Apéndice A: Fórmulas generales de la linealización

Una ecuación diferencial no-lineal es una ecuación donde las derivadas del estado tienen una relación no-lineal con el estado mismo y/o el control (entrada de la planta). En otras palabras, las ecuaciones diferenciales no la podemos llevar a la forma:

x F x G u

pero sí a la forma:

x f x u ( , )

Para la linealización de señales pequeñas, primero determinamos los valores de

equilibrio xo, uo, esto es, los valores donde x f x uo o o

0 ( , ) . Luego expandimos la

ecuación no-lineal en términos de perturbaciones desde el punto de equilibrio; esto es x x xo y u u uo . Entonces:

x x f x u F x G uo o o

( , )

donde F y G son las matrices que mejor ajustan la función no-lineal f(x,u) en el punto xo, uo. Sustrayendo la ecuación del equilibrio, la ecuación queda reducida a:

x F x G u

la cual es una ecuación diferencial lineal que se aproxima a la dinámica del sistema alrededor del punto de equilibrio.

NOTA: Observemos que si la expansión es en serie de Taylor; F y G son los gradientes de f con respecto a x y u, respectivamente, evaluados en xo y uo.

Teoría de control Fórmulas de linealización · 66