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www.eltemario.com Oposiciones Secundaria – Física y Química© Antonio Abrisqueta García, 1999 Temario Específico – Tema 19

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TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA(Oposiciones de Enseñanza Secundaria)

-------------------------------------------------------------------------------TEMA 19

NATURALEZA ELÉCTRICA DE LA MATERIA. ELECTROSTÁTICA. DIS-CONTINUIDAD Y CONSERVACIÓN DE LA CARGA. CARÁCTER CONSERVA-TIVO DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO. ESTUDIO ENERGÉTICO DE LA IN-TERACCIÓN ELÉCTRICA.

Esquema

1. Antecedentes históricos de la electricidad.1.1. Fenómenos eléctricos conocidos en la antigüedad.1.2. Nacimiento de la electricidad. Estudios de Gilbert.1.3. Fenómenos electrostáticos entre los cuerpos.

2. Electrostática.2.1. Estudios experimentales de Coulomb. Ley de Coulomb.2.2. La cuantificación de la carga eléctrica.

2.2.1. Experimento de Millikan.2.2.2. Estructura eléctrica de la materia.

2.3. El Campo Eléctrico.2.3.1. Fuerza eléctrica de una carga en el vacío.2.3.2. Generalización a varias cargas y distribuciones de carga.

2.4. Intensidad del Campo Eléctrico.2.4.1. Definición de Intensidad de Campo.2.4.2. Líneas de Campo eléctrico.2.4.3. Flujo de Campo a través de una superficie.

3. El campo eléctrico es conservativo.3.1. Demostración de que el campo eléctrico es irrotacional.3.2. Definición de Potencial Eléctrico.

3.2.1. Potencial del campo creado por una carga.3.2.2. Potencial creado por varias cargas y por una distribución de carga.

3.3. Diferencia de potencial entre dos puntos.4. Teorema de Gauss del Campo Eléctrico.

4.1. Flujo a través de una superficie.4.1.1. Concepto de ángulo sólido.

4.2. Demostración del teorema de Gauss.4.3. Forma integral y diferencial del teorema de Gauss.4.4. Aplicaciones del teorema de Gauss.

4.4.1. Campo debido a una carga puntual.4.4.2. Campo debido a una distribución de carga esférica uniforme.4.4.3. Campo debido a un conductor lineal cargado.4.4.4. Campo debido a una lámina plana cargada.4.4.5. Campo debido a un condensador plano cargado.

5. Energía del campo eléctrico5.1. Energía potencial eléctrica5.2. Energía potencial de una carga puntual.5.3. Energía potencial de una distribución de carga.


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TEMA 19

NATURALEZA ELÉCTRICA DE LA MATERIA. ELECTROSTÁTICA. DIS-CONTINUIDAD Y CONSERVACIÓN DE LA CARGA. CARÁCTER CONSERVA-TIVO DEL CAMPO ELECTROSTÁTICO. ESTUDIO ENERGÉTICO DE LA IN-TERACCIÓN ELÉCTRICA.

1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA ELECTRICIDAD

1.1. Fenómenos eléctricos conocidos en la antigüedad.

Desde la más remota antigüedad ya eran conocidos por el hombre ciertos fenóme-nos, de los que hoy llamamos eléctricos y que entonces no tenían relación entre ellos niuna explicación razonable. Podemos citar, el rayo y el relámpago, las descargas de cier-tos peces como el anguila, las luminosidades de cuerpos puntiagudos en noches de tor-menta (fuego de San Telmo), la atracción que ejercen al frotarlas ciertas resinas, comoel ámbar, sobre cuerpos ligeros y pequeños, etc.

Ante la falta de explicaciones razonables, estos fenómenos eran atribuidos a cau-sas misteriosas o exotéricas a veces sobrenaturales. Incluso, las atracciones que ejercenlas resinas como el ámbar, sobre cuerpos ligeros eran confundidas con las atraccionesque ciertos minerales (magnetitas) ejercen sobre cuerpos de hierro y fue en este tipo defenómenos de donde evolucionó la verdadera teoría explicativa de los fenómenos eléc-tricos.

Las atracciones que los cuerpos frotados ejercen sobre otros próximos, pretendíanser explicados buscando un contacto físico entre ambos, aunque no existía ninguna co-nexión ni contacto visible o material. Se consideraba que existía un contacto "invisible",una especie de emanación o efluvios del cuerpo atractor sobre los cuerpos atraídos. Estaidea, aunque pintoresca, representaba el germen de la actual teoría del campos.

1.2. Nacimiento de la Electricidad. Estudios de Gilbert.

Los primeros estudios cuantitativos se debieron a William Gilbert, médico inglés,que llegó a diferenciar los cuerpos que presentan magnetismo de los que presentan elefecto de atracción del ámbar al frotarlo. Llegó a descubrir numerosas sustancias que,como el ámbar, presentan capacidad de atracción a cuerpos ligeros y destacamos entreellos el diamante, zafiro, azabache, vidrio, amatista, etc. y muchas más que son atraídaspor éstas. Clasificó como sustancias eléctricas (del griego electrón -ámbar-) a las quepresentan el efecto ámbar y como no eléctricas las que no presentan este efecto al serfrotadas.

Gilbert explicaba el efecto ámbar mediante la teoría de los efluvios, sin embargoésta hubo de ser modificada para explicar un fenómeno descubierto posteriormente: larepulsión eléctrica. En ocasiones, cuando un cuerpo frotado atrae a otro, éste es repelidoviolentamente después de hacer contacto con el primero. Esta repulsión no era produc i-da por los efluvios que producían la atracción.


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Ya en el siglo XVIII se llamaba electricidad a la propiedad de éstos cuerpos, loseléctricos de Gilbert, de producir atracción o repulsión sobre cuerpos próximos. Poste-riormente Stephen Gray descubrió la propiedad de la conducción de esta electricidad deun extremo al otro de un cuerpo alargado y clasificó los materiales en dos clases: con-ductores y no conductores. Los conductores coincidían con los "no eléctricos de Gilberty los no conductores con los "eléctricos".

1.3. Fenómenos electrostáticos entre los cuerpos.

De los múltiples experimentos realizados a partir de entonces se obtuvieron im-portantes consecuencias:

a) Todo cuerpo frotado es electrizado o sea adquiere electricidad y puede atraer aotros cuerpos próximos.

b) Estos cuerpos atraídos, tras el contacto, quedan igualmente electrizados y son re-pelidos.

c) Dos trozos de un material (vidrio) al ser frotados ambos en una seda se electrizany se repelen. Análogamente dos trozos de otro material (ámbar) frotados con unapiel se electrizan y se repelen, sin embargo un trozo de vidrio y otro de ámbar,ambos frotados se atraen.

d) Se deduce que hay dos clases de electricidad: vítrea y resinosa. Los cuerpos conelectricidades iguales se repelen y los de electricidades distintas se atraen.

Veamos la evolución del concepto de electricidad. Primero se propuso que era unasustancia o fluido contenido en los cuerpos electrizados y más tarde se propuso que erandos fluidos: vítreo y resinoso, existentes a partes iguales en los cuerpos y que al ser fro-tados, se producía una transferencia de fluidos de unos a otros, quedando cargadoseléctricamente con un exceso de fluido.

A su vez, Benjamín Franklin en América propuso la existencia de un único fluido.Los cuerpos contienen una cantidad de fluido considerada normal. Si por frotamientoadquieren más fluido, quedan cargados positivamente y si pierden fluido quedan carga-dos negativamente.

