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Repaso Probabilidad

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Introducción

Repaso Probabilidad

Matemáticas II 2º Bachillerato

Wikipedia. Leyes de Mendel (CC0)

La probabilidad estudia la posibilidad de que ocurra un hecho, es una medida de la incertidumbre.

Cuando se piensa en probabilidad lo primero que consideramos son los juegos de azar, pero en ciencia aparece en multitud de situaciones,

muchas veces ligada a la estadística. La herencia genética (leyes de Mendel) depende del azar, en estudios médicos para determinar la

efectividad de un medicamento la estadística y la probabilidad juegan un importante papel para su evaluación, en física los orbitales atómicos

son regiones del espacio donde existe cierta probabilidad de encontrar a los electrones.

Con la entrada en vigor de la LOMCE la probabilidad vuelve a figurar en los planes de estudios de Matemáticas II, los ejemplos de exámenes

corresponden a Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II, ya que no existe precedente para el Bachillerato de Ciencias.

Flickr. Maria Firsova. Atomium

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Repaso combinatoria

Diagramas de árbol

Sucesos. Espacio muestral

La combinatoria estudia cómo contar con la cabeza en lugar de contar con las manos. Recuerda que no siempre es necesaria, con esquemas

y diagramas de árbol en muchas situaciones se pueden estudiar los casos posibles.

No será necesario su uso en los ejercicios que veremos, pero en ocasiones puede ayudar. Recuerda el siguiente esquema de cursos

anteriores.

Autoría propia (CC BY-SA)

Los diagramas de árbol son un método gráfico para contar los posibles resultado de un experimento aleatorio: primero se fija la primera

posibilidad de elección, y de cada una se sacan las ramas necesarias para la segunda elección, ...

Por ejemplo, tenemos dos pantalones (Azul y Negro) y tres camisetas (Blanca, Roja y Morada) y nos preguntamos de cuántas formas distintas

nos podemos vestir.

Así el espacio muestral será (de arriba a abajo) E={NR,NB,NM,AR,AB,AM}

Autoría propia. Ejemplo diagrama de árbol (CC

BY-SA)

Si cuando realizamos repetidamente un experimento en las mismas condiciones, obtenemos siempre el mismo resultado, decimos que es un

experimento determinista. Si el resultado depende del azar, se dice que es un experimento aleatorio.

Un suceso es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Al conjunto de resultados de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral (E).

Suceso elemental es aquel que no se puede descomponer en otros más simples.

Suceso compuesto si se puede descomponer, si está formado por dos o más resultados del experimento.

Suceso seguro es aquel que siempre se realiza, por tanto coincide con el espacio muestral.

Suceso imposible el que nunca se presenta (Ø).


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Operaciones con sucesos

Probabilidad

Propiedades

Ejemplo

Solución

Resolvemos aplicando propiedades.

Son sucesos compatibles los que se pueden realizar a la vez. Sucesos incompatibles el caso contrario.

Dentro del espacio de sucesos podemos considerar algunas operaciones

Unión. La unión de dos sucesos A y B, es el suceso en el que se presenta al menos uno de los dos. ( )

Intersección. La intersección de dos sucesos A y B, es el suceso en el que se presentan los dos a la vez. ( )

Suceso contrario o complementario de A es el que se realiza cuando no se presenta A. ( )

Recordemos algunas propiedades importantes:

�̅̅�̅ ̅ ̅̅ ̅ ̅ ̅ ̅= 𝐴

𝐴 ∩ 𝐵̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ =̅ �̅̅̅� ̅∪ �̅̅�̅̅ ̅

𝐴 ∪ 𝐵̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ =̅ �̅̅̅� ̅∩ �̅̅�̅̅ ̅

La probabilidad de un suceso mide la posibilidad de que ocurra dicho suceso.

En un espacio en el cual los sucesos elementales son equiprobables, la probabilidad de un suceso A se define como el número de casos que

le son favorables a A, dividido entre el número de sucesos elementales. Esto se conoce como regla de Laplace.

𝑃�𝐴� = ��

Se pueden deducir las siguientes propiedades para la probabilidad.

Si 𝐴 ⊂ 𝐵, entonces 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)

Para cualquier suceso 𝐴 se cumple que 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1. (La probabilidad es un número entre cero y uno)

Si �̅̅̅� ̅es el suceso contrario de 𝐴 se cumple que 𝑃��̅̅̅� ̅�̅ = 1 − 𝑃�𝐴�

Consecuencia de las anteriores: 𝑃(𝐸) = 1, 𝑃(∅) = 0.

