teoria de integracion

Captulo 5

Integrain

161

162 CAPTULO 5. INTEGRACIN

Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin

5.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 163

5.1. Planteamiento del problema

Observemos la gura 5.1. En ella hemos representado el valor de la temperatura Tregistrado a lo largo de todo un da en ierta loalidad. Sin embargo, en las informaiones

meteorolgias suelen proporionarnos el valor medio de la temperatura del da, es deir,

un valor que representa de forma aproximada la distribuin de las temperaturas registradas

a lo largo del da. Nuestra pregunta es: mo podramos alular ese valor medio de T ? Sitenemos una muestra de valores de T , el lulo del valor medio T es senillo; por ejemplo:

t(h) 0 4 8 12 16 20 24

T(

C) 14.9 13.3 12.3 20.8 24.3 19.2 16

Cuadro 5.1: Tabla de temperaturas

T =14. 9 + 13. 3 + 12. 3 + 20. 8 + 24. 3 + 19. 2 + 16

7= 17. 2C

Y si disponemos de una muestra mayor de valores de T , omo la del uadro 5.2, podremosestimar el valor medio de T de forma ms preisa:

t(h) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

T(

C) 14.9 14.1 13.3 12.2 12.3 16.4 20.8 24.9 24.3 21.8 19.2 17.1 16

Cuadro 5.2: Tabla de temperaturas 2

T =14. 9 + 14. 1 + 13. 3 + 12. 2 + 12. 3 + 16. 4 + 20. 8 + 24. 9 + 24. 3 + 21. 8 + 19. 2 + 17. 1 + 16

13= 17. 5C

Ahora bien, es muho menos laro mo debemos proeder si deseamos tener en uenta

la variain ontinua de temperaturas que ourre realmente a lo largo del da, omo aparee

en la gura 5.1.

Observemos ahora la gura 5.2. Representa la distribuin de veloidad v (m/s) de unvehulo a lo largo de un intervalo de 3 segundos. Nuestra pregunta es la misma: mopodramos alular el valor medio de v pero sin tener que disretizar el intervalo de tiempo[1, 3], es deir, teniendo en uenta la variain ontinua de v respeto a t?

Veamos nalmente la gura 5.3. Sobre ada punto x de una barra metlia de longitud 3m, hemos medido la densidad d (g/cm). A partir de la gura 5.3 deduimos que la densidadno es onstante. Quiz el material del que est fabriada no sea uniforme. Pero lo que nos

interesa ahora es, de nuevo, alular el valor medio de d a lo largo del intervalo [0, 3].

Podemos enuniar el problema general del siguiente modo: dada una funin ontinua

y(x) denida en [a, b], se trata de alular el valor medio de y(x) en [a, b], de modo que se

E.U.P. San Sebastin Departamento de Matemtia Apliada


Figura 5.1: Tiempo y temperatura

Figura 5.2: Tiempo y veloidad

Figura 5.3: Densidad de la barra


5.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 165

tenga en uenta la variain ontinua de y(x) en diho intervalo. Vamos a denotar por y estevalor medio. Observa la gura 5.4. Hemos trazado un segmento horizontal a una altura que

paree orresponder intuitivamente al valor medio y de esta funin. Pero mo se alularel valor de y?

A

a

b

y

y(b)

y(a)

Figura 5.4: Valor de la media

En el apartado 4.4 ya enontramos un modo de alular un valor medio asoiado a una

funin y(x) denida en [a, b]. Si denotamos por y este valor medio:

y =y(b) y(a)

b a (5.1)

Adems si y(x) es ontinua en [a, b] y derivable en (a, b), el teorema del valor medio nosasegura que y(x) alanza este valor y en algn punto z (a, b) (ver la gra 5.5):

z (a, b) | y(z) = y = y(b) y(a)b a

y(b)

ba

ba

f(b)f(a)

z

y(a)

y(x)

Figura 5.5: Valor medio

Es deir, la veloidad on que ambia y respeto de x oinide on y en algn punto de(a, b). Observemos que la frmula (5.1) mide la veloidad media de y, mientras que lo queahora nos interesa es la media de la variable y.



Por otra parte, este onepto de veloidad media de y(x) en [a, b] presenta un inonve-niente: slo tiene en uenta los valores de y(x) en los extremos del intervalo [a, b]; as pues, nohae uso del modo en que y(x) vara en [a, b]. En la gura 5.6 tenemos ejemplos de funionesy(x) que varan de modo muy diferente en [a, b] pero que tienen la misma veloidad media.

ba ba

y(b)

y(a)

y(b)

y(a)

ba

y(b)

y(a)

Figura 5.6: Funiones distintas, igual valor medio

Ejeriio 5.1 Considerar la funin y(x) denida del siguiente modo:

y(x) =

{x2 x [0, 1]1 x (1, 4] .

Calular los dos valores medios asoiados a y(x) que hemos visto:

1. y =f(b) f(a)

b a

2. y =y(x1) + y(x2) + + y(xn)

n

Observa que el valor de y, alulado por la segunda frmula, depende de la muestrax1, x2, . . . , xn [0, 4] que hayamos tomado. Tomar diferentes muestras. Cul de ellas teparee ms representativa?

5.2. El valor medio de y(x) en [a, b]

Como hemos visto, el problema general que nos hemos planteado onsiste en denir de

algn modo el valor medio y de y(x) en [a, b], pero de forma que se tenga en uenta lavariain ontinua de y(x) en todo el intervalo.

Vamos a audir a las ideas que nos apareieron en el apartado 3.7. En esenia, el proe-

dimiento onsista en:

1. Identiar la magnitud T que tenemos que alular, relaionada on ierta funin

ontinua y(x), x [a, b].

2. Construir una funin R(h) de modo que unto ms prximo est h de 0, ms prximoest R(h) de T .

3. Calular T = lmh0R(h), si existe.


5.2. EL VALOR MEDIO DE Y (X) EN [A,B] 167

Veamos mo apliar este proedimiento a nuestro problema:

1. Identiar la magnitud que deseamos alular, y = valor medio de y(x) en [a, b]. Conqu riterio vamos a alular las diversas aproximaiones de y? Proederemos de unmodo muy pareido al que empleamos en el ejemplo de la distribuin de temperaturas

on que abramos el tema: dividiremos el intervalo [a, b] en subintervalos (ver la gura5.7)

a bx x1 2a x 1 x2 b

Figura 5.7: Ele

in de los puntos

En el ejemplo de la gura 5.7, hemos denido los puntos x0 = a < x1 < x2 < x3 = b,por lo que tendremos

y y(x0) + y(x1) + y(x2)3

2. Construimos R(h). La variable h en este aso representa la separain entre dos puntos

onseutivos de la muestra x0 = a, x1 = a+ h, x2 = a+ 2h, . . . , xn = a+ nh = b. Portanto,

xk = x0 + kh, k = 0, 1, . . . , n ( tenemos n+ 1 puntos)

h =b an

, n =b ah

Con lo ual

y R(h) =n1

k=0 y(xk)

n=

1

b an1k=0

hy(xk)

Observa que esta expresin de R(h) no tiene sentido si h = 0; ya que h = ban > 0.

