funciones definidas en varios intervalos en problemas

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) FUNCIONES DEFINIDAS EN VARIOS INTERVALOS En problemas de ingeniería es común trabajar con fenómenos que se modelan con funciones que consideran más de una regla de correspondencia, esto es, fenómenos que en un intervalo de su dominio presentan un comportamiento que cambia en otros intervalos. Ejemplo. Función valor absoluto:

( ) 00

x si xf x x

x si x− <⎧

= = ⎨≥⎩

Ejemplo. Función escalonada

( )2 11 1 24 2

si xf x si x

si x

− ≤ −⎧⎪= − < ≤⎨⎪ <⎩

Ejemplo. Función parte entera de " "x que se denota como ( )f x x= . Se denomina así la función en la que a cada

x045

y

045

fD = )0,fR = ∞⎡⎣


2número real le corresponde el mayor número entero que es menor o igual que él. Esto quiere decir que aunque la variable " "x tome valores no enteros, la función siempre asumirá el valor del entero inmediato anterior. Ejemplo.

( ) ; 2,2f x x x= ∈ −⎡ ⎤⎣ ⎦ Representarla gráficamente y dar su dominio y su recorrido. Solución.


3 Ejemplo. Dada la siguiente función:

( ) ; 3,3f x x x x= − ∈ −⎡ ⎤⎣ ⎦ graficarla y determinar su dominio y recorrido. Solución. Ejemplo. Determinar el dominio, el recorrido y hacer un trazo aproximado de la gráfica de la función:

( )( )2

2

3 9 4 3

3 3 14 1 2

2 4 2 42 10 4 6

x si x

x si xf x si x

x x si xx si x

+ − ≤ < −⎧⎪

+ − ≤ < −⎪⎪= − < <⎨⎪

+ − ≤ <⎪⎪ − + < ≤⎩


4 ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES Función Constante Definición. Es aquella en la cual todos los elementos de su dominio se asocian con un solo elemento del codominio. Esto es,

{ } ( ); ; ; constantef x y C x f x C C= = ∈ = =

Función Identidad Definición. Es aquella en la cual todos los elementos de su dominio se encuentran a sí mismos como imágenes en el codominio. Esto es,

{ } ( ); ;f x y x x f x x= = ∈ =


5

Funciones Enteras o Polinomiales Definición. Se define a través de un número finito de sumas y multiplicaciones algebraicas con las funciones constante e identidad, formándose así un polinomio en la variable independiente, de la forma:

( ) 20 1 2

nny f x a a x a x a x= = + + + +

donde ( )0,1,2,..., constante y " " es la función identidadka k n x= = .

fD = Se denota como “grado” al exponente de la variable independiente. Si éste es uno,

( )f x mx b= + donde ym b son constantes y 0m ≠ . Una función entera de grado 2 se llama función cuadrática.

( ) 2y f x ax bx c= = + + donde , ,a b c son constantes y 0a ≠ . Una función cuadrática es una cónica y el saberlo facilita la obtención del dominio, recorrido y gráfica. Una función entera es cúbica si es de grado 3 y así sucesivamente. Algunas funciones enteras son las siguientes:

( ) ( )1) 3 2 lineali f x x= −


6

( ) ( )22) 2 5 6 cuadráticaii f x x x= − + ( ) ( )2 3

3) 4 6 2 cúbicaiii f x x x x= − + − ( ) ( )6 4

4) 5 2 9 de sexto gradoiv f x x x x= − + − Cabe aclarar que en la asignatura de Álgebra un polinomio se define como una expresión del siguiente tipo:

( ) 11 1 0

n np x a x a x a x an n−= + + + +

−

Ejemplo. Entre los cero y los 13 minutos, un horno de incineración aumenta la temperatura ( )0T C , en función del tiempo de operación ( )mint , de acuerdo con la siguiente expresión:

24 2 ; 0 13T t t t= + ≤ ≤ Determinar el dominio, el recorrido y la gráfica de esta función temperatura. Solución. Se trata de una función entera o polinomial, por lo que su dominio son todos los reales entre 0 13t y t= = , es decir,

