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Presentación del curso Objetivos Elementos de un circuito lineal Potencia Mallas y nudos: leyes de Kircho� Análisis de un circuito lineal

Teoría de Circuitos:

presentación del curso

Pablo Monzón

Instituto de Ingeniería Eléctrica (IIE)Facultad de Ingeniería-Universidad de la República

Uruguay

Segundo semestre - 2018


Contenido

1 Presentación del curso

2 Objetivos

3 Elementos de un circuito lineal

4 Potencia

5 Mallas y nudos: leyes de Kircho�

6 Análisis de un circuito linealEntrada constanteEntrada sinusoidal


Teoría de circuitos

Información general del curso: leer el programa en el EVA

manejo básico de circuitos,

análisis, síntesis y aplicaciones

implica mucho trabajo por parte de ustedes (aprender haciendo).


Horarios

Teóricos: Lunes y miércoles a las 10:00 hs.

Prácticos:Grupo 1: Jueves de 10:00 a 11:30, Salón 501.Grupo 2: Viernes de 8:00 a 10:00, Salón A12.

Docentes

Pablo Monzón

Florencia Blasina

Mariana del Castillo

Agustín Castellano

Juan Llaguno


Bibliografía

Principales

Análisis de circuitos en Ingeniería - Hayt y Kemmerly

Circuitos eléctricos, Nilsson, Riedel, 7 ed (Pearson, 2005).

Circuitos eléctricos: introducción al análisis y diseño, Dorf, 8 ed,(Alfaomega, 2011).

Circuitos - Bruce Carlson;

Complementaria

Sistemas lineales en régimen permanente - Juan Piquinela y Pablo

Monzón;

Linear network analysis - S. Seshu y N. Balabanian;

Teoría de redes eléctricas - N. Balabanian;

Fundamentals of circuits theory - N. Balabanian;

Análisis básico de circuitos eléctricos - Johnson, Hilburn, Jonhson y Scott;

Ingeniería de control moderna - K. Ogata;


Objetivos

Generales:

En líneas generales se busca

dotar al alumno de las herramientas básicas para el análisis y el diseño de

circuitos, con especial énfasis en los circuitos lineales funcionando en

régimen permanente,

vincular la formación básica en física y matemática con los fundamentos

de la Ingeniería Eléctrica,

introducir la doble representación tiempo-frecuencia para señales y

circuitos,

desarrollar en el estudiante la intuición referida al funcionamiento de un

circuito lineal funcionando en régimen permanente, incluyendo la idea de

�ltrado,


Consultas:

monzon@�ng.edu.uy


Elementos de un circuito

A continuación presentamos los elementos más comunes queconformarán los circuitos que analizaremos.

Un elemento tiene por lo general dos terminales y se describe por larelación entre la tensión en bornes y la corriente que lo atraviesa,usualmente dada por una ley física.

Resistencia: v(t) = R i(t) (Ley de Ohm)



Inductancia: v(t) = L ddt i(t), i(0) = i0

Condensador: i(t) = C ddtv(t), v(0) = v0



Fuente independiente de tensión: v(t) dado, i(t) cualquiera



Fuente independiente de corriente: i(t) dado, v(t) cualquiera



Fuente dependiente de tensión

La tensión v(t) es función de otra magnitud del circuito. La corriente i(t)es cualquiera.



Fuente dependiente de corriente

La corriente i(t) es función de otra magnitud del circuito. La tensión v(t)es cualquiera.



Cortocircuito: v(t) = 0, i(t) cualquiera

Circuito abierto: i(t) = 0, v(t) cualquiera



Llave

Tiene dos posiciones: cerrada (ON) ; abierta (OFF)

ON cortocircuito , OFF circuito abierto

No es un elemento lineal, pero sí lo es en cada uno de sus modos defuncionamiento.



Fusible

Tiene dos estados, sano y cortado. Una vez que se corta, cuando elmódulo de la corriente alcanza un valor de corte Imax, no cambia más suestado.

