8/1/2019 Tensor deformacin medios continuos 2 de mayo

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Tensor deformacin

El tensor deformacin o tensor de deformaciones es untensorsimtrico usado enmecnica de

medios continuosymecnica de slidos deformablespara caracterizar el cambio de forma y volumen de

un cuerpo. En tres dimensiones un tensor (de rango dos) de deformacin tiene la forma general:

Donde cada una de las componentes del anterior tensor es una funcin cuyo dominio es el conjunto

de puntos del cuerpo cuyadeformacinpretende caracterizarse. El tensor de deformaciones est

relacionado con eltensor de tensionesmediante lasecuaciones de Hookegeneralizadas, que son

relaciones de tipo termodinmico o ecuaciones constitutivas para el material del que est hecho el

cuerpo.

Tngase en cuenta que estas componentes ij) en general varan de punto a punto del cuerpo y por

tanto la deformacin de cuerpos tridimensionales se representa por uncampo tensorial.

Tipos de tensores de deformacin

Enmecnica de medios continuosse distingue entre varios tipos de tensores para representar ladeformacin. Los tensores finitos de deformacin miden la verdadera deformacin, pueden usarsetanto deformaciones grandes como pequeas y pueden dar cuenta de no-linealidades geomtricas.Cuando las deformaciones son pequeas con bastante adecuacin se puede usar el tensor infinitesimalde deformaciones que se obtiene despreciando algunos trminos no-lineales de los tensores finitos. Enla prctica ms comn de la ingeniera para la mayora de aplicaciones prcticas se usan tensoresinfinitesimales. Adems para los tensores finitos se diferencia entre tensores materiales y tensoresespaciales segn sea el sistema de coordenadas usado para representarlo.

Tensor infinitesimal de deformacin

Tensor inifitesimal de Green-Cauchy, o tensor ingenieril de deformaciones, es el usadocomnmente eningeniera estructuraly que constituye una aproximacin para caracterizar lasdeformaciones en el caso de muy pequeas deformaciones (inferiores en valor absoluto a 0,01).Encoordenadas cartesianasdicho tensor se expresa en trminos de las componentes del campo dedesplazamientos como sigue:

Donde:

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformableshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformableshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformableshttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hookehttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hookehttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hookehttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Ingenier%C3%ADa_estructuralhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hookehttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor_tensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Deformaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_s%C3%B3lidos_deformableshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_de_medios_continuoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor

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representa el campo vectorial de desplazamientos del

cuerpo, es decir, la diferencia entre la posicin final e inicial de cada punto

y x1 = x, x2 =yy x3 = zson las coordenadas tomadas sobre la forma geomtrica original del

cuerpo.

son las coordenadas de cada punto material del cuerpo.

Las componentes del tensor infinitesimal de Green-Cauchy admiten interpretaciones fsicasrelativamente simples:

El elemento diagonal ii, tambin denotado i, representa los cambios relativos de longituden la direccin i, direccin dada por el eje Xi). La suma 11+22+33 es igual al cambio devolumen relativo del cuerpo.

Los elementos ij(= 1/2ij) (ij) representan deformaciones angulares, ms concretamentela variacin del ngulo recto entre las direcciones ortogonales iyj. Por tanto la distorsin ocambio de forma viene caracterizada por 3 componentes de este tensor deformacin (12,13, 23).

Tensores finitos de deformacin

Todos estos tensores se construyen a partir del tensor gradiente de deformaciones (tensoresmateriales) o bien de su inverso (tensores espaciales). Si pensamos que una deformacin es una

aplicacin: donde Kes el conjunto de puntos del espacioocupados por el slido (o medio continuo) antes de la deformacin yK'el conjunto de puntos del espacioocupados despus de la deformacin. Entonces podemos definir tensor gradiente dedeformaciones como lamatriz jacobianade TD:

Donde (x,y,z) representan las coordenadas de un punto genrico antes de la deformacin y ( x',y',z')las coordenadas del mismo punto despus de la deformacin. En funcin de este tensor gradiente dedeformaciones se definien los siguientes tensores finitos de deformacin:

Tensor Deformacin material de Green-Lagrange. Se puede obtener a partir del tensorgradiente de deformacin y su transpuesta:

O bien en funcin del campo de desplazamientos:

Tensor espacial (finito) de Almansi. Se puede obtener a partir del inverso del tensor gradientede deformacin y su traspuesto de un modo similar a como se obtena el tensor material y es lacontrapartida "espacial" del tensor de Green-Lagrange:

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_jacobianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_jacobianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_jacobianahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_jacobiana

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Tensor material (finito) de Finger (porJosef Finger(1894)). Siendo G el tensor de la baseen la configuracin indeformada o base material, se define como:

Bibliografa

Luis Ortiz Berrocal (1998): Elasticidad, ed. McGraw-Hill,ISBN 84-481-2046-9.

R. J. Atkin & N. Fox: An Introduction to the Theory of Elasticity, ed. Dover,ISBN 0-4

http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Josef_Finger&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Josef_Finger&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Josef_Finger&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8448120469http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8448120469http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8448120469http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0486442411http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0486442411http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0486442411http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/0486442411http://es.wikipedia.org/wiki/Especial:FuentesDeLibros/8448120469http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Josef_Finger&action=edit&redlink=1