teoría de juegos

TEMA 1. JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA Y NORMAL

1.1 Introducción La teoría de grafos proporciona el sustrato sobre el que basar la definición de juego en forma extensiva. Vamos a considerar juegos en los que todos sus elementos son finitos aunque la teoría puede extenderse para superar la restricción de finitud. Al tratar los juegos en forma normal se prescindirá de la restricción de finitud sobre el número de estrategias de los jugadores.

1.2 Grafos y árboles GRAFO FINITO ORIENTADO: Par (K, Γ ) con K=A,B,..., conjunto finito de elementos a los que denominamos vértices y Γ una correspondencia de A en A (subconjunto del producto cartesiano AxA) que determina los arcos del grafo. VÉRTICE CONSECUTIVO: B es consecutivo a A si ( )AB Γ∈ . Si B es consecutivo a A, entonces (A,B) forma un arco del grafo. A es el origen y B es el extremo del arco respectivamente. CAMINO: Un camino es una sucesión finita de arcos tal que el extremo de cada arco coincide con el origen del siguiente VÉRTICE POSTERIOR: B es un vértice posterior a A si existe un camino que une A con B. VÉRTICE TERMINAL: Un vértice L es terminal si no es origen de ningún arco, es decir, si no tiene vértices consecutivos, esto es, ( ) vacioL =Γ VÉRTICE DISTINGUIDO: Un vértice es distinguido si no existe ningún vértice del cual sea consecutivo ÁRBOL: Un árbol es un grafo finito orientado que cumple las siguientes cuatro propiedades: 1. , es decir, no existe ningún vértice que sea consecutivo de sí

mismo. ( ) KAAA ∈∀Γ∉

2. Posee un único vértice distinguido K∈0 3. Para todo vértice del grafo existe un camino que une a este vértice con el distinguido 4. Para cualquier pareja de vértices A,B se cumple que los vértices consecutivos de A

y de B forman conjuntos disjuntos: ( ) ( ) BABAvacioBA ≠∀=Γ∩Γ :),(

1.3 Juegos en forma extensiva JUEGO n-PERSONAL EN FORMA EXTENSIVA: Estructura matemática que regula el comportamiento de n jugadores J1,..., Jn y del azar –J0-, y que consta de los siguientes elementos: 1) Un grafo (K, ) de tipo árbol Γ2) Una partición de K en n+2 subconjuntos representados por K1,...,Kn, K0 y K* donde

Ki es el conjunto de vértices del i-ésimo jugador, K0 es el conjunto de vértices del azar y K* es el conjunto de vértices terminales del árbol o consecuencias.

3) Una distribución de probabilidad definida sobre los arcos que salen de cada uno de los vértices de azar.

4) Una partición de los vértices de cada jugador . A cada uno de los conjuntos se le llama conjunto de información del jugador J

iniiiii KKKKK ∪∪∪∪= ...321

i y cumplen que:

Teoría de Juegos. Primera prueba. Ciencias Matemáticas. UNED. Página 1

a) Si B es posterior a A, entonces A y B no pueden formar parte del mismo conjunto de información.

b) Si A y B son dos vértices del mismo conjunto de información entonces el número de arcos que parten de A y B es el mismo.

5) Para todo conjunto de información de cada jugador se define un conjunto de índices y una aplicación biunívoca

jiK

jiI ( )AI j

i Γ→ que identifica cada una de las alternativas posibles a partir de cada conjunto de información

6) Una n-tupla de funciones [ ])(),...,()( 1 RhRhRh n= definida sobre los vértices terminales que determina el pago que recibirá cada uno de los jugadores.

7) Todos los jugadores conocen las reglas del juego y tienen establecido un sistema de preferencias sobre los resultados

MOVIMIENTOS PERSONALES DEL JUGADOR i-ÉSIMO: Cada uno de los vértices KiALTERNATIVAS: Cada uno de los arcos que parten de cada movimiento personal MOVIMIENTOS DE AZAR: Cada uno de los vértices del azar JUGADAS DE AZAR: Arcos que parten de los vértices de azar CONSECUENCIAS: Cada uno de los vértices terminales. PARTIDA o CURSO DE DESARROLLO: Cada uno de los caminos c(0,R) que unen al vértice distinguido con un vértice terminal

1.4 El concepto de estrategia pura Un jugador es incapaz de distinguir entre aquellos vértices que se encuentran dentro del mismo conjunto de información. Una estrategia pura para un jugador es una función definida sobre sus conjuntos de información y que determina qué alternativa elegirá cuando se encuentre en un vértice correspondiente a cada conjunto de información. ESTRATEGIA PURA: Una estrategia pura iπ del jugador Ji es una aplicación del conjunto ij

ii KK ,...,1 en el conjunto de índices ijii II ,...,1 definida de la siguiente

manera: ( ) ( ) ji

jii IavK ∈=π , donde v(a) es la alternativa de índice v(a) que el jugador Ji

elige si sabe que se encuentra en el conjunto de información . jiK

Se puede establecer una correspondencia biunívoca entre el conjunto de todas las estrategias puras de un jugador y el producto cartesiano de los conjuntos de índices del mismo jugador. Una estrategia pura probabiliza el grafo otorgando la probabilidad 1 a aquellas alternativas que salen de un movimiento del jugador que han resultado elegidas por la estrategia pura y la probabilidad 0 a las demás alternativas. Cuando todos los jugadores eligen su estrategia pura, el grafo queda completamente probabilizado de manera única.

1.5 Forma normal de un juego En la forma normal de un juego cada uno de los jugadores actúa una única vez comunicando su estrategia pura a un juez imparcial. El juez imparcial juega el juego en sustitución de todos los jugadores y se realizan los pagos correspondientes. FORMA NORMAL DE UN JUEGO: La forma normal de un juego es una (n+1)-tupla

donde es el conjunto de estrategias puras del jugador i-ésimo y M es

una función vectorial definida sobre

( Mn ,,...,1 ΠΠ ) iΠ( )( ) *

...1KR

n RhRP

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→Π××Π que a cada elemento

del producto cartesiano de los conjuntos de estrategias puras de los jugadores –es decir,


a cada posible combinación de estrategias puras- le hace corresponder una distribución de probabilidad sobre los vértices terminales –P(R)- y un conjunto de pagos para los jugadores correspondientes al vértice terminal R. En muchas ocasiones, la función vectorial M se convierte en n funciones de la siguiente forma: ( ) ( ) ( )( )∑

∈

=*

,...,1KR

iini RhURPM ππ

JUEGOS DE SUMA NULA O SUMA CERO: Son aquellos en los que existen determinaciones de las funciones de utilidad de los jugadores de manera que

( )∑=

Π××Π∈∀=n

iniM

11 ...0 ππ

1.6 n-tuplas de equilibrio n-TUPLA DE EQUILIBRIO: Sea ( )nn MM ,...,,,..., 11 ΠΠ un juego en forma normal. Decimos que la n-tupla ( )**

1* ,..., nπππ = es una n-tupla de equilibrio si

( ) ( ) niMM niinii ,...,1,...,,...,,...,,..., **1

***1 ∈∀≥ ππππππ , esto es, si ningún jugador

puede mejorar su resultado mediante la elección de otra estrategia pura suponiendo que los demás mantienen sus estrategias puras.

TEMA 2. DESCOMPOSICIÓN DE JUEGOS EN FORMA EXTENSIVA

2.1 Conceptos y definiciones Se plantea el problema de descomponer un juego en forma extensiva. Esta descomposición es posible siempre que no afecte a los conjuntos de información de los jugadores. JUEGO QUE SE PUEDE DESCOMPONER EN UN VÉRTICE: El juego se puede descomponer en un vértice

( )Γ,Kχ del grafo –con χ un vértice no terminal ni

distinguido- si no existen conjuntos de información que contengan a la vez puntos del conjunto formado por χ y sus posteriores –al que llamaremos χΓ - y del resto del grafo

–denotado por χΓ -. Es decir, un juego se puede descomponer en un vértice si al

hacerlo no se “rompe” ningún conjunto de información. Resulta obvio que si un juego se puede descomponer en un vértice χ , entonces χ debe ser por sí solo un conjunto de información de algún jugador (recuérdese que los vértices posteriores a χ no pueden formar parte del mismo conjunto de información que χ y por otra parte, la posibilidad de descomponer el juego en χ hace que χ no esté en el mismo conjunto de

información que cualquier vértice de χΓ . Así, los únicos vértices que serán

“candidatos” a descomponer un juego en ellos son aquellos que constituyen un conjunto de información por si mismos, teniendo en cuenta que el hecho de que constituyan un conjunto de información por sí mismos no garantiza que en ellos se pueda descomponer el juego –podría ocurrir que se “rompa” un conjunto de información de algún vértice posterior a χ -.


