teoria de la decision

Teoría de Decisión

Teoría de Decisión

La Decisión: Es una elección entre dos o mas líneas de acción diferentes. El objeto de la teoría de la decisión es racionalizar dicha elección. El estudio de la teoría de decisión provee de herramientas para la toma de decisiones importantes.

Esquema de actuación

1) Definición del problema

2) Enumeración de posibles alternativas(Ai: Alternativas o estrategias)

3) Identificación de los posibles escenarios o estados de la naturaleza. (Ej: Estados de la naturaleza)

4) Obtención de resultados y valoración de los mismos. (Xij: Resultados)

5) Predicción de probabilidad sobre la ocurrenciade cada estado de la naturaleza.(Pj: Probabilidad)

Esquema de actuación6) Fijación de criterios de decisión que permitan la

elección de una estrategia o alternativa.

7) Identificación del tipo de decisión: Decisiones estáticas Decisiones secuenciales

8) Identificación del contexto en el que se toma la decisión

Certeza Riesgo Incertidumbre

2. Desiciones estáticas: Análisis por Matriz de Ganancias

* Las filas corresponden a las posibles decisiones alternativas o estrategias que se contemplen.

* Las columnas corresponden a los posibles estados de la naturaleza.

Ai= {a1, a2, ………..an}

* El cuerpo de la tabla contiene las ganancias.

Ej= { e1, e2, ………..em }

mnmatrizxxxxxxxxx

X

nmnn

m

m

ij

21

22221

11211 ...

2.1. Decisión tomada bajo Incertidumbre

- El criterio de decisión se toma basandose en la experienciade quien toma la decisión.

- Este incluye un punto de vista optimista o pesimista, agresivo o conservador.

-Criterios:* Criterio Maximin - pesimista o conservador* Criterio Minimax - pesimista o conservador* Criterio Maximax - optimista o agresivo* Principio de Razonamiento Insuficiente o Laplace* Criterio de Hurwicz

La Inversión de John Pérez John Pérez ha heredado $1000. El ha decidido invertir su dinero por un año. Un inversionista le ha sugerido 5 inversiones

posibles:* Oro.* Bonos.* Negocio en Desarrollo.* Certificado de Depósito.* Acciones.

John debe decidir cuanto invertir en cada opción.

Solución

Construir una matriz de ganancias Seleccionar un criterio de decisión Aplicar el criterio en la matriz de ganancia Identificar la decisión óptima Evaluar la solución

Matriz de Ganancias

Estados de la NaturalezaAltern. De Dec. Gran Alza Peq. Alza Sin Cambios Peq. Baja Gran BajaOro -100 100 200 300 0Bonos 250 200 150 -100 -150Negocio Des. 500 250 100 -200 -600Certf. De Dep 60 60 60 60 60Acciones 200 150 150 -200 -150


El conjunto de opciones es dominado por la segunda alternativa (desechamos inversión en

acciones)

2.1.1. Criterio Maximin o Wald (1)

-Este criterio se basa pensando en el peor de los casos

* Marcar la mínima ganancia a través de todos lo estados de la naturaleza posibles.

* Una decisión pesimista se toma creyendo que el peor caso ocurrirá.

* Una decisión bajo criterio conservador asegura una ganancia mínima posible.

-Para encontrar una decisión optima:

* Identificar la decisión que tiene máximo de las “mínimas ganancias”.

Continuación del Problema de John Pérez

El Criterio Maximin MinimosDecisiones Gran Alza Peq. Alza Sin Cambios Peq. Baja Gran Baja GananciasOro -100 100 200 300 0 -100Bonos 250 200 150 -100 -150 -150Negocio en D. 500 250 100 -200 -600 -600Cert. De Dep. 60 60 60 60 60 60

El Criterio Maximin MinimosDecisiones Gran Alza Peq. Alza Sin Cambios Peq. Baja Gran Baja GananciasOro -100 100 200 300 0 -100Bonos 250 200 150 -100 -150 -150Negocio en D. 500 250 100 -200 -600 -600Cert. De Dep. 60 60 60 60 60 60

Criterio Maximin (2)

2.1.2. Criterio Minimax o Savage (1)- Este criterio se ajusta a decisiones pesimistas y conservadoras.- La matriz de ganancia es basada en el coste de oportunidad- El tomador de decisiones evalúa en qué pérdidas incurre si no escoge la mejor decisión.

