Guía  de  actividades    

TEORÍA  COMBINATORIA  Profesor  Fernando  Viso  

                                             

   

GUIA  DE  TRABAJO  Materia:  Matemáticas  Guía  #18.  

Tema:  Permutaciones.  Variaciones.  Fecha:  ____________  

Profesor:  Fernando  Viso  Nombre    del  alumno:___________________________________________  Sección  del  alumno:____________________________________________  

 CONDICIONES:    

• Trabajo  individual.  •  Sin  libros,  ni  cuadernos,  ni  notas.  •  Sin  celulares.  •  Es   obligatorio   mostrar   explícitamente,   el   procedimiento   empleado  

para  resolver  cada  problema.  • No  se  contestarán  preguntas  ni  consultas  de  ningún  tipo.  • No   pueden   moverse   de   su   asiento.   ni   pedir   borras,   ni   lápices,   ni  

calculadoras  prestadas.      Marco  Teórico:      Permutaciones:      Es  el  arreglo  de  un  conjunto  de  objetos  distintos  en    un  orden  específico..  El  número  de  permutaciones  de    n    objetos  distintos,  tomados  todos  al  mismo  tiempo  es  igual  a  

( ), !n nP n= .    Si   es   el   caso   de   permutaciones   de    n     objetos   distintos   tomados   en   grupos   de     r  objetos,   al   mismo   tiempo   ,   donde    0 r n≤ ≤ ,   están   dados   por   la   ecuación   (también  llamadas  VARIACIONES):      

( ) ( ),!!n r

nPn r

=−  

 Ejemplo:      

El  número  de  arreglos  que  se  pueden  hacer  con  12  objetos,  tomados  de  3  en  3,  es  igual  a:    

( )( )

( )12! 12!12,3 12 11 10 1.32012 3 ! 9!

P veces= = = ⋅ ⋅ =−  

PREGUNTAS:  1.-­‐  Encontrar  el  valor  de       ( )9,4 .P        

( )( )9!9,4 9 8 7 6 3.024.9 4 !

R P⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅ =−  

 2.-­‐  Evaluar  cada  uno  der  los  siguientes  símbolos:    

(a)    5!=                                                                             120R⇒    

(b)      7!4!=                                                                               210.R⇒            

 

©     ( )6,2P =                                                                     30.R⇒        

(d)     ( )9,2P =                                                                       72R⇒  ,              3.-­‐   Calcular   el   número   de   permutaciones   (variaciones)   de   las   letras   a,   b,   c,   d,  tomadas  en  grupos  de  2  al  mismo  tiempo.    

( )( )4!4,2 4 3 12.4 2 !

R P⇒ = = ⋅ =−  

 4.-­‐  Calcular  el  número  de  diferentes  arreglos  que  se  pueden  hacer  con  a,  b,     c,,  d,  tomadas  en  grupos  de  4    al  mismo  tiempo.    

( )4,4 4! 4 3 2 1 24R P⇒ = = ⋅ ⋅ ⋅ =    

5.-­‐  ¿  Cuántos  arreglos  (variaciones)  de  dos  letras  cada  uno,  pueden  hacerse  con  a,  b,    c,    d,    e    .    ?.    

( )( )5! 5!5,2 5 4 20.5 2 ! 3!

R P⇒ = = = ⋅ =−  

 6.-­‐    Determinar  el  número  de  permutaciones  de  grupos  de  3  elementos  tomados  de  un  conjunto  de  4  elementos  (a,  b,  c,  d).  Sugerencias:      

( ) ( )1 4! 24! 4 3 !

24

ba

bPb a

R

= = =− −

⇒  

 7.-­‐     ¿  De   cuantas  maneras  diferentes  pueden   colocarse  3   libros   en  un   tramo  de  una  biblioteca?    

! 3 2 1 6nR P n⇒ = = ⋅ ⋅ =    8.-­‐   De   un   total   de   10   personas   se   deberán   escoger   3     candidatos   para   diferentes  puestos  públicos.  ¿  De  cuántas  maneras  diferentes  podrá  ser  ésto  hecho?    Sugerencias:    

( )103

10! 10 9 8 72010 3 !

