teoria de angulos
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Carmen Rosa Sánchez TejadaIE. MIGUEL CORTES
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ANGULOSTEORIA
PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS
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β αO
A
B
ANGULO.- Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina
.vértice
:ELEMENTOS DE UN ANGULO
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α 0º < α < 180º
0º < β < 90ºβ
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA
) a ÁNGULO CONVEXO
.1) a ÁNGULO AGUDO
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θ = 90º
α 90º < α < 180º
θ
.2) a ÁNGULO RECTO
.3) a ÁNGULO OBTUSO
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α + β = 90º
θ + δ = 180º
δθ
αβ
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA
) a ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
) b ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
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α β δ εφ
α α
CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
) a ÁNGULOS ADYACENTES ) b ÁNGULOS CONSECUTIVOS
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Son congruentes
Puede formar más ángulos Un lado común
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01. :Ángulos alternos internos m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6
02. :Ángulos alternos externos m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m ∠8
03. :Ángulos conjugados internos m ∠3+ m ∠6= m ∠4+ m ∠5=180°
04. :Ángulos conjugados externos m ∠1+ m ∠8= m ∠2+ m ∠7=180°
05. :Ángulos correspondientes m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8 m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE
1 2
34
5 6
78
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α + β + θ = x + y
α
β
θ
x
y
01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas.
PROPIEDADES DE LOS ANGULOS
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α
β
θ
δ
ε
α + β + θ + δ + ε = 180°
02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
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α + β = 180°
α β
03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
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El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al
. duplo del complemento del ángulo “X” Calcule la .medida del ángulo “X”
90 - { ( ) - ( ) } = ( )180 - ° X 90 - ° X 90 - ° X2
90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
90° - 90° = 180° - 2X
2X = 180° X = 90°
RESOLUCIÓN
Problema Nº 01
La estructura según el enunciado:
Desarrollando se obtiene:
Luego se reduce a:
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80 La suma de las medidas de dos ángulos es ° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida
. del segundo ángulo Calcule la diferencia de las medidas .de dichos ángulos
: Sean los ángulos α y βα + β = 80 °:Dato β = 80 - ° α ( 1 )
( 90 - ° α ) = 2β ( 2 )
(1) (2):Reemplazando en
( 90 - ° α ) = 2 ( 80 - ° α )
90 - ° α = 160 -2° α
β = 10°
α = 70°
α - β = 70 -10° °
= 60°
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
:Dato
Diferencia de las medidas
Resolviendo
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130 La suma de sus complementos de dos ángulos es ° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos 10 . .es ° Calcule la medida dichos ángulos
: Sean los ángulos α y β
( 90° - α ) ( 90° - β ) = 130°+β + α = 50° ( 1 )
( 180° - α ) ( 180° - β ) = 10°-β - α = 10° ( 2 )
: (1) (2)Resolviendo y
β + α = 50° β - α = 10°
(+)
2β = 60°
β = 30°
α = 20°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
Del enunciado:
Del enunciado:
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( < ), Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC AOB BOC ; se traza la bisectriz OM del ángulo AOC si los ángulos
60 20 . BOC y BOM miden ° y ° respectivamente Calcule .la medida del ángulo AOB
A B
O C
M
αα
60°
20°X
:De la figura
α = 60° - 20°
:Luego
= 40 - 20X ° °
α = 40°
= 20X °
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
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La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes 30 . AOB y BOC es ° Calcule la medida del ángulo formado
.por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB
A
O
B
C
θ
θX
(θ- )X
( θ + )X (θ - )X = 30º
2 =30X º
