teoría choques e impulso

1

CHOQUES

E IMPULSO

Material diseñado y elaborado

por Prof. Irma Sanabria

para el curso de Física I de la UNET.

Marzo, 2010

2

IMPULSO

3

Del análisis de choques se puede afirmar que durante la interacción las fuerzas internas que ocurren entre las partículas son más grandes que las fuerzas externas. Es decir, podemos afirmar que las fuerzas externas son despreciables.

Definición de CHOQUE Ó COLISIÓN

Choque: es el evento en el cual interactúan dos partículas mediante fuerzas.

Sí las fuerzas externas son despreciables, de acuerdo a lo visto en sistemas de partículas, la cantidad de movimiento se conserva:

0ext

F

antes despuésP P

1 1antes 2 2 antes 1 1después 2 2 despuésm v m v m v m v

4

En este tipo de choque se conserva la energía cinética total, es decir, la energía cinética total antes del choque es igual a la energía cinética total después del choque.

Choque o colisión elástica

Ejemplo:

* Este tipo de choque se da usualmente en el nivel atómico o microscópico.

* En el nivel macroscópico los choques siempre pierden algo de energía, sin

embargo se puede hacer una aproximación a choque elástico. Por ejemplo el que

se produce entre las bolas de billar: la energía cinética que se pierde durante el

choque es muy pequeña, así como la deformación entre las bolas que son

prácticamente imperceptibles al ojo humano.

m1av1

m2

av2

Antes del choque Después del choque

m1dv1

m2

dv2

5


esTOTALdespuantesTOTAL KK 2 2 2 2

1 1antes 2 2antes 1 1después 2 2después

1 1 1 1m (v ) m (v ) m (v ) m (v )

2 2 2 2

despuesantesPP

1 1 antes 2 2 antes 1 1después 2 2 despuésm v m v m v m v

Con respecto a la energía cinética total, en este tipo de choque se puede afirmar que:

Y el principio de conservación de cantidad de movimiento para choques es:

6


Al combinar las ecuaciones de energía cinética total y el principio de conservación de la cantidad de movimiento, y despejando las velocidades de las partículas después de un choque elástico, las ecuaciones quedan expresadas de la siguiente manera:

antesantesdespués vmm

mv

mmmm

v 2

21

21

21

211

2

antesantesdespués vmmmm

vmm

mv 2

21

121

21

12

2

7

Dos cuerpos de masas m1=6kg y m2=6kg se mueven en la misma dirección, uno al encuentro del otro, con velocidades Sí entre los cuerpos se produce un choque elástico, determinar:1. La velocidad de los cuerpos inmediatamente después del choque2. La velocidad del centro de masa antes y después del choque3. La energía cinética relativa al centro de masa antes y después del choque.

PROBLEMA

1 5 /v m s yî 2 /v m s

-3î

Para la solución de este problema haremos uso de los siguientes Conceptos, Leyes y Principios.

LEYES Y PRINCIPIOS CONCEPTOS

Principio de conservación de la cantidad de movimiento

Principio de conservación de la energía

Sistemas de partículas

Choque

Cantidad de movimiento

Centro de masa

Para sistemas de partículas: energía cinética total, energía cinética asociada al centro de masa, energía cinética relativa al centro de masa

8

Información suministrada: del enunciado del problema podemos dibujar un esquema de la situación planteada, indicando los datos que nos dan. Para este tipos de problemas son la masa y la velocidad de cada una de las partículas.

Aplicamos directamente las ecuaciones de velocidades después del choque para choque elástico de la siguiente manera:

1. La velocidad de los cuerpos inmediatamente después del choque:SOLUCIÓN

9

antesantesdespués vmm

mv

mmmm

v 2

21

21

21

211

2

Para m1:

antesantesdespués vmmmm

vmm

mv 2

21

121

21

12

2

Para m2:

1

6 6 2 65î ( 3)î

6 6 6 6

despuésv 1ˆ3 /

despuésv im s

2

2 6 6 65î ( 3î)

6 6 6 6

despuésv 2ˆ5 /

despuésv im s

Continuación

10

( )i i iCM

i i

p m vv

m m

Para hallar la velocidad del centro de masa debemos recordar las ecuaciones de centro de masa para sistemas de partículas:

6 5î 6 ( 3î)

6 6CMv

1îm/sCMv

Recordando que la cantidad de movimiento se conserva antes con respecto a la cantidad de movimiento después del choque, entonces podemos afirmar también que la velocidad del centro de masa se mantiene constante:

1îm/sCMantes CMdespuésv v

2. La velocidad del centro de masa antes y después del choque:Continuación

11

Podemos determinar la energía cinética total antes puesto que conocemos las masas de las partículas y las velocidades antes del choque:

Una de las formas para determinar la energía cinética relativa al CM es a partir de la energía cinética total de un sistema de partícula, la cual viene dada por la expresión:

:

total asocCM relCM

relCM total asocCM

K K K

despejando la energía cinética relativa al CM

K K K

3. La energía cinética relativa al centro de masa antes y después del choque :

2 2 2 21 1 2 2

1 1 1 1( ) ( ) 6 (5) 6 (3)

2 2 2 2

102

antes antes antes

antes

Ktotal m v m v

Ktotal J

Continuación

12

96relCMK J

La velocidad del CM ya fue determinada en la pregunta anterior. Y Con respecto a la energía cinética asociada al centro de masa, viene dada por la ecuación:

En un choque elástico la energía total se conserva y sí la energía asociada al CM también se conserva, entonces podemos afirmar que la energía cinética relativa es la misma antes y después del choque elástico.

2 21 1( ) (6 6) 1

2 2

6

asocCM i CM

asocCM

K m v

K J

Una vez calculadas la Ktotal y KAsocCM, podemos determinar la KrelCM:

102 6relCM total asocCMK K K

Continuación

13

En este tipo de choque no se conserva la energía cinética total, es decir, parte de la energía cinética se pierde durante choque.

Choque o colisión inelástica

Ejemplo: * El caso de una pelota de hule que choca contra al piso, puesto que parte de la energía cinética se pierde al deformarse la pelota mientras está en contacto con la superficie.

m1

av1

Antes del choque

m1

Después del choque

dv2

14

Con respecto a la energía cinética total, la podemos expresar como:


esTOTALdespuantesTOTAL KK Sí recordamos que para un sistema de partículas,

la energía cinética total del sistema, KT, es: relativaAsociadaCMTOTAL KKK

En este tipo de choque la Energía cinética asociada al centro de masa se conserva (se mantiene constante), debido a que durante el choque las fuerzas externas son despreciables, por lo tanto la velocidad del centro de masa antes y después del choque no cambia.

Entonces podemos afirmar que se pierde sólo parte de la energía cinética relativa, quedando la ecuación:

quedespuéschoAsociadaCM

eanteschoquAsociadaCM KK

quedespuéschorelativa

eanteschoqurelativa KK

Es decir que la energía cinética total para choque inelástico se puede expresar de la siguiente manera:

quedespuéschorelativa

quedespuéschoAsociadaCM

eanteschoqurelativa

eanteschoquAsociadaCM KKKK

15


despuesantesPP

1 1antes 2 2 antes 1 1después 2 2 despuésm v m v m v m v

Y con respecto a la cantidad de movimiento, se conserva para cualquier tipo de choque, lo que queda expresado como:

Para determinar las velocidades de las partículas después del choque inelástico se deben combinar las ecuaciones de cantidad de movimiento y energía cinética total, sabiendo que sólo se conserva la energía asociada al centro de masa.

16

Dos deslizadores mA=0,5Kg y mB=0,3Kg se acercan, con velocidades Sobre un carril de aire sin fricción. Después de chocar B se aleja con

Determinar:1. La velocidad del deslizador A después del choque 2. La energía cinética total antes del choque3. La energía cinética total después del choque4. La energía perdida durante el choque

PROBLEMA

2 /Av m s

î /Bv m s

-2î




Sistemas de partículas, energía cinética total

Choque


/Bdv m s

2î

17

1ˆ0,4 /despuésv im s

despuesantesPP

10,5 2 0,3 ( 2) 0,5 0,3 2

despuésv

Información suministrada: Con los datos del enunciado, masas y velocidades, podemos aplicar directamente el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento.

