ΩA .............................................................................................. 13 1.16 "FRIIS TRANSMISSION FORMULA" ............................................................................... 14 1.17 ECUACIÓN DEL RADAR ("RADAR RANGE ECUACIÓN") .......................................... 15

2 POLARIZACION .......................................................................................................................... 19 2.1 APLICACIONES .................................................................................................................... 19 2.2 POLARIZACIÓN .................................................................................................................... 20 2.3 POLARIZACIÓN LINEAL (LP) ............................................................................................ 20 2.4 POLARIZACIÓN CIRCULAR (CP) ...................................................................................... 21 2.5 CASO GENERAL- (ELIPSE) ................................................................................................. 22 2.6 PARÁMEROS DE LA ELIPSE .............................................................................................. 23 2.7 "POLARIZATION LOSS FACTOR" ..................................................................................... 24

3 ANTENA DIPOLO ....................................................................................................................... 28 3.1 LAS ECUACIONES DE MAXWELL Y LA ECUACIÓN DE ONDA .......................................... 28 3.2 VECTOR POYNTING ............................................................................................................... 30 3.3 DIPOLO INFINITESIMAL .................................................................................................... 32

3.3.1 Campos en el "Far field" ................................................................................................. 37 3.3.2 Vector Poynting para un dipolo infinitesimal .................................................................. 37

3.4 DIPOLO LARGO .................................................................................................................... 39 3.4.1 Casos Especiales: ............................................................................................................ 42

3.5 EFECTO DE LA TIERRA O PLANO REFLECTOR .................................................................... 44 3.5.1 Teoría de imágenes .......................................................................................................... 44

4 ANTENA LAZO ............................................................................................................................ 47 4.2 LAZO DE TAMAÑO ARBITRARIO ..................................................................................... 50 4.3 MÉTODO GRÁFICO (ANTENA DE LAZO CIRCULAR) ................................................... 52 4.4 ANTENA LAZO ..................................................................................................................... 53

iii

4.4.1 Resistencia de radiación: ................................................................................................. 53 4.4.2 Directividad ..................................................................................................................... 54

5 ANTENAS DE ALAMBRE INDEPENDIENTES DE FRECUENCIA ................................... 55 5.1 ANTENA YAGI-UDA ............................................................................................................ 55

5.1.1 Teoría ............................................................................................................................... 55 5.2 BANDA ASIGNADA EN FRECUENCIA PARA LOS CANALES DE TELEVISIÓN ....... 57 5.3 ANTENA LOG-PERIÓDICA ................................................................................................. 57

5.3.1 Teoría ............................................................................................................................... 58 5.4 BALUNS ................................................................................................................................... 61 5.5 APAREANDO IMPEDANCIAS ................................................................................................. 63

6 ARREGLOS DE ANTENAS ........................................................................................................ 64 6.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................... 64 6.2 TEORÍA ................................................................................................................................... 64 6.3 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN DE PATRONES ......................................................... 67 6.4 ARREGLOS LINEALES ........................................................................................................ 67 6.5 ARREGLO LINEAL UNIFORME CON FASE INCREMENTAL ................................................. 68

6.5.1 Método Gráfico Para Arreglos Lineales ......................................................................... 71 6.5.2 Arreglos "Broadside" y Endfire" ..................................................................................... 74

6.6 ARREGLOS LINEALES NO UNIFORMES .......................................................................... 75 6.7 BINOMIAL ............................................................................................................................. 76 6.8 DOLPH-TSCHEBYSCHEFF .................................................................................................. 76

6.8.1 Número par de elementos ................................................................................................ 77 6.8.2 Número impar de elementos ............................................................................................ 78 6.8.3 Polinomios de Tschebyscheff ........................................................................................... 79 6.8.4 Pasos para el diseño de un Arreglo Dolph- Tschebyscheff ............................................. 81 (Dado R, d, y el número de antenas, N) ........................................................................................ 81

6.9 ARREGLOS PLANOS ............................................................................................................... 83 7 ANTENA ESPIRAL O HÉLICE ................................................................................................. 86

7.1 MODO NORMAL ................................................................................................................... 87 7.2 MODO AXIAL ........................................................................................................................ 88

8 ANTENAS REFLECTORAS ....................................................................................................... 91 8.1 PARÁBOLA ............................................................................................................................ 92 8.2 DERRAME (“SPILLOVER”) ................................................................................................ 95 8.3 ANTENA ALIMENTADORA ................................................................................................ 96 8.4 CASSEGRAIN FEED ............................................................................................................. 97 8.5 BLOQUEO .............................................................................................................................. 98 8.6 GREGORIANO ....................................................................................................................... 99 8.7 OTROS TIPOS DE REFFLECTORES ................................................................................. 100 8.8 "CROSS-POLARIZATION" ................................................................................................. 101

9 ANTENAS DE ABERTURA ...................................................................................................... 102 9.1 INTRODUCCION ................................................................................................................. 102 9.2 METODO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER ........................................................ 102

9.2.1 Propiedades de Fourier ................................................................................................. 103 9.3 RADIACION DE UNA ABERTURA RECTANGULAR ............................................................. 104 9.4 RADIACION DE UNA ABERTURA CIRCULAR ..................................................................... 106 9.5 ANTENAS TIPO CUERNO- “HORN” ..................................................................................... 106

9.5.1 Antena Plano-H ............................................................................................................. 107 9.5.2 Antena Plano-E .............................................................................................................. 109 9.5.3 Antena Piramidal ........................................................................................................... 110

10 ANTENAS DE MICROCINTAS ............................................................................................. 111 10.1 ANTENAS DE PARCHO ....................................................................................................... 111 10.2 PROCESO DE DISEÑO ......................................................................................................... 113

iv

10.2.1 Permitividad Efectiva ................................................................................................... 113 10.2.2 Efectos de los Bordes (Fringing Effects) .................................................................... 114 10.2.3 Procedimiento .............................................................................................................. 114

11 TEMPERATURA DE LA ANTENA ....................................................................................... 116 11.1 RUIDO TERMAL ("THERMAL NOISE") ........................................................................ 116 11.2 TEMPERATURA DEL SISTEMA, TSYS ......................................................................... 119 11.3 "SIGNAL TO NOISE RATIO" (S/N Ó SNR) ..................................................................... 121 11.4 FIGURA DE RUIDO ........................................................................................................... 122

REFERENCIAS ................................................................................................................................. 123

DATOS BIOGRÁFICOS ................................................................................................................... 124

Tabla de Figuras Figura 1.1 Antena Transmitiendo (izquierda) y antena recibiendo (derecha) .............. 1 Figura 1.2 Patrón de irradiación de una antena mostrando las partes típicas (Figura

derecha Balanis) .................................................................................................... 2 Figura 1.3 Patrón en 3D de una antena ......................................................................... 2 Figura 1.4 Patrón en trazo Rectangular (linear y en decibeles) .................................... 3 Figure 1.5 Angulo Sólido .............................................................................................. 5 Figura 1.6 Diagrama que muestra el concepto de ángulo sólido de una antena ........... 7 Figura 1.7 Antena isotrópica versus antena práctica .................................................... 9 Figura 1.8 Esquema de una antena receptora conectada al circuito receptor. ............ 11 Figura 1.9 Circuito Equivalente para una antena (derecha) y su receptor ["receiver"],

(izquierda). .......................................................................................................... 12 Figura 1.10 Sistema de comunicación básico ............................................................ 14 Figura 1.11 Concepto más general de un sistema de comunicación. .......................... 15 Figura 1.12 Ejemplo de un sistema de radar bistático ................................................ 16 Figura 1.13 Concepto del cambio en frecuencia percibida conocido como efecto

Doppler. .............................................................................................................. 17 Figura 2.1 Polarización Lineal Vertical ...................................................................... 21 Figura 2.2 Elipse mostrando el trazo onda polarizada elípticamente ......................... 23 Figura 3.1 Onda Plana ................................................................................................. 31 Figura 3.2 Dipolo Infinitesimal ................................................................................... 32 Figura 3.3 Diagrama que muestra r x z ....................................................................... 35 Figura 3.4 Geometría para análisis del Dipolo largo .................................................. 39 Figura 3.5 Variación del campo del dipolo de acuerdo al largo en términos de lambda

(largo de onda de la antena). ............................................................................... 41 Figura 3.6 Patrón del Dipolo de media onda .............................................................. 42 Figura 3.7 Patrón del Dipolo de media onda .............................................................. 43 Figura 3.8 Patrón del dipolo de tres lambda medios (right from Krauss and Marhefka,

2002) ................................................................................................................... 43 Figure 3.9 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones desde un plano

conductor. ............................................................................................................ 44 Figure 3.10 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones de un dipolo

horizontal sobre un plano conductor. .................................................................. 45 Figure 3.11 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones de un dipolo

vertical sobre un plano conductor. ...................................................................... 45 Figura 4.1 Geometría para análisis del lazo circular ................................................... 47 Figura 4.2 Punto P en plano xz ................................................................................... 48 Figura 4.3 Funciones Bessel de Primer Tipo de orden 0 a 3. ..................................... 51 Figura 4.4 Método gráfico de hallar el patrón de antena lazo. Los primeros dos nulos

ocurren en el eje horizontal en 3.84 y 7.01. ........................................................ 53 Figura 5.1 Antena Yagi-Uda de 7 elementos y patrón de una Yagi-Uda de 4

elementos. ........................................................................................................... 55 Figura 5.2 Antena Log-periódica ................................................................................ 58 Figure 5.3 Gráfica de diseño mostrando la directividad y el diseño óptimo (R.L.

Carrel, "Analysis and Design of the Log-Periodic Dipole Antenna") ............... 60 Figure 5.4 Variations of Log-Periodic Dipole Antenna" ............................................ 60

vi

Figure 5.5 Ejemplos de Baluns y su efecto en la distribución de corriente de la antena dipolo. ................................................................................................................. 61

Figure 5.6 Un balun de 75- a 300 ohmios .................................................................. 62 Figure 5.7 Algunos estilos de Baluns ......................................................................... 62 Figura 6.1 Arreglo de N antenas iguales ..................................................................... 64 Figura 6.2 Arreglo de N antenas iguales mostrando las distancias en el "far field" ... 65 Figura 6.3 Detalle de la diferencia en paso recorrido ................................................. 66 Figura 6.4 Diagrama mostrando el concepto de Multiplicación de patrones ............ 67 Figura 6.5 Arreglo Lineal de N antenas equidistantes ................................................ 68 Figura 6.6 Factor de Arreglo para de 5 elementos lineales con iluminación uniforme

y fase incremental ............................................................................................... 70 Figura 6.7Factor de Arreglo para de 3, 7, y 17 elementos con iluminación uniforme y

fase incremental, respectivamente. ..................................................................... 71 Figura 6.8 Arreglo tipo "broadside" ............................................................................ 74 Figura 6.9 Arreglo Tipo “Endfire” de 5 antenas ......................................................... 74 Figura 6.10 Factor de Arreglo para distintos tipos de iluminación: Uniforme,

Binomial y D-T ................................................................................................... 75 Figura 6.11 Arreglo lineal con número par de elementos ........................................... 77 Figura 6.12 Arreglo lineal con número impar de elementos ...................................... 78 Figura 6.13 Polinomios de Tschebyscheff .................................................................. 80 Figura 6.14 Trazos de la Magnitud de los primeros 3 polinomios de Tschebyscheff 80 Figura 6.15 Trazo de la Magnitud de T4(x) ................................................................. 81 Figura 7.1 Antena hélice o espiral ............................................................................. 86 Figura 7.2 Detalle del alambre cerca de la alimentación ............................................ 87 Figura 7.3 Antena hélice - Modo Normal (perpendicular) de Operación ................... 87 Figura 7.4 Antena Hélice - Modo Axial ..................................................................... 88 Figura 8.1 Comparación entre antenas de reflector parabólico y esférico .................. 91 Figura 8.2 Diagrama mostrando parámetros de la antena parabólica ......................... 92 Figura 8.3 Detalle del ángulo de abertura ................................................................... 93 Figura 8.4 Gráfica de J1(x) /x ...................................................................................... 93 Figuras 8.5 Diagrama mostrando el derrame de señal que puede ocurrir en antena

reflectora ............................................................................................................. 95 Figura 8.6 Problemas comunes con antenas que usan platos reflectores .................... 96 Figura 8.7 Distintos tipos de antenas alimentadoras ................................................... 96 Figura 8.8 Antenas alimentadoras para frecuencias altas (microondas, ondas

milimétricas). ...................................................................................................... 97 Figura 8.9 Antena Cassegrain ..................................................................................... 97 Figura 8.10 Efectos del bloqueo ................................................................................. 98 Figura 8.11 Alimentadora Desplazada (“Offset feed”) ............................................... 99 Figura 8.12 Reflectores del Observatorio de Arecibo. Observe que los rayos del

reflector primario salen paralelos. ..................................................................... 100 Figura 8.13 Detalle de los platos secundario y terciario del Observatorio de Arecibo.

........................................................................................................................... 100 Figura 8.14 Otros tipos de reflectores ....................................................................... 101 Figure 9.1 Antena de abertura rectangular con iluminación uniforme y su patrón de

radiación ............................................................................................................ 105

vii

Figure 9.2 Antena de abertura circular con iluminación uniforme y su patrón de radiación ............................................................................................................ 106

Figure 9.3 Antena piramidal ..................................................................................... 107 Figure 9.4 Antena Horn plano-H .............................................................................. 108 Figura 10.1 Esquemático lateral y vista superior de una antena de microcintas tipo

parcho. ............................................................................................................... 111 Figura 10.2 Esquemático en tres dimensiones de una antena de microcintas de parcho

rectangular y su patrón de irradiación. .............................................................. 112 Figura 10.3 Arreglo planal de antenas de microcinta alimentadas para transmitir dos

polarizaciones. .................................................................................................. 113 Figura 10.4 Tipos de alimentación para antena de parcho. ...................................... 113 Figura 11.1 Representación del ruido termal producido por el movimiento de

electrones. ......................................................................................................... 116 Figure 11.2 Dentro de una cámara anecóica a temperatura T ................................... 116 Figure 11.3 Mirando al cielo (solamente) a temperatura T ...................................... 117 Figura 11.4 potencia radiométrica recibida por una antena ...................................... 117 Figura 11.5 Potencia de ruido recibida si el rayo es menor que el ángulo sólido

ocupado por la fuente. ....................................................................................... 118 Figura 11.6 Potencia de ruido recibida si el rayo es mayor que el ángulo sólido

ocupado por la fuente. ....................................................................................... 119 Figura 11.7 Sistema receptor en un radar o radiómetro ............................................ 120

viii

“The vanity of some men, who imagine that they know everything, and are bent on explaining everything in their own way, will give rise to opposing opinions; but all who have in view the grand principle of Jesus will be united in the same love of goodness, and in a bond of brotherhood that will embrace the entire world. Putting aside all vain disputes about words, they will devote their energies to matters of practical importance, in regard to which, whatever their doctrinal belief, the convictions of all who receive the communications of the higher spirits will be the same.” "Remember that angels only give their aid to those who serve God with humility and disinterestedness; they disown all who use heavenly things as a stepping-stone to earthly advancement, and withdraw from the proud and the ambitious. Pride and ambition are a barrier between man and God; for they blind man to the splendors of celestial existence, and God cannot employ the blind to make known the light." Allan Kardec, 1857 (translated from French), “Mi patria es el mundo, sin fronteras”, SLCP

CAPÍTULO 1 1 CONCEPTOS NECESARIOS DE LA TEORIA DE ANTENAS

1.1 ¿QUÉ ES UNA ANTENA? Una antena es una estructura pasiva de transición entre una línea de transmisión y el espacio, usada para irradiar o recibir ondas electromagnéticas. Una misma antena puede usarse para transmitir y recibir.

FuenteCircuito Receptor (Rx)

Figura 1.1 Antena Transmitiendo (izquierda) y antena recibiendo (derecha)

1.2 PATRÓN DE IRRADIACIÓN El patrón de una antena se refiere a la variación de la amplitud de la irradiación como función de la dirección. Se representa como una gráfica de 2 ó 3 dimensiones donde se muestra la magnitud del campo eléctrico normalizado o la potencia normalizada como función de (θ,φ). Cuando que se habla de patrones, normalmente nos referimos a que estamos a una distancia bastante lejos de la antena conocida por "far field". "Field pattern"-se grafica |E| normalizado

En(θ,φ) = E(θ,φ)/Emax

"Power pattern"- se grafica la potencia o |E|2 normalizado.

Fn(θ,φ) = S(θ,φ)/S(θ,φ)max = U(θ,φ)/U(θ,φ)max

Ecuación 1.1

donde S es el vector Poynting y U la intensidad de radiación definidos adelante.

Antena Antena

CONCEPTOS NECESARIOS DE LA TEORIA DECONCEPTOS NECESARIOS DE LA TEORIA DE ANTENASANTENAS

2

Lóbulo principal

.5

1

HPBW

Lóbulos menores

NNBW

("Mainlobe")

|Pn|

}

PATRON TIPICO (Coordenadas polares esféricas, 2 dimensiones)

Figura 1.2 Patrón de irradiación de una antena mostrando las partes típicas (Figura derecha Balanis)

1.3 COORDENADAS ESFÉRICAS, (θ,φ,ρ)

Las coordenadas esféricas se utilizan comúnmente cuando hablamos de patrones de irradiación debido a que son adecuadas para la geometría del problema. Por ejemplo, el siguiente es el patrón de una antena omnidireccional como lo es, por ejemplo, la antena dipolar consistente en dos alambres alimentados por el centro.

Antena omnidireccional

y

z

x Sección cortada del patrón de irradiación

Patrón en coordenadas polares y 3 dimensiones.

o-

ø

r

Figura 1.3 Patrón en 3D de una antena

Al ángulo θ se le conoce comúnmente como ángulo de elevación, y al ángulo ø se le conoce como ángulo azimut (se mueve en el plano horizontal). La dirección que mira a


3

θ=0 se conoce como el cenit. También se utilizan coordenadas rectangulares, aunque menos frecuentemente.

_ 1

HPBWø

-.25

-.7

|En|- 0 dB

-3dB

-10dB

| | | |HPBW

Patrón de campo o de potencia (Escala logarítmica)

Patrón de Campo (Escala lineal)

COORDENADAS RECTANGULARES

Patrón normalizado

Figura 1.4 Patrón en trazo Rectangular (linear y en decibeles)

Los dos patrones de arriba son equivalentes pero en distintas escalas; en uno la abscisa es lineal y en el otro es logarítmica (decibeles, dB). Nótese que el punto de media potencia (o sea de 70.7% de campo) equivale a -3dB.

# dB = 10 log |Fn| = 10 log |En|2 = 20 log |En|

Ecuación 1.2

Es importante notar que dB es un cambio de escala para cubrir una gamma mayor de valores en un mismo eje. No es una unidad de potencia ni de campo, sino que se refiere a ganancia, ya que Fn y En son normalizadas, y por lo tanto, tampoco tienen unidades. Cuando queremos medir potencia en forma logarítmica utilizamos dBW o dBm, los cuales están definidos en términos de Vatios (W) o mili vatios (milliwatts).


4

1.4 ANCHO DEL HAZ ("BEAMWIDTH")

1.4.1 HPBW- "Half Power beamwidth"

Es la “distancia” en radianes o grados entre las direcciones en el patrón donde se irradia la mitad de la potencia que se irradia en la dirección de máxima potencia. La mitad de la potencia equivale a un 70.7% del campo. En decibeles ambos corresponden a -3dB. 10 log 0.5 = -3 dB 20 log 0.707 = -3 dB. En general, un patrón tiene un "beamwidth" distinto en el plano yz y el plano xz. A veces la plano xz o yz se le llama el plano-E, si es el plano donde se encuentra el vector del campo eléctrico, E. Una forma aproximada de obtener este valor para patrones de forma “pencil beam” es

DHPBW o λ70≈ Ecuación 1.3

1.4.2 "Null-to null Beamwidth", NNBW

Es otra forma de especificar el ancho del haz. Se mide desde un nulo (cero radiación) a otro alrededor del lóbulo principal ("main beam"). En la práctica, cuando hablamos de "beamwidth" nos referimos al HPBW a menos que se especifique lo contrario. 1.5 ZONAS DE CAMPO

1.5.1 "Near field" (zona de Fresnel)

Se refiere a la región cercana a la antena. En esta zona los campos electromagnéticos tienen componentes en la dirección de propagación (componente radial, Er) en esta región, además de los componentes transversales. Por lo tanto, el patrón depende de la distancia hasta la antena. Se le define como la distancia r <2D2/λ . Casi todas las aplicaciones trabajan fuera de esta zona.

1.5.2 "Far field" (zona de Fraunhofer) En esta zona ya los campos electromagnéticos son transversales, o sea sólo tienen componentes perpendiculares a la dirección de propagación (i.e. sólo Eφ y Eθ). La forma del patrón de irradiación es independiente de la distancia r en esta zona.

λ

22Drff =

Ecuación 1.4

donde,


5

D = es la dimensión física mayor de la antena λ = largo de onda de operación r = distancia desde la antena hasta el punto de observación. Casi todas las aplicaciones operan en el “far field”, o sea lejos de la antena y los campos entonces se toman como transversales pues son básicamente ondas planas. 1.6 ANGULO SÓLIDO: El ángulo sólido es un concepto utilizado cuando se habla de patrones de antenas. Para entender mejor este concepto, veamos la comparación entre el ángulo plano (que es el que ya conocemos), y el ángulo sólido (el cual tiene tres, en lugar de dos, dimensiones).