3. Todava no podemos garantizar que exista:

lmh0

R(h) (5.2)

pero en el aso de que s exista, ser ese el valor medio de y(x) para x [a, b]:



Deniin 5.1 Llamaremos valor medio de una funin y(x) para x [a, b], al lmite,si existe:

y = lmh0

1

b an1k=0

hy(xk) (5.3)

Veamos el signiado de R(h) a medida que h 0. Si h 0 signia que n demodo que ada vez tomamos ms puntos a = x0 < x1 < x2 < < xn = b, separadospor una distania h ada vez menor (ver la gura 5.8):

a bx 1a bx 1 x 2 x x x3 2 4

Figura 5.8: Signiado de h 0

En realidad, estamos aproximando y(x) mediante funiones onstantes en ada interva-lo [xk, xk+1] | k = 0, 1, . . . , n1. A medida que h 0 ( n) la aproximain es

ada vez mejor. Por eso, en la frmula (5.3) del valor de y realmente estamos teniendoen uenta el modo en que y(x) vara dentro de [a, b].

Por otra parte, el modo en que hemos onstruido R(h):

R(h) =1

b an1k=0

hy(xk)

podra haber sido diferente. En vez de tomar los extremos izquierdos de los subinter-

valos [xk, xk+1] | k = 0, 1, . . . , n 1 podramos haber elegido los extremos derehos(ver la gura 5.9):

R2(h) =

nk=1 hy(xk)

b a =1

b an

k=1

hy(xk) (5.4)

o el punto entral de [xk, xk+1] | k = 0, 1, . . . , n 1 (ver la gura 5.10) al que

orresponde la frmula:

R3(h) =

n1k=0 h y

(xk + xk+1

2

)b a =

1

b an1k=0

h y(xk + xk+1

2

)(5.5)



a bx 1a bx 1

Figura 5.9: zk = xk+1, k = 0, 1, . . . , n 1

a bx 1z z

0 1

Figura 5.10: zk =xk+xk+1

2 , k = 0, 1, . . . , n 1

un punto ualquiera zk [xk, xk+1] | k = 0, 1, . . . , n 1 (ver la gura 5.11) que noslleva a la frmula:

R4(h) =

n1k=0 hy(zk)

b a =1

b an1k=0

hy(zk) (5.6)

a bx 1z

0 z 1

Figura 5.11: zk [xk, xk+1] k = 0, 1, . . . n 1

Entones el valor de y, depende del modo en que hayamos tomado los puntoszk [xk, xk+1]?Pueden ser diferentes los valores lmh0R(h), lmh0R2(h), lmh0R3(h), lmh0R4(h)?

Si fuera as, nuestra deniin de y sera ambigua porque dependera del modo en quese toman los zk [xk, xk+1]. Afortunadamente, si y(x) es ontinua en [a, b] el valor de

y = lmh0

1

b an1k=0

hy(zk) (5.7)



no depende del modo en que tomemos los zk [xk, xk+1], k = 0, 1, . . . n 1.Entones, ya tenemos una deniin de y libre de ambigedades:

Deniin 5.2 En las ondiiones:

Si y(x) es una funin ontinua en [a, b]

Siendo xk = a+ kh, k = 0, 1, . . . n 1, h = banEntones

y = lmh0

1

b an1k=0

hy(zk) (5.8)

La expresin

n1k=0 hy(zk) resulta interesante: Si y(x) 0 x [a, b] (ver la gura 5.12), el

valor hy(zk) es igual al rea del retngulo de base h y altura y(zk). En la gura 5.12, elvalor

1k=0

hy(zk) = hy(z0) + hy(z1)

es la suma de las reas de las partes rayadas. As pues, si y(x) 0 x [a, b], el valor de

a bx 1z

0 z 1

h h

Figura 5.12: rea de los retngulos

n1k=0 hy(zk) es una aproximain del rea limitada por la urva y(x) y el eje OX, x [a, b]

on lo ual el valor

lmh0

n1k=0

hy(zk) = lmn

n1k=0

hy(zk)

es igual a diha rea.

As pues, busando el modo de denir el valor medio de y(x) en [a, b] nos hemos enon-trado tambin on un modo de evaluar el rea de la superie limitada por una urva y(x)x [a, b] y el eje OX (ver la gura 5.13):

A = lmh0

n1k=0

hy(zk) = lmn

n1k=0

hy(zk) si y(x) 0

Hemos llegado a un importante onepto del lulo innitesimal, el de integral denida:



a b

A

Figura 5.13: rea limitada por la funin y el eje OX

Deniin 5.3 Dada la funin y(x) ontinua en [a, b], se llama integral denida de y(x)en [a, b] al valor: b

ay(x)dx = lm

n

n1k=0

hy(zk) zk [xk, xk+1], xk = a+ kh, k = 0, . . . , n 1, h = b an

Tenemos ya dos apliaiones de este nuevo onepto:

1. El valor medio y de la funin y(x) en [a, b] se obtiene del siguiente modo:

y =1

b a bay(x)dx

A

a

b

yy(x)

Figura 5.14: y = 1ba ba y(x)dx

2. Si y(x) 0 x [a, b], el rea A limitada por la urva y(x) x [a, b] y el eje OX sepuede obtener omo sigue:

A =

bay(x)dx

Observa que el valor de

ba y(x)dx no siempre es el rea limitada por la urva y el eje

OX. Slo es ierto uando y(x) 0. En la gura 5.16, el rea limitada por la urva y el ejeOX, se alula as:

A =

c1a

y(x)dx c2c1

y(x)dx+

bc2

y(x)dx



a b

A

Figura 5.15: A = ba y(x)dx

a c bc 1 2y_

Figura 5.16: A = ba y(x)dx no es el rea

Ejemplo 5.1 Calular el valor medio y de la funin y(x) = ax, x [1, 2], a > 0, (verla gura 5.17)

a

2a

-a

2

y = a2

-1

Figura 5.17: y = a/2

y =1

b a bay(x)dx =

1

3

21axdx =

1

3

[a2+

4a

2

]=a

2

5.3. Primeras propiedades de la integral denida

A vees la funin y(x) se esribe mediante sumas, diferenias, produtos, oientes,. . . de otras funiones. Por ejemplo:

y(x) = y1(x) y2(x), y(x) = y1(x) + y2(x), y(x) = y1(x)y2(x)


5.4. EL TEOREMA DE LA MEDIA 173

Nos resultara muy til el poder alular el valor de

ba y(x)dx mediante

ba y1(x)dx e b

a y2(x)dx

Ejeriio 5.2 Supongamos que y1(x) e y2(x) son funiones ontinuas en [a, b]. Cuales delas siguientes propiedades son siempre iertas?

