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Cantidad de Movimiento

OBJETIVOS

1.- Establecer un nuevo modo de enfocar losproblemas dinámicos en donde participandos o más cuerpos que interactúan entresí.

2.- Conocer y aplicar el Principio de Conser-vación de la Cantidad de Movimiento.

3.- Reformular las leyes de Newton de laMecánica, en términos de Cantidad deMovimiento e Impulso.

uando estudiamos los movimientos mecánicos, su genera-ción, su transmisión, su conservación o variación, vemosque las leyes de la Mecánica estudiadas hasta aquí se ven

muy limitadas si el número de cuerpos que participan e interactúan esgrande, pues el estudio se vuelve complejo, de manera que predecirresultados de velocidad o aceleración finales es toda una «proeza». Enesta parte del curso incluiremos nuevas herramientas que harán mássencillos y directos el análisis de tales casos; para lo cual recurriremosa los conceptos de Cantidad de Movimiento, Impulso y Centro de Masa.Asimismo, veremos como las tres leyes de Newton para la Mecánicase vuelven a reformular con tales conceptos.

lID MEDIDAS DEL MOVIMIENTOLuego de un tremendo debate iniciado por los filósofos del siglo

XVII, se concluyó que el Universo se regía por dos grandes leyes deconservación: El de la Energía y el de la Cantidad de Movimiento,siendo ambos las dos medidas del movimiento.a) Energía Cinética (mV2/2).- Magnitud escalar cuya transmisión es tem-

poral y se hace por vía del trabajo. La energía resulta ser la mediciónmás genérica del movimiento, y el trabajo es la medida de su variación.

b) Cantidad de Movimiento (m v). - Magnitud vectorial cuya transmisiónes instantánea, y se hace por vía del impulso. La cantidad de movi-miento resulta ser la medida directa del movimiento mecánico, yelimpulso es la medida de su variación.

11II CANTIDAD DE MOVIMIENTO (¡;)Esta magnitud es conocida también como Momentum Lineal, y

a lo largo del tiempo se la relacionó con el movimiento de un cuerpo.En un inicio se le midió multiplicando el peso por la velocidad (Galileo),

RENE DESCARTES(1596 - 1650)

Este notable filósofo y mate-mátIco francés nació el 31de Marzo de 1596 en La Ha-ya (Touroine). Se formó en elcolegio de JesuItas de laFleche. Debido a sudelicadoestado de salud, se le permi-tió de Joven permanecer encama todo el tiempo quedeseaba antes de Ir a la es-cuela. A los treinta años fuéofIcIal de campo con T11ly;vMó después de largos viajesen los Paises Bajos. En 1649marchó a Estocolmo porInvitación de la reIna Cristinade Suecia. Esel prIncipal fun-dador de la Nueva FIlosofía.Lossistemas de coordenadasque él Introdujo se cortan enangulos rectos, y sedesignancon las letras; x Y-z: llevan sunombre. Tuvo una prolija vidaen el campo de las matemá-tIcas. Se le atribuye la Idea Ii-neal/zada de la inercia, deno-mInada Momenfum Lineal;- Todo cuerpo que se muevetiende a continuar su movi-miento en línea tecr». /o queaporecló en sus-Principios deFilosofía- (1644). Su obracumbre fué -Discours de laMethode-.

234 Física-Primer Nivel

DILEMA

-Escomún observar cómodeterminados cuerpos enmovimiento finalmente pier-den su velocidad y se detie-nen. SI hacemos uno exten-sión o todo el Universo,concluiremos que éste de-be estor muriendo, lo cualresulto Inaceptable, pues siel Universoes obro de Dios,él debe ser eteav».

Este fué el dilema quesurgió o mediados del sigloXVII entre los filósofoseuropeos, lo que losempujóo aceptar lo existencia deuno magnitud, que relacio-nado con el movimientodebía ser constante(eterna).El problema para ellos eraponerse de acuerdo en¿Qué se conservo: lo ener-gía clnétlco o lo cantidad demolimiento?Esteasunto quedó resuelto

01descubrirse que lo ener-gía (entre ellos lo cinétlca)podía cambiar de formopero en esencia seguía sien-do constante.

OJO!

Tonto en el Trabajo comoen el Impulso, lo fuerzo resul-to ser el agente motriz, y supresencio solo se explicopor lo Interacclón existenteentre los cuerpos.

MUY INTERESANTE

SI analizamos los unidadesdel Impulso, descubriremosque ellos son equivalentes olos unidades de lo Cantidadde Movimiento. Veamos:

newton.segundo = (kg. '; ]s~ N.s = kg.

ms

Félíx Aucallanchi V.

el volumen de materia (masa) por su rapidez (Descartes), y finalmentela masa del cuerpo por su velocidad (Newton). Así quedó establecidoque la cantidad de movimiento es una magnitud vectorial que mide elgrado de oposición (inercia) v =O 01 misque presenta un cuerpo para ~cambiar 'u movimiento. Su ~::valor resulta ser directa-mente proporcional con lamasa y la velocidad de uncuerpo:

I p = m. v 1 (12.1)

Unidad (S.I.): (P) = kg.m/s

Observacián.« Con la cantidadde movimiento, el concepto deinercia (masa) adopta unanaturaleza vectorial debido ala inclusión de la velocidad.

I!II IMPULSO (J)

"La bala y el tren tienen lamisma cantidad de movimiento"

Fig 12.1

Es conocida también como impulsión, y viene a ser una magnitudde tipo vectorial que aplicado a un cuerpo hace que éstos experimentenalgún cambio en su movimiento. El impulso nos indica el grado deefectividad que posee una fuerza para poner en movimiento a un cuerpoo para detenerlo, en un intervalo de tiempo definido. Así pues, su valores directamente proporcionalcon la fuerza F aplicada y conel tiempo (M) que duró su ~aplicación:

I J = F. Át 1 (12.2)

Unidad (S.I.): (1) = N.s.Observaciones.« En relación alejemplo de la Fig 12.2. se puededecir que:

1) Los impulsos pueden trans-mitir movimientos en intervalosde tiempo muy cortos.