Figure 1.5 Ángulo Sólido

s1 = r dθ

s2 = r sin θ dø s = θr = arco dA = s1 s2 dA = r2 sin θ dφ dθ = r2 dΩ θ = ángulo plano dΩ = elemento de ángulo sólido •El arco total en un círculo: = 2π r • El área total en una esfera: = 4π r2 •Ángulo total: = 2π [radianes] •Angulo sólido total: =4π [rad2]=4π [sr]

1 steradian (sr) = (1 radian)2


6

1.7 ANTENA ISOTRÓPICA (ANTENA PUNTO) Es una antena hipotética, o sea, que no existe en la práctica. Es una fuente punto que ocupa un espacio despreciable. Exhibe simetría esférica, no tiene preferencia direccional, por lo cual, su patrón es simplemente una esfera. La antena isotrópica emite ondas esféricas (como esferas concéntricas en donde la fase es constante). Cuando se está lejos de la antena, la curvatura de una pequeña sección de la onda esférica es tan poca que la onda se puede aproximar a una onda plana (como planos paralelos donde el campo tiene fase constante). La potencia que lleva una onda esférica está distribuida uniformemente sobre toda la superficie esférica. 24/ rPS t π= [W/m2], note que disminuye con 1/r2.

S es la densidad de potencia por unidad de área a una distancia r de la antena, también conocida como la magnitud del vector Poynting, rrPS t ˆ4/ 2π=

.

1.8 BEAM AREA (ÁREA DE HAZ)- ΩA Es el espacio total equivalente que ocupa el patrón en el espacio si estuviese concentrado en forma de punta de lápiz (Pencil Beam).

( ) Ω=Ω ∫∫ dFnA φθ , (sr) Ecuación 1.5

Se halla integrando la potencia normalizada en toda la esfera (del espacio). A pesar de que se llama "área" de iluminación, no es en sí un área sino un ángulo sólido. Se mide en steradians (sr).


7

z

yx

šA

Patrón |P |n

Figura 1.6 Diagrama que muestra el concepto de ángulo sólido de una antena

________________________________________________________________________

Ejercicio: Demuestre que la antena isotrópica tiene un ΩA de 4π. 1.9 INTENSIDAD DE RADIACIÓN, U(θ ,φ) [W/sr]

Es la potencia que irradia la antena por unidad de ángulo sólido. Es un parámetro de la zona lejos de la antena y se define como:

U = r2 Sr [W/sr] Ecuación 1.6

donde Sr es la densidad de potencia de radiación y se define como la magnitud del vector Poynting radial,

{ }*Re21ˆ HESrS r

×== [W/m2] Ecuación 1.7

La potencia normalizada también se puede hallar como;

Pn(θ,φ) = S(θ,φ)/S(θ,φ)max = U(θ,φ)/U(θ,φ)max

Recuerde que U no depende de la distancia desde la antena.

ΩA


8

1.9.1 "Beam efficiency" εM (Eficiencia de la iluminación)

El área total del haz consiste de contribuciones entre el lóbulo principal y los menores ("minor lobes include side and back lobes”) ΩA = ΩM + Ωm

la eficiencia depende de la contribución de ΩM.

εM = ΩM/ΩA mM

M

Ω+ΩΩ

= . Ecuación 1.8

La eficiencia de iluminación es proporcional a la directividad.

1.9.2 Potencia Total Irradiada por la antena es

( ) ( )∫∫∫∫ =⋅=Ω= dASdUPrad ϕθϕθ ,, Ecuación 1.9

donde, dΩ = sinθ dθ dø (elemento de ángulo sólido) dΑ = r2 sinθ dθ dø r (elemento de área)

1.10 DIRECTIVIDAD, D(θ ,φ) y D

La directividad se define como D(θ, φ)= U(θ, φ)/Uave. Una antena isotrópica emite

ondas de radio uniformemente en todas direcciones. Pero una antena práctica tiene direcciones "preferidas" donde la potencia detectada es mayor que en otras direcciones. Si comparamos la antena práctica con una isotrópica que esté transmitiendo la misma cantidad de potencia, podemos decir que la potencia de la antena práctica en cierta dirección es tantas veces mayor que la de la isotrópica en esa misma dirección. A esto se le llama directividad.


9

Antena isotrópica

Comparación de un patrón con el de la antena isotrópica.

Patrón isotrópico

Patrón de una antena

Isotrópica

Figura 1.7 Antena isotrópica versus antena práctica

radAVE P

SrdASA

SSSD ),(41/),(

2 φθπφθ ===

∫∫

Ecuación 1.10

Esto no quiere decir que una antena amplifique, pues una antena es una estructura pasiva, además la directividad puede ser menor que 1. Simplemente, es que la potencia está dirigida más en una dirección que en otra. Algo que causa a veces confusión es que también se llama directividad, D, a la directividad máxima. Ambas se expresan en decibeles. (10 log _ = # dB).

radaveradave PU

UU

PSr

SS

DD maxmaxmax2

maxmax

44),(

ππφθ =====

Ecuación 1.11

donde,

∫∫ Ω= UdUave π41

Por lo tanto, también podemos expresar la directividad como,

A

isotrópica

AdUUUd

UDΩ

Ω=

Ω=

Ω=

Ω=

∫∫∫∫

πφθπ

π

4),(

4

41max

max

Ecuación 1.12

Note que mientras más angosto es ΩA, más alta es la ganancia o directividad de la antena. _______________________________________________________________________

Ejercicio: Demostrar que D y D(θ,φ) para una antena isotrópica = 1.


10

1.11 GANANCIA G [dB] La directividad sólo toma en cuenta el patrón de la antena, no las pérdidas. La ganancia, en cambio, toma en cuenta las pérdidas en el conductor y en el dieléctrico de la antena. No toda la potencia que entra a los terminales de la antena transmisora se irradia al espacio, pues parte se disipa en la estructura de la antena en forma de calor. Por esto, para calcular la ganancia de potencia se utiliza la potencia que entra a los terminales de la antena transmisora, Pin y no la potencia irradiada. Usualmente, cuando se habla de ganancia de una antena, se implica que es en la dirección de máxima irradiación. Entonces,

DPU

Gin

ηπ

== max4 Ecuación 1.13

donde η es la eficiencia de radiación de la antena y se define por la relación Prad = η Pin Ecuación 1.14

1.12 IMPEDANCIA Una antena es "vista" por el generador como una carga de impedancia ZA, conectada a la línea. La ve como un elemento de dos terminales. La parte real (si no hay pérdidas) es la resistencia de radiación. ZA = (Rr + RL) + j(Xm + Xs) Ω AA jXR +=

Ecuación 1.15

donde, Rr = resistencia de radiación = Rrad RL = resistencia de pérdidas Xm = inductancia mutua Xs = auto inductancia (self-inductance) La potencia máxima se puede transferir de un generador de energía a una antena si se aparea con el conjugado, o sea, Zg= ZA

*. 1.13 RESISTENCIA DE RADIACIÓN, Rr Es la resistencia equivalente que disiparía la misma cantidad de potencia que la potencia irradiada por la antena cuando la corriente en esa resistencia es la misma que la corriente


11

en los terminales de la antena. La potencia promedio disipada por una antena, (sin pérdidas) es Pin = Pr + PL = ½ Rr |Iin|2 + ½ RL |Iin|2

Ecuación 1.16

( ) ( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++++= 22

2

2 gAgLr

rgr XXRRR

RVP

de manera que Rr = 2 Pr / |Iin|2

Ecuación 1.17

Ejercicio: Demuestre que la eficiencia de radiación se puede expresar como η = Rr /(Rr + RL )

1.14 ÁREA EFECTIVA, Ae [m2] El área o abertura efectiva se define más fácilmente para antenas recibidoras. La antena recibe potencia de ondas electromagnéticas. La razón de cuánta densidad de potencia incide en la antena a la potencia que es recibida por la misma es el área efectiva. Ae = P / Sinc [m2] (1)

Ecuación 1.18

Se puede hallar una abertura equivalente para cada antena. El área equivalente puede ser similar al área física de la abertura de la antena para algunos tipos de antenas como la antena piramidal. Sin embargo, para el dipolo, el área efectiva es mucho mayor que el área seccional física del alambre. En el siguiente esquema, todo el circuito recibidor conectado a la antena se ha sustituido por una impedancia equivalente, ZT = RT + jXT.

Z P AT e

Figura 1.8 Esquema de una antena receptora conectada al circuito receptor.

Circuito Receptor Onda

Incidente


12

La antena está supliendo energía recibida al resto del circuito ("receiver"), por lo que puede a su vez ser sustituida por su equivalente de Thévenin.

R + j X Z

VI

tt a

Figura 1.9 Circuito Equivalente para una antena (derecha) y su receptor ["receiver"], (izquierda).

donde, V = voltaje "rms" y ZA es la impedancia de la antena. La potencia que llega al receptor es

tRIP 2= (2)

donde,

( ) ( )22

tAtA XXRRVI

+++= (3)

Combinando las ecuaciones (1) a (3), queda,

]) X (X ) R [ (RSRVA

tAtAinc

te 22

2

+++=

Para antenas con impedancia apareada al receptor ("receiver"), ZA = Zt*;

Ae = V2RA / Sinc (2 RA )2 donde, RA = Rrad + RL Entonces,

Ae = V2/4Sinc RA = λ2 G / 4π Ecuación 1.19

Donde introducimos una nueva igualdad, Ae = λ2 G / 4π, la cual está derivada en varios textos de antenas y no se derivará aquí. Para antenas sin pérdidas,

Ae = V 2/4SincRr = λ2 D/4π Ecuación 1.20


13

La abertura efectiva de una antena no es necesariamente igual a su abertura o área seccional cruzada física. 1.15 RELACIÓN ENTRE Rr y ΩA El patrón de la antena normalizado ocupa un ángulo sólido total de ΩA rad2. La potencia total irradiada por la antena se puede expresar como, Pr = S A = S r2 ΩA

Ecuación 1.21

donde, S = Poynting vector radial, (densidad de potencia por área) A = área total equivalente por donde se irradia la potencia Pero, recordemos que la resistencia de radiación se definió a partir de la potencia irradiada de forma que; Pr = 1/2 Io 2 Rr = Irms

2 Rr donde Io = la corriente en los terminales de la antena. Combinando las ecuaciones de arriba de esta sección se obtiene, Rr = S r2 ΩA/ Irms 2 Si también usamos la relación entre densidad de potencia y el campo eléctrico para una onda plana a una distancia r de la antena, S = 1/2 |E|2 /η = Erms 2/η

Sustituyendo S en la ecuación de Rr, se obtiene, Rr = 1/η (Erms /Irms )2 r2 ΩA

Ecuación 1.22

donde, Irms = corriente efectiva (rms) en los terminales de la antena. Erms = campo eléctrico efectivo a una distancia r de la antena. ________________________________________________________________________ Ejercicio: El patrón de campo de una antena varía con ángulo cenit (elevación) θ como sigue, En = 1.0 0° < θ <30°

= 0 30° <θ<90° = 1/3 90° <θ<180°

El patrón es independiente del ángulo azimut (ø). (a) Halle la directividad D, (b) Si el campo a una distancia de 200 m en la dirección del lóbulo principal es de 8V/m (rms) con una corriente de terminales de I = 4 A (rms), halle la resistencia de radiación. [Respuestas: D =8.16 (= 9dB), Rr =653Ω]


14

NOTE: La cartelera de Smith [Smith Chart] se usa para trazar el comportamiento de una antena con frecuencia. Se grafica su SWR dentro de su banda de operación. Lo ideal es que permanezca cerca del centro del Smith Chart. 1.16 "FRIIS TRANSMISSION FORMULA" La ecuación de transmisión de Friis nos dice cuánto será la potencia recibida desde una antena a otra (presumiendo que están alineadas y apareadas en polarización). Esta ecuación se aplica a cualquier sistema de comunicación, ya sea una antena de satélite transmitiendo imágenes de televisión a una antena terrestre, un teléfono inalámbrico comunicándose con su base, una transmisión entre un teléfono celular y la célula central, o cualquier otro sistema.

rt

Transmisor Receptor

P

Figura 1.10 Sistema de comunicación básico

La densidad de potencia por área que llega a la antena receptora es, Sr = Gt Pt / 4π r2 La potencia total que es captada por la antena es, Pr = Sr Ar y usando Aet = λ2 Gt / 4π para la antena que transmite, resulta en: Pr = Pt At Ar / r2 λ2 o usando Aer = λ2 Gr / 4π para la antena receptora, tenemos:


15

Pr = Pt GtGr λ2 / (4πr)2 [Watts]

Pr = Pt Gt Gr λ 2

2(4πr)

Ecuación 1.23

La ecuación anterior se conoce como la ecuación de Friis o de transmisión. La misma debe ser modificada en caso de que las antenas no estén alineadas, en cuyo caso se sustituye Gr por G(θr,ør) y Gt por G(θt,øt).

t

Transmisor

Receptor

P (0 ,ø )r r_

(0 ,ø )t t-

Figura 1.11 Concepto más general de un sistema de comunicación.

Si tampoco están apareadas en polarización; se multiplica la expresión por el "polarization loss factor", (PLF), el cual estudiaremos en el próximo capítulo. Además, si las antenas no están apareadas a la línea de transmisión, ocurren reflexiones que se toman en cuenta con el factor de reflexión en la carga (antena). Entonces la expresión general de la ecuación de Friis queda de forma,

Pr = PLF 1− Γr2⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ 1− Γ t

2⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ Pt

Gt(θt ,φt )Gr(θr ,φr )λ 22(4πr)

Ecuación 1.24

1.17 ECUACIÓN DEL RADAR ("RADAR RANGE ECUACIÓN") (RADAR – “RAdio Detection And Ranging”). Esta ecuación se utiliza cuando la potencia transmitida incide en un objeto (target) y luego parte de ella es reflejada por el objeto y luego recibida por una antena receptora. Los radares se utilizan para estudiar objetos naturales (e. g. huracanes, corales, nubes, vegetación, planetas, ionosfera, tumores, etc.) y objetos hechos por los humanos (e. g. aviones, carros, edificios, objetos enterrados, etc.)


16

Transmisor

Receptor

r

r

1

2

Figura 1.12 Ejemplo de un sistema de radar bistático

La densidad de potencia que incide en el blanco, ("target") es,

Sinc =GtPt

4π r12

Ecuación 1.25

La habilidad del objeto o "target" de reflejar energía de vuelta hacia el radar se describe en términos de σ (sigma). El σ se conoce como el "target’s radar backscattering cross section". Es una propiedad del objeto ("target") y depende del área seccional del mismo y de otros factores como el material y la frecuencia de operación. Se define como el área que intercepta una cantidad de potencia tal que si se irradia isotrópicamente produce en el receptor una densidad igual a la que refleja el verdadero objeto. Entonces, la potencia incidente en el objeto es de Pinc = σ Sinc La densidad de potencia reflejada ("scattered") a una distancia r del objeto está dada por,

22

22 44 r

SrPS incinc

scat πσ

π==

La potencia recibida es Pr = Sscat Aer Para un radar que utiliza una misma antena para transmitir y recibir (i.e. un radar monostático), la ecuación del radar se reduce a


17

Pr = Pt Gt Gr λ 2 σ3(4π) r12r2

2 (para un radar monostático Gt = Gr, r1 = r2)

Ecuación 1.26

Si tomamos en cuenta la el efecto de no aparear las impedancias de las antenas a las líneas de transmisión del recibidor y el transmisor, entonces quedaría,

Pr = Pt Gt Gr λ 2 σ3(4π) r12r2

2 1− Γr2( )1− Γ t

2( ) Ecuación 1.27

La ecuación del radar, por lo tanto nos dice cuánto es la magnitud de la potencia que rebota de un blanco que está siendo observado y/o estudiado por el radar. La onda que regresa trae información acerca del "target". Esta onda varía como función de frecuencia de operación, de la polarización de las antenas de Rx y Tx, de la geometría de objeto y del ángulo de incidencia. En adición a esto, la respuesta depende de si el objeto está o no en movimiento relativo con respecto al radar. En este caso la frecuencia de la onda que se recibe es distinta a la frecuencia transmitida. La relación entre ambas se conoce como el efecto Doppler y su aplicación más común es en los radares de policías.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

cvff r

rec2

1 Ecuación 1.28

La ecuación anterior muestra la frecuencia recibida, frec, como función de la frecuencia transmitida, f, la velocidad radial del objeto, v, y la velocidad de la luz, c. Cuando el blanco se está alejando (acercando) con respecto al radar se usa el signo negativo (positivo).

Figura 1.13 Concepto del cambio en frecuencia percibida conocido como efecto Doppler.

Frentes de la onda de sonido = esferas de fase constante


18

EJERCICIOS:

1. Dos satélites están separados por 5000 km. Ambos se comunican con microondas de 2GHz usando antenas con ganancias de 22dB. Halle la potencia de transmisión requerida para el satélite transmisor, si el satélite receptor requiere una potencia mínima de 15dB por encima de 1 pW. Respuesta: Pr = 31.6 pW, Pt = 220.7 W.

2. Halle la potencia máxima recibida en un sistema de antenas separadas por 2 km operando a 3GHz, donde la antena transmisora tiene una entrada de 200 W con una ganancia de 18 dB y la ganancia de la antena receptora es 25 dB. Respuesta: Pr = -12 dBm.

3. Medir el patrón de la antena del Observatorio de Arecibo puede ser un gran problema. Supongamos que para medirlo, usted vuela sobre el rayo (beam) a 30,000 m en un avión al cual se le ha incorporado una antena receptora pequeña en su plataforma inferior. ¿A qué frecuencia deberá operarse el radar para obtener resultados precisos? El radar de Arecibo opera entre frecuencias de 25MHz a 2.5GHz y el plato de su antena primaria tiene un diámetro de 305m. [Respuesta: f=48MHz]

4. La Tierra recibe del Sol una densidad de potencia de 1539 W/m2. Si consideramos al Sol como una fuente isotrópica, cuánto es su potencia de transmisión. La distancia del Sol a la Tierra es de 1.49 x 1011 m. tiene un diámetro de 305m. Discuta qué problemas enfrentará. Respuesta: P = 4.29 x 1026 W.

5. Calcule la directividad de una antena cuya intensidad de radiación, U, es, (a) cos θ 0<θ <π/2, 0<φ<2π (b) 2 sin θ sin3 ø 0<θ <π ,0<ø<π (c) 4 sin θ sin3 ø 0<θ <π , 0<ø<π (d) 5 sin 2θ sin3 ø 0<θ <π ,0 0<ø<π Respuesta: (a) 4, (b) 6, (c) 6, (d) 7.07. 12.

6. Un receptor de un radar tiene una sensitividad de 10-12 W. Si el área efectiva de la antena es 1 m2 y el largo de onda es de 10 cm, halle la potencia de transmisión necesaria para detectar un objeto con un "radar cross section" de 5 m2 a una distancia de 1 km. Respuesta: Pt = 25 mW

7. En el problema anterior, presumiendo que la ganancia no cambia ¿cuánto sería la potencia de transmisión requerida si el largo de onda fuera de 5 cm? Respuesta: Pt = 100 mW.

8. En el problema anterior, si la antena no estuviese apareada a la línea de transmisión, ocurrirían pérdidas por reflexión y la potencia recibida debe ser multiplicada por un factor de (1-|ρr|

2)(1-|ρt|2), donde ρr (ρt) es el coeficiente de

reflexión en la antena del receptor (transmisor). Si se usa una línea con Zo = 50Ω y la antena tiene una resistencia de radiación de 73 Ω, recalcule la potencia de transmisión. Respuesta: Pt = 93.13 mW.

CAPITULO 2 2 POLARIZACION

La polarización de una antena se define según la polarización de la onda electromagnética que transmite (o recibe) en dirección de máxima radiación. Es decir, si la antena emite ondas polarizadas horizontalmente, se dice que la antena es de polarización lineal horizontal. Los tipos básicos de polarización son lineal (LP), circular (CP) y elíptica (EP). Variaciones a éstos son lineal a 45°, elíptica vertical de distintos anchos, y, en general, un número infinito de posibilidades. En la práctica, la polarización varía alrededor del patrón, o sea que puede que en la dirección del lóbulo principal sea LP y en otra dirección, (θ, ø), sea elíptica. Algunos ejemplos de antenas y sus respectivas polarizaciones son, ?Antena piramidal rectangular - sólo produce o recibe LP. ?Antena piramidal circular - puede teóricamente producir y recibir ondas con cualquier tipo de polarización. 2.1 APLICACIONES • Calibración de radares polarimétricos. Se utiliza un blanco u objeto ("target") con una

respuesta conocida. • Evitar distorsión debido a la lluvia o "rain clutter" para detectar aviones y otros objetos

a través de la lluvia. Esto es posible debido a que las gotas de lluvia por su geometría cuasi-esférica reflejan las ondas polarizadas de manera muy distinta a una superficie metálica plana. Por ejemplo si transmitimos ondas circulares derechas (RCP), las ondas reflejadas por el avión serán también RCP, mientras que las gotas reflejarán ondas circulares izquierdas, LCP.

• Provee más información acerca del blanco, (e.g., de su simetría). Esto se conoce como "polarization discrimination". Este principio se usa para desarrollar mapas aéreos ("aerial mapping") y percepción remota.

• Aumenta el número de canales de comunicación vía satélite disponibles en la órbita geoestacionaria, debido al uso de polarizaciones ortogonales (e.g. vertical - horizontal) para transmitir y recibir información en antenas adyacentes.