0,13fD = ⎡ ⎤⎣ ⎦. Para graficarla, es conveniente tener presente que se trata de una parábola, cuyas características se obtienen de la siguiente forma:

22 2 1 1 1 14 2 4 4

2 16 16 4 4tT t t T t T t⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = + + − ⇒ + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

El vértice está en el punto 1 1,4 4

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠

y abre en el sentido

positivo del eje " "T . Mediante una sencilla tabulación y considerando lo anterior, se puede graficar como sigue:

t 0 3 6 9 11 13 T 0 42 156 342 506 728


7

0,728fR = ⎡ ⎤⎣ ⎦

Funciones Algebraicas Definición. Es aquella que se obtiene al realizar un número finito de adiciones, sustracciones, multiplicaciones, divisiones, potenciación y radicación con las funciones constante e identidad. Ejemplo. Determinar el dominio, el recorrido y hacer un trazo aproximado de la gráfica de las siguientes funciones algebraicas:

( ) ( ) ( )1 2 4) )

2xi f x ii f x

x x x+

= =−

Solución.

( ) 1)i f xx

=

( )mint

( )0T C

728

13

24 2T t t= +


8

( ) ( )2 4)

2xii f x

x x+

=−

. Como se observa, el radicando del

numerador no puede ser negativo, por lo que: 2 4 0 2x x+ ≥ ⇒ ≥ −

Por otra parte, " "x no puede tomar los valores de 0 y 2 ya que se tendría una división entre cero; luego, el dominio de esta función está dado por:

){ }2, ; 0 , 2 ;fD x x x x x= ∈ − ∞ ≠ ≠ ∈⎡⎣ En esta función no es posible despejar a la variable " "x por lo cual no es posible calcular con exactitud el recorrido. En el tema Variación de funciones se verá cómo determinar el recorrido exacto en este tipo de funciones. Aquí se presentan dos asíntotas verticales de ecuaciones

0 y 2x x= = . Como se verá, la parte positiva del eje " "x es una asíntota horizontal. Ahora se dará una tabulación para poder hacer un trazo aproximado de la gráfica:

x -2 -1 -0.5 -0.25 -0.125 -0.1 y 0 0.4714 1.3856 3.3259 7.2903 9.2827


9-0.01 0 0.01 0.1 0.125 0.25 0.5

99.2534 ±∞ -100.754 -10.7863 -8.796 -4.8487 -2.9814

1 1.5 1.75 1.9 1.95 1.99 2 -2.4495 -3.5277 -6.2597 -14.6992 -28.8276 -141.954 ±∞

2.01 2.05 2.1 2.25 2.5 3 5

140.894 27.7663 13.636 5.1831 2.4 1.0541 0.2494 Se puede apreciar que la función va creciendo desde

0.01x = hasta 1.0x = y de repente comienza a bajar, lo que implica que la función alcanza su valor más grande en el intervalo entre 0.5x = y 1.0x = . Como en este caso no existe la simetría mostrada en el ejemplo anterior, no se puede intuir que a la mitad del intervalo la función presente su mayor valor, por lo que resulta conveniente hacer una tabulación más aproximada en torno al intervalo en cuestión.

x 0.75 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 y -2,5016 -2.4326 -2.432168 -2.432175 -2.432664 -2.433632

Se puede ver que, de manera aproximada, el valor más alto que alcanza la función es 2.432168y = − , donde 0.91x = (el

punto exacto es 11 111 13 3

x y y f⎛ ⎞

= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

. Por lo tanto, de

manera aproximada, que el recorrido de la función es: ( ){ }, 2.433632 0,fR y y= ∈ −∞ − ∪ ∞⎤ ⎡⎦ ⎣

A continuación se muestra la gráfica aproximada de esta función:

x22− o

y


10Funciones Algebraicas Racionales Definición. Una función algebraica racional es aquella que resulta del cociente de dos funciones enteras, por lo que es de la forma:

( ) ( )( )

1

2

P xf x

P x=

donde ( ) ( )1 2P x y P x son funciones enteras. Algunas funciones racionales son las siguientes:

