TEOREMA DE BAYES Y SU APLICACIÓN

Alumna: Carmen Cedeño de Bonfanti

CI: 3.888.507

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD FERMIN TORO

ESCUELA DE CIENCIA POLITICAESTUDIOS A DISTANCIA

Probabilidad Condicional

• La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que ya ocurrió un evento A se llama probabilidad condicional y se denota P(B/A) que por lo general se lee como probabilidad de que "ocurra B dado que ocurrió A.” Esta probabilidad se define como:

La probabilidad condicional es una función de probabilidad, P(./A) definida como

P(./A): .A

B

Entre los 200 empleados de una empresa hay 150 graduados, 60 del total consagran parte de su tiempo por lo menos a trabajos técnicos, 40 de los cuales son graduados. Sí se toma al azar uno de estos empleados, cuál es la probabilidad de que: a. Sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo técnico? b. No sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo técnico? Solución:Sean los eventos: G : el empleado es graduado T : el empleado dedica parte de su tiempo a trabajos técnicos De la información dada se puede elaborar parcialmente una tabla de contingencia

Trabajos técnicos

Otros trabajos

Total

Graduados (G) 40 11o 150 No graduados (Gc) 20 30 50

Total 60 140 200

EJERCICIO DE PROBABILIDAD CONDICIONAL

a. La probabilidad de que sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo técnico, se puede calcular en este caso de manera fácil utilizando la tabla de contingencia, en la cual esta probabilidad es calcular determinando proporción de los de otros trabajos son graduados es decir, dada como el cociente entre es :

También es posible calcularla mediante la definición de probabilidad condicional

b. La probabilidad de que no sea graduado dado que se sabe no consagra su tiempo al trabajo técnico es también determinada por medio de la tabla de contingencia

También por la definición de probabilidad condicional se tiene

y por la ley de Morgan

y como Luego

RESEÑA HISTORICADEL TEOREMA DE BAYES

En el año 1763, dos años después de la muerte de Thomas Bayes (1702-1761), se publico una memoria en la que aparece por primera vez, la determinación de la probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser observados. El calculo de dichas probabilidades recibe el nombre de Teorema de Bayes.

CONCEPTO• El Teorema de Bayes, es una regla matemática que explica como uno

debe cambiar sus creencias, teniendo en cuenta nueva evidencia. Es decir permite que los investigadores combinen nuevos datos con su conocimiento o experiencia existente. Muchos casos judiciales de tipo forense acuden a este Teorema para la dictación de las sentencias por parte de los jueces.

• El Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:

• Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente). 

• Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BAYESLas aplicaciones de Teorema de Bayes son infinitas, y no exentas

de grandes polémicas. El problema radica en que al decir “B ha ocurrido” se puede pensar que es un hecho determinístico y por lo tanto no tiene objeto calcular la probabilidad Pr(B), es decir B ha ocurrido entonces Pr(B)=No obstante el problema cambia radicalmente si uno expresa “si B ocurre” y esta es la interpretación correcta. Por otro lado, las probabilidades asociadas a los eventos A1, son de tipo priori y a veces de manera arbitraria deben asignarse puesto que no se tiene información sobre “el pasado” y que se espera que van a ser “mejoradas” con la información que puede entregar el suceso B, de hecho las probabilidades Pr(A1/B) son llamadas a posteriori.

FORMULA DEL TEOREMA DE BAYESP(B/Ai)

P(Ai)∑ P(B)

EJERCICO #1 APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BAYER

En un centro educativo hay : p(estudiantes)= 2/3 P (empleados)= 1/3 P(mujeres /estudiantes =1/4 P(Mujer/empleada)= ½¿Cuál es la probabilidad de que una mujer en el centro sea estudiante?

i.e. ,¿Qué es P(mujer estudiante)?

P(mujer estudiante)= P(estudiante)}

P(mujer estudiante) P(mujer)

Entonces: P(estud /mujer)= 2/3

(1/4) / ( 1/3)

= ½

El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:a) Que llueva: probabilidad del 50%.b) Que nieve: probabilidad del 30%c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos qué tiempo hizo (nevó, llovió o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades: Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori". Vamos a aplicar la fórmula:

EJERCICIO # 2

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

CONTINUACION EJERCICIO # 2

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.

probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.

b) Probabilidad de que estuviera nevando:

c) Probabilidad de que hubiera niebla:

La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.

BIBLIOGRAFIA

• https://youtu.be/ilvM<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/4BUTGqMQEtI" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>zBGulHQ

• http://www.monografias.com/trabajos89/probabilidad-total-y-teorema-bayes/probabilidad-total-y-teorema-bayes.shtml