Tendencias innovadoras en educacin matemticaTENDENCIAS INNOVADORAS EN EDUCACIN MATEMTICAMiguel de Guzmn OzmizUniversidad Complutense de MadridIntroduccin1. Por qu la enseanza de la matemtica es tarea difcil?2. Situacin actual de cambio en la didctica de las matemticas3. Tendencias generales actuales3.1 Una consideracin de fondo. Qu es la actividad matemtica?3.2 La educacin matemtica como proceso de "inculturacin3.3 Continuo apoyo en la intuicin directa de lo concreto. Apoyo permanente en lo real3.4 Los procesos del pensamiento matemtico. El centro de la educacin matemtica3.5 Los impactos de la nueva tecnologa3.6 Conciencia de la importancia de la motivacin4. Cambios en los principios metodolgicos aconsejables4.1 Hacia la adquisicin de los procesos tpicos del pensamiento matemtico.4.2 Sobre el papel de la historia en el proceso de formacin del matemtico4.3 Sobre la utilizacin de la historia en la educacin matemtica4.4 La heurstica ("problem solving") en la enseanza de la matemtica4.5 Sobre la preparacin necesaria para la enseanza de la matemtica a travs de la resolucin de problemas4.6 Diseo de una reunin de trabajo en grupo4.7 Modelizacin y aplicaciones en la educacin matemtica4.8 El papel del juego en la educacin matemtica4.9 Importancia actual de la motivacin y presentacin4.10 Fomento del gusto por la matemtica5. Algunas tendencias actuales en los contenidos5.1 Un desplazamiento hacia la matemtica discreta?5.2 Impactos en los contenidos de los mtodos modernos de clculo5.3 Hacia una recuperacin del pensamiento geomtrico y de la intuicin espacial5.4 Auge del pensamiento aleatorio. Probabilidad y estadstica6. Desiderata6.1 Atencin a la formacin inicial y permanente de los profesores de matemtica6.2 Atencin a la investigacin en educacin matemtica6.3 Atencin a la educacin matemtica de la sociedad. Popularizacin de la matemtica6.4 Atencin al talento precoz en matemticaBibliografaIntroduccinLas notas que siguen contienen una serie de observaciones personales sobre algunos aspectos del panorama actual de la educacin matemtica, que, por diversas razones que intentar explicar, distan mucho de haber alcanzado una fase de estabilidad. En su conjunto, parece que la educacin matemtica, por su propia naturaleza, como se indica en la Seccin 1, deba ser uno de esos temas complicados que haya de permanecer en constante revisin. En la Seccin 2 se presentan unas cuantas reflexiones sobre la situacin de cambio en la que actualmente nos encontramos, sealando las razones profundas que nos mueven en la actualidad para desear salir de algunas vas menos deseables en las que la enseanza matemtica se introdujo en un pasado reciente. La Seccin 3 se dedica a apuntar algunas tendencias generales que sealan las lneas de trabajo ms llamativas en la actualidad. De estas tendencias se derivan de forma natural, por una parte, algunos cambios en los principios metodolgicos que deberan guiar la enseanza y aprendizaje de nuestros das, lo que se presenta en la Seccin 4, y por otra, cambios en los contenidos mismos de nuestra educacin, ms acordes con las finalidades que hoy se pretenden, tal como queda explicado en la Seccin 5. Finalmente, la Seccin 6 presenta unos pocos proyectos que, a mi parecer, sera deseable que nuestra comunidad matemtica fuese realizando para conseguir una educacin ms sana y eficaz. La bibliografa al final del trabajo remite a unos pocos artculos clave, cuyas bibliograflas extensas pueden servir como fuente de informacin ms profunda.Subir

1. POR QU LA ENSEANZA DE LA MATEMTICA ES TAREA DIFCIL? La matemtica es una actividad vieja y polivalente. A lo largo de los siglos ha sido empleada con objetivos profundamente diversos. Fue un instrumento para la elaboracin de vaticinios, entre los sacerdotes de los pueblos mesopotmicos. Se consider como un medio de aproximacin a una vida ms profundamente humana y como camino de acercamiento a la divinidad, entre los pitagricos. Fue utilizado como un importante elemento disciplinador del pensamiento, en el Medievo. Ha sido la ms verstil e idnea herramienta para la exploracin del universo, a partir del Renacimiento. Ha constitudo una magnfica gua del pensamiento filosfico, entre los pensadores del racionalismo y filsofos contemporneos. Ha sido un instrumento de creacin de belleza artstica, un campo de ejercicio ldico, entre los matemticos de todos los tiempos... Por otra parte, la matemtica misma es una ciencia intensamente dinmica y cambiante. De manera rpida y hasta turbulenta en sus propios contenidos. Y aun en su propia concepcin profunda, aunque de modo ms lento. Todo ello sugiere que, efectivamente, la actividad matemtica no puede ser una realidad de abordaje sencillo. El otro miembro del binomio educacin-matemtica, no es tampoco nada simple. La educacin ha de hacer necesariamente referencia a lo ms profundo de la persona, una persona an por conformar, a la sociedad en evolucin en la que esta persona se ha de integrar, a la cultura que en esta sociedad se desarrolla, a los medios concretos personales y materiales de que en el momento se puede o se quiere disponer, a las finalidades prioritarias que a esta educacin se le quiera asignar, que pueden ser extraordinariamente variadas... La complejidad de la matemtica y de la educacin sugiere que los tericos de la educacin matemtica, y no menos los agentes de ella, deban permanecer constantemente atentos y abiertos a los cambios profundos que en muchos aspectos la dinmica rpidamentemutante de la situacin global venga exigiendo.La educacin, como todo sistema complejo, presenta una fuerte resistencia al cambio. Esto no es necesariamente malo. Una razonable persistencia ante las variaciones es la caracterstica de los organismos vivos sanos. Lo malo ocurre cuando esto no se conjuga con una capacidad de adaptacin ante la mutabilidad de las circunstancias ambientales. En la educacin matemtica a nivel internacional apenas se haban producido cambios de consideracin desde principios de siglo hasta los aos 60. A comienzos de siglo haba tenido lugar un movimiento de renovacin en educacin matemtica, gracias al inters inicialmente despertado por la prestigiosa figura del gran matemtico alemn Flix Klein, con sus proyectos de renovacin de la enseanza media y con sus famosas lecciones sobre Matemtica elemental desde un punto de vista superior (1908). En nuestro pas ejercieron gran influencia a partir de 1927, por el inters de Rey Pastor, quien public, en su Biblioteca Matemtica, su traduccin al castellano. En los aos 60 surgi un fuerte movimiento de innovacin. Se puede afirmar con razn que el empuje de renovacin de aquel movimiento, a pesar de todos los desperfectos que ha trado consigo en el panorama educativo internacional, ha tenido, con todo, la gran virtud de llamar la atencin sobre la necesidad de alerta constante sobre la evolucin del sistema educativo en matemticas a todos los niveles. Los cambios introducidos en los aos 60 han provocado mareas y contramareas a lo largo de la etapa intermedia. Hoy da, podemos afirmar con toda justificacin que seguimos estando en una etapa de profundos cambios.Subir

2. SITUACIN ACTUAL DE CAMBIO EN LA DIDCTICA DE LA MATEMTICA Los ltimos treinta aos han sido escenario de cambios muy profundos en la enseanza de las matemticas. Por los esfuerzos que la comunidad internacional de expertos en didctica sigue realizando por encontrar moldes adecuados est claro que vivimos an actualmente una situacin de experimentacin y cambio. El movimiento de renovacin de los aos 60 y 70 hacia la matemtica moderna trajo consigo una honda transformacin de la enseanza, tanto en su talante profundo como en los contenidos nuevos con l introducidos. Entre las principales caractersticas del movimiento y los efectos por l producidos se pueden contar los siguientes: - Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas reas, especialmente en lgebra. - Se pretendi profundizar en el rigor lgico, en la comprensin, contraponiendo sta a los aspectos operativos y manipulativos. - Esto ltimo condujo de forma natural al nfasis en la fundamentacin a travs de las nociones iniciales de la teora de conjuntos y en el cultivo del lgebra, donde el rigor es fcilmente alcanzable. - La geometra elemental y la intuicin espacial sufri un gran detrimento. La geometra es, en efecto, mucho ms difcil de fundamentar rigurosamente. - Con respecto a las actividades fomentadas, la consecuencia natural fue el vaciamiento de problemas interesantes, en los que la geometra elemental tanto abunda, y su sustitucin por ejercicios muy cercanos a la mera tautologa y reconocimiento de nombres, que es, en buena parte, lo que el lgebra puede ofrecer a este nivel elemental. En los aos 70 se empez a percibir que muchos de los cambios introducidos no haban resultado muy acertados. Con la sustitucin de la geometra por el lgebra la matemtica elemental se vaci rpidamente de contenidos y de problemas interesantes. La patente carencia de intuicin espacial fue otra de las desastrosas consecuencias del alejamiento de la geometra de nuestros programas, defecto que hoy se puede percibir muy claramente en las personas que realizaron su formacin en aquellos aos. Se puede decir que los inconvenientes surgidos con la introduccin de la llamada matemtica moderna superaron con mucho las cuestionables ventajas que se haba pensado conseguir, como el rigor en la fundamentacin, la comprensin de las estructuras matemticas, la modernidad y el acercamiento a la matemtica contempornea... Los aos 70 y 80 han presentado una discusin, en muchos casos vehemente y apasionada, sobre los valores y contravalores de las tendencias presentes, y luego una bsqueda intensa de formas ms adecuadas de afrontar los nuevos retos de la enseanza matemtica por parte de la comunidad matemtica internacional. A continuacin quisiera dirigir mi atencin sucesivamente sobre los aspectos ms interesantes, a mi parecer, de esta bsqueda y de algunas respuestas parciales que van surgiendo en el panorama educativo de la matemtica.Subir