POLARIZACIONPOLARIZACION

20

2.2 POLARIZACIÓN Se define como el rastro trazado por el vector del campo eléctrico, E, a lo largo del tiempo, en un sitio fijo, visto desde atrás (IEEE). [Nota: La definición usada en Física es opuesta a la definición de la IEEE, es decir, que una onda RCP según la IEEE, es LCP según la definición usada en física y astronomía). Una antena espiral (“helix”) enrollada de forma “clockwise” (levógira), transmite y recibe ondas polarizadas RCP según la definición de la IEEE.] La luz natural en su estado natural no está polarizada, o sea, su vector E, varía de forma aleatoria en todas direcciones. Sin embargo, si se pasa un rayo de sol a través de un lente polarizador vertical, se filtran todos los componentes de su campo eléctrico, dejando pasar sólo el componente vertical. En este caso, queda la luz completamente polarizada con polarización vertical, VP. A continuación se presenta la teoría de ondas electromagnéticas polarizadas completamente. En general, para una onda plana completamente polarizada viajando en el eje de z, el campo eléctrico es de forma; E = Ex x + Ey y V/m

Ecuación 2.1

donde,

)cos()cos(

2

1

δβω

βω

+−=

−=

ztEEztEE

y

x

y δ = ángulo de desfasamiento.

Ecuación 2.2

En general, una onda completamente polarizada es elíptica. Las polarizaciones lineales, circular derecha, etc. se derivan como casos especiales de ésta. Examinemos algunos casos. 2.3 POLARIZACIÓN LINEAL (LP) • Vertical (VP)

)cos(0

2 ztEEE

y

x

βω −=

= => en forma fasorial: zj

y

x

eEEE

β−=

=

2

0


21

Ecuación 2.3

y

x

VISTA FRONTAL

E

-E

E

y

z

VISTA LATERAL

Polarización Lineal Vertical

22

2

• Figura 2.1 Polarización Lineal Vertical

Horizontal (HP)

0)cos(1

=

−=

y

x

EztEE βω

=> En forma de fasor: 01

=

= −

y

zjx

EeEE β

Ecuación 2.4

• Lineal a 45° (δ = 0 , E1 = E2)

}Re{)cos(

}Re{)cos(

12

11zjtj

y

zjtjx

eeEztEEeeEztEE

βω

βω

βω

βω−

−

=−=

=−= => En fasores:

zjy

zjx

eEEeEE

β

β

−

−

=

=

2

1

Ecuación 2.5

2.4 POLARIZACIÓN CIRCULAR (CP) (E1 = E2 y δ = ±90°) • Circular derecha (RCP, "right hand circular"), δ = -90°

}Re{)90cos(

}Re{)cos(90ojzjtj

oo

oy

zjtjoox

eeeEztEE

eeEztEE−−

−

=−−=

=−=βω

βω

βω

βω => En fasores:

zjoy

zjox

ejEEeEE

β

β

−

−

−=

=

So )ˆˆ(ˆˆˆˆ yjxeEeEyjxeEyExEE zj

ozj

ozj

oyxRHC −=−=+= −−− βββ

Ecuación 2.6


22

Vista desde atrás, gira en dirección de las manecillas del reloj (levógiramente o

"clockwise", CW). Se puede demostrar que el campo eléctrico de una onda RCP en

forma fasorial Una onda polarizada LCP siempre tiene el factor x-jy.

• Circular izquierda (LCP, "left hand circular"), δ = +90°

}Re{)90cos(

}Re{)cos(90ojzjtj

oo

oy

zjtjoox

eeeEztEE

eeEztEEβω

βω

βω

βω−

−

=+−=

=−=

En forma de fasor,

)ˆˆ(ˆˆ

ˆˆ

yjxeEeEyjxeE

yExEEzj

ozj

ozj

o

yxRHC

+=+=

+=−−− βββ

Ecuación 2.7

Una onda polarizada LCP siempre tiene el factor x+jy. 2.5 CASO GENERAL- (ELIPSE) Tenemos una elipse (EP) si, • δ ≠ 0 y E1 ≠ E , (no es lineal) ó • δ ≠ ±90° ó 0° y E1 = E2 (no es circular) Entonces, )sin(1 ztEEx βω −= o zjj

x eeEE βπ −−= 2/1

)sin(2 δβω +−= ztEEy o δπβ jjzjy eeeEE 2/

2−−=

y E = Ex x + Ey y, es el campo total instantáneo. Ecuación 2.8

Sin restar generalidad, examinaremos el campo en z=0. En este caso,

E = x E1sin(ωt) + y E2 sin(ωt + δ) Tomando cada componente aparte,

( )δωδωδω sincoscossin)sin( 22 ttEtEEy +=+= Ecuación 2.9 )sin(1 tEEx ω=

? )sin(1

tEEx ω= Ecuación 2.10

Usando la identidad trigonométrica, cos(ωt) = 1− 2sin ωt , y la ecuación anterior, se obtiene que,


23

cosωt = 1− 2sin ωt = 1−2( xE

1E) Ecuación 2.11

Sustituyendo (2.10) y (2.11) en (2.9); se halla,

yE2E= xE

1Ecosδ + 1−

2( xE1E) sinδ

Re-arreglando se obtiene,

yE2E− xE

1Ecosδ = 1−

2( xE1E) sinδ

y cuadrando, queda;

2( xE

1E) −

2 xE yE cosδ1E 2E

+2( yE

2E) = 2sin δ

Ecuación 2.12

La ecuación anterior es la ecuación general de una elipse, 2xaE − b xE yE 2

y+cE = 1, lo

cual comprueba que en el caso general, la polarización de una onda completamente polarizada traza la forma de una elipse. En nuestro caso,

a =1

21E 2sin δ

b = 2cosδ1E 2E 2sin δ

c = 122E 2sin δ

2.6 PARÁMEROS DE LA ELIPSE La siguiente figura muestra una elipse la cual se suele describir con los siguientes parámetros,

• "Axial ratio" o proporción axial - Se define como la división entre el eje más largo y el más corto.

AR = OA / OB Figura 2.2 Elipse mostrando el trazo

onda polarizada elípticamente

Su valor fluctúa entre uno (AR = 1 para CP) e infinito (AR = ∞ para LP). • Angulo de orientación, τ - define la orientación desde el eje x, (la horizontal).

x

y

E1

E2 A

B O

τ

ε


24

Ej. τ = 90° para orientación vertical • Angulo de elipticidad, ε - define cuán abierta o cerrada es la elipse. Por ejemplo, ε = o° para lineal, ε = +45° para LCP,y ε = -45° para RCP. Los ángulos que definen la relación entre los componentes x y y de E son: • δ - fase entre Ex y Ey • γ = tan-1 (E2 / E1)

El estado de polarización de una onda completamente polarizada se puede describir completamente por cualquiera de los dos pares de ángulos que siguen, (ε, τ) o (γ, δ). Ambos pares se relacionan por las siguientes ecuaciones,

tan 2τ = tan 2γ cosδ sin 2ε = sin 2γ sin δ cot |ε| = AR

Una antena que transmite CP es una antena CP. Un ejemplo lo es la antena espiral o "helix" en modo axial enrollada hacia la derecha (levógira). La misma transmite y recibe ondas de polarización circular derecha, RHC, según la definición de la IEEE. La antena hélice se verá con más detalle en el capítulo 5. 2.7 "POLARIZATION LOSS FACTOR" Cuando ondas de polarización lineal vertical, VP, llegan a una antena VP sin pérdidas, la antena puede recibir la señal en su totalidad. En cambio, si la onda que llega es de polarización HP, la antena no recibirá nada debido a que ambas polarizaciones son ortogonales entre sí. En general, si la polarización de la onda incidente no es ni HP ni VP, la antena recibirá sólo una parte de la señal. Para determinar qué fracción de la onda se recibe tenemos que comparar la polarización de la antena y la de la señal incidente. Pero antes debemos definir el vector de polarización normalizado de una onda y/o de una antena, ρ. Este se define como el fasor que describe el campo eléctrico normalizado a su magnitud, o sea,


25

ρ = E / |E| Ecuación 2.13

Entonces, el factor de pérdidas por polarización, PLF, se obtiene de,

2*rtPLF ρρ ⋅=

Ecuación 2.14

donde, ρ t = el vector de polarización de la onda incidente (transmitida) ρ r = el vector de polarización de la antena receptora

La figura arriba muestra posibles estados de polarización según varían los parámetros de la elipse. ________________________________________________________________

Ejemplo: Una onda electromagnética con polarización lineal a 45° incide en una antena espiral derecha. Determine las pérdidas en recepción debido a la diferencia en polarización ("polarization mismatch").


26

Solución: Los vectores de polarización normalizados para la onda incidente y para la antena son,

2yx +

=iρ para LP45°

y 2yx j

A−

=ρ para RCP

Entonces, el "polarization loss factor" es,

( )21

22

21

222*

2

22

==−

=+

⋅+

=−

⋅+

=jjjPLF yxyxyxyx

PLF = x + y2

•x + jy2

2

=21+ j

2=

222

=12

Esto quiere decir que en este caso se recibe un 50% de la onda incidente, lo cual es bastante bajo.

______________________________________________

Ejercicio: Demuestre que una antena de polarización RCP no puede recibir una onda con polarización LCP debido a que son transversales entre sí. Solución: Los vectores de polarización normalizados para la onda incidente y para la antena son,

2yx j

i+

=ρ para onda LCP

y 2yx j

A−

=ρ para antena RCP

Entonces, el factor de pérdidas de polarización es,

020

21

222*)(

2

222

==+

=+

⋅+

=−

⋅+

=jjjjjPLF yxyxyxyx

Lo cual demuestra que una antena RCP no recibe energía de una antena LCP.

EJERCICIOS:

1. Una señal electromagnética enviada desde el espacio con vector de polarización de 3x + 4y debe ser captada en la Tierra. ¿Cuál de las siguientes antenas estará mejor acoplada en


27

polarización con la señal; una antena hélice derecha (ρr = (x - jy)/(√2) ) o una antena parabólica con alimentador de guía de onda (ρr = x)? Halle el factor de pérdidas polarización (PLF) para cada caso. Respuesta: PLFhelix= 0.5, PLFparabola = 0.36, por lo tanto, debe usar la antena hélice.

2. Halle el área efectiva máxima de una antena con directividad de 500 que opera a 1.5 GHz. Si la antena tiene una ganancia de 26 dB, ¿cuánto debe ser la potencia que llega a sus terminales, para que irradie una potencia de 100 vatios? Respuesta: Aem = 1.59 m2, Pin = 126.0 Ω.

3. Si la potencia recibida en una antena es -12dBm sin tomar en cuenta la polarización de las antenas, pero las antenas receptora y transmisora tienen las siguientes polarizaciones, halle la verdadera potencia recibida. (a) horizontal, vertical (b) horizontal, circular derecha (c) vertical, vertical (d) vertical, elíptica con δ=30° y γ = 15° (e) horizontal, elíptica con δ=30° y γ= 15° (f) trace la elipse de la polarización transmisora en la parte (d) y (e). Respuesta (a) PLF=0, Pr = 0W, (b) PLF = 0.5, Pr = -15 dBm, (c) PLF = 1.0, Pr = -12 dBm, (d) ρa= y, ρ i = ρ elip= 0.97 x + 0.26 ej30° y, PLF = 0.07, Pr = -24 dBm, (e) ρa= x, PLF = 0.94 (-0.26dB), Pr = -12.26 dBm, (f) τ = 13.28° y ε= 8.39°, es una elipse bien delgada y orientada casi paralela con el eje horizontal, por lo tanto se espera que la antena horizontal reciba mucho más que la vertical..

4. Dos antenas lineales transmiten ondas a una tercera antena receptora localizada en el “far field” de las primeras dos. Las ondas transmitidas producen los siguientes campos eléctricos al frente de la antena receptora, vistos desde atrás. Ex = 0.15 sin (ωt - 32°) Ey = 0.05 sin (ωt + 43°) Para la onda resultante, (a) Halle los ángulos de elipticidad y orientación (b) Halle el "axial ratio" (c) Determine el sentido de orientación; derecha, o izquierda. Respuesta: (a) τ= 5.5°, ε= +17.7°, (b) AR = 3.1, (c) izquierda, LHEP.

5. Una onda viajando hacia adentro de la página, es la resultante entre dos ondas circulares, Er1 = 7 ej

ωt y Er2 = 3 e-j(

ωt-90°) V/m. Halle (a) AR, (b) los ángulos de elipticidad y (c) de

orientación y (d) el sentido de rotación resultante. Respuestas: (a) AR=2.5, (b) ε= + 21.8°, (c) τ= 45°, (d) CCW, LHEP.

CAPITULO 3 3 ANTENA DIPOLO

3.1 LAS ECUACIONES DE MAXWELL Y LA ECUACIÓN DE

ONDA Las ecuaciones de Maxwell en el dominio del tiempo son,

∇ × H =∂D∂t

+ J (Ampére) Ecuación 3.1

∇ × E = − ∂B∂t

(Faraday) Ecuación 3.2

∇⋅ B = 0 (Gauss) Ecuación 3.3

∇⋅ D= ρ (Gauss) Ecuación 3.4

Las relaciones de continuidad son, D= εE Ecuación 3.5

B =µH Ecuación 3.6

∇⋅ J = − ∂ρ∂ t

Ecuación 3.7

áreapor corriente de densidad m1 2 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω

=mA

mVEJ σ

Ecuación 3.8

El potencial magnético vectorial, A, se define con el rotacional de B. A es un potencial auxiliar, se introduce meramente como herramienta matemática para que sea más simple el hallar E y H de la fuente (J). Para definirlo completamente, tengo que establecer su divergencia. Esto lo haremos más adelante. B =∇× A = µH Ecuación 3.9

Usando Ecuación (3.2),

∇ × E = −∂∂ t

∇ × A( ) = −∇×∂∂ tA⎛

⎝ ⎞ ⎠

ó

∇ × E +∂A∂ t

⎛ ⎝

⎞ ⎠

= 0

ANTENA ANTENA DIPOLODIPOLO

29

Aplico la identidad vectorial,∇×∇φ = 0, (el rotacional de la divergencia de un escalar es igual a cero), y defino Φ como el potencial escalar eléctrico. Entonces,

E + ∂A∂t

= −∇Φ Ecuación 3.10

Por otro lado, usando (3.1) y las relaciones de continuidad, se obtiene,

∇ ×Bµ= ε

∂E∂ t

+ J

En la ecuación anterior se pueden utilizar las expresiones halladas para B y E en términos de A de las ecuaciones (3.9) y (3.10), y se halla,

∇ ×∇ × A( )

µ= J + ε

∂∂t

−∇Φ −∂A∂ t

⎛ ⎝

⎞ ⎠

Si ahora uso otra identidad vectorial, [∇×∇× A = ∇ ∇ ⋅A( )−∇2A], se obtiene,

1µ∇ ∇⋅A( )− ∇2A[ ]= J − ε ∂∇Φ

∂ t− ε

2∂ A∂ 2t

Multiplico por µ y rearreglo,

∇ ∇⋅ A( )+ µε∇ ∂Φ∂t

=∇2A − µε2∂ A∂ 2t

+ µJ Ecuación 3.11

Hasta el momento A está sólo medianamente definido. Ahora digo además cuál es su divergencia, y así queda definido completamente. Esto es análogo a decir que A es perpendicular a B, o sea que es un vector en cualquier dirección en un plano perpendicular a B. Necesito además decir que es paralelo a algo para definir en una posición única en el espacio. Para simplificar (3.11), se escoge:

∇⋅ A( ) = −µε ∂Φ∂ t

(Condición de Lorentz)

Usando esta condición, la ecuación (3.11) se reduce a la Ecuación de Onda;

∇2A − µε2∂ A∂ 2t

= −µJ

(J es la densidad de corriente de una fuente de corriente.)


30

Lo cual comprueba que las ecuaciones de Maxwell describen el comportamiento de ondas. Toda onda electromagnética deberá satisfacer estas cuatro ecuaciones. Si despejamos para Φ en lugar de A, de la ecuación (3.4) se halla, ∇⋅ E =

ρε

Usando de nuevo la ecuación (3.10),

∇⋅ −∇Φ−∂A∂ t

⎛ ⎝

⎞ ⎠

=ρε

2−∇ Φ −∂ ∇⋅A( )∂t

=ρε

Usando la condición de Lorentz,

− 2∇ Φ +∂∂ t

µε∂Φ∂ t

⎛ ⎝

⎞ ⎠

=ρε

y rearreglando,

2∇ Φ − µε∂2Φ∂t2

= −ρε

(Ecuación de Onda) Ecuación 3.12

Para campos armónicos, se puede simplificar las operaciones matemáticas utilizando

fasores, en cuyo caso la dependencia en tiempo, ∂∂ t

, se transforma en jω. Entonces, las

ecuaciones de onda lucirían de forma;

2∇ A + k 2A = −µJ Ecuación 3.13

donde εµω 22 =k .

3.2 VECTOR POYNTING El vector Poynting, S, indica la densidad de potencia por unidad de área en una onda electromagnética. El vector Poynting complejo se define como, S= 1/2 E x H* y el vector Poynting promedio es, Save= 1/2 Re(E x H*)

Ecuación 3.14


31

Para una onda plana (en el plano xy), completamente polarizada y propagándose en dirección de +z, en general los componentes del campo eléctrico serán, E = x Ex + y Ey donde,

Ex = E1e

j ωt−βz( )

Ey = E2ej ωt−βz+δ( )

H

La dirección del vector Poynting apunta a la direccón de propagación de la onda plana.

E

S= ExH*Vector Poynting

Onda plana

Figura 3.1 Onda Plana

y el campo magnético correspondiente será, H = x Hx + y Hy

H* = x Hx*+ y Hy*

donde,

Hx = −H2ej ωt−βz+δ −ξ( )

Hy = H1ej ωt−βz−ξ( )

donde ξ es el ángulo de desfase entre el campo eléctrico y el magnético y es igual al

ángulo de la impedancia intrínseca del medio ξηη je= .

Entonces, el "Poynting vector" promedio se puede obtener como, Save= 1/2 Re[(xEx +yEy) x (xHx

*+yHy*)]

de esta expresión sobrevive sólo el componente en z, Save= 1/2 Re[(Ex Hy

*-EyHx*)] z

Sustituyendo los componentes, se obtiene, Save= 1/2 z (E1 H1 +E2H2 )cos ξ W/m2


32

Observe que no depende del ángulo de desfasamiento δ entre los componentes del campo eléctrico. En medios sin pérdidas, ξ=0, y entonces 11 HE oη= y 22 HE oη= . Entonces,

la densidad de potencia promedio es Save =

12

Ù z E12+ E2

2( )/ Zo

ó Save =12

E 2

Zo

Ù z [W/m2]

Ecuación 3.15

donde, E = E1

2+ E2

2 .

E es el módulo del campo eléctrico promedio medido en V/m. El vector Poynting promedio nos indica cuánta potencia por área lleva la onda. 3.3 DIPOLO INFINITESIMAL Estudiaremos el caso de un dipolo infinitesimal, conocido también como elemento de dipolo o dipolo Hertziano, con distribución uniforme de corriente. Podemos imaginarnos que este elemento de dipolo está haciendo las veces de una antena infinitesimal alimentada con una corriente uniforme a través de todo su largo, la cual, por consiguiente, irradia ondas electromagnéticas al espacio. Queremos determinar cuánto será el campo irradiado por un elemento así, a una distancia r del mismo, y en toda dirección (θ, ø) alrededor de él. En este caso, J = Jz z.