Determine la mejor ganancias de todas las decisiones

Para encontrar la decisión óptima:

Para cada estado de la naturaleza:

Calcule el costo de oportunidad para cada alternativa de decisión como la diferencia entre su ganancia y la mejorganancia calculada.

Para cada decisión Encuentre el máximo costo de oportunidad para todos los

estados de la naturaleza. Seleccione la alternativa de decisión que tiene el mínimocosto de oportunidad.

Continuación Problema John Pérez

Matriz de GananciasDecision Gran Alza Peq. Alza Sin CambioPeq. Baja Gran BajaOro -100 100 200 300 0Bonos 250 200 150 -100 -150Negocio 500 250 100 -200 -600Cert Dep 60 60 60 60 60

Matriz de GananciasDecision Gran Alza Peq. Alza Sin CambioPeq. Baja Gran BajaOro -100 100 200 300 0Bonos 250 200 150 -100 -150Negocio 500 250 100 -200 -600Cert Dep 60 60 60 60 60

Tabla de Costo de Oportunidad

Matriz de Costo de Oportunidad Maximo Decision Gran Alza Peq. AlzaSin CambiosPeq Baja Gran Baja Costo OpOro 600 150 0 0 60 600Bonos 250 50 50 400 210 400Negocio D 0 0 100 500 660 660Cert. Dep 440 190 140 240 0 440

Matriz de Costo de Oportunidad Maximo Decision Gran Alza Peq. AlzaSin CambiosPeq Baja Gran Baja Costo OpOro 600 150 0 0 60 600Bonos 250 50 50 400 210 400Negocio D 0 0 100 500 660 660Cert. Dep 440 190 140 240 0 440

Invertir en Oro incurre en una pérdida mayor cuando el mercado

presenta una gran alza500

500

500500500

500500

-100-100

-100-100

-100- (-100) = 600

Criterio Minimaxo Savage (2)

2.1.3. El Criterio Maximax (1)

- Este criterio se basa en el mejor de los casos.

- Este criterio considera los puntos de vista optimista y agresivo.

* Un tomador de decisiones optimista cree que siempre obtendrá el mejor resultado sin importar la decisión tomada.

* Un tomador de decisiones agresivo escoge la decisión que le proporcionará una mayor ganancia.

- Para encontrar la decisión óptima:* Encuentre la máxima ganancia para cada alternativa de

decisión.* Seleccione la decisión que tiene la máxima de las

“máximas ganancias”.

Continuación del Problema de John Pérez

El Criterio MaximaxDecision Gran Alza Peq. Alza Sin CambioPeq. Baja Gran BajaOro -100 100 200 300 0Bonos 250 200 150 -100 -150Neg. Des 500 250 100 -200 -600Cert. Dep. 60 60 60 60 60

El Criterio Maximax (2)

2.1.4. El Principio de Razonamiento Insuficiente o Criterio de Laplace (1)- Este criterio puede ser utilizado por un tomador de decisiones que no sea optimista ni pesimista.- El tomador de decisiones asume que todos los estados de la naturaleza son equiprobables.

m

jjiji PXXE

1)(

- El procedimiento para encontrar una decisión óptima:* Para cada decisión calcule la ganancia esperada.

* Seleccione la decisión con la mayor ganancia esperada.

11

n

jjP

Ganancias Esperadas (simplemente sumando):* Oro = -100+100+200+300+0= $500* Bonos = 250+200+150-100-150= $350* Negocio D. = 500+250+100-200-600= $50* Cert. Dep. = 60+60+60+60+60 = 300- Ganancias Esperadas (aplicando fórmula):

1002,0*02,03002,02002,01002,0100)()( 1

OroEXE

( ) ( ) 250 0,2 200 0,2 150 0,2 100 0,2 150 0,2270

E X E Bonos

3( ) ( ) 500 0,2 250 0,2 100 0,2 200 0,2 600 0,210

E X E Negocio

4( ) ( .) 60 0,2 60 0,2 60 0,2 60 0,2 60 0,260

E X E Certif

Decisión Óptima

Decisión Óptima

El Principio de Razonamiento Insuficiente o Criterio de Laplace (2)

2.1.5. El Criterio de Hurwicz (1)

Es un criterio intermedio entre maximin y el maximax: Supone la combinación de ponderaciones de optimismo y pesimismo.