1 1 antes 2 2 antes 1 1 después 2 2 despuésm v m v m v m v

La única incógnita es la velocidad de A después del choque.

1. La velocidad del deslizador A después del choque:SOLUCIÓN

Podemos aplicar directamente la ecuación de energía cinética ya que contamos con toda la información necesaria (masas y velocidades de cada uno de los deslizadores antes del choque):

2. La energía cinética total antes del choque:

2 21 10,5 (2) 0,3 (2) 1,6

2 2antestotalK J 2 21 1 2 2

1 1( ) ( )

2 2Total antes antesK m v m v

18

2 21 10,5 (0,4) 0,3 (2) 0,64

2 2despuéstotalK J

Podemos aplicar directamente la ecuación de energía cinética ya que contamos con toda la información necesaria: masas y velocidades de cada uno de los deslizadores después del choque:

(1,6 0,64) 0,96

antes despuéstotal totalK K K

K J

Recordemos que en los choques inelásticos existe pérdida de energía cinética.

2 21 1 2 2

1 1( ) ( )

2 2despuésTotal después despuésK m v m v

3. La energía cinética total después del choque:

4. La energía perdida durante el choque:

Continuación

19

Choque o colisión plástica

Choque plástico (o perfectamente inelástico): es el choque en el que también se pierde energía cinética, pero se caracteriza porque las partículas quedan unidas después del choque.

Ejemplo: •Un jugador de football al atrapar la pelota.• Un meteorito al chocar con la tierra•Una bala al chocar con un bloque quedando incrustada sobre él.

dv

Después del choque

av1

02 av

Antes del choque

m1

20

La energía total antes del choque plástico con respecto a después se puede expresar de la siguiente manera:


Se deduce entonces que en este tipo de choque se pierde toda la energía cinética relativa, es decir:

0quedespuéscho

relativaK

relativaAsociadaCMTOTAL KKK esTOTALdespuantesTOTAL KK

Sabiendo que:

y

Asociada CM relativa Asociada CM relativaantes choque antes choque después choque después choque

K K K K 0

21


despuésdespuésdespués vvv 21

1 1antes 2 2 antes 1 2 despuésm v m v m m v

Con respecto a las velocidades de las partículas después de un choque plástico, podemos decir que:

Aplicando el principio de conservación de la cantidad de movimiento:

despuesantesPP

Es decir que las velocidades de los carros después del choque se pueden calcular por la siguiente ecuación:

1 1antes 2 2antesdespués

1 2

m v m vv

m m

Y con respecto a la velocidad después del choque podemos afirmar que es igual a la velocidad del centro de masa:

despuésCM vv

22

Dos deslizadores mA=0.5Kg y mB=0,3Kg se acercan, con velocidades Sobre un carril de aire sin fricción. Sí los deslizadores se quedan pegados después del choque,Determinar:1. La velocidad después del choque del sistema de deslizadores A-B2. La energía cinética total después del choque3. La energía cinética perdida durante el choque

PROBLEMA

2 /Av m s

î /Bv m s

-2î




Sistemas de partículas, energía cinética total

Choque


23

ˆ0,5 /

despuésv i m s

1. La velocidad después del choque del sistema de deslizadores A-B:

SOLUCIÓN

despuesantesPP

Información suministrada: el enunciado nos indica que el choque es plástico. Para determinar la velocidad después del choque podemos aplicar directamente el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento.

1 1 2 2 1 2( )

0,5 2 0,3 ( 2) (0,5 0,3)

antes antes ddeessppuuééss

después

m v m v m m v

v

La única incógnita es la velocidad de los deslizadores después del choque.

Esta velocidad corresponde también a la velocidad del CM (centro de masa) tanto antes como después del choque.

24

2. La energía cinética total después del choque:

Se aplica directamente la ecuación de energía cinética total para un sistema de partículas.