χΓ es un juego tal y como está. Por el contrario, χΓ no es juego, ya que le falta añadir

el vértice terminal –de este juego- χ y asignarle un pago para cada uno de los jugadores. Dada una estrategia pura iπ de un jugador –que recordemos, es una aplicación de sus conjuntos de información en los conjuntos de índices- esta estrategia se ve afectada por la descomposición en χ . Como ningún conjunto de información se rompe, cada

conjunto de información del jugador i se encuentra ahora bien en χΓ bien en χΓ .

Vamos a llamar χ

π Γi a la restricción de la estrategia pura iπ a los conjuntos de

información que se encuentran en χΓ y χ

π Γi a la restricción de la estrategia pura iπ a

los conjuntos de información de i que se encuentran en χΓ .

Cada estrategia pura iπ determina unívocamente un par de estrategias puras (

χπ Γi ,

χπ Γi

). Recíprocamente, cada par (χ

π Γi ,χ

π Γi) determina unívocamente una

estrategia pura iπ .

2.2 Asignación de pagos al grafo cociente Teorema 1: Si π es una n-tupla del juego ( )Γ,K y

χπ Γ es la n-tupla inducida en el

juego cociente χΓ con el pago asociado a χ dado por ( ) ( )

χχππχ ΓΓ= MM entonces se

verifica que ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ΓΓ

χχππ MM .

Teorema 2: Supongamos que ( )Γ,K se puede descomponer en el vértice χ y sea π una

n-tupla tal que χ

π Γ y χ

π Γ son n-tuplas de equilibrio de los juegos χΓ y χΓ

respectivamente -este último con el pago asociado a χ dado por ( ) ( )χχ

ππχ ΓΓ= MM -.

Entonces, π es una n-tupla de equilibrio del juego ( )Γ,K . Teorema 3: Si π es una n-tupla del juego ( )Γ,K y

kχχπ

,...,1Γ es la n-tupla inducida en el

juego cociente kχχ ,...,1

Γ con el pago asociado a kj χχχ ,...,,...,1 dado por

( ) ( )jjj

MMχχ

ππχ ΓΓ= entonces se verifica que ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ΓΓ

kk

MMχχχχ

ππ,...,,..., 11

.

Teorema 4: Supongamos que ( )Γ,K se puede descomponer en los vértices

kj χχχ ,...,,...,1 y sea π una n-tupla tal que jχ

π Γ y kχχ

π,...,1

Γ son n-tuplas de equilibrio

de los juegos ,..., ,..., y 1χΓ

jχΓkχΓ

kχχ ,...,1

Γ respectivamente -este último con el pago

asociado a kj χχχ ,...,,...,1 dado por ( ) ( )jjj

MMχχ

ππχ ΓΓ= -. Entonces, π es una n-tupla

de equilibrio del juego . ( )Γ,K


2.3. Juegos de información perfecta Un juego de información perfecta es aquel en el que, en todo momento, todo jugador está perfectamente informado de lo que han hecho todos los jugadores (incluyéndose a si mismo y también al azar). En términos de los conjuntos de información, un juego es de información perfecta cuando todos los conjuntos de información están formados por un único vértice (no es posible confundir dos vértices). La ventaja que proporcionan los juegos de información perfecta es que de la aplicación de los teoremas 1,2,3 y 4 se puede encontrar una forma muy sencilla de encontrar una n-tupla de equilibrio para el juego global a partir de n-tuplas de equilibrio de los juegos parciales. Como todo vértice es un conjunto de información, el juego puede descomponerse en cualquier vértice y, en particular, en aquellos vértices anteriores a los terminales. Así, las n-tuplas de equilibrio de estos subjuegos son precisamente las correspondientes a las mejores alternativas para el único jugador implicado. Procediendo hacia el origen del juego llegaremos a construir una n-tupla de equilibrio para el juego global. Este resultado es cierto si el juego es finito y se recoge en el teorema 5. JUEGO DE INFORMACIÓN PERFECTA: Un juego en forma extensiva se dice que es de información perfecta si todos los conjuntos de información de todos los jugadores están formados por un único vértice.

( Γ,K )

Teorema 5: Todo juego finito de información perfecta posee al menos una n-tupla de equilibrio

TEMA 3. JUEGOS BIPERSONALES DE SUMA CERO El resto de temas se van a centrar en estudiar una clase especial de juegos en los que sólo intervienen dos jugadores –y eventualmente el azar- en el que los intereses de ambos contendientes son contrapuestos, en el sentido de que lo que uno gane lo pierde el otro. Estos juegos reciben el nombre de juegos bipersonales de suma cero.

3.1 Definiciones Vamos a considerar únicamente juegos en forma normal. JUEGO EN FORMA NORMAL: (ver definición en el punto 1.5) Un juego n-personal en forma normal es una estructura formada por n conjuntos no vacíos X1,...,Xn llamados espacios de estrategias puras de los jugadores J1,...,Jn y n funciones reales acotadas

M1,...,Mn definidas sobre y que representan el pago para cada uno de los

jugadores correspondiente a cada elemento del producto cartesiano de los espacios de estrategias puras.

∏=

n

iiX

1

JUEGO DE SUMA CERO: Un juego n-personal en forma normal es de suma cero si

( ) ( )∑ ∏= =

∈∀=n

i

n

iinni XxxxxxxM

1 12121 ,...,,0,...,,

JUEGO BIPERSONAL DE SUMA CERO: Un juego bipersonal de suma cero es una terna (X,Y,M) donde X e Y son los conjuntos de estrategias puras del primer y segundo jugador respectivamente y M es una función real acotada definida sobre YX × y que representa el pago al primer jugador cuando J1 elige la estrategia pura y JXx ∈ 2 elige la estrategia pura Yy ∈


3.2 Equivalencia de juegos REDUCCIÓN DE UN JUEGO BIPERSONAL DE SUMA CERO: Se dice que el juego G’=(X’,Y’,M’) es una reducción del juego G=(X,Y,M) y lo representamos por G’rG si se verifica alguna de las condiciones siguientes:

• X=X’ y existe una aplicación sobreyectiva g:Y en Y’ tal que M’(x,g(y))=M(x,y) para todo Xx ∈ y para todo Yy ∈ , esto es, el espacio de estrategias puras del primer jugador es idéntico en ambos juegos y para cualquier estrategia pura del segundo jugador en G, y, existe una estrategia pura y’=g(y) del segundo jugador en Y’ que tiene el mismo pago que y para todo estrategia pura del primer jugador. Se trata de eliminar aquellas estrategias puras de Y que resultan redundantes e identificar todas las estrategias puras de J2 que suponen el mismo pago.

• Y=Y’ y existe una aplicación sobreyectiva f:X en X’ tal que M’(f(x),y)=M(x,y) para todo Xx ∈ y para todo Yy ∈ . Ahora se trata de agrupar e identificar estrategias puras de J1 que tienen el mismo pago para todas las estrategias puras de J2.

JUEGOS EQUIVALENTES: Dos juegos G y G’ son equivalentes si existe una sucesión finita de juegos G0,...,Gn tal que G=G0, G’=Gn y Gi-1rGi o GirGi-1. JUEGO BIPERSONAL DE SUMA NULA FINITO: Un juego bipersonal de suma nula se dice finito cuando los conjuntos de estrategias puras de ambos jugadores son finitos. JUEGO RECTANGULAR O JUEGO MATRICIAL: Un juego bipersonal de suma nula GA se dice rectangular o matricial cuando su forma es (Im,In,A) siendo Im=1,...,m, In=1,2,...,n y A=(aij) con i=1,...,m; j=1,...,n. La función de pago queda definida por la matriz A haciendo M(i,j)=aij. Todo juego finito es equivalente a un juego matricial (obvio). Existen juegos infinitos que son equivalentes a juegos matriciales. JUEGO ESENCIALMENTE FINITO: Un juego esencialmente finito es un juego bipersonal de suma nula equivalente a un juego matricial. Todo juego finito es esencialmente finito, pero existen algunos juegos infinitos que también lo son.

3.3 Elementos esenciales de un juego bipersonal de suma cero Sea G=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma cero. Si el primer jugador elige una estrategia pura x de X, lo peor que le puede ocurrir es que el segundo jugador elija aquella y de Y tal que se dé el ínfimo de la función de

pago. Así, el primer jugador estará interesado en la función y

elegirá aquella estrategia pura x de X que haga que esta función tome su valor supremo,

esto es, , valor al que se conoce como valor inferior del juego G.