Sugiere la definición del llamado coeficiente de optimismo (α), y propone que se utilice como criterio de decisión una media ponderada entre el máximo resultado asociado a cada alternativa, y el mínimo resultado asociado a la misma.

En nuestro ejemplo, si suponemos que el empresario es neutral α=0,5

EL CRITERIO HURWICSESTADOS DE LA NATURALEZA Máximas

GananciasConα =0,5

ALTERNATIVAS Gran alza pequeña alza

sincambios

pequeñabaja

granbaja

Oro -100 100 200 300 0 100Bonos 250 200 150 -100 -150 50Negocio 500 250 100 -200 -600 -50Cert. de depósito 60 60 60 60 60 60

1( ) ( ) 0.5 300 0.5 ( 100) 100T X T Oro Se elige

Las demas alternativas se calculan de forma análoga

El Criterio de Hurwicz (2)

2.2. Decisión tomada bajo Riesgo

El Criterios de la ganancia esperada- Si existe una estimación de la probabilidad de que un determinado estado de la naturaleza ocurra , entonces se puede calcular la ganancia esperada.

- Para cada decisión la ganancia esperada se calcula como:

Ganancia Esperada = Probabilidad)*(Ganancia)

(Para cada estado de la naturaleza)

Continuación Problema de John Pérez

El Criterio de la Ganancia Esperada GananciaDecision Gran Alza Peq. Alza Sin CambioPeq. Baja Gran Baja EsperadaOro -100 100 200 300 0 100Bonos 250 200 150 -100 -150 130Neg. Des 500 250 100 -200 -600 125Cert. Dep. 60 60 60 60 60 60Probabilid 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1

(0.2)(250) + (0.3)(200) + (0.3)(150) + (0.1)(-100) + (0.1)(-150) = 130

Observaciones sobre el criterio de la ganancia esperada.

El criterio de la ganancia esperada es factible de usar en situaciones donde al sujeto decisor no le importe la dispersión del resultado (no tiene en cuenta la desviación típica)

Un problema de este criterio es que no considera las situaciones ante posibles pérdidas, no considera la existencia del riesgo de ruina .

Para solucionar estas limitaciones se construyenfunciones de utilidad

a) Consideración de la variabilidad de los resultados:

Si a→1 Mayor aversión al riesgo. Perfil más conservadorSi a→0 Poca aversión al riesgo. Perfil más arriesgado.

2 var varX ianza como medida de iabilidad de los resultados

2 2

1

: ( ( ))m

X ij i jj

Varianza X E X P

2:X XDesviación típica

En nuestro ejemplo: Si Jhon Pérez tiene una aversión al riesgo del 15%: a=0,15

2

2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )

130 0,15 (250 130) 0,2 (200 130) 0.3 (150 130) 0.3 ( 100 130) 0,1 ( 150 130) 0,171,71

U X E Bonos a V Bonos

Las demas alternativas se calculan de forma análoga

b) Consideración del riesgo de ruina: pérdidas que se está dispuesto a asumir o beneficio mínimo exigido

En nuestro ejemplo, si estamos dispuestos a asumir pérdidas hasta 180 unidades monetarias, se rechazan las inversiones en negocio y en acciones ya que podrían generar pérdidas que no se podrían asumir (-600; -200).

MATRIZ DE GANANCIAS

ESTADOS DE LA NATURALEZA

ALTERNATIVAS Gran alza pequeñaalza

sincambios

pequeñabaja

granbaja

Oro -100 100 200 300 0

Bonos 250 200 150 -100 -150

Negocio 500 250 100 -200 -600

Cert. de depósito 60 60 60 60 60

Acciones 200 150 150 -200 -150

Se desechan

2.3 El valor de la información perfecta (I)

Principio de maximización de ganancias cuando se dispone de información perfecta, se conoce con certeza la ocurrencia de cierto estado de la naturaleza, Ej:

Decisión óptima= Max {Xij }



El valor de la información perfecta (II)

Principio de máxima ganancias esperada cuando se dispone de información probabilística, en condiciones de riesgo.