3. TENDENCIAS GENERALES ACTUALES3.1 Una consideracin de fondo. Qu es la actividad matemtica?La filosofia prevalente sobre lo que la actividad matemtica representa tiene un fuerte influjo, ms efectivo a veces de lo que aparenta, sobre las actitudes profundas respecto de la enseanza matemtica. La reforma hacia la matemtica moderna tuvo lugar en pleno auge de la corriente formalista (Bourbaki) en matemticas. No es aventurado pensar a priori en una relacin causa-efecto y, de hecho, alguna de las personas especialmente influyentes en el movimiento didctico, como Dieudonn, fueron importantes miembros del grupo Bourbaki. En los ltimos quince aos, especialmente a partir de la publicacin de la tesis doctoral de I. Lakatos (1976), Proofs and refutations, sehan producido cambios bastante profundos en el campo de las ideas acerca de lo que verdaderamente es el quehacer matemtico. La actividad cientfica en general es una exploracin de ciertas estructuras de la realidad, entendida sta en sentido amplio, como realidad fisica o mental. La actividad matemtica se enfrenta con un cierto tipo de estructuras que se prestan a unos modos peculiares detratamiento, que incluyen: a) una simbolizacin adecuada, que permite presentar eficazmente, desde el punto de vista operativo, las entidades que maneja; b) una manipulacin racional rigurosa, que compele al asenso de aquellos que se adhieren a las convenciones iniciales de partida; c) un dominio efectivo de la realidad a la que se dirige, primero racional, del modelo mental que se construye, y luego, si se pretende, de la realidad exterior modelada. La antigua definicin de la matemtica como ciencia del nmero y de la extensin, no es incompatible en absoluto con la aqu propuesta, sino que corresponde a un estadio de la matemtica en que el enfrentamiento con la realidad se haba plasmado en dos aspectos fundamentales, la complejidad proveniente de la multiplicidad (lo que da origen al nmero, a la aritmtica) y la complejidad que procede del espacio (lo que da lugar a la geometra, estudio de la extensin). Ms adelante el mismo espritu matemtico se habra de enfrentar con: - la complejidad del smbolo (lgebra); - la complejidad del cambio y de la causalidad determinstica (clculo); - la complejidad proveniente de la incertidumbre en la causalidad mltiple incontrolable (probabilidad, estadstica); - complejidad de la estructura formal del pensamiento (lgica matemtica)... La filosofa de la matemtica actual ha dejado de preocuparse tan insistentemente como en la primera mitad del siglo sobre los problemas de fundamentacin de la matemtica, especialmente tras los resultados de Gdel a comienzos de los aos 30, para enfocar su atencin en el carcter cuasiemprico de la actividad matemtica (I. Lakatos), as como en los aspectos relativos a la historicidad e inmersin de la matemtica en la cultura de la sociedad en la que se origina (R. L. Wilder), considerando la matemtica como un subsistema cultural con caractersticas en gran parte comunes a otros sistemas semejantes. Tales cambios en lo hondo del entender y del sentir mismo de los matemticos sobre su propio quehacer vienen provocando, de forma ms o menos consciente, fluctuaciones importantes en las consideraciones sobre lo que la enseanza matemtica debe ser.Subir

3.2. La educacin matemtica como proceso de inculturacin La educacin matemtica se debe concebir como un proceso de inmersin en las formas propias de proceder del ambiente matemtico, a la manera como el aprendiz de artista va siendo imbuido, como por smosis, en la forma peculiar de ver las cosas caracterstica de la escuela en la que se entronca. Como vamos a ver en seguida, esta idea tiene profundas repercusiones en la manera de enfocar la enseanza y aprendizaje de la matemtica.Subir

3.3. Continuo apoyo en la intuicin directa de lo concreto. Apoyo permanente en lo real En los aos 80 hubo un reconocimiento general de que se haba exagerado considerablemente en las tendencias hacia la matemtica moderna en lo que respecta al nfasis en la estructura abstracta de la matemtica. Es necesario cuidar y cultivar la intuicin en general, la manipulacin operativa del espacio y de los mismos smbolos. Es preciso no abandonar la comprensin e inteligencia de lo que se hace, por supuesto, pero no debemos permitir que este esfuerzo por entender deje pasar a segundo plano los contenidos intuitivos de nuestra mente en su acercamiento a los objetos matemticos. Si la matemtica es una ciencia que participa mucho ms de lo que hasta ahora se pensaba del carcter de emprica, sobre todo en su invencin, que es mucho ms interesante que su construccin formal, es necesario que la inmersin en ella se realice teniendo en cuenta mucho ms intensamente la experiencia y la manipulacin de los objetos de los que surge. La formalizacin rigurosa de las experiencias iniciales corresponde a un estadio posterior. A cada fase de desarrollo mental, como a cada etapa histrica o a cada nivel cientfico, le corresponde su propio rigor. Para entender esta interaccin fecunda entre la realidad y la matemtica es necesario acudir, por una parte, a la propia historia de lamatemtica, que nos desvela ese proceso de emergencia de nuestra matemtica en el tiempo, y por otra parte, a las aplicaciones de la matemtica, que nos hacen patentes la fecundidad y potencia de esta ciencia. Con ello se hace obvio cmo la matemtica ha procedido de forma muy semejante a las otras ciencias, por aproximaciones sucesivas, por experimentos, por tentativas, unas veces fructuosas, otras estriles, hasta que va alcanzando una forma ms madura, aunque siempre perfectible. Nuestra enseanza ideal debera tratar de reflejar este carcter profundamente humano de la matemtica, ganando con ello en asequibilidad, dinamismo, inters y atractivo.Subir

3.4. Los procesos del pensamiento matemtico. El centro de la educacin matemtica Una de las tendencias generales ms difundidas hoy consiste en el hincapi en la transmisin de los procesos de pensamiento propios de la matemtica, ms bien que en la mera transferencia de contenidos. La matemtica es, sobre todo, saber hacer, es una cienciaen la que el mtodo claramente predomina sobre el contenido. Por ello se concede una gran importancia al estudio de las cuestiones, en buena parte colindantes con la psicologa cognitiva, que se refieren a los procesos mentales de resolucin de problemas. Por otra parte, existe la conciencia, cada vez ms acusada, de la rapidez con la que, por razones muy diversas, se va haciendo necesario traspasar la prioridad de la enseanza de unos contenidos a otros. En la situacin de transformacin vertiginosa de la civilizacin en la que nos encontramos, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, es lo ms valioso que podemos proporcionar a nuestros jvenes. En nuestro mundo cientfico e intelectual tan rpidamente mutante vale mucho ms hacer acopio de procesos de pensamiento tiles que de contenidos que rpidamente se convierten en lo que Whitehead llam ideas inertes, ideas que forman un pesado lastre, que no son capaces de combinarse con otras para formar constelaciones dinmicas, capaces de abordar los problemas del presente. En esta direccin se encauzan los intensos esfuerzos por transmitir estrategias heursticas adecuadas para la resolucin de problemas en general, por estimular la resolucin autnoma de verdaderos problemas, ms bien que la mera transmisin de recetas adecuadas en cada materia.Subir

3.5. Los impactos de la nueva tecnologa La aparicin de herramientas tan poderosas como la calculadora y el ordenador actuales est comenzando a influir fuertemente en los intentos por orientar nuestra educacin matemtica primaria y secundaria adecuadamente, de forma que se aprovechen al mximo de tales instrumentos. Es claro que, por diversas circunstancias tales como coste, inercia, novedad, impreparacin de profesores, hostilidad de algunos... an no se ha logrado encontrar moldes plenamente satisfactorios. Este es uno de los retos importantes del momento presente. Ya desde ahora se puede presentir que nuestra forma de enseanza y sus mismos contenidos tienen que experimentar drsticas reformas. El acento habr que ponerlo, tambin por esta razn, en la comprensin de los procesos matemticos ms bien que en la ejecucin de ciertas rutinas que en nuestra situacin actual ocupan todava gran parte de la energa de nuestros alumnos, con el consiguiente sentimiento de esterilidad del tiempo que en ello emplean. Lo verdaderamente importante vendr a ser su preparacin para el dilogo inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casi es presente.Subir