2 21 1 2 2

1 2

21 2

1 1( ) ( )

2 2

1( ) ( )

2

Totaldespués después después

después después después

Total después después

K m v m v

v v v

K m m v Esta energía cinética corresponde también a la energía cinética asociada al CM tanto antes como después del choque. 21

(0,5 0,3) (0,5) 0,12

Total despuésK J

Continuación

25

3. La energía cinética perdida durante el choque:

Para determinar la energía cinética perdida, ya tenemos la energía cinética después del choque, debemos ahora determinar la energía cinética total antes del choque:

2 21 10,5 (2) 0,3 (2) 1,6

2 2 antesKtotal J

2 21 1 2 2

1 1( ) ( )

2 2 Total antes antesK m v m v

antes despuéstotal totalK K K Esta energía cinética fue

determinada en el punto anterior.

Al comparar este resultado con el obtenido en el problema 2 se observa que se pierde mayor cantidad de energía en el choque plástico que en el choque inelástico.

1,6 0,1 1,5 K J

Continuación

26

Coeficiente de restitución

despuésdespuésdespués vvv 21

Este coeficiente mide el grado de elasticidad de un choque. Puesto que la mayoría de las colisiones son una situación intermedia entre los casos extremos de choques perfectamente elásticos y choques plásticos, se define el coeficiente

de restitución, como el valor absoluto de la relación entre la velocidad relativa

después del choque y la velocidad relativa antes del choque , es decir:

2despues 1despues

2antes 1antes

v v

v v

El valor del coeficiente de restitución puede variar entre cero y uno dependiendo del tipo de choque.

0

1

0 1

Choque plástico o perfectamente inelástico.

Choque inelástico.

Choque perfectamente elástico.

27

Dos deslizadores m1=0.5kg y m2=0,3kg se acercan, con velocidades Sobre un carril de aire sin fricción. Después de chocar m2 se aleja con

Determinar:1. El coeficiente de restitución 2. Indicar que tipo de choque experimentaron los deslizadores

PROBLEMA

1 2 /v m sî 2 /

v m s-1î

2 /

despuesv m s2î

Información suministrada: Con los datos del enunciado, masas y velocidades, podemos aplicar directamente el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento para determinar la velocidad del cuerpo m1 después del choque.

1ˆ0, 2 /

despuésv im s

despuesantesPP

10,5 2 0,3 ( 1) 0,5 0,3 2

despuésv

1 1 antes 2 2 antes 1 1 después 2 2 despuésm v m v m v m v

La única incógnita es la velocidad de m1 después del choque.

0,6

Una vez calculada la velocidad de m1 después del choque determinamos el valor del coeficiente de restitución:

2despues 1despues

2antes 1antes

v v 2 (0,2)

v v ( 1) 2

El valor del coeficiente de restitución, es mayor que cero pero menor que uno. Por lo tanto podemos afirmar que los deslizadores experimentan un choque inelástico.

28

CHOQUES

29

La ecuación de Impulso es derivada de la 2da Ley de Newton:

IMPULSO

2

1

t

t

I Fdt

De esta forma el Impulso de la fuerza neta que actúa sobre una partícula

durante un intervalo de tiempo t, se puede expresar como: F

Sí la cantidad de movimiento cambia de en el tiempo ti a

en tf, lo podemos expresar como:

Pi

fP

La parte izquierda de la ecuación correspondiente a la variación de la cantidad de movimiento es el vector llamado Impulso:

I P

dPF

dt

dP Fdt

Teorema del impulso y la cantidad de movimiento.

P Fdt

30

Cuando se trata de una fuerza constante, el Impulso realizado por esa fuerza es:

Impulso hecho por una Fuerza Constante

Ejemplo 1: La figura muestra un bloque de masa 2kg, sobre el que actúa la fuerza F, mientras el bloque se desplaza desde la posición A en reposo hasta la posición B en la dirección de x. Determinar el Impulso sobre el bloque sí la superficie se considera lisa.

Para el cálculo del tiempo es necesario conocer la aceleración que experimenta el bloque, la cual puede ser determinada por la 2da Ley de Newton:

2 .

ˆ8

(0,0) ; (5,0)

m kg

F i N

A B

284 /

2

FF m a a

m

a m s

21

2

2 /

2 5/ 4 1,58

or v t at

t r a

t s

ˆ ˆ8 1,58 12,64 N.s I F t i i

El cálculo del tiempo:

Y el impulso de F sobre el bloque:

FI F t

xm

A Bxm

A Bˆ5 .r i m

F

xm

A Bxm

A B

xm

A Bxm

A Bˆ5 .r i m

F

Observamos que la única fuerza que hace impulso es F, puesto que es la única fuerza en la dirección del movimiento del bloque, y tiene un valor constante. Para determinar el valor del impulso debemos previamente calcular el tiempo que tarda el bloque en realizar ese desplazamiento .