P1: ba (y1(x) y2(x)) dx =

ba y1(x)dx

ba y2(x)dx

P2: ba (y1(x) y2(x)) dx =

ba y1(x)dx

ba y2(x)dx

P3: ba

y1(x)y2(x)

dx = b

ay1(x)dx b

ay2(x)dx

P4: ba py(x)dx = p

ba y(x)dx, p R

Ejeriio 5.3 Considerar la funin y(x) denida en el intervalo [0, b] b 1 de la siguientemanera:

y(x) =

{x x [0, 1]1 x (1, b]

Calular el valor y(b) de la media de y(x) en [a, b]. Supongamos que el valor de b ambia

on veloidad v. A qu veloidad ambia el valor de y respeto a b? y el de y respeto a x?

5.4. El teorema de la media

Aabamos de reordar que, siempre existe un punto z (a, b) donde la veloidad de y(x)respeto a x oinide exatamente on la veloidad media. Es deir:

y(x) ontinua en [a, b] y derivable en (a, b), = z (a, b) | y(z) = y = y(b)y(a)baAhora nos haemos la misma pregunta para el valor y. Es deir: Si y(x) es ontinua en

[a, b], existe z [a, b] tal que y(z) = y = 1ba ba y(x) dx? En el aso de que la respuesta sea

armativa, podremos enontrar apliaiones a esta propiedad. Reuerda los tres ejemplos

que estudiamos en el apartado (5.1). Podremos asegurar que en algn momento del da

la temperatura ha sido exatamente igual al valor medio de temperatura T ; que en algninstante t del reorrido del vehulo su veloidad en t ha sido exatamente igual a la veloidadmedia v, y que en algn punto x de la barra metlia su densidad d(x) oinide exatamente

on la densidad media d.

Esta propiedad es ierta para toda funin ontinua en [a, b], y se onoe omo teoremade la media:

Teorema 5.1 (Teorema de la media) Dada una funin y(x) ontinua en [a, b], enton-

es existe al menos un punto z [a, b] tal que

y(z) = y =1

b a bay(x)dx



Demostrain

La demostrain es inmediata si tenemos en uenta otra senilla propiedad: Si M y mson los valores mximo y mnimo de la funin ontinua y(x) en [a, b], entones

m(b a) bay(x)dx M(b a) (5.9)

a b

M

m

a b

M

m

a b

M

m

Figura 5.18: Teorema de la media

Esta propiedad es muy fil de visualizar si y(x) 0 (ver la gura 5.18), teniendo en

uenta que m(b a) (a la izquierda), ba y(x)dx (en el entro) y M(b a) (a la dereha),representan las reas rayadas. Slo una pequea duda: reuerdas por qu podemos asegurar

que existen los valores mximo M y mnimo m?

La propiedad (5.9) tambin puede esribirse as:

m 1b a

bay(x)dx M

es deir, y es un valor situado entre m y M . Segn el teorema de los valores intermedios 3.4,debe existir al menos un punto z [a, b] | y(z) = y.

z1 z2a b

M

y

m

n

Figura 5.19: No es nio el valor de z | y = y(z)

Observando la gura 5.19, el valor medio y de la funin y(x) est loalizado entre losvalores mnimo y mximo de y(x) y adems es alanzado en algn z [a, b]. En este ejemplo


5.5. INTERPRETACIN GRFICA DE Y 175

el valor y = y(z) se obtiene para dos valores de z.

Observa que la media aritmtia de n valores siempre est omprendida entre el mnimoy el mximo:

x1 < x2 < . . . < xn m = x1 < x1 + x2 + + xnn

< xn = M

En este sentido, la media aritmtia se omporta del mismo modo que la media y de unafunin y(x). Sin embargo, la media aritmtia no tiene por qu oinidir on alguno de losvalores x1, x2, . . . xn. Por ejemplo:

x1 = 1, x2 = 2 x = x1 + x22

= 1,5, x1 6= x 6= x2

x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1 x = x1 + x2 + x33

= 0 = x2

En ambio, la media y de la funin y(x) hemos visto que s oinide on algn valor y(z)para ierto z [a, b].Ejeriio 5.4 Si la funin y(x) no es ontinua en [a, b], podremos asegurar todava queexiste un valor z que umple y = y(z), z [a, b]?

1 2

1

2

Figura 5.20: Funin on disontinuidad

Observa por ejemplo la gura 5.20: Cul ser el valor de y? Existe z tal que z [0, 2]tal que y(z) = y?

Ten en uenta que antes debes estudiar mo denir el valor de la integral para una

funin disontinua, por ejemplo omo la de la gura 5.20, porque hasta ahora hemos ontado

on la hiptesis de ontinuidad en el intervalo [a, b] para denir ba y(x)dx

5.5. Interpretain gra de la media de y(x)

Observa las gras de la gura 5.21. Hemos representado en ada una de ellas una lnea

horizontal a una altura igual a y. La reta y = y y la gra de y(x) denen dos zonas delplano que tienen idntia rea. Se trata de una propiedad que nos permite situar el valor de

y sobre el eje OY , a partir de la gra de y(x).



CCCCCC

CCCCCC

Figura 5.21: Representain de y

Ejeriio 5.5 Sita de forma aproximada el valor de y en ada una de las tres gras delapartado 5.1 (temperatura, veloidad, densidad).

Ahora nos preguntamos: por qu esta propiedad es siempre ierta? Un ejemplo nos ayudar

a entenderlo: Tomemos una funin y(x) ontinua denida en [a, b]; segn el teorema de lamedia:

z [a, b] | y(z) = y z [a, b] | y(z)(b a) = bay(x)dx

1

2

3

4

5

a b

Figura 5.22: Relain entre A e y

Por tanto, en la gura 5.22 el rea del retngulo de altura y y base ba es igual al realimitada por la funin y(x) denida en [a, b]. Por tanto:

A1 +A3 +A4 = A2 +A3 +A5

Y entones

A1 +A4 = A2 +A5


5.6. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO INFINITESIMAL 177

5.6. El teorema fundamental del Clulo Innitesimal

Supongamos que T (t) india la temperatura T en ada instante t, medida por unaestain meteorolgia. Ya sabemos mo alular la media de T en un intervalo de tiempo,por ejemplo 24 horas:

T =1

24

240

T (t)dt

El valor de T es una onstante que se puede determinar si onoemos T (t) y el intervalodonde se enuentra t, en este aso t [0, 24].

Ahora bien, adems del valor medio de T en todo el intervalo, tambin nos interesaestudiar el modo en que va evoluionando T a medida que transurre el tiempo en [0, 24].Reuerda el ejeriio 5.3, en el que tambin nos hiimos esa pregunta.