3.6 Conciencia de la importancia de la motivacin Una preocupacin general que se observa en el ambiente conduce a la bsqueda de la motivacin del alumno desde un punto de vista ms amplio, que no se limite al posible inters intrnseco de la matemtica y de sus aplicaciones. Se trata de hacer patentes los impactos mutuos que la evolucin de la cultura, la historia, los desarrollos de la sociedad, por una parte, y la matemtica, por otra, se han proporcionado. Cada vez va siendo ms patente la enorme importancia que los elementos afectivos que involucran a toda la persona pueden tener incluso en la vida de la mente en su ocupacin con la matemtica. Es claro que una gran parte de los fracasos matemticos de muchos de nuestros estudiantes tienen su origen en un posicionamiento inicial afectivo totalmente destructivo de sus propias potencialidades en este campo, que es provocado, en muchos casos, por la inadecuada introduccin por parte de sus maestros. Por eso se intenta tambin, a travs de diversos medios, que los estudiantes perciban el sentimiento esttico, el placer ldico que la matemtica es capaz de proporcionar, a fin de involucrarlos en ella de un modo ms hondamente personal y humano. En nuestro ambiente contemporneo, con una fuerte tendencia hacia la deshumanizacin de la ciencia, a la despersonalizacin producida por nuestra cultura computarizada, es cada vez ms necesario un saber humanizado en que el hombre y la mquina ocupen cada uno el lugar que le corresponde. La educacin matemtica adecuada puede contribuir eficazmente en esta importante tarea.Subir

4. CAMBIOS EN LOS PRINCIPIOS METODOLGICOS ACONSEJABLESA la vista de estas tendencias generales apuntadas en la seccin anterior se pueden sealar unos cuantos principios metodolgicos que podran guiar apropiadamente nuestra enseanza.Subir4.1. Hacia la adquisicin de los procesos tpicos del pensamiento matemtico. La inculturacin a travs del aprendizaje activo. Cmo debera tener lugar el proceso de aprendizaje matemtico a cualquier nivel? De una forma semejante a la que el hombre ha seguido en su creacin de las ideas matemticas, de modo parecido al que el matemtico activo utiliza al enfrentarse con el problema de matematizacin de la parcela de la realidad de la que se ocupa. Se trata, en primer lugar, de ponernos en contacto con la realidad matematizable que ha dado lugar a los conceptos matemticos que queremos explorar con nuestros alumnos. Para ello deberamos conocer a fondo el contexto histrico que enmarca estos conceptos adecuadamente. Por qu razones la comunidad matemtica se ocup con ahnco en un cierto momento de este tema y lo hizo el verdadero centro de su exploracin tal vez por un perodo de siglos? Es extraordinariamente til tratar de mirar la situacin con la que ellos se enfrentaron con la mirada perpleja con que la contemplaron nicialmente. La visin del tema que se nos brinda en muchos de nuestros libros de texto se parece en demasiadas ocasiones a una novela policiaca que aparece ya destripada desde el principio por haber comenzado contando el final. Contada de otra forma ms razonable podra ser verdaderamente apasionante. Normalmente la historia nos proporciona una magnfica gua para enmarcar los diferentes temas, los problemas de los que han surgido los conceptos importantes de la materia, nos da luces para entender la razn que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con inters. Si conocemos la evolucin de las ideas de las que pretendemos ocuparnos, sabremos perfectamente el lugar que ocupan en las distintas consecuencias, aplicaciones interesantes que de ellas han podido surgir, la situacin reciente de las teoras que de ellas handerivado... En otras ocasiones el acercamiento inicial se puede hacer a travs del intento directo de una modelizacin de la realidad en la que el profesor sabe que han de aparecer las estructuras matemticas en cuestin. Se puede acudir para ello a las otras ciencias que hacen uso de las matemticas, a circunstancias de la realidad cotidiana o bien a la presentacin de juegos tratables matemticamente, de los que en ms de una ocasin a lo largo de la historia han surgido ideas matemticas de gran profundidad, como veremos ms adelante. Puestos con nuestros estudiantes delante de las situaciones-problema en las que tuvo lugar la gestacin de las ideas con las que queremos ocupamos, deberemos tratar de estimular su bsqueda autnoma, su propio descubrimiento paulatino de estructuras matemticas sencillas, de problemas interesantes relacionados con tales situaciones que surgen de modo natural. Es claro que no podemos esperar que nuestros alumnos descubran en un par de semanas lo que la humanidad elabor tal vez a lo largo de varios siglos de trabajo intenso de mentes muy brillantes. Pero es cierto que la bsqueda con gua, sin aniquilar el placer de descubrir, es un objetivo alcanzable en la enseanza y aprendizaje de las matemticas, as como la deteccin de tcnicas concretas, de estrategias tiles de pensamiento en el campo en cuestin y de su transmisin a los estudiantes. La teora, as concebida, resulta llena de sentido, plenamente motivada y mucho ms fcilmente asimilable. Su aplicacin a la resolucin de los problemas, que en un principio aparecan como objetivos inalcanzables, puede llegar a ser una verdadera fuente desatisfaccin y placer intelectual, de asombro ante el poder del pensamiento matemtico eficaz y de una fuerte atraccin hacia la matemtica.Subir

4.2. Sobre el papel de la historia en el proceso de formacin del matemtico A mi parecer, un cierto conocimiento de la historia de la matemtica, debera formar parte indispensable del bagaje de conocimientos del matemtico en general y del profesor de cualquier nivel, primario, secundario o terciario, en particular. Y, en el caso de este ltimo, no slo con la intencin de que lo pueda utilizar como instrumento en su propia enseanza, sino primariamente porque la histora le puede proporcionar una visin verdaderamente humana de la ciencia y de la matemtica, de lo cual suele estar tambin el matemtico muy necesitado. La visin histrica transforma meros hechos y destrezas sin alma en porciones de conocimiento buscadas ansiosamente y en muchas ocasiones con genuina pasin por hombres de carne y hueso que se alegraron inmensamente cuando por primera vez dieron con ellas. Cuntos de esos teoremas, que en nuestros das de estudiantes nos han aparecido como verdades que salen de la oscuridad y se dirigen hacia la nada, han cambiado de aspecto para nosotros al adquirir un perfecto sentido dentro de la teora, despus de haberla estudiado ms a fondo, includo su contexto histrico y biogrfico. La perspectiva histrica nos acerca a la matemtica como ciencia humana, no endiosada, a veces penosamente reptante y en ocasiones falible, pero capaz tambin de corregir sus errores. Nos aproxima a las interesantes personalidades de los hombres que han ayudado a impulsarlas a lo largo de muchos siglos, por motivaciones muy distintas. Desde el punto de vista del conocimiento ms profundo de la propia matemtica, la historia nos proporciona un cuadro en el que los elementos aparecen en su verdadera perspectiva, lo que redunda en un gran enriquecimiento tanto para el matemtico tcnico, como para el que ensea. Si cada porcin de conocimiento matemtico de nuestros libros de texto llevara escrito el nmero de un siglo al que se le pudiera asignar con alguna aproximacin, veramos saltar locamente los nmeros, a veces dentro de la misma pgina o del mismo prrafo. Conjuntos, nmeros naturales, sistemas de numeracin, nmeros racionales, reales, complejos, ... decenas de siglos de distancia hacia atrs, hacia adelante, otra vez hacia atrs, vertiginosamente. No se trata de que tengamos que hacer conscientes a nuestros alumnos de tal circunstancia. El orden lgico no es necesariamente el orden histrico, ni tampoco el orden didctico coincide con ninguno de los dos. Pero el profesor debera saber cmo han ocurrido las cosas, para: - comprender mejor las dificultades del hombre genrico, de la humanidad, en la elaboracin de las ideas matemticas, y a travs deello las de sus propios alumnos; - entender mejor la ilacin de las ideas, de los motivos y variaciones de la sinfona matemtica; - utilizar este saber como una sana gua para su propia pedagoga. El conocimiento de la historia proporciona una visin dinmica de la evolucin de la matemtica. Se puede barruntar la motivacin delas ideas y desarrollos en el inicio. Ah es donde se pueden buscar las ideas originales en toda su sencillez y originalidad, todava consu sentido de aventura, que muchas veces se hace desaparecer en los textos secundarios. Como dice muy acertadamente O. Toeplitz:Con respecto a todos los temas bsicos del clculo infinitesimal...teorema del valor medio, serie de Taylor,... nunca se suscita la cuestin Por qu as precisamente? o Cmo se lleg a ello? Y sin embargo, todas estas cuestiones han tenido que ser en algn tiempoobjetivos de una intensa bsqueda, respuestas a preguntas candentes... Si volviramos a los orgenes de estas ideas, perderan esa apariencia de muerte y de hechos disecados y volveran a tomar una vida fresca y pujante. Tal visin dinmica nos capacitara para muchas tareas interesantes en nuestro trabajo educativo: - posibilidad de extrapolacin hacia el futuro; - inmersin creativa en las dificultades del pasado; - comprobacin de lo tortuoso de los caminos de la invencin, con la percepcin de la ambigedad, obscuridad, confusin iniciales, a media luz, esculpiendo torsos inconclusos... Por otra parte, el conocimiento de la historia de la matemtica y de la biografa de sus creadores ms importantes nos hace plenamente conscientes del carcter profundamente histrico, es decir, dependiente del momento y de las circunstancias sociales, ambientales, prejuicios del momento, ... as como de los mutuos y fuertes impactos que la cultura en general, la filosofa, la matemtica, la tecnologa, las diversas ciencias han ejercido unas sobre otras. Aspecto este ltimo del que los mismos matemticos enfrascados en su quehacer tcnico no suelen ser muy conscientes, por la forma misma en que la matemtica suele ser presentada, como si fuera inmune a los avatares de la historia. Desgraciadamente, tanto para el estudiante que desea sumergirse en la investigacin matemtica como para el que quiere dedicarse a sus aplicaciones a la enseanza, la historia de la matemtica suele estar totalmente ausente de la formacin universitaria en nuestro pas. A mi parecer sera extraordinariamente conveniente que las diversas materias que enseamos se beneficiaran de la visin histrica, como he dicho arriba, y que a todos nuestros estudiantes se les proporcionara siquiera un breve panorama global del desarrollo histrico de la ciencia que les va a ocupar toda su vida. Mientras llega una situacin razonable yo me atrevera a aconsejar: - la lectura atenta de algunos de los numerosos y excelentes tratados de historia que van apareciendo en castellano (Boyer, Kline, Colette, Grattan-Guinness...); - acudir, para los temas del inters particular de cada uno, a las fuentes originales, especialmente de los clsicos; - leer las biografas de los grandes matemticos, al menos en la forma sucinta en que aparecen en el Dictionary of Scientific Biography.Subir

