TEORÍA DE CONTROL

SISTEMAS NO LINEALES

Teoría de Control

SISTEMAS NO LINEALES

1 1 1 1

2 2 1 1

1 1

( ) ( ... , ... )( ) ( ... , ... )

...( ) ( ... , ... )

n r

n r

n n n r

x t f x x u ux t f x x u u

x t f x x u u

==

=

( ) ( , )x t F x u=

Ecuaciones en el espacio de estados. Considere un sistema representado por un sistema de ecuaciones diferenciales ordinaras con alinealidades continuas. Las fi son funciones continuamente diferenciables en todos sus argumentos.

( )

( )( )

( )

1

2

,,

, ..,n

f x uf x u

F x u

f x u

=

Suponiendo que para un vector de entrada constante u0 el vector x toma el valor constante xo. Entonces resulta

0 0( ) ( , ) 0x t F x u= =

Esto resulta de la definición de punto de equilibrio para sistemas en régimen permanente para una entrada constante o nula.

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SISTEMAS NO LINEALES

Si se considera un sistema con una sola variable de estado y una sola entrada, se plantea el caso de una sola ecuación

( ) ( , )x t f x u=

En este caso f es una función escalar no lineal. Si se desarrolla la función en series de Taylor entorno al punto (x0, u0) resulta:

( ) ( )0 00 0 0 0

0 0

( , ) ( , )( , ) ( , )

términos de orden superior

x x x xf x u f x uf x u f x u x x u uu u u ux u= =∂ ∂

= + ⋅ − + ⋅ − += =∂ ∂

+Si se designan a x* y u* a las variaciones de x y u desde la condición de operación x0 y u0.

Si además, se utiliza el punto de operación en un punto de equilibrio y se desprecian los términos de orden superior.

0 0( , ) 0f x u =0 0* *x x x u u u= − = −

0 0

0 0

( , ) ( , )* * *

CTE CTE

x x x xf x u f x ux x uu u u ux u= =∂ ∂

= ⋅ + ⋅= =∂ ∂

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SISTEMAS NO LINEALES

Para un sistema vectorial las derivadas corresponderán a la n variables de estado y a las r entradas. Por lo tanto en este caso el operador “derivada” corresponde a la matriz Jacobiana .

1 1 1

1 2

1 2

( , ) ( , ) ( , )...

( , ) . . ... .( , ) ( , ) ( , )...

n

n n n

n

f x u f x u f x ux x x

f x ux

f x u f x u f x ux x x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

1 1 1

1 2

1 2

( , ) ( , ) ( , )...

( , ) . . ... .( , ) ( , ) ( , )...

r

n n n

r

f x u f x u f x uu u u

f x uu

f x u f x u f x uu u u

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

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SISTEMAS NO LINEALES

Si se evalúa la matriz Jacobiana en el punto de equilibrio (x0, u0) resulta una matriz de constantes , entonces:

0

0

( , )x x

u u

f x uAx =

=

∂=

∂ 0

0

( , )x x

u u

f x uBu =

=

∂=

∂

0

0

( , )ix xij

j u u

f x uax =

=

∂=

∂ 0

0

( , )ix xik

k u u

f x ubu =

=

∂=

∂

Finalmente el modelo linealizado en torno al punto (x0, u0) resulta:

*( ) *( ) *( )x t A x t B u t= ⋅ + ⋅

En donde los elementos de las matrices son:

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SISTEMAS NO LINEALES

EJEMPLO 1 :

Considérese un recipiente con forma de cono truncado, como se indica en lafigura, con un drenaje en su base y al que ingresa un líquido con un caudal Q1(t).

Q1

Q2

dS

dI

h

x R

Supóngase, además que el sistema está yaoperando en régimen permanente con uncaudal de entrada constante. En estascondiciones se denominan Q10 y Q20 a loscaudales de entrada y salida respectivamentey x0 la altura del liquido en el tanque.Obviamente es Q10.= Q20 .

A fin de disminuir la complejidad en lasexpresiones que relacionan algunas variablesconsidere que:

con R = constante.2

xQR

=

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SISTEMAS NO LINEALES

EJEMPLO 1 :

Considerando que el caudal neto de líquido que ingresa o sale del tanque tieneque ser igual a la variación de su volumen en el mismo, se puede plantear lasiguiente ecuación:

1 2( ) ( ) ( )dV t Q t Q t

dt= −

El volumen V es función de la altura x, siendo xfunción de t. Para simplificar las expresiones semantendrá implícita esta circunstancia.Relacionando ahora V con x se halla el modelobuscado:

2

0( ) ( ) y ( ) ( )

4

( ) con y

x

S II

V x A x dx A x d x

d dd x a bx a d bh

π= =

−= + = =

∫

siendo A(x) y d(x) el área de la sección transversal y el diámetro a la altura x, respectivamente.

