FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA ELECTRONICA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

CURSO: MATEMATICA BASICA: III UNIDAD

TEMA: VECTORES

1. Definición.- Se llama vector a todo segmento

orientado. El primero de los puntos que lo

determinan se llama origen o punto de

aplicación y el segundo extremo del vector

que determina el sentido, entre el primer

punto y el segundo punto hay un modulo o

norma del vector . La recta que contiene el

vector determina la dirección del mismo

sobre la recta,

1.1 Representacion grafica de un vector

Esta representación nos expresa un vector

tanto en el plano bidimensional o en en el

espacio (tridimensional)

Nota: muchas veces la dirección se da

indicnado el angulo que este vector hace con

los ejes coordenados.

2. Distancia entre dos puntos bidinesionales y

tridmensionales.

a) Distancia bidimensional de 2 puntos

d = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏)𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏)𝟐

b) Distancia tridimensional de 2 puntos

d = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧1 − 𝑧2)2

3. Vector Bidimensional, vector tridimensional,

vector n-dimensional.

Un vector bidimensional es una pareja

ordenada de números reales (x,y,z), donde “x”

se llama la primera componente y, “y” se

llama segunda componente.

Un vector tridimensional es una terna ordenada

de números reales (x,y,z), donde “x” se llama la

primera componente y, “y” se llama segunda

componente y “z” la tercera componente.

a) Observaciones

1) A los vectores bidimensional se le

representa por letras minúsculas y en la

parte superior se le coloca un segmento

de recta o una flecha, es decir:

�� = (𝑎1, 𝑎2,), b = (b1, b2), c = (c1, c2, 𝑐3),……

2) A los vectores tridimensionales se les

representa por letras minúsculas y en la

parte superior se le coloca un segmento

de recta o una flecha, es decir:

�� = (𝑎1, a2,a3), b = (b1, b2, b3), c =

(c1, c2, 𝑐3),……

3) A los vectores n-dimensionales se les

representa por letras minúsculas y en la

parte superior se le coloca un segmento

de recta o una flecha, es decir:

�� = (𝑎1, a2, … … an), donde 𝑎𝑖 𝜖 R, i = 1, 2,

3, ………..n

Al conjunto de vectores n-dimensional lo

representaremos por 𝑉𝑛, es decir:

𝑉𝑛= 𝑅𝑛 = { �� = (𝑎1, a2, … … an) 𝜖 𝑅𝑛 / 𝑎𝑖

𝜖 R, i = 1, 2, 3, ……….. 𝑛}.

4) En el plano bidimensional al vector cero se

simbolizara: 0 = (0, 0)

5) En el plno tridmensional al vector cero se

simbolizara: 0 = (0, 0, 0)

4. Representación geométrica de un vector

bidimensional

4.1 Vector Localizado:

Un vector localizado en 𝑅2 es una pareja de

puntos 𝑃1 𝑦 𝑃2 que se indica como 𝑃1𝑃2 para los

cuales 𝑃1 es el punto inicial o de partida y 𝑃2 es el

punto final o de llegada entonces si una flecha

tiene como punto inicial a 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 a

𝑃2(𝑥2, 𝑦2) como punto final, entonces la flecha

𝑃1𝑃2 es una representación geométrica del vector

��=(x, y), donde:

��=(x, y)= (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1)

Entonces: �� =𝑃1𝑃2 = 𝑃2

- ��1

El resultado nos dara UN VECTOR DE

POSICION.

4.1 Vector de posición o radio vector

5. Representación geométrica de un vector

tridimensional

Suponga que se tiene el vector dirigido 𝑃𝑄

Entonces el vector:

�� = �� - 𝑝 = ( x+𝑎1, y+𝑎2, 𝑧 + 𝑎3) – ( x,y, z)

�� = ( 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑)

5.1 Vector de posición o radio vector

6. Operaciones con vectores

6.1) Igualdad de vectores

Dos vectores son iguales si y sólo si, sus

componentes correspondientes toman los

mismos valores.

- En el plano bidimensional

Dados: a = (a1, a2) y b = (b1, b2)

Si: a = b ⇔ a1 = b1 ∧ a2 = b2

- En el espacio tridimensional

Dados: a = (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3)

- Si: a = b ⇔ a1 = b1 ∧ a2 = b2 ∧ a3 =b3.

