INSTITUCIN EDUCATIVA MUNICIPAL JUAN XXIIILA ORGANIZACIN DEL CONOCIMIENTO Y LA AUTONOMA : UN ESTILO DE VIDAGRADO: DCIMO

Gua de taller No. _________ Asignatura________________________ Grado______________________

Nombre_______________________________________ Fecha________________ Semana No. _______

Orientado por______________________________________Tema: TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO

OBJETIVOS:

. Identificar la ley del seno y el coseno.

. Determinar los lados y ngulos de un tringulo oblicungulo utilizando el teorema del seno ye coseno, segn corresponda.

. Hallar e identificar la ley del seno o el coseno, mediante ejercicios grficos.

JUSTIFICACIN.

Con la presente gua aprenderemos a hallar los lados y ngulos faltantes de cualquier tringulo mediante la ley del seno o el coseno, ya que son base fundamental para el desarrollo de ejercicios trigonomtricos. Adems porque nos ayuda a desarrollar destrezas en cuanto al manejo de escuadras para la elaboracin de grficas.RECURSOS: Escuadras, lpices de color, cuaderno, lpiz, calculadora y borrador.

CONCEPTOS:

Teorema del seno

Dado un tringulo cualquiera, trazamos una altura h que dividir el tringulo en dos tringulos rectngulos, en ca da uno de ellos se tiene que:h=bsenAh=asenBIgualando bsenA = asenBRazonando igual con los ngulos B y C, se tiene que bsenC=csenBEn el caso de que el tringulo sea obtusngulo, queda una altura fuera del tringulo y se llega a la misma conclusin.h=b.senCh=csen(180-B) => h=csenB (al ser B y 180-B suplementarios)

En virtud de los expuesto anteriormente y reordenando las igualdades se tiene que la razn entre cada lado y el seno del ngulo opuesto es constante, a esta igualdad se la conoce como el teorema del seno

Teorema del coseno

Dado un tringulo cualquiera, trazamos una altura h que dividir el tringulo en dos tringulos rectngulos.Si aplicamos el teorema de Pitgoras a cada tringulo rectngulo se tieneb 2 = h 2 + x 2, por tanto h 2 = b 2 - x 2a 2 = h 2 + (c - x) 2, por tanto h 2 = a 2 -(c - x) 2 Igualando el valor de h 2 b 2 - x 2 = a 2 -(c - x) 2Si en la ecuacin anterior despejamos a 2 queda a 2 = b 2 + c 2 - 2cxPor otro lado, tomando el tringulo rectngulo de la izquierda se cumple que x =bCosA Sustituyendo se llega a la igualdad que se conoce como Teorema del Coseno.

Esta igualdad es independiente del lado que se tome.

Gracias al teorema del coseno se puede resolver un tringulo cualquiera conocidos dos lados y el ngulo que lo forman.Tambin se puede resolver un tringulo del que se conozcan los tres lados, sin ms que despejar el coseno del ngulo que se quiera

ACTIVIDAD1. Con base en las definiciones anteriores resuelva el tringulo MNO tal que:

M= 50 O= 68 n= 7cm

PROBLEMAS:

Tenemos una nave espacial que se queda sin combustible para poder regresar a su planetas .Sabemos que las 2 estaciones mas cercanas se encuentras, 1 en la luna y otra en la tierra. La nave espacial sabe que su distancia hacia el punto mas lejano de la tierra es de 500000 Km. y k de ese punto a la estacin de bencina de la luna hay 385000 Km.,. Si tiramos una altura que represente la distancia de la estacin de la Luna a la de la tierra que coincide con el otro extremo de ella, considerando que el dimetro de esta es de 12700km y aplicando el Teorema del seno o del coseno, A cual lugar le conviene llegar primero? Podramos el Teorema del seno para sacar el Angulo alfa si es que conociramos todos los lados.

El Teorema del seno dice as:

Para usarlo p rimeros sacamos el otro lado a la antigua ( usando Pitgoras en el pequeo triangulo que formamos para poder sacar el valor de A ) lo que nos quedara de esta forma:

Ahora si podemos usar el teorema lo que nos queda de la siguiente manera:

Si quisiramos sacar los otros ngulos perfectamente lo podemos hacer por la ley del seno que dice:

R/

Por lo que podemos observar en el dibujo anterior es mucho ms factible que la nave espacial se dirija hacia la tierra, obviamente ya que esta mas cerca la estacin de gasolina y seria un desperdicio pegarse el pique de 120906 Km. PATRA ir a cargar combustible a la luna.

TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO

TEOREMA DEL SENO

1. Sea ABC un tringulo rectngulo en A. Si el segmento AB mide 20 cm. y el ngulo , opuesto a ese lado, mide 42. Calcula:

a) el lado AC

b) el lado BC

c) el ngulo

2. Si ABC es un tringulo rectngulo en A y los segmentos AB y AC miden 2 m. y 4 m., respectivamente. Calcula:

a) el lado BC

b) el ngulo ABC

c) el ngulo ACB

3. Si MNO es un tringulo rectngulo en M y los lados NO y MO miden 8 m. y 6 m., respectivamente. Calcula:

a) el lado MN

b) el ngulo MNO

c) el ngulo MON

4. La sombra que proyecta un rbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. Cul es la medida del ngulo que hace la horizontal con la lnea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del rbol?

5.Un avin sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ngulo constante de 10 hasta que logra una altura de 6 km. Determina a qu distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.

6. Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que est situada a 8 metros del suelo y observa el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ngulo de elevacin de 35 y la parte inferior, con un ngulo de depresin de 43. Determina la altura del edificio de enfrente.

TEOREMA DEL COSENO

1. En los siguientes ejercicios: a, b, y c son las medidas de los lados de un tringulo, mientras que a, b, g son las medidas de los ngulos opuestos a esos lados, respectivamente. Resuelve el tringulo en cada caso:

a) a = 10 cm. b= 12 cm. = 35

b) a = 7 m. b = 6 m. c = 4 m.

c) c = 10 cm. = 40 = 70

d) a = 12 cm. b = 16 cm = 43

e) = 53 = 75 c = 30,5 cm.

f) = 48 = 68 c = 47,2 mm.

2. Dos lados adyacentes de un paralelogramo se cortan en un ngulo de 36 y tienen longitudes de 3 y 8 cm. Determina la longitud de la diagonal menor.

3. Dos trenes parten simultneamente de una estacin en direccin tal que forman un ngulo de 35. Uno va a 15 km/hr y el otro a 25 km/hr. Determina a qu distancia se encuentran separados despus de dos horas de viaje.

4. Determina las longitudes de las diagonales de un paralelogramo, conocidos los lados m y n, y el ngulo a entre ellos.