( ) ( )yxMYy

xG ,inf∈

=Λ

( ) *supGG x

Xxλ=Λ

∈Análogamente, si el segundo jugador elige la estrategia pura y de Y, lo peor que le puede ocurrir es que el primer jugador elija aquel x de X tal que se dé el supremo de la

función de pago, es decir, J2 estará interesado en la función . J2

elegirá aquella estrategia pura y de Y que lleve al ínfimo de esa función, es decir,

, valor al que se conoce como valor superior del juego G.

( ) ( )yxMXx

yG ,sup∈

=γ

( )yYy

V GG γ∈

=inf*

Intuitivamente se ve que el valor inferior de un juego no puede ser superior al valor superior del juego, esto es, . **

GG V≤λ


JUEGO ESTRICTAMENTE DETERMINADO O QUE POSEE VALOR: Un juego bipersonal de suma nula se dice que está estrictamente determinado o que posee valor si el valor inferior y el valor superior del juego coinciden. En ese caso, se dice que

es el valor del juego. GGG VV == **λESTRATEGIA ÓPTIMA: Si un juego bipersonal de suma nula está estrictamente determinado, se dice que una estrategia x0 de J1 es óptima si ( ) GGG Vx ==Λ *

0 λ , esto es, si garantiza a J1 alcanzar el valor del juego. Análogamente, una estrategia y0 de J2 se dice óptima si . Un juego estrictamente determinado puede no tener estrategias óptimas si el supremo o el ínfimo de las funciones correspondientes no son alcanzables. En ese caso se dice que existen estrategias

( ) GGG VVy == *0γ

ε -óptimas. (Ver estrategia maximín y minimax en el apartado 4.3). Teorema 1: Sean G y G’ dos juegos bipersonales de suma nula equivalentes. Entonces el valor inferior de ambos juegos coincide y también coincide el valor superior de ambos juegos. Como corolario de este teorema se tiene que si un juego bipersonal de suma nula posee valor también lo posee cualquier juego que sea equivalente a él –y además, el valor coincide-. También se deduce que si un juego posee estrategias óptimas también las tiene cualquier juego que sea equivalente a él.

3.4 Puntos de silla PUNTO DE SILLA: Sea M una función definida en el producto cartesiano XxY y con valores en la recta real. Decimos que un punto (x0,y0) es un punto de silla si se verifica

, esto es, si en (x( ) ( ) ( yxMyxMyxM ,,, 0000 ≤≤ ) 0,y0) se alcanza el mínimo de la función M(x,y) considerada como función de y y simultáneamente se alcanza el máximo de la función M(x,y) considerada como función de x. Teorema 2: Si la función de pago del juego G=(X,Y,M) posee un punto de silla, digamos (x0,y0), entonces el juego está estrictamente determinado y además x0 e y0 son estrategias óptimas para J1 y J2 respectivamente. El valor del juego es VG=M(x0,y0). Teorema 3: Si el juego G=(X,Y,M) está estrictamente determinado y además el ínfimo y el supremo son sustituibles por el mínimo y el máximo respectivamente, entonces el juego tiene estrategias óptimas y además existe un punto de silla definido por las estrategias óptimas. Teorema 4: Si la función de pago tiene dos puntos de silla –digamos (x0,y0) y (x1,y1)- entonces (x0,y1) y (x1,y0) son también puntos de silla y la función de pago toma el mismo valor en todos ellos. En los juegos bipersonales de suma nula, los conceptos de bitupla de equilibrio y punto de silla son equivalentes, es decir, toda bitupla de equilibrio se corresponde con un punto de silla de la función de pago y viceversa.

3.5. Resumen En todo juego bipersonal de suma cero se cumple que . **

GG V≤λSi un juego posee valor, , entonces posee estrategias **

GG V=λ ε -óptimas. Si un juego posee valor, , y el ínfimo y el supremo se pueden sustituir respectivamente por el mínimo y el máximo, entonces posee estrategias óptimas y además, toda combinación de estrategias óptimas de ambos jugadores constituye un punto de silla de la función de pago.

**GG V=λ

Recíprocamente, si la función de pago M posee un punto de silla, entonces el juego tiene valor y existen estrategias óptimas. Si la función de pago posee un punto de silla el


primer jugador puede garantizarse un pago igual al valor del juego y el segundo jugador puede garantizarse no pagar más del valor del juego, eligiendo ambos estrategias óptimas. Este concepto de solución coincide con el de bitupla de equilibrio. Nos queda por estudiar qué ocurre cuando la función de pago no tiene puntos de silla.

TEMA 4. EXTENSIÓN MIXTA DE UN JUEGO BIPERSONAL DE SUMA CERO

4.1 Necesidad de extender el concepto de estrategia pura Para todo juego bipersonal de suma cero se cumple . En el tema anterior hemos desarrollado una teoría satisfactoria para el caso en que . Vamos a desarrollar una teoría satisfactoria para encontrar estrategias óptimas en el caso en que , cosa que ocurre cuando en la función de pago no existen puntos de silla. Para ello necesitamos extender el concepto de estrategia pura al de estrategia mixta.

**GG V≤λ

**GG V=λ

**GG V<λ

4.2 Definición general de la extensión mixta Dado un juego bipersonal de suma nula G=(X,Y,M) con M función real acotada supongamos que sobre X e Y tenemos definidas sendas sigma-álgebras que representaremos por AX y AY respectivamente. A estas sigma-álgebras les exigimos que contengan a todos los subconjuntos discretos de X y de Y. ESTRATEGIA MIXTA: Una estrategia mixta del primer jugador es una distribución de probabilidad definida sobre (X, AX). Si representamos por X* al conjunto de todas las estrategias mixtas de J1, una estrategia mixta verificará:

[ ]( )

( ) disjuntosson los si

11,0:

11i

ii

ii

X

AAA

XA

∑∞

=

∞

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=→

ξξ

ξξ

U

y análogamente si denotamos por Y* el conjunto de estrategias mixtas del segundo jugador. EXTENSIÓN DE LA FUNCIÓN DE PAGO A LAS ESTRATEGIAS MIXTAS: Dadas

, estrategias mixtas de Jηξ y 1 y J2 respectivamente se tiene: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ ==×=

× Y XX YYXydxdyxMxdydyxMyxdyxMM ηξξηηξηξ ,,,,

IDENTIFICACIÓN DE LAS ESTRATEGIAS PURAS CON UN SUBCONJUNTO DE LAS ESTRATEGIAS MIXTAS: por la inclusión de todos los conjuntos discretos de X y de Y, respectivamente en AX y AY , las estrategias puras de J1 y J2 no son sino casos particulares de las estrategias mixtas. Una estrategia pura x0 de J1 viene representada por una distribución de probabilidad –estrategia mixta- que asigna el valor 1 a aquellos subconjuntos de X que contienen a x0 –en particular, al propio x0 - y 0 a aquellos que no lo contienen y análogamente para las estrategias puras de J2. EXTENSIÓN MIXTA DE UN JUEGO BIPERSONAL DE SUMA NULA: Sea G=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma nula. Al juego E(G)=(X*,Y*,M) donde X* e Y* representan el conjunto de todas las estrategias mixtas de J1 y J2 respectivamente y donde ( ) ( ) ( ) ( )[∫ ×

×=YX

yxdyxMM ηξηξ ,, ] para todo y para todo se le

llama extensión mixta de G.

*X∈ξ *Y∈η


4.3 Relación entre los elementos de un juego y los de su extensión mixta

Los espacios de estrategias mixtas de los dos jugadores de un juego bipersonal de suma nula son convexos, es decir, cualquier combinación lineal convexa de estrategias mixtas es una estrategia mixta. Teorema 1: Si G=(X,Y,M) es un juego bipersonal de suma nula y E(G) es su extensión mixta entonces se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*

GE*GGE λλξ,yM

YyM

Y≤

∈=

∈=Λ y

inf,

inf* ηξ

ηξ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )*

G*

GEGE VVx,MXx

MX

≤∈

=∈

= y sup

,sup

* ηηξξ

ηγ

Es decir, para calcular la función ( ) ( )ξGEΛ no es necesario considerar todas las estrategias mixtas de J2 sino tan solo sus estrategias puras y análogamente para la función ( ) ( )ηγ GE . Por otra parte, resulta evidente que ya que

. Análogamente

para

( )*

GE*G λλ ≤

( ) ( ) ( ) *G*GE X y Xx,yM

YyXx y ξ,yM

YyXξ⊂

∈∈=

∈∈=

infsupinfsup ** λλ

( )*

G*

GE VV ≤

Además, como se tiene que si el juego tiene valor en estrategias puras –esto es, si está estrictamente determinado, entonces el juego tiene valor en estrategias mixtas y el valor coincide y cualquier estrategia óptima de G será una estrategia óptima de E(G).