Para explicar la conducción, Franklin consideraba que el fluido se transmite desdeun cuerpo que lo contiene en exceso a otro que contiene menos, no lo contiene o lo con-tiene en defecto, o sea, desde un cuerpo cargado positivamente a otro cargado negati-vamente o no cargado, criterio éste de transmisión de fluido que aún hoy se aplica a lascargas eléctricas y por tanto a la corriente eléctrica. Franklin no conocía los nombres devítreo y resinoso para los dos fluidos de electricidad y propuso su propia nomenclaturade positiva y negativa concordante con la existencia de un fluido.

Pero la ciencia de la electricidad avanzaba lentamente por la falta de experimentoscuantitativos entre conceptos eléctricos perfectamente definidos. La atracción de la gra-vedad podía servir de modelo para establecer relaciones cuantitativas en los fenómenoseléctricos, pues gravedad y electricidad tenían suficientes semejanzas para permitir unparalelismo entre ellas. En base a esto, Priestley y Cavendish demostraron que la atrac-ción eléctrica era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa lascargas.


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2. ELECTROSTÁTICA.

2.1. Estudios experimentales de Coulomb. Ley de Coulomb.

Los experimentos cuantitativos más importantes sobre las atracciones y repulsio-nes eléctricas fueron realizados por el francés Charles A. Coulomb (1785) utilizandouna balanza cuidadosamente construida por él, que podía detectar fuerzas extraordina-riamente pequeñas, del orden de 10-8 N. Realizó muchos experimentos cargando lasesferas de la balanza de torsión y situándolas a diferentes distancias midiendo con grancuidado la fuerza ejercida. Construyó otros aparatos diferentes para comprobar la mismafuerza y realizó un completo estudio de los errores experimentales. De ello, demostróque la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las cargas:

2

1r

F ∝

Seguidamente estudió la variación de la fuerza cuando se modificaban las cargaseléctricas sobre las esferas. En experimentos cuidadosos, Coulomb midió la fuerza entredos cargas Q1 y Q2 y comprobó que esta fuerza aumentaba proporcionalmente al incre-mentar las cargas Q1 y Q2. Estableció, por analogía con la Ley de Newton de la Gravita-ción Universal, que: 21QQF ∝

De ambas expresiones se puede establecer:

221

rQQ

F ∝ y por tanto 221

rQQ

kF =

siendo k una constante cuyo valor hay que determinar experimentalmente y dependerádel sistema de unidades y de la unidad que se establezca para la carga eléctrica.

Esta ecuación constituye la Ley de Coulomb de la fuerza electrostática, referida acargas en reposo. Coulomb, además de establecerla, la comprobó experimentalmente apesar de que no disponía de métodos adecuados para medir las cargas, ni siquiera sedisponía de unidad patrón de carga.

Para establecer una Unidad de Carga tendríamos que disponer de alguna partículamaterial de carga conocida y constante que sirviese de patrón universal. Como esto noera posible en tiempos de Coulomb, ya que no se conocían las partículas constituyentesdel átomo, fue necesario establecer la unidad de carga a partir de la propia Ley de Cou-lomb, empleando las unidades de longitud y fuerza ya definidas en Mecánica. Inicial-mente se definió la unidad de carga como "aquella carga que colocada frente a otraidéntica, a la distancia de 1 cm se repeliesen o atrajesen con la fuerza de una Dina(unidad de fuerza del sistema C.G.S.)" , para lo cual se eligió arbitrariamente el valor dela constante k más sencillo, k=1.

La Unidad de Carga, así definida, formaba parte de las cuatro magnitudes funda-mentales (junto con las tres de Mecánica: Masa, Longitud y Tiempo) que constituían lasmagnitudes fundamentales necesarias del sistema de unidades en Electricidad.

Posteriormente se adoptó el sistema Giorgi o M.K.S., con el nombre de SistemaInternacional (S.I.). En éste, la Carga Eléctrica es una magnitud derivada de la Intens i-dad de Corriente, definida a partir de consideraciones electromagnéticas e independien-temente de la ley de Coulomb. La unidad de Carga es el Culombio y la constante de laLey de Coulomb tiene un valor, distinto de 1, que depende de las unidades empleadas.Dicho valor en el vacío es:


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229229 /.10.9/.10.988'8 CmNCmNk ≅=esta constante depende del medio y toma su valor máximo en el vacío, por lo que resultamás útil sustituirla por otra constante inversa, ε, tal que:

πε41=k

donde ε se llama Constante dieléctrica o Permitividad eléctrica del medio, que tomaráun valor mínimo para el vacío por ser éste el medio menos dieléctrico o aislante posible.El valor de la Constante dieléctrica del vacío será:

22122290 ./10.8537'8

/.10.988'8.41

41

mNCCmN

−===ππε

ε

y las unidades de la constante dieléctrica, pueden transformarse así:

mF

mFaradio

mVC

mJC

mNC ====

...

2

2

2

= Volt

CulJul

En cualquier otro medio que no sea el vacío, la constante dieléctrica o permitivi-dad ε se obtiene multiplicando la permitividad del vacío εo, por el número adimensionalllamado Constante dieléctrica relativa o Permitividad relativa ε', definida por:

0

'εεε = de donde 0'εεε =

El factor 4π se introduce en la constante k para simplificar y racionalizar otrasecuaciones más útiles en la práctica, que derivan de la Ley de Coulomb y evitar así laaparición del número irracional π, por lo que el sistema de unidades así establecido sellama sistema racionalizado.

Las fuerzas eléctricas, a diferencia de las fuerzas gravitatorias, dependen del me-dio en que actúan.

2.2. La cuantificación de la Carga Eléctrica.

2.2.1. El experimento de Millikan.

Un experimento crucial en la determinación de la carga eléctrica fue el realizadopor Millikan, al comprobar que las gotitas de agua o aceite podían mantenerse estacio-narias entre las dos placas de un condensador,ajustando convenientemente la tensión en-tre ellas, de forma que el peso de la gota fueseequilibrado por la fuerza eléctrica. Al trabajarcon estas "gotitas equilibradas" observaba quealgunas iniciaban un movimiento más o me-nos brusco, hacia arriba o hacia abajo. Evi-dentemente estas gotitas habían capturado union positivo en un caso y negativo en el otro.

Esto permite calcular la carga de un ion independientemente de la carga originalde la gota. Utilizó para ello un aparato como el descrito en la fig.1 debidamente protegi-do. Se rociaban gotas de aceite por R, que atravesaban la abertura C y se introducían enel campo eléctrico del condensador. La observación se hacía con un anteojo adecuado.