Supongamos, por ejemplo, que T (t) = t, t [0, 24]. Vamos a alular el valor de T en

ada intervalo [0, z] para ada z (0, 24].

T (z) =1

z

z0tdt =

1

z

z2

2=z

2z (0, 24]

Observa que la media de T en el intervalo [0, z] es una funin de z (ver la gura 5.23).

z t24

T (t)

24z

T (z)

z t

T (t)

T (z)

Figura 5.23: Signiado geomtrio de T (z)

Es importante onoer mo evoluiona la media de una magnitud y(t) a medida que lavariable t reorre el intervalo [a, b]. Por ejemplo:

Si T es igual a la temperatura media en el intervalo [0, z], en el instante z en el queesta temperatura media sea inferior a ierto valor jo (p. ej. 2 C), quiz se trate deuna situain de emergenia.

Si B(t) es el beneio obtenido por una empresa en un ao, nos interesa alularB(z), z [0, 365] para estudiar mo ha ido evoluionando la media del beneio.



En general, dada una funin ontinua y(x) ontinua en [a, b], el valor y medido en elintervalo [a, z], z (a, b] ser:

y(z) =1

z a zay(t)dt

Ahora nos interesa onoer en qu subintervalos de (a, b] y(z) es reiente/dereiente, esdeir (si y es derivable):

y(z) = dydz > 0 y reiente

y(z) = dydz < 0 y dereiente

En el aso de que y(z) sea derivable en z > a:

dy

dz=

d

dz

(1

z a zay(t)dt

)=

=1

(z a)2 zay(t)dt+

1

z ad

dz

( zay(t)dt

)

Por tanto slo nos falta estudiar si es derivable la funin H(z) denida as:

H(z) =

zay(t)dt

Si y 0, para ada z (a, b], H(z) es el valor del rea limitada por la urva y(t), t [a, z].

Observa que hasta ahora slo hemos exigido a y(t) la ontinuidad en el intervalo [a, b].Pero, por qu habra de ser H(z) derivable? Vamos a apliar la deniin:

H (z) = lmh0

H(z + h)H(z)h

= lmh0

z+ha y(t)dt

za y(t)dt

h=

= lmh0

z+hz y(t)dt

h.

Apliando el teorema de la media a y(t), t [z, z + h]:

u [z, z + h] | 1h z+hz y(t)dt = y(u), luego

H (z) = lmh0

hy(u)

h= lm

h0y(u) = y(z)

ya que uando h 0 se tiene u z porque la funin y(t) es ontinua.As pues, H(z) es derivable en (a, b) y

dH(z)

dz= y(z) (5.10)


5.6. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO INFINITESIMAL 179

Con lo ual, de (5.10) obtenemos

dy

dz=

1(z a)2

zay(t)dt +

1

b ay(z)

El resultado (5.10) se onoe omo Teorema fundamental del Clulo Innitesimal:

Teorema 5.2 (Teorema fundamental del Clulo Innitesimal) Si y(t) es una fun-

in ontinua en [a, b], entones la funin

H(z) =

zay(t)dt

es derivable en (a, b) y adems H (z) = y(z).

Una primera onseuenia de este teorema es que la operain integrain apliada a y(x)mejora la regularidad de y(x). Es deir, aunque y(x) no sea derivable, slo ontinua, laoperain

za y(t)dt d lugar a una funin derivable. Sin embargo, si este teorema se llama

fundamental debe ser por alguna buena razn, no?

Supongamos que F (t) es una funin derivable ualquiera tal que F (t) = y(t). Entones,

H (z) = y(z) = F (z) H (z) = F (z) k R | F (z) = H(z) + k

tomando z = a, se umple

F (a) = H(a) + k F (a) = aay(t)dt+ k k = F (a).

tomando z = b se umple

F (b) = H(b) + k F (b) = H(b) + k = H(b) + F (a) bay(t)dt = F (b) F (a)

Hemos llegado a la llamada frmula de Newton-Leibniz o regla de Barrow:

Teorema 5.3 (Regla de Barrow) Si F (t) es una funin tal que F (t) = y(t), entones

bay(t)dt = F (b) F (a) (5.11)

Vamos a reapitular sobre este resultado:

1. Nuestro objetivo era estudiar el modo en que vara y(z) en z (a, b]. Sabemos queel reimiento de y(z) est relaionado on el signo de y(z), y por eso nos interesaestudiar si y es derivable. Hemos demostrado que:

y(z) =1

z a zay(t)dt dy

dz=

1(z a)2

zay(t)dt+

y(z)

z a z (a, b]



2. Pero en el amino hemos enontrado una propiedad ms importante. Para evaluar bay(t)dt

lo nio que tenemos que haer es obtener de algn modo una funin F (t) tal queF (t) = y(t). Entones: b

ay(t)dt = F (b) F (a)

3. Reuerda lo difil que puede ser evaluar la integral apliando la deniin:

bay(x)dx = lm

h0

n1k=0

hy(zk),

zk [xk, xk+1], k = 0, . . . , n 1, h = b an

, xk = a+ kh, k = 0, . . . , n

En ambio, la apliain de la regla (5.11) puede simpliar el trabajo.

Ejemplo 5.1 Siendo y(x) = x2, x [0, 1], alular y(z), z (0, 1).

H(z) =

z0x2dx = F (z) F (0)

Podemos tomar F (x) = x3

3 ya que F(x) = x2 sustituyendo, se obtiene

H(z) =

z0x2dx = F (z) F (0) = 1

3z3

z

y

y(z)

Figura 5.24: Ejemplo 5.1

luego

y(z) =1

zH(z) =

1

3z2


5.7. CAMBIO DE VARIABLE DE INTEGRACIN 181

y derivando

dy

dz=

2

3z

para z (0, 1) es siempre positiva, luego y(z) es reiente (ver la gura 5.24).

5.7. Cambio de variable de integrain

Supongamos que dejamos aer una piedra en un estanque de agua en alma, lo ual

provoa ondas irulares de radio r metros, donde r vara on el tiempo. Para ada valor der, la onda tendr ierta rea A(r). Supongamos que nos interesa estudiar A(r) en el intervalo[1, 3]. Cul es la media de A(r) para ada r (1, 3]?:

A

r

Figura 5.25: Cada de una piedra

A =1

3 1 31A(r)dr =

pi

2

31r2dr

()=

pi

6r3r=3

r=1

=pi

6(33 13) = 13pi

3m2

() F (r) = 13r3

es la media de A respeto a la variable r.Pero, a su vez, la variable r depende del tiempo t. Ahora nos preguntamos ul es el

valor de A pero respeto de t? Supongamos que r ree respeto de t a razn de 1. 5 m/s:

dr

dt= 1. 5 r(t) = 1. 5t + k

r(0) = 0 k = 0 r(t) = 1. 5tA(t) = pi(1. 5t)2 = 2. 25pit2

r = 3 t = 3/1. 5 = 2 sr = 1 t = 1/1. 5 = 0. 67 s

A =1

2 0. 67 20.67

A(t)dt =1

1. 33

20.67

2. 25pit2dt =

= 1. 69pi

20.67

t2dt =1. 69pi

3t32

0.67

= 4. 3pi m2



Como se ve, ambas medias son diferentes. En general, dado el valor

I1 =

bay(x)dx

si tomamos el ambio de variable x = x(t), t [, ] entones el valor

I2 =

y(x(t))dt,

no tiene por qu oinidir on el anterior, es deir, no podemos asegurar que siempre I1 = I2.