2) Al graficar una Fuerza ver-sus el Tiempo podemos com-probar que el área bajo la curvanos proporciona el impulso querecibe un cuerpo en un intervalode tiempo dado.

rATea = Impulso IFig 12.2

Cantidad de Movimiento 235

•TEOREMADELIMPULSOYLACANTIDAD

DE MOVIMIENTO_ Según el ejemplo de la Fig 12.2, el lanzador aplica un impulso

(J) ~ la bola de masa m, y debido a ello le cambia su velocidad dev¡ = O a vr; esto significa que el impulso provocó un cambio en lacantidad de movimiento de la bola. En base_al ejemplo de la Fig. 12.3apodemos apreciar que la fuerza resultante R es aplicada en un tiempoIl.t, luego, utilizando la 2da Ley de Newton tendremos:

~v -má e R; m. ~t =.R => m(vr-v¡)=R .~t

=> mVr -mv¡ =J => Pr -p¡ =} ; ó; I~=J I (12.3)

«Si sobre un cuerpo o sistema de partículas actúa un impulsoexterno éste tendrá un valor igual al cambio producido en la cantidadde movimiento del cuerpo o sistema».

(b):--~tr: ~ p¡

p,

p¡-rriV¡¡--c=¡ J: ~, 1:>'

pr=mvrFig 12.3

11II SISTEMA DE PARTICULASCuando un sistema físico está compuesto de varios cuerpos o

partículas, el estudio de su movimiento se simplifica si encontramos laCantidad de Movimiento Total del Sistema (PT) Yel de su Centro deMasa. Resulta que el movimiento del Centro de Masa es equivalenteal que realiza todo el sistema. Luego, a partir de ésto se definen:a)Cantidad de Movimiento del Sistema.- Por ser la cantidad de movi-

miento una magnitud vectorial, se establece la siguiente suma:

(12.4) IPT=p.+P1+: •.+PDI ; ó ; [PT=mil+mi"l+ ...+mnvnlb)Velocidad del Centro de Masa.- Se demuestra que la cantidad de

movimiento del Centro de Masa coincide con la Cantidad de Movi-miento del Sistema. Luego:

(12.5) IM T·VCM = PT I donde MT = Lm¡

1_ Ln¡v. 1

(12.6) )'CM=~

ATENCION!!

1) Por razones pedagógi-cas, la relacIón (12.3) seha demostrado conside-rando un movImientorectilíneo (Flg. 12.30).

2) En la Fig 12.3b se pueqenotar que el Impulso ( J )señala hacIa el Interior dela curva (concavIdad). Suvalor puede encontrarsemediante la relacIón (3.2)para un vector diferencIa:

CENmo DE MASA (C.M.]

Esel lugar del espacIo endonde se consIdera con-centrada toda la masa deun sistema de partículas. LaubicacIón del C.M. sedetermIna por medIo de lasrelacIones vIstas en el item8.13.

_ Lm¡x¡x=--

Lfl1¡

- I.m¡y¡y=--

Lm¡


FUERZAS INTERNAS

Se considera que unafuerza es interna sies la queaplica una partícula del sis-tema sobre otra que tam-bién pertenece al mismosistema. Lasfuerzas Internasse caracterizan ademásporque:1)La resultante de todas

ellas es nula dentro de unsistema.

2)Pueden producir variacio-nes en la cantidad demovimiento de las partí-culas que componen unsistema, pero no alteranla cantidad de movimien-to del mismo.

FUERZAS EXTERNAS

Son aquellas que ejercenlos agentes externos alsistema sobre una partículadel mismo. Las fuerzasexternas pueden variar lacantidad de movimiento to-tal de un sistema.

SISTEMA AISLADO

Se dice que un sistema de 211)partículas es aislado si laresultante de las fuerzasexternas a él es nula. Si unsistemaes aislado, entoncesdesde un marco de referen-cia inerclal se observaráque su Centro de Masa seencuentro en reposo(v = O J, o moviéndose convelocidad constante.

Loscasos mostrados en laFig. 12.4 están libres de fric-ción, y por tanto correspon-den a sistemas aislados, demanera que en ellosse cum-ple que la cantidad demovimiento total se con-serva.

En el caso (c) de la Flg.12.4, los componentes delsistema aislado parten delreposo, y por ello la coor-denada x del Centro deMasa se mantiene Inaltera-ble en todo momento.

FéJixAucallanchi V.

c)Aceleración del Centro de Masa.- La velocidad del Centro de Masavaría a través del tiempo solo con la presencia de una aceleración, yésta se relaciona con la masa de todo el sistema y con la resultante detodas las fuerzas externas del siguiente modo:

(12.7) I MT.iiT =R 1, donde: R = "LF = "Lm¡ii¡

~!miil

(12.8) QT =l'.ñtI

•PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LACANTIDAD DE MOVIMIENTO

De acuerdo con lo establecido en el Teorema del Impulso y laCantidad de Movimiento, se tiene que:R .!1t= Pf - p¡, y si: R = O (Resultante de las fuerzas externas)

~ 0= Pf - p¡ ~ !i¡'= ir I (12.9)

Lo que equivale a decir que: «Si la resultante de las fuerzas externasque actúan sobre un cuerpo o sistema de partículas es nula, entoncesla cantidad de movimiento total se conserva».

