REVISTA DE EPIE-UNPRG, VOL. 01, NO. 1, MARZO 2015 1

APLICACION DEL TEOREMA DE PARSEVALPARA SENALES

Est. Nunez Davila Edu, Estudiante VII EPIE, UNPRG

ResumenEn este proyecto se realizo un programa en MAT-LAB para poder demostrar el TEOREMA DE PARSEVAL DEUNA SEAL FRENTE A UN SISTEMA, para esto se recopiloinformaci on sobre SENALES Y SISTEMAS EN TELECOMU-NICACIONES.

El programa que se realizo cumple con las caractersticas queaprendimos de la informacion recopilada. Tener encuenta quese eligio el programa MATLAB por su facilidad en el manejode creacion de senales y por su facilidad de manejo de calculomatematico.

Palabras ClavesTEOREMA DE PARSEVAL, MATLAB, SIS-TEMAS Y SENALES

I. I NTRODUCCCION

DUrante el diseno de un sistema de comunicaciones oalguna parte del mismo, se debe enfrentar a dos clasesde impedimentos, por una parte se tiene los problemas tec-nologicos, refiriendose al hardware, la regulacion, el factorecononomico, etc. Y por el otro las limitaciones fsicas fun-damentales impuestas por el sistema que son elRuido y elAncho de Banda

Ruido : Impone una de las limitaciones debido a que elruido generado por el movimiento de los electrones esinevitable, como se menciono, dicho movimiento generacorrientes aleatorias y voltajes llamados ruido termico.El ruido relativo a una senal de informacion se mideen terminos de la relacion senal a ruido (S/N), dondepor lo general el ruido termico tiene un valor pequenocomparado con el valor de la relacion senal a ruido, lo quehace que ese ruido sea despreciable, sin embargo, un valorbajo de S/N degrada la fidelidad de la senal analogica yproduce errores en las comunicaciones digitales. El ruidotermico crea problemas en comunicaciones de largasdistancias debido a que la senal tiene perdidas de potenciay su nivel es comparable al del ruido.

Ancho de Banda: Para la senal de informacion el anchode banda hace referencia al barrido de frecuencias queocupa una senal, en terminos mas simples es la diferenciaentre las frecuencias maxima y minima contenidas en lainformacion.Para el canal de comunicaciones es la diferencia entrelas frecuencias maxima y minima que puede pasar porel.Este debe ser lo suficiente grande para que la informacionpase sin problemas.

Ancho de banda de la senal Ancho de banda del canal

Departamento de Ingenieria Electronica, UNPRG, Lambayeque,Peru

Ademas el ancho de banda para las senales y sistemaspuede utilizarse como medida de la velocidad delatransmision de la informacion. Por ejemplo cuando unasenal cambia rapidamente en funcion del tiempo, suscomponentes de frecuencia o espectro de frecuencia, seextienden sobre un amplio rango, entonces se dice que lasenal tiene un ancho de banda grande.Los sistemas electricos tienen elementos que almacenanenerga y este almacenamiento no puede cambiar in-stantaneamente en consecuencia los sistemas de comu-nicaciones tienen un ancho de banda finito que reduce lavelocidad de de sealizacion.En esta revista nos centraremos en el estudio del calculodel ancho de banda necesario para poder transmitir unaseal cuando es sometida a un sistema determinado (PASABAJO, PASA ALTO).

II. M ARCO TEORICO

EN la ingeniera de las comunicaciones, ademas de lasconocidas senales periodicas seno y coseno, se empleauna gran cantidad de formas de ondas periodicas para simularsenales fsicas, tales como senales rectangulares (relojes),diente de sierra, senales rectificadas, senales moduladas, etc.,que se puede representar en el dominio de la frecuencia.

Si una se alXT (t) es periodica y satisface ciertas condi-ciones, se puede representar en el dominio de la frecuenciamediante un numero infinito de componentes sinusoidalesrelacionadas armonicamente con la frecuencia fundamental. Laamplitud y la fase relativas de cada una de estas componentesestan especificadas en el desarrollo en serie de Fourier dexT (t).