En general los valores:

I1 = ba y(x)dx

I2 = y(x(t))dt siendo x() = a, x() = b

I3 = qp y(x(z))dz siendo x(p) = a, x(q) = b

no tienen por qu ser iguales, y las medias tampoo.

Ahora bien, a menudo un ambio de variable puede simpliar muho las operaiones de

lulo de una integral. Por ejemplo, supongamos que debemos evaluar

I1 =

278

dx

1 + 3x, y(x) =

1

1 + 3x

Si tomamos x(z) = z3 3x = z, on lo ual la funin ompuesta ser;

y(x(z)) =1

1 + z

ms senilla que y(x); y el dominio de z:

x = 8 8 = z3 z = 2x = 27 27 = z3 z = 3

}z [2, 3]

Si alulamos 32

dz

1 + z

F (z)=ln(1+z)= ln(1 + z)

z=3z=2

= ln4

3

Sin embargo, el valor real de I1 no es ln(4/3), sino 9/2 + 3 ln(4/3), omo omprobaremosenseguida. As pues, tenemos planteado un nuevo problema:

Calular el valor de

ba y(x)dx habiendo apliado el ambio de variable x = x(z), z

[, ] siendo x() = a, x() = b.

Pues bien, el siguiente teorema nos explia mo haerlo.



Teorema 5.4 (Teorema del ambio de variable) Si y(x) es una funin ontinua en[a, b], y apliamos el ambio de variable:

x = x(z), z [, ], x() = a, x() = b

siendo x(z) una funin on derivada ontinua en [, ], entones

bay(x)dx =

y(x(z)) x(z)dz

Observa que este teorema exige que x(z) tenga derivada ontinua en [, ] para poderasegurar que la funin y(x(z))x(z) sea integrable en [, ]. Adems observa en la expresinde la dereha, el fator x(z) del integrando: ste es el trmino que nos faltaba para haer el

lulo orreto en el ejemplo anterior:

I1 =

278

dx

1 + 3x, haiendo x(z) = z3,

dx

dz= x(z) = 3z2, z [2, 3]

queda la integral

I1 =

32

3z2

1 + zdz = 3

32

(z 1 + 1

z + 1

)dz = 3

(1

2(z 1)2 + ln(1 + z)

)z=3

z=2

= 3

(3

2+ ln

4

3

)

Ejemplo 5.2 Calular

20 xdx apliando el ambio de variable x(z) = (z 1)(z 2) (ver la

gra 5.26), tomando de varias formas el intervalo [, ].

2

1 2 3

X

x(z)Z

Figura 5.26: x(z) = (z 1)(z 2)

En este ejemplo tan senillo, no apliaramos normalmente ningn ambio de variable. Sin

embargo, nos servir para entender que el dominio de la variable z puede elegirse de diversasformas. Comenemos alulando diretamente el valor de la integral:

20xdx =

1

2x2x=2

x=0

= 2



siendo

x(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2, x(z) = 2z 3, x(1) = 0, x(3) = 2

31(z2 3z + 2)(2z 3)dz =

31(2z3 9z2 + 13z 6)dz =

=

[1

2z4 3z3 + 13

2z2 6z

]z=3z=1

= 2

Ahora si tomamos x(2) = 0, x(3) = 2

32(z2 3z + 2)(2z 3)dz =

[1

2z4 3z3 + 13

2z2 6z

]z=3z=2

= 2

Y en el aso x(2) = 0, x(0) = 2

02(z2 3z + 2)(2z 3)dz =

[1

2z4 3z3 + 13

2z2 6z

]z=0z=2

= 2

Este ejemplo muestra que pueden existir diversos modos de elegir y tales que x() = ay x() = b

En el ejemplo de la gura 5.27 vemos un ambio de variable x(z) en el que es posibleelegir diversos dominios para z:

a

b

1 1 2

Figura 5.27: Diversas formas de elegir dominio para z

bay(x)dx =

y(x(z))x(z)dz =

1

y(x(z))x(z)dz =

21

y(x(z))x(z)dz = . . .

En el ejemplo de la gura 5.28 podemos tomar, para el ambio x(z)

bay(x)dx =

11

y(x(z))x(z)dz



1 2

a

b

Z1 2

Figura 5.28: Otro aso de diversos y

Observa que el lmite inferior 1 ahora es mayor que el superior 1.

Tambin se umple

bay(x)dx =

11

y(x(z))x(z)dz =

22

y(x(z))x(z)dz = . . .

Ejemplo 5.3 Calular el rea de un rulo (ver la gura 5.29).

R

-R

Figura 5.29: rea del rulo

La euain de la irunferenia es x2 + y2 = R2 de donde y = R2 x2. Clulo delrea: por la simetra respeto a los ejes de oordenadas

A = 4

R0

+R2 x2dx

apliando el ambio de variable y tomando z en la primera vuelta (z [0, 2pi])

x = R sen z;dx

dz= R cos z dx = R cos zdz,

{x = 0 = R sen z z = 0x = R = R sen z z = pi/2



A = 4

R0

+R2 x2dx = 4

pi/20

R2(+

1 sen2 z) cos zdz =

= 4R2 pi/20

+cos2 z cos zdz = 4R2

pi/20

cos2 z dz =

= 4R2 pi/20

1 + cos 2z

2dz = 2R2

pi/20

(1 + cos 2z)dz =

= 2R2(z +

sen 2z

2

)z=pi/2

z=0

= 2R2pi

2= piR2

Pero si tomamos otros valores de z: x = 0 z = 0; x = R z = 5pi2 , obtenemos:

A = 4

R0

+R2 x2dx = 4

5pi/20

R2(+

1 sen2 z) cos zdz =

= 2R2(z +

sen 2z

2

)z=5pi/2

z=0

=

= 2R25pi

2= 5piR2

Cmo es posible que el resultado sea diferente? Al haer las operaiones hemos heho lo

pi/2 pi 2pi 5pi/2

R

-R

Figura 5.30: x(z) = R sin(z)

siguiente:

cos2 z cos z = cos2 z, lo ual es ierto si z [0, pi/2] donde cos z 0 por lo que

+cos2 z = cos z. Sin embargo, en realidad

cos2 z = | cos z|.