( )3

1 24 5)

1x xi f x

x− +

=+

( )3

23) ; 22

xii f x xx−

= ≠−

( )3 22 1) ; 3

9xiii f x x

x−

= ≠ ±−

( )44) ; 22

xiv f x xx−

= ≠ −+

Funciones Algebraicas Irracionales Definición. Una función irracional es aquella que además de considerar las operaciones de la racional, incluye la radicación. Algunos ejemplos de funciones algebraicas irracionales son:

( ) 21) 16i f x x= − +

( )2 3

5 1 3) ;22 3

x xii f x xx

− += ≠

−

( )32 3) 6 ; 03 5

x x xiii f x x= + − ≥


11Funciones Periódicas Definición. Una función f es periódica si se cumple que:

( ) ( )f x f x ρ= + para algún valor real positivo " "ρ distinto de cero. Al mínimo valor de " "ρ que cumple esta relación se le llama periodo de la función. Estas funciones tienen importantes aplicaciones en física e ingeniería, en lo que se refiere a fenómenos que se repiten periódicamente, tales como el movimiento ondulatorio, vibraciones, etcétera. Ejemplo. En la figura se presenta una función periódica, en la que se ve claramente como cada intervalo " "ρ (periodo) se repite el valor de la función.

Ejemplo. Dos funciones conocidas son

y f

x ρ

x

y

5− 3− 1− 1 3 5

función "tren de pulsos"


12

Se observa que para la función “tren de pulsos” el periodo es

4ρ = y para la función “diente de sierra” es 1ρ = . Funciones trascendentes Definición. Una función trascendente es aquella que en su definición no intervienen las operaciones que definen a las funciones algebraicas. Estas funciones incluyen las circulares directas (trigonométricas), las circulares inversas, las logarítmicas, las exponenciales, y muchas otras más. Ahora se tratarán las circulares directas y las otras se analizarán en el transcurso del tema. Funciones circulares directas Se definirán a partir de un círculo unitario de ecuación

2 2 1x y+ = .

cos x y sen yθ θ= =

1

y

x 22− 1−

función "diente de sierra"

s

y

xθ

( )cos ,P senθ θ

c

2 2 1x y+ =

O


13

Las funciones seno y coseno son periódicas con periodo

2ρ π= , luego: ( ) ( )2 cos 2 cossen sen yθ π θ θ π θ+ = + =

tancossenθθ

θ=

cos 1 1 1cot ; sec ; csctan cossen sen

θθ θ θθ θ θ θ

= = = =

Identidades Trigonométricas más importantes:

θ θ+ =2 2cos 1sen 2 2sec tan 1θ θ− = ( )cos cos cos sen senθ ϕ θ ϕ θ ϕ± = ∓ ( ) cos cossen sen senθ ϕ θ ϕ ϕ θ± = ±

2 2cos2 cos senθ θ θ= − 2 2 cossen senθ θ θ= 2 1 1cos cos2

2 2θ θ= +

2 1 1cos22 2

sen θ θ= −

x

y

cos 00sen

θθ<⎧

⎨>⎩

cos 0

0senθθ>⎧

⎨>⎩

cos 00sen

θθ<⎧

⎨<⎩

cos 10sen

θθ= −⎧

⎨=⎩

cos 10sen

θθ=⎧

⎨=⎩

cos 00sen

θθ>⎧

⎨<⎩

cos 01sen

θθ=⎧

⎨= −⎩

I cuadrante II cuadrante

IV cuadrante

cos 01sen

θθ=⎧

⎨=⎩

III cuadrante


14Para graficar estas funciones trigonométricas y determinar su dominio y recorrido, es conveniente construir la siguiente tabla en la que se obtienen los valores de estas funciones correspondientes a valores de θ comprendidos entre 0 2y π , cada ( )030