La Serie Exponencial de Fourieres la siguiente:

XT (t) =

Cn ej2fot (1)

El coeficiente de FourierXn, llamado tambien EspectroComplejo de Fourier, viene dado por la expresion

XT (t) =1

T T

2

T

2

XT (t) ej2fotdt (2)

1) Teorema de Parseval:

< XT (t) >=1

T x=x=

|XT (t)|2dt =

i=

|Xn|2 (3)

Esta expresion se conoce con el nombre deTeorema deParseval y establece que la potencia promedio de una senal

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periodica se puede determinar en el dominio de la frecuenciaelevando al cuadrado y sumando las amplitudes de las lneasespectrales. La representacion Xn|2 vs nfo se conoce con elnombre deEspectro de Potencia deXT (t). La forma de esteespectro es igual a la mostrada en la fig. 1 con la diferenciade que las componentes estan elevadas al cuadrado.

El Teorema de Parseval permite calcular tanto la potenciatotal de una senal como la distribucion de esta potencia enlas distintas frecuencias. Observese que el teorema requieresolamente del conocimiento de la caracterstica de amplitud|Xn|; la fase no interviene.

La importancia del Teorema de Parseval en el analisis desenales y sistemas es que permite determinar la potencia dentrode una gama de frecuencias como, por ejemplo, cuando sequiere la potencia a la salida de un filtro dado.

En general, la potencia compuesta de n senales indepen-dientes es igual a la suma de las potencias individuales delas senales, siempre y cuando no coincidan las frecuencias dealgunas componentes. En este ultimo caso hay que tomar encuenta los factores de fase correspondientes, pues al sumarselas componentes puede ocurrir interferencia destructiva.

Fig. 1. Espectro de Amplitudes.

Marzo 2, 20152) Filtro Pasa Bajo:

H(nfo) =1

1 + jnfofc

(4)

En la ecuacion 4, podemos observar la funcion de Transfer-encia de un filtro pasa bajo evaluado solamente para multiplosde la frecuencia fundamentalfo.

Su grafica en|XT (t)| vs fn y en 6 Xt(T ) vs fn se puedenobservar en la fig. 2 y 3 respectivamente.

En la fig. 2 se puede apreciar que a la frecuencia de cortefcse obtiene una ganancia a3db esto es asi porque al evaluaren la ecuacion 4 a una frecuenciafc se obtiene el valor de1

2 lo cual si lo expresamos en decibelios 20*log(1

2)

obtendremos3db como senala la fig. 2 Se utiliza el mismoproceso para analizar la frecuencia de corte en la fase.

3) Filtro Pasa Alto:

H(nfo) =1

1 + fcjnfo

(5)

En la ecuacion 5, podemos observar la funcion de Transfer-encia de un filtro pasa aljo evaluado solamente para multiplosde la frecuencia fundamentalfo.

Su grafica en|XT (t)| vs fn y en 6 Xt(T ) vs fn se puedenobservar en la fig. 4 y 5 respectivamente.

Fig. 2. Magnitud

Fig. 3. Fase

III. E XPERIENCIA - MATLAB

A partir de ahora explicaremos paso a paso lo que hicimosen MATLAB, aplicando lasSeries de Fouriery Teorema deParseval.

4) Reconstruccion de la senal a partir del coeficiente Cn:La senal con la que hemos trabajado es la de la fig. 6, suecuacion es la siguiente:

t toT

(6)

En la experiencias realizada en Matlab vamos a llegar ala fig. 6 a partir de su coeficienteCn obtenido de la seriede fourier (ver ecuacion 1 y 2). Para obtener un resultadoadecuado en el programa MATLAB, creamos un vectores quealmanecera la cantidad de valores den (frecuencias de lasenal).

El resultado de la senal despues de aplicar la ecuacion 1 es:5) Transmitiendo la senal: Ahora que hemos obtenido la

senal con la ecuacion 2, procederemos a pasarla por un

Fig. 4. Magnitud

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Fig. 5. Fase

Fig. 6. Pulso Rectangular

sistema pasa bajo (ver ecuacion 4) y un sistema pasa alto(ver ecuacion5) y la reconstruiremos de la misma manera quehemos reconstruido la senal original (utilizando el coeficienteCn y la Serie de FOURIER)

Debemos de tener claro el concepto del comportamiento deuna senal frente a un determinado sistema (ver figura 8)

SISTEMA PASA BAJO : Hemos dado para el sistema pasabajo una frecuencia de corte igual a 4 veces la frecuenciafundamental de la senal original (figura??).