( ) ( )*

G*

GE*

GE*G VVλλ ≤≤≤

En el tema anterior hemos desarrollado una teoría satisfactoria para aquellos juegos en los que . Aunque sabemos que, en general, se cumple que

esperamos que, en una amplia variedad de juegos, suceda

y entonces tendríamos una teoría satisfactoria para E(G). En los siguientes temas buscaremos condiciones suficientes para que la extensión mixta de un juego esté estrictamente determinada (en concreto, el teorema del minimax generalizado da condiciones suficientes para que la extensión mixta de un juego esté estrictamente determinada).

( ) ( )*

G*

GE*

GE*G VVλλ ===

( ) ( )*

G*

GE*

GE*G VVλλ ≤≤≤

( ) ( )*

G*

GE*

GE*G VVλλ ≤=≤

JUEGO QUE TIENE VALOR: Sea G=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma nula y sea E(G) su extensión mixta. Si E(G) tiene valor puro vE(G), entonces diremos que el juego G tiene valor v=vE(G) y a cualquier estrategia óptima de E(G) la llamaremos estrategia óptima de G. ESTRATEGIA MAXIMÍN Y ESTRATEGIA MINIMAX: Sea G=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma nula. Si existe una estrategia mixta tal que

entonces a se le llama una estrategia maximín del jugador J

*0 X∈ξ

( ) ( ) ( )*

0 GEGE λξ =Λ *0 X∈ξ 1.

Análogamente, si existe una estrategia tal que *0 Y∈η ( ) ( ) ( )

*0 GEGE V=ηγ entonces se

dice que es una estrategia minimax del jugador J*0 Y∈η 2. Si E(G) tiene valor, las

estrategias maximín y minimax son estrategias óptimas del juego. Toda estrategia óptima de J1 es maximín y toda estrategia óptima de J2 es minimax. Si el juego tiene valor, entonces toda estrategia maximín de J1 es óptima y toda estrategia minimax de J2 es óptima.


4.4 Sigma-álgebras intrínsecas Para definir las estrategias mixtas ha sido necesario definir sobre los espacios de estrategias puras X e Y sendas sigma-álgebras a las que hemos exigido que incluyan a todos los subconjuntos discretos de X y de Y respectivamente. Así, hemos conseguido que las estrategias puras sean un caso particular de las estrategias mixtas. Se trata ahora de aprovechar la existencia de una función M –función de pago- sobre el producto cartesiano XxY para construir unas métricas sobre X e Y que nos lleven a la definición de sigma-álgebras apropiadas -¡cuidado!: la construcción que vamos a hacer no garantiza que las sigma-álgebras incluyan a todos los subconjuntos discretos-. Sea G=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma cero. Vamos a definir una métrica en X del siguiente modo: para cada par de estrategias puras x y x’ de X se define la distancia

entre ellas por ( ) ( ) ( )yxMyxMYy

xx ,',sup

',1 −∈

=ρ .

Análogamente, para cada par de estrategias puras y,y’ de Y se define

( ) ( ) ( )',,sup

',2 yxMyxMXx

yy −∈

=ρ

Estas distancias definen sendas semimétricas en X e Y que nos llevan a definir una topología basada en los sistemas de bolas abiertos ( ) ( ) ερε <∈= ',:'; 1 xxXxxI y

( ) ( ) ερε <∈= ',:'; 2 yyYyyI

TEMA 5. JUEGOS RECTANGULARES O MATRICIALES Todo juego bipersonal de suma nula esencialmente finito es equivalente a un juego rectangular o matricial. En este tema se enuncia el “teorema del minimax” que afirma que cualquier juego bipersonal de suma nula y finito –que obviamente es equivalente a un juego matricial- posee valor en estrategias mixtas y los jugadores tienen estrategias óptimas.

5.1 Definición JUEGO RECTANGULAR O JUEGO MATRICIAL: Un juego bipersonal de suma nula GA se dice rectangular o matricial cuando su forma es (Im,In,A) siendo Im=1,...,m, In=1,2,...,n y A=(aij) con i=1,...,m; j=1,...,n. La función de pago queda definida por la matriz A –llamada matriz de pagos del primer jugador- haciendo M(i,j)=aij. Todo juego finito es equivalente a un juego matricial (obvio). Existen juegos infinitos que son equivalentes a juegos matriciales. PUNTO DE SILLA DE UNA MATRIZ: En el apartado 3.4 se ha definido el concepto de punto de silla para una función M definida sobre el producto cartesiano XxY y con valores en la recta real. En el caso de los juegos matriciales o rectangulares, la función de pagos M viene dada por la matriz A. De este modo, es posible encontrar un paralelismo entre el concepto de punto de silla de una función y punto de silla de una matriz. Se dice que un elemento ai*j* de la matriz A es un punto de silla de la matriz si es simultáneamente el mínimo de su fila y el máximo de su columna, esto es si aij* <= ai*j* <=ai*j para todo i y para todo j. Si la matriz posee un punto de silla la función de pago posee un punto de silla y el juego matricial tiene valor en estrategias puras. En el caso de que no exista un punto de silla en la matriz deberemos considerar la extensión mixta del juego.


5.2 Extensión mixta de un juego rectangular y propiedades En este apartado vamos a aplicar al caso particular de los juegos rectangulares los resultados generales que obtuvimos en los apartados 4.2 y 4.3 en los que nos referíamos a la extensión mixta de un juego bipersonal de suma cero. ESTRATEGIA MIXTA PARA UN JUEGO MATRICIAL: Hemos visto que una estrategia mixta para el primer jugador en un juego bipersonal de suma cero es una distribución de probabilidad definida sobre (X, AX). En este caso, dada la finitud del espacio de estrategias puras del primer jugador se tiene que una estrategia mixta para el primer jugador en un juego matricial es una m-pla (x1,x2,...,xm) que representa una distribución de probabilidad sobre el espacio de estrategias puras Im. Análogamente, una estrategia mixta para el segundo jugador en un juego matricial es una n-pla de la forma (y1,...,yn) que determina una distribución de probabilidad sobre el conjunto de estrategias puras del segundo jugador. De este modo, el conjunto de todas las estrategias mixtas X* del primer jugador será el conjunto de todas las m-plas (x1,...,xm) tales que xi>=0 para todo i y x1+...+xm=1. El conjunto de todas las estrategias mixtas del segundo jugador, Y*, es el conjunto de todas las n-plas (y1,...,yn) tales que yj>=0 para todo j y y1+...+yn=1. Es decir, una estrategia mixta ξ del primer jugador tiene la forma (x1,...,xm) y el conjunto de todas las estrategias mixtas del primer jugador –al que llamamos Sm- es

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈∀≥= ∑=

m

iiimm xmixxxS

11 1:,...,10:,...,

Análogamente, una estrategia mixta η del segundo jugador tiene la forma (y1,...,yn) y el conjunto de todas las estrategias mixtas del segundo jugador –al que llamamos Sn- es

( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈∀≥= ∑=

n

iiinn yniyyyS

11 1:,...,10:,...,

Por ejemplo, S2 es el segmento de recta y=1-x contenido entre los ejes de coordenadas en el primer cuadrante. S3 es la parte del plano x+y+z=1 contenido entre los tres ejes de coordenadas. EXTENSIÓN DE LA FUNCIÓN DE PAGO PARA UN JUEGO MATRICIAL: Hemos visto en el tema 4 que la forma natural de extender la función del pago al producto cartesiano de los conjuntos de estrategias mixtas venía dada por la expresión

. ( ) ( ) ( ) ([ ]∫ ××=

YXyxdyxMM ηξηξ ,, )

Ahora, la probabilidad asignada a la combinación de la estrategia pura i-ésima del primer jugador con la estrategia pura j-ésima del segundo jugador viene dada por el producto xiyj , de donde se deduce que la forma que toma ahora la función de pago para las estrategias mixtas es

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==×= ∫ ×

nmnm

n

mYXy

y

aa

aaxxAyxdyxMM ...

............