Sano : cortocircuito , Cortado : circuito abierto




Diodo ideal

Tiene dos estados, ON (cortocircuito) y OFF (circuito abierto),

compatible con la siguiente tabla:

Estado v(t) i(t)ON 0 > 0OFF < 0 0

Su estado depende del resto del circuito.




Diodo: de lo ideal a lo real



Transformador

Es un elemento conformado por dos bobinas y un núcleo que acopla sus�ujos magnéticos. Consta de cuatro terminales, agrupados de a dos(primario y secundario).

Con las polaridades y sentidos de la �gura, se rige por las siguientesecuaciones: {

v1(t) = L1di1(t)dt +M di2(t)

dt

v2(t) = L2di2(t)dt +M di1(t)

dt


Potencia de una componente

Consideremos una resistencia, como componente de ejemplo.

v(t) = R i(t) (Ley de Ohm)

De�nimos la potencia instantánea de la componente como

p(t) = v(t).i(t),

expresión que puede combinarse con la ley v(t)− i(t) de la componente.


Potencia de una componente

v(t) = R i(t) (Ley de Ohm)

p(t) = v(t).i(t) =v2(t)

R= R.i2(t)


Leyes de Kircho�

Ley de mallas

La suma de las caídas de tensón a lo largo de una malla es nula.

Primero se de�ne un sentido de recorrido de la malla.

Luego se de�ne la forma de medir las tensiones de los elementos dela malla.

Finalmente, se suman las caídas en el sentido de recorrido de lamalla.

Ley de nudos

La suma de las corrientes que inciden en un nudo es nula.

Luego se de�ne la forma de medir las corrientes que inciden en unnudo (entrantes y salientes).

Finalmente, se suman -con signo- las corrientes que llegan al nudo(las que salen se restan).


Métodos de resolución de circuitos

Método de los nudos

Incógnitas: tensiones de los nodos, referidas a un nodo base.

Ecuaciones: leyes de nudos, escritas en función de las tensionesnodales.

Método de las mallas

Incógnitas: corrientes de mallas.

Ecuaciones: leyes de mallas, escritas en función de las corrientes demalla.


Análisis de un circuito R− L

Objetivos:

Asumiendo conocida la tensión de la fuente (entrada), determinarlas tensiones y corrientes del resto de los elementos del circuito, enparticular la que consideraremos al salida del circuito (vo(t)), apartir del instante en que se enciende la fuente.

Analizar la situación particular de entrada constante.

Analizar la situación particular de entrada sinusoidal, discutiendo enfunción de la frecuencia de la entrada.


Ecuaciones generales

Ley de Kircho� de mallas

vi(t) = vL(t) + vo(t)

Leyes de los elementos

vL(t) = Ld

dti(t) , vo(t) = Ri(t)


Ecuaciones generales

Ecuación de la corriente

vi(t) = Ld

dti(t) +Ri(t)⇔ d

dti(t) +

R

Li(t) =

1

Lvi(t)

Es una ecuación diferencial lineal de primer orden.

La condición inicial es la corriente iL0 por la bobina cuando se iniciael circuito.


Resolvemos la ecuación diferencial

Solución homogénea: iH(t) = Ae−RL t = Ae−

tτ , τ = L

R

Comentarios:

La solución homogénea converge asintóticamente a 0.

Decimos que es transitoria, ya que se extingue al transcurrir eltiempo.

El parámetro τ - constante de tiempo del circuito- da una idea dedurante cuánto tiempo es apreciable la solución transitoria.

Para poder avanzar, tenemos que trabajar con una entrada conocida.


Entrada constante

Entrada constante vi(t) = E, t ≥ 0

Ecuación de la corriente

d

dti(t) +

R

Li(t) =

E

L

Solución particular (constante)

iP (t) =E

R


Entrada constante


Solución completa

i(t) = iP (t) + iH(t) =E

R+Ae−

tτ

donde A se ajusta a partir de la condición inicial: A = iL0− E

R .