4.3. Sobre la utilizacin de la historia en la educacin matemtica El valor del conocimiento histrico no consiste en tener una batera de historietas y ancdotas curiosas para entretener a nuestros alumnos a fin de hacer un alto en el camino. La historia se puede y se debe utilizar, por ejemplo, para entender y hacer comprender una idea difcil del modo ms adecuado. Quien no tenga la ms mnima idea de las vueltas y revueltas que el pensamiento matemtico ha recorrido hasta dar, pongamos por caso, con la nocin rigurosamente formalizada del nmero complejo, se sentir tal vez justificado para introducir en su enseanza los nmeros complejos como el conjunto de los pares de nmeros reales entre los cuales se establecen las siguientes operaciones....Quien sepa que ni Euler ni Gauss, con ser quienes eran, llegaron a dar ese rigor a los nmeros complejos y que a pesar de ello pudieron hacer cosas maravillosas relacionadas con ellos, se preguntar muy seriamente acerca de la conveniencia de tratar de introducir los complejos en la estructura cristalizada antinatural y dificil de tragar, que slo despus de varios siglos de trabajo llegaron a tener. Los diferentes mtodos del pensamiento matemtico, tales como la induccin, el pensamiento algebraico, la geometra analtica, elclculo infinitesimal, la topologa la probabilidad,... han surgido en circunstancias histricas muy interesantes y muy peculiares, frecuentemente en la mente de pensadores muy singulares, cuyos mritos, no ya por justicia, sino por ejemplaridad, es muy til resaltar. La historia debera ser un potente auxiliar para objetivos tales como: - hacer patente la forma peculiar de aparecer las ideas en matemticas; - enmarcar temporalmente y espacialmente las grandes ideas, problemas, junto con su motivacin, precedentes; - sealar los problemas abiertos de cada poca, su evolucin, la situacin en la que se encuentran actualmente; - apuntar las conexiones histricas de la matemtica con otras ciencias, en cuya interaccin han surgido tradicionalmente gran cantidad de ideas importantes.Subir

4.4. La heurstica ("problem solving") en la enseanza de la matemtica La enseanza a travs de la resolucin de problemas es actualmente el mtodo ms invocado para poner en prctica el principio general de aprendizaje activo y de inculturacin mencionado en el punto 4.1. Lo que en el fondo se persigue con ella es transmitir en loposible de una manera sistemtica los procesos de pensamiento eficaces en la resolucin de verdaderos problemas. Tengo un verdadero problema cuando me encuentro en una situacin desde la que quiero llegar a otra, unas veces bien conocida, otras un tanto confusamente perfilada, y no conozco el camino que me puede llevar de una a otra. Nuestros libros de texto estn, por lo general, repletos de meros ejercicios y carentes de verdaderos problemas. La apariencia exterior puede ser engaosa. Tambin en un ejercicio se expone una situacin y se pide que se llegue a otra: Escribir el coeficiente de x7en el desarrollo de (1 +x)32. Pero si esta actividad, que fue un verdadero problema para los algebristas del siglo XVI, se encuentra, como suele suceder, al final de una seccin sobre el binomio de Newton, no constituye ya ningn reto notable. El alumno tiene los caminos bien marcados. Si no es capaz de resolverun problema semejante, ya sabe que lo que tiene que hacer es aprenderse la leccin primero. La enseanza por resolucin de problemas pone el nfasis en los procesos de pensamiento, en los procesos de aprendizaje y toma loscontenidos matemticos, cuyo valor no se debe en absoluto dejar a un lado, como campo de operaciones privilegiado para la tarea de hacerse con formas de pensamiento eficaces. Se trata de considerar como lo ms importante: - que el alumno manipule los objetos matemticos; - que active su propia capacidad mental; - que ejercite su creatividad; - que reflexione sobre su propio proceso de pensamiento a fin de mejorarlo conscientemente; - que, a ser posible, haga transferencias de estas actividades a otros aspectos de su trabajo mental; - que adquiera confianza en s mismo; - que se divierta con su propia actividad mental; - que se prepare as para otros problemas de la ciencia y, posiblemente, de su vida cotidiana; - que se prepare para los nuevos retos de la tecnologa y de la ciencia. Cules son las ventajas de este tipo de enseanza? Por qu esforzarse para conseguir tales objetivos? He aqu unas cuantas razones interesantes: - porque es lo mejor que podemos proporcionar a nuestros jvenes: capacidad autnoma para resolver sus propios problemas; - porque el mundo evoluciona muy rpidamente: los procesos efectivos de adaptacin a los cambios de nuestra ciencia y de nuestra cultura no se hacen obsoletos; - porque el trabajo se puede hacer atrayente, divertido, satisfactorio, autorrealizador y creativo; - porque muchos de los hbitos que as se consolidan tienen un valor universal, no limitado al mundo de las matemticas; - porque es aplicable a todas las edades. En qu consiste la novedad? No se ha enseado siempre a resolver problemas en nuestras clase de matemticas? Posiblemente los buenos profesores de todos los tiempos han utilizado de forma espontnea los mtodos que ahora se propugnan. Pero lo que tradicionalmente se ha venido haciendo por una buena parte de nuestros profesores se puede resumir en las siguientes fases: exposicin de contenidos - ejemplos - ejercicios sencillos - ejercicios ms complicados - problemas? La forma de presentacin de un tema matemtico basada en el espritu de la resolucin de problemas debera proceder ms o menosdel siguiente modo: Propuesta de la situacin problema de la que surge el tema (basada en la historia, aplicaciones, modelos, juegos...) - manipulacin autnoma por los estudiantes - familiarizacin con la situacin y sus dificultades - elaboracin de estrategias posibles - ensayos diversos por los estudiantes - herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados) - eleccin de estrategias - ataque y resolucin de los problemas - recorrido crtico (reflexin sobre el proceso) - afianzamiento formalizado (si conviene) - generalizacin - nuevos problemas - posibles transferencias de resultados, de mtodos, de ideas... En todo el proceso el eje principal ha de ser la propia actividad dirigida con tino por el profesor, colocando al alumno en situacin departicipar, sin aniquilar el placer de ir descubriendo por s mismo lo que los grandes matemticos han logrado con tanto esfuerzo. Las ventajas del procedimiento bien llevado son claras: actividad contra pasividad, motivacin contra aburrimiento, adquisicin de procesos vlidos contra rgidas rutinas inmotivadas que se pierden en el olvido.... En mi opinin el mtodo de enseanza por resolucin de problemas presenta algunas dificultades que no parecen an satisfactoriamente resueltas en la mente de algunos profesores y mucho menos en la forma prctica de llevarlo a cabo. Se trata de armonizar adecuadamente las dos componentes que lo integran, la componente heurstica, es decir, la atencin a los procesos de pensamiento, y los contenidos especficos del pensamiento matemtico. A mi parecer existe en la literatura actual una buena cantidad de obras excelentes cuya atencin primordial se centra en los aspectosheursticos, puestos en prctica sobre contextos diversos, unos ms puramente ldicos, otros con sabor ms matemtico. Algunas de estas obras cumplen a la perfeccin, en mi opinin, su cometido de transmitir el espritu propio de la actitud de resolucin de problemas y de confirmar en quien se adentra en ellas las actitudes adecuadas para la ocupacin con este tipo de actividad. Sin embargo, creo que an no han surgido intentos serios y sostenidos por producir obras que efectivamente apliquen el espritu de la resolucin de problemas a la transmisin de aquellos contenidos de la matemtica de los diversos niveles que en la actualidad pensamos que deben estar presentes en nuestra educacin. Lo que suele suceder a aquellos profesores genuinamente convencidos de la bondad de los objetivos relativos a la transmisin de los procesos de pensamiento es que viven una especie de esquizofrenia, tal vez por falta de modelos adecuados, entre los dos polos alrededor de los que gira su enseanza, los contenidos y los procesos.Los viernes ponen el nfasis en los procesos de pensamiento, alrededor de situaciones que nada tienen que ver con los programas de su materia, y los dems das de la semana se dedican con sus alumnos a machacar bien los contenidos que hay que cubrir, sin acordarsepara nada de lo que el viernes pasado practicaron. Sera muy necesario que surgieran modelos, aunque fueran parciales, que integraran en un todo armonioso ambos aspectos de nuestra educacin matemtica. De todos modos, probablemente se puede afirmar que quien est plenamente imbudo en ese espritu de la resolucin de problemas se enfrentar de una manera mucho ms adecuada a la tarea de transmitir competentemente los contenidos de su programa. Por ello, considero importante trazar, aunque sea someramente, las lneas de trabajo que se pueden seguir a fin de conseguir una eficaz preparacin en el tema.Subir