Decisión óptima= Máxima ganancia esperada=1

( )m

ij jj

Max X P


(0.2)(250) + (0.3)(200) + (0.3)(150) + (0.1)(-100) + (0.1)(-150) = 130

El valor de la información perfecta (III)El valor esperado monetario en información perfecta (VEMIT) indica la ganancia esperada o valor esperado monetario de aquel individuo que pudiera adaptar su decisión al estado realizado después de ésta realización.

1( ) ( )

m

i jj

VEMIP Max X P E

500*0,2 250*0,3 200*0,3 300*0,1 60*0,10 271VEMIP


El valor de la información perfecta (IV)En condiciones de incertidumbre la decisión debe producirse antes de la realización del estado de la naturaleza, cuando todo aún es posible. La decisión tomada no puede revisarse y se mantendrá una vez ocurrido ese estado de la naturaleza, sea cual sea.Si el individuo que toma la decisión se rige según el criterio de ganancia esperada o valor esperado monetario, es fácil ver que:

VEMIP ≥ Ganancia EsperadaPoseer información perfecta aumenta la gananciaesperada en la cantidad [VEMIT-Ganancia Esperada]≥0Por definición, esta diferencia es la Ganancia Esperada deLa Información Perfecta (GEIP)

El valor de la información perfecta (V)La Ganancia Esperada de La Información Perfecta (GEIP), nos indica el máximo valor que el individuo está dispuesto a pagar para librarse de la incertidumbre, comprar información y tomar su decisión con información perfecta de lo que va a suceder. El GEIP = VEMIT-Ganancia Esperada:

1 1( ) ( ) ( )

m m

i j ij jj j

GEIP Max X P E Max X P

Si el coste (c) de adquisición de información esinferior al GEIP, el decisor prefiere comprar la decisión y eliminar la incertidumbre , en caso contrario prefiereno comprar y tomar su decisión en incertidumbre.

271 130 141GEIP En nuestro ejemplo:

El valor de la información perfecta (VI)

1 1( ) ( ) ( )

m m

i j ij jj j

GEIP Max X P E Max X P

Si el coste (c) de adquisición de información esinferior al GEIP, el decisor prefiere comprar la decisión y eliminar la incertidumbre , en caso contrario prefiereno comprar y tomar su decisión en incertidumbre.

271 130 141GEIP En nuestro ejemplo:

500*0,2 250*0,3 200*0,3 300*0,1 60*0,10 271VEMIP


2.4. El valor de la información imperfecta (I)

La información adicional no siempre es perfecta, muchas veces los estudios que se encargan a consultoras especializadas presentan un margen de error. La información adicional obtenida de estos informes mejora la probabilidad obtenida de la ocurrencia de un determinado estado de la naturaleza y ayuda al tomador de decisiones a escoger la mejor opción.

La estadística Bayesiana construye un modelo a partir de la información adicional obtenida a partir de diversas fuentes que nos permite calcular la Ganacia Esperada con la Información Adicional (GECIA) y la Ganancia Esperada de la Información adiciona (GEIA)

El valor de la información imperfecta (II)El teorema de Bayes:

1

( )* ( / )( / )

( )* ( / )

j i jj i n

j i ji

P E P A EP E A

P E P A E

1

( / )

( )

( / )

( )* ( / )

j i

j

i j

n

j i ji

P E A probabilidad revisada

P E probabilidad a priori

P A E probabilidad condicionada

P E P A E sumatoria probabilidad conjunta

Ejemplo de Jhon Pérez: Supongamos que hemos contratadoun informe adicional que nos indica la probabilidad de ocurrecia de una gran alza, pequeña alza, etc. condicionada a que el crecimiento económico sea positivo o negativo.Los resultados se pueden ver en la siguiente tabla.