Si 𝐴 y 𝐵 son sucesos compatibles (𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅), se cumple: 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

Caso práctico

Se sabe por exámenes anteriores de acceso a la universidad, que la probabilidad de que aparezca un ejercicio en el que haya que

aplicar el teorema de Bolzano es de 0'28, la probabilidad de que haya un ejercicio en el que sea necesario el uso del teorema de Rolle

es del 0'21, y la probabilidad de que aparezcan los dos del 0'15.

¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los dos aparezca?a.

¿Cuál es la probabilidad de que ninguno aparezca?b.

Planteamiento

Es importante tratar de "traducir" de forma sencilla el enunciado a una notación clara, teniendo especial cuidado con expresiones del

tipo: "al menos", "ninguno", "por lo menos uno", ...

Llamemos a los sucesos:

𝐴: Aparecer teorema de Bolzano

𝐵: Aparecer teorema de Rolle

Los datos que no indican en el enunciado son:

𝑃(𝐴) = 0'28 𝑃(𝐵) = 0'21 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0'15


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Que aparezca al menos uno es la unión: o uno sólo, o el otro sólo, o los dos.

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0'28 + 0'21 − 0'15 = 0'34

a.

Que no aparezca ninguno de los dos es el suceso contrario de que aparezca al menos uno de ellos, así:

𝑃��̅̅̅� ̅ ∩̅ �̅̅̅��̅ = 𝑃�𝐴 ∪ 𝐵̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅�̅ = 1 − 𝑃�𝐴 ∪ 𝐵� = 1 − 0'34 = 0'66

b.

Probabilidad condicionada

Solución

Sea A: salir 5, y llamemos B: salir impar

𝑃�𝐴� = �� 𝑃�� =

�(�� ∩��)�(��)

=�(�� )�(��)

=� ��

= �� ≠ 𝑃�𝐴�

Sucesos independientes

Teorema de la probabilidad total

La probabilidad de que ocurra un suceso B condicionado a que haya ocurrido un suceso A

𝑃�� =�(�∩�)�(�)

= �� ∩��

El hecho de que ya se haya realizado A, cambia las probabilidades, puesto que para que ocurra B disponemos de nueva información que

cambia la incertidumbre

Reflexión

En un juego se gana si se saca un 5 al tirar un dado. Podemos calcular la probabilidad de ganar, pero si me informan de que ha salido

un número impar, ¿cómo ha cambiado la probabilidad? ¿es la misma?

Regla del producto. Si despejemos la probabilidad de la intersección de la definición de la probabilidad condicionada:

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(� �) = 𝑃(𝐵) ⋅ 𝑃(� �)

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la ocurrencia de un suceso no está condicionada por la ocurrencia o no de otro

suceso; esto ocurre si y sólo si:

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵)

Lo contrario: sucesos dependientes-

Si tenemos una serie de sucesos 𝐴�,𝐴�, ..., 𝐴�, tales que:

Son incompatibles entre sí: 𝐴� ∩ 𝐴� = ∅, si 𝑖 ≠ 𝑗

Su unión es el espacio muestral 𝐴� ∪ 𝐴� ∪ ... ∪ 𝐴� = 𝐸

Entonces la probabilidad de un suceso 𝐵 es:

𝑃(𝐵) = ∑�=��

𝑃(𝐴�) ⋅ 𝑃(𝐵/𝐴�)

Caso práctico

Volvamos al ejemplo de diagrama de árbol.

Tenemos dos pantalones (Azul y Negro) y tres camisetas (Blanca, Roja y Morada) y nos preguntamos de cuántas formas distintas nos

podemos vestir.


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Solución

El teorema de la probabilidad total lo que nos dice es:

𝑃( " Roja " ) = 𝑃( " Pantalón Azul " ) ⋅ 𝑃( " Roja " / " Pantalón Azul " ) + 𝑃( " Pantalón Negro " ) ⋅ 𝑃( " Roja " / " Pantalón Negro " )

Teorema de Bayes

Solución

𝑃� " Pantalón Azul " / " Roja " � =�(�� ) ⋅�( �� / �� )

�( �� ) ⋅�( �� / �� )+�(�� ) ⋅�( �� / �� )

PAEG-2016 Jun.5A CCSS II

Nos preguntamos por la probabilidad de llevar camiseta roja.

Intenta plantearlo con este teorema, y observa el diagrama de árbol.

El teorema de Bayes calcula probabilidades después de realizar un experimento (probabilidad a posteriori). De alguna manera se pregunta de

qué antecedentes se deriva la aparición de un suceso.