El resultado es :Por cuestiones de practica y poder observar que es lo que

ocurre con la senal, evaluamos la misma senal en el mismosistema pero con una frecuencia de corte diferente (fc = 4fo)

La respuesta obtenida es la fig 10SISTEMA PASA ALTO : Para el sistema pasa alto hemos

dado unafc = 112fo (ver figura 11) y otro sistema pasa alto

Fig. 7. SENAL ORIGINAL

Fig. 8. Salida de una senal en el tiempo y en la frecuencia

Fig. 9. SENAL PASADA POR UN FILTRO PASA BAJOfc = 4fo

con unafc = 115fo (ver figura 12)6) Obtencion de Potencia de las Senales: Para calcular la

potencia de las senales calculadas anteriormente, se utilizarael teorema de Parseval en el dominio de la frecuencia (3).

Una variacion del Teorema de Parseval cuando la senal estasometida a un sistema es la siguiente:

< XT (t) >=1

T x=x=

|XT (t)|2dt =

i=

|Xn|2|H(nfo)|2

(7)PARA UN SISTEMA PASA BAJO : La potencia obtenida

utilizando la ecuacion 7 para cada seal es:

Senal Original : 0.2499 Senal - Filtro Pasa Bajo (fc = 4fo): 0.2103 Senal - Filtro Pasa Bajo (fc = fo): 0.1248

La potencia transmitida es:

Senal - Filtro Pasa Bajo (fc = 4fo): 84.1483% Senal - Filtro Pasa Bajo (fc = fo): 49.9518%

Fig. 10. SENAL PASADA POR UN FILTRO PASA BAJOfc = fo

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Fig. 11. SENAL PASADA POR UN FILTRO PASA ALTOfc = 112

fo

Fig. 12. SENAL PASADA POR UN FILTRO PASA ALTOfc = 115

fo

PARA UN SISTEMA PASA ALTO : La potencia obtenidautilizando la ecuacion 7 para cada seal es:

Senal Original : 0.2499 Senal - Filtro Pasa Alto (fc = 112fo): 0.2103 Senal - Filtro Pasa Alto (fc = 115fo): 0.1248La potencia transmitida es: Senal - Filtro Pasa Alto (fc = 112fo): 74.6705% Senal - Filtro Pasa Alto (fc = 115fo): 74.7850%

IV. CONCLUSION

En esta experiencia ralizada utilizando como simuladorMATLAB, hemos podido observar rapidamente como es quela senal original o senal de entrada va cambiando su forma(como se mostros en las imagenes 9, 10, 11, 12) deacuerdo alas variaciones que va sufriendo nuestro sismteaH(nfo), eneste caso un pasa bajo y un pasa alto. Para aprenciar muchomejor estas varaciones ver la imagen 13 y 14.

Otra importante observacion es ver como es que vara lapotencia de las senales deacuerdo al sistema. Sabemos porconocimientos en telecomunicaciones que una de los princi-pales problemas para la transmision de senales es el ancho debanda reducido que tenemos, entonces no seria convenientemalgastarlo cuando podemos utilizarlo mas eficientemente.

En un filtro Pasa Bajo: La senal con la que hemostrabajado sometida a un sistema de una frecuencia de cortefc = 4fo obtenemos una representamos casi identica a la dela seal original, entonces estuvieramos trasmitiendo la seal ensu 84.1483% lo cual es un buen porcentaje de senal porquenos garantiza que el receptor a donde llegara esta senal podradecifrar el mensaje que se envio.

Fig. 13. SUPERPOSICION DE TODAS LAS SENALES

Fig. 14. SUPERPOSICION DE TODAS LAS SENALES

En un filtro Pasa Alto: La senal en este caso fue sometidaa un sistema al cual le fuimos variando su frecuencia decorte (fc = 112fo y fc =

1

15fo), al experimentar en Matlab

estos cambios nos dimos cuenta al igual que en el filtro PasaBajo que la potencia total de senal transmitida no varia enporcentajes radicales, solo vara en 0.1145%.

Entonces podemos llegar a estas conclusiones por el Teo-rema de Parseval ya que con el podemos calcular la potenciade cada espectro de la senal, entonces podemos concluir queel Teoremade Parseval nos permite dimensionar el anchode banda de la senal.