6.2 Vectores iguales

Dos vectores son iguales si tienen la

misma dirección, el mismo sentido, el

mismo tamaño (norma o modulo), el

mismo punto inicial y el mismo punto

terminal. Se denota por: : a = b

6.3 Vectores equivalentes

Dos vectores son equivalentes si tienen

la misma dirección, el mismo sentido, el

mismo tamaño pero diferente punto

inicial y se denota: �� = ��.

7. Multiplicación de un numero real (escalar)

por un vector

Sea 𝜆 un escalar (𝜆 𝜖 R) y sea y sea �� un vector

cualquiera entonces llamaremos producto de 𝜆

por �� denotado por: 𝜆��, el vector resultante

cuyas componentes deben ser multiplicadas por

𝜆, esto es:

Si �� 𝜖 𝑉2 ⟹ �� = (𝑎1, 𝑎2), luego:

𝝀�� = 𝝀(𝒂𝟏, 𝒂𝟐) = (𝝀𝒂𝟏, 𝝀𝒂𝟐)

Si �� 𝜖 𝑉3 ⟹ �� = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3), luego:

𝝀�� = 𝝀(𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑) = (𝝀𝒂𝟏, 𝝀𝒂𝟐, 𝝀𝒂𝟑)

En general si �� 𝜖 𝑉𝑛 ⟹ �� = (𝑎1, 𝑎2, … . . 𝑎𝑛),

luego:

𝝀�� = 𝝀(𝑎1, 𝑎2, … . . 𝑎𝑛) = (𝝀𝒂𝟏, 𝝀𝒂𝟐, … 𝝀𝒂𝒏)

Observación:

- Si 𝜆 > 0, el vector aumenta, disminuye o

queda del mismo tamaño dependiendo

que valores tome 𝜆 , y conserva el

mismo sentido.

- Si 𝜆 < 0, el vector aumenta, disminuye o

queda del mismo tamaño dependiendo

que valores tome 𝜆 , y su sentido es

opuesto.

Propiedades.-

Para todo escalar r y s 𝜖 R y los vectores �� y �� se

verifican las siguientes propiedades.

a) r.�� es un vector

b) r(�� + ��) = (𝑟��+r��)

c) 1.�� = ��

d) (r+s)�� = 𝑟�� + 𝑠��

e) r(s.��)=(r.s)�� Ejemplo1:

Calcular el valor de M = 7x + 5y si: a = b donde

a = (5x+3y, 4x-y-4), b= (4x+2y+5, 3x+y+7)

Rpta. M = 39

Ejemplo2: Hallar el vector de posición del vector

localizado 𝑃1𝑃2 si 𝑃1=(5, -2) y 𝑃2= (2,3).

. �� = 𝑃1𝑃2 . Hallar ��. Graficar.

Ejemplo 3: Hallar el valor de N = x+y+z, si:

a = b donde:

Si a = (2x+y+z, 3x+2y+2z,x-2y-z), b= (1, 1, 0)

Rpta. N = 0

PROBLEMAS

I. En los ejercicios hallar 𝑃2 si:

��=𝑃1𝑃2

1. �� = (2,6), 𝑃1=(1,3) Rpta. (3,9)

II. En los ejercicios del 3 al 4, hallar el punto

S(x,y) tal que 𝑃𝑄 y 𝑅𝑆 sean

representaciones del mismo vector.

2. P(2,5), Q(1,6), R(-3,2) Rpta. (-4,3)

3. P(-1,4), Q(2,-3), R(-5,-2) Rpta. (2,-9)

4. El vector ��= (3,2) es el vector localizado

del segmento 𝐴𝐵 cuyo punto medio es

C(3, 1) . Hallar las coordenadas de A y B.

Rpta. A(3/2, 0) y B(9/2, 2)

5. Si �� = ( 2x-3y, 4x-y), �� = (2, -3). Hallar los

valores de x e y para que �� = 5��

Rpta. x = -1 , y = -4

6. Encontrar el valor de M = 5x – 8y si :

a = b, donde : a = (3x-y+1, -2x+y) y b =

(x-3y+3, x+5y-1) Rpta. M = 31

7. Hallar el valor de M = 7x – 11y + 5, si

a = �� donde a = (2x-z, 3y-1, x+3z) y b =

(x-z+3, 2y-3z, x+y+5z) Rpta. M = 48.

Tacna, 09 de junio del 2014

Docente: Ing. Luis Nina Ponce