...,...,',,

1

1

111

1ηξηξηξ

Aplicando los resultados de la sección 4.3 tenemos que

( ) ( ) ( ) jGE Pξnj

Mínξ,yM

Yy'

,...,1inf

∈=

∈=Λ ξ

( ) ( ) ( ) ηηηγ iGE Qmi

Maxx,M

Xx'

,...,1sup

∈=

∈=


5.3 Teorema fundamental Dado que las funciones ( ) ( )ξGEΛ y ( ) ( )ηγ GE definidas respectivamente sobre Sm y Sn son continuas y los conjuntos sobre los que están definidas son compactos –obviamente son cerrados y acotados-, existen estrategias maximín y minimax para el primer y segundo jugador respectivamente. Sólo falta demostrar que todo juego rectangular posee valor para afirmar que estas estrategias maximín y minimax son estrategias óptimas del juego. TEOREMA DEL MINIMAX: Todo juego matricial posee valor en estrategias mixtas y como todo juego matricial tiene al menos una estrategia maximín para J1 y una estrategia minimax para J2, se tiene que todo juego matricial tiene estrategias mixtas óptimas. A los conjuntos de estrategias óptimas de J1 y J2 en el juego matricial GA=(Im,In,A) los representamos por O(J1;A) y O(J2;A) y quedan definidos por:

( ) ( ) ( ) ( ) vSAJO

vSAJO

n

m

=∈==Λ∈=

002

001

:;:;

ηγηξξ

El teorema fundamental afirma que O(J1;A) y O(J2;A) de un juego matricial son no vacíos.

TEMA 6. MÉTODOS GEOMÉTRICOS DE RESOLUCIÓN DE JUEGOS MATRICIALES En este tema se dan tres métodos geométricos para la resolución de juegos matriciales o rectangulares.

6.1 Método basado en la demostración del teorema fundamental Método aplicable a los juegos matriciales 2xn y mx2. Primer caso: Se trata de resolver un juego (2xn) con matriz de pagos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

n

aaaa

A221

111

...

...

• Se dibujan los puntos en unos ejes de coordenadas colocando la

variable t

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

j

jj a

aP

2

1

1 en abscisas y la variable t2 en ordenadas. • Se construye la envoltura convexa de los Pj, que será un poliedro al que

denominaremos S*. • Se deslizan a lo largo de la diagonal del primer y del tercer cuadrantes (esto es, a

lo largo de la recta de ecuación t2=t1 escuadras de la forma hasta que toquen al conjunto S( ) atatttTa ≤≤= 2121 ,:, * “por abajo”, es decir,

consideramos aquella escuadra donde *aT vacioSTaa a =∩= ** :sup

• El valor del juego es precisamente a*. • La estrategia óptima del primer jugador viene dada por la ecuación del

hiperplano que separa los conjuntos -interior de - y S*aT& *a

T *, de manera que si la ecuación de dicho hiperplano es u1t1+u2t2=c, la estrategia óptima del primer

jugador viene dada por ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=21

2

21

10 ,

uuu

uuutξ . Puede haber más de una

estrategia óptima para el primer jugador.


• La estrategia óptima del segundo jugador viene dada por la intersección . Puede haber más de una estrategia óptima para el segundo jugador. *

* STa

∩Segundo caso: Se trata de resolver un juego matricial (mx2) con matriz de pagos

Se dibujan los puntos en unos ejes de coordenadas colocando la variable q

( 21 ,' iii aaQ = )

1 en abscisas y la variable q2 en ordenadas.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

21

1211

......

mm aa

aaA

• Se construye la envoltura convexa de los Q’i, que será un poliedro al que denominaremos R*.

• Se deslizan a lo largo de la diagonal del primer y del tercer cuadrantes (esto es, a lo largo de la recta de ecuación q2=q1 escuadras de la forma

hasta que toquen al conjunto R* “por arriba”, es decir, consideramos aquella escuadra donde

( ) bqbqqqQb ≥≥= 2121 ,:,

*bQ vacioRQbb b =∩= ** :inf

• El valor del juego es precisamente b*. • La estrategia óptima del segundo jugador viene dada por la ecuación del

hiperplano que separa los conjuntos -interior de - y R*bQ& *b

Q *, de manera que si la ecuación de dicho hiperplano es u1q1+u2q2=c, la estrategia óptima del segundo

jugador viene dada por ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=21

2

21

10 ,

uuu

uuutη . Puede haber más de una

estrategia óptima para el segundo jugador. • La estrategia óptima del primer jugador viene dada por la intersección .

Puede haber más de una estrategia óptima para el primer jugador.

** RQ

b∩

6.2 Segundo método geométrico

Se basa en la forma especial de las funciones en el

caso de los juegos matriciales 2xn y mx2. Estas funciones son poligonales cóncavas y convexas respectivamente.

( ) ( ) ηξ ij Qi

Máxη y γP

jMín

ξΛ '' ==

Primer caso: Se trata de resolver un juego (2xn) con matriz de pagos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

n

aaaa

A221

111

...

...

Sabemos que . ( ) ( ) ( ) jGE Pξnj

Mínξ,yM

Yy'

,...,1inf

∈=

∈=Λ ξ

Además, cualquier estrategia mixta del primer jugador , de donde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=x

x1

ξ

( ) ( ) ( ) ( )xaxanj

Mínaa

xxnj

MínPξ

njMín

jjj

jjGE −+

∈=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∈=

∈=Λ 1

,...,11

,...,1'

,...,1 212

1ξ

Así, es una función continua y

cóncava.

( ) ( ) ( ) [ 1011 21 , con xxaxa,...,nj

MínxΛ jjGE ∈−+

∈= ]


El máximo de dicha función proporciona el valor del juego. Los puntos de [0,1] donde se alcanza este máximo determinan la primera coordenada de las estrategias óptimas del primer jugador. El cálculo de las estrategias óptimas del segundo jugador se hace seleccionando aquellos puntos de [0,1] donde se alcanza el máximo y considerando las rectas que intervienen en el valor de la función en dicho punto –digamos las correspondientes a las columnas j y j’- La estrategia óptima del segundo jugador será una mixtura de las dos columnas implicadas determinando los coeficientes de la mixtura la solución de la ecuación ( ) 01 '00 =−+

jj pp λλ siendo pj y pj’ las pendientes de las rectas consideradas.

Segundo caso: Se trata de resolver un juego matricial (mx2) con matriz de pagos

Sabemos que . ( ) ( ) ( ) ηηηγ iGE Qmi

Maxx,M

Xx'

,...,1sup

∈=

∈=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

21

1211

......

mm aa

aaA

Además, cualquier estrategia mixta del segundo jugador es de la forma , de

donde

que es una función continua y convexa.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=y

y1

η

( ) ( ) ( ) ( ) [ ]101111

'1 2121 , con yyaya

,...,miMax

yy

aa,...,mi

MaxηQ

,...,miMax

ηγ iiiiiGE ∈−+∈

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∈

=∈

=

El mínimo de dicha función proporciona el valor del juego. Los puntos de [0,1] donde se alcanza dicho mínimo proporcionan la primera coordenada de las estrategias óptimas del segundo jugador. Las estrategias óptimas del primer jugador se determinan considerando las rectas que configuran los valores mínimos de la función. La estrategia óptima del primer jugador será una mixtura de las filas involucradas –digamos i e i’- y los coeficientes de la mixtura vendrán dados por la solución de la ecuación ( ) 01 '00 =−+ ii qq µµ siendo qi y qi’ las pendientes de las rectas consideradas.

6.3 Método de los puntos fijos Este método puede ser aplicado a juegos matriciales en los que los jugadores no están obligados a utilizar todas sus estrategias sino que la elección se ve restringida por imposiciones de carácter lineal sobre sus posibles estrategias mixtas (¡cuidado! ver ejercicio de autocomprobación 7 de la página 228 de las unidades didácticas). Teorema del minimax generalizado: Sea G=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma cero en donde X e Y son subconjuntos convexos y compactos de espacios euclideos de dimensión m y n respectivamente y M es una función continua y cóncava de x para todo

y convexa de y para todo Yy ∈ Xx ∈ . Entonces G está determinado estrictamente y existen estrategias óptimas para ambos jugadores. Aplicación del teorema del minimax generalizado al caso de la extensión mixta de un juego matricial: Sea GA=(Im,In,A) un juego matricial y sea E(GA)=(Sm,Sn,M) su

extensión mixta, con , ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈∀≥= ∑=

m

iiimm xmixxxS

11 1:,...,10:,...,


( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=∈∀≥= ∑=

n

iiinn yniyyyS

11 1:,...,10:,..., y

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==×= ∫ ×

nmnm

n

mYXy

y

aa

aaxxAyxdyxMM ...

............

...,...,',,

1

1

111

1ηξηξηξ

Obviamente, los conjuntos Sm y Sn son conjuntos convexos y compactos de Rm y Rn respectivamente y la función ( )ηξ ,M es concavo-convexa. De aquí que este juego –la extensión mixta- esté determinado estrictamente y ambos jugadores posean estrategias óptimas. El método geométrico consiste en la construcción de los conjuntos

( ) ( ) yxMxYyBx ,: =Λ∈= y ( ) ( ) yxMyXxAy ,: =∈= γ , ambos convexos y compactos y la posterior construcción de las correspondencias e y la búsqueda posterior de los puntos fijos de estas correspondencias.

xBx → yAy →

TEMA 7. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE UN JUEGO MATRICIAL En el tema 5 se ha enunciado el teorema fundamental de los juegos matriciales (teorema del minimax para juegos matriciales, que se ha extendido en el tema 6) que afirma que los conjuntos de estrategias óptimas de los jugadores en la extensión mixta de un juego matricial son no vacíos. En este tema vamos a estudiar los conjuntos de estrategias óptimas.