P = = ⋅ ⋅ =−

 

 

( )720R veces⇒    9.-­‐   Un   club   necesita   elegir   un   presidente,     un   vicepresidente   y   un   tesorero     de   un  grupo   de   5   candidatos.   ¿Cuántos   diferentes   equipos   de   3   pueden   elegirse   sin   que  ninguno  ocupe  más  de  un  puesto?    Sugerencias:        

( )53

5! 5 4 3 2 1 605 3 ! 2 1

P ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

− ⋅  

60R⇒  

 10.-­‐    De  un  grupo  de  26  miembros  se  deberán  elegir  un  presidente  y  un  secretario.    ¿  De  cuántas  maneras  diferentes  se  puede  hacer  la  selección  de  los  dos  puestos?    Sugerencias:    

( )262

26! 26 25 65026 2 !

Variaciones P= = = ⋅ =−

 

 

650R⇒    11.-­‐   ¿Cuántos   números   telefónicos     de   4   dígitos   diferentes   cada   uno,   pueden     ser  hechos  de  los  siguientes  dígitos:  0,    1,    ,2    3,    4,    5,    6,    7,    8,    ,9?.    Sugerencias:    Cada   arreglo   de   los   mismos   4   dígitos   produce   un   número   telefónico   nuevo;   por   lo  tanto,  estamos  hablando  de  avariaciones:    

( ) ( )! 9! 5040! 9 4 !

5040.

nr

nPn r

R

= = =− −

⇒  

 12.-­‐  ¿  En  cuántas  maneras  diferentes  pueden  ser  agrupadas  las   letras  de  la  palabra  ¨  MONDAY¨?.    

: 6! 720R Permutacion⇒ =    13.-­‐  ¿  En  cuántas  maneras  pueden  agruparse  las  letras  de  la  palabra  “BANANA¨.    Sugerencias:  Las  N  se  repiten  2  veces  y  las  A  se  repiten  3  veces.  Entonces:    

1 2 3, ,1 2 3

1 2 3

! 6! 60! ! !...... 2! 3! 1!

nn n n

nR Pn n n

n n n n

⇒ = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ + =  

 12.-­‐  Encontrar  el  número  de  permutaciones  que  se  pueden  hacer  con  las  7  letras  de  la  palabra  “algebra”.  

 Sugerencias:  La  letra  “a”  se  repite  dos  veces.    

7! 2.5202!

R⇒ =  

 13.-­‐  ¿Cuántos  arreglos  pueden  hacerse  con  las  letras  de  la  palabra  “Tennessee”?.    

9! 3.7804! 2! 2!1

R⇒ =⋅ ⋅ ⋅  

                                                                 

     

GUIA  DE  TRABAJO  Materia:  Matemáticas  Guía  #19.  

Tema:  Combinaciones.  Fecha:  ____________  

Profesor:  Fernando  Viso  Nombre    del  alumno:___________________________________________  Sección  del  alumno:____________________________________________  

 CONDICIONES:    

• Trabajo  individual.  •  Sin  libros,  ni  cuadernos,  ni  notas.  •  Sin  celulares.  •  Es   obligatorio   mostrar   explícitamente,   el   procedimiento   empleado  

para  resolver  cada  problema.  • No  se  contestarán  preguntas  ni  consultas  de  ningún  tipo.  • No   pueden   moverse   de   su   asiento.   ni   pedir   borras,   ni   lápices,   ni  

calculadoras  prestadas.      Marco  Teórico:    

( )!! !

rn

nCn r r

= =−  

 Ejemplo:   Encontrar   el   número   de   comités   de   4  miembros   cada   uno   que   se   pueden  formar  de  un  grupo  de  9  personas.    

( )( )

9!9,4 1269 4 ! 4!

C = =− ⋅

 

   PREGUNTAS:    

1.-­‐  Encontrar  el  valor  de     ( ),0 .C n    

( )( )

! !,0 10 !0! !n nR C n

n n⇒ = = =

−  

   2.-­‐  Evaluar  cada  uno  de  los  siguientes  símbolos:    (a)     ( )6,3 .C    

( )6! 20

6 3 !3!R⇒ =

−  

 (b)     ( )18,16C    

( )( )

18!18,16 153.18 16 !16!

R C⇒ = =−

 

 3.-­‐  ¿Cuántos  juegos  de  5  cartas  diferentes  pueden  hacerse  de  un  paquete  de  52  cartas?    

( )( )52!52,5 2.598.960

52 5 !5!R C⇒ = =

−  

4.-­‐  ¿  De  cuántas  diferentes  maneras  pueden  caer  dos  dados?    

6 6 36R⇒ ⋅ =    5.-­‐  ¿De  cuántas  maneras  se  pueden  seleccionar  comités  de  3  personas  de  un  grupo  de  10  personas?.    