31

2

1

.t

t

I F dt

Impulso hecho por una Fuerza Variable

Ejemplo 2: La figura muestra un bloque de masa 2kg, sobre el que actúa la fuerza F= 3t2+2, mientras el bloque se desplaza desde la posición A hasta la posición B en la dirección de x. Determinar el Impulso realizado por esta fuerza sí actúa durante 2 segundos.

2

2 .

ˆ(3t +2)

2

m kg

F i N

t s

22

0

23 3

0

(3t +2)

2 (2 2 2) 12N.s

I dt

I t t

El impulso de F sobre el bloque es:

xm

A Bxm

A Bˆ5 .r i m

F

xm

A Bxm

A B

xm

A Bxm

A Bˆ5 .r i m

F

32

En general, el impulso realizado por una fuerza se obtiene a partir de:

Y al hacer una interpretación gráfica de esta integral es igual al área bajo la curva F(t) entre límites tinicial y tfinal , entonces el Impulso realizado por la fuerza es igual al área limitada por la curva y el eje t.

t(s)

Ft (N)

FI

AREA

t inicialtfinal

Impulso hecho por una Fuerza Variable, a partir de la Gráfica F (t)

2

1

.t

t

I F dt

33

( )F t

( )t s

1

31,25 .

Area

N s

2 10 . Area N s

3

25 .

Area

N s

Problema 3. La figura muestra un bloque de masa 2kg, que se desplaza por una superficie lisa en la dirección de x mientras sobre él está actuando una fuerza F como se representa en el gráfico F(t). Para la situación planteada determinar el Impulso realizado

por la fuerza F durante el intervalo de 0-5s.

1 2 3

46,25 N.s

F

F

F

I Área entre la curva y el eje t

I A A A

I

34

El cambio en la cantidad de movimiento de una partícula es igual al impulso de la fuerza neta que actúa sobre la partícula.

Teorema de Impulso y Cantidad de movimiento

( )

( )

final inicial

final inicial

I P

I P P

I m v v

Ejemplo 4: Un cohete de masa M=10000kg, inicialmente en reposo se dispara desde una plataforma lanzamiento.

Los motores del cohete desarrollan una fuerza variable .

PARA LA SITUACIÓN PLANTEADA, DETERMINAR:

1.La velocidad del trasbordador a los 6 segundos de su lanzamiento es:

Hacemos uso del teorema de Impulso y cantidad de movimiento para determinar la velocidad del cohete a los 6s. Por lo tanto previamente tenemos que calcular el impulso neto realizado sobre el cohete:

Realizamos un diagrama de cuerpo libre del cohete para determinar que fuerzas externas actúan sobre él. Y procedemos a calcular el impulso realizado por estas fuerzas sobre el cohete.

35

ˆ(10000 9,8 ) 6

ˆ588000 N.s

Mg

Mg

I Mg t j

I j

Para el peso:

Para la fuerza F1:6 6

1 1

0 062

1 10

. (60000 220000).

ˆ30000 220000 2400000 N.s.

F

F F

I F dt t dt

I t t I j

El Impulso neto es:0 6

0 6

10 62400000 588000

ˆ1812000 N.s.

s

s

F MgsI I I I

I j

Y aplicando el teorema de impulso y cantidad de movimiento, obtenemos que la velocidad del cohete a los 6s es:

0 66 0 60 6

6 6

ˆ( ) 1812000 10000 ( 0)

1812000 ˆ181,2 m/s10000

ss

I P I m v v j v

v v j

Continuación

36

Ahora revisemos el problema resuelto y resolvamos los problemas

propuestos usando los procedimientos sugeridos en el

material Acerca de las Habilidades Cognitivas

Ahora revisemos el problema resuelto y resolvamos los problemas

propuestos usando los procedimientos sugeridos en el

material Acerca de las Habilidades Cognitivas

teoría choques e impulso

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