En ausencia de campo eléctrico en el condensador, las fuerzas actuantes sobre ca-


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da gota son: su peso m1g, hacia abajo, el empuje de Arquímedes, m0g, hacia arriba y unafuerza debida al rozamiento de la viscosidad del medio, que es proporcional a la veloci-dad de la gota, o sea Kv1 , (que viene formulada por la ley de Stokes). se establecerá unequilibrio, v1=cte, cuando la resistencia al avance, Kv1, sea igual al peso efectivo de lagota: m1g-m0g, o sea: m1g-m0g=Kv1

Si conectamos la batería a las placas del condensador, se establecerá un campoeléctrico E=V/d y una gota cargada sufrirá una fuerza nueva FE=q.E=qV/d. Si la cargade la gota es negativa, la fuerza eléctrica es hacia arriba y tendrá una nueva velocidad v2

y se cumplirá el equilibrio: FE-(m1g-m0g)=Kv2 (v2=Cte )llamando mg=m1g-m0g peso efectivo de la gota, resultará:

2. KvgmdV

q =−

En el experimento de Millikan el aire del condensador se ionizaba con radiación(por la presencia de alguna sustancia radiactiva) y las gotas adquirían ocasionalmente union adicional positivo o negativo, y la gota variaba su velocidad. Si tras la captura de union, la nueva velocidad es v3 se obtiene:

( ) 3. KvgmdV

qq n =−+ qn=carga del ion capturado

eliminando mg entre ambas ecuaciones. resulta:

( ) KVd

vvqn 23 −=

El experimento consistía en determinar qn, las cargas de los iones capturados operdidos por la gota. Las velocidades se determinaban por la observación directa y laconstante K de proporcionalidad se evaluaba mediante la ley de Stokes modificada paragotas pequeñas.

Tras muchas determinaciones de qn se encontró que podía siempre determinarsepor qn=n.e donde n es un número entero y e la carga elemental equivalente a la de unelectrón. e=4'770.10-10 uee carga=1'60.10-19 Culombios

2.2.2. Estructura eléctrica de la materia.

La carga eléctrica está cuantizada. Es decir, que en la naturaleza existe una cargamínima o cuanto de electricidad que es la carga negativa que posee un electrón o la car-ga positiva que posee un protón, y no se encuentran fracciones de ésta.

Consecuencia de este principio es que la carga de un cuerpo no crece o decrece deuna manera continua; o sea, a un cuerpo le podemos añadir o quitar múltiplos enterosdel cuanto de carga, pero nunca una fracción, ya que es indivisible. Esta hipótesis noslleva a la conclusión de la existencia de una unidad natural de carga, que será la carganegativa del electrón o la positiva del protón.

Antes de conocer de esta unidad natural de carga se estableció la unidad electros-tática de carga (u.e.e.) o Franklin, deducida de la ley de Coulomb aplicada al vacío:

rr

QQKF

rr3

'=

La unidad electrostática de carga o Franklin es la carga que colocada frente a otraigual, en el vacío (K=1) a distancia de 1 cm, la repele o atrae con la fuerza de 1 Dina.


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Como la unidad de carga en el S.I. es el Culombio, sus relaciones son:1 Culombio = 3.109 u. e. e.1 Culombio = 6' 231. 1018unidades naturales de carga.

2.3. El Campo Eléctrico.

La teoría de los efluvios emanados de las cargas eléctricas para ejercer fuerzas so-bre las cargas próximas fue definitivamente abandonada cuando Michael Faraday, trasmuchos experimentos y estudios, propuso la teoría del Campo Eléctrico, análogo alCampo Gravitatorio creado por una masa.

Toda carga eléctrica crea a su alrededor un campo de fuerzas, que se manifiestapor la fuerza que se ejerce sobre cualquier carga de prueba positiva situada en un puntodel campo. El campo representa una perturbación energética del espacio estableciéndoseuna distribución continua de niveles de energía, tal que las cargas eléctricas positivasinmersas en el campo se moverán hacia niveles de energía inferiores.

2.3.1. Fuerza eléctrica de una carga en el vacío.

La fuerza eléctrica que mueve a la carga deprueba dentro del campo se determina aplicando la Leyde Coulomb. Así, consideremos una carga Q1 creadorade un campo y situada en el origen de coordenadas.Otra carga Q2 positiva, de prueba, situada en un puntodado por el vector r

r sufrirá una fuerza F

r, por la ac-

ción del campo, dada por:

rrQQ

urQQ

Frrr

321

221

41

41 ⋅=⋅=

πεπεdonde F>0 (positiva), la fuerza F es de repulsión si las cargas son del mismo signo yF<O (negativa), la fuerza F es de atracción si las cargas son de signo distinto. El vector:

rr

ur

r =

es un vector unitario en la misma dirección y sentido que el vector r que une ambas car-gas.

2.3.2. Generalización a varias cargas y distribución de carga.

En el caso de que el campo eléctrico esté creadopor un conjunto de cargas eléctricas puntuales Qi (i=1,2,3,4,...) situadas en distintas posiciones dadas por los vec-tores de posición ir

r, la fuerza ejercida sobre la carga de

prueba +Q' en la posición 'rr

, aplicando el principio desuperposición, vendrá dada por la expresión:

( )∑=

−−

=n

ii

i

i rrrr

QQF

13 '

'

'41 rrr

πε FIG. 3

También podemos considerar el campo eléctrico creado por una carga extensa,distribuida de manera continua en todo el volumen de un cuerpo y determinada por ladensidad volúmica de carga definida en cada punto del cuerpo por:


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dVdQ=ρ (C/m3)

En este caso, todo elemento de carga dQ=ρdV delcuerpo, ejercerá sobre la carga positiva de prueba Q', unafuerza diferencial Fd

r:

( )rrrr

dQQFd

rrr−

−= '

'

'41

3πεy la fuerza que ejerce toda la distribución continua de carga sobre la carga Q' se obtieneintegrando para todo el volumen de la carga creadora:

( ) ( )∫∫∫ −−

=−−

==VV

rrrr

dVQrr

rr

dQQFdF

rrrrrr'

'4'

''4

'33

ρπεπε

Si la carga eléctrica creadora del campo está distribuida superficialmente sobre uncuerpo, la caracterizaremos mediante su densidad superficial de carga: σ=dQ/dS y lafuerza eléctrica ejercida por una densidad superficial sobre una carga de prueba Q' será:

( )∫ −−

=S

rrrr

dSQF

rrr'

'4'

3

σπε

Y si la carga está distribuida únicamente a lo largo de una línea se caracteriza porsu densidad lineal de carga: λ=dQ/dL y la fuerza eléctrica ejercida por una densidadlineal de carga sobre una carga de prueba Q' será:

( )∫ −−

=L

rrrr

dLQF

rrr'

'4'

3

λπε

Para todos los casos y a excepción de que la distribución de cargas sea homogé-nea, 1as densidades de carga (ρ,σ y λ) así como el vector unitario

rrrr

u rr

rrr

−−

=''

son funciones de la posición del punto r. Igualmente hemos de suponer que la cargapositiva de prueba Q' es una carga puntual cuya presencia en el campo no altera la dis-tribución original de la carga creadora del campo.

2.4. Intensidad del campo Eléctrico.

2.4.1. Definición de Intensidad de Campo.

Intensidad del Campo Eléctrico Er

en un punto o simplemente Campo Eléctrico,se define como la fuerza del campo por unidad de carga de prueba colocada en el punto.

'QF

E

rr

=

El Campo Eléctrico Er

creado en un punto a una distancia r de una carga puntualcreadora del campo, vendrá dado por la expresión vectorial:

rrQ

QF

Er

rr

341

' πε== (N/C)

La introducción de este concepto de Campo permite interpretar la interacción dedos cargas eléctricas Q y Q', como la acción del campo de una de ellas sobre la otracarga situada en su proximidad:


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⋅== r

rQQEQF

rrr31 4

1''.πε

o

⋅== ''

41'.

32 rrQQEQF

rrr

πεdonde ambas fuerzas son iguales y opuestas pues 'rr

rr −= .