Observaciones> Dado que la cantidad de movimiento (p ) es una cantidadvectorial, entonces el principio establecido por la relación (12.9) puede expre-sarse de distintos modos:

111) !"L(mv)antes ="L(mv)dapuis~ (12.10)

(12.11)

Al trabajar en el plano, se tiene que: v = vx +v y' Luego:

!"L(mvx)antes ="L(mvx)~ 1\

I"L(mvy)antes = "L(mvy)despu& I(12.12)

a)vA=4m1s "8=3m1s vA=3m1.r l'¡¡=4mIs

--<=>- -.....c::::- ---c:::---....c::-

,B (B) ~;f-!32 }!¿Antes

b)

Fig 12.4

Cantidad de Movimiento 2 7

nlOflLEMAS RESUELTOS (ptA NRTE)

Probo 1.- Una raqueta logra golpear una pelota de tenisde 200 g desviando su dirección según comose Indica. Si v1 = 35 mis y v2 = 75 mis. ¿Quéfuerza media experimentó la pelota, si laduración del contacto fué M = 0,04 s?A) 300 N O) 100 NB)500 N E)600 NC)200N

Resolución.-

En base a los datos podemos reconocer las cantidades de mo-vimiento inicial y final:

Ipll = m,vI = (0,2 kg) (35 mis) = 7 kg.mls

IP21= mV2 = (0,2 kg) (75 mis) = 15 kg.mlsLuego, utilizando el Teorema del Impulso y la Cantidad deMovimiento dado por la relación (12.3) tendremos que elimpulso (1) que experimenta la pelota se calcula como unvector diferencia:

::) 111 = 20 N.s

A continuación calculamos la fuerza (F) que aplicó la raqueta y que propició el impulso (J ) obtenido.Luego, empleando la relación (12.2) que define a este último, tendremos que:

IFI=!.{!= 20N.s/1t 0,04 s

- JF=-

/1t ::) IF' = 500 N RPTA. B

Probo 2.- UnacrnetrcikXJorads¡xro txias de 40 gCXX'llJ)(] vekx:;icJocJ de 5aJ mis. ElsoIdcx::Jo q.Je mCTJ-tienesujetala crnetrcikXJoraCXX'l1asmeros p.,I€iCk3 ejerceruna fuerzamáxima de 200 N sxxela crnetrdkXJora.DetermrYJel rroaro rirneIO de txxs q.Je puede cisxra en lTI minuto.A) 400 B) 500 C) 600 O) 300 E)200

Resolución.-

Se sabe que las balas inicialmente están en reposo (v¡ = O),Y luego de recibir el impulso de la ametralladoraadquieren la velocidad de ve = 500 mis. Luego, lascantidades de movimiento inicial y final de cada balaes: p¡ = O, y:Pr -= mv = (0,04 kg) (500 mis) ::) Pr = 20 kg.mls

Asimismo, reconocemos que el intervalo I:!.t que existeentre disparo y disparo es: I1t = 1 minln = 60 s/n,siendo "n" el número de balas percutadas en un minu-to. Luego, por condición del problema se tendrá quesi "n" es máximo, la fuerza (F) que puede sujetar a laametralladora produce el impulso (1), que estará dadopor la relación (12.2):

J = F.1:!.t ::) J = (600 N). 60 sn

.Ifl·;t(.o,,:iún

238 Física-Primer Nivel FélixAucallanchl V.

Seguidamente aplicaremos el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento dado por la relación (12.3):

- 60s m mJ = Pf - p¡ ~ (200 N) - = 20 kg . - - Okg . - ~ n = 600 RPTA. Cn s s

En el item 12.3 se explicó que el área bajo la curva Fuerza-vs- Tiempo nos dá el impulso (l); luego, por el esquema adjuntopodemos decir que:

(6+10) (lO) (4)

J = Area trapecio + Area triángulo = -2- 4 + --2-

~ J = + 52 N.s ~ J = 52 1 (Eje "x" positivo)

Luego, por condición del problema, este impulso dá lugar aun cambio en la velocidad, y por consiguiente en la cantidadde movimiento del cuerpo, siendo vf su velocidad final.Ahora, si utilizamos el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento, tendremos:

J = Pf - p¡ ~ J =m (Vf-V¡) ~ 521 =2 [Vf-(-41)] ~ vr =22 ¡(mis)

Probo 4.- Uncuerpo, según la figura, reposa sobre unasuperficie perfectamente lisa (sin fricción) yhorizontal. Su centro de gravedad está en Gcomo indica la figura. Siel cuerpo se inclinaligeramente, cae al piso. ¿Dónde quedarásu centro de gravedad G .A)EnPB)Dependiendo de hacia qué lado se haya

producido el impulso, en Q o SC) En T D) EnR E)Muy lejos de dichos puntos, pues no hay fricción.

Resolución.-

Probo 3.- Si un cuerpo de 2 kg en el IQstantet = O s ,tiene una velocidad v = - 4i (mis); se pideencontrar su velocidad en el Instante t = 8 s, sidurante ese tiempo experimentó una fuerzavariableparalela al eje x y que viene dada porel gráfic.?adjunto Fuerza - vs - Tiem~.A) - 10 I (mis) D) + 22 ¡(mis)

- -B) + 12 I (mis) E) - 52 i (mis)C) - 14 I (mis)

Resolución.-

Despreciando el impulso inicial que permitió lainclinación de la barra, diremos que ésta no expe-rimentafuerzas externas en el eje horizontal (x); por tanto, elCentro de Masa (C.M) de la barra inicialmente estaba enreposo en dicho eje: v =0, y conservará dicho estado envirtud al Principio d; Conservación de la Cantidad deMovimiento establecido para un sistema de partículas.Así:

Si: Rx = LF" = O ~ Px = constante = M,vCM

Pero: vCM = Vx ~ vCM = O ~ XCM = constante' RPTA. D

F(N)10 -------------

t(s)

6

O 4 8

F(N)

¡,,

10!:

6t(s)

4o (8)

RPTA.D

.G

p Q R TsUNI88

T

Uso

p


Observación.- En el eje vertical (y) la barra experimenta fuerzas externas: Peso y Normal, que por no estarequilibradas producen una resultante Ry que impulsa la barra hacia abajo. Luego, en dicho eje el Centrode Masa experimenta un movimiento acelerado.