Figura 3.2 Dipolo Infinitesimal

La ecuación de onda para este caso, queda, ),,(22 zyxJAkA zozz µ−=+∇


33

ó )()(22 yxIAkA oozz δδµ−=+∇ Ecuación 3.16

Al resolver por Az, se presume la solución más simple, Az = Az(r). Usando las siguientes relaciones vectoriales, en coordenadas esféricas,

φθ

φθ

θ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

AAAAsin1ˆ1ˆˆ

rrr

( ) ( )φθ

θθθ

φθ ∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=⋅∇

Fr

Fr

Frrr

F z sin1sin

sin11 2

2

y ( )AA ∇⋅∇=∇2

se puede demostrar que,

2∇ Az r( ) =1rd2

dr2rAz( )

Sustituyendo en la ecuación (3.16), fuera de la fuente (dipolo), se obtiene,

1rd2

dr2rAz( )+ k2Az = 0

ó d2

dr 2rAz( )+ k2 rAz( )= 0

Ecuación 3.17

La ecuación diferencial anterior tiene una solución general conocida, la cual es de forma, r Az(r) = c1 ejkr + c

2 e-jkr

Ahora aplicamos ciertas condiciones conocidas acerca del problema en cuestión, para hallar las constantes c1 y c2. Para comenzar, observamos que si la onda viaja hacia afuera de la fuente, esto implica que c1 debe ser igual a cero. Entonces se obtiene,

jkrz ecrAr −= 2)(

Ecuación 3.18

Para determinar cuánto es c2, examinemos qué pasa cerca de la fuente. En este caso k tiende a cero (k→0), y la Ecuación 3.18 se simplifica a,

Az (r) =c2 / r Ecuación 3.19

y la ecuación de onda es entonces, 2∇ Az = −µJz x, y, z( )


34

ó ∇2Az =∇ ⋅∇Az = −µIoδ x( )δ y( ) Si integramos el volumen en el espacio alrededor del dipolo; ∇ ⋅∇Az∫∫∫ dv = −µIo δ x( )δ y( )dxdydz∫∫∫

y utilizando el teorema de la divergencia en el lado izquierdo de la igualdad, ∇Az∫∫ ⋅ dS = −µIoΔz

donde, dS = r2 sin θ dθ dø = elemento de área de superficie. Integrando se halla;

zIdrdArddr

drdA

oo

zz

Δ−=

=∫∫µ

πφθθ

4sin 22

Ecuación 3.20

Despejando en la ecuación anterior por la derivada de Az, se obtiene

24 rzI

drdA ooz

πµ Δ

−=

y si comparamos con la derivada de la ecuación (3.19), obtenemos, dAz

dr=−c2r2

Comparando ambas, hallamos el valor de c2, c2 =

µIoΔz4π

Entonces,

jkrooz e

rzI

rA −Δ=

πµ4

)(

Ya tenemos el potencial vectorial magnético, ahora podemos determinar H y E a cualquier distancia r del dipolo. Y si conocemos H y E podemos determinar el patrón de irradiación del dipolo infinitesimal. Para hacerlo usamos las ecuaciones de Maxwell. Comenzamos con,


35

H =1µ∇× A = 1

µ∇× Azz

Usando la siguiente identidad vectorial, ∇× fG = ∇f ×G+ f ∇×G( ); tenemos,

∇× Azz( ) =∇Az × z + Az ∇× z( )

=∇Az × z

Entonces,

H =

1µ∇Az × z( ) = 1

µ∂∂rAz (r)r × z

$

%&'

() Ecuación 3.21

De las tablas, r × z Ù r × Ù z = − Ù φ sinθ

Figura 3.3 Diagrama que muestra r x z

Sustituyendo,

H = −1µ∂Az r( )∂r

Ù φ sinθ = HφÙ φ H = −

1µ∂Az (r)∂r

φ sinθ#

$%&

'(= Hφφ

donde, luego de operar se halla,

Hϕ =Iol4π

jkr+1r2

!

"#$

%&e− jkr sinθ Ecuación 3.22

Como se observa de la expresión anterior, la intensidad del campo magnético, H, no es isotrópica, sino que depende de θ. Además disminuye a medida que r aumenta. Note que sólo existe componente en ø para el campo magnético. Ahora tenemos que hallar la intensidad del campo eléctrico, E, en un punto r desde la fuente, a partir de H. Veamos la ecuación de la ley de Ampére lejos de la fuente (J=0).


36

Et

H∂∂

=×∇ε

Para campos armónicos, se puede reescribir como; jωεE = ∇× H Lo primero que debemos hacer es buscar el rotacional en coordenadas esféricas y sustituir Hr = 0 y Hθ = 0. Usando la siguiente relación vectorial cambiamos la ley de Ampére a coordenadas esféricas,

∇ × A = Ù r 1

rsinθ∂∂θ

Aφ sinθ( )− ∂Aθ

∂φ

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ +

Ù θ r

1sinθ

∂Ar

∂φ−∂∂r

rAφ( )⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ + Ù φ

1r

∂∂r

rAθ( )− ∂Ar

∂θ⎛ ⎝

⎞ ⎠

obtenemos,

jωεE =

Ù r rsinθ

∂∂θ

Hφ sinθ( )−Ù θ r∂∂r

rHφ( )= jωε Er Ù r + Eθ

Ù θ ( ) Ecuación 3.23

Resolviendo cada componente del campo eléctrico aparte; • Componente radial, Er;

jωεEr =1

rsinθ∂∂θ

Hφ sinθ( )

ó jωεEr =1

rsinθIol4π

jkr−1r2

⎡ ⎣

⎤ ⎦ e− jkr 2sinθ cosθ

lo cual resulta en,

θωε

εµπ

cos1/2 32

jkror e

rjrlI

E −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+= Ecuación 3.24

Nótese que este componente es pequeño para valores grandes de r. • Componente azimut, Eq;

( )φθωε rHrr

Ej∂

∂−=1


37

de donde se obtiene,

Eθ =jIol

4πωεrk2 − jk

r−1r 2

⎡ ⎣

⎤ ⎦ e− jkr sin θ

pero como k 2 =ω 2µε,

θωε

εµµωπθ sin1/4 32

jkro erjrr

jlIE −

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++= Ecuación 3.25

En resumen, ya conocemos los componentes del campo electromagnético producido por el elemento de dipolo a una distancia r. Vemos que sólo existen los componentes, Hø, Er y Eq dados por las ecuaciones (3.22), (24) y (25). De estas ecuaciones debemos notar que; • Estas soluciones son exactas, no son los primeros términos de una serie. • Er decae más rápidamente que Eθ y Hø , según se alejan de la fuente.

3.3.1 Campos en el "Far field"

¿Cómo son los campos irradiados por un dipolo Hertziano a una distancia bastante grande de la fuente? Para r grande, se pueden despreciar los términos con r-2 y r-3. En este caso las ecs. (22), (24) y (25), se simplifican a,

Er ≅ 0

Eθ ≅Iol4π

jωµ e− jkr

rsinθ

Hφ ≅Iol4π

jk e− jkr

rsinθ

Ecuación 3.26

Nótese que esto es similar a ondas planas en forma esférica. En el "far field", Eθ = η Hø donde η = µ / ε es la impedancia intrínseca del medio. Además, se observa

que el patrón de un dipolo infinitesimal es proporcional a sinθ (patrón de campo) o sin2θ (patrón de potencia).

3.3.2 Vector Poynting para un dipolo infinitesimal

El vector Poynting, o de potencia compleja se define como,


38

S = 1

2E ×H *

=12EθHϕ

*r −ErHϕ*θ#

$%&

La potencia total irradiada por la antena (dipolo Hertziano) es;

dAS

ddrHEAdSP

r∫∫

∫ ∫∫∫

=

=⋅= φθθππ

φθ sin21 22

0 0

*

donde, Sr es el componente radial de S, y para este caso es;

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

=

=

3222

2

2

*

1/1sin32

21

rjrrj

rrjklI

HES

o

r

ωε

εµωµθ

π

φθ

Ecuación 3.27

lo cual, luego de varias manipulaciones, se reduce a,

( )θη

λ2

322

2

sin118 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=krj

rlI

S or

Integramos para obtener la potencia total,

P = dφ Srr2 sinθdθ

0

π

∫0

2π

∫

y se obtiene,

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡−= 3

2

13 kr

jlIP o

ληπ

Ecuación 3.28

parte de la cual es real y parte es almacenada. Comparamos con, P =

12Io2Z

para hallar la impedancia de la antena;

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= 3

2

132

krjlZ

λη

π Ω

Ecuación 3.29

La resistencia de radiación se halla de,


39

Rrad = Re Z( )=2π3η

lλ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

ó Rrad = 80π 2 lλ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

en el vacío.

Ecuación 3.30

3.4 DIPOLO LARGO El dipolo largo sí tiene aplicaciones prácticas como antena. Para analizarla y poder determinar su patrón, éste se considera como una suma de elementos del dipolo infinitesimal antes visto.

l/2

-l/2

z'

dz' --

R

r

Punto de observación

DIPOLO LARGO

Figura 3.4 Geometría para análisis del Dipolo largo

En este caso tenemos,

dAz =µI z'( )dz' e− jkR

4πR

donde, R = distancia desde la fuente al punto de observación I(z') = distribución de la corriente en el dipolo. (ya no es uniforme) ( θ, ø, r ) = coordenadas desde el origen al punto de observación ( θ', ø', r' ) = coordenadas desde el origen a la fuente. Usando la ley de cosenos;

R = r2 − 2rz' cosθ + z' 2 = r 1− 2z'rcosθ + z'

2

r 2

y con la aproximación de Taylor, (1+ x)1/ 2 =1+ 1

2x −

12 ⋅ 4

x2 +1 ⋅ 32 ⋅4 ⋅ 6

x3−. .., se obtiene,

*Para el dipolo infinitesimal teníamos

jkro erzIAz −Δ

=π

µ4


40

…−+−≅ θθ 22

sin2'cos'rzzrR Ecuación 3.31

Para ignorar los términos de 1/r en adelante imponemos una condición, la cual consiste en que el error en fase que contribuye ese tercer término en R sea menor de π/8, (22.5°). Evaluando el caso peor, o sea cuando sin θ =1 y para z' =z'max = λ/2, se obtiene,

π8≥ k

z' 2

2r⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ =2πλ

l / 2( )2

2r=πl2

4λr

de donde se halla el valor mínimo de r (rff) para reducir el error en la fase,

r ff ≥2l2

λ

donde l es la dimensión más grande de la antena. De aquí sale la definición de la distancia del "far field" que se había presentado sin demostración anteriormente. Ahora que sabemos la condición para despreciar el tercer término de la ec. (18), podemos aproximar a Sustituyendo,

Az =

µ4π

I z'( )e− jk r−z' cosθ( )

r − z' cosθ−l /2

l /2

∫ dz'

lo cual en el "far field" se puede aproximar a,

Az =µ4πr

e− jkr I z'( )e+ jkz' cosθ

−l /2

l /2

∫ dz'

Ecuación 3.32

o sea Az =µ4πr

e− jkrΙ θ( ) con,

Ι θ( ) = I z'( )e+ jkz' cosθ− l / 2

l /2

∫ dz'

(Nótese que I(θ) es la transformada de Fourier de I(z') ). Anteriormente, habíamos obtenido que;

Hφ = −1µ∂∂rAz r( )sinθ

y en el "far field" quedaba;

Para efectos de la • fase: θcos'zrR −≈ • magnitud: rR ≈


41

Hφ =jkµAz sinθ

θθ sin)(I∝

El campo eléctrico en el "far field" era a su vez; Eθ =ηHφ = jωAz sinθ θθ sin)(I∝ Por lo tanto para hallar Hø y Eq, sólo necesito conocer Az, el cual depende de la distribución de corriente, I(z'). La distribución de corriente en el dipolo depende de la frecuencia de operación f (ó λ) con respecto al largo de la antena. Las siguientes figuras muestran simplificaciones de distribuciones observadas en la práctica para tres largos de antenas. La corriente en los dos extremos del dipolo es cero, mientras que el máximo o máximos ocurren en distintos sitios de acuerdo al largo (o frecuencia de operación). Está distribución afecta a su vez la forma del patrón de irradiación de la antena, de manera, que una antena del mismo largo tendrá un patrón distinto cuando se opera a distintas frecuencias.

z' z' z'

I(z') I(z') I(z')

l/2

-l/2 -l/2 -l/2

l/2 l/2

l = λ /2 l = λ l = 3 λ / 2 Figura 3.5 Variación del campo del dipolo de acuerdo al largo en términos de lambda (largo de onda

de la antena).

Si I(z') = Im sin[k(l/2 -|z'|)], entonces, evaluando el integral,

Ι θ( ) = Im−l /2

l /2

∫ sin k l2− z'⎛

⎝ ⎞ ⎠

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ e jkz' cosθdz'

Separando en dos integrales y combinando,

Ι θ( ) = 2Im sin k l2− z'⎛

⎝ ⎞ ⎠

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥

0

l /2

∫ cos kz' cosθ( )dz'

lo cual resulta en,


42

θ

θθ 2sin

2coscos

2cos2

)(k

klklII

m ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

Eq y Hø son proporcionales a sinθ I(θ); por lo tanto el patrón de potencia (sin normalizar) del dipolo de largo arbitrario es;

2

sin2

coscos2

cos)(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=θ

θθ

klkl

P

Ecuación 3.33

3.4.1 Casos Especiales:

• Dipolo de media onda (l =λ / 2)

2

sin

cos2

cos)(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=θ

θπ

θnP

Máximo ocurre en θ = 90°

Puntos de media potencia en θ = 51° Ω+== 5.427322 j

IPRo

radr

Nulos en θ = 0° y 180° 64.1=D Patrón:

HPBW = 78°

51°z

Figura 3.6 Patrón del Dipolo de media onda


43

• Dipolo de onda completa (l =λ )

( ) 2

sin21coscos)( ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=

θθπ

θnP

Ecuación 3.34

Máximo en θ = 90° Rr ~ 2000Ω Puntos de media potencia en θ = 66.5° Patrón:

47°

Figura 3.7 Patrón del Dipolo de media onda

• Dipolo de tres lambda medios (l = 3λ2

)

2

sin

cos23cos

)(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=θ

θπ

θnP

Ecuación 3.35

Rr = 106Ω Se obtienes lóbulos laterales que le dan forma de doble cono. Patrón:

0°

90°

Figura 3.8 Patrón del dipolo de tres lambda medios (Fuente: Krauss and Marhefka, 2002)


44

3.5 EFECTO DE LA TIERRA O PLANO REFLECTOR Hasta ahora hemos considerado que las antenas se encuentran en un medio sin fronteras infinito. En la realidad las antenas se colocan cerca de la tierra, la cual no es un dieléctrico ideal sino que tiene pérdidas. De hecho mientras más húmedo sea el terreno más pérdidas tiene la antena y por lo tanto baja la eficiencia de la antena. Tampoco es un plano sino que la tierra es curveada. Sin embargo si el ángulo de observación es mayor a 3º, se puede aproximar que la tierra es plana.

3.5.1 Teoría de imágenes

La teoría de imágenes se usa para analizar el comportamiento de las antenas cuando están cerca de un plano infinito conductor. También se usa para explicar el comportamiento de un monopolo, el cual es la antena usada comúnmente en los automóviles.

El efecto de la tierra puede variar la ganancia, la eficiencia, el patrón, entre otras, de

una antena. Cualquier energía que se irradia hacia la tierra, se refleja dependiendo de la geometría. Para analizar lo que sucede cuando una antena se coloca sobre un plano conductor infinito a una altura h, se introducen fuentes (antenas) virtuales llamadas imágenes para tomar encuentra las reflexiones. Estas imágenes se colocan de manera que el campo eléctrico tangencial a la interface tierra-aire sea cero.

El campo total en un punto P a una distancia de la antena es la suma de los campos

que llegan directos de la antena y los campos reflejados en el plano, (provenientes de la imagen). Esto aplica a todo tipo de antena, pero se usa a veces para dipolos y para lazos, los cuales a menudo se colocan sobre platos reflectores para modificar sus propiedades eléctricas.

Figure 3.9 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones desde un plano conductor.

Condiciones de contorno: Para cancelar los campos tangenciales del campo eléctrico en la interface donde los campos deben ser cero. Veamos el dipolo horizontal sobre un plano conductor infinito.

Plano a tierra

+q +

h +

+q

2h

-

+

-q

Pero sólo se usa la solución encima del plano a tierra.

Se substituye por

Se usa la solución encima del plano a tierra. Irradia la mitad de la potencia.


45

Figure 3.10 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones de un dipolo horizontal sobre un

plano conductor.

Los campos están fuera de fase por 180 grados debido a la dirección de las corrientes, esto hace que el campo tangencial eléctrico sea cero en el centro (en el plano a tierra). Pero los campos irradiados por la imagen tienen que viajar λ/2 hasta llegar a la antena real, por lo tanto están en fase.

fase.en 3601801801802

2

==+

=== −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−

ooo

ojj

rj eee πλ

λπ

β

3.5.1.1 Dipolo Vertical Examinemos el caso de un dipolo vertical cerca de un plano conductor infinito

según se muestra en la figura 3.11 a la izquierda.

Figure 3.11 Uso de imágenes para tomar en cuenta las reflexiones de un dipolo vertical sobre un

plano conductor.

La antena y su imagen son tratados como un arreglo de dos elementos. Si ambos elementos son dipolos de media-onda,

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=−−

2

2

21

1

1 sin

cos2

cos

2sin

cos2

cos

2

21

θ

θπ

πη

θ

θπ

πηθ r

eIj

reI

jEjkr

ojkr

o

Esto será estudiado más tarde en el capítulo de arreglos de antenas.

Plano a tierra

I

h=λ/4 + Se substituye por

I

2h=λ/2

I (imagen)

Plano a tierra

h +

2h Se substituye por

Se puede verificar que el componente horizontal del campo eléctrico θE total en la interfase se cancela.

(Ida y vuela)


46

EJERCICIOS: 1. Halle la directividad de un dipolo corto.

Respuesta: El patrón de un dipolo corto es de forma, Pn(θ) = sin2θ (ver campos en la sección 3.3.1 del manual), por lo tanto, D = 4π/ΩΑ donde. ∫∫ Ω=Ω dPn Resolviendo se halla que D=1.5.

2. Halle el patrón de un monopolo corto sobre un plano infinito (altura h = 0). Respuesta: Usando teoría de imágenes, el patrón será igual al de un dipolo corto del doble del largo (pero corto aún), pero definido sólo para el hemisferio norte y cero abajo. De manera que el problema se reduce al mismo problema anterior con diferentes límites de integración. Entonces, resolviendo queda que D= 3.

3. Halle la ganancia de un monopolo vertical de media onda (D=1.64) localizado sobre un plano imperfecto como la tierra(a una altura de h=0) el cual causa pérdidas equivalentes a 3Ω. Respuesta: Rrad = 73/2 = 36Ω, η= 36 / (36 +3) = 0.923, G = .923 (1.64) = 1.514

4. Determine la resistencia de radiación de un monopolo de media onda sobre un plano conductor infinito si la de un dipolo de onda completa en el vacío es de 2000 -j1400 Ω. Respuesta: Z = 1000 -j700 Ω

5. Halle el patrón de un dipolo de largo igual a un octavo de onda.

Respuesta:

2

sin8

coscos8

cos)(

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=θ

πθ

π

θP

Máximos: ocurren en θ = ± 4.53°, ±175.5° Nulos en: θ = 0, ±nπ

CAPITULO 4 4 ANTENA LAZO

La antena lazo es una de las más antiguas junto con la antena dipolo, y tiene como aplicación común servir de antena receptora para los canales UHF de televisión. Para ver como luce su patrón, vamos a analizar el campo irradiado por un lazo de material conductor con una distribución uniforme de corriente (ver figura abajo). Podemos imaginarnos que el lazo consiste en cierto número de elementos de dipolo infinitesimal arreglados en forma de círculo. Entonces, integramos y obtenemos el campo total del grupo a una distancia r del origen del lazo.

z

x

y

r

R

ar'

I

P

dl

Figura 4.1 Geometría para análisis del lazo circular

Para comenzar necesitamos hallar R, I y dl' de la expresión siguiente,

A x,y,z( ) = µ

4πI x' ,y' , z'( )

R∫ e− jkRdl'

Las coordenadas con primas, x’, y’, r’, se refieren a la distancia del origen a la fuente (lazo). Las coordenadas sin prima, se refieren a las distancias entre el origen y el punto de observación. En este caso, la corriente varía con x' y y', solamente. Tenemos que trabajar en coordenadas cartesianas (x, y, z) y esféricas (r, θ, φ). Para simplificar el trabajo, nos aprovechamos de la simetría del lazo y resolvemos por los campos en el plano xz solamente. (Debido a que Ay = Aø en este plano). En este plano,

'ˆˆ rrR −=

Ecuación 4.1

donde, de la figura se obtiene que,

θ

ANTENA LAZOANTENA LAZO

48

Ù r = xÙ x + zÙ z (note que r2 = x2 + z2) y Ù r ' = x' Ù x + y' Ù y

Figura 4.2 Punto P en plano xz

Sustituyendo en (4.1),

)ˆˆ()ˆˆ( yyxxzzxxR +−+=

Utilizando el conocimiento de que, 'cos' φax = , 'sin' φay =

θsinrx = , y θcosrz = se obtiene,

( ) ( ) ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

++−==

2

2

222

sin'cos21

cos'sin'cossin

ra

rarR

raarRR

θφ

θφφθ

lo cual simplifica con la serie de Taylor a;

R ≅ r− asinθ cosφ' Ecuación 4.2

Para hallar la expresión de la corriente, notamos que ésta va en dirección de ø, por consiguiente,

I = Io

Ù φ

= Io −Ù x sinφ' + Ù y cosφ'( ) Ecuación 4.3

y para el elemento de largo, tenemos, dl' = a dφ' Ecuación 4.4

Sustituyendo las ecuaciones (4.2) al (4.4) en (4.1), queda,


49

( )'cosˆ'sinˆ'4

'cossin2

0

φφφ

πµ φθ

π

yxeerdaI

A jkajkro +−= −∫ Ecuación 4.5

Nótese que A tiene dos componentes, Ax y Ay. Una vez resolvamos (4.5), podemos encontrar fácilmente los componentes del campo eléctrico y magnético irradiados por el lazo a una distancia r de su origen. Examinaremos dos casos; • Lazo pequeño (con respecto a λ), ó sea a

λ<< 1,

• Lazo de tamaño arbitrario. Ambos casos se examinarán en el "far field".

4.1 LAZO PEQUEÑO ( )1<λa

Como en este caso, ka<<1, y

ex =1+ x + x2

2!+x3

3!+...