Si z [0pi/2] entones | cos z| = cos z, que es lo que ourre en el primer aso. En ambio:

Si z [0, 5pi/2] entones se umple 1 cos z 1 y | cos z| no siempre es igual a cos z.


5.8. OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL 187

Las operaiones orretas son:

A = 4

R0

+R2 x2dx = 4

pi/20

R2(+

1 sen2 z) cos zdz =

= 4R2 5pi/20

+cos2 z cos zdz =

= 4R2 pi/20

cos2 zdz + 4R2 3pi/2pi/2

( cos2 z)dz + 4R2 5pi/23pi/2

cos2 zdz =

= 4R2 pi/20

cos2 zdz 4R2 3pi/2pi/2

cos2 zdz + 4R2 5pi/23pi/2

cos2 zdz =

= 2R2(z +

sen 2z

2

)z=pi/2

z=0

+ 2R2(z +

sen 2z

2

)z=3pi/2

z=pi/2

+ 2R2(z +

sen 2z

2

)z=5pi/2

z=3pi/2

=

= 2R2[pi

2(3pi

2 pi

2

)+

(5pi

2 3pi

2

)]= piR2

5.8. Otras apliaiones de la integral

Hemos visto mo apliar la integral para alular:

1. El rea limitada por una urva y(x), x [a, b], y el eje OX. Tambin es posible alularel rea limitada por dos urvas denidas por dos funiones y(x) y v(x)(gura 5.31):

a b

Ay ( x )

v ( x )

( )

-=

ba d xxvxyA )()(

Figura 5.31: rea limitada por dos urvas

2. El valor medio y de y(x), x [a, b] (gura 5.32):Pero stas son slo dos de las muhsimas apliaiones de la integral. Para enontrar una

nueva apliain del onepto de integral, vamos a seguir el proedimiento que expliamos

en los apartados 3.7 y 5.2:

1. Identiamos el valor T a alular. T estar relaionada on una ierta funin y(x)

ontinua en un ierto intervalo [a, b]



a b

-

=

ba d xxyabA )(

1

y

Figura 5.32: Valor medio

x 0 = a x n = bx 1 x n - 1x 2

Figura 5.33: Siendo xk = a+ kh, k = 0, . . . , n 1 y h = ban

2. Dividir el intervalo [a, b] en subintervalos (gura 5.33):

Tomamos zk [xk, xk+1], k = 0, . . . , n 1 y el valor de T se aproxima as:

T n1k=0

hy(zk)

de tal modo que uanto ms erano est h de ero, mejor es la aproximain, es deir:

T = lmh0

n1k=0

hy(zk)

3. Entones,

T =

bay(x)dx

5.8.1. Volumen de un slido de revoluin

Supongamos que una urva denida por una funin y(x), siendo y(x) 0, x [a, b]gira alrededor del eje OX. Queda denido un slido G en el espaio (gura 5.34).

1. T = V =volumen de G.

2. Tomemos el retngulo de base igual a h y altura y(zk) (gura 5.35). El volumenobtenido al haer girar el retngulo alrededor del eje OX sera: Vk = piy

2(zk)h ya queeste slido elemental es un ilindro de radio y(zk) y altura h (gura 5.36).



a b

y ( x )

X

Y Y

X

Z

G

Figura 5.34: Cuerpo de revoluin

a bx k z k x k + 1h

Figura 5.35: Retngulo de base h y altura y(zk)

h

y ( z k )

Figura 5.36: Cilindro de radio y(zk) y altura h

3. Luego el volumen del uerpo de revoluin vale:

V = lmh0

n1k=0

pihy2(zk) = pi lmh0

n1k=0

hy2(zk) = pi

bay2(x)dx

5.8.2. Volumen de un slido on rea de se

in onoida

Dado un slido S, supongamos que onoemos el rea A(x) de la superie obtenidainterseando S on el plano x = onstante (gura 5.37). Repitiendo el proedimiento, el



volumen de S ser:

V =

baA(x)dx

X

A ( x )

Figura 5.37: Volumen si el rea de la se

in es onoida

Ejeriio 5.6 Demuestra que el volumen de un ilindro irular de radio R y altura H esigual a piR2H.

5.8.3. rea de una superie de revoluin

a b

y ( x )

X

Y Y

X

Z

S

Figura 5.38: Superie de revoluin

Supongamos que la gra de y(x) gira alrededor del eje OX, generando una superieS. Se puede demostrar que el rea A de S viene dada por:

A = 2pi

bay(x)

1 + (y(x))2dx



Anlogamente, si el giro es alrededor del eje OY :

A = 2pi

bax

1 + (y(x))2dx

Observa que ambas expesiones de lulo del rea emplean y(x); as pues, es neesarioque y(x) sea derivable e y(x) ontinua en [a, b].

5.8.4. Longitud de un aro de urva

Tambin es interesante onoer el valor de la longitud de un aro de urva. Por ejemplo,

un able de tendido eltrio suspendido entre dos postes adopta aproximadamente una

urva y(x) llamada atenaria, (gura 5.39), uya expresin analtia es

y(x) = a coshx

a= a

exa + e

xa

2

a

y ( x )

Figura 5.39: Catenaria

As pues, nos interesar alular el valor de la longitud del able neesario.

Para reduir este problema al de lulo de una integral, repetimos el mismo proedi-

miento:

1. T = S = longitud del aro de la urva denida por la funin y(x) x [a, b].2. Aproximamos la gra de y(x) mediante una lnea poligonal (gura 5.40).

La longitud Sk del aro de urva que une los puntos (xk, y(xk)) y (xk+1, y(xk+1))valdr aproximadamente:

Sk h2 + (y(xk+1) y(xk))2 = h

1 +

(y(xk+1) y(xk)

h

)2



a bx k x k + 1h

y ( x k )y ( x k + 1 )

Figura 5.40: Longitud por lnea poligonal

Por tanto,

S n1k=0

h

1 +

(y(xk+1) y(xk)

h

)2

Si ahora suponemos que y(x) es derivable en (a, b), apliamos el Teorema del valormedio a y(x) en ada subintervalo [xk, xk+1], k = 0, . . . , n 1:

zk (xk, xk+1) tal que y(zk) = y(xk+1) y(xk)h

S n1k=0

h

1 + (y(zk))

2

3.

S = lmh0

n1k=0

h

1 + (y(zk))

2 =

ba

1 + (y(x))2dx

Observa que si y(x) es ontinua en [a, b], est garantizado que existe el valor de S.