Probo 5.- Unhombre y un muchacho que pesan 800 N Y400 N respectivamente, están sobre unpiso sinrozamiento. Sidespués de que se empujan uno al otro, el hombre se a/~a conuna velocidad de 0,5 mis respecto al piso, ¿Qué cñstcmctoto: separa despues de 5segundos?A) 7,5 m B) 9 m C) 6 m D) 10,5 m E) N.A.

Resolución.-

El sistema formado por el hombre y el muchacho constituyen un sistema aislado, dado que sobre ellos nohay fuerzas externas que produzcan impulso neto, pues solo están sujetos a fuerzas internas. Luego, aplicandoel Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento, tendremos:

(Phombre + Pmuchacho)antes = ( Pbornbre + Prnuchacho)dcSPUéS ~1M (O) + m (O) = M (- vH) + mVrn => vm = (M/m) vH H - ~ 111

.r: ANTESdonde: M = 80 kg, m = 40 kg Y vH = 0,5 mis. Luego: I'h .• '.' .........•..... ....." ~ v

vrn = (!~)0,5 => vrn = 1 mis =:}--~:;;_''';~'''':''~+~iSÓ''::¡~- i -- ..

A continuación calcularemos la distancia que los separa " "~- : - = DES/'U ESal cabo det = 5 s, utilizando para ello el esquema adjunto ,'!l'_.,t.c, ..~.', :~' .• ' .. f.-, ... ~.• ,"". ri:..,T.J",,",.. '''.. =~~'"""'"",..,.."*~~~y la relación (4.1) para los espacios recorridos: t-- el! •.•-===__ ---"d = eH + ern = (vH + vm) t = (0,5 + 1) 5 => d = 7,5 m RPTA.A

Probo 6.- Un hombre de 60 kg que vtojo de pie sobre una plataforma de 240 kg avanzan enlínea recta y horizontal a rozan de 20 mis. Siel hombre empieza a correr respecto dela plataforma y en el mismo sentido de su movimIento a razón de 5 mis, ¿Cuál será lavelocidad de la plataforma durante el evento? Despreciar el rozamiento de laplataforma con el piso.

A) 19 mis B) 18 mis C) 15 mis D) 12 mis E) 10 mis

Resolución.-

Dado que el sistema conserva su cantidad demovimiento, diremos que la velocidad que tienela plataforma durante el evento es vp' Luego, elhombre respecto del piso tendrá una velocidadvp+u. Ahora, utilizando la relación (12.9) ten-dremos:

Pantes = Pdespué s => (M +m)v = M vp +m (vp +u)

y reemplazando datos:

(240 + 60) 20 = 240 vp + 60 (vp + 5)

vp= 15m!s RPTAC

240 Física-Primer Nivel Fé/lxAucallanchi V.

Probo 7.- Marlon y Rocío se lanzan al agua simultáneamente desde una balsa. Losmódulos desus velocidades respectivas son iguales a 6 mis y 5 mis. y sus masas son 75 kg Y 52 kgrespectivamente. ¿Con qué velocidad se moverá la balsa, si la joven lo hace hacia elNorte y el joven hacia el Sur? Masa de la balsa = 95 kg.

A) 2 mis: hacia el Sur B) 1 mis: hacia el Norte C] O mis: no se mueveO) 1 mis: hacia el Sur E)2 mis: hacia el Norte

Resolución.-

Considerando despreciable la fuerza de rozamiento de la balsa con el agua, diremos que el sistema compuestopor la balsa y los jóvenes experimentan una fuerza resultante nula (el peso del sistema se equilibra con elempuje del agua). Luego, podemos decir que éste es un sistema aislado, y por consiguiente conserva su can-tidad de movimiento. Asimismo, podemos reco-nocer que antes del lanzamiento de los jóvenes elsistema estaba en reposo (v = O); luego, aplicandoel Principio de Conservación de la Cantidad deMovimiento dado por la relación (12.9), tendre-mos:

M I!RSUR~-_. -

NOHTE

=:) O=mM vM +mB

vB

+mR

vR

y escribiendo escalarmente la ecuación obtenidatendríamos:

75 (6) - 52 (5)95 RPTA.E

Probo 8.- Una partícula de masa m es lanzada verticalmente hacia abajo desde una altura hcon una velocidad Inicial v. Sico/lslona elásticamente con una mesa de altura c < hpuesta sobre el piso. ¿Cuál es el módulo de su velocidad, justo después que rebota?

A)vclh B)v C] J2g(h-C) O) J2ghc E) J2g(h-c)+v2 UNI94-2

Resolución.-

RPTA.E

-----l-r.(h-c) :

h t~;~'=te-+-

~g

La partícula llega a la mesa luego de caer libremente laaltura (h - e); luego, la velocidad con que incide sobre lamesa estará dada por la relación (5.2):

vi = v2 + 2 g (h - e) =:) Vi = Jrv-2-+-2-g-(-h-:"'-c-)

y por tratarse de un choque elástico (e = 1) Y frontal, severificará que la velocidad de rebote (vr) será:


lfB COLISIONESLlamamos así a aquellos fenómenos de corta duración, y que se

producen cada vez que dos cuerpos con movimiento relativo interactúanpor contacto, generándose entre ellos fuerzas impulsivas variables ymuy intensas, las mismas que originan deformaciones y aceleracionesmuy grandes, lo cual produce variaciones considerables en la veloci-dad de los cuerpos. A pesar de ello, y por lo visto hasta aquí, las fuerzasimpulsivas son fuerzas internas, y por consiguiente la cantidad de movi-miento total de los cuerpos es la misma antes y después de la colisión.Según la dirección de los movimientos, las colisiones pueden ser:

A) Colisiones directas.- Se les conoce también como choques frontaleso en una dimensión, y son aquellos en donde los cuerpos se muevensobre una misma recta antes y después del choque (Fig. 12.5a).

B) Colisiones oblicuas» También se les conoce como choques oblicuos. o en dos dimensiones, y se caracterizan porque los cuerpos se mueven

en direcciones o rectas distintas antes y después del choque (Fig.12.5b).

Ant~* !~.