≅1+ x para x <<1

entonces podemos decir que, e jkasinθ cosφ ' ≅ 1+ jkasinθ cosφ' Aplicando esto a la ecuación (5), queda,

A ≅µIo

4πadφ'

re− jkr[1+ jkasinθ cosφ' ] −Ù x sinφ' +Ù y cosφ'( )

0

2π

∫

Resolviendo la integral, obtenemos que

Ax = 0

Ay = Aφ =jka2µIo4r

sinθe− jkr Ecuación 4.6

Ahora podemos hallar H,

H =1µ∇ × A =

1µ

Ù r 1

rsin θ∂∂θ

Aφ sinθ − 1µ

Ù θ 1r∂∂r

rAφ( )


50

Sustituyendo (6) en la expresión de arriba, se halla que el primer término es proporcional a 1/r2 y por lo tanto desaparece para r grande. En el "far field", sólo queda el componente en azimut,

Hθ =− jka2

4rIo sinθ

∂∂r

e− jkr( )

Por lo tanto, para el lazo pequeño en el "far field", tenemos,

Hθ =

− Io ka( )2

4re− jkr sinθ

y Eφ = −ηHθ

4.2 LAZO DE TAMAÑO ARBITRARIO Para un lazo de tamaño arbitrario no podemos hacer la aproximación que hicimos para el lazo pequeño. Tenemos que trabajar directamente con la ecuación (5), o sea,

( ) φφφπ

µ φθπ

dyxeeraI

A jkajkro 'cosˆ'sinˆ4

'cossin2

0

+−= ∫−

• Veamos Ax,

Ax ∝− e jkasinθcosφ '

0

2π

∫ sinφ' dφ'

haciendo un cambio de variables u = jkasinθ cosφ' se obtiene que,

Ax ∝1

jkasinθeu

jka sinθ

jka sinθ

∫ du = 0

• De nuevo sólo queda Ay,

Ay = Aφ =

µIoa4πr

e− jkr e jkasinθcosφ '

0

2π

∫ cosφ' dφ '

Ay = Aφ =µIoa4πr

e− jkrΙ

donde hemos separado la integral,


51

Ι = e jkasinθ cosφ '0

π

∫ cosφ ' dφ ' − e− jka sinθ cosφ'0

π

∫ cosφ' dφ '

para usar la identidad;

πj nJn z( ) ≡ e jz cosφ '

0

π

∫ cosnφ'dφ'

donde, Jn = es la función Bessel de primer tipo de orden n Para nuestro caso, Ι = πjJ1 ka sinθ( )−πjJ1 −ka sinθ( )

Figura 4.3 Funciones Bessel de Primer Tipo de orden 0 a 3.

y dado que J1(z) es una función impar, [i.e., -J1(-z) = J1(z)], la integral se puede simplificar a, Ι = 2πjJ1 ka sinθ( ) Por lo tanto, Aφ =

jµIoa2r

e− jkrJ1 kasinθ( )

Esto también se puede expresar como,

( )

θθθµ

φ sinsin2

4sin 1

2

kakaJe

rIjka

A jkro⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= − Ecuación 4.7

El primer corchete es idéntico al del lazo pequeño y el segundo es una función de forma,

Jo(x)

J1(x)

J2(x)

J3(x)


52

2J1 x( )x

,

la cual tiende a uno para x→ 0. De manera que se puede demostrar que el lazo pequeño, ecuación (4.6), se deriva como un caso especial de la ecuación (4.7) para ka << 1. El campo eléctrico y magnético de la antena lazo es en general proporcional a la función Bessel de primer orden. El patrón de campo se puede obtener gráficamente de la función Bessel. En resumen, usando las ecuaciones de Maxwell, se puede obtener que en el "far field",

( )

( )θ

θπ

θ

φ

sin2

sin60

1

1

kaJrekaI

H

kaJrekaI

E

jkro

jkro

−

−

=

=

ηφE−=

Ecuación 4.8

0==== φθ HHEE rr

La expresión dentro de la función Bessel ha sido sustituida por Kraus como Cλ, o sea la circunferencia del lazo entre el largo de onda, ya que, ka = 2πa/λ = πd/λ = C/λ = Cλ 4.3 MÉTODO GRÁFICO (ANTENA DE LAZO CIRCULAR)

Debido a que el patrón de irradiación del lazo circular es proporcional a la función Bessel de primer orden, necesitamos una gráfica de esta función para trazar su patrón gráficamente. Qué porción de la gráfica utilizaremos depende del tamaño del lazo, básicamente de Cλ= πd/λ. La coordenada horizontal, x=Cλ sinθ, tiene un valor máximo de Cλ, y éste ocurre en θ=900 (cuando sinθ=1). Otro punto conocido es cuando θ=00, entonces x=0 (en el origen). Quiere decir que el patrón del lazo de tamaño Cλ estará entre los puntos x=0 y x=Cλ de la gráfica. Entre estos dos puntos el patrón no corresponde linealmente a la gráfica de J(x), sino que es proporcional a sin θ. Es útil conocer que J1(x)=0 en x= 0, 3.84, 7.01, 10.19.

Procedimiento: 1. Trazamos líneas verticales desde J(x) hasta un arco de radio Cλ,


53

2. Se coloca un punto radialmente desde el origen hasta este arco a una distancia proporcional al valor de J(x) en ese punto 3. Se repite esto para varios puntos entre x=0 y x=Cλ formando así un patrón polar del lazo (no normalizado).

θλ sinC

Figura 4.4 Método gráfico de hallar el patrón de antena lazo. Los primeros dos nulos ocurren en el

eje horizontal en 3.84 y 7.01.

4.4 ANTENA LAZO

4.4.1 Resistencia de radiación:

1. Lazo pequeño: (Cλ < 1/3)

( ) Ω= 46/ kaRrad ηπ

Para aumentar la resistencia se pueden poner varios lazos, entonces la resistencia de radiación es el valor de arriba multiplicado por N 2. 2. Lazo mediano (1/3 < Cλ < 5)

Rrad = 60π 2Cλ Jo y( )dy − 2J1 2Cλ( )0

2Cλ

∫[ ] Ω

3. Lazo grande (Cλ > 3)

Ω= λπ CRrad260

| ( )θλ sin1 CJ

90o

60o

30o

0o


54

4.4.2 Directividad

1. Lazo pequeño ( λC < 1/3)

D = 1.5

2. Lazo mediano (1/3 < λC <1.84)

D =2Cλ J1

2 Cλ sinθ( )[ ]max

J2 y( ) dy0

2Cλ

∫

3. Lazo grande ( λC > 1.84) D= 0.68 λC

EJERCICIOS: 1. Diseñe una antena lazo con distribución uniforme de corriente

para un televisor que tenga ganancia de 6.78 dB (presuma que no tiene pérdidas). ¿Cómo debe ser la impedancia intrínseca de una línea coaxial para que no ocurran reflexiones? Dibuje su patrón de irradiación. ¿Qué problemas presenta?.Si la frecuencia de centro de operación es de 150 MHz, ¿cuán grande debe ser la circunferencia del lazo? Respuesta: λC = 7, R = 4,145 Ω, diámetro = 4.45 metros! Obviamente la antena es físicamente muy grande y su patrón no es ovni-direccional como debe ser para poder captar señales de diferentes puntos geográficos.

2. Si una antena lazo sin pérdidas con diámetro de 15 pulgadas (0.38 m) se usa para la recepción de canales UHF, ¿cuánto será su ganancia y su patrón? Tome fo = 680 MHz. Respuesta: λC = 2.7, G = 1.84 (2.7dB)

(Igual al dipolo pequeño o hertziano.)

Problema 1.

Problema 2.

CAPITULO 5 5 ANTENAS DE ALAMBRE INDEPENDIENTES DE FRECUENCIA

5.1 ANTENA YAGI-UDA Aplicaciones: para frecuencias HF (3-30MHz), VHF (30-300MHz) y UHF (300MHz-3GHz).

5.1.1 Teoría

La antena Yagi- Uda fue inventada por el profesor asistente, Shintaro Uda, de la Universidad de Tokio, Japón, en el 1926 y presentada en los Estados Unidos por el profesor Hidetsugu Yagi dos años más tarde. De aquí su nombre. Es una antena liviana, barata y fácil de construir.

Figura 5.1 Antena Yagi-Uda de 7 elementos y patrón de una Yagi-Uda de 4 elementos.

Consiste de varios dipolos en un arreglo lineal. Sólo a uno de los elementos se le suple energía (elemento guiado o "driven"), los otros irradian debido a corrientes parasíticas que se inducen en ellos por acoplamiento mutuo (elementos parasíticos). Hay dos tipos de elementos parasíticos; reflectores y directores. • Los reflectores son elementos que tienen un largo un poco mayor de λ/2 (largo

óptimo es aproximadamente 5% mayor) y esto les hace funcionar como reflectores en el sentido de que colocados al lado de un dipolo de media onda excitado hacen que el patrón se incremente hacia el lado del elemento guiado. Se ha encontrado que tener más de un reflector no hace gran diferencia en las propiedades de irradiación de la

ANTENAS ANTENAS DE ALAMBRE INDEPENDIDE ALAMBRE INDEPENDIENTES DE FRECUENCIAENTES DE FRECUENCIA

56

antena, por esto se suele utilizar sólo un reflector en la mayoría, sino en todas, las aplicaciones.

• Los directores son más cortos (aproximadamente 5% menor es óptimo) que el

elemento guiado y esto produce un patrón dirigido hacia el elemento director. Se encontró que la directividad del arreglo aumentaba según se le añadían directores al arreglo. Pero llega un momento que el seguir agregando directores no contribuye más a la directividad.

Diseños óptimos de antenas Yagi-Uda se solían hacer experimentalmente debido a la complejidad del análisis teórico (impedancias mutuas) y la infinidad de posibilidades (variar tamaño y grueso de cada director, número de directores, espaciamiento, tamaño del reflector, etc.). Ahora, se hacen utilizando técnicas de computadoras para obtener valores óptimos de diseño. La antena Yagi-Uda es de banda angosta ("narrowband") debido a que sus dimensiones juegan un papel muy crítico en su operación. A continuación se citan valores típicos: Dimensiones,

Número de elementos 6 - 12 Largo del "drive" 0.45 < lf /λ < 0.49 Largo del directores 0.4 < ld /λ < 0.45 Largo del reflector lr /λ > 0.5 Separación entre directores 0.25 < sd/λ < 0.4 (Usualmente sR < sd) Radio de director rd< 0.024λ

Especificaciones,

SLL óptimo -5.2 dB Ganancia 12 - 17 dB Impedancia de entrada baja Ancho de banda angosto Largo axial total ~6λ

Al aumentar la ganancia de esta antena estamos sacrificando el ancho de banda, lo cual significa que vamos a poder utilizarla para recibir un número menor de canales de frecuencia. A menudo se usa un dipolo plegado ("folded dipole") como elemento guiado.


57

El dipolo plegado tiene una impedancia de entrada 4 veces mayor al dipolo de media onda (=292 ohmios), lo cual lo hace ideal para alimentarse con una línea de transmisión de dos alambres paralelos (“twin wire”) la cual posee impedancia característica de 300 ohmios. Si reemplazamos el dipolo reflector por un reflector angular ("corner reflector"), se aumenta sustancialmente la ganancia y mejora el ancho de banda a la misma vez. Este arreglo se conoce como "Square-corner-Yagi-Uda Hybrid". Existen tablas de largos que producen ganancias óptimas, las cuales se utilizan en el diseño de las antenas. 5.2 BANDA ASIGNADA EN FRECUENCIA

PARA LOS CANALES DE TELEVISIÓN

Canal Frecuencia (MHz) Banda Frecuencia (GHz)

IEEE Standard 521-1984)

2 54-60 VHF L 1-2

3 60-66 S 2-4

4 66-72 C 4-8

5 76-82 X 8-12

6 82-88 Ku 12-18

7 174-180 K 18-27

8 180-186 Ka 27-40

V 40 - 75

9 186-192 W 75-100

10 192-198 mm 40-300

11 198-204

12 204-210

13 210-216

14 470-476 UHF

15 476-482

83 884-890

5.3 ANTENA LOG-PERIÓDICA Aplicaciones: Para televisión en la banda VHF y para radio en la banda FM (87.5 to 108 MHz)


58

5.3.1 Teoría

Consiste en un arreglo de dipolos cuyos tamaños aumentan periódicamente en su logaritmo. No tiene ningún elemento parasítico. Es de banda ancha y polarizada linealmente en el eje de la antena. Provee directividades de entre 7 a 12 dB.

sn2

R

R

1

2

Punto de allimentación

Figura 5.2 Antena Log-periódica

donde, l1 = largo del dipolo menor d1 = diámetro del dipolo menor s1 = espaciamiento entre el "air gap" del dipolo menor R1 = distancia al origen desde el dipolo menor α = ángulo de origen

La antena log-periódica se define matemáticamente con tres parámetros; τ,σ y α. • Razón geométrica, τ ;

1/ += nn llτ Ecuación 5.1

Si se obtiene el logaritmo en ambos lados de la ecuación se haya, log ln - log ln+1 = log τ Ecuación 5.2

También, τ= ln/ln+1 = sn/sn+1 = dn/dn+1 = Rn/Rn+1

Valores Típicos: 10o < α < 45o 0.70 < τ < 0.95 Si α es alta, τ baja y vise-versa


59

• Factor de espaciamiento, σ . σ= (Rn+1 - Rn)/2ln+1

• Ángulo de origen, α α = tan-1( (1- τ)/ 4 σ )

Ecuación 5.3

Nota: Usualmente se usan todos los diámetros y los espaciamientos ("gaps") del mismo tamaño y no afecta mucho la operación de la antena.

La antena Log-periódica se conecta en cruzado ("crisscross") para que el patrón apunte hacia los elementos cortos. Las frecuencias de corte (extremos del ancho de banda de operación) se determinan por los largos eléctricos del elemento más largo y el más corto, de forma que, fL = c/ λL ln ≅ λL / 2 Ecuación 5.4

fH = c/ λH l1 ≅ λu / 2 Ecuación 5.5

Hay una región de la antena a la cual se le conoce como región activa, y es alrededor de los elementos cuyos largos sean ~λ/2, según sea la frecuencia de operación que se esté recibiendo o transmitiendo. En este sentido la antena log-periódica actúa similar a la Yagi-Uda, debido a que en la región activa el elemento cerca de λ/2 actúa como el "driven", el anterior actúa como reflector y los menores adyacentes como directores. Por esta razón al diseñar una log-periódica, se debe añadir elementos adicionales en los extremos del arreglo para mejorar el funcionamiento en las frecuencias altas (dos o más elementos en el extremo inferior) y en las frecuencias o canales bajos (al menos un elemento adicional mayor). Se pueden conseguir impedancias de entrada de ~ 50 - 90 Ω.

Para el diseño de antenas log-periódicas se utiliza una gráfica, la cual muestra curvas de directividad constantes para diversos valores de τ y σ. Se muestra una línea de diseño óptimo. Una vez obtenidos estos dos parámetros, se puede hallar el ángulo de origen.


60

Figure 5.3 Gráfica de diseño mostrando la directividad y el diseño óptimo (R.L. Carrel, "Analysis and

Design of the Log-Periodic Dipole Antenna")

El tamaño del elemento mayor se determina con la frecuencia de operación más baja ("lower frequency, fL"). De ahí se siguen hallando los demás con la proporción logarítmica hasta llegar a uno o dos dipolos menores al dipolo de media onda que corresponde a la frecuencia mayor ("upper frequency, fH").

La antena log-periódica también se construye usando dipolos tipo V, (llamados así debido a su forma), para aumentar la directividad. A la izquierda se muestra una foto de una antena combinación Yagi-Uda y Log-periódica comúnmente usada para canales VHF y UHF.

Figure 5.4 Variations of Log-Periodic Dipole Antenna"


61

5.4 BALUNS [BALanced to UNbalanced Converters]

Para alimentar una antena dipolar se podría usar una línea coaxial. El problema es que las líneas coaxiales no están balanceadas. Por lo tanto producen una distribución corriente asimétrica a lo largo del dipolo, en lugar de la distribución cuasi-senoidal deseada. Para convertir un sistema desbalanceado a uno balanceado se usa un balun. Un balun puede consistir en un transformador RF, un segmento de lambda cuarto u otras configuraciones. Ver configuraciones comunes en la fig. 9.24 del texto.

BalUn: Un dispositivo electrónico pasivo que convierte las señales eléctricas entre balanceadas y desbalanceadas, como por ejemplo entre un cable coaxial y una antena dipolar. Se usan en algunos radares, transmisores, satélites, en todas las redes telefónicas, y probablemente en la mayoría de las redes inalámbricas [modem/routers] usadas en los hogares.

Figure 5.5 Ejemplos de Baluns y su efecto en la distribución de corriente de la antena dipolo.

Coaxial Line (unbalanced)

Current leak

Línea de transmisión de alambre paralelo (balanceada)

Carga balanceada

Distribución de corriente

Un Balun es un transformador de impedancias diseñado para acoplar un circuito balanceado a uno des-balanceado.

Linea coaxial (desbalanceada)

Balun

Algunas antennas, como el monopolo o la piramidal, son cargas desbalanceadas, pero se puede usar lineas coaxiales para alimentarlas.


62

Figure 5.6 Un balun de 75- a 300 ohmios

Fuentes Balanceadas: Una fuente es balanceada si el voltaje en un terminal es igualmente sobre tierra que el otro voltaje es bajo tierra en todo momento. Ejemplo: Fuente con +50V y -50V es balanceada, +30V y +12V, o +20V y 0V NO son balanceadas.

Figure 5.7 Algunos estilos de Baluns

Cortocircuitado al conductor exterior del coaxial.

Bazuka

Corto circuito hacia el conductor externo del coaxial

λ/4 más arriba luce como un circuito abierto, por lo tanto no hay pérdida de corriente zero.

λ/4 coaxial

coaxial de λ/2 Centro de Ferrite (toroidal)

Ιleak=0

λ/4 más arriba luce como un circuito abierto, por lo tanto no hay pérdida de corriente zero.

}


63

5.5 APAREANDO IMPEDANCIAS [Sección 9.8.1 Balanis] Ya vimos el caso de aparear una antena lazo a una línea de transmisión usando un capacitor o un inductor en paralelo. Para un dipolo se puede hacer de la misma manera, conectando un elemento reactivo o un segmento de línea sencilla (“single stub”). En el caso de un arreglo de antenas es un poco más complicado, pues usualmente se usa una sola fuente para alimentar todas las antenas.

• Ej. Corporate feed (CST.com)

Para transformar la impedancia en 4:1 o 4:1

Aumenta el ancho de banda pero no necesariamente se comporta bien a altas frecuencias. Hay pérdidas en el centro de hierro. Puede diseñarse para 1:1 para transformar impedancias como este de 4:1

CAPITULO 6 6 ARREGLOS DE ANTENAS

6.1 INTRODUCCIÓN Un arreglo de antenas consiste en dos o más antenas utilizadas simultáneamente con el propósito de que las propiedades de irradiación del conjunto se puedan mejorar y/o controlar según lo requieran las especificaciones de un diseño dado. Entre las ventajas de los arreglos se encuentran,

• Aumento en la directividad (y ganancia) • Control de los lóbulos laterales ("sidelobes") • Rastreo electrónico (usando la fase de alimentación)

6.2 TEORÍA Caso General: Consideremos un arreglo de N antenas iguales con la misma orientación y el mismo patrón, f(θ,ø), pero excitadas con amplitudes y fases distintas, Ci y αi, respectivamente.

Figura 6.1 Arreglo de N antenas iguales

Estamos interesados en hallar el campo eléctrico producido por el conjunto de elementos (antenas) en el punto P a una distancia r del origen del arreglo. Si sólo hubiese un elemento colocado en el origen, su campo tendría la forma general de;

E r( ) = f θ,φ( ) e− jkr

4πr Ecuación 6.1

ARREGLOS DE ANTENASARREGLOS DE ANTENAS

65

A una distancia suficientemente grande del arreglo, (en el campo lejos o "far field"), las líneas de Ri se pueden aproximar como si estuviesen paralelas.

Figura 6.2 Arreglo de N antenas iguales mostrando las distancias en el "far field"

(De aquí surge la explicación del por qué la Luna parece seguirnos cuando viajamos en un automóvil. Estamos a una distancia tan lejos de la Luna, que una línea imaginaria trazada desde Mayagüez hasta ella es prácticamente paralela a una línea entre San Juan y la Luna.) El campo eléctrico total en el punto P, sería la suma de la contribución de todos los elementos, o sea, E = ETOT = E1 + E2 + ...+ Ei + ... + EN Ecuación 6.2

E r( ) = C1f θ ,φ( )4πR1

e− jkR1ejα1 + C2f θ, φ( )4πR2

e− jkR2 ejα2 +. ..

entonces,

E r( ) = f θ,φ( )4π

Cie− jkRi e jα i

Rii=1

N

∑ Ecuación 6.3

donde,

Ri = r − ri ⋅ ˆ r


66

r

r

R

r

i

i

Antena

Figura 6.3 Detalle de la diferencia en paso recorrido

En la ecuación (3) vemos el factor Ri dos veces; primero en el exponente (donde afecta la fase total), y también en denominador (donde sólo afecta la magnitud del campo). Para una distancia en el "far field", la diferencia entre Ri y r es muy poca. Por ejemplo, puede ser el equivalente a diferenciar 1 km de 1.0001 km. El efecto que esta diferencia en distancia tiene en la magnitud del campo es obviamente muy poca y puede aproximarse a r. Pero esto no es así cuando estamos hablando de la fase. En este caso, una diferencia de .0001 km puede equivaler a varias veces el largo de onda, λ, de operación y, por lo tanto, no se puede hacer la misma aproximación. Por ésta razón,

Ri = r − r i ⋅ ˆ r para la fase

y Ri ≅ r para la magnitud

Aplicando la anterior aproximación, se obtiene,

E r( ) =f θ,φ( )4πr

e− jkr%

& ' (

) * Cie

jα i ejkr i ⋅ ˆ r

i =1

N

∑% & '

(

) *

= [Tipo de antena][Número de antenas][alimentación][geometría del arreglo]

Si observamos detenidamente, podemos notar que éste consiste en la multiplicación de dos factores. El factor encerrado en el primer corchete coincide exactamente con el patrón de una sola de las antenas en el origen. Mientras que el segundo factor, depende de las amplitudes y las fases que alimentan cada antena, independientemente del tipo de antena que sea. A éste último factor se le conoce como el factor del arreglo (abreviado como AF del inglés "Array factor"), pues depende, entre otras cosas, de la geometría, y alimentación del conjunto.