5.9. Integral impropia

Dada una funin y(x) ontinua en [a, b], sabemos que el valor medio de y(x) en dihointervalo viene dado por:

y =1

b a bay(x)dx

Adems, si y(x) 0 en [a, b] el valor A del rea limitada por la gra de la funin y el ejeOX, x [a, b] (gura 5.41) puede obtenerse as:

A =

bay(x)dx


5.9. INTEGRAL IMPROPIA 193

a b

yA

Figura 5.41: rea y valor medio denido por y(x)

Sin embargo, tambin puede interesarnos estudiar mo se omportan los valores de yy de A a largo plazo, es deir, a medida que ree el extremo dereho b del intervalo. Porejemplo, p(t) puede ser una medida de las prestaiones de una mquina trabajando de formaininterrumpida (gura 5.42). Nos puede interesar estudiar omo evoluiona el valor de p(t)en un largo periodo de tiempo.

p

t

p ( t )

Figura 5.42: Gra de p(t)

Observa que deir largo perodo puede modelizarse en Clulo Innitesimal on el

onepto de onvergenia uando t.Ms onretamente el valor medio de p(t) en el intervalo [0,) lo podemos obtener as:

p[0,) = lmc

p[0, c] = lmc

1

c 0 c0p(t)dt

Naturalmente, p(t) debe ser una funin integrable en todo el intervalo [0, c], c > 0, ypara ello basta on que sea ontinua. Del mismo modo podemos denir la integral de una

funin y(x) ontinua en [a,] :

ay(x)dx = lm

b

bay(x)dx

As pues, la idea onsiste en:



a b

A ( b )

Figura 5.43: El valor de A depende del extremo b del intervalo

1. Calular el valor A(b) = ba y(x)dx, b > a (gura 5.43).

2. Estudiar si existe lmbA(b). Pero es posible la onvergenia?

Es posible que un reinto no aotado tenga rea nita? Es posible que sea nito el

valor de A =

a y(x)dx? (gura 5.44).

a

A

Figura 5.44: rea de un reinto no aotado

Ejemplo 5.4 (gura 5.45)

A =

1

dx

x= lm

b

b1

dx

x= lm

blnx|x=bx=1 = lm

bln b =

Diverge.

Ejemplo 5.5 (gura 5.46)

A =

0

dx

1 + x2= lm

b

b0

dx

1 + x2= lm

barc tg(b) =

pi

2

Converge.


5.9. INTEGRAL IMPROPIA 195

1A

1


0A

1


Por tanto, un reinto no aotado s puede enerrar un rea nita. Sorprendente, no?

Deniin 5.4 La integral de y(x) en un reinto [a,), (, b] o (,) se llama in-tegral impropia.

Ejeriio 5.7 Dene formalmente los siguientes oneptos:

b

y(x)dx

y(x)dx

Espeia las hiptesis que debe umplir y(x) para que ambas deniiones tengan sentido.Aplalas a algn ejemplo.

Ejeriio 5.8 Supongamos ahora que y(x) es ontinua en [a, b) y que en el punto x = btiene un omportamiento asinttio (ver la gura 5.47).

As pues, no est denida

ba y(x)dx y por supuesto no podemos apliar la regla de Barrow

para evaluarla.

Se trata de que denas el valor de

ba y(x)dx y tambin, en el aso de que y(x) tenga el

mismo omportamiento asinttio en el extremo a del intervalo y en c (a, b) (gura 5.48).

Aplia la deniin para alular la integral:

11

dx

x2



a b

A

y ( x )

Figura 5.47: Asntota en el punto x = b

a b

A

a b

A

c

Figura 5.48: Asntota en otros puntos

5.10. Integrain numria

Como ya sabemos, la frmula de Newton-Leibniz nos proporiona un proedimiento para

evaluar la integral de una funin y(x) ontinua en [a, b]

bay(x)dx = F (b) F (a), donde F (x) = y(x)

Ahora bien, la bsqueda de una primitiva F (x) puede resultar muy difil si y(x) tiene unaexpresin ompliada. Adems, quiz no exista una primitiva F (x) elemental, omo ourreen los siguientes ejemplos:

y(x) =cos x

xy(x) = senx2 y(x) = ex

2

En estos asos se reurre a los mtodos de integrain numria, que nos proporionan

un valor aproximado de la integral. Existen diversos esquemas de integrain numria

dependiendo de la aproximain que tomemos para y(x) en ada subintervalo [xk, xk+1],k = 0, . . . , n 1. En la gura 5.49 podemos ver algunos de estos esquemas.


5.10. INTEGRACIN NUMRICA 197

Figura 5.49: Esquemas de integrain

Observa que los uatro primeros estn basados en la aproximain de y(x) medianteretas. En ambio, el mtodo de Simpson emplea una parbola en ada subintervalo; la

regla de Simpson es la siguiente:

1. Dada y(x) ontinua en [a, b], tomamos los siguientes 2n+ 1 puntos en [a, b]:

xk = a+ kh, h =b a2n

k = 0, . . . , 2n

2. Calulamos:

S0 = y(x0) + y(x2n)

S1 = y(x1) + y(x3) + + y(x2n1)S2 = y(x2) + y(x4) + + y(x2n2)



3. La aproximain es: bay(x)dx h

3(S0 + 4S1 + 2S2)

4. Si existe yv(x) ontinua en [a, b], el error ometido E veria la siguiente relain:

|E| (b a)5

180n4max yv(x) a x b

Observa que, al ser yv(x) ontinua en [a, b], el teorema de Weierstrass nos aseguraque es aotada en [a, b] y por tanto la expresin:

(b a)5180n4

maxyv(x)

tiende a 0 uando n.As pues, podemos onseguir ualquier exatitud en la aproximain, sin ms que

tomar n lo suientemente grande.

Ejemplo 5.6 La gura 5.50 muestra las gras de y(x) y de yv para y(x) = x senxx [0, 1. 5]Si empleamos la regla de Simpson para evaluar I =

1.50 x senx dx tomando 2n+ 1 puntos,

1 2

- 4

- 3

- 2

- 1

1

x

y y ( x ) = x s i n ( x )

y I V ( x )


omo |yv| 4 una ota del error ser:

|E| (1. 5)5

180n4max yv(x) 0. 042

n4 4 |E| 0. 17

n4


5.11. BSQUEDA DE PRIMITIVAS DE Y (X) 199

Ahora, si deseamos que |E| 105:0. 17

n4< 105 n 12

por tanto, apliaremos la regla de Simpson on 2n+ 1 = 25 puntos.

Como ejeriio omprueba que el valor aproximado S mediante esta regla es S = 0. 89139.

Por tanto, si denotamos por I el valor exato:

|E| 105 |I S| 105 105 I S 105 S 105 I S + 105

0. 89138 1.50

x senx dx 0. 8914

As pues, hemos onseguido aotar el valor exato de I.