ESTADOS DE LA NATURALEZAALTERNATIVAS Gran pequeña sin pequeña Gran

alza alza cambios baja bajaProbabilidad Crec. Positivo 0,800 0,700 0,500 0,400 0,000Condicionada Crec, Negat. 0,200 0,300 0,500 0,600 1,000

El valor de la información imperfecta (IIi)Reconstruimos la información para mejorar la información:

EL CRITERIO DE LA GANACIA ESPERADA CON INFORMACIÓN ADICIONAL

ESTADOS DE LA NATURALEZA Gan. Esp.ALTERNATIVAS Gran pequeña sin pequeña Gran a priori

alza alza cambios baja bajaOro -100 100 200 300 0 100Bonos 250 200 150 -100 -150 130Negocio 500 250 100 -200 -600 125Cert. de depósito 60 60 60 60 60 60Acciones 200 150 150 -200 -150 95Probabilidad 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 ∑=1Probabilidad Crec. Positivo 0,800 0,700 0,500 0,400 0,000Condicionada Crec, Negat. 0,200 0,300 0,500 0,600 1,000Probabilidad Crec. PositivoConjunta Crec. Negat.

0,160 0,210 0,150 0,040 0,000 0,5600,040 0,090 0,150 0,060 0,100 0,4400,286 0,375 0,268 0,071 0,000 1,0000,091 0,205 0,341 0,136 0,227 1,000

Gan. Esp.RevisadaCre. Posi. Crec. Neg.

84179249

60139

12067

-336039

Probabilidad Crec. PositivoRevisada Crec. Negat.

1 1[ ( ) * ( )* ( / ) 249 0,56 120 0,44 193

n m

ij a posteriori j i ji j

GECIA Max E X P E P A E

[ ( ) ] 193 130 63ij a prioriGEIA GECIA Max E X

( )* ( / ) 0,80*0,20 0,16j i jprobabilidad conjunta P E P A E

1

( )* ( / ) 0,16( / ) 0,2860,56( )* ( / )

j i jj i n

j i ji

P E P A EP E A

P E P A E

8400071,0300268,0200375,0100286,0100

)(1

m

jjijrevisadaoposterioriaij PXXE

El valor de la información imperfecta (IIi)Reconstruimos la información para mejorar la información:

1 1[ ( ) * ( )* ( / ) 249 0,56 120 0,44 193

n m

ij a posteriori j i ji j

GECIA Max E X P E P A E

[ ( ) ] 193 130 63ij a prioriGEIA GECIA Max E X

( )* ( / ) 0,80*0,20 0,16j i jprobabilidad conjunta P E P A E

1

( )* ( / ) 0,16( / ) 0,2860,56( )* ( / )

j i jj i n

j i ji

P E P A EP E A

P E P A E

EL CRITERIO DE LA GANACIA ESPERADA CON INFORMACIÓN ADICIONAL

ESTADOS DE LA NATURALEZA Gan. Esp. Gan. Esp.ALTERNATIVAS Gran pequeña sin pequeña Gran a priori Revisada

alza alza cambios baja baja Cre. Posi. Crec. Neg.Oro -100 100 200 300 0 100 84 120Bonos 250 200 150 -100 -150 130 179 67Negocio 500 250 100 -200 -600 125 249 -33Cert. de depósito 60 60 60 60 60 60 60 60Acciones 200 150 150 -200 -150 95 139 39Probabilidad 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1 ∑=1Probabilidad Crec. Positivo 0,800 0,700 0,500 0,400 0,000Condicionada Crec, Negat. 0,200 0,300 0,500 0,600 1,000Probabilidad Crec. Positivo 0,160 0,210 0,150 0,040 0,000 0,560Conjunta Crec. Negat. 0,040 0,090 0,150 0,060 0,100 0,440Probabilidad Crec. Positivo 0,286 0,375 0,268 0,071 0,000 1,000Revisada Crec. Negat. 0,091 0,205 0,341 0,136 0,227 1,000

8400071,0300268,0200375,0100286,0100

)(1

m

jjijrevisadaoposterioriaij PXXE

teoria de la decision

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