Teoría de Conjuntos

Conjunto es una colección de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (números, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les llama miembros o elementos del conjunto

DEFINICION DE CONJUNTO

Teoría de Conjuntos

Normalmente se utilizan letras mayúsculas A, B, X, Y …. Para denotar Conjuntos

Y para denotar a los elementos se utilizan letras minúsculas a,b,c,…, números, símbolos o variables.

DEFINICIONES DE CONJUNTO

EXPLICITAMENTE

IMPLICITAMENTE

Un Conjunto puede ser definido:

EXPLICITAMENTE escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves o separados por una coma

DEFINICION DE CONJUNTO EXPLÍCITAMENTE

1.- Sea A el conjunto de las vocales

A= { a, e, i, o, u } 2.- Sea B el conjunto de días laborables

B= { lunes , martes, miércoles, jueves, viernes}

IMPLICITAMENTE escribiendo dentro de las llaves las características de los elementos que pertenecen al conjunto , como sigue

DEFINICION DE CONJUNTO IMPLICITA

Sea A es el conjunto de las vocales

Se escribe A= {x/x es una vocal}Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es una vocal Sea D el conjunto de los números pares

Se escribe D= {x/x es un numero natural par }Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es un

numero natural par”

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de elementos.

RELACIÓN DE PERTENENCIA

Se representa de la siguiente manera

Elemento є conjunto …….. Se lee elemento pertenece a conjunto

Elemento conjunto ……. Se lee elemento NO pertenece a conjunto

Ejemplos:

a є A Se lee …… a Pertenece al conjunto A w є A Se lee …… w No pertenece al conjunto A 3 D Se lee …… 3 No pertenece al conjunto D

є

є

Podemos decir que un conjunto esta bien definido si podemos afirmar de manera inequívoca si un elemento pertenece a él o no

CONJUNTO BIEN DEFINIDO

1. Sea T el conjunto de las personas simpáticas

Este conjunto no esta bien definido ya que la idea de ser simpático essubjetiva, No hay un criterio definido para decir que una persona es simpática o no

2. Un conjunto es FINITO cuando podemos listar todos sus elementos

3. Un conjunto es INFINITO si no podemos listar todos sus elementos

Ejemplo:

S= {x/x є N, x >= 10}Se lee x tal que x pertenece a los números naturales y x es

mayor o igual a 10

RELACIONES DE IGUALDAD DE CONJUNTO

Relaciones Entre Conjuntos

Igualdad de Conjuntos

Sub Conjuntos

Conjuntos Especiales

Conjuntos de Pares

Conjunto Vacio

Conjunto Universal

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a B

IGUALDAD DE CONJUNTOSRe

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

A= { x, y } B= { y, x }

Esto es:A=B,

entonces x є A, implica que x є B y

Que y є B, implica que y є A.

Ejemplo de Igualdad de Conjuntos……………

IGUALDAD DE CONJUNTOSRe

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Si

M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y

L= {x/x es impar ^ 1 ≥ x ≤ 9 }

Esto significa que

M=L

Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B,

entonces A se llama Subconjunto de BTambién decimos que A, esta contenido en B O que B, esta contenido en A

A no es un subconjunto de B, es decir si por lo menos un elemento de A no pertenece a B

SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os A B

B A

A B

B A

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Considere los siguientes conjuntos:A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B={ 1, 2, 3, 5, 7 } C={ 1, 5 }

Podemos decir que:

C A y C B, Ya que 1 y 5 los, elementos de C, también son elementos de A y B

B A Ya que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a Ao se que no todos lo elementos de B son elementos de A

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Considere los siguientes conjuntos:

B={ x/x es un ave} H={ y/y es una paloma}

Podemos decir que:

H B H es un subconjunto de B

Ejemplo:SUBCONJUNTO

Rela

cion

es E

ntre

Con

junt

os

Considere el siguiente conjunto:

A={ x/x є N es par} y B={ y/y є N y es múltiplo de 2}

Podemos decir que…………

B A

A B

B = A

A = B

CONJUNTO VACIO (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por Ø .

Ejemplo de conjunto Vacio:

El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 años de edad.

CONJUNTO VACIO (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por Ø .

Ejemplo de conjunto Vacio:

El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 años de edad.

CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Cuando se habla o se piensa acerca de los conjuntos es conveniente saber que los miembros de un conjunto dado pertenece a alguna población determinada.

CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Ejemplo Si se habla de un conjunto de números es útil establecer una población general de números denominado CONJUNTO UNIVERSO o CONJUNTO REFERENCIA

Cuyos elementos son los posibles candidatos para formar los conjuntos que intervienen en una discusión determinada.

El conjunto Universal se denomina : U

CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Ejemplo

Si U=N, el conjunto de los números naturales

A = { 1, 2, 3, 4, 5 }B={ x/x es un numero primo }C = { x/x es un numero natural par }

A, B y C son subconjuntos propios de U

Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97

CONJUNTO PARTES (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

Dado un conjunto A, el conjunto de partes de A, denominado por P(A),

Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A

En la lista de subconjuntos de A hay que tener en cuenta dos subconjuntos especiales el mismo A, ya que A A, y el conjunto

vacio Ø

CONJUNTO PARTES (Conjuntos Especiales)Re

laci

ones

Ent

re C

onju

ntos

EjemploSi A = { a, b, c } entonces

P(A)={ {a}, {b}, {c}, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c, }, {Ø} }

• Los elementos del Conjunto P(A) son a su vez conjunto• Un conjunto cuyos miembros son conjuntos se llama Familia de

Conjuntos• P(A) es un ejemplo de una familia de conjuntos

NOTA: Si un conjunto M tienes n elementos P(M) constara de 2n elementos

2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8