67

6.3 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN DE PATRONES Para el arreglo de N elementos, alimentados con Ii = Ci∠αi , obtuvimos,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ArreglodelFactor

individualantenaPatrón

)(rE

El principio de multiplicación de patrones establece que el patrón de radiación de un arreglo de N antenas idénticas, es el producto de la función de patrón de la antena individual con la función del patrón del arreglo, AF. El factor de arreglo depende de;

• Número de antenas, N • Amplitud y fase de las corrientes que alimentan las antenas • Geometría de la posición del conjunto de antenas

Este principio nos permite olvidarnos por el momento del tipo de antena y concentrarnos en la geometría y alimentación del conjunto de antenas para determinar el "array factor" en cada caso. Una vez tengamos el factor del arreglo, podemos multiplicarlo por el patrón de la antena en cuestión para hallar el patrón resultante del grupo de antenas. Esto equivale a imaginarnos que tenemos un arreglo de antenas isotrópicas, cuyo patrón es 1. O sea,

AF][AF][rE ==

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

= 1ArreglodelFactor

isotrópicaantenaPatrón

)(

Figura 6.4 Diagrama mostrando el concepto de Multiplicación de patrones

6.4 ARREGLOS LINEALES


68

Un arreglo lineal de antenas consiste en un arreglo en el cual todas las antenas se colocan en fila y equidistantes. Examinaremos tres tipos de arreglos lineales a saber,

• Uniformes • No-uniformes (Binomial y Dolph-Tschebyscheff)

6.5 ARREGLO LINEAL UNIFORME CON FASE INCREMENTAL Supongamos que tenemos N elementos isotrópicos a lo largo del eje x separados por una distancia d. Uniforme se refiere a la amplitud de la corriente que alimenta cada antena o elemento. En este caso cada antena se alimenta por una corriente de la misma amplitud (constante) C=Io, pero con cambio de fase progresiva, δn=nα.

| |d 01

23

iN-1

ø

O r

y

z

x

Arreglo lineal de N antenas equidistantes

r

| d

Figura 6.5 Arreglo Lineal de N antenas equidistantes

En este caso tenemos, r n = ndˆ x

y,

ˆ r ⋅ r 1 = d cosφˆ r ⋅ r 2 = 2d cosφˆ r ⋅ r 3 = 3d cosφ

o, en general, ˆ r ⋅ r n = nd cosφ

y por lo tanto, el patrón resultante (en este caso es igual al AF porque estamos tratando con antenas isotrópicas), será, AF = Io + Ioe

jαe jkdcosφ + Ioej2αej 2kdcosφ + Ioe

j3αe j3kdcosφ+.. .

θ

φ


69

AF = Io + Ioejψ + Ioe

j2ψ + Ioej3ψ +...

ó AF = Io e jnαe jnkdcosφ

n=0

N −1

∑ = Io ejnψ

n=0

N−1

∑

donde, ψ = kd cosφ + α Usando la siguiente serie geométrica,

wn

n=0

N−1

∑ =1 − wN

1 − w

el AF se puede simplificar,

AF = Io1− e jNψ

1 − e jψ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

−

−

22

22

2

2

ψψ

ψψ

ψ

ψ

jj

NjNj

j

Nj

o

ee

ee

e

eI

ó ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

2sin2

sin21

ψ

ψψN

eAFNj

Ecuación 6.4

El primer factor de la expresión (4) se debe a que escogimos el eje z a un extremo del arreglo. Si lo hubiéramos colocado en el centro este, factor no hubiese aparecido. Además, como usualmente lo que se grafica en el patrón es la magnitud del campo normalizada, se puede decir que para los efectos,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2sin

2sin

ψ

ψ

N

N

AFN Ecuación 6.5

donde, ψ = βd cosφ + α , para un arreglo lineal uniforme de N antenas isotrópicas en el espacio. Esta función se comporta bien parecida a sinc(x) = (sin x)/x, excepto que es periódica. Veamos cómo se grafica.


70

• Máximos en ψ / 2 = 0, ±nπ ...,4,2,0 ππψ ±±=

• Nulos en Nψ N / 2 = ±nπ, para n ≠ 0, n ≠ mN ψ Null = ±

2πnN

Por ejemplo para N=5,

Figura 6.6 Factor de Arreglo para de 5 elementos lineales con iluminación uniforme y fase

incremental

Esta gráfica siempre será así para 5 elementos. ¿De qué depende el patrón entonces? De d, y α como veremos más adelante. En resumen, se observa que;

• Según aumenta N, el lóbulo principal es más estrecho. • Según aumenta N, hay mayor número de lóbulos laterales (N-2) es un periodo (2π). Hay N-1 nulos en 1 periodo. • Los lóbulos laterales son de ancho 2π/N en la variable ψ, y los lóbulos mayores son el doble. • Los lóbulos laterales tienen un nivel menor (en relación al máximo) a medida que aumenta N. Ejemplo;


71

Figura 6.7Factor de Arreglo para de 3, 7, y 17 elementos con iluminación uniforme y fase

incremental, respectivamente.

• |AFN| es simétrica en π.

6.5.1 Método Gráfico Para Arreglos Lineales

El método gráfico para hallar el patrón de un arreglo lineal se delinea a continuación. Como vimos anteriormente, la gráfica (rectangular) de la magnitud de AF es infinitamente periódica para cualquier N. Esto no implica que el patrón del arreglo (polar) tenga infinito número de lóbulos ya que no toda la gráfica de AF será "visible" en el patrón. El patrón se traza en coordenadas esféricas y debido a la simetría del arreglo, es suficiente trazar la mitad del mismo (de ø = 0° a ø = 180°) ya que la otra mitad es igual. A esta mitad le llamamos la región visible. La gráfica de AF está dada como función de ψ, la cual es a su vez función de ø. Pero de todo el eje de ψ, sólo la parte visible aparecerá en el patrón del arreglo. La región visible en términos de ψ (ψ = βd cosφ + α ), la podemos hallar de,

0o < φ < π−1 > cos φ >1

α − βd < ψ < α + βd (Región visible)

La última ecuación describe un círculo de radio βd y centro en α. Veamos varios ejemplos. Considere un arreglo de 6 elementos con, (a) α = π, d = λ/2;


72

α = π, d = λ/2

(b) α = 0°, d = λ/2; El patrón se obtiene con el método gráfico como se muestra a continuación.

Note que la única diferencia entre la parte (a) y (b) es el incremento de fase, α. Al variar la fase controlamos la dirección del lóbulo principal. Esto tiene como aplicación radares de seguimiento (“tracking radars”), y en arreglos de dos dimensiones se puede controlar el "main beam" en ambos planos. Además, algunas antenas son diseñadas con una

α = 0, d = λ/2


73

α = 0, d = λ/4

inclinación de patrón fija para no tener que inclinarlas mecánicamente, lo cual puede causar inestabilidad mecánica. Este tipo de antena se usa por ejemplo para repetidoras de teléfonos celulares. Siguiendo con el ejemplo anterior de 6 antenas isotrópicas, intenta hacer estos 2 casos: (c) α = π, d = λ; (d) α = 0, d = λ/4;

Observe que mientras más cerca están los elementos (d pequeño), menos lóbulos laterales aparecen. Así que podemos controlar el número de lóbulos laterales que aparecerán en el patrón por medio del espaciamiento entre los elementos.

α = π, d = λ


74

6.5.2 Arreglos "Broadside" y Endfire"

Los arreglos también se clasifican en; • "Broadside", (α = 0) Sus máximos están en ø = 0. Se llama así porque su patrón es ancho.

0°

90°-90°

Figura 6.8 Arreglo tipo "broadside"

• "Endfire", (α = βd) Sus máximos están en ø = 90° y -90°. Su patrón es como sigue,

0°

90°

180°

-90°

Arreglo "endfire"de cinco antenas

Figura 6.9 Arreglo Tipo “Endfire” de 5 antenas


75

6.6 ARREGLOS LINEALES NO UNIFORMES Hasta ahora vimos arreglos de antenas alimentadas por una corriente, cuya amplitud era igual (uniforme) para todas las antenas, pero la fase aumentaba gradualmente (δn = n α). Ahora, dejaremos la fase intacta (α = 0). Pero las amplitudes serán distintas en cada fuente de corriente de cada antena. Estos arreglos se llaman "arreglos de amplitud no uniforme. Estudiaremos dos casos, • Binomial • Dolph- Tschebyscheff En cada uno de estos casos las amplitudes variarán según los coeficientes de la serie binomial y según los coeficientes de los polinomios de Tschebyscheff, respectivamente. Como sólo trataremos el caso en que la fase es cero, los arreglos serán tipo "broadside". En comparación con el arreglo lineal uniforme (con α = 0), los arreglos no-uniformes tienen menor directividad, o sea mayor "beamwidth", para un N dado. Sin embargo ambos proveen menores lóbulos laterales. Por ejemplo para N=5;

|AF||AF|

|AF|

Uniforme Binomial Dolph-Tchbyscheff

Figura 6.10 Factor de Arreglo para distintos tipos de iluminación: Uniforme, Binomial y D-T

Las amplitudes necesarias serían; 1 1 1 1 1 1 4 6 4 1 1 1.6 1.9 1.6 1


76

6.7 BINOMIAL Los coeficientes del arreglo binomial se determinan de la serie binomial o triángulo de Pascal, en el cual cualquier número de adentro es igual a la suma de los dos números adyacentes de arriba n 1 1 2 1 1 3 1 2 1 4 1 3 3 1 5 1 4 6 4 1 6 1 5 10 10 5 1 Esta distribución de amplitudes resulta en un patrón sin "sidelobes", pero es físicamente difícil de implementar debido a que la razón entre las amplitudes de los elementos en el centro y los extremos es muy alta. Esto la hace bien ineficiente. La directividad y ancho de rayo de estos arreglos están dadas por las ecuaciones mostradas en el recuadro. 6.8 DOLPH-TSCHEBYSCHEFF En este arreglo, desarrollado por C.L. Dolph en 1946, tenemos la libertad de escoger el nivel de los lóbulos laterales con respecto al "mainlobe", y de ahí resultará un ancho de rayo o haz ("beamwidth"). Mientras más bajos los lóbulos laterales, más ancho será el ancho de rayo. Hay que hacer un compromiso. La amplitud de las corrientes alimentando cada elemento (antena) está dada según los coeficientes de los polinomios de Tschebyscheff. A continuación consideramos dos casos, cuando el arreglo tiene un número par o impar de antenas.

106.1

/75.)2/(

77.1

−==

=

NLdHPBW

ND

λλ


77

6.8.1 Número par de elementos

En este caso, siguiendo la geometría de la figura,

O=0°

AA AAAAAA|d

||

| d/2 |

d/2 sin0

r

Figura 6.11 Arreglo lineal con número par de elementos

se obtiene el patrón de campo resultante debido a un número par, Ne, de antenas isotrópicas cuya distribución de amplitudes de corriente es simétrica alrededor del centro.

∑∑−

⋅−

⋅+ ==1

0

ˆˆ1

0

)ˆˆ(e

ie

ii

e

Nrrjk

i

Nrrkj

iN eAeAAF α

AFNe = ENe = Aoe− j kd

2sinθ

+ Aoej kd2sin θ

+ A1e− j32kdsin θ

+ A1ej32kdsin θ

+ A2e− j 52kd sinθ

+ A2ej 52kd sinθ

+. ..

donde cada par de términos se combina en un coseno, y se tiene,

= Ao 2coskd sin θ2

" #

$ %

& ' (

) * +

+ A1 2cos3kd sinθ

2" #

$ %

& ' (

) * +

+ A2 2cos5kd sinθ

2" #

$ %

& ' (

) * + +...

De manera que,

ENe = 2Ao cosψ2

" #

$ % + 2A1 cos

32ψ

" #

$ % + 2A2 cos

52ψ

" #

$ % +...+2AN cos

Ne −12

ψ" #

$ %

lo cual se puede escribir en forma de serie,

ENe = 2 Aii=0

N

∑ cos2i +12

ψ# $

% & Ecuación 6.6

donde, hemos definido,

ψ = kd sinθ

N =Ne

2−1

θ = 0o

d/2 sinθ

A3 A2 A1 A0 A0 A1 A2 A3


78

6.8.2 Número impar de elementos

Ahora consideramos un arreglo lineal con un número impar de elementos, No. De nuevo, la distribución de amplitudes es simétrica con el centro y, en este caso, la del centro es 2Ao.

O=0°

A AAAAA|d|

r

0

2A

0=-90° 0=90°

Figura 6.12 Arreglo lineal con número impar de elementos

En este caso, el campo total en un punto r desde el centro es, ENo = 2Aoe

j 0( ) + A1ejkd sin θ + A1e

− jkd sinθ + A2ej2kd sinθ + A2e

− j2kd sinθ +. ..

lo cual se puede rescribir de forma,

ENo = 2Ao + 2A1 cosψ + 2A2 cos2ψ+.. .+2AN cosNo −12

ψ# $

% &

y, expresado en forma de serie, sería,

ENo = 2 Aii=0

N

∑ cos 2iψ2

# $

% & Ecuación 6.7

donde,

ψ = kd sinθ

N =No −12

Ecuación 6.8

Se observa que tanto la ecuación (6) como la (7) son series de forma, cosmψ

2m= 0∑ = cosmu

m=0∑

donde, u = ψ / 2 Ecuación 6.9

θ = 0o θ

θ =90ο θ = −90ο


79

Tomando cada coeficiente a la vez, y utilizando la siguiente identidad,

{ }( ){ } ( )mmju

jmu

ujue

emu

sincosReRe

Recos

+==

=

se puede demostrar que, m=0 cos mu = 1 m=1 cos mu = cos u m=2 cos mu = cos 2u = 2 cos2 u -1 m=3 cos mu = cos 3u = 4 cos3 u -3 cos u m=4 cos mu = cos 4u = 8 cos4 u -8 cos2 u + 1 m=5 cos mu = cos 5u = 16 cos5 u -20 cos3 u + 5 cos u

Las ecuaciones anteriores se pueden rescribir como,

m=0 cos mu = 1 m=1 cos mu = x m=2 cos mu = 2 x2 -1 m=3 cos mu = 4 x3 -3 x m=4 cos mu = 8 x4 -8 x2 + 1 m=5 cos mu = 16 x5 -20 x3 +5 x m=6 cos 6u = 32 x6 -48 x4 + 18 x2 - 1

las cuales resultan ser los polinomios de Tschebyscheff de orden m, Tm(x), cuya fórmula para recurrir es, )cos()(cos muuTm = ó Tm x( ) = 2xTm−1 x( ) − Tm−2 x( )

6.8.3 Polinomios de Tschebyscheff

Los polinomios se pueden igualmente describir mediante las siguientes dos ecuaciones. Tm x( ) = cos mcos−1 x( )( ) ... .. ... ... para x < 1

Tm x( ) = cosh mcosh−1 x( )( ) . .. ... . para x > 1

Los primeros polinomios de Tschebyscheff se grafican en la siguiente figura,


80

Figura 6.13 Polinomios de Tschebyscheff

Note que todas pasan por el origen y por la coordenada (1,1). Examinando por encima las gráficas, notamos que T(x) está limitado a valores entre -1 y 1, para valores de x entre -1 y +1. En general, si tenemos N elementos (par o impar), necesitaremos un polinomio de Tm(x) de orden m = N-1. El patrón será proporcional a la magnitud del campo, por lo tanto necesitamos ver cómo lucen los trazos de la magnitud de T(x). De la siguiente figura, es evidente que los "sidelobes" se obtienen mayormente de los valores de θ correspondientes a |x|< 1. Observe que siempre hay m-1 lomas en el intervalo de |x|<1.

Figura 6.14 Trazos de la Magnitud de los primeros 3 polinomios de Tschebyscheff


81

6.8.4 Pasos para el diseño de un Arreglo Dolph- Tschebyscheff

(Dado R, d, y el número de antenas, N)

1. Seleccionar (6) o (7) de acuerdo a si es par o impar. Se usará el polinomio Tm(x) donde m= N-1 es el orden. 2. Expandir EN y sustituir cada cos(mu) por su serie de expansión apropiada. Ej : cos 4u = 8cos4 u − 8cos2 u +1 3. Hallar el punto xo donde TN-1(xo) = R. Donde R es la proporción del nivel del lóbulo principal con respecto al nivel de los lóbulos menores en el patrón de campo. En una gráfica normalizada (por ejemplo, vea la figura inferior), el "mainlobe" tiene nivel de 0 dB y los menores tienen nivel de SLL = - ζ dB. (SLL = "side lobe level"). Cambiando a escala lineal, el R se halla de,

20 logR = ζ Por ejemplo, si se requieren lóbulos de -20 dB, R sería igual a 10, equivale a decir que el lóbulo principal será 10 veces mayor al lóbulo lateral.

1

-1 1x

|T (x)|4

-R

x0°

Figura 6.15 Trazo de la Magnitud de T4(x)

4. Sustituir

cos(ψ / 2) =xxo

Ecuación 6.10

y agrupar todos los términos del mismo orden en x. Ej.; x7 ( ) + x5 ( )+. .. 5. Igualar ENe o ENo al polinomio de orden TNe-1 o TNo-1, respectivamente, e igualar los coeficientes para así hallar Ao, A1, A2, etc.


82

Para trazar el patrón, (e.g. |E7|=|T6(x)| ) es conveniente combinar las ecuaciones (8), (9), y (10) para obtener una expresión que relaciona x con el ángulo de elevación.

x = xo coskd sinθ2

" #

$ % Ecuación 6.11

Se utiliza un método gráfico en el cual se traza la magnitud del polinomio de Tschebyscheff y luego se determina la región visible de éste, la cual depende de xo y d en la ecuación (11). ________________________________________________________________

Ejemplo: Diseñe un arreglo lineal en "broadside" de 8 elementos isotrópicos espaciados a medio largo de onda con un SLL de 26 dB bajo el máximo. Halla la distribución de amplitudes necesarias. Trace su patrón. Solución: A3 = 1.266965, A2 = 2.069007, A1 = 3.03436, A0 = 3.52407

La directividad de un arreglo Dolph-Tschebyscheff tipo “broadside” se halla de

( )

( )2

221

2

2

coshcosh2636.01

11

2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

−+=

− π

λ

oo

o

o

RR

f

NdfR

RDo

Donde f es el factor de ensanchamiento de haz o “beam broadening factor”. La directividad está relacionada al ancho de rayo por la siguiente ecuación.

d

DoΘ

=5.101 donde Θd es el ancho de rayo de 3 dB en grados.

La distancia de espaciamiento entre los elementos afecta la directividad del AF resultante. Si están muy pegadas la directividad baja. Si están demasiado separadas, surgen lóbulos “grating” los cuales son indeseables pues son del mismo tamaño que el lóbulo principal pero en otra dirección. La distancia máxima que se puede usar sin crear “grating lobes:” se halla de la ecuación (11). Se halla igualando x = -1 para llegar en la gráfica de T(x) justo al borde donde su magnitud es igual o menor a los otros lóbulos laterales.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −≤ −−

oo

o xxd 1cos

1801cos 11

maxλ

πλ


83

6.9 ARREGLOS PLANOS

Para mejorar la directividad y otras características del arreglo plano se puede construir un arreglo lineal donde cada elemento consiste de otro arreglo lineal. Este es el principio de un arreglo plano. Esto permite hacer rastreo a cualquier ángulo θ,φ, no sólo a ángulos θ como es el caso del arreglo lineal. En el caso de un arreglo M x N con corrientes uniformes, el factor de arreglo es

∑∑=

+−

=

+−=N

n

kdnjM

m

kdmjo

yyxx eeIAF1

)sinsin)(1(

1

)cossin)(1( βφθβφθ

El cual en forma normalizada el AF de un arreglo plano uniforme se expresa

( )⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

2sin

2sin

1

2sin

2sin

1,y

y

x

x

n

N

N

M

MAF

ψ

ψ

ψ

ψφθ

donde yyy

xxx

kd

kd

βφθψ

βφθψ

+=

+=

sinsin

cossin

De las ecuaciones anteriores se puede determinar la fases incrementales necesarias, βx, βy, para que el lóbulo principal apunte a la dirección (θo, φo), las cuales resueltas simultáneamente quedan como

222

sin

tan

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

=

y

y

x

xo

yx

xyo

kdkd

dd

ββθ

β

βφ

La directividad resultante para un arreglo plano casi “broadside” es de yxo DDD cosπ=


84

”Phased array system for air defense radar. SPY-1D is

a computer-controlled air, surface three-dimensional

radar that can see up to 256nm. It also provides two-way communication link for midcourse

flight control of standard missiles. (www.milius.navy.mil)

www.comsat-history.com


85

www.kyes.com

EJERCICIOS:

1. (a) Determine la distribución Dolph-Tchebyscheff "broadside" de las amplitudes de un arreglo de 3 antenas isotrópicas si el nivel de los lóbulos laterales debe ser de 40dB por debajo del principal. (b) Trace el patrón. (c) Calcule el HPBW del AF. (d) Trace el patrón resultante si usamos antenas dipolares horizontales de media onda en lugar de isotrópicas. (i.e. multiplique los patrones gráficamente) (e) Verifique todo usando el programa Nec Win. Use la distancia óptima entre antenas.