= 15X °
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
M
Construcción de la gráfica según el enunciado
:Del enunciado
- = 30AOB OBC °
-
Luego se reemplaza por lo queSe observa en la gráfica
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, Se tiene los ángulos consecutivos AOB BOC y COD tal que la m∠ = AOC m∠ = 90 . BOD ° Calcule la medida del
ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y.COD
A
C
B
D
M
N
αα
ββ
θX
:De la figura
2α + θ = 90°θ + 2β = 90°
( + )
2α + 2θ + 2β = 180°α + θ + β = 90°
= X α + θ + β
= 90X °
Problema Nº 06
RESOLUCIÓNConstrucción de la gráfica según el enunciado
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// . Si m n Calcule la medida del ángulo “X”
80°
30°
αα
θθ
X
m
n
Problema Nº 07
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2α + 2θ = 80 + 30° °
Por la propiedad
Propiedad del cuadriláterocóncavo
α + θ = 55° (1)
80 = ° α + θ + X (2) (1) (2)Reemplazando en
80 = 55 + ° ° X
= 25X °
80°
30°
αα
θθ
X
m
n
RESOLUCIÓN
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// . Si m n Calcular la medida del ángulo “X”
5α
4α 65°
X
m
n
Problema Nº 08
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5α
4α 65°
X
m
n
:Por la propiedad
4α + 5α = 90°
α = 10°
Ángulo exterior del triángulo
40° 65°
= 40 + 65X ° °
= 105X °
RESOLUCIÓN
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// . Si m n Calcule la medida del ángulo ”X”
α
2α
x
m
n
θ
2θ
Problema Nº 01
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3α + 3θ = 180°
α + θ = 60°
Ángulos entre líneas poligonales
= X α + θ = 60X °
RESOLUCIÓN
α
2α
x
m
n
θ
2θ
x
Ángulos conjugados internos
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01.-PROBLEMA Si L1 // L2 . Calcule la m ∠ x
) 10 ) 20 ) 30 ) 40 ) 50A ° B ° C ° D ° E °
x
αα
ββ
4x
3x L1
L2
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m
n
30°
X
02.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x
) 18 ) 20 ) 30 ) 36 ) 48A ° B ° C ° D ° E °
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03.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ α
) 15 ) 22 ) 27 ) 38 ) 45A ° B ° C ° D ° E °
3α
3α3α
α
m
n
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04.-PROBLEMA // . Si m n Calcule el valor de “x”
) 10 ) 15 ) 20 ) 25 ) 30A ° B ° C ° D ° E °
40°
95°
αα
2x
m
n
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05.-PROBLEMA Calcule la m ∠ x
) 99 ) 100 ) 105 ) 110 ) 120A ° B ° C ° D ° E °
3α
6α
x
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α4θ
4αθ
Xm
n
06.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x
) 22 ) 28 ) 30 ) 36 ) 60A ° B ° C ° D ° E °
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) 24 ) 25 ) 32 ) 35 ) 45A ° B ° C ° D ° E °
07.-PROBLEMA . Si Calcule la m ∠ x
88°
24°
x
αα
θθ
m
n
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08.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x
20°
30°
X
m
n
) 50 ) 60 ) 70 ) 80 ) 30A ° B ° C ° D ° E °
![Page 34: teoria de angulos](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052116/55b056411a28abf76e8b47c3/html5/thumbnails/34.jpg)
09.-PROBLEMA // Si m n y θ- α = 80 . ° Calcule la m∠ x
) 60 ) 65 ) 70 ) 75 ) 80A ° B ° C ° D ° E °
θθ
x
αα
m
n
![Page 35: teoria de angulos](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052116/55b056411a28abf76e8b47c3/html5/thumbnails/35.jpg)
10.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x
) 20 ) 30 ) 40 ) 50 ) 60A ° B ° C ° D ° E °
x
x
x
m
n
![Page 36: teoria de angulos](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052116/55b056411a28abf76e8b47c3/html5/thumbnails/36.jpg)
11.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ α
) 46 ) 48 ) 50 ) 55 ) 60A ° B ° C ° D ° E °
180°-2α
α
2αm
n
![Page 37: teoria de angulos](https://reader034.vdocuments.co/reader034/viewer/2022052116/55b056411a28abf76e8b47c3/html5/thumbnails/37.jpg)
12.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x
) 30 ) 36 ) 40 ) 45 ) 50A ° B ° C ° D ° E °
αα
θθ
x
80°
m
n
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13.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x
) 30 ) 40 ) 50 ) 60 ) 70A ° B ° C ° D ° E °
80°
αα
β β
m
n
x
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REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS
1. 20º 8. 50º
2. 30º 9. 80º
3. 45º 10. 30º
4. 10º 11. 60º
5. 120º 12. 40º
6. 36º 13. 50º
7. 32º