~

Pv

IPn= Pn I

b

Des~~ ~

a)

11II COEFICIENTE DE RESTITUCION (e)Se le denomina también coeficiente de percusión, y viene a ser

un número adimensional propuesto por Isaac Newton para poder rela-cionar las velocidades relativas de dos cuerpos antes y después de cho-car. Así, el coeficiente de restitución es la razón entre estas velocidades,de manera que: v-=- {0 i/21

~ --c;-e Velocidad relativa de alejamiento W ~ Antes

Velocidad relativa de acercamiento crEv

1 (2V2f -vu Dura,·te

e= (12.13)v1i -v2IVII

Después WEn general se verifica que:

O:S;e:S;l Fig 12.6

DEBES SABER QUE:

Cuando un bate golpeeuna pelota de beisbol, cadeuno recibe del otro unefuerza variable, de cortoduración, y que puedetomar valores considerable·mente grandes.

FUERZA MEDIA

La fuerza media que seproduce durante una coli-sión se define como la fuer-za constante que actuandodurante el mismo tiempoque empleó el contacto,produciría el mismo Im-pulso.

Fuerza-- ImpulsivoF

F -- -- -:---+--+---,

o

(*) Lasáreas bajo las dos cur-vas deben ser iguales.

FUERZAS IMPULSIVAS

Se les denomina tambiénfuerzas impulsaras, y son lasque se producen duranteuna colisión o explosión. Suduración es muy breve, y susvalores son relativamentegrandes.


¿COMO MEDIR e?

Un procedimiento experi-mental y sencillo para medirel coeficiente de restitución(e) entre dos cuerpos demateriales A y 8 consiste enaplicar /0 siguiente re/ación.

Félix Aucallanchi V.

11&1 TIPOS DE COLISIONESEl valor de e está íntimamente vinculado con la pérdida de energía

cinética Así entonces, las colisiones según el valor de e pueden clasificarse en:a) Colisiones elásticas.- Son aquellas en donde los cuerpos luego de la

colisión conservan la misma energía cinética. Asimismo, la deforma-ción experimentada por los cuerpos durante el choque solo es tempo-ral, observándose que cada uno recupera su forma original terminadala colisión. Además se verifica que:

le=1}b)Colisiones inelásticas.- En estos choques los cuerpos presentan de-

formaciones luego de su separación. Esto es una consecuencia deltrabajo realizado por las fuerzas impulsivas, lo que conduce a unadisminución de la energía cinética total de los cuerpos. Además seobservará que:

10<e<11c)Colisiones completamente inelásticas.- Se les llama también choques

plásticos, y se caracterizan porque los cuerpos durante la colisiónreciben un trabajo por parte de las fuerzas internas que los obliga amantenerse unidos y continuar su movimiento en esa forma. Estonos sugiere que la energía cinética total de los cuerpos es menor des-pués del choque, y ello debido a una fuga de energía bajo la formade calor. Asimismo, se comprueba que:

I e=O 11111!1 LEY DE REFLEXION EN LAS COLISIONES

Durante una colisión oblicua de un cuerpo con la superficie deotro de mayor masa, como por ejemplo una pared o el piso de unahabitación, se verifica que las direcciones del movimiento cambiandependiendo de dos factores:

1) Del coeficiente de rozamien-to entre las superficies encontacto (1-1).

2) Del coeficiente de restituciónexistente entre los cuerpos(e).

Así pues, puede probarse quelos ángulos de incidencia (Li)y de reflexión (Lr) están rela-cionados así:

Lev, - Velocidad InIciIJIv, - Yelocldad de Rebote

(*) Esta relación es válida: 'V i> O°. Si i = 0° => r = 0°

Fig 12.7


IllllVELOCIDAD DE REBOTEUtilizando el ejemplo general mostrado en la Fig. 12.7, podemos

determinar el módulo de la velocidad con que rebota la pelota a partirde datos específicos, por 10 cual se presentan los siguientes casos:

a) Dados los valores de 11y e, los ángulos de incidencia (l) y de reflexión(r), y la velocidad de incidencia (vi)' se tendrá que la velocidad derebote (vr) es:

b) Si el piso es liso (11 = O) Yson conocidos el ángulo i, y el coeficientee, se tiene que:

e) Si las superficies son lisas (11 = O) Y el choque es elástico (e=I), lavelocidad de rebote no depende del ángulo i :

l"r=V¡d) Si el ángulo de incidencia es i= 00

, la pelota choca frontalmente conel piso, entonces, independientemente de la aspereza relativa (11) delos cuerpos se cumplirá que:

•REFORMUlACION DE LAS LEYESDENEWfON

Sir Isaac Newton, en su obra cumbre: «Principios Matemáticosde la Filosofía Natural», postuló entre otras cosas, sus tres leyes de laMecánica, las cuales se han presentado en los capítulos 7 y 9. Sin em-bargo, la esencia de los mismos en su forma original estuvieron susten-tadas en los conceptos de Impulso y Cantidad de Movimiento vistosrecién aquí; de este modo estas leyes se enunciarían así:llí1) Ley de la Inercia.- «Si sobre un cuerpo no actúa ningún impulso

externo, dicho cuerpo conservará su cantidad de movimiento».Si J = O => P = constante

2¡!¡¡)Ley de la Fuerza.- «El ritmo de cambio de la cantidad de movi-miento de un cuerpo es igual a la fuerza neta aplicada, y tienelugar en la mi-sma dirección».

·li = !!.p ; ó : li = Mmv)Al Al

3m)Ley de la Acción y la Reacción- «Los impulsos que experimentan doscuerpos que interactúan entre sí producen en ellos la misma variaciónen su cantidad de movimiento, pero en direcciones opuestas».

- -J acción = - J reacción

ATENCiÓN

Durante un choque como elmostrado en la Flg. 12.7, severificará que la Normal, laRecta de incIdencIa y laRecta de reflexión, seencuentran ubIcados en unmIsmo plano el cual será asu vez perpendicular a lasuperficIe de reflexIón.