La salida

vo(t) = Ri(t) = E +R(iL0− E

R)e−

tτ


Entrada constante


Comentarios

La solución converge a un valor constante; corresponde a laextinción de la parte transitoria.

Para un tiempo del orden de dos o tres τ , ya podemos despreciar laparte transitoria (e−2 ≈ 0, 135).

Decimos que alcanzamos un régimen de continua.


Entrada constante


Comentarios

El valor de régimen de la corriente es ER , que puede obtenerse

observando que, con excitación constante, la bobina actúa como uncortocircuito.

Una situación similar se da con un condensador que, con excitaciónconstante, se comporta como un circuito abierto.


Entrada sinusoidal

Función sinusoidal

A cos(ωt+ ϕ)

A es la amplitud de la señal;

ω = 2πf = 2πT , siendo

T - periodo de la señal,

f = 1/T - frecuencia de la señal,

ω - pulsación o frecuencia angular de la señal.

ϕ es la fase de la señal.


Entrada sinusoidal

Ejemplos


Entrada sinusoidal

Entrada sinusoidal: vi(t) = E cos(ωt+ ϕv)

Solución particular (sinusoidal)

iP (t) = I cos(ωt+ ϕi)

I =E√

R2 + (Lω)2, ϕi = ϕv − atan

(Lω

R

)(derivando y sustituyendo en la ecuación de la corriente; ver Notas delcurso).


Entrada sinusoidal


Solución completa

i(t) =E√

R2 + (Lω)2cos

[ωt+ ϕv − atan

(Lω

R

)]+Ae−

tτ

Salida

vo(t) =RE√

R2 + (Lω)2cos

[ωt+ ϕv − atan

(Lω

R

)]+RAe−

tτ


Entrada sinusoidal


Comentarios

Nuevamente tenemos un estado de régimen.

Al pasar el tiempo, la solución tiende a ser sinusoidal,con la misma frecuencia que la entrada (régimen sinusoidal).

La relación de amplitud entre la entrada y la respuesta en régimen yla respectiva relación entre las fases dependen de la frecuencia detrabajo.


Entrada sinusoidal


Comentarios

La relación de amplitud entre la entrada y la respuesta en régimen sedenomina ganancia del sistema y depende de la frecuencia detrabajo.

relacion de amplitud :R√

R2 + (Lω)2

Para frecuencias bajas (ω → 0) la relación de amplitudes es casi 1,por lo que la respuesta tendrá aproximadamente la misma amplitudque la entrada.

Para frecuencias altas (ω →∞) la relación de amplitudes es casi 0,por lo que la salida será aproximadamente nula!!

Un circuito con este comportamiento se dice que es un �ltropasabajos, ya que no altera la amplitud de las señales de frecuenciabaja y prácticamente elimina las altas frecuencias.


Entrada sinusoidal


Comentarios

La relación de fase entre la entrada y la respuesta en régimendepende de la frecuencia de trabajo.

relacion de fase : − atan(Lω

R

)Para frecuencias bajas (ω → 0) el desfasaje es casi 0, por lo que larespuesta tendrá aproximadamente la misma fase que la entrada.

Para frecuencias altas (ω →∞) la relación de amplitudes es casi−90o, por lo que si la entrada es un coseno, la salida seráprácticamente un seno.


Entrada sinusoidal

Representación grá�ca


Entrada sinusoidal

A lo largo del curso aprenderemos:

que los resultados que vimos del �ltro pasabajos son generales amuchos sistemas lineales descritos por ecuaciones diferencialeslineales, en la medida que la respuesta homogénea sea transitoria.

herramientas para sistematizar el análisis que hicimos recién, deforma de poder abordar cualquier sistema lineal.

que el análisis de la respuesta en frecuencia de un circuito nos servirápara conocer en detalle su respuesta frente a una entrada dada.

varias cosas más, que desarrollaremos en el semestre.

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