2. Demuestre que para un arreglo uniforme lineal "broadside" de N antenas isotrópicas, la distancia máxima entre antenas para evitar que haya más de un lóbulo principal debe ser:

3. Un arreglo de 5 elementos con SLL= -20 dB , d= λ/2. Halla (a) los coeficientes de distribución Dolph-Tchebyscheff. (b) HPBW Respuesta: xo = 1.2933, Coeficientes (normalizados) A2 = 0.518, A1 = 0.833, 2A0 = 1.0, HPBW = 23.7°. Patrón tiene 3 lóbulos menores entre 0° y 180°. (sin normalizar: A2 1.3988, A1 = 2.25, 2A0 = 2.70245)

4. Halle número mínimo de antenas isotrópicas para un arreglo Dolph-Tschebyscheff. El nivel de los lóbulos laterales debe ser ≤-10dB y el HPBW ≤30°. El espaciamiento entre los elementos debe ser optimizado de forma que se obtenga máxima directividad para un número dado de antenas, pero ningún "grating lobe" entre -90 y 90 grados. La frecuencia de operación es de10GHz

NNd λ)1( −

≤

CAPITULO 7 7 ANTENA ESPIRAL o Hélice

La antena espiral o hélice (en inglés, "helix") tiene varias aplicaciones, como por ejemplo, en la telemetría (transmisión y recepción automática de información) de satélites y en cápsulas espaciales, entre otros. Esta consiste en un alambre enrollado espiralmente alimentado por la base (ver figura). La antena hélice fue inventada por J. D. Kraus.

D

s

Coaxial feed

Figura 7.1 Antena hélice o espiral

donde, S = espaciamiento entre las vueltas N = número de vueltas α = ángulo de salida ("pitch angle") C = circunferencia de cada vuelta = πD D = diámetro Si estiramos una de las vueltas, podemos formar un triángulo,

Ground Plane: diameter>3λ/4

α

Ns

ANTENA ANTENA ESPIRALESPIRAL o Héliceo Hélice

87

S

L

C= D 22 CsL += Ecuación 7.1

Figura 7.2 Detalle del alambre cerca de la alimentación

Existen dos modos de operación que dependen del tamaño del espiral (de su circunferencia versus largo de onda). • Normal • Axial 7.1 MODO NORMAL Su patrón parece el de un dipolo (NL<< λ), donde NL es el largo total del alambre.

Figura 7.3 Antena hélice - Modo Normal (perpendicular) de Operación

Eθ = jηkIoSe- jkr

4πrsinθ (dipolo)

Eφ = ηk2 D / 2( )2 Ioe- jkr

4rsinθ (lazo)

(i) Si |Eθ| = |Eφ| tenemos polarización circular. (ii) En general la polarización será elíptica.

π

….Dipolo pequeño de largo S ….Lazo pequeño del radio D/2


88

(iii) Tiene un ancho de banda angosto debido a la dependencia en sus dimensiones geométricas.

7.2 MODO AXIAL Su patrón es más dirigido. Aquí es que se encuentran la mayoría de las aplicaciones para la antena hélice. Para obtener polarización circular en el lóbulo principal, la circunferencia de las vueltas debe ser de tamaño, 3/4 λ < C < 4/3 λ

Modo Axial

Antena espiral o hélice

Figura 7.4 Antena Hélice - Modo Axial

Los dimensiones que rinden patrón óptimo son; C = λ S ≈ λ /4 α = 14° (valores típicos son 12° < α < 18°) El patrón de campo normalizado para este modo de operación es similar al de un arreglo

de N lazos; [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

2sin

2sin

cos2

sinψ

ψθ

πN

NE

Ecuación 7.2

donde, en este caso,

Alimentada con un cable coaxial.

Plato reflector de diámetro λ/2 ó 3λ/4.


89

ψ = 2π Sλ1− cosθ( )+

12N

⎡ ⎣

⎤ ⎦

Ventaja: Tiene mayor ancho de banda. El patrón es más dirigido. Se encuentra que a mayor número de vueltas, se obtiene mayor ganancia. La impedancia de entrada de la espiral en este modo es casi toda real. (Valores típicos entre 100 y 200 Ω). A continuación se presentan unas fórmulas empíricas,

R ≅ 140Cλ

HPBWo ≅52λ3/2

C NS

Do ≅15NC2S

λ3

para

334

43

1812

>

<<

≤≤

N

C

oo

λλ

α

λ

Ecuación 7.3

Para aparear la R, se puede aplastar el alambre a medida que se acerca al plano a tierra y se separa de este mediante un material dieléctrico._______________________________

Ejemplo: Diseñe una antena espiral con 5 vueltas que opere en el modo axial a 300 MHz y tenga polarización circular en el lóbulo principal. Halle:

a) circunferencia cerca de la óptima b) espaciamiento c) impedancia de entrada d) HPBW e) Directividad

Problema:

1. Diseñe una antena hélice con HPBW≤60° y directividad ≥16dB. La antena deberá estar apareada en impedancia con una línea coaxial de 120 Ω. Determine el número de vueltas requerido, N, la circunferencia de cada vuelta, C, el ángulo de salida ("pitch angle"), α y el espaciamiento entre ellas, S, para operarla a f=300 MHz.

2. See example at http://helix.remco.tk/ 3. and http://www.qsl.net/pa0hoo/helix_wfi/index_eng.htm 4. See http://www.professionalwireless.com/helical/index.htm 10.26 (Balanis) Design an end-fire right-hand circularly polarized helix having a half-

power beamwidth of 45o , pitch angle of 13o , and a circumference of 60 cm at a frequency of 500 MHz. Determine a. turns needed b. directivity c. axial ration


90

d. lower and upper frequencies of the bandwidth over which the required parameters remain relatively constant

e. input impedance at the center frequency and the edges of the band from part d) Answer: N=6, D=20.8 (13 dB), AR = 1.083, 375-667MHz, 140, 105, 187 ohm

10.27 Design a helical antenna with a directivity of 15 dB that is operating in the axial mode and whose polarization is nearly circular. The spacing between the runs is λ/10. Determine the

a. number of turns b. axial ratio, both as a dimensionless quantity and in dB c. Directivity according to Krauss equation (in DB)

Answer: N=21, AR =1.02, HPBW= 36.8o D= 14.5dB or 15dB 10.28 Design a 10 turn helical antenna so that at the center frequency of 10 GHz, the circumference of each turn is 0.95λ. Assuming a pitch angle of 14o, determine the

a. mode in which the antenna operates b. half-power beamwidth (degrees) c. directivity in dB.

Answer: Axial mode, HPBW=36o , D=15dB 10.29 A lossless 10-turn helical antenna with a circumference of one-wavelength is connected to a 78-ohm coaxial line, and it is used as a transmitting antenna in a 500 MHz spacecraft communication system. The spacing between turns is λ/10. The power in the coaxial line from the transmitter is 5 watts. Assuming the antenna is lossless:

a. what is radiated power? b. If the antenna were isotropic, what would the power density (W/m2) be at a distance of 10 km? c. What is the power density at the same distance when the transmitting antenna is a the 10-turn helix and the observation are made along the maximum of the major lobe? d. If at 10km along the maximum of the major lobe an identical 10-turn helix was placed as a receiving antenna, which was polarization-matched to the incoming wave, what is the maximum power (in watts) that can be received?

Answer: R= 140 ohm, Prad=4.595W, Siso=3.656nW/m2, D=15, Shelix =54.8nW/m2, Ae=0.6m2, Prec=26.6nW

10.26 N=21, AR =1.02, HPBW= 36.8o D= 14.5dB or 15dB, 10.27 Axial mode, HPBW=36o , D=15dB 10.28 R= 140 ohm, Prad =4.595W, Siso=3.656nW/m2, D=15, Shelix =54.8nW/m2,

Prec=23.6nW

CAPITULO 8 8 ANTENAS REFLECTORAS

Parabólicas Esféricas

Foco

Onda plana

Figura 8.1 Comparación entre antenas de reflector parabólico y esférico

Es ideal para enfocar todo en un punto pues recorren iguales distancias (usando aproximación de rayos- óptica geométrica, Ley de Snell)

Las ondas viajan distintas distancias. En caso de una antena receptora, cuando entran, no convergen en un punto focal

Esto dificulta el rastreo angular Si transmite, no produce una onda plana (aberración esférica)

Posibilidades; • rotando la estructura (viable si no es muy pesada) • mover la antena alimentadora- no se puede ya que produce astigmatismo (visión borrosa debido a que la córnea no es esférica)

Se puede mover el "feed". Es ideal para rastreo a grandes ángulos debido a su configuración de geometría simétrica perfecta.

Tiene punto focal. Tiene foco de línea.

ANTENAS REFLECTORASANTENAS REFLECTORAS

92

Reflector Antennas

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-6 -4 -2 0 2 4 6

ParabolicSpherical

Parabólica fxy 4/2=

Esférica 22 xffy −−=

8.1 PARÁBOLA La antena paraboloidal (comúnmente conocida como parabólica) consiste en un reflector (plato) y una antena alimentadora (feed). El plato se forma rotando la ecuación de la parábola alrededor de un mismo eje.

0

R

fF(foco)

d

reflector

Figura 8.2 Diagrama mostrando parámetros de la antena parabólica

θ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=2

cot41 o

df θ

f= focus point (feed position)


93

La proporción entre la distancia al punto focal, f y el diámetro del plato, d, determina el ángulo de abertura.

Figura 8.3 Detalle del ángulo de abertura

El ángulo de abertura, 2θo, disminuye a medida que la razón f/d aumenta. El patrón de campo normalizado de cualquier abertura circular está dado por;

φ

φλπ

πλ

φsin

sin2)(

1 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

dJ

dE Ecuación 8.1

Se puede observar que la variación del patrón es de forma J1(x)/x.

Figura 8.4 Gráfica de J1(x) /x

f/d 2θo

0.25 180° 0.35 140° 0.50 106° 0.75 74° 1.00 56°


94

De la gráfica se puede observar que el valor máximo es 0.5 y este ocurre en x=0. El ángulo de media potencia, ø1/2, se halla donde la gráfica a disminuido en un 70% (ya que es un trazo de campo y no de potencia). Esto ocurre cuando

J1 x( )x

=.52= 0.35

Ecuación 8.2

x J(x)/x0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

0.50000 0.49938 0.49750 0.49440 0.49007 0.48454 0.47783 0.46999 0.46105 0.45105 0.44005

x J(x)/x1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.81.9 2.0 2.1

0.42809 0.41524 0.40156 0.38710 0.37196 0.35618 0.33986 0.32306 0.30587 0.28836 0.27061

Evaluación de la función para valores pequeños de x.

El valor de x correspondiente a este punto, x1/2, es de 1.6 (de la tabla anterior). Es decir,

( ) 6.1sin 2/12/1 == φλπ dx

Y el ángulo correspondiente es entonces,

( ) ( )dd /5.0sin/6.1sin 112/1 λπλφ −− ==

Para platos con diámetro d grande, ø1/2 es pequeño y se puede usar la aproximación,

[ ]d

radd

oλλφ

295.02/1 =≅

Entonces, el ancho de ángulo de media potencia es,

dHPBW o /582 2/1 λφ ==

La directividad de una antena reflectora circular se calcula presumiendo que la abertura efectiva máxima es igual al área física seccional del plato.

( )22 //4 λπλπ dAD p ==


95

Ecuación 8.3

La diferencia entre la directividad y la ganancia de la antena es tomada en cuenta dentro del factor de eficiencia de abertura, εAP. Se utiliza la eficiencia de la abertura para tomar en cuenta factores como; pérdidas óhmicas, "amplitude taper", bloqueo, error en la superficie del plato, astigmatismo, "squint" (la antena alimentadora está exactamente en el foco), y otros.

G = εAP D La ganancia también se puede aproximar si conocemos el ancho de haz (HPBW) en ambos planos del patrón.

G ≈26,000

HPBWEoHPBWH

o

Ecuación 8.4

8.2 DERRAME (“SPILLOVER”) Si el HPBW de la antena alimentadora es mayor que el ángulo de abertura, una parte de la radiación que emite no intercepta al reflector. Este derrame ("spillover") causa disminución en la ganancia ya que esta potencia se pierde, no llega al lóbulo principal.

Plato reflector

Antena alimentadora

derrame

derrame

Pérdida de potencia debido a derrame. Figuras 8.5 Diagrama mostrando el derrame de señal que puede ocurrir en antena reflectora

*Alimentador mirando hacia abajo puede recibir emisiones de la Tierra.


96

Este es un problema que se debe tomar en cuenta al escoger una antena alimentadora apropiada para un sistema reflector. 8.3 ANTENA ALIMENTADORA Para un ángulo de abertura, θ0, dado, existe un patrón óptimo de la antena alimentadora que rinde ganancia máxima. Como, usualmente, la ganancia de la antena alimentadora es mayor para el centro del plato que para los extremos, se observa que la amplitud del campo va decreciendo gradualmente según se aleja del "main lobe" del "feed". A esto se le conoce como "amplitude taper".

Patrón primario

Patrón del feed ideal, ilumina uniformemente el reflector

"Amplitude taper"

"feed"

Reflector Reflector

"feed"

El plato se ilumina uniformemente. Figura 8.6 Problemas comunes con antenas que usan platos reflectores

Existen distintos tipos de alimentadoras ("feeds") de acuerdo a la frecuencia y a la polarización a usarse.

LP CPCP

Frequencias bajas (VHF, UHF) Figura 8.7 Distintos tipos de antenas alimentadoras


97

CP, LP, EP LPAntenas alimentadoras para frequencias altas (microondas, ondas milimétricas)

Figura 8.8 Antenas alimentadoras para frecuencias altas (microondas, ondas milimétricas).

Si la antena se va a rotar, como por ejemplo para aplicaciones de seguimiento del blanco ("target tracking"), el alimentador debe ser liviano y estar atado al reflector. 8.4 CASSEGRAIN FEED La línea de transmisión alimentadora (la que provee potencia a la alimentadora) a veces puede ser bastante larga. En un sistema receptor de bajo-ruido, este largo en la línea introduce ruido no deseado que se puede confundir con señales recibidas muy pequeñas. En este caso se puede usar el alimentador Cassegrain. Este consiste en colocar la antena alimentadora en un pequeño agujero en el centro del reflector en vez del punto focal, apuntando a un subreflector de forma hiperbólica. De esta manera los "rayos" reflejados de éste parecen originarse del foco de la parábola.

Reflector Hiperbólico

Parábola

Antena Cassegrain Figura 8.9 Antena Cassegrain

Línea de Transmisión


98

Ventajas: • No tiene líneas largas • La antena transmisora y receptora están más accesibles para reparaciones y pueden ser pesadas. • En sistemas de recepción en Tierra, el "feed" apunta al cielo el cual es una fuente de bajo ruido. Esto reduce la interferencia.

Desventajas: • El subreflector bloquea parte de la radiación del alimentador.

8.5 BLOQUEO Tanto el subreflector del Cassegrain, como las estructuras de soporte del alimentador producen bloqueo. Si la antena está recibiendo, es fácil de visualizar que habrá una reducción en la abertura efectiva de la antena. Lo mismo ocurre en la transmisión. Además, si la antena transmite, habrá ondas que choquen y viajen en dirección contraria causando onda estacionaria (que tendría que ser corregida con circuitos de apareamiento) y degradación en el transmisor.

Vista superior

Cassegrain Alimentadora en el foco

Figura 8.10 Efectos del bloqueo

Una solución a este problema ha sido la antena reflectora con alimentador desplazado ("offset-feed reflector antenna"). Esta consiste en utilizar una sección de la parábola con una alimentadora desplazada de manera que no ocurra bloqueo en el patrón de irradiación.


99

Figura 8.11 Alimentadora Desplazada (“Offset feed”)

Desventajas: • Difícil de rotar • habrá mayor componente de polarización transversal ("cross-polarization") • Difícil hallar una alimentadora con patrón normalizado a su superficie.

8.6 GREGORIANO Es un sistema de doble reflector parecido al Cassegrain, pero el reflector secundario se coloca cóncavo en vez de convexo, similar a los telescopios Gregorianos. Ahora el foco se encuentra entre los dos reflectores. El Observatorio de Arecibo utiliza una alimentadora tipo Gregoriano pero desplazado (Offset-Gregorian), o sea que en total tiene tres reflectores; el primario, de 305 metros, y el secundario y terciario junto con un "horn" sirviendo de antena alimentadora.

Ventajas: “No feedhorn blockage. Low inclination angle (no rain or snow collection) Feed looks at sky (no Earth signal contamination)”


100

Figura 8.12 Reflectores del Observatorio de Arecibo. Observe que los rayos del reflector primario

salen paralelos.

Las formas de los Gregorianos fueron sintetizadas para corregir la aberración esférica del primario.

Figura 8.13 Detalle de los platos secundario y terciario del Observatorio de Arecibo.

8.7 OTROS TIPOS DE REFFLECTORES

Cilindro Parabólico

"line feed"

"Parabolic Torus"


101

Figura 8.14 Otros tipos de reflectores

8.8 "CROSS-POLARIZATION" Ocurre cuando el reflector altera la polarización que llega del "feed" de manera que

introduce o aumenta el componente de polarización transversal que se supone sea cero. Para la mayoría de las aplicaciones, se desea que la "cross-polarization" del sistema sea bajo. Un ejemplo de aplicación son los satélites localizados en la órbita estacionaria, la cual se encuentra a 36,000 kilómetros sobre el ecuador. En esta orbita sólo cabe un número limitado de satélites, actualmente con separación de 20 entre ellos. Para la óptima utilización de esta órbita se necesitan antenas de lóbulos laterales bien bajos (=-35dB) y también "x-pol levels" bajos (=-35dB) para evitar interferencias.

[NASA Jason-1 Satellite to study the topography of the ocean

using a microwave altimeter and radiometers to correct for the

water vapor path delay.]

EJERCICIOS: 1. (a) Una antena de la telefónica consiste en una alimentadora con patrón de potencia de cos6θ con un reflector paraboloide. Determine el "half power beamwidth", HPBW, de la alimentadora.(en grados)

(b) Se requiere una ganancia de 50 dB a 12 GHz. Para minimizar los efectos de derrame ("spillover") y de iluminación se escogió un ángulo de apertura de 2 θo=90°. Halle el diámetro y la distancia focal requerida para lograr este propósito. La eficiencia de

apertura de la antena a este ángulo es de 0.83.

CAPITULO 9 9 ANTENAS DE ABERTURA

9.1 INTRODUCCION Anteriormente analizamos la antena de dipolo a base de la distribución de corriente en el alambre y vimos que el campo en el "far field" era proporcional a la transformada de Fourier del "near field". De la Sec.3.4,

Az =µ4πr

e− jkr I z'( )e+ jkz' cosθ

−l /2

l /2

∫ dz'

donde I(θ) se definió como la transformada de Fourier, o sea,

Ι θ( ) = I z'( )e+ jkz' cosθ− l / 2

l /2

∫ dz'

En este capítulo estudiaremos el tipo de antenas conocido como de abertura. Se demuestra que el patrón en el "far field" de una abertura es proporcional en este caso a la transformada de Fourier del campo en la abertura. En este tipo de antena, el tamaño de la abertura (LxW) tiene que ser varias veces el largo de onda para lograr una ganancia alta. Por esta razón, son utilizadas para largos de onda pequeños, (altas frecuencias) como las microondas. 9.2 METODO DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Si la transformada de w(x) es W(kx), entonces;

dxexwkW xjk

xx∫

∞

∞−= )()(

y xxjk

x dkekWxw x−∞

∞−∫= )(21)(π

Ecuación 9.1

donde kx es semejante a la variable de tiempo t, y x es semejante a la frecuencia. Para una función de dos variables, u(x,y), el par de Fourier se define como sigue;

ANTENAS DE ABERTURAANTENAS DE ABERTURA

103

U kx, ky( )= u(x, y)ejk xx + jky y−∞

∞

∫−∞

∞

∫ dx dy y ∫ ∫∞

∞−

−−∞

∞−= yx

yjkxjkyx dkdkekkUyxu yx),(

41),( 2π

Ecuación 9.2

9.2.1 Propiedades de Fourier

Utilizaremos la siguiente propiedad de la transformada de Fourier;

( )

),(),(

),(),(

),(),(

)()(

22

2

22

2

yxukxyxu

yxujkxyxu

yxujkxyxu

tsjdttds

yxxyx

xxx

xxx

tt

FF

FF

FF

FF

−=∂

∂

−=∂

∂

−=∂

∂

= ω

Ecuación 9.3

O sea la derivada con respecto a tiempo de una función es igual a jω veces la transformada de Fourier de la función. Aplicando esto a la ecuación de ondas a una distancia de la antena de apertura

0022

=⋅∇

=+∇

EEE ok

Las cuales se expanden en

0),,(),,(),,(

0

2

22

2

2

2

2

2

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

E

EE

ozyx

o

kzzyxE

yzyxE

xzyxE

kzyx

Ecuación 9.4

Obteniendo las transformadas de Fourier de las dos ecuaciones de arriba, queda

0

),,(),,(),,(

0),,()(),,( 2222

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂++

=−−+∂∂

zzkkE

jzkkEkzkkEk

zkkkkkzkkz

yxzyxyyyxxx

yxyxoyx EE

Ecuación 9.5


104

donde E(kx, ky ,z) es una la transformada de Fourier de E(x,y,z) en x y y (son dos funciones completamente distintas). Entonces si definimos

2222yxoz kkkk −−=

la Ecuación 9.5 queda como

0),,(),,( 2

2

2

=+∂

∂zkkk

zzkk

yxzyx E

E

cuya solución tiene forma de zjkze− , de manera que zjk

yxyxzekkzkk −= ),(),,( fE

Substituyendo esto en la Ecuación 9.5b) obtenemos 0=++ zzyyxx fkfkfk ó 0=⋅ fk

Usando la transformada de Fourier inversa, la solución para el campo eléctrico sería

∫ ∫∞

∞−

⋅−∞

∞−= yx

jyx dkdkekkzyx rkfE ),(

41),,( 2π

Ecuación 9.6

Si dejamos que z=0, nuestra solución para el campo eléctrico debe ser igual al campo en la abertura. Entonces,

∫ ∫∞

∞−

−−∞

∞−== yx

yjkxjkyxa dkdkekkyxyx yx),(

41)0,,(),( 2tan fEEπ

Ecuación 9.7

Esto se conoce como la transformada de Fourier de dos-dimensiones, y de la Ecuación 9.2a,

dxdyeyxEkk yjkxjka

Syxt

yx

a

+

∫∫= ),(),(f

Ecuación 9.8

Se puede demostrar que el campo en el far field está dado por

( )φθφθπ

θsinsin,coscos

2cos

)( bkaker

jkr oot

rjko o fE −≈

Ecuación 9.9

9.3 RADIACION DE UNA ABERTURA RECTANGULAR Una abertura rectangular de dimensiones 2a a lo largo de el eje de x, y 2b a lo largo de y localizada en el origen (z=0) con campo uniforme en la abertura.

espacio del resto elen 0 para ),(

=

≤≤= b|y|a|x|Eyx oa xE


105

Entonces podemos conseguir el campo en el “far field” usando los resultados de la sección anterior (Ecuación 9.8).

dxdyeE yjkxjka

a

b

bot

yx +

− −∫ ∫= xf

( ) ( )

vv

uuabE

bkbk

akakabE

bkbk

akakabE

o

o

o

o

oo

y

y

x

xo

sinsin4

sinsinsinsinsin

cossincossinsin4

sinsin4

x

x

x

=

=

=

φθφθ

φθφθ

Ecuación 9.10

Entonces el campo eléctrico sería

( )θφφπ

coscosˆsinˆsinsin24

)( φθE −= −

vv

uue

rabEjk

r rjkoo o

Este campo se tiene la forma de sinx, la cual luce según muestra la figura.