4.5. Sobre la preparacin necesaria para la enseanza de la matemtica a travs de la resolucin de problemas La preparacin para este tipo de enseanza requiere una inmersin personal, seria y profunda. No se trata meramente de saber unos cuantos trucos superficiales, sino de adquirir unas nuevas actitudes que calen y se vivan profundamente. A mi parecer, esta tarea se realiza ms efectivamente mediante la formacin de pequeos grupos de trabajo. El trabajo en grupo en este tema tiene una serie de ventajas importantes: - proporciona la posibilidad de un gran enriquecimiento, al permitirnos percibir las distintas formas de afrontar una misma situacin-problema; - se puede aplicar el mtodo desde diferentes perspectivas, unas veces en el papel de moderador del grupo, otras en el de observador de su dinmica; - el grupo proporciona apoyo y estmulo en una labor que de otra manera puede resultar dura, por su complejidad y por la constancia que requiere; - el trabajo con otros nos da la posibilidad de contrastar los progresos que el mtodo es capaz de producir en uno mismo y en otros; - el trabajo en grupo proporciona la posibilidad de prepararse mejor para ayudar a nuestros estudiantes en una labor semejante con mayor conocimiento de los resortes que funcionan en diferentes circunstancias y personas. Algunos de los aspectos que es preciso atender en la prctica inicial adecuada son los siguientes: - exploracin de los diferentes bloqueos que actan en cada uno de nosotros, a fin de conseguir una actitud sana y agradable frente a la tarea de resolucin de problemas; - prctica de los diferentes mtodos y tcnicas concretas de desbloqueo; - exploracin de las aptitudes y defectos propios ms caractersticos, con la elaboracin de una especie de autorretrato heurstico; - ejercicio de diferentes mtodos y alternativas; - prctica sostenida de resolucin de problemas con la elaboracin de sus protocolos y su anlisis en profundidad.Subir

4.6. Diseo de una reunin de trabajo en grupo Me parece que puede resultar til en este punto sugerir un posible diseo para una reunin de trabajo en grupo segn un esquema que yo mismo he practicado en diferentes ocasiones con provecho razonable. Un equipo de trabajo puede constar de cinco o seis personas. Se podran reunir una vez por semana durante un buen periodo, como de un ao. Una sesin tpica puede durar una hora y media. La sesin tiene dos partes bien diferenciadas, siendo la segunda la verdaderamente importante. La primera parte tiene por objeto ir ampliando el panorama de conocimientos terico-prcticos del grupo.Primera parte (media hora).Uno de los miembros del equipo ha preparado, mediante lecturas adecuadas, un tema bien concreto de naturaleza terico-prctica, que podra consistir, por ejemplo, en el estudio de los bloqueos mentales de naturaleza afectiva. Lo exponeen 20 minutos y se establece un periodo de discusin, comentarios, preguntas, aclaraciones, de 10 minutos.Segunda parte (una hora). Una de las personas del grupo va a actuar en esta segunda parte como secretario, observador y seleccionador de problemas. Otra de ellas actuar como moderador. Los papeles de los componentes del grupo sern desempeados por turno en diferentes reuniones. El secretario para esta reunin ha elegido con anterioridad unos cuatro o cinco problemas que propone al resto. Es conveniente que sean verdaderos problemas, pero que al mismo tiempo no excedan la capacidad del grupo de resolverlos en un tiempo sensato. Es conveniente que el mismo secretario se haya familiarizado con las formas de resolver los problemas, pues aunque durante el proceso tendr que actuar meramente como observador, al final deber l mismo iluminar y complementar los resultados alcanzados por el grupo. Hay que recalcar que la finalidad principal de la actividad que el grupo va a realizar puede quedar perfectamente cumplida aunque los problemas no se resuelvan. Es muy conveniente, sin embargo, desde el punto de vista de la motivacin, que los problemas elegidos, por una parte, constituyan un verdadero reto, pero que al mismo tiempo sean susceptibles de solucin por el grupo. La misin del secretario-observador, aparte de la eleccin de los problemas, consiste en observar e ir anotando los puntos ms importantes del camino que sigue el resto del grupo en busca de la solucin del problema. El es el encargado de realizar el protocolo del proceso y sus observaciones y notas han de ayudar muy sustancialmente para la reflexin final que ha de seguir a esta etapa de trabajo. En general, permanecer en silencio, cosa nada fcil de llevar a cabo, pero parece conveniente que intervenga en alguna ocasin, si es necesario, por ejemplo, para preguntar sobre el origen de una nueva idea de algn componente del grupo, que probablemente se alejara de su memoria si se espera al perodo de reflexin al final del proceso. Como antes ha quedado dicho, de los otros cuatro o cinco componentes del grupo uno actua como moderador para esta reunin de trabajo. Los papeles de ponente, secretario y moderador van rotando en cada sesin. La forma de proceder del grupo hacia la resolucin del problema puede ser muy variada y sera conveniente experimentar diferentes esquemas para que cada grupo elija el que mejor se le adapta. Lo verdaderamente importante es que se cree una atmsfera en el grupo libre de inhibiciones, libre de competitividad, en que cada uno est deseoso de aportar sin imponer, abierto a aceptar incluso lo que a primera vista pueda parecer ms estrafalario, colaborando gustosamente para mejorar las ideas iniciadas por los otros y viendo con gusto cmo los otros van perfeccionando las ideas propuestas por l. La tarea esencial del moderador es precisamente mantener permanentemente este clima, estimulando, si hace falta, la aportacin del que tiende a callar demasiado e inhibiendo con suavidad la del que tiende a hablar en exceso, animando cuando el grupo parece quedarse pegado, tratando de abrir nuevas vas cuando todo parece cerrado... El esquema concreto de trabajo puede tener lugar segn estas cuatro fases que pueden servir como marco muy general: - El grupo se familiariza con el problema. - En busca de estrategias posibles. - El grupo selecciona y lleva adelante las estrategias que parecen ms adecuadas. - El grupo reflexiona sobre el proceso que ha seguido. En la bibliografia al final de estas notas se pueden encontrar varios lugares en los que he tratado de proporcionar una descripcin ms detallada de esta forma de proceder.Subir

4.7. Modelizacin y aplicaciones en la educacin matemtica Existe en la actualidad una fuerte corriente en educacin matemtica que sostiene con fuerza la necesidad de que el aprendizaje de las matemticas no se realice explorando las construcciones matemticas en si mismas, en las diferentes formas en que han cristalizado a lo largo de los siglos, sino en continuo contacto con las situaciones del mundo real que les dieron y les siguen dando su motivacin y vitalidad. Tal corriente est en plena consonancia con las ideas antes desarrolladas y parece como un corolario natural de ellas. La matemtica, como hemos visto, se origina como un intento por explorar, en su peculiar modo, las diferentes estructuras complejas que se prestan a ello. La creacin del matemtico se realiza espontneamente en este intento por dominar aspectos matematizables de la realidad. La educacin matemtica debera tener por finalidad principal la inculturacin, tratando de incorporar en ese espritu matemtico a los ms jvenes de nuestra sociedad. Parece obvio gue si nos limitramos en nuestra educacin a una mera presentacin de los resultados que constituyen el edificio puramente terico que se ha desarrollado en tal intento, dejando a un lado sus orgenes en los problemas que la realidad presenta y sus aplicaciones para resolver tales problemas, estaramos ocultando una parte muy interesante y sustancial de lo que la matemtica verdaderamente es. Aparte de que estaramos con ello prescindiendo del gran poder motivador que la modelizacin y las aplicaciones poseen.Subir