244 Física-Primer Nivel Féllx Aucal/anchi V.

PROBLEMAS RESUELTOS (ZN PARTE)

Probo 9.- Una pelota cae vertIcalmente al piso, y al rebotar en él se observa que solo se elevahasta la mitad de la altura inicial. SI la velocidad justo antes del choque es de 20 rnts.¿Cuál es la velocidad después del Impacto?

_ A] 12,1 rnls 8] 13,1 mts C] 14,1 rtüs O] 15,1 mts E] N.A. UNFV 91

Resolución.-

De acuerdo con los datos se tiene que las alturas inicial (h.) y final (hf) logradas por la pelota son tales que:h, = h(2. Luego, el coeficiente de restitución entre la pelota y el piso estará dada por la relación experimental:

e = {h; = Jh¡12V-';; h¡

J2e=-2

Seguidamente calcularemos la velocidad del rebote (vr), reconociendo que la velocidad de incidencia es v. =20 mis y que el choque es frontal, luego por la relacion dada en el item 12.11 para estos casos, tendremos:

=> vr - 14,1 mis RPTA.C

Probo 10.- La figura muestra la colisión de losbloques 1 y 2. Entonces, el coefi-ciente de restitución entre losbloques es:

20mls---<:>- FO

12m/s 16m1s---<:>- ---{:::>

A] 0,1

0]0.4

8]0,2

E] 0,5

C]O,3

UNI94-2

1 2 1

Resolución.-

Aplicando directamente la relación (12.13) para el cálculo del coeficiente de restitución (e) tendremos:

V2! - vlf (16m/s) - (12m/s)e= =

(20m/s) - (Om/s)e =0,2 RPTA.B

Probo 11.- Dosmasas m y 2m se desplazan con movimiento uniforme sobre una misma recta, coll-. '.~ .sIonando elásticamente. SIpara la masa 2m la velocidad final esel doble de la inicial, la

relación (velocidad finaljl{ve/ocidad inic/alj para la masa m en valor absoluto es:

A] 1/5 8] 112 C] 1 O]2 E]4 UNI94-1

Resolución.-

Sean mi =.m y m2 = 2 m las masas de los bloques; asimismo, sean Vii' vIP v i = V Y v2f = 2v sus velocidadesinicial y final respecti vamente para cada bloque. Ahora, utilizando primero ¡a relación (12.13) para el coefi-ciente de restitución (e = 1), y luego el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento, tenemos:


=> v¡i+V¡f=3v ..... (I)

b) m¡vli + m2v2i = m¡vlf + m2v2f

=> mV¡i + 2 m.v = m,vlf + 2 m.2 v

=> v¡i-vlf=2v (2)

y resolviendo (1) y (2) obtenemos: vii = % v y v¡! = ~ RPTA.A

Probo 12.- Dos cuerpos Inelástlcos tienen uno masa total de 12 kg, moviéndose en sentidosopuestos con velocidades de 4 mIs y -6 rtüs. Colislonon y adquieren uno velocidadcomún de + 114rrüs. ¿Enqué relación están los masas de los cuerpos?A) 614 B)513 C) 813 O) 615 E)514 UNI 83 - 1

Resolución>

Utilizando directamente la relación (12.10) para el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento,y siendo el choque completamente inelástico (los cuerpos quedan unidos), tendremos que:

m¡lI¡ +~v2 = (m¡ +~) v => m¡ (+4)+~(- 6)= (m¡ +~) (+¡)

mI _.!mz - 315m¡ = 25~ RPTA.B

Prob. 13.- Uno bolo de masa m se disparo contra un bloque de masa Mcomo se muestro enlo figuro. Despuésde lo colisión el centro de masas del conjunto (m + M) se desplazohasta uno altura h. Encuentro lo velocidad de lo bolo en función de m, My h.

A) m+M J2 ghm

O) m+M JQiim

E) M J2 ghm

C) J2~gh UNI89 IIResolucién>

Averigüemos primero la velocidad v· que adquieren el bloque y la bala juntos inmediatamente después delim-pacto de ésta sobre aquella, para lo cual utilizaremos la Conservación de la Energía Mecánica, dado queel sistema no experimenta trabajo por parte de las fuerzas externas no conservati vas (por ejemplo, la tensiónen las cuerdas). Luego:

E~ = E;' => t(m+ M) v; = (m+ M) gh


~ Vi = Jz gh ..... (1)

y ahora, emplearemos el Principio de Conservación de laCantidad de Movimiento para el momento del impacto de labala contra el bloque:

(Pbala + Pbloque ) antes = (Pbala + Pbloque) despué s

~ mv+M(O)=(m+M)v¡ (2)

Reemplazando (1) en (2) y depejando la velocidad de la bala(v), tendremos:

RPTA.A

Probo 14.- Sabiendo que el sistemaporte del reposo¿Conqué velocidad abandona elbloquea la rampa que es curva? No hayrozamiento y además: h= 5 metros,M = 9m y g = 10mfs2.A) 8 mis D) 9 mis

B) 18 mis E)4 misC) 16 mis

FélixAucallanchi V.

(M+ m)

r m

h

Resolución.-

En primer lugar debemos reconocer que por la ausencia de una fuerza resultante externa, el sistema constituídopor el bloque y la rampa conserva la cantidad de movimiento, tal que su velocidad vr estará dada así:

M (?) + m (O) = M ( - vr) + mvm

~ vr = M v ..... (1)

Asimismo. notamos que el sistema no experimentatrabajo por parte de fuerzas no conservati vas, por con-siguiente la energía potencial gravitatoria se convierteen energía cinética de la rampa y del bloque mismo.Así pues:

l 2 l 2mgh = -mv +- Mv (2)2 2 r

Reemplazando (1) en (2) y despejando v, tendremos:

v=(~)J2ihM+m~ V = 9 mis RPTA.D


1.- Se tienen tres cuerpos moviéndose en línearecta, de manera que:

A: mA = 6 kg, vA = 5 mis

B: mB = 3 kg, vB = 9 mis

C: me = 12 kg; ve = 2,5 mis

Entonces, el cuerpo que menos se resiste a cambiarla dirección de su movimiento es:

A) A C)C D)AyB E) AyCB)B

2.- Usted debe recibir entre sus manos una bibliade 1 kg soltada desde 2 m de altura. Entonces, paraque el impacto le produzca el menor dolor, el contac-to con ella.deberá ser: (elija un valor)

A)lO-ls B)lO-4s C)2.1O-2s D) 10-2 s E) 10-3 S

3.- Una persona está parada sobre una balanza yésta da una lectura L. Luego la persona toma un im-pulso hacia arriba y salta. Entonces:

( ) L no cambia de valor.