Q1

Q2

dS

dI

h

x R

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SISTEMAS NO LINEALES

EJEMPLO 1:

Luego, el área será: ( ) ( )2 2( )4

A x a bx k a bxπ= + = +

Por lo tanto, el volumen en función de x es:

Entonces:

( ) ( )2 3

0( )

3x kV x k a bx dx a bx

b= + = +∫

( )2( ) dxV x k a bxdt

= +

( )21

1( ) dV dxV x k a bx x Qdt dt R

= = + = − +

El modelo de estado queda:

( ) ( ) 12 21 1( ) ( ) ( )

( ) ( )x t x t Q t

Rk a bx t k a bx t= − +

+ +

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SISTEMAS NO LINEALES

EJEMPLO 1 :

El modelo resulta no lineal. Para analizar el comportamiento ante pequeñasvariaciones del caudal de entrada, se linealiza alrededor del punto de equilibriox0 .

( )0

1 10

0 1013

0

2( , )x x

Q Q

a bx bRQf x Qx kR a bx=

=

− −∂=

∂ + ( )0

1 10

12

1 0

( , ) 1x x

Q Q

f x QQ k a bx=

=

∂=

∂ +

( ) ( ) 12 21 1( ) ( ) ( )

( ) ( )x t x t Q t

Rk a bx t k a bx t= − +

+ +

El modelo de estado linealizado queda:

con:

( ) ( )* * *0 10

13 20 0

2 1a bx bRQx x QkR a bx k a bx

− −= +

+ +

( ) ( )* *0 1 1 10 y x x x Q Q Q= − = −

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SISTEMAS NO LINEALES

EJEMPLO 1 :

Suponiendo los siguientes datos para el sistema:

[ ] [ ] [ ] 3 2

s 1 m . 0.25 m . 2 m . 10 mS Id d h R = = = =

El valor del punto de equilibrio para un caudal de entrada Q10= 10-3 m3/s es x0=1 m.

El modelo de estado linealizado en el entrorno del punto de equilibrio [x0,Q10] es:

* * *1 -0.0033 3.2595x x Q= ⋅ + ⋅

con: ( ) ( )* * 31 11 10x x y Q Q −= − = −

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SISTEMAS NO LINEALES

EJEMPLO 2:

El péndulo invertido es conocido por ser uno de los problemas más importantes y clásicos de la teoría de control. Se trata de un control inestable y no lineal. A menudo, es utilizado como ejemplo académico, principalmente por ser un sistema de control accesible, y por otro lado, permite mostrar las principales diferencias de control de lazo abierto y de su estabilización a lazo cerrado.

Se supone que la varilla no tiene masa, que la masa del carro es M y la masa en el extremo superior del péndulo invertido es m . Hay una fuerza externa, u(t), sobre el carrito en la dirección x, y una fuerza de gravedad que actúa sobre la masa del péndulo en todo momento .

El sistema de coordenadas elegido se define en la figura, donde x (t) representa la posición del carro y θ(t) es el ángulo de inclinación que se mide respecto de la dirección vertical.

xg

x

ygm.gL

θ

L.senθL.

cosθ

M

m

u(t)

Fr

0

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SISTEMAS NO LINEALES

ECUACIONES BÁSICAS

El centro de gravedad de la masa del péndulo viene dada por las coordenadas , ( xg, yg ) donde L es la longitud de la varilla del péndulo.

xg

x

ygm.gL

θ

L.senθ

L.co

sθ

M

m

u(t)

Fr

0

sen cosg gx x L y Lθ θ= + ⋅ = ⋅

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SISTEMAS NO LINEALES

ECUACIONES BÁSICAS

Considerando el diagrama de cuerpo aislado que se muestra a continuación:

2

2 x rd xF M u F Fdt

= = − −∑

x

Mu(t)

Fr

Fx

Fy

Aplicando la segunda ley de Newton para el movimiento del carro:

rdxF Bdt

= y

2 2

2 2 ( sen )gx

d x dF m m x Ldt dt

θ= = +

ygm.gL

θ

L.senθ

L.co

sθ

m

FxFy

xg

Teoría de Control

SISTEMAS NO LINEALES

ECUACIONES BÁSICAS

Reordenando la ecuación de fuerzas resulta:2 2

2 2 ( sen )d d dxM x m x L u Bdt dt dt

θ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅

Tomando nota de las siguientes definiciones,

22

2sen cos y sen cos send ddt dt

θ θ θ θ θ θ θ θ= ⋅ = ⋅ −

Tenemos:

2( ) cos sen (1)M m x m L m L B x uθ θ θ θ+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =

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SISTEMAS NO LINEALES

ECUACIONES BÁSICAS

Para el movimiento vertical del péndulo la ecuación de Newton resulta:

2 2

2 2 ( cos )gy

d y dF m g m m Ldt dt

θ− = =

Considerando ahora las siguientes definiciones,

Tenemos:

2 cos senyF m g m L m Lθ θ θ θ= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

