teoría de grafos - parte ii

Prof. Nancy Aguilar y Graciela Del Valle Matemática Discreta- ISI

Relaciones, Matrices y Grafos

Las relaciones entre elementos de un conjunto se dan en muchos contextos. A diario manejamos relaciones como las que hay entre un empleado y su salario, entre una empresa y su número telefónico, en matemática estudiamos relaciones como las que hay entre un entero positivo y uno de sus divisores; en informática relaciones como las que hay entre un programa informático y una de las variables que emplea o la que hay entre un lenguaje de programación y una sentencia válida en ese lenguaje.

Producto cartesiano

Definición: Dados dos conjuntos A y B distintos de vacío, llamamos producto

cartesiano AxB al conjunto de pares ordenados (a ,b )/a∈ A ,b∈B . Cada elemento de AxB es un par ordenado, donde la primera componente pertenece al conjunto A y la segunda componente al conjunto B.

Relación

Definición: Dados dos conjuntos A y B, no vacíos, llamamos relación de A en B a cualquier subconjunto de AxB. ( lo simbolizamos con la letra R). En nuestro tema en particular trabajaremos con relaciones definidas en un solo conjunto y además dicho conjunto va a ser finito. Ejemplo:

Sea A={1,2,3 } y R={(1,2) ,(1,3 ) ,(2,2) ,(2,4 ) ,(3,4 ),( 4,3 )} Tomando los elementos del conjunto A como vértices o nodos de un grafo dirigido o dígrafo y a los pares ordenados de la relación como arcos se tiene:

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En una relación al conjunto del cual parten las flechas se llama “Alcance” y al conjunto al cual llegan las flechas se llama “Rango”. “Dominio”, está formado por los elementos del alcance que participan de la relación. “Imagen”, está formado por los elementos del rango que participan de la relación. En el grafo el “Dominio” está formado por aquellos vértices de los cuales sale por lo menos un arco y la “Imagen” por los vértices a los cuales llega por lo menos un arco.

En el ejemplo: Dom={1,2,3,4 } ; Im g={2,3,4 } Es posible representar relaciones utilizando matrices. Sea A un conjunto finito de n elementos y R una relación definida en A. Si mantenemos fijo el orden de los elementos de A, definimos la matriz de orden nxn de la relación R: M(R) = ( mij ) donde i, j ∈ A y :

mij=¿ {1, si( i , j )∈R ¿ ¿¿¿

En el ejemplo será:

M=[0 1 1 00 1 0 10 0 0 10 0 1 0

]

Propiedades de las relaciones

Sea R una relación definida en el conjunto A, se denomina “Reflexiva” si para todo elemento a ∈ A, el par (a,a) ∈ R ó a R a. Esto indica que cualquiera sea el elemento a de A, el par (a,a) pertenece a la relación, es decir todo elemento de a está relacionado consigo mismo.

R es reflexiva ⇔∀a∈ A :(a ,a )∈R ó aRa

Ejemplo: A={1,3,4,6 } y R={( x , y )/ x∈ A , y∈ A∧xmod y=0 }

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Aclaración: xmod y=0 significa que el resto de dividir x por y es igual a ceroEjemplo: (1,1) ∈ R porque 1:1 tiene como resto cero (3,1) ∈ R porque 3:1 tiene como resto cero(3,1) ∈ R porque 3:1 tiene como resto cero(6,3) ∈ R porque 6:3 tiene como resto cero

R={(1,1) ,(3,1 ),(3,3 ) ,(4,1 ), (4,4 ) ,(6,1) ,(6,3 ),(6,6 )} Esta relación es reflexiva.

M (R)=[1 0 0 01 1 0 01 0 1 01 1 0 1

]

La matriz de una relación reflexiva, tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a uno.

El grafo de una relación reflexiva (grafo reflexivo), tiene un bucle en cada vértice. Además Dom(R) = Img(R) = A

Una relación R definida en un conjunto A se denomina “Arreflexiva” si para todo

elemento a∈ A :(a ,a )∉ R , lo que significa que ningún elemento de A está relacionado consigo mismo.