7.1 Propiedades de las estrategias óptimas Teorema 1: Los conjuntos de estrategias óptimas O(J1,A) y O(J2,A) de un juego rectangular de matriz A son subconjuntos convexos y compactos de Rm y Rn respectivamente. COLUMNA RELEVANTE: Sea A la matriz de un juego rectangular. Una columna Pj de la matriz se dice que es relevante si existe alguna estrategia óptima del segundo jugador ( )***

1* ,...,..., nj yyy=η con . Una columna es relevante si juega algún

papel en alguna estrategia óptima del segundo jugador. 0* >jy

FILA RELEVANTE: Sea A la matriz de un juego rectangular. Una fila Q’i de la matriz se dice que es relevante si existe alguna estrategia óptima del primer jugador

( )***1

* ,...,..., mi xxx=ξ con . Una fila es relevante si juega algún papel en alguna estrategia óptima del primer jugador.

0* >ix

COLUMNA (FILA) IRRELEVANTE: Aquella que no es relevante. Teorema 2: Si la columna Pj es relevante y 0ξ es una estrategia óptima del primer jugador entonces vPj =0'ξ . Análogamente si la fila Q’i es relevante y 0η es una estrategia óptima del segundo jugador entonces vQ i =0' η . Comentario importante: nótese que por ser 0ξ una estrategia óptima se cumple que

, luego ( ) ( ) jGE Pξnj

Mínv '

,...,1 00 ∈=Λ= ξ vPj ≥0'ξ para toda columna sea ésta relevante

o no. Análogamente, por ser 0η una estrategia óptima para el segundo jugador se cumple que vQ i ≤0' η para toda fila, sea ésta relevante o no. Para las filas y columnas relevantes se da la igualdad. Tenemos así un criterio para determinar si una columna


(fila) es o no relevante. Si su producto por alguna estrategia óptima del jugador correspondiente no coincide con el valor del juego podemos asegurar que la columna (fila) es irrelevante. Teorema 3: Sea G un juego matricial de matriz A de dimensiones mxn. Entonces, las estrategias óptimas de los jugadores son una mixtura de a lo sumo minm,n estrategias puras.

7.2 Dominancia y admisibilidad Buscamos la eliminación de filas o columnas de la matriz de modo que los conjuntos de estrategias óptimas de los jugadores no se vean afectados. COLUMNA QUE DOMINA ESTRICTAMENTE A OTRA: Se dice que la columna Pj domina estrictamente a la columna Pk si todas los elementos de la columna Pj son menores que los correspondientes elementos de la columna Pk. FILA QUE DOMINA ESTRICTAMENTE A OTRA: Se dice que la fila Q’j domina estrictamente a la fila Q’i si todas los elementos de la fila Q’j son mayores que los correspondientes elementos de la fila Q’i. Teorema 4: Si la columna Pj (fila Q’j) domina estrictamente a la columna Pk (fila Q’i) entonces la columna Pk (fila Q’i) es irrelevante. Teorema 5: Si una columna (fila) está dominada estrictamente por una combinación lineal convexa de otras columnas (filas) entonces la columna (fila) es irrelevante. Corolario: Si de una matriz se eliminan las filas y las columnas dominadas estrictamente, los conjuntos de estrategias óptimas de los dos jugadores permanecen inalterados ya que las columnas y filas eliminadas no jugaban ningún papel en ninguna estrategia óptima de ninguno de los dos jugadores. También permanece inalterado el valor del juego. COLUMNA DOMINADA POR OTRA COLUMNA: Se dice que la columna Pj está dominada por la columna Pk si todos los elementos de la columna Pk son menores o iguales que los correspondientes elementos de la columna Pj y al menos una de las desigualdades es estricta. FILA DOMINADA POR OTRA FILA: Se dice que la fila Q’i está dominada por la fila Q’j si todos los elementos de la fila Q’i son menores o iguales que los correspondientes elementos de la fila Q’j y al menos una de las desigualdades es estricta. Corolario: Si de una matriz se eliminan las filas y las columnas dominadas el valor del juego permanece inalterado. Además, cualquier estrategia óptima del juego una vez eliminadas las columnas o las filas también es una estrategia óptima del juego original aunque es posible que el conjunto de estrategias óptimas del juego original se haya visto reducido por el hecho de que algunas estrategias óptimas estaban dominadas por otras (pero no estrictamente). ESTRATEGIA MIXTA DOMINADA Y ESTRICTAMENTE DOMINADA: Sea G=(X,Y,M) un juego y sea E(G)=(X*,Y*,M) su extensión mixta. Se dice que la estrategia está dominada estrictamente por la estrategia *

1 Y∈η 0η si ( ) ( ) XxxMxM ∈∀< 10 ,, ηη . Asimismo, se dice que la estrategia está

dominada por la estrategia

*1 Y∈η

0η si ( ) ( )

( ) (⎩⎨⎧

<∈∃∈∀≤

10

10

,,:,,

ηηηη

xMxMXxXxxMxM) .


Paralelamente, se dice que la estrategia está dominada estrictamente por la estrategia

*1 X∈ξ

0ξ si ( ) ( ) YyyMyM ∈∀> ,, 10 ξξ . Asimismo, se dice que la estrategia

está dominada por la estrategia *1 X∈ξ 0ξ si

( ) ( )( ) (⎩

⎨⎧

>∈∃∈∀≥yMyMYyYyyMyM

,,:,,

10

10

ξξξξ

) .

ESTRATEGIA ADMISIBLE: Sea G=(X,Y,M) un juego y sea E(G)=(X*,Y*,M) su extensión mixta. Se dice que la estrategia es admisible si no está dominada por ninguna otra estrategia de J

*1 Y∈η

2. Asimismo, se dice que la estrategia es admisible si no está dominada por ninguna otra estrategia de J

*1 X∈ξ

1. Teorema 6: En todo juego matricial siempre existe al menos una estrategia óptima para cada jugador que es admisible. Teorema 7: Sea A la matriz de un juego rectangular y sea B la matriz del juego que resulta de eliminar aquellas filas y columnas que están dominadas por otras estrategias; entonces se verifica que las estrategias admisibles de los conjuntos O(J1;A) y O(J1;B) son idénticas (y lo mismo para J2). Comentarios importantes:

• Si una estrategia óptima está dominada por otra estrategia , entonces es una estrategia óptima. Es decir, una estrategia óptima sólo puede estar dominada por otra estrategia óptima.

*0 X∈ξ *

1 X∈ξ*

1 X∈ξ

• Una estrategia óptima no puede estar estrictamente dominada por ninguna otra estrategia. En efecto, hemos visto que la estrategia está dominada estrictamente por la estrategia

*1 X∈ξ

*1 X∈ξ

0ξ si ( ) ( ) YyyMyM ∈∀> ,, 10 ξξ .

Esto implica que lo que supone que no

es una estrategia óptima.

( ) ( yMYy

mínyM

Yymín

,, 10 ξξ∈

>∈

) *1 X∈ξ

En consecuencia, cuando eliminamos las columnas y las filas estrictamente dominadas, no estamos eliminando ninguna estrategia óptima ya que ninguna estrategia óptima está estrictamente dominada por ninguna otra (ni siquiera por una óptima). Si eliminamos columnas o filas dominadas (no estrictamente) estamos eliminando aquellas estrategias óptimas que están dominadas –pero no estrictamente- por otras estrategias –que necesariamente deben ser óptimas-, esto es, estamos eliminando estrategias óptimas inadmisibles. En resumen:

• Si eliminamos filas y columnas estrictamente dominadas, el valor del juego y las estrategias óptimas de ambos jugadores permanecen inalteradas.

• Si eliminamos filas y columnas dominadas, el valor del juego permanece inalterado, pero las estrategias óptimas de ambos jugadores pueden verse modificadas; no obstante, el conjunto de estrategias óptimas admisibles de ambos jugadores permanece inalterado.

7.3 Juegos completamente mixtos ESTRATEGIA ÓPTIMA COMPLETAMENTE MIXTA: Una estrategia óptima es completamente mixta si todos sus componentes son estrictamente positivos, esto es, si la estrategia óptima es una mixtura de todas las estrategias puras del jugador. En caso de que exista una estrategia óptima completamente mixta todas las columnas (si se trata de J2) o todas las filas (si se trata de J1) son relevantes.