La intensidad del Campo Eléctrico debida a un conjunto de cargas puntuales o auna distribución volúmica de carga, será:

( )

( )∫

∑

−−

=

−−

=

V

i

i

i

rrrr

dVE

rrrr

QE

rrrr

r

rrrr

r

''4

1

''4

1

3

3

ρπε

πε

2.4.2. Líneas de Campo Eléctrico.

El campo eléctrico, se representa por líneas de fuerza o líneas de campo que secaracterizan porque son tangentes al vector campo E

r en todos los puntos. Teóricamente

por cada punto pasa una línea de campo, sin embargo se ha establecido un criterio con-vencional para limitar el flujo de líneas de manera proporcional a la intensidad del cam-po en cada zona. Según este criterio, el número de líneas (definido por el Flujo delcampo) que atraviesa la unidad de superficie normal al campo, colocada en el punto, esigual al valor del vector Intensidad del Campo en dicho punto. Es decir:

SE

Φ= o en forma vectorial: SErr

•=Φ

El concepto básico de campo fue desarrollado por Faraday y utilizó las líneas decampo para hacer una representación gráfica de las fuerzas eléctricas que actúan en elespacio que rodea a un cuerpo cargado. El concepto matemático de campo fue una abs-tracción posterior de la propia representación gráfica, y las líneas de fuerza siguen sien-do una herramienta muy útil a la hora de resolver problemas eléctricos y magnéticos.

Las líneas de fuerza son las trayectorias que seguiría una carga puntual positiva,sometida a la influencia del campo, en una sucesión de caminos elementales, partiendoen todos ellos del reposo.

Imaginemos una carga positiva que abandonamos en un campo eléctrico. Comen-zará a moverse por la influencia del campo, al estar sometida a una fuerza que vienedada por la ley de Coulomb. En cuanto ha iniciado su movimiento la detenemos, vo l-viendo a abandonarla de nuevo y a detenerla y así sucesivamente. De esta forma descri-biría una trayectoria (sucesión indefinida de espacios elementales) que se llama línea defuerza.

Las líneas de fuerza del campo eléctrico creadopor una carga positiva y una carga negativa aisladas enel espacio vacío se representan en la figura 5.

Líneas de fuerza, del campo eléctrico creado pordos cargas puntuales, positiva y negativa en un caso y positivas ambas en otro caso serepresentan en la figura 6.

El vector Intensidad de Campo o Vector Campo en un punto es siempre tangente a


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la línea de fuerza en dicho punto. Las líneas de fuerza eléctrica van siempre desde lascargas positivas a las negativas, según convenio establecido.

2.4.3. Flujo de campo a través de una superficie

Se define el flujo de un campo eléctrico en un punto, como el conjunto de líneasde campo que atraviesan la unidad de superficie colocada en el punto. El flujo de E

r a

través de la superficie elemental Adr

viene dado por:AdEdrr

•=Φ luego ∫ ∫=•=ΦA A

dAEAdE ϕcos..rr

En algunos casos, esta magnitud ayuda a calcular la expresión del campo elec-trostático (en todos los puntos del espacio) creado por algunas distribuciones de carga.

3. EL CAMPO ELÉCTRICO ES CONSERVATIVO

3.1. Demostración de que el campo eléctrico es Irrotacional.

Una carga puntual Q produce en el espacio un campo de fuerzas centrales con si-metría esférica, puesto que cumple con las características establecidas para las fuerzascentrales. Estas son: 1) cualquiera que sea r

r (posición en el espacio de la carga puntual

Q' respecto de la Q), la dirección de Fr

pasa por el punto en que se encuentra Q y 2) elmódulo de dicha fuerza es el mismo en puntos equidistantes de Q.

Consideremos el campo eléctrico creadopor la carga puntual Q (fig 7) y dentro de él unacarga de prueba se mueve desde el punto 1 al 2(lentamente para no modificar las condicioneselectrostáticas) a lo largo de un camino M yluego vuelve a 1 por una trayectoria diferenteN. Cuando la carga de prueba recorre el tra-yecto diferencial dr1 en el camino de 1→2, eltrabajo realizado vendrá dado por:

drFrdFdW .1 =•= rr

En la vuelta, por el camino N, se realiza un trabajo opuesto al anterior, cuyo valores: drFrdFdW .2 −=•= rr

Sumando todos los trabajos elementales correspondientes a los trayectos comple-tos de 1→2→1, obtenemos:

∫ ∫∫ ∫ =−=•+•2

)(1

1

)(2

2

)(1

1

)(2 21 0..M NM N

drFdrFrdFrdFrrrr

⇒ ∫ =• 0rdFrr

La circulación de la fuerza eléctrica a lo largo de una trayectoria cerrada es nula.


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Esta propiedad del campo, que hemos demostrado para el caso particular de unacarga puntual, tiene validez general para cualquier distribución de carga, puesto que éstase puede imaginar dividida en cargas puntuales y para cada una de éstas, la circulaciónde la fuerza en trayectoria cerrada, será nula, luego también lo será para la fuerza resul-tante.

Consecuencia inmediata de esto es que: ∫ =• 0rdErr

(1)

y si aplicamos el teorema de Stokes, a este resultado resulta:

∫ ∫∫ =•∧∇=•C A

AdErdE 0rrrr

donde Ar

es una superficie cualquiera limitada por la trayectoria C luego

0=∧∇ Er

es decir, el campo eléctrico es Irrotacional o sea Conservativo.

3.2. Definición de Potencial Eléctrico.

El campo eléctrico creado por cargas en reposo, o campo electrostático, comocampo newtoniano de fuerza central, es conservativo o sea, la circulación del campo alo largo de una trayectoria cerrada es nula, ecuación (1) y puede definirse, por tanto, unafunción escalar del punto llamada "potencial eléctrico o electrostático”.

∫∞•−=

rrdEVrr

Físicamente se interpreta el potencial en un punto r como "el trabajo realizadopor una fuerza exterior opuesta a la del campo, para trasladar la unidad de carga po-sitiva desde el infinito hasta el punto".

Se debe cumplir la condición VE ∇−=r

(el vector campo es igual al gradiente depotencial cambiado de signo), donde el signo negativo significa que el Campo Eléctricotiene el mismo sentido que el de la disminución del potencial.

El carácter conservativo del campo eléctrico se mantiene para cargas estacionariaspues en el caso de cargas en movimiento:

∫ ≠• 0rdErr

y tendríamos un campo electromagnético y el gradiente de potencial ∇V sólo describiríaparte de dicho campo.

3.2.1. Potencial del campo creado por una carga.

Para una carga puntual creadora de un campo, el Potencial Electrostático en unpunto determinado por el vector de posición r

r será:

rQrQ

rdrQ

rdrr

QrdEV

rrr r

⋅=

−

−=−=•

−=•−=

∞

−

∞∞ ∞ ∫∫ ∫0

1

02

03

0 41

1444 πεπεπεπεrrrr

y para el cálculo, se ha tomado como trayectoria de integración, el radio vector que uneel punto hasta el infinito, punto de potencial cero, y a lo largo de dicha trayectoria:

drrdrrrdr o .0cos.. ==• rr


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3.2.2. Potencial del campo creado por varias cargas y por una distribu-ción de cargas.

En el caso de que el campo esté creado por un conjunto de cargas puntuales o poruna distribución volúmica de carga definida por la densidad de carga: ρ=dQ/dV, lasexpresiones del potencial electrostático, serán:

∑ −=

i

i

rrQ

V rr'4

1

0πε y ∫ −

=V rr

dvV rr

'.

