CONCEPTOS

TEORIA GENERAL DE CAMPOS

12 DE AGOSTO DE 2014

Teoría del Potencial

Teoría general de campos

Índice

Concepto de Campo Escalar

Concepto de Campo Vectorial

Concepto de Superficie de Nivel

Concepto de Línea de Campo.

5) Concepto de Semiespacio

6) Concepto de Semiespacio

Teoría del Potencial

Concepto de Campo Escalar

1.- Cuando en lugar de un vector se asocia un escalar con un punto del espacio, entonces se tiene un campo escalar; de modo que un campo escalar es una función real. Un ejemplo de campo escalar se obtiene al expresar la temperatura en un punto como una función de las coordenadas del punto. 1

2.- Si en cada punto (x, y, z) de una región R del espacio se le puede asociar un escalar ϕ(x, y, z), hemos definido un campo escalar ϕ en R. La función ϕ depende, del punto y, por ello, se llama función escalar de posición, o bien, función de punto escalar.

Si un campo escalar es independiente del tiempo, se le llama permanente o estacionario.

Ejemplo: ϕ(x, y, z)= x3y-z2 define un campo escalar.2

3.- Un campo escalar ϕ(x, y, z) es la totalidad de los escalares ϕ(x, y, z) asignados a cada punto (x, y, z) de una región R del espacio.3

Teoría del Potencial

Concepto de Campo Vectorial

1.- Un campo vectorial asocia un vector con un punto del espacio, por ejemplo, si F es una función vectorial, definida en alguna bola abierta β de r3, tal que

F(x,y,z) = M(x,y,z)i + N(x,y,z)j + R(x,y,z)k

Entonces F asocia a cada punto (x, y, z) de β un vector, y F recibe el nombre de Campo Vectorial. 1

2.- Si en cada punto (x, y, z) de una región R del espacio se le puede asociar un vector V (x, y, z), hemos definido un campo vectorial V en R. La función V depende, pues del punto y, por ello, se llama función vectorial de posición, o bien función de punto vectorial.

Si un campo vectorial es independiente del tiempo se llama permanente o estacionario.

Ejemplos: 1) Las velocidades en cada punto (x, y, z) en el interior de un fluido en movimiento en un cierto instante, definen un campo vectorial.

2) V(x, y, z)= xy2i – 2yz3j + x2zk define un campo vectorial.2

3.- Un campo vectorial f (x, y, z) es la totalidad de los vectores f (x, y, z) asignados a cada punto (x, y, z) de una región R del espacio.3

Teoría del Potencial

Concepto de Superficie de Nivel

1.- Es el lugar geométrico de los puntos a los cuales corresponde un mismo valor del escalar en un instante dado. Si el campo viene dado por a (x, y, z), la superficie de nivel vendrá dada por a (x, y, z, t) = C.

Para cada valor de C, tendremos una superficie de nivel, por tanto conociendo el valor del campo en un punto, conocemos el valor del parámetro de la superficie de nivel que pasa por ese punto. 4

2.- Una representación muy útil de un campo escalar se consigue mediante una familia de superficies equiescalares, definidas como el lugar geométrico de puntos que satisfacen la ecuación ϕ(x, y, z)= C, donde C es una constante que fija el valor considerado del campo escalar y que, al variar, nos genera la familia.

Un ejemplo de representación mediante una familia de superficies equiescalares lo tenemos en los mapas topográficos que incluyen líneas de nivel, o altitud constante.En este caso bidimensional las superficies se sustituyen por líneas. 5

3.- Sea f: D C IR3 → IR. Al igual que al trabajar en 2D con las curvas de nivel, en 3D nos encontramos con el concepto de superficies de nivel:

SK = {(x, y, z) ∈ D / f (x, y, z)= k} 7

Teoría del Potencial

Concepto de Línea de Campo.

1.- Son líneas que en cada uno de sus puntos el campo vectorial es tangente a ellas. Dos líneas de campo no se pueden cortar. 4

2.- Una forma habitual de representar un campo vectorial es mediante una familia de líneas de campo, que se definen como aquellas curvas que cumplen la condición de ser tangentes al campo en cada uno de sus puntos.

Cada una de ellas se construye a partir de un punto inicial R⃗0 mediante la concatenación de vectores elementales dados por la expresión Δ R⃗i+1 = ∈ F⃗ (R⃗i), (i=0, 1,...), donde el parámetro ∈ se hace tender a cero.

Las ecuaciones que determinan este lugar geométrico expresan simplemente la condición de paralelismo entre dr⃗ y F⃗ (r⃗) en cada punto. En coordenadas cartesianas,

dxFx

= dyFy

= dzFz

5

FF

R⃗0

R⃗i

∈ F⃗ (R⃗0)

∈ F⃗ (R⃗n-1)

(R⃗n)

Teoría del Potencial

3.- Una línea de campo es una curva la cual tiene a cada uno de sus puntos, la dirección del campo a ese punto. Por lo tanto las líneas de fuerza de una partícula son las líneas rectas a través de esa partícula. Un término general aplicable para cada campo de un vector, es una línea de campo. 6

Teoría del Potencial

Concepto de Semiespacio

1.- Al lugar geométrico de líneas de campo que se apoyan en una curva cerrada dada, constituye una superficie a la que se denomina tubo de campo. Un tubo de campo divide el espacio en dos regiones, una interior y una exterior, de tal forma que las líneas de campo que pertenecen a una región no podrán pasar a la otra (de tal forma el campo no sería monovaluado en el punto donde se produce la transición).5

2.- Un tubo de campo es donde las líneas de campo pasan por una pequeña curva cerrada, estas generan una superficie tubular que recibe el nombre de tubo de campo o semiespacio.6

Teoría del Potencial

Referencias

1) Leithold, Campos Vectoriales.

2) Hwei P. Hsu. Análisis Vectorial.

3) Murray R. Spiegel, Analisis Vectorial. Mcgraw Hill

4) Tomado de internet, se incluye la dirección en el número de referencia

5) Teoremas integrales de la Teoría del Potencial II.

6) Foundations of potential Theory, Kellog.

7) Tomado de internet, se incluye la dirección en el número de referencia