) L primero aumenta y luego se anula.

) L disminuye de valor durante el impulso.

Señalar verdadero (V) o falso (F):

A) FyV B) VFV C) FVF D) FFV E) FFF

4.- Un hombre aplica con sus manos una fuerzaneta de 200 N sobre una pared durante 0,45 s. Luego,el impulso recibido por la pared es en N.s:

A)9 B)90 C) 900 E) OD)45

5.- ¿Por qué un buen futbolista obtiene la máximavelocidad y recorrido con un tiro suave?

A) Por una menor fuerza.

B) Por una mayor fuerza.

C) Por un mayor tiempo de contacto.

D) Por un menor tiempo de contacto.

E) Por un menor impulso.

6.- Suponga que usted está en el centro de un lagohelado. Entonces, para salir de él:

1. Camina hacia afuera.n. Se dá volantines en el piso.III. Se saca el abrigo y lo lanza hacia adelante.

Indique lo incorrecto:

A) I Y III B) n y III C) 11I D) 1 Y n E) Todas

7.- Complete correctamente la siguiente oración:«Un cuerpo puede poseer y no necesa-riamente »,

A~ Velocidad; energía.B) Energía; cantidad de movimiento.C) Aceleración; impulso.D) Cantidad de movimiento; energía.E) Masa; energía.

8.- Si las esferas mostradas son idénticas y elás-ticas, después del choque las bolas que se moveránson:

A) D,E

B) C, D, EC) B,C,D,E

D) E

E) Faltan datos

9.- En la figura se muestran dos bolas de billar. Si"B" está en reposo, ¿qué gráfico indica mejor lastrayectorias antes y después del choque elástico?

D)

~ E~

248 Física-Primer Nivel Félix Auco/lonchi V.

PROBLEMAS PRO'UESTOS

NIVEL!

01.- Una fuerza de 20N actúa sobre un cuerpo durante0,5 segundos. Luego, el cambio (en kg.mls) queproduce en la cantidad de movimiento de aquelserá .

B)9 C) 10A) II O) 12 E)20

02.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamentecon una velocidad IV 11 = 4 mis. Si luego su velocidadse convierte en 1v,l = 3 mis, ¿Cuál es el impulso(en Ns) que recibiÓ si : VI tt v 2

A)-6 B)12 C)6 0)18 E)-20

03.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamentecon una velocidad Iv 11 = 4 mis. Si luego su velocidadse convierte en Iv 21 = 3 mis, ¿Cuál es el impulso(en Ns) que recibió si : V 1 .1 v 2

A) 15 B) 30 C) 24 O) 18 E) 36

04.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamentecon una velocidad Iv 11 = 4//1ls. Si luego su velocidadse convierte en Iv 21 = 3 mis, ¿Cuál es el impulso(en Ns) que recibió si : VI t.L v 2

A) 40 B) -36 C) -18 0)36 E)-42

05.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamentecon una velocidad Iv 11 = 4//115. Si luego su velocidadse convierte en Iv ,1= 3 mis, ¿Cuál es el impulso(en Ns) que recibió si : V 1 Y v 2 forman 60°

A) 2m B) 6 C) Ji O) 6Ji3 E) 4

06.- Si un sistema físico experimenta una fuerzaexterna F que varía con el tiempo según como semuestra en la figura, hallar el impulso (en Ns) querecibe el sistema entre I = Os y I = 105.

A)6

B) 1811:

C) 611:0)36

E) 36 rt

F~N)6 -------

t (s)O 12 ~

07.- Dado el siguiente sistema de partículas de masasiguales (m = 2 kg), se pide encontrar para el instantemostrado:A) La cantidad de movimiento total. (en kg. mis)

B) La velocidad del centro de masa. (en mis)

8 mis 5 mis'

(r------- ··15A) 1;3 B)2;3 C) 3;2 O) 6; l,5 E) 26; 1

08.- Dado el siguiente sistema de partículas de ma-sas iguales (m = 2 kg), se pide encontrar para elinstante mostrado:A) La cantidad de movimiento total. (en kg. mis)B) La velocidad del centro de masa. (en mis)

A) 5;10

B) 14;4

C) 12;3

O) 3;7

E) 4;17

...~. 10m/s

/~ 37°~ ......• ,e .

8m1s

09.- Calcular el coeficiente de restitución (e) en lasiguiente colisión:

6 mis 2 mis 3 mis 5 mis"'--C:> -<J.---J"< -<:--'" "'--C:>

(i) (2) (i) (2)Antes Después

A)0,5 B) I C)O,4 O) 0,2 E) 0,8

10.- Si el piso es liso, hallare en el choque mostrado.

A) 1/2

B) 6/11

C)4/9

O) 5/8

E) 9/16

11.- Si el rebote es elástico, hallar el coeficiente derozamiento (J-1) en el siguiente choque.

A) 1/2 ~"cbB) /3/2 1i¡11

C) /3 /4 -, i, ., I

O) 1/4 30° ;,,6E) 2/3

NIVEL 2

12.- Para detener a un cuerpo es necesario aplicarleun impuso de 300 N.s. Si solo se dispone de unafuerza de 1,5 N, ¿Durante qué tiempo será necesarioaplicar la fuerza para conseguir dicho propósito?