R es arreflexiva ⇔a∈ A :( a ,a)∉ A ó aRa

Ejemplo: A={1,2,3 } y R={( x , y ) , x∈ A , y∈ A∧x< y } R={(1,2) ,(1,3 ) ,(2,3)}

M (R)=[0 1 10 0 10 0 0 ]

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La matriz de una relación arreflexiva tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero.

El grafo de una relación arreflexiva no tiene bucles en ninguno de sus vértices.

Una relación R definida en un conjunto A se denomina “Simétrica” cuando para todos

los elementos x , y∈ A , si el par ( x , y )∈R entonces el par ( y , x )∈R . Esto expresa que si un par ordenado pertenece a la relación, su simétrico también debe estar.

R es “Simétrica” ⇔∀ x , y∈ A :( x , y )∈R⇒( y , x )∈R

Ejemplo: A={1,2,3 } ; R={(1,1) ,(1,2 ),(2,1 ) ,(2,2) ,(2,3) ,(3,2 )}

M (R)=[1 1 01 1 10 1 0 ]

Los elementos ubicados en forma simétrica con respecto a la diagonal principal son

iguales. Es decir la matriz de una relación simétrica verifica: si mij=1⇒m ji=1 o bien mij=0⇒m ji=0

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En el grafo de una relación simétrica cada vez que hay un arco de v i a vj tiene que haber un arco de vj a vi. Puede haber o no un bucle en cada vértice.

Una relación R definida en un conjunto A se denomina “Antisimétrica” si para todos

los elementos x , y∈ A siendo x≠ y , y tales que el par ( x , y )∈R , entonces el par ( y , x )∉R .

R es “Antisimétrica” ⇔∀ x , y∈ A :( x , y )∈R∧x≠ y⇒( y , x )∉ R o equivalentemente:

∀ x , y∈ A :( x , y )∈ R∧( y , x )∈R⇒ x= y

Ejemplo: A={1,2,3,4 } R={( x , y )∈ R ,x∈ A , y∈ A /x|y } x| y= x divide a y

R={(1,1) ,(1,2 ),(1,3 ) ,(1,4 ), (2,2 ) ,(2,4 ) ,(3,3 ) ,(4,4 ) }

M (R)=[1 1 1 10 1 0 10 0 1 00 0 0 1

]

En la matriz de una relación antisimétrica se verifica que si mij≠m ji⇒mij=0∨m ji=0 . En la diagonal principal puede haber 1 o 0.

En el grafo de una relación antisimétrica no puede haber al mismo tiempo, para v i≠v j , un arco que va de vi a vj y un arco que va de vj a vi. Puede tener o no bucles.

Una relación R definida en un conjunto A se denomina “Asimétrica” si para todos los

elementos x , y∈ A si a está relacionada con b, entonces b no está relacionada con a.

R es “Asimétrica” ⇔∀a ,b∈ A : aRb⇒bRa

Ejemplo: A={1,2,3,4 } R={(1,2) ,(1,3 ) ,(1,4 ),(2,3 ) ,(2,4 ) ,(3,4 )}

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M (R)=[0 1 1 10 0 1 10 0 0 10 0 0 0

]

En la matriz de una relación asimétrica se verifica para i≠ j si mij=1⇒m ji=0 , lo que indica también que los elementos de la diagonal principal deben ser todos iguales a

cero, sino sería mii=1⇒mii=0 , lo que sería un absurdo.

En el grafo de una relación asimétrica, cada vez que existe un arco de v i a vj no puede haber un arco de vj a vi y no puede haber bucles.

R es “No Simétrica” ⇔−(∀a ,b∈ A : aRb⇒bRa)⇔∃a ,b∈ A /−(aRb⇒bRa )⇔∃a ,b∈ A /¿ ¿

/−[−(aRb)∨(bRa )]⇔∃a ,b∈ A /(aRb )∧( bRa)

Ejemplo: A={1,2,3 } R={(1,2) ,(1,3 ) ,2,3 ) ,(3,1)}

M=[0 1 10 0 10 0 1 ]

Una relación R definida en un conjunto A es “Transitiva” si para todos x , y , z∈ A , se

verifica que si ( x , y )∈R y ( y , z )∈R entonces ( x , z )∈R .