Teorema de Bayes

Si tenemos una serie de sucesos (sistema completo de sucesos) 𝐴�,𝐴�, ..., 𝐴�, tales que:

Son incompatibles entre sí: 𝐴� ∩ 𝐴� = ∅, si 𝑖 ≠ 𝑗

Su unión es el espacio muestral 𝐴� ∪ 𝐴� ∪ ... ∪ 𝐴� = 𝐸

Entonces sabiendo que ha sucedido el suceso B, se tiene:

𝑃�𝐴�/𝐵� =��⋅��/��

∑�=�� ⋅��/��

Caso práctico

Volvamos al ejemplo de diagrama de árbol, pero esta vez nos preguntamos por la probabilidad, sabiendo que levamos una camiseta

roja, por la probabilidad de llevar pantalón azul.

Intenta expresarlo en lenguaje matemático adecuado con el teorema de Bayes.

Ejercicio 5A

Ejercicio típico de aplicación del teorema de la probabilidad total y Bayes

En una empresa de Toledo se producen dos modelos de vajillas: A y B. El 10 % de las vajillas son del modelo A y el 90 % del modelo

B. La probabilidad de que una vajilla del modelo A sea defectuosa es 0.02 y de que una vajilla del modelo B sea defectuosa es 0.01

a) Elegida una vajilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?

b) Se escoge al azar una vajilla y resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo A?

Planteamiento

Realizando un diagrama de árbol, el ejercicio es muy sencillo. Vamos a llamar A: modelo A de vajilla, B: modelo B de vajilla, D:

defectuosa


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Solución

a) Elegida una vajilla al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?

𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐷/𝐴) + 𝑃(𝐵) ⋅ 𝑃(𝐷/𝐵) = 0.1 ⋅ 0.02 + 0.9 ⋅ 0.01 = 0.011

b) Se escoge al azar una vajilla y resulta defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea del modelo A?

𝑃�𝐴/𝐷� =𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐷/𝐴)

𝑃(𝐷)=

0.1 ⋅ 0.02

0.011= 0.1818

PAEG Junio 2016-5B CCSS II

Solución

a) 𝑃� " las cuatro avería " � = 𝑃�𝐴� ∩ 𝐴� ∩ 𝐴� ∩ 𝐴�� = 𝑃�𝐴�� ⋅ 𝑃�𝐴�� ⋅ 𝑃�𝐴�� ⋅ 𝑃�𝐴�� = 0.1� = 10−� = 0.0001

b) 𝑃� " ninguna " � = 𝑃��̅̅�̅�̅ ∩ �̅̅̅��̅ ∩ �̅̅�̅̅�̅ ∩ �̅̅̅��̅� = 𝑃��̅̅̅��̅� ⋅ 𝑃��̅̅�̅̅�̅� ⋅ 𝑃��̅̅̅��̅� ⋅ 𝑃��̅̅�̅�̅� = (1 − 0.1)� = 0.9� = 0.6561

c) 𝑃( " al menos una " ) = 1 − 𝑃( " ninguna " ) = 1 − 0.6561 = 0.3439

PAEG Septiembre 2016-5A CCSS II

Solución

a) Calcula la probabilidad de que un alumno de ese instituto elegido al azar haya aprobado la PAEG. Nos dan el complementario, así

que:

Autoría Propia. Diagrama de árbol (CC BY-SA)

Ejercicio

Se sabe que una máquina determinada tiene una probabilidad de tener una averı́a de 0.1. Tenemos una empresa con 4 máquinas

como las anteriores que funcionan de forma independiente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las cuatro tengan una averı́a?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna tenga una averı́a?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las máquinas tenga una averı́a?

En primer lugar notar que una máquina no se estropea porque la de al lado se estropee o no: con sucesos independientes.

Vamos a llamar al suceso "tener una avería" A, y Ai avería la máquina i.

Ejercicio

De un total de 80 alumnos de un instituto que se han presentado a la PAEG, 6 no han aprobado la PAEG.

a) Calcula la probabilidad de que un alumno de ese instituto elegido al azar haya aprobado la PAEG.

b) Calcula la probabilidad de que si seleccionamos tres alumnos distintos al azar de este instituto, ninguno resulte suspenso.

c) Si elegimos cuatro alumnos distintos al azar y el primero y el segundo han suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que el tercero y el

cuarto sean suspensos?

Llamemos A al suceso aprobar


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𝑃�𝐴� = 1 − 𝑃��̅̅̅��̅ = 1 − �� = 1 − 0.075 = 0.925

b) Calcula la probabilidad de que si seleccionamos tres alumnos distintos al azar de este instituto, ninguno resulte suspenso.