4.8. El papel del juego en la educacin matemtica La actividad matemtica ha tenido desde siempre una componente ldica que ha sido la que ha dado lugar a una buena parte de las creacciones ms interesantes que en ella han surgido. El juego, tal como el historiador J. Huizinga lo analiza en su obraHomo ludens, presenta unas cuantas caractersticas peculiares: - es una actividad libre, en el sentido de lapaideiagriega, es decir, una actividad que se ejercita por s misma, no por el provechoque de ella se pueda derivar; - tiene una cierta funcin en el desarrollo del hombre; el cachorro humano, como el animal, juega y se prepara con ello para la vida;tambin el hombre adulto juega y al hacerlo experimenta un sentido de liberacin, de evasin, de relajacin; - el juego no es broma;el peor revientajuegos es el que no se toma en serio su juego; - el juego, como la obra de arte, produce placer a travs de su contemplacin y de su ejecucin; - el juego se ejercita separado de la vida ordinaria en el tiempo y en el espacio; - existen ciertos elementos de tensin en l, cuya liberacin y catarsis causan gran placer; - el juego da origen a lazos especiales entre quienes lo practcan; - a travs de sus reglas el juego crea un nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y armona. Un breve anlisis de lo que representa la actividad matemtica basta para permitirnos comprobar que muchos de estos rasgos estnbien presentes en ella. La matemtica, por su naturaleza misma, es tambin juego, si bien este juego implica otros aspectos, como el cientfico, instrumental, filosfico, que juntos hacen de la actividad matemtica uno de los verdaderos ejes de nuestra cultura. Si el juego y la matemtica, en su propia naturaleza, tienen tantos rasgos comunes, no es menos cierto que tambin participan de las mismas caractersticas en lo que respecta a su propia prctica. Esto es especialmente interesante cuando nos preguntamos por los mtodos ms adecuados para transmitir a nuestros alumnos el profundo inters y el entusiasmo que las matemticas pueden generar ypara proporcionar una primera familiarizacin con los procesos usuales de la actividad matemtica. Un juego comienza con la introduccin de una serie de reglas, un cierto nmero de objetos o piezas, cuya funcin en el juego viene definida por tales reglas, exactamente de la misma forma en que se puede proceder en el establecimiento de una teora matemtica por definicin implcita: Se nos dan tres sistemas de objetos. Los del primer sistema los llamaremos puntos, los del segundo rectas... (Hilbert,Grundlagen der Geometrie). Quien se introduce en la prctica de un juego debe adquirir una cierta familiarizacin con sus reglas, relacionando unas piezas con otras al modo como el novicio en matemticas compara y hace interactuar los primeros elementos de la teora unos con otros. Estos son los ejercicios elementales de un juego o de una teora matemtica. Quien desea avanzar en el domnio del juego va adquiriendo unas pocas tcnicas simples que, en circunstancias que aparecen repetidas a menudo, conducen al xito. Estos son los hechos y lemas bsicos de la teora que se hacen fcilmente accesibles en una primera familiarizacin con los problemas sencillos del campo. Una exploracin ms profunda de un juego con una larga historia proporciona el conocimiento de los caminos peculiares de procederde los que han sido los grandes maestros en el campo. Estas son las estrategias de un nivel ms profundo y complejo que han requerido una intuicin especial, puesto que se encuentran a veces bien alejadas de los elementos iniciales del juego. Esto corresponde en matemticas a la fase en la que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos los grandes teoremas y mtodos que hansido creados a travs de la historia. Son los procesos de las mentes ms creativas que estn ahora a su disposicin para que l haga uso de ellas en las situaciones ms confusas y delicadas. Ms tarde, en los juegos ms sofisticados, donde la reserva de problemas nunca se agota, el jugador experto trata de resolver de forma original situaciones del juego que nunca antes han sido exploradas. Esto corresponde al enfrentamiento en matemticas con los problemas abiertos de la teora. Finalmente, hay unos pocos que son capaces de crear nuevos juegos, ricos en ideas interesantes y en situaciones capaces de motivarestrategias y formas innovadoras de jugar. Esto es paralelo a la creacin de nuevas teoras matemticas, frtiles en ideas y problemas,posiblemente con aplicaciones para resolver otros problemas abiertos en matemticas y para revelar niveles de la realidad ms profundos que hasta ahora haban permanecido en la penumbra. La matemtica y los juegos han entreverado sus caminos muy frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente en la historia de lasmatemticas la aparicin de una observacin ingeniosa, hecha de forma ldica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento. En laantigedad se puede citar elI Chingcomo origen del pensamiento combinatorio, y de tiempos ms modernos se puede citar en estecontexto a Fibonacci, Cardano, Fermat, Pascal, Leibniz, Euler, Daniel Bernoulli... Del valor de los juegos para despertar el inters de los estudiantes se ha expresado muy certeramente Martin Gardner, el gran experto de nuestro tiempo en la presentacin lcida, interesante y profunda de multitud de juegos por muchos aos en sus columnas de la revista americanaScientific American: "Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante consiste en ofrecerle un intrigante juego, puzzle, truco de mata, chiste, paradoja, pareado de naturaleza matemtica o cualquiera de entre una veintena de cosas que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frvolas"(Carnaval Matemtico, Prlogo). El matemtico experto comienza su aproximacin a cualquier cuestin de su campo con el mismo espritu explorador con el que un nio comienza a investigar un juguete recin estrenado, abierto a la sorpresa, con profunda curiosidad ante el misterio que poco a pocoespera iluminar, con el placentero esfuerzo del descubrimiento. Por qu no usar este mismo espritu en nuestra aproximacin pedaggica a las matemticas? A mi parecer, el gran beneficio de este acercamiento ldico consiste en su potencia para transmitir al estudiante la forma correcta de colocarse en su enfrentamiento con problemas matemticos. La matemtica es un grande y sofisticado juego que, adems, resulta ser al mismo tiempo una obra de arte intelectual, que proporciona una intensa luz en la exploracin del universo y tiene grandes repercusiones prcticas. En su aprendizaje se puede utilizar con gran provecho, como hemos visto anteriormente, sus aplicaciones, su historia, las biografas de los matemticos ms interesantes, sus relaciones con la filosofa o con otros aspectos de la mente humana, pero posiblemente ningn otro camino puede transmitir cul es el espritu correcto para hacer matemticas como un juego bien escogido.Subir

4.9. Importancia actual de la motivacin y presentacin Nuestros alumnos se encuentran intensamente bombardeados por tcnicas de comunicacin muy poderosas y atrayentes. Es una fuerte competencia con la que nos enfrentamos en la enseanza cuando tratamos de captar una parte sustancial de su atencin. Es necesario que lo tengamos en cuenta constantemente y que nuestro sistema educativo trate de aprovechar a fondo tales herramientas como el vdeo, la televisin, la radio, el peridico, el cmic, la vieta, la participacin directa... Pienso que estamos aun muy lejos de saber aprovechar para nuestra enseanza las posibilidades abiertas a travs de los medios tcnicos de los que ya disponemos actualmente. Una pequea sugerencia prctica puede servir de ejemplo. En nuestro entorno tenemos profesores excelentemente preparados para servir de ejemplos sobre cmo realizar con eficacia la enseanza de diversas materias que resultan para la mayora un verdadero rompecabezas, por ejemplo, la probabilidad, o sobre cmo introducir y motivar adecuadamente temas especficos del clculo o de la geometra a diferentes niveles. Estos profesores se encuentran a menudo llamados a muchos lugares diferentes para que repitan las mismas ideas sobre el tema. No sera mucho ms efectivo y menos costoso que algn organismo que no tuviera que ir en busca del provecho econmico produjera una serie de vdeos con estas experiencias y las hiciera asequibles a un mayor nmero de personas? En algunas regiones de nuestro pas, los profesores de los diferentes niveles se han percatado de la importancia que puede tener un cambio efectivo que se puede realizar paulatinamente en la sociedad a travs de los medios de comunicacin actuales en la percepcin de lo que la matemtica es en realidad. Las experiencias son altamente satisfactorias, consiguindose en muchos casos a travs de interesantes problemas, mediante la difusin de parcelas de la historia de la matemtica o de sus aplicaciones, la involucracin de familias y poblaciones enteras en actividades que en principio tal vez fueron planeadas para los estudiantes.Subir

4.10. Fomento del gusto por la matemtica La actividad fsica es un placer para una persona sana. La actividad intelectual tambin lo es. La matemtica orientada como saber hacer autnomo, bajo una gua adecuada, es un ejercicio atrayente. De hecho, una gran parte de los nios ms jvenes pueden ser introducidos de forma agradable en actividades y manipulaciones que constituyen el inicio razonable de un conocimiento matemtico. Loque suele suceder es que un poco ms adelante nuestro sistema no ha sabido mantener este inters y ahoga en abstracciones inmotivadas y a destiempo el desarrollo matemtico del nio. El gusto por el descubrimiento en matemticas es posible y fuertemente motivador para superar otros aspectos rutinarios necesarios de su aprendizaje, por los que por supuesto hay que pasar. La apreciacin de las posibles aplicaciones del pensamiento matemtico en las ciencias y en las tecnologas actuales puede llenar de asombro y placer a muchas personas ms orientadas hacia la prctica. Otros se sentirn ms movidos ante la contemplacin de los impactos que la matemtica haejercido sobre la historia y filosofa del hombre, o ante la biografa de tal o cual matemtico famoso. Es necesario romper, con todos los medios, la idea preconcebida, y fuertemente arraigada en nuestra sociedad, proveniente con probabilidad de bloqueos iniciales en la niez de muchos, de que la matemtica es necesariamente aburrida, abstrusa, intil, inhumana ymuy dificil.Subir