22

2cos sen y cos sen cosd ddt dt

θ θ θ θ θ θ θ θ= − ⋅ = − ⋅ −

ygm.gL

θ

L.senθ

L.co

sθ

m

FxFy

xg

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SISTEMAS NO LINEALES

ECUACIONES BÁSICAS

De una manera similar, se realiza un equilibrio de momentos en el sistema , el momento es el producto de la componente perpendicular de la fuerza por la distancia hasta el punto de pivote ( longitud de brazo de palanca ,L ) . Considerando los momentos respecto del centro de gravedad de la masa m:

2

2 sen cosy xdM J F L F Ldtθ θ θ= = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅∑

Sustituyendo las expresiones de Fx y Fy

2

2

sen cos

cos sen

x

y

F m x L L

F m g L L

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

ygm.gL

θ

L.senθ

L.co

sθ

m

FxFy

xg

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SISTEMAS NO LINEALES

ECUACIONES BÁSICAS

Sustituyendo las expresiones anteriores en la ecuación de momentos

2

2

sen cos sen ...

... cos sen cos

m L g L L

m L x L L J

θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ

⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

2( ) sen cos (2)J m L m L g m L xθ θ θ+ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

Por lo tanto la representación del modelo matemático para este sistema están dadas por las ecuaciones . (1) y (2) . Estas ecuaciones representan definitivamente un sistema no lineal que es relativamente complicado desde un punto de vista matemático. Sin embargo, dado que el objetivo de este sistema en particular es mantener el péndulo invertido en posición vertical alrededor de θ=0, se podría considerar la linealización en torno al punto de equilibrio en posición vertical.

Simplificando se llega a:

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MODELO DE ESTADO

Para linealizar el modelo no lineal del péndulo invertido tenemos que ponerlo en forma de modelo de estado estándar ,

( ), ,d x f x u tdt

=

Para poner las ecuaciones (1) y (2) en esta forma, primero vamos a manipular las ecuaciones algebraicamente.De la ecuación (2):

2sen ( ) cos

m L g J m Lxm Lθ θ

θ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

Reemplazando en la ecuación (1):

2 2 2 2

2

cos ( ) ( ) ...

... cos sen ( ) sen

cos

m L J m L M m

m L B x m L m L g M mu

m L

θ θ

θ θ θ θ

θ

⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + −

− ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅

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SISTEMAS NO LINEALES

MODELO DE ESTADO

Despejando se obtiene:

( )2

2 2 2 2

cos sen ( ) sen

cos ( )

m L B x m L u g M m

m L J m L M m

θ θ θ θθ

θ

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ =⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ +

Reemplazando en la ecuación de x

2 2 2 2

2 2 2 2

sen cos ( )( sen ) cos ( ) ( )

m L g J m L m L B x uxm L J m L M mθ θ θ θ

θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ +

=⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ +

Definiendo como variables de estado 1 2 3 4 , , y x x x x x xθ θ= = = =

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SISTEMAS NO LINEALES

MODELO DE ESTADO

1 22 2 2 2

3 3 4 3 22 2 2 2 2

3

3 4

23 2 4 3 3

4 2 2 2 23

sen cos ( )( sen ) cos ( ) ( )

cos sen ( ) sencos ( ) ( )

x xm L g x x J m L m L x x B x ux

m L x J m L m Mx x

m L x B x m L x x u g m M xx

m L x J m L m M

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ =

⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ +

Para linealizar el modelo se calcula el punto de equilibio que se considera con el carro en la posición x=0 , el péndulo en la posición vertical y en una condición estática. La primer y tercer ecuación son ya lineales por lo tanto no requieren derivación, en tanto en las 2 restantes se debe derivar respecto de 3 variables y la entrada.

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SISTEMAS NO LINEALES

MODELO DE ESTADO

El resultado de la linealización en el punto de equilibrio es:

* *1 2

2 2 2* * *2 2 32 2

2*

2

* *3 4

* * *4 2 32 2

*2

( ) ...( ) ( )

...( )

( ) ...( ) ( )

...( )

x xB J m L m g Lx x x

J M m m M L J M m m M LJ m L u

J M m m M Lx x

m L B g M mx x xJ M m m M L J M m m M L

m L uJ M m m M L

=

+ ⋅ ⋅ ⋅ = − − + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

+ ⋅+

⋅ + + ⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅ +

= + +⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

⋅−

⋅ + + ⋅ ⋅

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ANÁLISIS DE SISTEMAS MEDIANTE MODELOS

MODELO DE ESTADO

Considerando los siguientes valores M = 0.5 Kg; m = 0.2 Kg; B = 0.1 N.m/s; J = 0.006 N.m/s2; g = 9.8 m/s2 y L = 0.3 m el modelo queda:

* * *

*

0 1 0 0 00 0.1818 2.673 0 1.818

( ) ( ) ( )0 0 0 1 00 0.4545 519.697 0 4.545

1 0 0 0( ) ( )

0 0 1 0

x t x t u t

y t x t

− − = + −

=

La función de transferencia del ángulo de inclinación es:

Como puede verse el sistema es inestable

( ) 4.5455( ) ( 22.8) ( 22.8) ( 0.1795)s s

U s s s sθ −

=− + +