6π :

f 0 6

π 3π

2π 2

3π 5

6π π 7

6π 4

3π 3

2π 5

3π 11

6π 2π

Sen 0 12 3

2 1 3

2 1

2 0 1

2− 3

2− 1− 3

2− 1

2− 0

Cos 1 32

12 0 1

2− 3

2− 1− 3

2− 1

2− 0 1

2 3

2 1

Tan 0 33

3 ∞ 3− 33

− 0 33

3 ∞ 3− 33

− 0

Cot ∞ 3 33

0 33

− 3− ∞ 3 33

0 33

− 3− ∞

Sec 1 2 33

2 ∞ 2− 2 33

− 1− 2 33

− 2− ∞ 2 2 33

1

Csc ∞ 2 2 33

1 2 33

2 ∞ 2− 2 33

− 1− 2 33

− 2− ∞

1 2 3 5 6 x2π 2π−

4

π2

π 2

π−

π− 3

2

π− 3

2

π

y( ) cosf x x= fD = 1,1fR = −⎡ ⎤⎣ ⎦

1 2 3 5 6 x2π 2π−

4π2

π 2

π−

π− 3

2

π−

3

2

π

y

( )f x senx= fD = 1,1fR = −⎡ ⎤⎣ ⎦


15

; , ; ;2f fD n n Rπθ θ θ π ρ π⎧ ⎫= ∈ ≠ + ∈ = =⎨ ⎬

⎩ ⎭

{ }; , ; ;f fD n n Rθ θ θ π ρ π= ∈ ≠ ∈ = =

x

y

1 2 3 5 6 2π 2π−

4

2

π 2

π−

π− 3

2

π− 3

2

π

( ) cotf x x=

π

x

y

1 2 3 5 6 2π 2π−

4

π2

π 2

π−

π− 3

2

π− 3

2

π

( ) tanf x x=


16

( ); , ; , 1 1, ; 2

2f fD n n Rπθ θ θ π ρ π⎧ ⎫= ∈ ≠ + ∈ = −∞ − ∪ ∞ =⎤ ⎡⎨ ⎬ ⎦ ⎣⎩ ⎭

{ } ( ); , ; , 1 1, ; 2f fD n n Rθ θ θ π ρ π= ∈ ≠ ∈ = −∞ − ∪ ∞ =⎤ ⎡⎦ ⎣

Funciones Explícitas Definición. Es aquella en la que la variable dependiente se encuentra despejada,

( )y f x=

x

y

1 2 3 5 6 2π 2π−

4π2

π 2

π−

π−

3

2

π−

3

2

π

( ) cscf x x=

x

y

1 2 3 5 6 2π 2π−

4

π2

π 2

π−

π− 3

2

π−

3

2

π

( ) secf x x=

1−

1


17 Ejemplo. Las siguientes son algunas funciones explícitas:

( ) 3 22) 2 7 65

i f x x x x= − − +

2) 4ii y x= − −

( ) 0)

0 5senx si x

iii f xx si x

π− ≤ <⎧= ⎨

≤ ≤⎩

Funciones Implícitas Definición. Es aquella que se encuentra dentro de una ecuación ( ), 0f x y = que la involucra a ella y a otras funciones, y en la que, como se observa, la variable dependiente no se encuentra despejada. Ejemplo. Las siguientes son algunas funciones implícitas:

2) 3 1 0i x y− + = ) 1 ; 0ii xy x= ≠

2 2) 4 8 2 1 0 ; 0iii x y x y y− − + − = > )iv y x y= + −

( )2)v y x x y= + 3) 2vi y x= − 3 2)vii y x=

Ejemplo. Dada la ecuación 2 2

19 4x y

+ = , obtener dos

funciones explícitas de ella, dar sus dominios y recorridos y hacer un trazo aproximado de sus gráficas. Solución.


