teorema de bayes
TRANSCRIPT
TEOREMA DE BAYES
Estudiante de ingeniería electrónica VI semestre Jhon Alexander Díaz Acevedo.Universidad de Cundinamarca
Colombia/Cundinamarca/Fusagasugá[email protected].
1. INTRODUCCIÓN
Todo comenzó cuando dos sacerdocios se enfrentaban en conflicto, en la época en donde la ciencia estaba ofreciendo una nueva revelación. Uno de estos personajes estaba dedicado al modelamiento del carácter mediante la religión y el otro el sacerdote Thomas Bayes a la educación del intelecto mediante la ciencia. Entonces Bayes estaba dividido en ese conflicto. Como sacerdote y como matemático, estaba afectado por las relaciones causa – efecto. Tanto el teorema que lleva su nombre como el concepto de "probabilidad subjetiva" de él derivado han producido una revolución en nuestro tiempo.
2. EL TEOREMA
La regla de Bayes es solo una técnica para calcular probabilidades condicionales, y como regla de probabilidad es indiscutible así como su validez. A partir de un conjunto de probabilidades llamadas "a priori" o "sin corregir", calcula un conjunto de probabilidades "a posteriori" o "corregidas" que no son mas que una modificación de las primeras ante la evidencia de que un determinado suceso ha ocurrido.[1]
La fórmula de Bayes sirve para el cálculo de las probabilidades conocidas P(Ak/B), en donde los sucesos Ak de un sistema completo {A1, A2,…, An} de sucesos con respecto un suceso B de probabilidad
positiva (k=1, 2,…, n), a partir de las probabilidades P(Ai) y de las probabilidades conocidas (P/A i) (i=1, 2,…, n). [2]
Se supone el evento A1, A2,…, An que forma una partición en el espacio muestral S. Todos los eventos Ai son mutuamente excluyentes y ∪n
i=1 Ai= S. Sea B otro evento:
S ∩ B = (A1∪ A2∪...∪An) ∩ B
Las intersecciones Ai∩B son mutuamente excluyentes. [3]
El comportamiento de este análisis en donde se encuentran un conjunto de probabilidades A y las intersecciones que hay entre ellas teniendo en cuenta un punto central B, se puede observar a continuación en la figura 1.
Figura 1. Gráfica concerniente al teorema de Bayes.
Resumen. En este documento se encuentra lo referente al teorema de bayes, en cuanto a sus aspectos más importantes así como su definición, su fórmula general y su utilización. Además al final del análisis y el estudio de este teorema se tendrán en cuenta algunos ejemplos prácticos de cómo se puede utilizar más común mente esta pequeña formula, y para finalizar se realizaran unos ejercicios concernientes a la guía del taller dejada por el docente encargado de este núcleo temático.
Entonces la fórmula para la ley de Bayes sería la siguiente:
(1)
En forma más general y simplificada y haciendo uso de la notación de la referencia [2], en donde k es igual a i en la referencia [3], siendo en este caso i un signo para la sumatoria, la formula queda de la siguiente manera:
(2)
Teniendo en cuenta lo anterior se hace un poco confuso como funciona este teorema, es por ello que a continuación se mostraran dos ejemplos muy sencillos de cómo se debe utilizar la formula en determinado caso, además se hace necesario la utilización del diagrama de árbol (el cual no se explica en este documento ya que se asume que hay un conocimiento previo de este).
Ejemplos:
Ejemplo 1 Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
Solución
Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada una de las tres urnas.
La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de Bayes, tenemos:
Ejemplo 2
El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
Solución
3. Conclusiones
El teorema de Bayes resulta algo sencillo ya que solo hay que tomar la variable principal de la que se quiere saber la probabilidad y dejarla en el numerador teniendo en cuenta los parámetros de la formula, luego se hace la sumatoria de todas las variables que se tienen en el problema y se dejan en el denominador, de esta manera la división resultante es la probabilidad que se quiere saber.
Las aplicaciones con el teorema de bayes son casi infinitas, ya que con esta fórmula se pueden hacer muchos ejercicios en donde se necesita hallar la probabilidad de un aspecto en general, además teniendo en cuenta el diagrama de árbol esta tarea se vuelve muy sencilla.
Bibliografía
[1] Universidad Nacional De La Patagonia, teorema de Bayes, disponible en la página de internet: www.economicasunp.edu.ar/02-EGrado/materias/.../ bayes .pdf [2] Gert Maibaun, Teoría de probabilidades y estadística matemática, editorial pueblo y educación, 1987, capítulo 3, pág. 49.
[3] presentación, Teorema de Bayes, disponible en la página de internet:www.icesi.edu.co/~jjmora/pdfs/bayes.pdf