5.11. Bsqueda de primitivas de y(x)

Una vez estableida la frmula de Newton-Leibniz para el lulo de la integral, tiene

inters el estudiar diversos proedimientos para obtener una funin F (x) tal que F (x) =y(x), para una funin y(x) dada.

El onjunto de todas estas funiones F (x) se llama integral indenida y se denota as:y(x)dx = F (x) +K, K R, F (x) = y(x)

Veamos algunos proedimientos elementales:

5.11.1. Tabla de integrales

Se trata de identiar el integrando y apliar la integrain inmediata (ver la tabla 5.3).

Ejemplo 5.7x sen x2dx =

1

2

2x senx2dx

()= 1

2cos x2 +K

()y(x) sen y(x)dx = cos y(x) +K

5.11.2. Integrain por partes

Si u(x) y v(x) son funiones derivables:

d

dx(u v) = uv + uv

d

dx(u v)dx =

uvdx+

uvdx



Tabla de integrales inmediatas

1.-

adx = a

dx = ax+K

2.-

xndx = x

n+1

n+1 +K, si n 6= 1

3.-

[f(x)]nf (x)dx = [f(x)]

n+1

n+1 +K, si n 6= 1

4.-

f (x)f(x) dx = ln[f(x)] +K

5.-

exdx = ex +K

6.-

ef(x)f (x)dx = ef(x) +K

7.-

af(x)f (x)dx = a

f(x)

ln a +K si a > 0 y a 6= 1

8.-

senxdx = cos x+K

9.-

sen[f(x)]f (x)dx = cos[f(x)] +K

10.-

cosxdx = senx+K

11.-

cos[f(x)]f (x)dx = sen[f(x)] +K

12.-

f (x)cos2[f(x)]

dx = tg[f(x)] +K

13.-

f (x)sen2[f(x)]

dx = ctg[f(x)] +K

14.-

f (x)1[f(x)]2

dx = arc sen[f(x)] +K

15.-

f (x)1[f(x)]2

dx = arc cos[f(x)] +K

16.-

f (x)1+[f(x)]2

dx = arc tg[f(x)] +K

Cuadro 5.3: Integrales inmediatas


5.11. BSQUEDA DE PRIMITIVAS DE Y (X) 201

denotando du = udx, dv = vdx :

u v =vdu+

udv

udv = u v vdu

Esta relain llamada integrain por partes, onsiste en alularudv (1)

en trminos devdu (2)

Eligiendo adeuadamente las funiones u y v, a vees la integral (2) es muho ms senillaque la integral (1).

Ejemplo 5.8xexdx

()= xex

exdx = xex ex +K

() u = x du = dxdv = exdx v = ex

5.11.3. Cambio de variable

El mtodo onsiste en apliar el ambio x = h(u), donde h debe ser derivable on derivadah ontinua:

y(x)dx =

y(h(u)) h(u)du

Ejemplo 5.9

xx 1dx ()=

(1 + u2)u 2udu = 2

(u4 + u2)du =

=2

5u5 +

2

3u3 +K

()=

2

5(x 1)5/2 + 2

3(x 1)3/2 +K

() x 1 = u2 x = u2 + 1 = h(u) () u = x 1h(u) = 2u



5.11.4. Integrain de algunas funiones trigonomtrias

Estas integrales suelen resolverse utilizando las frmulas de trigonometra y ambios de

variable.

Ejemplo 5.10

sen 3x cos 5xdx =

1

2

(sen(3 + 5)x+ sen(3 5)x)dx =

=1

2

(sen 8xdx

sen 2xdx

)= 1

16cos 8x + cos 2x+K

Ejemplo 5.11cos2 xdx =

1 + cos 2x

2dx =

1

2x+

1

4sen 2x+K

Ejemplo 5.12

sen3 xdx

2 + cos x=

sen2 x senxdx

2 + cos x

()=

(1 z2)dz

2 + z=

(z 2 + 3

z + 2

)dz =

=1

2z2 2z + 3 ln |z + 2| +K = 1

2cos2 x 2 cos x+ 3 ln |cos x+ 2| +K

() cos x = zsenxdx = dzsen2 x = 1 z2

5.11.5. Integrain de funiones raionales

Son integrales del tipo:P (x)

Q(x)dx

donde P (x) y Q(x) son polinomios. El proedimiento onsiste en desomponer el oienteP (x)Q(x) en suma de fra

iones ms simples de integrar.

Si el grado de P (x) es mayor o igual que el de Q(x), dividimos ambos polinomios:

P (x)

Q(x)= C(x) +

R(x)

Q(x)

Si el grado de P (x) es menor que el de Q(x), el proedimiento exige determinar las raesde Q(x). Segn sean stas, la desomposiin en fra

iones simples se alular:

Caso 1

o

: Raes reales simples.


5.12. RESUMEN 203

Ejemplo 5.13P (x)dx

(x 1)(x 2) , 1, 2 R, 1 6= 2P (x)

(x 1)(x 2) =A

(x 1) +B

(x 2) Se determinan A y B

Caso 2

o

: Raes reales mltiples.

Ejemplo 5.14P (x)dx

(x )n , R

P (x)

(x )n =A1

(x ) +A2

(x )2 + +An

(x )n se determinan A1, A1, . . . , An

Caso 3

o

: Raes imaginarias.

Ejemplo 5.15P (x)dx

(ax2 + bx+ d)(x )2 donde ax2 + bx+ d no tiene raes reales

P (x)

(ax2 + bx+ d)(x )2 =Ax+B

ax2 + bx+ d+

C

(x )+D

(x )2 se determinan A,B,C y D

5.12. Resumen

El onepto de integral denida de y(x) en [a, b] proporiona un instrumento ms paraestudiar el modo en que se omporta y(x).

Adems del valor medio y, hemos visto mo medir diversos parmetros asoiados a y(x)en [a, b], omo el rea limitada por la urva o la longitud del aro.

stas son slo dos de las muhas apliaiones del lulo integral en ingeniera. Adems

observa lo eonmio que resulta el onepto de integral:

Basta on que la funin y(x) sea ontinua para que ya podamos asegurar que existe ba f(x) dx.

Adems, hemos obtenido una importante relain entre los oneptos de derivada e

integral: bay(x) dx = F (b) F (a) si F (x) = y(x)

tenemos pues razones para onsiderar al onepto de integral una nueva gema matemti-

a. De heho, veremos que el onepto de integral est detrs de todos los oneptos que

estudiaremos a ontinuain, y que nos servirn para resolver ms y ms problemas que

apareen en ingeniera.

Ejeriio 5.9 Resume los resultados ms importantes relaionados on el onepto de in-

tegral. Relaiona estos resultados on los que nos han apareido en los temas anteriores.



)(' xyd xyba

V E L O C I D A DE X T R E M O S

A R E A

V A L O R M E D I O

V O L U M E N

A P R O X I M A C I O N

L O N G I T U D


teoria de integracion

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