A) 200 s B) 250 s C) 100 s O) 150 s E) 300s

13.- Un balón de futbol de 0,5 kg se lanza con unavelocidad de 20 II1ls. Un guardavallas desea retenerlopero sin sentir mucho dolor, para lo cual lo "embolsa"retrocediendo un par de pasos. Si el proceso duraü.c s,¿Qué fuerza media recibió el guardavallas?

A) 20 N B) 25 N C) ION O) 35 N E) 30 N

14.- Un cuerpo de 6 kg es afectado por una fuerzaconstante durante 10 s, tal que al final de la apli-cación adquiere una velocidad de 20 mis. ¿Qué valorposee dicha fuerza?

A) II N B) 13N C) ION O) 12N E)N.A

15.- Una bola atada a una cuerda gira con M.C.U.,siendo su velocidad tanaencial de 4TlIls. Si su masa esde 2 kg, ¿Qué impulso ~'ecibe por parte de la cuerdaal pasar de A hasta B?

A) 2.16 N.s

B) 3 2 N.s

C)2J3N.s

O) 5 2 N.s

E) 8J2 N.s

B

16.- Sabiendo que el choque es inelásticos con e = 0,6Y las bolas son idénticas, ¿Qué velocidad presenta labola 2 después del choque? No hay rozamiento.

A) 5,2mls (-7)

B) 6,2mls (~)

C) 6,41111s(-7)

O) 7,4l11ls (~)

o Reposo

E) N.A

17.- Sabiendo que las masas de la pluma y el bloqueson iguales y que ellos quedan adheridos despuésde la colisión, ¿Cuál es la velocidad final del sistema?

A) 8 mis

B) 12 mls

C) 41111s

O) 14 II1ls

E) 6 mis


18.- Dos bolas chocan de modo que luego del impactov = 4 mis y v., = 6 mis, siendo r», = 5 kg YmJ = 4 kg.J:uál es la medida del ángulo 8, si las trayectoriasson las indicadas?

A) 35°

B) 36°

C) 37°

O) 38°

E) 39°

19.- Una bola golpea a otra que se encontrabainicialmente en reposo, de modo que cada una sesepara con velocidades de 3m!~ y 5 mis y de maneraque sus direcciones forman 60°. ¿Cuál es el valor devo? Las masas de las bolas son iguales.

\\\11

A) 51/11s

B) 4mls

C) 6mls

O) 71111s

20.- Dos coches' de igual masa se desplazan convelocidades VI = 12mls y VJ = 16mls por rectas quese cortan perpendicularmen-te. Si ellos colisionan demodo que quedan unidos. ¿Qué ángulo El forma ladirección de su movimiento con el eje y después delchoque?

E) N.A

A) 35°

B) 37°

C)36°

0)38°

E) 39°

Yl "VI le /

\L-...c> ~/,/

-- -----.i-'-----------: x

v,jé

250

NNEL3

Fisica-Primer nivel

21.- La figura muestra tres partículas de masas iguales(1 kg) sobre las que actúan las fuerzas indicadas:I~I= 15 N, I~I= 3 N, I~I= 6 N. Lucgo,la acele-ración del centro de masa es: (en m/s2)

A)(3; J2)B)(2;1)

C) (1 ; 2)

0)(2; 2)

E) (6; 3)

y

x

22.- Una granada se desplaza horizontalmente a razónde 10 II//s, y explota según como se indica. Si elfragmento central se mueve a razón de 18/11/s, ¿Quévelocidad en /II/s posee el fragmento inferior?

y: ¿I m:3~ : /

_~: ~~~1!°__~2_~ :'~600 ~mI',

i '0.:::/3~ '\

23.- Una granada estalla en el aire dividiéndose endos fragmentos de masasm, y 1/12 (1/1, = 31/1,). Ambosson disparados verticalmente con velocidades vI yv, el primero hacia arriba y el segundo hacia abajo.La aceleración del centro de masa luego de la explosiónserá:

A) 10

B) 8

C) 12

O) 16

E) N.A.

A) g/3 B) g/S C) 4g/5 O) 2g/5 E)g

24.- Un proyectíl es disparado y tiene una trayectoriaparabólica. Al llegar al punto más alto B de sutrayectoria, el proyectil se parte en dos fragmentosidénticos. Uno de ellos, "el primero", por efecto dela explosión retorna a la posición inicial cuya trayec-toria coincide con la de ida. Entonces, el "segundo"cae en C cuya abscisa es: .

Félix Aucallanchí V.

25.- Un carro de masa M = 500 kg va con unavelocidad v = 15 I/I/S. ¿Con qué velocidad v· en m/sdebe dispararse en el mismo sentido a una masam = 50 kg para que el carro retroceda en la mismarecta y con la misma rapidez inicial? (No hay fricción ytodas las velocidades se miden respecto de la Tierra).

A)150 ~

B) 205

C) 580

0)250

E) 315

M

26.- Si e = 0,5, determinar el número de impactos yla velocidad al cabo de 5 segundos (El tiempo setoma a partir del primer impacto) J.l = O.

B) 2 ; 4 m/s 16m/sC) 3 ; 2/11/s ~

el0)4;1/11/5

t +-8mE) 5 ; 0,5 m/s

27.- En la figura, las masas están en reposo y elchoque es elástico. Si no hay rozamiento, ¿Cuál es laaltura h que alcanza el bloque M? (M = 3 m).

t 1t ~·__M~--~----l

28.- Si en el problema anterior el choque fueracompletamente inelástico, ¿Qué alturah alcanzaránlos bloques juntos?

A) 2 a y !gB) 4a B A)H/2 O) 4H/5

.. .. , B) HII6 E) 2 H/3C) 3 a .- ,<,

/ -,/ -, -,

D) 5 a I -, C) H/4I ,\ x,.,

E) N.A. A Q---4 C

A) 1 ; 8 /II/S

A)H

B) 3 H/8

C) 3 H/4

0)H/4

E) H/3

83048917...

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