( )( )10!10,3 120

10 3 !3!R C⇒ = =

−  

 6.-­‐   ¿   Cuántos   equipos   de   béisbol   de   9   jugadores   pueden   ser   seleccionados   de   12  jugadores,  independientemente  de  la  posición  que  juega  cada  uno?.    

( ) 12!12,9 2209!3!

R C⇒ = =  

 

7.-­‐    Una  fábrica  produce  7  tipos  de  productos  diferentes,  y   los  empaqueta  de  tres  en  tres.  ¿  Cuántos  paquetes  diferentes  pueden  hacer  con  los  7  productos?.    

( )( )7!7,3 35

7 3 !3!R C⇒ = =

−  

8.-­‐    Un  hombre  y  su  esposa  deciden  entretener  a  24  amigos,  haciendo  4  cenas  para  6  invitados  cada  una.  ¿  De  cuántas  maneras    los  invitados  a  la  primera  cena  pueden  ser  seleccionados?.    Sugerencias:    En  el  primer  grupo  se  considera  sólo  una  cena    y  se  deberán  seleccionar  6  personas  de  un  conjunto  de  24  a  ser  invitados.      

( )( )24!24,6 134.596.

24 6 !6!R C⇒ = =

−  

9.-­‐  Una  dama   tiene  12   amigos.   Ella   desea   invitar   a   tres  de   ellos   a   jugar   cartas.   ¿  De  cuántas  maneras  posibles  ella  puede  invitarlos  sin  repetir  grupos?.    

( )( )12!12,3 220

12 3 !3!R C⇒ = =

−  

 10.-­‐  En  una  reunión  de  trabajo  12  personas  deben  ser  sentadas  en  7  sillas  y  un  banco  con   capacidad  para   sentar   a   5   personas.   ¿  De   cuántas  maneras   pueden   sentarse   las  personas  en  el  banco,  sin  importar  el  orden  en  que  lo  hagan?    

( )( )12!12,5 792

12 5 !51R C⇒ = =

−  

 11.-­‐   ¿   Cuántas   sumas   de   dinero   diferente   se   pueden   obtener   al   seleccionar   dos  monedas   de   una   caja   que   contiene   un   penny,   un   níckel,     un   dime,   un   quarter,   y   la  mitad  de  un  dólar?.    

 

 12.-­‐   ¿De   cuántas  maneras   5   premios   pueden   ser   entregados   a   4  muchachos,   siendo  cada  uno  de  los  muchachos  elegible  para  todos  los  premios?    

( )( )5!5,2 10

5 2 !2!R C⇒ = =

−

Sugerencias:   Cualquiera   de   los   premios   puede   ser   entregado   de   4   maneras  diferentes;    y  entonces  alguno  de  los  premios  restantes  puede  también  ser  entregado  de   4   maneras   diferentes,   y   como   el   seguindo   premio   puede   ser   recibido   por   el  muchacho   que   ya   ha   recibido   el   primero,,   entonces   dos   premios   pueden   ser  entregados  en   ( )24 veces ,   tres  premios  serían   ( )34 veces  y  por   lo   tanto  cinco  premios  serían   54 .    

54 .R⇒    13.-­‐  ¿De  cuántas  maneras  5  libros  pueden  ser  seleccionados  de  un  grupo  de  12,  si  (a)    cuando   un   libro   específico   es   siempre   incluido,   (b)   cuando   un   libro   específico   es  siempre  excluido?.    Sugerencias:    

(a) Ya  que  el   libro  específico  debe  ser   incluido  en  cada  selección,  se  tendrán  que  

seleccionar  4  de  los  11  restantes:   ( )1 11,4 330R C⇒ =  (b) Ya  que  un  libro  específico  debe  ser  excluido,  se  deberán  seleccionar  5  libros  de  

los  11  restantes:   ( )2 11,5 462.R C⇒ =    14.-­‐   ¿   Cuántos   grupos  pueden   ser   formados  de  un   total   de   10   objetos,   tomnando   al  menos  tres  al  mismo  tiempo?.    Sugerencias:        ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )10,3 10,4 10,5 10,6 10,7 10,8 10,9 10,10120 210 252 210 120 45 10 1 968.968

C C C C C C C C

R

+ + + + + + + =

= + + + + + + + =

⇒

 

15.-­‐  Un  hombre  tiene  6  amigos;  ¿  en  cuántas  diferentes  maneras  él  puede  invitarlos  a  cenar?.    Sugerencias:    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

6 15 20 15 6 1 63C C C C C C+ + + + + =

+ + + + + =  

 

63R⇒