R es “Transitiva”⇔ x , y , z∈ A :( x , y )∧( y , z )∈R⇒( x , z )∈R Ejemplo:

Ejemplo: A={1,2,3,4 } R={( x , y )∈ R ,x∈ A , y∈ A /x|y } x| y= x divide a y

R={(1,1) ,(1,2 ),(1,3 ) ,(1,4 ), (2,2 ) ,(2,4 ) ,(3,3 ) ,(4,4 ) }

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M (R)=[1 1 1 10 1 0 10 0 1 00 0 0 1

]

En la matriz de una relación “Transitiva” se debe verificar:

si [mik=1∧mkj=1 ]⇒mij=1

En el grafo de una relación “Transitiva” cada vez que hay un arco de v i a vk y un arco de vk a vj ( es decir que existe un camino de longitud 2 de v i a vj ) debe existir un arco de vi a vj ( debe haber un camino de longitud 1 de vi a vj ).

R es “Atransitiva”: ∀ a ,b , c∈ A : aRb∧bRc⇒aRc

Ejemplo: R={(1,2) ,(2,3 )}

M=[0 1 00 0 10 0 0 ]

R es “No Transitiva”:

−[∀ a ,b , c∈ A : aRb∧bRc⇒aRc ]⇔∃a ,b , c∈ A /− {− [aRb∧bRc ]∨aRc }⇔⇔∃a ,b , c∈ A/ (aRb∧bRc )∧aRc

Ejemplo: R={(1,2) ,(2,3 ) ,(1,3) ,(3,1) }

M=[0 1 10 0 11 0 0 ]

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Observamos que: 1R3 y 3R1 pero 1 R1 1R2 y 2R3 entonces 1R3

Las “Relaciones” se pueden clasificar en “Relaciones de Orden” y de “Equivalencia”. Una relación R en un conjunto A se denomina “Relación de Orden Amplio” si es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Una relación R en un conjunto A se denomina “Relación de Orden Estricto” si es arrreflexiva, asimétrica y transitiva. Una relación R en un conjunto A se denomina “Relación de Equivalencia” si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Operaciones con Relaciones

Sean los conjuntos A y B y las relaciones R1⊆ AxB y AxBR 2 1) Unión de Relaciones ( Suma booleana de grafos y matrices )

R1∪R2={(a ,b )∈ AxB /(a ,b )∈R1∨(a ,b )∈ R2}

2) Composición de Relaciones ( Producto booleano de grafos y matrices )

Sean los conjuntos A,B,C y las relaciones R1⊆ AxB y R2⊆BxC . Definimos la composición de R1 con R2 de la siguiente manera:

R2∘R1={(a , c )∈ AxC /∃b∈B∧(a ,b )∈ R1∧(b , c )∈R2}

Ejemplo:

A={1,2,3 } y las relaciones:

R1={(1,1 ) ,(1,2) ,(2,3)} R2={(1,1 ) ,(1,3) ,(3 ,) } R1∪R2={(1,1 ) ,(1,2) ,(2,3) ,(1,3 ) ,(3,3 )}

M 1=[1 1 00 0 10 0 0 ]

M 2=[1 0 10 0 00 0 1 ]

M 1+M 2=[1 1 10 0 10 0 1 ]

R2∘R1={(1,1 ) ,(1,3) ,(2,3 )}

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M1 x M2 1 0 10 0 00 0 1

1 1 00 0 10 0 0

1 0 10 0 10 0 0

Cerraduras

Si R es una relación en un conjunto A, puede suceder que R no tenga algunas de las siguientes propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva. Se puede entonces agregar a R pares hasta obtener una relación R1 que verifique la propiedad deseada. Naturalmente, se desea obtener la relación R1 más pequeña que contiene a R y verifique dicha propiedad. Hacemos:

¿k¿ 0Rk=R∞=R+=R∪R2∪R3∪. .. ..∪Rn¿ (Cierre o clausura transitiva)

MR+=MR1 +MR2+. .. . .+M

Rn

¿k≥0Rk=R¿=R0∪R1∪R2∪. . .. .∪Rn (Cierre o clausura reflexiva y transitiva)

MR

¿=M R∘+MR1 +. .. ..M

Rn

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