Teorema de Stokes

Cálculo IV (Ing)Prof. Antonio Syers

IntroducciónEl teorema de Stokes puede considerarse como una versión del teorema de Green para una dimensión más alta. El teorema de Stokes relaciona una integral de superficie sobre una superficie S con una integral de línea alrededor de la curva frontera de S ( que es una curva en el espacio ). La orientación de S induce la orientación positiva de la curva frontera C. Esto significa que si uno camina alrededor de C en sentido positivo entonces la superficie siempre estará a la izquierda de uno.

Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada y suave a segmentos, que está acotada por una curva frontera C suave a segmentos, cerrada y simple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en IR3 que contiene a S. Entonces la circulación del campo F alrededor de la frontera C, está dada por

SC

dS rotd nFrF

Ejemplo 1

Calcular donde C es la curva intersección de

Solución:De acuerdo con el teorema de Stokes ,

Calculemos el rotacional de F:

C

2 xzdzxydydxy

zy ,y2yx 22

SC

2 ndSrotFxzdzxydydxy

x

y

z

Curva C

y2yx 22

zy

Ejemplo 1

y,z,0

xzxyy

zyx

kji

F

2

y,z,0

xzxyy

zyx

kji

FF Rot

2

Tomando S como la parte del plano

z = y=g(x,y) acotada por C, entonces :

2

1,1,0

1gg

1,g,g

gg

n2y

2x

yx

0ndSrotFxzdzxydydxy

SC

2

02

yz

2

1,1,0y,z,0nrotF

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Calcular kjiFF xyzxy donde ,dr 33

C

y C es la curva de intersección de

4 ,y ,3 2222 yxxyz

orientado en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Curva C

x

z

y

22 xy3z

4y x 22

Solución.La curva intersección está en el plano z=1 . Si tomamos S como la parte del plano dentro de C, entonces

Calculemos el rotacional de F

Ejemplo 2

SC

33 ndSrotFxyzdzdyxdxy

22

33

y3x3,yz,xz

xyzxy

zyx

kji

FF Rot

Ejemplo 2

Tomando n = K, resulta

SC

33 ndSrotFxyzdzdyxdxy

S y,Dx

2222 dAyx3dSy3x3

2

0

2

0

2 24rdrdr3

Ejemplo 3

Calcular

y C es la frontera de la porción del plano 2x + y + z = 2, en el primer octante, recorrida en el sentido antihorario.

xzkxyjiF donde ,drFC

3 xz

Porción del plano

2x + y + z = 2

x

z

y

Curva C fomada por C1,C2,C3

C1

C2

C3

Podemos ver el plano 2x + y + z = 2, como la superficie z= f(x,y) = 2 – 2x –yLuego, fx = -2 , fy = -1. Así:

claro que

Por otra parte, el rotacional de F, está dado por:

6

1,1,2

1ff

1,f,f

2y

2x

yx

ff

n

dA 6dS

Ejemplo 3

yzx

xzxyxzzyx

kji

,3,0

3

FRot

F

Pero, como sobre el plano z = 2 – 2x – y, se tiene que:

y)6,3y7x (0,y ,y2x2 3-x 0,F de esta manera,

6476

1637

6

1 yxyyx nF

Ejemplo 3

Por lo tanto, utilizando el teorema de Stokes, tenemos

SC

dS rotdr nFF

1dydx 66y4x76

11

0

2x- 2

0

Ejemplo 3