18 Función Par Definición. Una función es par si se cumple que

( ) ( ) ff x f x x D= − ∀ ∈ lo que implica que su gráfica es simétrica con respecto al eje " "y . Ejemplo. ( ) ( )2 cosf x x y f x x= =

( ) 2f x x= ( ) cosf x x= y y

x

x

( ) ( )1.5 2.25 1.5f f= = − 02 2

f fπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

); 0,f fD R= = ∞⎡⎣ ; 1,1f fD R= = −⎡ ⎤⎣ ⎦


19 Función Non Definición. Una función es non o impar si se cumple que:

( ) ( ) ff x f x x D− = − ∀ ∈ lo que implica que su gráfica es simétrica con respecto al origen. Ejemplo. ( ) ( )3f x x y f x senx= =

Funciones expresadas en forma paramétrica Existe una forma de representar a una función en la que tanto la variable dependiente " "y como la variable independiente " "x , se expresan en términos de una tercera variable conocida como parámetro de la función. De esta forma, una función ( )y f x= queda representada paramétricamente como:

( )( ): ; : parámetro

x g tf t

y h t⎧ =⎪⎨ =⎪⎩

Ejemplo. Dadas las ecuaciones paramétricas siguientes, obtener el dominio, el recorrido, hacer un trazo aproximado

( ) 3f x x=

( )f x senx=

y y

x

( ) ( )1.5 3.375 1.5f f− = − = − 12 2

f fπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

;f fD R= =

x

; 1,1f fD R= = −⎡ ⎤⎣ ⎦


20de la gráfica, de la función que representan y obtener sus ecuaciones cartesianas:

2

4 2

1 5cos) : ; 0 ; ) : ; 2

32

x t xi f t ii f

y seny t t

θπ θ π

θ

⎧ = − =⎧⎪ ≥ ≤ ≤⎨ ⎨=⎩= + +⎪⎩

Solución.

2

4 2

1) : ; 0

2

x ti f t

y t t

⎧ = −⎪ ≥⎨= + +⎪⎩


21

5cos) : ; 2

3x

ii fy sen

θπ θ π

θ=⎧

≤ ≤⎨=⎩


22 Ejemplo. El mecanismo que acciona los “blancos” en un campo deportivo consta de una corredera horizontal sobre la cual se mueve una rueda con una aguja situada en su periferia. La rueda gira sobre la corredera sin deslizarse. Cada vez que la aguja toca a la corredera, acciona un mecanismo que levanta al “blanco”. En la figura se muestra la trayectoria que describe la aguja al moverse.

La forma más sencilla de describir matemáticamente este movimiento es a partir de ecuaciones paramétricas. En este caso las ecuaciones son:

( )( )

⎧ = −⎪⎨

= −⎪⎩ 1 cosx a t senty a t

Como se sabe, 1 cos 1t− ≤ ≤ ; de esta forma, cuando cos 1t = − , 2y a= y cuando cos 1t = , 0y = . Luego, el recorrido y el dominio de la función son, respectivamente:

{ }0 2 ; ;f fR y y a y D= ≤ ≤ ∈ = Matemáticamente, el dominio son todos los reales, pero físicamente es imposible. Si el campo de tiro debe contar con 10 blancos, entonces la longitud de la corredera debe ser un poco mayor de ( )9 2 18 metrosx a aπ π= = . Si se desea obtener la ecuación cartesiana de esta curva conocida como Cicloide, se hace lo siguiente:

2a a

a

2 aπ

y

x

t


23

( )1 cos cos

cos cos

y a t y a a ta y a yt t ang

a a

= − ⇒ = −

− −⇒ = ⇒ =

( )22ay yx a t sent x at asent x at a

a

⎛ ⎞−= − ⇒ = − ⇒ = − ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

2cos 2a yx aang ay yy−

∴ = − −

que es la función, en forma implícita, cuya representación gráfica es la Cicloide. OPERACIONES CON FUNCIONES Igualdad de funciones Dos funciones f y g son iguales si tienen la misma regla de correspondencia y están definidas en el mismo dominio con mapeo en el mismo contradominio. Adición, sustracción, multiplicación y división de funciones Definición. Sean las funciones 1 2yf f con sus respectivos dominios

1 2yf fD D . Entonces se definen las siguientes

funciones: ( ) ( )

1 2 1 21 2) ; f f f fi y f x f x D D D+= + = ∩ ( ) ( )

1 2 1 21 2) ; f f f fii y f x f x D D D−= − = ∩ ( ) ( )