Figure 9.1 Antena de abertura rectangular con iluminación uniforme y su patrón de radiación

(de Collin R. E. “Antennas and Radiowave Propagation” McGraw Hill. 1985).


106

9.4 RADIACION DE UNA ABERTURA CIRCULAR En este caso hay que cambiar las coordenadas a coordenadas cilíndricas.

ρφρφφθπ

ddeE ojka

ot ')'cos(sin

0

2

0

−∫ ∫= xf

( )θθ

πsinsin2 12

akakJEa

o

oox=

Ecuación 9.11

Siempre que tenemos geometría circular, los campos resultantes tienen forma expresable en términos de funciones Bessel en lugar de senos y cosenos.

Figure 9.2 Antena de abertura circular con iluminación uniforme y su patrón de radiación

(de Collin R. E. “Antenas and Radiowave Propagation”McGraw Hill. 1985).

9.5 ANTENAS TIPO CUERNO- “HORN” Las antenas piramidales fueron inventadas a finales del siglo 1800, se estudiaron intensamente en los años 1930. Son las más usadas en microondas en radio astronomía,


107

rastreo de satélites y en comunicaciones.. Se usan también como elemento alimentador para otras antenas o reflectores. Son el estándar para medidas de ganancia de antena y para calibración de otras antenas. Los tipos principales son plano-H, plano-E, piramidal y Cónica.

Figure 9.3 Antena piramidal

Las de tipo plano-H son como una guía de onda que se ha estirado en el plano donde está el campo magnético, H. Similarmente, las de tipo plano-E son un guía de onda que se ha estirado en el plano donde está el campo eléctrico, E. Las piramidales es un guía donde se han estirado ambos lados. Y las cónicas es un guía circular expandido cónicamente.

9.5.1 Antena Plano-H

Para diseñar este tipo de antenas se usan unas gráficas de diseño como las que se muestran a continuación. Su directividad se puede calcular de :

[ ] [ ]{ }22

1

2max )()()()(44 vSuSvCuCab

PUDrad

H −+−==λρππ

Ecuación 9.12

donde C(u) y S(u) son las integrales de Fresnel. Una forma simplificada es:

λρλ

/50h

HH

GbD = Ecuación 9.13


108

donde GH se halla gráficamente de las fig.13.16 &17 de Balanis, una vez

calculamosλρλ /

501

h

aA =

Figure 9.4 Antena Horn plano-H


109

9.5.2 Antena Plano-E

En la figuras abajo se muestra la antena corneta plano-E. Para la misma se puede calcular su directividad a base de:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

1

12

1

12

1

1max

22644

ρλρλλπρπ bSbCba

PUDrad

E Ecuación 9.14

o aproximarse a partir de:

λρλ

/50e

EE

GaD = Ecuación 9.15

usando λρλ /

501

e

bB = para calcular GE de una figura.

1

1 2/2tanρ

ψb

e=


110

9.5.3 Antena Piramidal

La antena piramidal se extiende en ambos planos. Su directividad se calcula a partir de

HEp DDab

D32

2πλ= Ecuación 9.16

λρλρπ

/50

/50/32

1

eh

HEp

GGD = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==λλ

ππλ//323200

2

bD

aDDD

abD he

HEp Ecuación 9.17

El diseño óptimo de una antena piramidal se consigue con las condiciones 83λ

=− oh ll y

4λ

=− oe ll , ambos de los cuales tienen que ser iguales para que se pueda construir

físicamente.

CAPITULO 10 10 ANTENAS DE MICROCINTAS

10.1 ANTENAS DE PARCHO Inicialmente propuesta por G.A. Deschamps en 1953, no fueron prácticas hasta los años 1970 cuando se desarrollaron usando materiales de sustrato de bajas pérdidas.

Figura 10.1 Esquemático lateral y vista superior de una antena de microcintas tipo parcho.

Las antenas de parcho se pueden imprimir directamente en un tablero de circuitos, usando varios métodos disponibles. Se usan para frecuencias altas, incluyendo en teléfonos celulares. Son de bajo costo y fáciles de manufacturar. Las desventajas son que sólo aceptan potencia relativamente baja, tienen polarización impura y anchos de banda angostos (usualmente 1 a 5%). El ancho W de la antena controla la impedancia de entrada, usualmente se diseñan de medio largo de onda. Para un parcho rectangular alimentado como se muestra arriba, la impedancia de entrada es alrededor de 300 Ω. Al aumentar el ancho, la impedancia se reduce. Sin embargo, para reducirla a 50 ohmios quedaría demasiado ancho. La ganancia es entre ~ 5-7 dB


112

Figura 10.2 Esquemático en tres dimensiones de una antena de microcintas de parcho rectangular y su patrón de irradiación.

ororc L

cLcf

µεεε 22=≈ Ecuación 10.1

φφθφθ

φθ

θ coscossin2

cos

2sinsin2sinsinsin

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=kL

kW

kW

E Ecuación 10.2

φθφθφθ

φθ

φ sincoscossin2

cos

2sinsin2sinsinsin

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−=kL

kW

kW

E Ecuación 10.3

( ) 22, φθφθ EEf += Ecuación 10.4

Las antenas de microcinta se pueden diseñar para tener polarización-dual (por ejemplo H,V) para ser rastreadas electrónicamente usando cambios de fase o frecuencia.


113

Figura 10.3 Arreglo planal de antenas de microcinta alimentadas para transmitir dos polarizaciones.

Hay varias maneras de alimentar una antena tipo parcho, por ejemplo usando una línea coaxial o usando otra línea de microcinta.

Figura 10.4 Tipos de alimentación para antena de parcho.

10.2 PROCESO DE DISEÑO

10.2.1 Permitividad Efectiva La permitividad relativa efectiva del sustrato tiene un valor entre la permitividad del aire (1) y la del sustrato puro debido a que parte del campo se transmite a través del aire.

1/

12121

21

1

>

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+

+=

−

hWfor

Whrr

reffεε

ε Ecuación 10.5


114

10.2.2 Efectos de los Bordes (Fringing Effects) Debido a que los campos se doblan cerca de los bordes. Se toman en cuenta haciendo L más largo de lo que es físicamente.

( )

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=Δ

Δ+=

8.0258.0

264.03.0412.0

2

hWhW

hL

LLL

eff

eff

reff

ε

ε Ecuación 10.6

010

010

r

rc

ffq = donde

rr L

cfε2010 = y

reffeffrc L

cfε2010 =

Según aumenta h, la q también aumenta y esto implica separaciones mayores entre los bordes que irradian y frecuencia de resonancia menores.

10.2.3 Procedimiento

1. Calcule W

12

2 +=

rrfcW

ε Ecuación 10.7

2. Calcule la permitividad efectiva 2/1

12121

21 −

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

++

=Whrr

reffεε

ε Ecuación 10.8

3. Halle DL

( )

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=Δ

8.0258.0

264.03.0412.0

hWhW

hLeff

eff

ε

ε Ecuación 10.9

4. Halle el largo real, L

LfcL

reffr

Δ−= 22 ε

Ecuación 10.10

La impedancia característica se puede hallar de


115

Ecuación 10.11

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +++

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

1444.1ln667.393.1

120

148ln60

hW

hW

hW

hW

hW

Wh

Zo

ooeff

oo

oeff

c

ε

π

ε

CAPITULO 11 11 TEMPERATURA DE LA ANTENA

11.1 RUIDO TERMAL ("THERMAL NOISE") El movimiento aleatorio de electrones en un resistor R a temperatura absoluta T produce un voltaje de ruido aleatorio a través de los terminales del resistor. Si es ruido blanco ("white noise"), i.e., que es independiente de la frecuencia, entonces,

R

T

Figura 11.1 Representación del ruido termal producido por el movimiento de electrones.

P = kTDf (Nyquist)

Ecuación 11.1

donde, P = potencia total de ruido, W k = constante de Boltzmann = 1.38 x 10 -23 J K-1

T = temperatura absoluta en Kelvin (K) Δf = ancho de banda, Hz

Note que la potencia de ruido depende directamente de la temperatura. Si en lugar de una resistencia, tenemos una antena sin pérdidas con resistencia de radiación, Rrad = R,

R

Figure 11.2 Dentro de una cámara anecóica a temperatura T

TEMPERATURA DE LA ANTENATEMPERATURA DE LA ANTENA

117

Cielo a T

R

Figure 11.3 Mirando al cielo (solamente) a temperatura T

entonces también la potencia total de ruido está dada por, P = kT Δf

Ecuación 11.2

Si la antena tiene área efectiva Ae (m2), y está dirigida a una fuente de radiación (sol, estrella, etc.) que produce una densidad de potencia por ancho de banda, S [W/m2Hz], en la antena, entonces la potencia recibida por la antena será,

Ae

P

fuente

S[W/mHz]

Figura 11.4 potencia radiométrica recibida por una antena

P = S Ae Δf (W) Igualando se obtiene,

ΔTa = S Ae /k [K] Ecuación 11.3

donde ΔTa es la temperatura incremental debido a la fuente. Se mide como la diferencia en temperatura de antena con la antena apuntando lejos de la fuente de radiación y directamente a la fuente de radiación. Hasta ahora se ha presumido que la antena está apareada en impedancia con la línea de transmisión y el recibidor, de manera que ΔTa = Ts. ("source temperature"). Pero si G= η D, con η≤1, entonces,

S [W/m2Hz]


118

ΔTa = η Ts + (1−η) Tp Ecuación 11.4

donde, Tp = temperatura física de la antena Ts = temperatura de la fuente en el "background" a donde mira la antena, también se conoce como la temperatura de brillo de una fuente. Una fuente puede ser una estrella, el cielo o lo que esté mirando la antena.

Si la antena no tiene pérdidas y está apareada η = 1 y la temperatura de la antena no tiene nada que ver con la temperatura física de la antena, ΔTa = Ts. Examinemos tres casos con η = 1: 1- Si la antena no tiene "sidelobes" o "backlobes" y su rayo es más angosto que la fuente, ΔTa = Ts, todo lo que recibe la antena proviene de la fuente pues es lo único que entra en su región de observación.

Antena

Area de rayo

Fuente

Figura 11.5 Potencia de ruido recibida si el rayo es menor que el ángulo sólido ocupado por la fuente.

Entonces la antena y recibidor actúan como un aparato de sensor remoto pasivo (no transmite). Radiómetro- Se usa para medir las temperaturas (de brillo) de zonas cercanas o lejanas dentro del haz de la antena. Ej. La tierra: glaciares, vegetación, huracanes, nubes, nieve, océano, etc. y, el espacio: aplicaciones de radioastronomía, galaxias, cuasares, estrellas, pulsares, etc. 2- Si el "antenna beam" es más ancho que la región de la fuente, sólo parte del "antenna beam" intercepta a la fuente. Entonces, Ts = Ωa Ta / Ωs

Antena

Area de rayo

Fuente


119

Figura 11.6 Potencia de ruido recibida si el rayo es mayor que el ángulo sólido ocupado por la fuente.

3- Caso general- la temperatura total de la antena no sólo es la contribución de una fuente en particular sino de varias. Tenemos que ver hacia dónde mira cada parte del patrón de la antena. Entonces la temperatura de la antena sería,

Ta =1Ωa

Ts0

2π

∫θ =0

π

∫ θ,φ( )Pn θ,φ( )dΩ

Ecuación 11.5

donde, dΩ = sinθdθdφ ________________________________________________________________

Ejemplo: Antena reflector circular con Ae = 400 m2 y λ= 25 cm, está mirando a zenith. ¿cuánto será la temperatura de la antena, Ta, si la temperatura del cielo es uniforme y es de Tsky = 8K y la temperatura de la tierra es de 300K? Presuma que la mitad del área del haz de los "minor lobes" está mirando hacia la tierra ("backlobe"). La eficiencia del haz = 0.75= ΩM / Ωa = "beam efficiency". ________________________________________________________________

Tsky es la temperatura de brillo del cielo. Se debe a la reminiscencia de lo que fue la Gran Explosión (“the Big Bang”) que creó el universo. Esta temperatura varía con frecuencia debido a radiación a bajas frecuencias (< 1.0 GHz) desde nuestra galaxia, de la atmósfera dependiendo el ángulo de observación, y debido a la temperatura de ruido cuántico (a frecuencias >30GHz). Sin estas interferencias la temperatura de ruido de la gran explosión es 2.7 K. 11.2 TEMPERATURA DEL SISTEMA, TSYS Para detectar cuánto es la potencia mínima detectable por un radar o radiómetro, se necesita conocer cuánto es la potencia de ruido total producida ya sea por Tsky o por la temperatura T de componentes dentro del radar (recibidor).


120

Para saber la potencia total de ruido contribuida por el recibidor se calcula una temperatura equivalente del sistema conocida como Tsys o sea temperatura del sistema.

RFAmp IF

Amp

Mixer

L.O.

Circuito Receptor

TG

TG

TGT

T

"Background"

Antenna Línea de Transmisión

Figura 11.7 Sistema receptor en un radar o radiómetro

La temperatura del sistema depende de la temperatura de ruido del cielo, de la tierra y del ambiente, además del patrón de la antena (todo lo anterior es tomado en cuenta dentro de Ta), y de los otros componentes del receptor.

cLTLTaplalsys LTTLTTT Re)1()1( +−+−+= ηη

Ecuación 11.6

donde, Ta = temperatura de ruido de la antena TAP = temperatura física de la antena ηl = eficiencia termal de la antena TLT = temperatura física de la línea de transmisión o guía de onda LLT = pérdidas de la línea o guía de onda TRec = temperatura de ruido del receptor

La temperatura del receptor se puede hallar con,

TR = TRF + Tm/GRF + TIF/ GRFGm + ... Ecuación 11.7

donde, Gi = ganancia de potencia de los componentes internos del receptor

RF

RF

m m IF

IF LT

a


121

Ti = temperatura de ruido de los componentes internos del receptor 11.3 "SIGNAL TO NOISE RATIO" (S/N Ó SNR) La temperatura de ruido mínima detectable, ∆Tmin, en un sistema de recepción está dada por,

ΔTmin =k 'TsysΔf t ’

Ecuación 11.8

donde, k' = constante del sistema ∆f = ancho de banda de pre-detección en el recibidor t = constante de tiempo de post-detección = tiempo de integración del filtro pasa bajas del recibidor.

Esta temperatura mínima detectable es una medida de la sensitividad del sistema receptor. Una fuente es detectable por un sistema sólo si ,

minTTa Δ≥Δ

La proporción de señal-a-ruido ("signal-to-noise ratio"), S/N, en términos de temperatura, se define como,

S/N = min/ TTa ΔΔ

La densidad de potencia (por unidad de ancho de banda) mínima detectable es; eATkS /2 minmin Δ=Δ .

Si se toman muchas muestras y se hace un promedio (ej. en radar de pulsos), entonces, nATkS e/2 minmin Δ=Δ

donde, n = # de muestras El S/N también se suele definir en términos de potencia, como,

S / N =potencia en la señal que llega a la antena

potencia de ruido Ecuación 11.9

donde,


122

S = Pr =PtAerAetr 2λ2

=PtGrGtλ

2

4πr2..........(ec. de Friis)

y N = Pn = kTsysΔfr

Sustituyendo, se obtiene,

S / N =PtAerAet

r2λ2kTsysΔf r

=PtGrGtλ

2

4πr 2kTsysΔfr

Ecuación 11.10

11.4 FIGURA DE RUIDO La figura de ruido (abreviada NF del inglés "Noise Figure") es un parámetro que se utiliza para cuantificar la cantidad de ruido introducida por un componente dado. Se relaciona a la temperatura de ruido del componente ce la siguiente forma,

F =T + ToTo

ó T = To F −1( ) Ecuación 11.11

donde, To= 290 K T = temperatura de ruido Este parámetro se expresa usualmente en decibeles,

NF = 10 log F Ecuación 11.12

123

REFERENCIAS Balanis, C. A.: Antenna Theory: Analysis and Design, Harper and Row, New York, 1997. Barrow, W. L. and F. D. Lewis, "Theory of the Electromagnetic Horn," Proc. IRE, 27, 51-64, January 1939. Collin, R. E., Antennas and Radiowave Propagation, McGraw-Hill, New York, 1985. DuHamel, R. H. and D. E. Isbell, "Broadband Logarithmically Periodic Antenna Structures," IRE Natl. Conv. Rec., pt. 1, 119-128, 1957. Kidal, Per-Simon, “Analysis of cluster feed for Arecibo tri-reflector system using forward ray tracing and aperture integration.”, IEEE Trans. On Ant. & Prop., Aug, 1993, 1013-1025. Kraus, J. D., Antennas, McGraw-Hill, New York, 1995. Pablos, Gianni, “Off The Grid X-Band Radar Node Development For Weather Applications ”, Thesis, UPR-Mayaguez, PR 2010 Pozar, D. M., "An update on Microstrip Antenna Theory and Design Including Some Novel Feeding Techniques," IEEE Ants. Prop. Soc. Newsletter, 28, 5-9, October 1986. Sadiku, M. N. O., Elements of Electromagnetics, Saunders College Publishing, New York, 1989. Stutzman, W. L. and G. A. Thiele, Antenna Theory and Design, John Wiley &Sons, New York, 1981. Ulaby, F. T., R. K. Moore and A. K. Fung: Microwave Remote Sensing, Active and Passive, Addison-Wesley, 1981.

124

DATOS BIOGRÁFICOS

Sandra Cruz-Pol obtained her Ph.D. in Electrical Engineering from Penn State University in the area of microwave remote sensing of atmospheric gases and ocean emissivity from space. Her MS degree was from the University of Massachusetts on polarimetric radars for earth remote sensing. Her BS was at University of Puerto Rico at Mayagüez.

She is a faculty member at UPRM since 1991 where she is currently a professor

and has worked in several projects sponsored by the National Science Foundation, NASA, and other agencies. She teaches courses in the area of Electromagnetics, Antennas, Radars, among others. Her research interests include remote sensing of the atmosphere, and weather radars. She is the Co-PI for the NSF Center for Collaborative Adaptive Sensing of the Atmosphere (CASA) at UPRM and Co-PI for the NSF MRI TropiNET X-band polarimetric weather radar network http://weather.uprm.edu

Dr. Cruz Pol is a member of the Committee for Radio Frequencies at the U.S.

National Academies of Sciences since 2010. She is a Senior Member of the Institute of Electrical and Electronic Engineers (IEEE) and a member of the IEEE Geoscience and Remote Sensing (GRS) Society. She is currently the Associate Editor for University Affairs for the IEEE GRS Newsletter. She was recipient of NASA Faculty Award for Research in 2001, and the GEM mentorship Award. She was selected Outstanding Professor of the Year from the ECE department on 2003. She enjoys reading, acrylic painting, international cooking and baking, playing the drums, salsa dancing, calligraphy, and exercising.

teoria y diseño de antenas - dr. cruz-pol

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