5. ALGUNAS TENDENCIAS ACTUALES EN LOS CONTENIDOSLas mismas tendencias generales apuntadas en ]a seccin 3 sugieren de forma natural unas cuantas reformas en los contenidos de los programas que, con ms o menos empuje, y en algunos casos de forma experimental y tentativo, se van introduciendo.5.1. Un desplazamiento hacia la matemtica discreta? La matemtica del siglo XIX y la del XX ha sido predominantemente la matemtica del continuo en la que el anlisis, por su potencia y repercusin en las aplicaciones tcnicas, ha jugado un papel predominante. El advenimiento de los ordenadores, con su inmensa capacidad de clculo, con su enorme rapidez, versatilidad, potencia de representacin grfica, posibilidades para la modelizacin sin pasar por la formulacin matemtica de corte clsico... ha abierto multitud de campos diversos, con origen no ya en la fsica, como los desarrollos de siglos anteriores, sino en otras muchas ciencias, tales como la economa, las ciencias de la organizacin, biologa... cuyos problemas resultaban opacos, en parte por las enormes masas de informacinque haba que tratar hasta llegar a dar con las intuiciones matemticas valiosas que pudieran conducir a procesos de resolucin de los difciles problemas propuestos en estos campos. Por otra parte, el acento en los algoritmos discretos, usados en las ciencias de la computacin, en la informtica, as como en la modelizacin de diversos fenmenos mediante el ordenador, ha dado lugar a un traslado de nfasis en la matemtica actual hacia la matemtica discreta. Ciertas porciones de ella son suficientemente elementales como para poder formar parte con xito de un programa inicial de matemtica. La combinatoria clsica, as como los aspectos modernos de ella, tales como la teora de grafos o la geometra combinatoria, podran ser considerados como candidatos adecuados. La teora elemental de nmeros, que nunca lleg a desaparecerde los programas en algunos pases, podra ser otro. Se han realizado intentos por introducir estos elementos y otros semejantes pertenecientes a la matemtica discreta en la enseanzamatemtica inicial. Sucede que esto parece ser slo posible a expensas de otras porciones de la matemtica con ms raigambre, de las que no se ve bien cmo se puede prescindir. Aunque parece bastante obvio que el sabor de la matemtica del futuro ser bastante diferente del actual por razn de la presencia del ordenador, an no se ve bien claro cmo esto va a plasmarse en los contenidos de la enseanza primaria y secundaria.Subir

5.2. Impactos en los contenidos de los mtodos modernos de clculo Hasta hace no mucho tiempo era frecuente en nuestras escuelas elementales dedicar una gran energa y largo tiempo a rutinas tales como la divisin de un nmero de seis cifras por otro de cuatro. O a la extraccin a mano de la raz cuadrada de un nmero de seis cifrascon tres cifras decimales exactas. O, en cursos superiores, al manejo con destreza y rapidez de las tablas de logaritmos con su intrincado laberinto de interpolaciones. Hoy la presencia de la calculadora de bolsillo ha conseguido que casi todos estemos de acuerdo en que esa energa y ese tiempo estn mejor empleados en otros menesteres. Tales operaciones son muy interesantes como algoritmos inteligentes y profundos pero como destrezas rutinarias son superfluos. En la actualidad, ao 1991, en nuestra segunda enseanza, as como en los primeros aos de nuestra enseanza universitaria, dedicamos gran energa y largo tiempo a fin de que nuestros alumnos adquieran destreza y agilidad en el clculo de derivadas, antiderivadas, resolucin de sistemas lineales, multiplicacin de matrices, representacin grfica de funciones, clculo de la desviacin tpica... Ya desde hace unos aos existen en el mercado calculadoras de bolsillo que son capaces, sin ms que apretar unas pocas teclas, en unos breves segundos, de hallar la derivada de (l+(1/x))1/x, de dar su polinomio de Taylor hasta el trmino de tercer grado, de representargrficamente esta funcin en un cierto entorno que se pida o bien de hallar el valor de su integral entre 2 y 3 con gran aproximacin. Lainversin de una matriz 8x8 le ocupa a la mquina unos pocos segundos, una porcin mnima del tiempo que se tarda en darle los datos. El clculo de la desviacin tpica de una gran masa de datos es una operacin inmediata. Las soluciones de una ecuacin de sptimo grado, includas las races complejas, son proporcionadas por la mquina en un abrir y cerrar de ojos. Siendo as las cosas, es claro que nuestra enseanza del clculo, del lgebra, de la probabilidad y estadstica, ha de transcurrir en el futuro por otros senderos distintos de los que hoy seguimos. Habr que poner el acento en la comprensin e interpretacin de lo que se est haciendo, pero ser superflua la energa dedicada a adquirir agilidad en las rutinas que la mquina realiza con mucha mayor rapidezy seguridad. En la programacin de nuestra enseanza habremos de preguntarnos constantemente dnde vale la pena que apliquemos nuestro esfuerzo inteligente y cules son las rutinas que podemos confiar a nuestras mquinas. El progreso de la inteligencia humana consiste en ir convirtiendo en rutinarias aquellas operaciones que en un principio han representado un verdadero desafio para nuestra mente y, si es posible, entregar la realizacin de tales rutinas a nuestras mquinas. Con ello podemos liberar lo mejor de nuestra capacidad mental a la resolucin de los problemas que todava son demasiado profundos para las herramientas de que disponemos. No temamos que tales problemas vayan escaseando. La experimentacin en matemticas, que se hace posible en campos cada vez ms intrincados gracias a la presencia del ordenador y de la calculadora de bolsillo, es otro de los retos para el futuro de nuestra enseanza. Converge la sucesinan(n1/n- (n + 1)1/(1+n))? Con la calculadora he escrito la frmula que proporciona a y luego le he pedido que calcule unos cuantos valores significativos. Responde: a100= 0,037421803; a1000= 0,00594325; a10000= 0,0008217,... Este experimento me da confianza para conjeturar que converge a 0, aunque lentamente, y es bien sabido lo mucho que una conjetura correcta facilita la solucin de un problema. Por otra parte la calculadora me proporciona la grfica de la funcin: y= x (x1/x- (x + 1)1/(x+1))que viene a reforzar nuestra conjetura. Por otra parte la capacidad para el clculo infinitesimal, el lgebra, la estadstica, la representacin grfica, la modelizacin,... de esta calculadora que realiza clculo simblico, adems del numrico, y por supuesto mucho ms la de los ordenadores actuales, potencian claramente las posibilidades de la matemtica elemental para las aplicaciones realistas que hasta ahora estaban vedadas en nuestros cursos por el exceso de tedioso clculo simblico y numrico que habra que efectuar a mano.Subir

5.3. Hacia una recuperacin del pensamiento geomtrico y de la intuicin espacial Como reaccin a un abandono injustificado de la geometra intuitiva en nuestros programas, del que fue culpable la corriente hacia la matemtica moderna, hoy se considera una necesidad ineludible, desde un punto de vista didctico, cientfico, histrico, volver a recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la matemtica, no ya slo en lo que se refiere a la geometra. Es evidente que desde hace unos veinte aos el pensamiento geomtrico viene pasando por una profunda depresin en nuestra enseanza matemtica inicial, primaria y secundaria. Y al hablar del pensamiento geomtrico no me refiero a la enseanza de la geometra ms o menos fundamentada en los Elementos de Euclides, sino a algo mucho ms bsico y profundo, que es el cultivo de aquellas porciones de la matemtica que provienen de y tratan de estimular la capacidad del hombre para explorar racionalmente el espacio fsico en que vive, la figura, la forma fisica. Esta situacin, que se hace patente sin ms que ojear nuestros libros de texto y los programas de nuestra educacin primaria y secundaria, no es exclusiva de nuestro entorno. En realidad, es un fenmeno universal que, a mi parecer, se debe en buena medida a laevolucin misma de la matemtica desde comienzos de siglo, ms o menos. La crisis de los fundamentos de principio de siglo empuj al matemtico hacia el formalismo, hacia el nfasis sobre el rigor, a una cierta huida de la intuicin en la construccin de su ciencia. Lo que fue bueno para la fundamentacin fue considerado por muchos bueno tambin para la transmisin de conocimientos. Las consecuencias para la enseanza de las matemticas en general fueron malas, pero especialmente nefastas resultaron para el pensamiento geomtrico. En esa idea de ir a los fundamentos, tal vez juntamente con una malainterpretacin de los anlisis de algunos psicopedagogos sobre la estructura evolutiva del conocimiento del nio, se basa el nfasis sobre la teora de conjuntos y la bsqueda de rigor. La geometra, a nivel elemental, es difcil de formalizar adecuadamente y as, en este intento, se nos fue por el mismo agujero el pensamiento geomtrico, la intuicin espacial y la fuente ms importante que por muchos siglos ha tenido la matemtica de verdaderos problemas y resultados interesantes abordables con un nmero pequeo de herramientas fcilmente asimilables. El siglo XIX fue el siglo de oro del desarrollo de la geometra elemental, del tipo de geometra al que tradicionalmente se dedicaba laenseanza inicial de la matemtica, que viva a la sombra de creaciones muy interesantes y muy de moda de la matemtica superior, tales como la geometra descriptiva, geometra proyectiva, geometra sinttica, geometras no eucldeas... El mismo sentido geomtrico que estimul los desarrollos espectaculares del siglo XIX sigue vivo tambin hoy en campos tales como la teora de grafos, teora de cuerpos convexos, geometra combinatoria, algunos captulos de la teora de optimizacin, de la topologa... Como rasgos comunes a todos estos desarrollos se pueden sealar: una fuerte relacin con la intuicin espacial, una cierta componente ldica y tal vez un rechazo tcito de desarrollos analticos excesivos. De estas materias, cuya profundidad se va manifestando cada vez ms claramente, no se ha hecho eco en absoluto la enseanza elemental. Solamente son tenidas en cuenta a nivel superior y a nivel de matemtica recreativa. Pero esta matemtica recreativa, en nuestro pas, no ha encontrado an el camino hacia la escuela. Paradjicamente, no permitimos jugar a quien ms le gusta y a quien ms se beneficiaria con el juego matemtico. La necesidad de una vuelta del espritu geomtrico a la enseanza matemtica es algo en lo que ya todo el mundo parece estar de acuerdo. Sin embargo, an no es muy claro cmo se debe llevar a cabo. Es necesario evitar llegar a los extremos en que se incurri, por ejemplo, con la geometra del tringulo, tan en boga a finales del siglo XIX. Tambin hay que evitar una introduccin rigurosamente sostenida de una geometra axiomtica. Posiblemente una orientacin sana podra consistir en el establecimiento de una base de operaciones a travs de unos cuantos principios intuitivamente obvios sobre los que se podran levantar desarrollos locales interesantes dela geometra mtrica clsica, elegidos por su belleza y profundidad. Las obras elementales de Coxeter pueden ser tal vez un ejemplo a seguir en este terreno.Subir