Teorema 8: Sea A la matriz de un juego de dimensiones mxn cuyo valor es v(A)=0. Si toda estrategia óptima de J1 es completamente mixta, entonces el rango de la matriz A satisface y si el rango de A es m-1, entonces J1 tiene exactamente una estrategia óptima

( ) 11 −≤≤− nArm

0ξ tal que 0'0r

=Aξ . Teorema 9: Si A es la matriz de un juego de dimensiones mxn con m>n entonces existe una estrategia óptima de J1 que no es completamente mixta. Teorema 10: Si A es una matriz cuadrada de orden n y si existe una estrategia óptima para J2 que no es completamente mixta entonces J1 posee una estrategia óptima que no es completamente mixta. JUEGO RECTANGULAR COMPLETAMENTE MIXTO: Un juego matricial se dice completamente mixto si todas las estrategias óptimas de los jugadores son completamente mixtas. Teorema 11: Sea G un juego rectangular de matriz A y de dimensiones mxn con valor del juego cero. Una condición necesaria y suficiente para que el juego sea completamente mixto es que se cumplan las tres condiciones siguientes:

• m=n • r(A)=n-1 • Todos los elementos Aij de la matriz adjunta A* son del mismo signo y no nulos

Comentario importante: Nótese que si un juego es completamente mixto se cumplen las condiciones del teorema 8 (y del simétrico para J2) de modo que J1 tiene exactamente una estrategia óptima 0ξ tal que 0'0

r=Aξ y J2 tiene exactamente una estrategia óptima

0η tal que . 00

r=ηA

Teorema 12: Sea A, matriz cuadrada de orden n, la matriz de un juego completamente mixto GA y sea v el valor del juego. Entonces el valor del juego viene dado por

nn JAJA

v *'= , la única estrategia óptima de J1 es y la única estrategia

óptima de J

10 '' −= AvJ nξ

2 es . nJvA 10

−=ηComentario final: Hemos obtenido que los juegos completamente mixtos -es decir, aquellos que cumplen que todas sus estrategias óptimas utilizan todas las estrategias puras de los jugadores- tienen una sola solución óptima para J1 y una sola solución óptima para J2.

TEMA 8. EL MÉTODO DE LAS SUBMATRICES En el tema 5 se ha mostrado que los conjuntos de estrategias óptimas para un juego matricial O(J1,A) y O(J2,A) son no vacíos. Asimismo, en el tema 7 se ha mostrado (teorema 1) que los conjuntos de estrategias óptimas O(J1,A) y O(J2,A) de un juego rectangular de matriz A son subconjuntos convexos y compactos de Rm y Rn respectivamente. En este tema se va a mostrar (teorema de Shapley y Snow) que los conjuntos O(J1,A) y O(J2,A) son de tipo poliédrico, es decir, tienen un número finito de puntos extremos. En este tema se estudiará también un procedimiento sistemático para determinar todos los puntos extremos de O(J1,A) y O(J2,A), que se conoce como “método de las submatrices”.

8.1 Soluciones simples SOLUCIÓN SIMPLE DE UN JUEGO EN FORMA NORMAL: Sea G=(X,Y,M) un juego bipersonal de suma cero y sean y estrategias mixtas de J** X∈ξ ** Y∈η 1 y J2


respectivamente tales que ( ) ( ) YyXxcxMyM ∈∀∈∀== ** ,, ηξ . Entonces al par ( )*,* ηξ se le denomina una solución simple de G. Resulta obvio que

y que y como

, se deduce que el juego tiene valor –

concretamente su valor es c- en estrategias mixtas y que

( ) ( ) ( ) c inf ** =∈

=Λ ,yξMYyGE ξ ( ) ( ) ( ) cx,M

XxGE =∈

= ** supηηγ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ηγη

ξξ GE

*GE

*GEGE Y

VλX **

infsup∈

=≤=Λ∈

( )*,* ηξ es una estrategia óptima. Es decir, toda solución simple es un par de soluciones óptimas para ambos jugadores. SOLUCIÓN SIMPLE DE UN JUEGO MATRICIAL: Sea A la matriz de un juego rectangular y sean 0ξ y soluciones óptimas de J*η 1 y J2 respectivamente. Se dice que el par ( 0ξ , ) es una solución simple de la matriz A si se verifica que *η

( ) ( ) YyXxcxMyM ∈∀∈∀== ** ,, ηξ , es decir, si , siendo

c el valor del juego.

⎩

⎨⎧

∈∀=∈∀=

micQnjcP

i

j

,...,1',...,1'

*0

ηξ

Comentario: como se deduce fácilmente, todas las soluciones simples son óptimas pero no todas las soluciones óptimas son simples. De hecho, toda solución óptima ( 0ξ , )

debe cumplir que

*η ⎩

⎨⎧

∈∀≤∈∀≥

micQnjcP

i

j

,...,1',...,1'

*0

ηξ

. Si se da la igualdad, entonces tenemos una

solución simple. Teorema 1: Sea A una matriz cuadrada de orden n y no singular y sea A*=(Aij) la matriz adjunta. Una condición necesaria y suficiente para que la matriz A tenga alguna

solución simple es que las cantidades y

sean del mismo signo. Además se tiene que:

niARn

jiji ,...,2,1

1== ∑

=

njACn

iijj ,...,2,1

1== ∑

=

∑=

jjC

Av

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

∑ni

i R

R

R...1 1

0ξ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

∑nj

j C

C

C...1 1

*η

Corolario: Si una matriz cuadrada no singular admite soluciones simples, estas soluciones simples son las únicas soluciones óptimas del juego correspondiente.

8.2 Teorema de Shapley-Snow Teorema 2: TEOREMA DE SHAPLEY-SNOW: Sea G un juego matricial de matriz A y de dimensiones mxn, cuyo valor es v<>0. Entonces, el conjunto de estrategias óptimas extremas –esto es, el conjunto de puntos extremos de O(J1,A) y O(J2,A)- es finito. Una pareja de estrategias óptimas ( 0ξ , ) son puntos extremos de O(J*η 1,A) y O(J2,A)


respectivamente si y sólo si la matriz A posee una submatriz cuadrada no singular B para la cual ( B0ξ , ) es una solución simple de B, en donde *

Bη B0ξ es el vector que se obtiene de 0ξ eliminando aquellas componentes que corresponden a las filas eliminadas al obtener B de A y es el vector que se obtiene de eliminando aquellas componentes que corresponden a las columnas eliminadas al obtener B de A.

*Bη *η

Observaciones: Si el valor del juego es 0 se puede añadir una constante a todos los elementos de la matriz, lo que no altera los conjuntos de estrategias óptimas –aunque sí el valor del juego- y de ese modo se consiguen las condiciones para aplicar el teorema. Por otra parte, como el número de matrices cuadradas de A que admiten soluciones simples es finito, y cada una de ellas caracteriza de modo único una estrategia óptima extrema en el conjunto de estrategias óptimas, los subconjuntos O(J1,A) y O(J2,A) quedan perfectamente caracterizados como conjuntos convexos, compactos y poliédricos.

8.3 Método práctico de determinar todas las soluciones El método práctico consiste, por tanto, en estudiar todas las matrices cuadradas de la matriz A y determinar sus soluciones simples. El esquema es el siguiente: Paso I: Nos aseguramos de que el valor del juego es distinto de cero. Si no lo es, añadimos una constante a todos los elementos de la matriz A. Conviene añadir un elemento tal que todos los elementos de la nueva matriz tengan el mismo signo –digamos positivo-. Paso II: Se examinan las matrices 1x1 y se determina su optimalidad, lo cual equivale a analizar si la matriz posee un punto de silla. Paso III: Se examinan todas las matrices no singulares de orden 2. Paso IV:Se escogen aquellas matrices no singulares de orden 2 que admiten soluciones simples (mediante la aplicación del teorema 1). Si admite soluciones simples se pasa al paso V. En caso contrario, la matriz se desecha. Paso V: Las soluciones simples (determinadas por el teorema 1) del paso IV se completan con ceros en los lugares correspondientes y se comprueba si, en efecto, son soluciones óptimas de la matriz A. Paso VI. Si son óptimas hemos conseguido (por el teorema de Shapley-Snow) una estrategia óptima extrema. En caso contrario se examinan las matrices no singulares de orden 3. Paso VII. Se continúa el proceso hasta examinar todas las submatrices de orden minm,n y así se obtienen todos los puntos extremos de los conjuntos de estrategias óptimas de los dos jugadores.