1 2 1 21 2) ; f f f fiii y f x f x D D D⋅= ⋅ = ∩

( )( ) ( )

1 1 2

2

12

2

) ; ; 0f f ff

f xiv y D D D f x

f x= = ∩ ≠

Ejemplo. Sean las funciones:

( )22 22a a y ay y− − = −

a

t a y−


24

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 2,5 , 3,7 , 4,11 , 5,13 , 6,17f =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2, 5 , 0,4 , 2,3 , 4,2 , 6,1g = − − Obtener las funciones suma, resta, producto y cociente y dar su dominio. Solución. Ejemplo. Considérense las funciones:

( ) ( )2 1 3f x x y g x x= + = + − Obtener la función suma y dar su dominio. Solución.

Ejemplo. Para las funciones dadas por:

( ) ( )2

2 332

x xf x y g x x xx

+= = +

−

Obtener la función resta y dar su dominio. Solución.


25 Ejemplo. Sean las funciones:

( ) ( ) 21 9f x x y g x x= + − = + − Obtener la función producto y dar su dominio. Solución.

Ejemplo. Dadas las funciones:

( ) ( ) ( ) ( )( )32 3 5f x x y g x x x= + + = + + − Obtener la función cociente y dar su dominio.

Si se efectúan las operaciones que a continuación se citan, con funciones pares y nones, se pueden demostrar, lo que se deja al lector, los siguientes resultados:

) función non función non función noni + = ) función non función non función nonii − = ) función par función par función pariii × = ) función non función non función pariv × = ) función non función non función parv ÷ =


26) función par función par función parvi ÷ =

Composición de funciones Definición. Dadas las funciones f y g con dominios

f gD y D respectivamente, se define como la composición de la función f con la función g a la función denotada con f g tal que:

( ) ( )( )f g x f g x=⎡ ⎤⎣ ⎦ f g se lee " composición g"f y se trata de una función cuyo dominio está formado por todos los elementos " "x que pertenecen al dominio de " "g , para los cuales ( )g x pertenece al dominio de " "f , lo que se expresa como:

( ){ };f g g fD x x D g x D= ∈ ∈

Ejemplo. La función definida por 2 1y x= + + puede interpretarse a través de:

2donde 1y u u x= + = + Esto es, si:

( ) ( ) 2 1y f u u y u g x x= = + = = + entonces:

A C

B

f g

g

f

x

( )g x

( )( )f g x


27

( )( ) ( )y f g x f g x= = ⎡ ⎤⎣ ⎦ luego:

2 1 ;y f g x D= = + + = Ejemplo. Considérense las funciones:

( ) ( )4 11

xy f u u y u g xx−

= = = =+

entonces:

( ) { }41 ; 1

1 f gxy f g x Dx−⎛ ⎞= = = − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Estas mismas funciones pueden escribirse como:

( ){ } ( )4 1, ,1

xf u y y u y g x u ux−⎧ ⎫= = = =⎨ ⎬+⎩ ⎭

de donde:

( ) { }41, ; 1

1 f gxf g x y y Dx

⎧ ⎫−⎛ ⎞⎪ ⎪= = = − −⎨ ⎬⎜ ⎟+⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

Ejemplo. Sean las funciones siguientes, dadas como conjuntos de parejas ordenadas ( ),x y :

( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1,3 , 2,4 , 3,5 , 4,6 0, 3 , 3,2 , 4,1f y g= = − Entonces:

( ) ( ){ } ( ) ( ){ }3,4 , 4,3 1,2 , 2,1f g y g f= = Aquí se ve con claridad que:

( ){ } ( ){ }f g g f g f f gD x x D g x D y D x x D f x D= ∈ ∀ ∈ = ∈ ∀ ∈ Ejemplo. Dadas las funciones siguientes, obtener f g y g f y determinar sus respectivos dominios.

( ) ( ) 23 2

xf x y g xx x

= =+

Solución.


28


29 Ejemplo. Sean las funciones:

( ) ( )2 ; 11

f x g x xx

= = −−

Obtener f g y g f y dar sus respectivos dominios. Solución.

funciones definidas en varios intervalos en problemas

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