5.4. Auge del pensamiento aleatorio. Probabilidad y estadstica La probabilidad y la estadstica son componentes muy importantes en nuestra cultura y en muchas de nuestras ciencias especificas. Deberan constituir una parte importante del bagaje cultural bsico del ciudadano de nuestra sociedad. Es ste un punto en el que todos los sistemas educativos parecen concordar. Y, efectivamente, son muchos los pases que incluyen en sus programas de enseanza secundaria estas materias, pero en pocos esta enseanza se lleva a cabo con la eficacia deseada. En Espaa, este fenmeno, a mi parecer, se debe por una parte a la dificultad misma de las materias en cuestin y a una cierta carencia de preparacin adecuada de los profesores para esta tarea. Tal vez nos falten buenos modelos de enseanza de ellas.Subir

6. DESIDERATAA continuacin quisiera presentar muy someramente unas pocas sugerencias sobre algunos proyectos a los que, en mi opinin, nuestracomunidad matemtica podra y debera prestar una particular atencin.6.1. Atencin a la formacin inicial y permanente de los profesores de matemticasEn 1908, Flix Klein escriba en la introduccin de sus lecciones sobreMatemtica elemental desde un punto de vista superior: ...durante mucho tiempo la gente de la universidad se preocupaba exclusivamente de sus ciencias, sin conceder atencin alguna a las necesidades de las escuelas, sin cuidarse en absoluto de establecer conexin alguna con la matemtica de la escuela. Cul era el resultado de esta prctica? El joven estudiante de la universidad se encontraba a s mismo, al principio, enfrentado con problemas que no le recordaban en absoluto las cosas que le haban ocupado en la escuela. Naturalmente olvidaba estas cosas rpida y totalmente. Cuando, despus de acabar su carrera, se converta en profesor de enseanza media se encontraba de repente en una situacin en la que se supona que deba ensear las matemticas elementales tradicionales en el viejo modo pedante; y puesto que, sin ayuda, apenas era capaz de percibir conexin alguna entre su tarea y sus matemticas universitarias, pronto recurra a la forma de enseanza garantizada por el tiempo y sus estudios universitarios quedaban solamente como una memoria ms o menos placentera que no tena influencia alguna sobre su enseanza. Ha pasado cerca de un siglo y, al menos en lo que respecta a la formacin inicial que nuestros licenciados reciben no creo que se pueda decir que en nuestro entorno la situacin difiere mucho de estas circunstancias indeseables que Klein describe. Lo que la sociedad tiene derecho a esperar de la universidad en lo que respecta a la formacin inicial de aquellas personas a las queles va a confiar la educacin matemtica de los ms jvenes se podra concretar en: - una componente cientfica adecuada para su tarea especfica; - un conocimiento prctico de los medios adecuados de transmisin de las actitudes y saberes que la actividad matemtica comporta; - un conocimiento integrado de las repercusiones culturales del propio saber especfico. Cualquiera que estudie atentamente los programas de estudio de la mayor parte de nuestras universidades podr apreciar sus importantes carencias en los aspectos que podran conducir a esta formacin adecuada de nuestros enseantes. A mi parecer, ni los cursos complementarios aadidos al final de los estudios de Licenciatura, con el objeto de proporcionar una formacin pedaggica razonable ni los cursillos de formacin permanente pueden sustituir razonablemente la formacin intensa que se debera realmente estimular durante los aos de permanencia en la universidad, aos en los que el alumno est mucho ms abierto pararecibirla. Pienso que son raras entre nosotros las universidades que no descuidan abiertamente esta seria obligacin con respecto a la sociedad y que urge poner manos a la obra a fin de remediar esta situacin rpidamente.Subir

6.2. Atencin a la investigacin en educacin matemtica Como hemos tenido ocasin de ver, la educacin matemtica es una actividad interdisciplinar extraordinariamente compleja, que hade abarcar saberes relativos a las ciencias matemticas y a otras ciencias bsicas que hacen uso de ella, a la psicologa, a las ciencias de la educacin... Slo en tiempos muy recientes se ha ido consolidando como un campo, con tareas de investigacin propias, difciles y de repercusiones profundas en su vertiente prctica. Se puede afirmar que en el sistema universitario un tanto inerte de nuestro pais laeducacin matemtica an no ha llegado a encontrar una situacin adecuada por muy diversos motivos, a pesar de que ya van formndose grupos de trabajo en los que se producen resultados importantes. A mi parecer, es muy necesario, por lo que a la sociedad le va en ello, que se formen en nuestras universidades buenos equipos de investigacin en educacin matemtica que ayuden a resolver los muchos problemas que se presentan en el camino para una enseanzamatemtica ms eficaz.Subir

6.3. Atencin a la educacin matemtica de la sociedad. Popularizacin de la matemtica La sociedad de Espaa se encuentra, por tradicin de siglos, con una cultura fuertemente escorada hacia sus componentes humansticas. En Espaa, cultura parece ser sinnimo de literatura, pintura, msica, ... Muchas de nuestras personas ilustradas no tienen empacho alguno en confesar abiertamente su profunda ignorancia respecto de los elementos ms bsicos de la matemtica y de la ciencia y hasta parecen jactarse de ello sin pesar ninguno. Las pginas de la mayor parte de nuestros peridicos an no se han percatado de que las ciencias, y en particular las matemticas, constituyen ya en nuestros das uno de los pilares bsicos de la cultura humana. Es ms, parece claro que, como afirma Whitehead, si la civilizacin contina avanzando, en los prximos dos mil aos, la novedad predominante en el pensamiento humano ser el seoro de la inteleccin matemtica. Sera muy deseable que todos los miembros de la comunidad matemtica y cientfica nos esforzramos muy intensamente por hacer patente ante la sociedad la presencia influyente de la matemtica y de la ciencia en la cultura. Una sociedad con el conocimiento cabal de lo que la ciencia representa para su desarrollo se har colectivamente ms sensible ante los problemas que la educacin de los ms jvenes en este sentido representa. En la comunidad matemtica internacional se viene prestando recientemente una gran atencin a los medios convenientes para lograr abrir los ojos de amplios sectores de la sociedad hacia los beneficios de todos los rdenes que puede reportar una cultura que integre, del modo debido, ciencia y matemtica.Subir

6.4. Atencin al talento precoz en matemticas Es seguro que en nuestras comunidades escolares existe un cierto nmero de estudiantes con una dotacin intelectual para las matemticas verdaderamente excepcional. Son talentos que pasarn a veces ms o menos inadvertidos y ms bien desatendidos por la imposibilidad de que los profesores dediquen la atencin personal que se necesitara. Son personas que, en un principio ilusionadas con la escuela, pasan a un estado de aburrimiento, frustracin y desinters que les conducir probablemente al adocenamiento y a la apata, tras un periodo escolar de posible gran sufrimiento. Por otra parte, son talentos que podran rendir frutos excepcionales para el bien comn de nuestra sociedad, si no se malograran, mediante su aporte extraordinario al desarrollo cultural, cientfico y tecnolgico del pas. Constituye una gran responsabilidad social la indudable prdida de talento que causa su desatencin. En la actualidad ningn organismo, ni pblico ni privado, presta atencin continuada a la tarea de detectar, estimular y orientar el talento extraordinario y precoz en matemticas, as como tampoco en ninguna otra de las ciencias. Existe, y con mucha justificacin, una atencin, apoyo y cuidado especiales con respecto a la enseanza del infradotado, pero pienso que apenas se ha prestado atencin alguna a los problemas propios de los talentos precoces en nuestros paises. Se puede pensar con cierto fundamento que el talento precoz en matemticas es ms fcil de detectar y estimular que en otras ciencias. De hecho, existen desde hace mucho tiempo proyectos realizados con xito en un buen nmero de pases. Hay diversos caminos para encauzar el problema y entre ellos los hay que no son de un coste excesivo, especialmente si se tiene en cuenta el rendimiento a largo plazo de una actuacin bien llevada. Es posible, a juzgar por el efecto que en paises de nuestro mbito cultural iberoamericano ha tenido la emergencia de unas pocas personalidades de extraordinario talento en el desarrollo matemtico del pas, que una accin sostenida de deteccin y estimulo del talento matemtico precoz podra colocar nuestro pas en tiempo razonable a una altura matemtica y cientfica mucho ms elevada.