41

0

ρπε

3.3. Diferencia de potencial entre dos puntos.

Cuando una carga de prueba Q' se desplaza desdeun punto inicial 1 hasta un punto final 2, bien por la ac-ción de una fuerza exterior al campo o bien por la fuerzadel propio campo, se realiza un trabajo que no dependede la trayectoria seguida sino de la posición inicial y finaldel desplazamiento. Para determinar este trabajo conside-raremos la diferencia de potencial (ddp) entre los puntos1 y 2 (inicial y final) del desplazamiento:

=

•−−

•−=− ∫∫ ∞∞

21

21

rrrdErdEVVrrrr

…

… ∫ ∫ ∫∞

∞=•=•+•=

1

2 2

1r

r r

rrdErdErdErrrrrr

…

… ∫ →=•= 2

1)21('

1'

1 r

rW

QrdF

Qrr

expresión que puede escribirse ( )21' VVQW −=

es decir, el trabajo que se realiza para trasladar la carga positiva Q’ desde un punto ini-cial a otro final es el producto de la carga por la diferencia de potencial entre ambospuntos.

En el campo creado por una carga puntual Q, la diferencia de potencial entre lospuntos 1 y 2, de posiciones dadas por los vectores 1r

r y 2r

r vendrá dada por:

−=−

21021

114 rr

QVV

πεRecordemos que para visualizar el campo conservativo se utilizan dos tipos de re-

presentaciones gráficas:

a) Líneas de campo, tangentes en cada punto al vector intensidad del campo Er

yb) Superficies equipotenciales, lugares geométricos de todos aquellos puntos que

tienen el mismo valor del Potencial V.

Ambas gráficas, líneas de campo y superficies equipotenciales son perpendicula-res entre sí en cada punto del campo.

Análogamente al campo gravitatorio, el potencial del campo eléctrico en un puntorepresenta la Energía Potencial adquirida por la unidad de carga positiva cuando es des-plazada por una fuerza externa desde el infinito hasta el punto considerado, ya que elinfinito se establece como el origen de potenciales, o sea para ∞=r es V= 0.


13/23

La Energía Potencial adquirida por una carga Q', situada en posición rr

de uncampo eléctrico creado por una carga Q, vendrá expresada por:

rQQ

VQEP

'.4

1'.

0

⋅==πε

con expresiones análogas cuando el campo el campo está creado por un conjunto decargas y por una distribución volúmica de carga.

4. TEOREMA DE GAUSS DEL CAMPO ELECTRICO

4.1. Flujo a través de una superficie.

Anteriormente hemos visto que el flujo a través de una superficie representa elnúmero de líneas que atraviesa la unidad de superficie; y lo definimos como el productoescalar del vector campo E

r por el vector superficie Sd

r, es decir:αcos..dSESdEd =•=Φ

rr

El flujo será máximo cuando Er

y Sdr

sean paralelos y nulo cuando sean perpen-diculares. El Flujo se considerará positivo si E

r y Sd

r son vectores de igual sentido, lo

que determina un flujo saliente, o negativo, cuando Er

y Sdr

son de sentidos opuestos,que determina un flujo entrante.

En el caso de una superficie abierta pero finita, resultará:

∫ ∫∫ •=Φ=ΦS

SdEdrr

y en el caso de una superficie cerrada, se escribirá:

∫∫ •=ΦS

SdErr

si esta última expresión fuese nula, significaría que el flujo entrante es igual al flujosaliente, por lo que no existirían dentro de la superficie cerrada, fuentes ni sumideros delíneas de campo. Si esta condición se cumple en todos los puntos del campo, las líneashabrían de ser cerradas, pues no tendrían principio ni fin y el campo se llamaría camposolenoidal.

Las unidades de Flujo para el Campo Eléctrico, en el Sistema Internacional son:SdEd E

rr•=Φ (N.m2/C=V.m)

El flujo a través de un elemento de Superficie Sdr

que forma un ángulo α con elvector Intensidad del Campo E

r, será:

∫ ∫ ∫=•=•=Φ 22

cos..

rdS

MkSdurM

kSdE AA αrrrr

4.1.1. Concepto de ángulo sólido.

Hemos de introducir ahora el conceptode ángulo sólido. Consideremos la superficiedS, en general, oblicua respecto al vectorcampo E

r, formando con él un ángulo α.

Dicha superficie subtiende, desde O, un conovisual de longitud r que encierra una superfi-cie dSn perpendicular a r y que es la proyección, sobre un plano normal a r, de la super-


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ficie dS, tal que se cumple: αcos.dSdSn =A semejanza de la definición de "ángulo" como el arco de circunferencia dividido

por su radio: )()(

)(radiorarcos

ángulo =ϕ

podemos definir el "ángulo sólido" como la superficie perpendicular subtendida desdeun punto a distancia r, dividido por el cuadrado de r, es decir, según la fig.9, tendremos:

22

cos.)(

rdS

rdS

sólidoángulod n α==⋅Ω

Es una magnitud sin dimensiones y se mide en el Sistema Internacional, en Este-reorradianes. Sustituyendo en la expresión anterior, resulta para el flujo del campo:

Ω=Ω==Φ ∫∫00

20 44

cos.4 πεπε

απε

Qd

Qr

dSQS

donde Ω es el ángulo sólido subtendido por la superficie finita S y que es atravesada porel flujo Φ. El fluyo pues, depende del ángulo sólido y no depende de la distancia quesepara el punto de la superficie considerada.

4.2. Demostración del Teorema de Gauss.

Vamos a estudiar el Flujo, a través deuna superficie cerrada, del campo creado poruna carga Q cuando se encuentra en el exte-rior de la superficie. Para ello, consideremosel flujo elemental canalizado a través de unelemento de ángulo sólido dΩ, de vértice enla carga Q. Este flujo determina en la superfi-cie cerrada, dos elementos de superficie dSl ydS2 y el flujo elemental que atraviesa ambos elementos, será:

Ω−=•=Φ dQ

SdEd0

111 4πε

rr y Ω=•=Φ d

QSdEd

0222 4πε

rr

Estos flujos son iguales y de signo contrario pues dΦ1 es un flujo entrante y dΦ2

es un flujo saliente, y se cumple: dΦ1+dΦ2=0 y generalizando a toda la superficie S, elflujo total a través de ella es nulo. Se cumplirá:

∫ =•=ΦS

SdE 0rr

Si la carga Q está situada en el interior de la superficie cerrada, consideraremos elflujo elemental canalizado a través de un ángulo sólido elemental dQ que atraviesa lasuperficie por el elemento Sd

r y resultará:

Ω=Φ dQ

d04πε

integrando la ecuación a todos los elementos de la superficie S, se obtendrá el flujo totala través de ella:

∫∫ Ω=Φ=ΦSST d

Qd

04πεy la integral del segundo miembro es el ángulo sólido subtendido por toda la superficieesférica, cuya área es 4πr2 , luego:

ππ 4411 2

22 ===Ω=Ω ∫∫ rr

dSr

dS nST Estereorradianes


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resultando: ππε

44 0

QT =Φ ⇒

0εQ

T =Φ

Es el flujo total que atraviesa la superficie cerrada (superficie gausiana) debido ala carga Q situada en el interior.