TEMA 9. ALGUNOS TIPOS PARTICULARES DE JUEGOS

9.1 Juegos simétricos JUEGO SIMÉTRICO: Un juego bipersonal de suma cero G=(X,Y,M) es simétrico si X=Y y para todo Xx ∈ y para todo Yy ∈ se verifica que ( ) ( xyMyxM ,, )−= , es decir, si ambos jugadores tienen el mismo conjunto de estrategias puras y reciben los mismos pagos cuando se intercambian las estrategias (de aquí el signo’-‘). JUEGO MATRICIAL SIMÉTRICO: Un juego matricial G, cuya matriz es A se dice simétrico si la matriz A es antisimétrica, es decir, AAt −= .


Teorema 1: Sea G un juego matricial simétrico. Entonces su valor es cero y toda estrategia óptima de J1 es óptima de J2 y recíprocamente. Teorema 2: Un juego simétrico en el que el orden n de la matriz es par no puede ser completamente mixto.

9.2 Simetrización de juegos A cualquier juego se le puede asociar un juego simétrico mediante una correspondencia que relaciona también los conjuntos de estrategias óptimas del juego con las del juego simétrico asociado. En particular, existen dos métodos propuestos para la simetrización de juegos matriciales de dimensión mxn Teorema 3 (PRIMER MÉTODO DE SIMETRIZACIÓN): Sea GA un juego matricial de matriz A de dimensión mxn, cuyo valor es vA>0. Entonces el juego GB cuya matriz de pago es la matriz antisimétrica B de orden m+n+1 definida por

es tal que si ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−=

0''0

0

nm

nt

m

JJJAJA

B ( )',,...,,,..., 110 θnm vvuuW =r

es una estrategia

óptima de GB, entonces y 011

>== ∑∑==

avun

jj

m

ii

'

210 ,...,, ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

au

au

au mξ y

'

21* ,...,, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

av

av

av nη son estrategias óptimas de J1 y de J2 en GA. Además

avA

θ= .

Recíprocamente, si 0ξ y son estrategias óptimas de J*η 1 y de J2 en GA, entonces

( ',,2

1 *00 A

A

vv

W ηξ+

= )r es óptima de GB.

Teorema 4 (SEGUNDO MÉTODO DE SIMETRIZACIÓN): Sea A una matriz de dimensión mxn. Se considera la matriz B=(bpq) de orden mn en donde

. Entonces B es antisimétrica. Además si ( ) ( ) kjillnkjni aab −=+−+− 1,1 ( )mnλλλ ,...,1=r

es una estrategia óptima del juego cuya matriz es B, entonces los vectores ξ y η definidos por

y donde e son

estrategias óptimas de J

( )tmxx ,...,1=ξ ( )t

nyy ,...,1=η ( )∑=

+−=n

jjniix

11λ ( )∑

=+−=

m

ijnijy

11λ

1 y J2 respectivamente en el juego de matriz A.

9.3 Juegos matriciales paramétricos Vamos a considerar juegos matriciales en los que la matriz de pagos A depende de un parámetro vectorial θ que varía en cierta región del espacio euclídeo Rk. JUEGO MATRICIAL PARAMÉTRICO: Es un juego matricial en el que la matriz de pagos A depende de un parámetro vectorial θ que varía en cierta región del espacio euclídeo Rk, es decir ( )( )θθ AIIG nm ,,= . Vamos a estudiar las propiedades de la familia de juegos θG y en particular el comportamiento del valor del juego y de las estrategias óptimas como función de θ . Teorema 5: Si la familia de juegos θG es tal que los elementos ( )θija de la matriz

( )θA son funciones continuas de θ , entonces ( ) θθ vGv = es una función continua de θ .


Además las funciones ( )( )θθ AJOJO ;);( 11 = y ( )( )θθ AJOJO ;);( 22 = que para cada θ definen el conjunto de soluciones óptimas de J1 y J2 respectivamente. Teorema 6: Si la familia de juegos θG es tal que los elementos ( )θija de la matriz

( )θA , donde es un intervalo de la recta real, son funciones monótonas crecientes (decrecientes) de

Ωθ , entonces ( ) θθ vGv = es una función monótona creciente

(decreciente) de θ . Además si todos los ( )θija lo son estrictamente, también lo es . ( ) θθ vGv =

El método sistemático para la determinación de las funciones ( ) θθ vGv = ; ( )( )θθ AJOJO ;);( 11 = y ( )( )θθ AJOJO ;);( 22 = es el método de las submatrices

convenientemente modificado para recoger la variabilidad del parámetro θ .

TEMA 10. PROGRAMACIÓN LINEAL Y TEORÍA DE JUEGOS

10.1 Idea de la programación lineal Visto en Métodos De Programación Matemática.

10.2 Dualidad Visto en Métodos De Programación Matemática.

10.3 Paso de un juego a un programa lineal El problema de determinar las estrategias óptimas de los dos jugadores de un juego matricial se puede reducir a sendos problemas de programación lineal con la característica adicional de que éstos son duales. Razonando desde el punto de vista de J1, si el primer jugador elige una estrategia mixta

( mxx ,...,' 1= )ξ puede garantizarse que el pago que va a obtener será mayor o igual que un cierto valor α . El valor del juego matricial es el máximo de los α que el primer jugador se puede garantizar. Así, el problema de J1 se puede resumir en: Maximizar α Sujeto a αξ ≥jP' ; 1' =mJξ (es decir, la suma de los xi debe ser 1); 0

r≥ξ (todos los xi

deben ser no negativos). A partir de la formulación de este problema lineal conviene eliminar de los lados derechos de las restricciones la constante α . Así, la restricción αξ ≥jP' se convierte

en 1'1≥jPξ

α o lo que es lo mismo 1,...,1 ≥⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

jm P

xxαα

. Si definimos las nuevas

variables mix

u ii ,...,1∈∀=

α la restricción queda ( ) 1,...,1 ≥jm Puu .

Procediendo análogamente, la restricción 1' =mJξ se convierte en ( )α1,...,1 =mm Juu y

podemos sustituir la maximización de α por la minimización de α1 .

Así, el problema lineal transformado para J1 es:


Minimizar ( )α1,...,1 =mm Juu

Sujeto a ( y ( )) 1,...,1 ≥jm Puu 0,...,1

r≥muu

Razonando ahora desde el punto de vista de J2, si elige una estrategia mixta ( nyy ,...,1= )η tiene que βη ≤iQ' , siendo β el pago máximo que le garantiza la

estrategia ( nyy ,...,1= )η elegida. Lógicamente, J2 busca minimizar β eligiendo la estrategia ( nyy ,...,1= )η más adecuada. En otras palabras, J2 persigue: Minimizar β Sujeto a 1' =ηnJ ; βη ≤iQ' y 0

r≥η

Nuevamente conviene modificar las restricciones y la función objetivo para que el problema lineal sea de más fácil resolución mediante el algoritmo del simplex.

Así, la restricción βη ≤iQ' se convierte en 1'1≤η

β iQ o lo que es equivalente

1...'

1

≤

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

β

β

ni

y

y

Q . Si ahora definimos las nuevas variables β

jj

yw = tenemos que la

restricción βη ≤iQ' se convierte en . 1...'1

≤⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

i

w

wQ

Por su parte la restricción 1' =ηnJ se convierte en β1...'

1

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

n

w

wJ . La función objetivo

pasa de ser la minimización de β a la maximización de β1 . En resumen, el programa

lineal para el jugador J2 es el siguiente:

Maximizar β1...'

1

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

n

w

wJ

sujeto a: y 1...'1

≤⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

n

i

w

wQ 0...

1

≥⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

nw

w

10.4 Equivalencia entre juegos y programas lineales Hemos visto como todo juego matricial se puede convertir en sendos programas lineales que son duales. En este apartado vamos a ver que todo programa lineal (y su dual) puede convertirse en un juego matricial simétrico. Dado el problema de programación lineal siguiente: Maximizar xcrr


sujeto a y bAx trr

≤ 0rr

≥x consideremos el juego GB de matriz . El

juego es simétrico y por tanto su valor es cero; además las estrategias óptimas de los dos jugadores son idénticas. Una estrategia del juego vendrá dada por

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

00

0

tt

t

bcbA

cAB

rr

rr

( )λ,,...,,,..., 11 nm yyxx . Teorema 6: El juego GB posee una estrategia óptima para la cual λ es mayor que 0 si y sólo si el programa lineal y su dual son factibles y acotados, es decir, poseen solución.

10.5 Exposición práctica del método del simplex Visto en Métodos De Programación Matemática.

TEMA 11. S-JUEGOS Y EXTENSIONES

11.1 Definición y propiedades

11.2 Extensión del teorema del minimax

11.3 Relación con la teoría de la decisión


teoría de juegos

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