𝑃�ninguno de tres� = 𝑃�𝐴� ∩ 𝐴� ∩ 𝐴�� = 𝑃�𝐴�� ⋅ 𝑃�𝐴�/𝐴�� ⋅ 𝑃�𝐴�/𝐴� ∩ 𝐴�� = �� ⋅ �� ⋅ �� = 0.7890

c) Si elegimos cuatro alumnos distintos al azar y el primero y el segundo han suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que el tercero y el

cuarto sean suspensos? Como sabemos que el primero y segundo han suspendido, quedan 4 suspensos de 78 alumnos restantes:

𝑃 = 𝑃��̅̅�̅�̅ ∩ �̅̅̅��̅� = �� ⋅ �

�� = 0.0020

PAEG Septiembre 2016-5B CCSS II

Solución

Diagrama de árbol

Autoría propia. Diagrama de árbol (CC BY-SA)

a) Calcule la probabilidad de que un futbolista, elegido al azar, hable castellano.

𝑃(𝐶) = 𝑃( " Asiático " ) ⋅ 𝑃(𝐶/ " Asiático " ) + 𝑃( " Africano " ) ⋅ 𝑃(𝐶/ " Africano " ) + 𝑃( " Europeo " ) ⋅ 𝑃(𝐶/ " Europeo " )

𝑃(𝐶) = 0, 05 ⋅ 0, 10 + 0, 25 ⋅ 0, 20 + 0, 70 ⋅ 0, 25 = 0, 23

b) Si nos encontramos con un futbolista que no habla castellano, ¿cuál es la probabilidad de que sea europeo?

𝑃� " Europeo " /𝐶�� =��⋅��/ ��

��= ��⋅��

�−�(�)= ��

�−�� = 0, 6818

Modelo Universidades Madrid 2016-17

Ejercicio

En una liga de fútbol se sabe que el 5 % de los futbolistas son asiáticos, el 25 % son africanos y el resto son europeos. También se

sabe que el 10 % de los futbolistas asiáticos, el 20 % de los futbolistas africanos y el 25 % de los futbolistas europeos hablan

castellano.

a) Calcule la probabilidad de que un futbolista, elegido al azar, hable castellano.

b) Si nos encontramos con un futbolista que no habla castellano, ¿cuál es la probabilidad de que sea europeo?

Realiza un diagrama de árbol, y utiliza los teoremas de la probabilidad total y de Bayes.

Llamaré C: hablar castellano

Modelo Universidades Madrid 2016-17

En una población de cierta especie de cérvidos, el 43 % de los adultos son machos y el 57 % hembras. Se sabe que el 11 % de los

machos adultos y el 4 % de las hembras adultas sufre alguna afección ocular. Se supone que se captura al azar un ejemplar adulto y

se pide:

a) (1 punto) Determinar la probabilidad de que tenga alguna afección ocular.

b) (1 punto) Si el ejemplar capturado padeciere una afección ocular ¿cuál sería la probabilidad de que fuera un macho?


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Solución

Autoría propia. Diagrama de árbol (CC BY-SA)

a) Determinar la probabilidad de que tenga alguna afección ocular. Llamando A: tener afección, M: macho y H: hembra, y usando el

teorema de la probabilidad total:

𝑃(𝐴) = 𝑃(𝑀) ⋅ 𝑃(𝐴/𝑀) + 𝑃(𝐻) ⋅ 𝑃(𝐴/𝐻) = 0.43 ⋅ 0.11 + 0.57 ⋅ 0.04 = 0.0701

b) Si el ejemplar capturado padeciere una afección ocular ¿cuál sería la probabilidad de que fuera un macho? Usando el teorema de

Bayes:

𝑃�M/𝐴� =𝑃(𝑀) ⋅ 𝑃(𝐴/𝑀)

𝑃(𝐴)=

0.43 ⋅ 0.11

0.0701= 0.6748

Algunos enlaces

Obra publicada con Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir igual 4.0

I.E.S. Ramón Giraldo

Probabilidad condicionada. Teoremas de la probabilidad total y Bayes.

Haced diagrama de árbol.

Si quieres repasar algunos conceptos básicos, esta página de 3º de ESO te puede ser útil.

Para este curso, es más interesante la siguiente, además tiene ejercicios con soluciones.

http://proyectodescartes.org/iCartesiLibri/materiales_didacticos/EstadisticaProbabilidadInferencia/Probabilidad/1Introduccion.html


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