Si en el interior de la Superficie cerrada existen varias cargas ΣQi, o una distribu-ción extensa de carga ∫dQ=∫ρdV siendo ρ la densidad volúmica de carga, el flujo total através de la superficie cerrada será:

∫∫∫

∑∑ ∑

==Φ=Φ

==Φ=Φ

SSST

iiiT

dVdQd

QQ

ρεε

επεπ

00

00

11

144

Estas son expresiones del "Teorema de Gauss" que se enuncia: "El flujo total queatraviesa una superficie cerrada es proporcional a la suma de las cargas encerradas enel interior".

El Teorema de Gauss tiene carácter general, aunque se aplica fundamentalmenteal campo eléctrico, pues, mientras es importante calcular los campos eléctricos que ro-dean pequeños conductores y otros elementos cargados en electricidad, electrónica ymicroelectrónica, sin embargo, los campos gravitatorios de masas pequeñas no son sig-nificativos.

Al aplicar el Teorema de Gauss al campo gravitatorio resulta:GMG π4−=Φ o ∑−=Φ iG MG.4π

4.3. Forma integral y diferencial del Teorema de Gauss.

Si consideramos que en el interior de la superficie existe una distribución continuade carga, de densidad volúmica ρ=dQ/dV el Teorema, de Gauss se formulará así:

∫=ΦV

dVρε0

1

y como el flujo, por definición, es ∫ •=ΦS

SdErr

igualando ambas expresiones:

∫ •S

SdErr

∫=V

dVρε0

1 Expresión Integral del Teorema de Gauss

"El flujo a través de una superficie cerrada es igual a la suma de todas las cargasencerradas o a la carga total encerrada, dividida por la constante dieléctrica del medio".

Aplicando a esta ecuación el Teorema de la Divergencia:

∫∫ •∇=•VS

dVESdE .rrr

resultará: ∫∫ =•∇VV

dVdVE ρε0

1.

r

por lo que igualando los integrandos tendremos para el Teorema de Gauss:

0ε

ρ=•∇ Er

Expresión diferencial del Teorema de Gauss


16/23

que es la forma diferencial del Teorema de Gauss y constituye la primera ecuación deMaxwell de la teoría del Campo Electromagnético.

Como el campo eléctrico es conservativo, existe la función potencial (escalar) V

tal que: VE ∇−=r

que sustituyendo en la anterior resultará:

0ερ−=∇•∇ V o bien

0

2

ερ−=∇ V

que es la ecuación de Poisson donde el operador ∇2 (laplaciana) efectuado sobre el Po-tencial V resulta igual a −ρ/ε0.

El operador laplaciana es: ∇2=2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂

En toda región del espacio, donde la densidad de carga es nula, se cumplirá:

02 =∇ V Ecuación de Laplace

El Teorema de Gauss constituye una de las leyes fundamentales del electromag-netismo, de ahí su importancia. Además, su aplicación resulta un método cómodo paracalcular campos electrostáticos en algunos casos determinados, en los que pueden cono-cerse las condiciones geométricas de los campos.

4.4. Aplicaciones del Teorema de Gauss.

4.4.1. Campo debido a una carga puntual.

Vamos a calcular la Intensidad del campo eléctrico Er

en un punto a distancia r deuna carga Q situada en el origen del sistema coordenado. Para ello dibujaremos alrede-dor de Q y concéntrica con ella, una superficie esférica de radio r que pase por el puntoconsiderado y que llamaremos superficie gausiana. Esta ha de cumplir dos condicionespara poder resolver fácilmente la integral del teorema de Gauss, y son:

l.- En todos los puntos de la su-perficie gausiana el campo, E

r ha de

ser perpendicular a la superficie esdecir, el vector campo paralelo al

vector superficie: SdEvr

2.- En todos los puntos de la su-perficie gausiana, el campo tiene un

valor constante, o sea: cteEE ==r

Aplicando el Teorema de Gauss: ∫ •S

SdErr

0εQ=

=Φ ∫ •S

SdErr

= ∫ =odSE 0cos..0

24...ε

π QrESEdSEdSE

S==== ∫∫

y despejando E: 204

1rQ

E ⋅=πε


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4.4.2. Campo debido a una distribución de carga uniforme.

Consideremos una esfera maciza con una carga Q distribuida uniformemente conuna densidad de carga constante ρ (ρ=dQ/dV). En un punto exterior a la carga a distan-cia r (r>R) de su centro, el campo creado es Eo y se determina por aplicación del Teo-rema de Gauss a una superficie gausiana esférica de radio r y concéntrica con la carga,que cumple las dos condiciones anteriores (fig.12):

SdErr

0 y cteE =0

r

En dicha superficie se cumple:

∫ ∫∫ =====•=Φ0

200000 4

επ QrESEdSEdSESdE

rr

de donde: 204

1rQ

E ⋅=πε

Esta expresión nos indica que el campo E0 debido a la carga esférica es idéntico alcampo que crearía si la carga Q fuera puntual y situada en el centro de la esfera.

Para el cálculo del campo Ei en un punto del interior de la esfera cargada, a r' delsu centro (r’<R), consideremos una superficie gausiana esférica interna, de radio r’ yconcéntrica con la carga. Esta superficie encierra una carga q menor que la carga totalQ, proporcional al volumen encerrado. La carga situada en la exterior a r' no afecta alcampo en ese punto. Según esto:

3

3

3434

R

r

Qq

π

π= ⇒ Q

Rr

q 3

3

=

y aplicando el Teorema de Gauss: ∫ •S

SdErr

εq=

∫ ∫ ∫ ⋅====•S iiii Q

Rr

rEdSEdSESdE 3

32 '1'4

επ

rr ⇒ '

4 3 rR

QEi πε

=

Si introducimos la densidad de carga: dVdQ=ρ la carga encerrada por la superfi-

cie gausiana será: ρπ 3'34

rq = ⇒ ρπε

π 32 '341

'4 rrEi ⋅= luego '3

rEi ερ=

La representación gráfica de las ecuacionesde E0 y Ei en un sistema de coordenadas E- rviene en la fig.13. El campo Es corresponde a lasuperficie de la carga, r=R y ambas ecuacionestoman el mismo valor. En el interior de la carga,el campo Ei es función lineal de r' y en el exte-rior, el campo E0 es inversamente proporcional alcuadrado de r.

FIG. 13

4.4.3. Campo debido a un conductor lineal cargado.

Vamos a considerar un largo hilo conductor AB cargado con una carga unifor-memente distribuida a lo largo de su longitud con una densidad lineal λ=dQ/dl que crea


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un campo cuyo valor en el punto P a distancia r, queremos determinar. Para ello dibu-jemos una superficie gausiana cerrada, cilíndrica, cuyo eje de simetría coincida con elconductor, de radio r y longitud b. Las líneas de fuerza del campo creado por el con-ductor indefinido son radiales y perpendiculares a él y a las superficies cilíndricas coa-xiales que se construyan. Por simetría, el campo E

r en cada punto de la superficie gau-

siana es constante en módulo. Todo el flujo del campo sale por la superficie lateral, deárea 2πrb, mientras que por las bases no sale ningún flujo y estas superficies no contri-buyen a la integral del Teorema de Gauss, luego:

0εQ

dSES

=∫ o sea: brbE λε

π0

12. =

siendo λb la carga total encerrada en la su-perficie gausiana cilíndrica:

rrbb

Eλ

πεπελ ⋅==

00 21

2

4.4.4. Campo debido a una lámina plana cargada.

Supongamos una superficie plana infinita sobre la que hay una distribución uni-forme de carga de densidad superficial dada por σ=dQ/dS. Por simetría, el campo en unpunto P es perpendicular a la superficie de la lámina. En los puntos a y b simétricos res-pecto a la lámina, el campo tiene el mismo va-lor y sentidos opuestos, y las líneas de fuerzason rectas que salen perpendiculares de la lá-mina cargada. Para determinar el campo en a(idéntico y opuesto al de b), dibujaremos unasuperficie gausiana en forma de cilindro rectoperpendicular a la lámina de sección transver-sal A y cuyas bases pasen por a y su simétricob, como se indica en la fig.15. La carga ence-rrada en la superficie gausiana será pues Q=σAy como el flujo del campo eléctrico no atravie-sa la superficie lateral cilíndrica, las únicas contribuciones a la integral del Teorema deGauss son las bases en a y en b, normales al campo, en las cuales se cumplen las dos

condiciones: SdErr

0 y cteE =0

r

luego aplicando la ley de Gauss:

∫ ==0

2.εσA

AEdSE ⇒ 02ε

σ=E

lo que nos indica que el campo eléctrico debido a una carga plana uniforme e indefinida,es constante en todo el espacio e independiente de la distancia del punto considerado ala carga.

4.4.5. Campo debido a un condensador plano cargado.

Dos placas metálicas paralelas con cargas iguales y de signo opuesto, constituyenun condensador plano, donde σ es la densidad superficial de carga (σ=dQ/dS) de lasláminas y E la intensidad del campo eléctrico que existe entre ellas a la distancia d de laplaca positiva, fig.16. Por razones de simetría se deduce que el campo es perpendiculara las placas.


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Supondremos que la separación entrelas placas, a, es pequeña comparada con susdimensiones lineales a fin de evitar la disper-sión del campo hacia el exterior, en los bordesde las placas. Como superficie cerrada gau-siana construyamos una superficie prismáticao cilíndrica con una base ABB'A' en el inte-rior de la placa positiva, de tal manera que noestá atravesada por líneas de fuerza (las líneasde campo van desde la cara interior de la pla-ca positiva a la cara interior de la cara negati-va, pues las caras externas no poseen carga).La cara opuesta a la anterior, DCC'D' estarásituada en el interior del condensador, pasan- FIG. 16

do por el punto P y atravesada perpendicularmente por las líneas del campo. Las res-tantes caras de la superficie ABCD, A'B'C'D', BB'C'C y AA'D'D resultan paralelas a laslíneas del campo, no son atravesadas por el flujo y no contribuyen a la integral del teo-rema de Gauss. La carga encerrada por esa superficie gausiana será:

dAdQ .σ= o AQ σ=Aplicando el teorema de Gauss a la única cara atravesada por flujo, en la cual, se

cumplen las dos condiciones anteriores de: SdErr

0 y cteE =0

r

resultará: ε

σdAdAE =. ⇒

εσ=E

es decir, el campo eléctrico en el interior del condensador plano es independiente de lasdimensiones del condensador y sólo depende de la distribución de carga y del mediointerpuesto y resulta constante en todo el espacio entre las placas.

5. ENERGÍA DEL CAMPO ELÉCTRICO

5.1. Energía Potencial Eléctrica.

Hemos visto que la circulación de la fuerza electrostática en una trayectoria cerra-da es nula. Esta consecuencia se puede expresar de otro modo: "En un campo electros-tático, el trabajo de la fuerza eléctrica en una trayectoria cerrada es nulo", que es lacondición de un campo conservativo, y se expresa así:

∫ =•= 0rdFWrr

Supongamos que la carga pasa desde el punto 1 al 2 por elcamino M, y luego volvemos al punto 1 por otro camino diferenteN, completando así la trayectoria cerrada. La ecuación anterior lapodemos escribir:

01

)(2

2

)(1=•+• ∫∫ NM

rdFrdFrrrr

⇒ ∫∫ •=•=2

)(1

2

)(1

21 NM

rdFrdFWrrrr

FIG. 17

Si en lugar de volver por el camino N lo hubiera hecho por el camino P, resulta:

∫∫ •=•=2

)(1

2

)(1

21 PM

rdFrdFWrrrr

Generalizando: ∫∫∫ •=•=•=2

)(1

2

)(1

2

)(1

21 PNM

rdFrdFrdFWrrrrrr


20/23

Ecuación que expresada en palabras nos dice: "si una carga puntual q pasa de unestado inicial 1 a un estado final 2, dentro de un campo eléctrico, el trabajo realizadopor la fuerza del campo es independiente de los caminos intermedios, dependiendo úni-ca y exclusivamente de la posición del punto inicial y final. Este trabajo lo podemosigualar con la variación de una función llamada Energía Potencial (EP) de la carga enun punto del campo"

)()( 2222111

2

1 12

1 zyxEPzyxEPrdFW −=•= ∫rr

Observemos que se escribe EP1-EP2, es decir: "La energía potencial es una fun-ción de la carga en el punto tal que la diferencia entre sus valores en las posicionesinicial y final, es igual al trabajo efectuado por la fuerza conservativa del campo al serdesplazada la carga desde la posición inicial a la final'. O lo que es lo mismo: "El tra-bajo realizado por la fuerza del campo es igual al incremento de la energía potencialcambiado de signo".

La expresión diferencial será: dEPrdFdW −=•= rr

En una dimensión, se escribirá: dxFdEP .−= ⇒ dx

dEPF −=

ecuación que nos da la variación de la energía potencial por unidad de longitud. Si que-remos escribir esta ecuación en tres dimensiones tenemos que recurrir a la notación dederivadas parciales y será así:

EPkz

EPj

yEP

ix

EPF ∇−=

∂∂−

∂∂−

∂∂−=

rrrr

5.2. Energía potencial de una carga puntual.

Consideremos un campo electrostático creado por una carga puntual q. Calcule-mos el trabajo que se realiza al trasladar la carga puntual de prueba q' desde el punto 1al 2 del campo, para ello, mediremos la diferencia de energía potencial entre los puntos1 y 2 del campo. El movimiento de la carga q' lo realizamos infinitamente lento, deforma que todos los puntos intermedios de la trayectoria sean estados de equilibrio de lacarga puntual q', de esta forma, en un punto cualquiera, la fuerza que actúa sobre q' vie-ne medida por la ley de Coulomb:

rrqq

Frr

30

'.4

1 ⋅=πε

y sustituyendo en la ecuación de la energía potencial:

∫ •⋅=−2

1 30

21

'.4

1rdr

rqq

EPEPrr

πεPor ser el valor de esta integral independiente de

la trayectoria a seguir, teniendo en cuenta la fig.18,podemos escribir:

∫∫ •⋅+•⋅=−2

'2 30

'2

1 30

21

'.4

1'.4

1rdr

rqq

rdrrqq

EPEPrrrr

πεπεLa primera integral es nula, ya que F

r y el camino recorrido rd

r son perpendicula-

res, además, en la segunda integral podemos prescindir de la notación vectorial por te-ner F

r y rd

r la misma dirección, luego:

+−=

−=⋅=− ∫

'2200

2

'2 20

21

114

'.14

'.'.4

1 2

'2rr

qqr

qqdr

rqq

EPEPr

r πεπεπε


21/23

Al ser en módulo '21 rr = , sustituyendo resulta:

−=

+−=−

21012021

114

'.114

'.rr

qqrr

qqEPEP

πεπεExpresión que nos mide el trabajo realizado para trasladar la carga q' de un punto

1 a otro 2 del campo electrostático creado por la carga q.

No se puede calcular la energía potencial absoluta de una carga que se encuentraen un campo electrostático. Sin embargo, si establecemos por convenio, un punto delespacio donde la energía potencial sea nula (origen de energías potenciales), llamaremosEnergía Potencial en un punto cualquiera del campo, a la diferencia de energía potencialentre este punto origen (EP=0) y el punto considerado.

La hipótesis que normalmente hacemos es que para r=∞, la energía potencial esnula EP=0, o lo que es lo mismo: “La energía potencial de una carga q' en un punto enel infinito del campo eléctrico (punto lo suficientemente alejado para que prácticamenteno exista influencia del campo) es nula", con lo que la expresión para cualquier punto

será: rqq

EP'.

41

0

⋅=πε

que nos mide el trabajo que ha de realizar una fuerza exterior para trasladar la carga q'desde el infinito al punto en presencia de la carga creadora del campo q.

Esta energía potencial electrostática es semejante a la energía potencial gravitato-ria; sin embargo, mientras esta última es siempre negativa (con EP(∞)=0), la energíapotencial eléctrica puede tener ambos signos. Así, si q.q'>0, entonces EP(r) es positiva,y si q.q'<0, la energía potencial eléctrica EP(r) es negativa.

5.3. Energía Potencial de una distribución de cargas.

Teniendo en cuenta que las contribuciones de Energía Potencial se suman esca-larmente, podemos decir que la Energía Potencial de una carga puntual q' colocada enun punto del campo electrostático debido a un sistema discreto de cargas puntuales, es:

∑=i

i

rqq

EP04

'πε

La Energía Potencial de una carga puntual q' colocada en un punto del campoelectrostático debido a una distribución continua superficial o volúmica de carga, lapodemos escribir como una generalización de la expresión anterior. Para calcularla rea-lizamos la integral de las contribuciones de energía potencial de cada uno de los ele-mentos de superficie o volumen que compongan la distribución, que serán, respectiva-mente: dAdq .σ= y dVdq .ρ=siendo: σ =la densidad superficial de carga que existe en el punto ocupado por el ele-

mento de superficie dA. ρ =la densidad volúmica de carga que existe en el punto ocupado por el ele-

mento de volumen dV.y la contribución a la Energía Potencial de q' colocada en el punto a distancia r del ele-

mento, será: rdAq

dEP.

4'

0

σπε

⋅= y rdVq

dEP.

4'

0

ρπε

⋅=


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luego la Energía Potencial de q' debida a la distribución superficial A o volúmica V,vendrá dada por las siguientes expresiones:

∫∫

∫∫

==

==

V

A

rdVq

dEPEP

rdAq

dEPEP

.4

'

.4

'

0

0

ρπε

σπε

Si el campo está creado por un sistema de cargas puntuales, una distribución su-perficial de carga definida por σ( r

r) y una distribución volúmica de carga definida por

ρ(rr

), la Energía Potencial de una carga puntual q’ colocada en un punto de dicho sis-

tema será:

++= ∫∫∑ VA

i

i

rdVr

rdAr

rqq

rEP).().(

4'

)(0

rrr ρσ

πε

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA

Gerald HOLTON y Duane H.O.ROLLER. Fundamentos de Física Moderna. Ed i-torial Reverté. 1963. BARCELONA.

Santiago BURBANO DE ERCILLA, Enrique BURBANO GARCÍA y CarlosGRACIA MUÑOZ. Física General. XXXI Edición. Mira Editores. 1993.ZARAGOZA.

Jesús RUIZ VÁZQUEZ. Física. Edit. Selecciones Científicas. 1975. MADRID

Marcelo ALONSO y Edward J.FINN. Física. Volumen I: Mecánica. Addison-Weslwy Iberoamericana. 1970. MEJICO.

Francis W.SEARS. Fundamentos de Física II. Electricidad y Magnetismo. Edito-rial Aguilar. 1967. MADRID.

Joaquín CATALA DE ALEMANY. Física General. Saber, Entidad Española deLibrería. 1966. VALENCIA.

Robert M.EISBERG y Lawrence S.LERNER. Física: Fundamentos y Aplicacio-nes. Volumen 1. Ediciones McGraw-Hill. 1990. MADRID.


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Tratamiento Didáctico----------------------------------------------------------------------------------------------------------OBJETIVOS

Mostrar la naturaleza eléctrica de la materia de los componentes íntimos de los áto-mos que constituyen la materia que nos rodea, con la introducción de una nueva entidadfísica que denominamos “carga eléctrica”.

Estudiar las leyes básicas que regulan el comportamiento de estas nuevas entidades.Demostrar el carácter conservativo del campo eléctrico y definir la energía potencial

eléctrica, de importancia fundamental en la química.UBICACIÓN

El presente tema se inicia básicamente en el 4º curso de ESO, aunque el estudiocompleto del campo eléctrico se realiza en 2º curso de bachillerato LOGSE.TEMPORALIZACIÓN

Puede desarrollarse el tema en un periodo de 6 horas de clase y completarse con 2horas para resolución de problemas de electrostática y práctica de cátedra.METODOLOGÍA

El tema debe explicarse exhaustivamente, partiendo de los conceptos básicos de car-ga eléctrica, hasta los más complejos de intensidad y potencial, siguiendo métodosvectoriales. La explicación debe ser ágil y participativa, recurriendo a las similitudescon el campo gravitatorio, dada la dificultad de recurrir a fenómenos electrostáticosfamiliares.

La explicación debe estar salpicada de resolución de problemas numéricos sobre dis-tribuciones de carga que ilustren la explicación teórica.

Pueden demostrarse en el laboratorio los fenómenos electrostáticos mediante la utili-zación de transparencias electrostáticas para retroproyector.CONTENIDOS MÍNIMOS

Concepto de carga eléctrica. Ley de Coulomb.Constante dieléctrica del medio. Sistemas de unidades.Intensidad de campo eléctrico. Distribuciones más importantes.Líneas de fuerza. Flujo eléctrico. Potencial eléctrico.Energía potencial eléctrica. Energía de una distribución de carga.Superficies equipotenciales.Teorema de Gauss. Aplicaciones al cálculo de E en algunas distribuciones sencillas.

MATERIALES Y RECURSOS DIDÁCTICOSLibro de Texto complementado con apuntes de clase.Lecturas históricas sobre los trabajos de investigación en electricidad.Material de laboratorio: equipos de electrostática, transparencias para retroproyec-

tor sobre configuraciones de campo eléctrico.Hojas de problemas de Electrostática de dificultad creciente y a nivel del curso.Programa de ordenador de CAMPOS CONSERVATIVOS para la demostración

cualitativa y cuantitativa de la intensidad de campo eléctrico y del potencial eléctrico, dediferentes distribuciones de cargas.EVALUACIÓN

Pruebas objetivas sobre los conceptos fundamentales del tema, valorando compren-sión, memorización y aplicación de estos conceptos a situaciones reales.

Pruebas escritas con problemas numéricos exigiendo resolución completa con utili-zación de máquinas calculadoras.

Valoración de las prácticas realizadas en el aula o en el laboratorio.Pruebas de opción múltiple con preguntas de varias respuestas (3 falsas y 1 cierta)

que obligue al alumno al razonamiento de las situaciones planteadas.

temas de fÍsica y quÍmica (oposiciones de enseñanza...

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